SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG"

Transkript

1 SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG S 1. TILFELDIGT EKSPERIMENT. SANDSYNLIGHEDSFELT Sandsynlighedsregnirg som matematisk disciplin er oprindeligt opstäet som en teori for hasardspil. De matematiske metoder, som blev udviklet, viste sig at kunne bruges mange andre steder; for eksempel bygger stikprovekontrol, vurdering af opinionsundersogelser og undersogelser af lregemidlers virkning pä disse metoder. När man skal bestemme sandsynligheden for, at en eller anden begivenhed indtrrffer, vil man i praksis ofte vrere henvist til at gore dette udfra et eller andet statistisk materiale. Et forsikringsselskab, der skal fastsrette stsrrelsen af en livsforsikringsprremie, er for eksempel interesseret i at bestemme sandsynligheden for at en person stadigvrek er i live efter en vis ärrrekke. Dette kan i princippet gores ved hjrelp af en tabel over dsdeligheden i forskellige aldersgrupper Ovelse I 1950 var der i Danmark ca personer i aldersgruppen är; i 1970 var der ca personer i aldersgruppen är. Benyt disse tal til at vurdere sandsynligheden for at en tilfaldigt udvalgt 52-ärig dansker stadigvek er i live efter 20 ärs torlab. Päpeg nogle fejlmomenter ved beregningen. Vi vil i det folgende ofte benytte hasardspil (terningkast, msntkast o.s.v.) som eksempler. Begrundelsen for dette er, at sädanne spil er velkendte for de fleste og simple at beskrive. Lad os starte med at betragte et kast med en almindelig terning. Der er seks forskellige muligheder for, hvad terningen kan vise; vi sig er, at der er seks forskellige udfald. De seks udfald er lige sandsynlige, d.v.s. sandsynligheden for hvert af udfaldene er 1l6.Dette svarer til, at hvis man kaster mange gange med en terning, forventer man f.eks. en tre'er i ca. Il6 af kastene. Kast med en terning er et eksempel pä et tilfreldigt eksperimenl. Herved forstäs et eksperiment, hvor resultatet ikke er givet pä forhänd, men hvor de forskellige udfald indtrreffer med visse sandsynligheder. Tilfreldige eksperimenter med endeligt mange udfald kan beskrives pä folgende mäde:

2 1.2. Mrengden af mulige udfald ved et tilfreldigt eksperiment kaldes udfaldsrummet for eksperimentet, og betegnes med [/. Til hvert udfald u e U er knyttet et bestemt tal P (r), sandsynligheden for u. Sandsynlighederne opfylder: a)foralle ue U: 0=P(u) b) Summen af sandsynlighederne P (") er I, dvs. z r alle u P kan äbenbart opfattes som en funktion med definitionsmnngde U. En funktion P, der opfylder a) og b) kaldes en s andsy nlighedsfunktion. Et udfaldsrumu med en tilhsrende sandsynlighedsfunktion P kaldes et sandsynlighedsfelt. Det sandsynlighedsfelt (U,P), der beskriver kast med en almindelig terning, har udfaldsrum u - { tr,2,3,,4,5,6} og sandsynlighedsfunktionen P er givet ved P (") Dette sandsynlighedsfelt er af en s&rlig simpel type, der kaldes symmetriske sandsynlighedsfelter : 1.3. Et sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, hvis alle udfald har samme sandsynlighed Ovelse Man kaster med en mont, og observerer, om det blev plat eller krone. Beskriv udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt? 10

3 1.5. Ovelse Man kaster to gange med en mont, og observerer, hvor mange gange det blev plat (0,1 eller 2 gange). Beskriv udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. Er det et symmetrisk sandsynlig hedsfelt? 1.6. En delmrengd e H af et udfaldsrum kaldes "n h,orctetse. Sandsynligheden P(H) for at fä et udfald, der tilhgrer H, er P(H) :ur" 7, np(") P (H) kaldes sandsynligheden fo, hrendelsen H. Om hrendelserne Q og U grelder äbenbart P(Q)-0 os P((I)_I Ved kast med en terning kan man vredde offi, at den hsjstviser 4. Man vredder da offi, at udfaldet tllhsrer hrendelsen Sandsynligheden for dette er da H - {I,2,3,4} P(H) - P(l)+P (2)+P(3)+P(4) J- I \ / Ovelse Vi betragter et almindeligt spil kort med 52 blade. Der trakkes et tilfaldigt kort. Find sandsynligheden for falgende hendelser a) Kortet er spar 7 b) Kortet er en spar c) Kortet er ikke en klar d) Kortet er et billedkort (altsä knagt, dame eller konge) Af ovelse I.7 fremgär, at man i et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan bestemme sandsynligheden for en hrendelse 11 som forholdet mellem 11

4 antal udfald i H ogdet samlede antal udfal d i U. Hvis U har n elementer, grelder jo at P("): Iln for alle u iu ;og hvis H har m elementer er P(H) :I+1+1+ n n n När man skal bestemme sandsynligheden for en hrendelse /1, kalder man udfaldene i H for gunstige udfald. Vi kan da kort skrive 1.8. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan sandsynligheden for en hrendelse F1 beregnes ved 1 t l t - n ry n P (r{) _ antal udfald i H antal udfald i U _ antal gunstige udfald antal mulige udfald Det fremgär af (1.S), vt man i et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan bestemme sandsynligheden for en hrendelse ved attrelle udfald. I $ 2 skal vi gennemgä nogle metoder, der gar det lettere at foretage sädanne optrellinger. Vi vil slutte dette afsnit med at vise nogle regneregler for sandsynligheder. Lad A ogb vnrehrendelser i et udfaldsrum (1. A ogb er delmrengdet af (J, sä vi kan pä sredvanlig mäde tale om foreningsmrengden AUB og frellesmrengdena-tb. Pä fig. Il er vist en situation, hvor A)B - Q ; i dette tilfrelde er P(AUB) lig med summen af P(A) og P(B), d.v.s. der grelder 1.9 HvisAaB-0er P(AUB) -P(A)+P(B) OG Pä figur 1.2 er AaB + Q. I dette tilfrelde grelder (1.9) ikke, for när man beregner P(A) + P(B), bliver udfaldene i A)B talt med to gange. Der grelder derfor 12

5 1.10 Hvis A ogb er to vilkärlige hrendelser, er P(AuB) - P(A)+P(B) -P(A.B) Vi ser, ät 1.10 indeholder I.9 som et specialtilfrelde. ffi Avelse. Man trakker et kort fra et sadvanligt spil kort. A og B er handelserne A: det blev et es B: det blev en klar Bestem sandsynlighederne P(A), P(B), P(AnB) og P(AUB) I mrengdelreren defineres komple' mentrermrengden til en mrengde H som mrengden bestäende af de elementer, der ikke er med i H, jf. fig I sandsynlighedsregningen betegner man ksmplement&rmrengden tll H med H og man kalder H for den komplementrere hrendelse til H. Da H U H - U og H n n - Q, fär vi af 1.9 P(u)-P(H)+P(fr) og her af folger P(tr)-1-P(H) Eksempel. Lad os betragte det tilfreldige eksperiment, der bestär i kast med to terninger, en rad og en hvid. Udfaldsrummet kan illustreres som vist pä fig. I.4. Pä figuren er med krydser markeret udfaldene i hrendelsen H: summen af ojnene er 4 HVID a-) 2 I 1 2 3, R A D Fig

6 Antallet af gunstige udfald for H er 3, og da antallet af mulige udfald er 6' 6-36, ser vi, at 3 1 P(H)- %: D Qlvelse. Tegn selv en figur som fig Indtegn handelserne A: terningerne viser ens B: summen af ajnene er 7 C: den rode terning viser mere end den hvide D: summen ai alnen er mindst 10 Bestem sandsynlighederne P(A), P(B), P(C), P(D), P(BOC) og p(buc) Ovelse. När en tipskamp mä aflyses f.eks. som falge af därligt vejr, foretager tipstjenesten pä grundlag af 20 avisers tips om kampen en säkaldtendenslodtrekning. Udfaldet af denne tendenslodtrekning bestemmer da hvilket tegn, der skal stä pä ugens tipskupon ud for den pägeldende kamp. Tendenslodtrakningen foretages ved, at man ien krukke anbringer 32 kugler af forskellig farve (gul, rad og gran). Farverne har folgende betydning: gul betyder 1 rod belyder x gran betyder 2 Fordelingen af gule, rade og g ranne kugler i krukken bestemmes ved, at man for hver af de 20 aviser anbringer en kugle svarende til bladets tips. Endvidere anbringes der 4 gule, 4 rade og 4 grsnne kugler i krukken. Tendenslodtrekningen udfores ved, at man pä tilfeldig mäde udtager en kugle af krukken. Farven pä den udtagne kugle an jiver da, hvilket tegn der skal stä pä ugens tipskupon ud for den aflyste kamp. Skemaet nedenfor viser, hvorledes de 20 aviser bedsmte udfaldet af en tipskamp. Tips: x 1 x 2 1 x 1 x 1 1 x x x Pä grundlag af disse tips, skal der laves en tendenslodtrakning a) Hvor mange gule, rade og granne kugler skal der anbringes i krukken I4

7 b) Angiv sandsynligheden for, at der ved tendenslodtrekningen kommer et 1-tal ud for den pägaldende kamp. c) Samme sporgsmäl som b) blot med x hhv. 2. d) Hvorfor nojes man ikke med at lade de 20 avisers tips vare afgarende for udfaldet af ten d en slodtrekn ingen? s 2. KOMBTNATORTK En spilleautomat (enarmet tyveknregt) indeholder tre hjul, hver forsynet med 20 symboler. Fordelingen af symboler pä de tre hjul kan f.eks. vrere som vist i tabellen nedenfor. E--l ttü{l i_el L.,l Fig SYMBOL ANTAL hjul I hjul II hjul III Appelsin Blomme Citron Kirsebrer Klokke Streg Ialt I I 20 5 I I I 3 T 20 Lad os undersoge, hvor mange forskellige stillinger hjulene kan standse i, hvis visningen i ruderne skal vrere som pä fig. 2.I dvs. kirsebrer, klokke og blomme. Af tabellen ser vi, at hjul I i 7 stillinger vil vise kirsebrer, hjul II viser klokke i 3 stillinger, og hjul III viser blomme i 5 stillinger. For hver af de 7 stillinger, hvori hjul I viser kirsebrcr er der 3 stillinger, hvori hjul II viser klokke. Der er säledes 7 '3-21 stillin ger hvori hjulene I og II viser kombinationen kirsebrer-klokke. For hver af disse er der 5 muligheder for at hjul III viser blomffi, säledes at der ialt er (7 ' 3) ' stillinger af hjulene, der giver visningen pä fig. 2.I i ruderne. 15

8 Pä samme mäde ser vi, at de 3 hjul ialt kan standsei20'20'20: 8000 forskellige stillinger. Situationen ovenfor illustrerer anvendelsen af multiplikationsprincippet: 2.1. När en valgsituation kan opdeles i to valg med henholdsvis n og m valgmuligheder, er det totale antal valgmuligheder lig med n'm Multiplikationsprincippet er her formuleret for en valgsituation, der kan opdeles i to delvalg. Som vi allerede har set kan det udvides til at omf atte valgsituationer bestäende af flere delvalg. Hvert enkelt spil pä en enarmet tyveknregt kan opfattes som et tilfreldigt eksperiment. De 8000 mulige stop af hjulene er eksperimentets udfald, og hvert har sandsynligheden P(u) Sandsynlighedsfeltet knyttet til den enarmede tyvekn egtpä denne mäde er altsä et symmetrisk sandsynlighedsfelt. En bestemt visning i ruderne kan fremkomme ved flere forskellige stillinger af hjulene, og mä derfor opfattes som en hrendelse i det symmetriske sandsynlighedsfelt. For eksempel er 2.2. H- {ulu: (kirsebrer,klokke,blomme)} en hrendelse, der indeholder 105 forskellige udfald, og derfor er 2.g. P(H): ]l: 8000 jf. ( 1.B) Avelse. Beregn sandsynlighederne for handelserne Ht _ {u I u - (blomme, kirseber, citron)} H2: {u lu - (streg, streg, sfreg)} I6

9 Vi vil gennemgä endnu et par eksempler, hvor multiplikationsprincippet anvendes. Et fodboldhold bestär af.11 spillere. Vi vil prove at beregne antallet af forskellige holdopstillinger, en trrener kan lave med IL spillere. Starter vi ved venstre wing (ttt. II), er der her 11 muligheder for at placere en spiller. När denne plads er blevet besat, er der 10 spillere at vrelge imellem til plads nr. 10, d.v.s. plads LI og 10 kan ifolge multiplikationsprincipp et besrettes pä II'10 mäder. Fig.2.2. Fortsretter vi r&sonnementet, ser vi, dannes at der af de li spillere ialt kan 2.5. 'l.l'10' 9' 8'7' 6' 5' 4' 3' 2' ,800 holdopstillinger! Et produkt af de hele talfran og ned til 1,, d.v.s. n' (n- 1) ' ("-2)' ' 4'3 '2' 1 skrives kort n! - lres: >>n-fakultet<< eller >>n-udräbstegn(. Vi definerer altsä 2.6. n! - n'("-l)'(n-z)'... '4'3'2'I Med denne sprogbrug kan vi sige, ät der med 1-1 spillere kan laves 11! forskellige holdopstillinger. Generelt grelder, atn elementer kan anbringes i rrekk efolge pä n! forskellige mäder. 17

10 Tallen e n! vokser meget hurtigt, när ru vokser. Dette fremgär af nedenstäende tabel. n! I L Ovelse. Et händboldhold bestär af 7 spillere. Hvor mange forskellige holdopstillinger kan man lave af et hold? Hvor mange holdopstillinger kan man lave, hvis man kan velge de 7 spillere f rit blandt 10. En fodboldtr&ner har som regel flere end 11 spillere at vrelge imellem, när han skal lave holdopstilling. Vi vil prove at beregne hvor mange forskellige holdopstillinger, der kan laves, när man har L7 spillere til rädighed. Betragter vi igen fig. 2.2 ser vi, at plads rlr. LL da kan besrttes pä 17 mäder, plads nr. 10 kan dernrest besrettes pä 16 mäder, osv. Antallet H af. forskellige holdopstillinger bliver derfor H L5. L Tallet minder en del om tallet '1-.7!, jt. (2.6). Sammenhrengen mellem FI og L7I kommer tydeligere frem ved en omskrivnitrg 18

11 2.9. H - L _ T7T 6! I stedet for antallet af holdopstillinger kan man vrere interesseret i blot at bestemme antallet afforskellige hold (gr.rpper pä 11 personer), der kan udtages af de 17 spillere, der er til rädighed. Dette antal kan vi bestemme udfra (2.8). Lad os benytte betegnelsen K for antallet af forskellige hold. Hver gang vi har et hold, kan de 11 spillere opstilles pä 11! forsketlige mäder, jf. (2.5). Vi kan derfor beregne det samlede antal holdopstillinger pä en anden mäde, end vi gjorde i (2.8), nemlig som H - K.11! Ved sammenligning med (2.8) finder vi da, at 2.g. Da 6-17 K--U- 6!.ILT II ser vi, at (2.9) ogsä kan skrives pä formen K_ T7T (r7-rr)!. 11! Indfsrer vi betegnelsen en n-mengde for en mengde me d n-elementer kan vi sige, at (2.10) angiver hvor mange forskellige 1l-detmrengder der er i en L 7 -mnngde. Tallet K i (2.10) betegnes normalt med K17,1r, da det udtrykker antallet af. 1l-delmrengder af en 17-mnngde, dvs. Kn Jr 17T (r7-rr)!. 11! Ovenstäende lader sig let generalisere til: Antallet af forskellige q-delmrengder af. enn-mrengde er Kr,n Sretter man q - 0 eller q - n i 2* (2.1I) fär man symbolet 0! i brokens t9

12 nrevner. Tillregger man 0! vrrdien 1, bliv er (2.1 1) ogsä korrekt for e : 0 og for q - n. I det folgende vil tallene Kn,n blive omtalt som binomialkoefficienter. Der findes tabeller over Kn,q.Af pladshensyn angiver man ikke altid Kr,n for alle vrerdier af q.yed brug af tabellen kan man da benytte, at der grelder Kn,n : Kn,n-q (2.I2) indses ved direkte udregning: Kn,n-n n! ("-q)i' ("-("-q))i : Kn,q Ovelse. Find enten ved beregning eller opslag ien tabel tallene Kts.e og Kts,z Multiplikationsprincippet og formlen for Kr,n kan anvendes til beregning af antallet af valgmuligheder i mere komplicerede tilfrelde. En krukke indeholder 10 kugler, hvoraf 4 er sorte og 6 er hvide. Et eksperiment gär ud pä at tage en händfuld med 3 kugler op af krukken, og se pä farvesammensretningen. Hvis kuglerne bortset fra farve isvrigt er ens, kan vi gä ud fra, zt enhver kombination af 3 kugler har Fig samme sandsynlighed for at blive udtaget. Vi kan med andre ord betragte sandsynlighedsfeltet knyttet til eksperimentet som et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Et udfald er en delmrengde pä 3 kugler, säledes at udfaldsrummet kan karakteriseres som 3-delmrengderne af en 1O-mrengde. Antallet af mulige udfald er da ifolge (2.11) Krc3- L20 20

13 Sandsynligheden for et udfald z bliver P (") L :- 120 Lad os betragte hrendelserne H3: {ulu bestär af.3 sortekugler} Hz: {u I u bestär af 2 sorte og I hvid} Vi vil beregne sandsynlighederne P(H) og P(H). Hertil har vi brug for at kende antallet af udfald i hver af de to hrendelser (antal gunstige udfald). Et udfald tilhsrer hrendelsen H.,hvis alle kuglerne er sorte. Da der ialt er 4 sorte kugler i krukken kan vi udta ge3 af dem PäK+,t - 4 mäder. Der er säledes 4 gunstige udfald for hrendelsen H z, d.v.s. P(Hz) - {-o't :L Kro3 I20 Et udfald tl\hsrer Hzsäfremt2kugler er sorte og 1 er hvid. Da vi af de 4 sorte kugler i krukken kan udtage 2 pä K4,zmäder, og af de 6 hvide kan udtage 1 pä K6,1 mäder, folger det af multiplikationsprincippet, at 2 sorte og t hvid i.an udtages pä ialt K+,2'K6,1 : 36 mäder. Heraf folger da, at P(H) W Avelse. En krukke indeholder 10 kugler, hvoraf 3 er rade, resten blä. Ved et eksperiment udtages en händfuld pä tre kugler. Beregn sandsynligheden for hver af nedenstäende handelser: Ho: {u Ht: {u H2: {u Hs: {u u indeholder 0 rode) u indeholder 1 radj u indeholder 2 rade\ u indeholder 3 rade\ lllustr6r de fundne sandsynligheder med et stolpediagram: 2T

14 r i r f i i l, l i i l r, r i ' : t : ' ' : l 1 ] t r ' ; _ l r ' i r,, l i :. -.., f + : - +. t. - r 1 L r. t r,, l l i f I r l l,, i l]l Il::! t f 1 1 l '! i it I illl.l,li tl ; : l : r 1 J + 't-+i ii i i t: i ;J i l i. r i. ' + i i l r i + i : l : i l i i i l i l l i i r l ' i i i r. t ;! t t, t l llril iiillrill?t+ r}-i r'* i t r : t t i i : : l : i, l ' : : '! t r l i i i ffi l : 1 l l ' i : t+:-ilr;lt ' 1 1 ' i f i i r T ' 1 t,, l ' l r i r t r r l t i : i r : r l r t i i t l. ' i ::llt:r'1 r'j;' ii tisi ill:j., : 1 "! i -# I ' l t t ii:i 't:fü iiiiijn f t I l 1 iirlt : t i. t, { '. :. i L ; : ; + _. 1 I f 1, i I, i, + : l i I 'l I : : I I ;,:1 : ' I I : ll. i, t.. - t r r,. l r. : ilf:il,l:1r : 1;:[1:rl illii,.;' :lflilrr$n'sfliir : l r ' 1 : ' l iliitrl', 7'.l* lf ii [Tl11.'fii,t : : i ' f ' : r : i 1 : i ' l :, i ' 1 t i : r 1 'ri-lt-+i :,i:li:r: ;;iili+-- i : i t ' r '. :iiliii,: i riilii j r ;: i{:ll: iiirl'fl. --!n;+-+'.i " " - l r : 1 r.ii,iir:l :-:.l l i ;.1.:.- ir.i;;iii t : ", ' t J ',::Jl;,1 alif-r,jii,i;i :.;f'# iril'.ir r.1...ii-_lt:;.- I, I :i:l;t: J, ii'il:,1:jti.i- ;.:.;.J l+-.:-r I;i,;, i:i,-l::!1..:l:i: j,:l:..;t ;"1 r: 1,, 't-: :1, i:-j;:l i. lri,.i',,lll 1 " 1 a*\atrq rl Fig Ovelse. En granthandler modtager appelsiner i kasser med 30 stk. Far han stiller kassen ind i butikken plejer han at pakke 4 appelsiner ud af papiret og se efter om de er i orden. Hvis han finder en eller flere därlige appelsiner blandt disse 4 gär han hele kassen igennem og smider de därlige vek fsr kassen kommer ind i butikken. Hvad er sandsynligheden for, at en kasse med 5 därlige appelsiner islipper gennem gronthandlerens kontrol? Samme sporgsmäl for en kasse, der kun indeholder 2 därlige appelsiner. s 3. BTNOMTALFORDELTNG I starten af $2 betragtede vi en spilleautomat. Vi kan opfatte spillet pä denne som tre tllfnldige eksperimenter, der udfore s uffiengigt af hinanden: 1. eksperiment: hjul I srettes i gang og stopper 2. eksperiment: hjul II srettes i gang og stopper 3. eksperiment: hjul III srettes i gang og stopper Lad os betragte folgende hrendelser, horende til hver sit af disse tre eksperimenter: 22 H i hjul I viser kirsebrer Hz: hjul II viser klokke H z: hjul III vis er blomme

15 Sandsynligheden for disse hrendelser er fif. tabellen side 15): P(Ht):* P(Hz):* P(Hz)-5 20 Den hrendelse FI, vi betragtede i (2.2) kan karakteriseresom hrendel' sesforlgbet H- (H rflzliz) Vi fandt i (2.3), at sandsynligheden for H var 3.1, P\H) ffi- For at finde denne sandsynlighed benyttede vi multiplikationsprincippet. Antallet af" mulige udfald er 20'20' , og antallet af gunstige udfald er 7'3' Skriver vi i (3.1) hvordan broken faktisk er fremkommet, finder vi P(H) : n - P(H).P(H).P(Hz) Sandsynligheden for H kan altsä bestemmes ved at multiplicere sandsynlighederne for H 1, Hz oeh z. Dette er noget, der grelder generelt, när. man udforer flere tilfreldige eksperimenter uaftrrengigt af hinanden: 3.2. När en rrekke tilfreldige eksperimenter udfores uafhrengigt af hinanden, kan sandsynligheden for et bestemt hrendelsesforlsb findes ved at multiplicere sandsynlighederne for de enkelte hrendelser Ovelse. I et spil kastes forst en terning, dernest en mont. Hvad er sandsynligheden for, at terningen viser 5 eller 6 og monten viser krone? Ovenfor har vi betragtet situationer, hvor forskellige eksperimenter udfores efter hinanden. (3.2) kan naturligvis ogsä benyttes, när eksperimenterne er ens. I resten af. denne paragraf. skal vi udelukkende benytte (3.2) i situationer, hvor samme tilfrldige eksperiment udfores gentagne gange. 23

16 3.4. Eksempel. Lad os betragte kast med en terning. Lad H i terningen viser 6 Hz: terningen viser ulige. Der grelder äbenbart PQI) - Ll6 og PQI) - Il2. Vi kaster 2 gange med terningen. Sandsynligheden for hrendelsesforlsbet H- (Ht,Hz) er da P(H) : ä 1_ Med andre ord, sandsynligheden for at terningen viser 6 i forste kast og et ulige antal ojne i andet kast er "l.llz Ovelse. I starten af et spil LUDO skal man slä en sekser (eller globus) for at fä lov at flytte en brik ud. Til at begynde med har man tre slag ihver runde, indtil man har fäet sin forste brik ud. Hvad er sandsynligheden for at en bestemt spiller ikke fär nogen brik ud ispillets fsrste ru nde? Hvad er sandsynligheden for at spilleren ikke fär nogen brik ud de fo forste runder? I den situatior, vi betragtede i ovelse 3.5 er det naturligt at omtale det at slä en sekser som held, og det, dt slä L,2,3,4 eller 5 som uheld. Vi skal i det folgende beskreftige os mere med tilsvarende situationer, hvor udfaldsrummet er opdelt i to hrendelser H og H, kaldet held og uheld. Indfsrer vi betegnelsenp for P (H) fär vi, da H og H er komplementrere hrendelser, at 3.6. p - P(H) os I-p-P(H) Baggrunden for det folgende er altsä et eller andet tilfreldigt eksperiment, hvor vi specielt er interesseret i en bestemt hrendelse H - held og dennes komplementnrehrendelse 11 - uheld. Vi skal beskreftige os med gentagne udforelser af dette eksperiment, og det vi stiler mod er atblive i stand til at besvare sporgsmäl som f.eks. hvad sandsynligheden er for at vrere heldig mindst 5 gange, hvis eksperimentet udfores L0 gange efter hinanden. 24

17 /J 3.7. Avelse. Ved spil pä en rouletter udfaldsrummettalmangden U - {0,1,2,g,...,35,36}. En spiller satser 10 gange i trak pä tallet 19. a) Hvad er sandsynligheden for at han er uheldig hver gang? b) Hvad er sandsynligheden for at han er heldig iforste spil og uheldig ide 9 andre. c) Hvad er sandsynligheden for at han er heldig netop en gang ud af de 'l 0. Som eksempel pä gentagne udforelser af et tilfreldigt eksperiment vil vi se pä udfyldning af en tipskupon. Vi ant ager at udfyldningen sker pä tilfreldig mäde, altsä uden kendskab til hvor gode de enkelte hold er. Sandsynligheden for at en bestemt kamp tippes rigtigt er da I13. Tipning af en rrekke (13 kampe) sker ved 13 udforelser af samme tilfreldige eksperiment tipning af en enkelt kamp. Hrendelserne held og uheld er H: H: kampen tippes rigtigt kampen tippes forkert og sandsynligheden for disse hrendelser er P(H) _ 1 3 P(H) ') :.t J Det interessante set ud fra tipperens synspunkt er antallet af rigtige kampe i en rrekke, d.v.s. antal gange hrendelsen H forekommer. Som en kort betegnelse for dette antal vil vi benytte bogstavetx. Skriver vi f.eks. X - 7, mener vi at antallet af rigtigt tippede kampe (antal held) er 7. Begrundelsen for at indfore denne notation er bl.a., zt vi sä fär en kortfattet skrivemäde for sandsynligheder: 3.9. P(X-0) - P(X-1) - P(X - 13) - sandsynligheden for 0 rigtige kampe sandsynligheden for I rigtig kamp sandsynligheden for 13 rigtige kampe Vi vil prove at bestemme disse sandsynligheder, og starter med sandsynligheden P(X _ 0). Hvis X - 0 er alle kampe tippet forkert, d.v.s. hrendelsen H forekommer 13 gange. Da P(tr) :? fär vi iflg. (3.2), zt P(X:O)_ z.z.z.z.z.2.z.z.z.z.z.z.z-(z\r \ 3 / 25

18 Vi forsretter me d X - I. Der er 13 forskellige hrendelsesforlsb med netop I rigtigt tippet kamp (1 gange H og 12 gange 0, (H, (H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n, U, n1 H, H, H, H, H, H, rt, n, n7 (H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n) Sandsynligheden for hvert af disse hrendelsesforlsb er + (?)" sä alt i alt fär vi P(x -r) - 13'+(?)" De resterende 12 sandsynligheder kan i princippet findes pä samme mäde som vi fandtp(x-l). Det er imidlertid etmojsommeligt arbejde at opskrive alle de mulige hrendelsesforlsb; lad os se, om vi ikke kan slippe lidt nemmere om ved det (H fl,n,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h) QI,H,H,H,H,H,H,H II,H,H,H,N1 (H,H,n fl,u,h,h,h,h,h fl,h,h) I (3.9) er vist tre forskellige hrendelsesforlsb svarende til X - 2.DaH forekommer 2 gange og H II gange, er sandsynligheden for hvert af disse lig med (+)' (?)" For at bestemme den samlede sandsynlighed P (X : 2) Skal vi regne ud, hvor mange forskellige hrendelsesforlob, der svarer tll X - 2. Et sädant hrendelsesforlsb fremkommer ved, at vi i et skema som (3.9) udvrelg er 2 pladser af de 13 og skriver H her. Pä de resterende 11 pladser skrives F1. Af (2.1L) tolger, at dette valg kan foretages pä Kn,2 forskellige mäder. Der findes altsä Kr3,z forskellige hrendelsesforlsb svarende tll X - 2, og vi fär derfor 26 P(x : z) : Kr3,2. (+)'. (?)'1-78- (+)'. (?)"

19 Ved at argumentere pä tilsvarende mäde kan man finde de ovrige sandsynligheder. Det samlede resultat bliver P(X - 0) : Kr3,o (+)' '(?)" P(X- 1) : Kr3,r (+)t (?)" P(X - 2) : K"!.3,2 ' (+)' '(?)" P(X : 3) : Kr3,3 (+)' (?)to P(X - 4) : Kr3,4 (+)- '(?)n P(x - s) : Kr3,s (+)t (3)t P(X : 6) : Kr3,6 (+)t (?)' P(X : 7) : Kr3,7 (+)t (?)' P(x : s) : Kr3,8 (+)t (3)t P(X : 9) : Kr3,s (+)t (?)^ P(X _ 10) : KL3,1'' (+)to'(?)t P(X - 11) : Kr3,jr' (+)tt'(?)' P(X - LZ) : Kr3,1.z' (+)t''(?)t P(X : 13) : Kr3,r3' (+)t''(?)' Generelt kan vi skrive sandsynligheden fo, j rigtige: P(X - j) : K13,i -( +)' (?)"' Tallene kan beregnes ved hjrelp af regnemaskine og en tabel over binomialkoefticienterne Ktt,j. Resultatet af beregningen er vist med stolpediagrammet pä fig. 3.L. 27

20 Sandsynlighedsfeltet knyttet til udfyldningen af tipskuponen som beskrevet i (3.10) er et eksempel pä en säkaldt binomialfordeling. Binomialfordelingen angiver sandsynlighederne for forekomsten af en bestemt hrendelse - primrerhrendelsen - ved et antal udfsrelser af det pägreldende eksperiment. Definitionen pä en binomialfordeling er Ved en binomialfordeling af- lrengde n og med primßrsandsynlighed p forstäs et sandsynlighedsfelt (U,Pr), hvor og hvor Un - {0,1,2,3)..., n} P"(X - i) - Kn,j'pi '(1 -p)"-i, j - 0,1,,2,..., n Tallet P r(x - j) angiver sandsynligheden for, at primrerhrendelsen vil forekomme j gange ved n gentagne udfsrelser af eksperimentet Eksempel. Vi betragter 10 kast med en ternirg, og vil finde sandsynligheden for, at hrendelsen H: at slä en sekser forekommer 4 gange. 28

21 Sandsynlighederne for forekomsten af seksere er binomialfordelt med lnngde n _ 10 og primrersandsynlighed p - I I 6. Sandsynligheden for 4 seksere er derfor iflg. (3.11) prc(x - 4) : Kr0,4 (ä)' (ä)u : zr0 (ä)- (;)u: 0,0s Ovelse.. ' t 1 Beregn sandsynligheden for ved 10 kast med en mont at fä 4 krone. Som vi har set kan sandsynlighederne i en binomialfordeling beregnes udfra lrengden n og primrersandsynligheden p. Der er imidlertid ogsä udarbejdet tabeller over binomialfordelingerne. Heri er normalt ikke angivet Pr(X - j), men derimod de kumulerede sandsynligheder P"(X =i), dvs. sandsynlighederne for, at primrerhrendelserne forekomm er hojst j gange ved n udfsrelser af eksperimentet. Eksempelvis er säledes P,(X=4): P,(X:0) + P,(X:l) + P,(X-z) * P,Q{-3) + P,6:4) For n - 7 og p - 0,5 finder man i en tabel, at Heraf kan P t6-4) findes, idet P7(X=4)-0,7734 Pr6 S 3) - 0,5000 PilX-4) : Pt6=4) - P76=3)- 0,7734 0,5000-0,2734 Find ved brug af en tabel over binomialfordelingen fl : 8 og p : 1/3 sandsynlighederne PaV = 4), pa(x = 3), pa(x = 1), pa(x - 4), Pa(1 <X = 4) * * * * * 29

22 Pt(X = i) Pt(x - j) ,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734 0,9375 0,9922 1,0000 0,0078 0,0547 O,T64I 0,2734 0,2734 O,T64I 0,0547 0,0078 Tabellen ovenfor angiver binomialfordelingen svarende til n - 7 og P - 0,5' Vi har tidligere illustreret sandsynlighedsfordelinger ved at tegne et stolpediagram. Tilsvarende kan de kumulerede sandsynligheder illustreres ved at man tegner et trappediagram. Tabellen ovenfor er illustreret pä fig Fig Ovelse. En symmetrisk terning kastes 5 gange. Find sandsynlighederne for 0 seksere, 1 sekser, 2 seksere,., 5 seksere. lllustrer de fundne sandsynligheder med et stolpediagram. lllustrer de kumulerede sandsynligheder med et trappediagram. 30

23 Vi vil afslutte denne paragraf med at indfsre en storrelse, der kaldes middelvrerdien for en binomialfordeling Eksempel. Ved kast med en symmetrisk mont betragtes hrendelsen H: msnten viser krone Sä er P(H) - 1lz, ogvi kan beregne sandsynlighederne for, at krone forekommer 0,I,2 eller 3 gange i en serie pä 3 kast ved hjrelp af (3.11) med p - 7lz og n - 5. Lader vi X betegne antal krone fär vi P(X-0)- _ 1 (+)' 8 P(X-1)-3-3 (+)' 8 P(X-2)-3-3 (+)' 8 P(X-3)- - 1 (+)' 8 t), 5'r Lad os trenke os, at vi foretager 100 udforelser af eksperimentet >3 kast med en msnt<<. Resultaterne kan trenkes opskrevet i et skema: eksperiment nr. udfald antal krone kr pl pl kr kr pl pl pl pl pl kr kr pl pl kr I Observationssrettet bestäende af tallene i hojre kolonne kan vi behandle som vi tidligere har set (Matematik I, kap I), og f.eks. bestemme hyppighed og frekvens. Lad os forestille os, at fordelingen blev: 3r

24 observation x hyppighed frekvens "f (antal krone) 0 I 2 3 n 0, , , ,r2 i tt, Vi kan nu beregne observationssrettets middeltal (det gennemsnitlige antal krone). Middeltallet bliver, jf Matematik I side 14: Z*'f - 0'0,11 + I'0,37 + 2'0,40 + 3'0,12-1,53 De frekvenser, der indgär i udtrykket her, mä v&re omtrent lig med de sandsynligheder, vi har beregnet i eksempel F.eks. er sandsynligheden for hrendelsen >>2 kroneu lig med den forventede frekvens af >2 krone<< ved et stort antal udforelser af eksperimentet. Vi kan säledes, inden vi overhovedet giver os til at udfore eksperimentet >3 kast med en mont<<, pä forhänd beregne det gennemsnitlige antal krone vi vil forvente. Benytter vi tallene i eksempel 3.16 finder vi dette tal til 0.Pz(X:O) + l.pe(x:i) + 2'Pz(X:2) + 3'Pz(X:3) :oä*1;.2;.3 *:#:r,so Vi bemrerker, at dette forventede middeltal kan beregnes alene udfra kendskab til hvilken binomialfordeling, man har med at gorc i den aktuelle situation. Pä baggrund af dette vil vi indfore et tal, der kaldes middelvrerdien af en binomialfordeling : Ved middelvrerdien for en binomialfordeling af lrengde n, forstäs tallet p givet ved s LL: ^a j'p"(x -/) i:0-0 'P,Qf -0)+ I'P,(X:1)+...*n'Pn(X -n) 32 Her er talle ne P n6 -j) de sandsynligheder, der hsrer til den pägreldende binomialfordeling, jf. definition 3.LI.

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

599 n" Golf. f!-.41. t!,e] Lis vil spille golf. Det koster 750 kr. i kontingent pr. halvir. Beregn Lis' irlige kontingent. ti,il

599 n Golf. f!-.41. t!,e] Lis vil spille golf. Det koster 750 kr. i kontingent pr. halvir. Beregn Lis' irlige kontingent. ti,il Golf Lis vil spille golf. Det koster 750 kr. i kontingent pr. halvir. ti,il Beregn Lis' irlige kontingent. l.-7.2 ) Beregn den minedlige udgift til kontingent. 599 n" Priser i Golfshoppen. Lis skal bruge

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Sandsynlighedregning

Sandsynlighedregning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 1. udgave 2007 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier Matematiske emner SPIL Sandsynligheder og Strategier Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2006 INDHOLD Kap. Sandsynligheder ved spil.... Lotto... øvelser...2 2. Poker...3 3. Ruinsandsynligheder ved Roulette

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørgen Larsen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Kapitel 9: Budgetter. b faldt ligele- )gnes som en :n at reducelstimer. lutningen af iveauet, selv ergenbruget i 1993.

Kapitel 9: Budgetter. b faldt ligele- )gnes som en :n at reducelstimer. lutningen af iveauet, selv ergenbruget i 1993. I b faldt ligele- )gnes som en :n at reducelstimer. lutningen af iveauet, selv ergenbruget i 1993. Man To (442-100) rn i 1996 og ucerer ravab skal ses pi le 5.:ngde. Kapitel 9: Budgetter I modsretning

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo

statistik og sandsynlighed F+E+D bernitt-matematik.dk Demo F+E+D 1 brikkerne statistik og sandsynlighed F+E+D 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-20-6 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse 1 Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Kriegers Flak Idefasen - Projektområde. Oversigt over detailkort

Kriegers Flak Idefasen - Projektområde. Oversigt over detailkort Kort nr. 1 Kort nr. 2 Kort nr. 3 Kort nr. 4 Kort nr. 5 Kort nr. 6 Kort nr. 7 Kort nr. 8 Kort nr. 9 Kort nr. 1 Kort nr. 11 i 1. offentlighedsfase (). Kort nr. 12 Kilometers 1 -. Oversigt over detailkort

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko.

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko. Kom godt i gang med RiBAY Risikostyring ved hjælp af RiBAY består af følgende seks trin: 1. Indtastning af systemvariable og budgettal 2. Indtastning af Køb og salg 3. Kalibrering af udgangspunktet for

Læs mere

3. Nyt tag m. m + bagtrapper og kælder. stk 1 med mindst 8 dages varsel. I Verdens Kultur Centreto Nørre Alle 7. 2. Nyt tag m. m. 4.

3. Nyt tag m. m + bagtrapper og kælder. stk 1 med mindst 8 dages varsel. I Verdens Kultur Centreto Nørre Alle 7. 2. Nyt tag m. m. 4. Nørrebro tirsdag den22. februar 20ll Andelsboligforeningen Bgegade 14-16 indkalder til ekstraordinær generalforsamling torsdag den 3. marts 20ll kl. 19:00. Verdens Kultur Centreto Nørre Alle 7 Dagsorden:

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

statistik og sandsynlighed E+D

statistik og sandsynlighed E+D brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik og sandsynlighed E+D ISBN: 978-87-92488-20-6 1. udgave som E-bog til tablets

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

lnvesteringsforeningen SmallCap Danmark

lnvesteringsforeningen SmallCap Danmark Bestyrelsens redegorelse ifht. Finanstilsynets anbefalinger om best practice for lnvesteringsforeningen SmallCap Danmark af D.2. SEPTEMBER 2014 -l- Finanstilsynet har i forbindelse med tilsynets "Omkostningsundersogelse

Læs mere

IOVIATT FoR Sltr Rt( E n,

IOVIATT FoR Sltr Rt( E n, OVATT FoR Sltr Rt( E n, SEMPROFESSONEL H-F STEREO FORST/ERKER. STEREOFORSTnRKEREN opbygges efter bllled og frontplade, de to forsterkere og str0mforsyningen anbringes i bunden af kassen pa afstandsstykker.

Læs mere

I;r'"ff:#, 031206 il? ffi; il;r'"ffnt'. oilz06 i:?. i?. ; )lvis valqte. En tur itivoli 03.12,06. K;;i.* ' Oversigt. Station / Stop Dato Kt.

I;r'ff:#, 031206 il? ffi; il;r'ffnt'. oilz06 i:?. i?. ; )lvis valqte. En tur itivoli 03.12,06. K;;i.* ' Oversigt. Station / Stop Dato Kt. En tur itivoli Julie inviterer pd sin l6 Ars i-odselsdag sin soster C'harlotte pd 11 Ar en tur itrvoli. Dc bor i Nastvcd og skal kore med to_r:et 1il Kobenhavn og tilbage. Julie kigger pa Rc'jseplanen.

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Muterede Bygplanter Absorptionsspektrum

Muterede Bygplanter Absorptionsspektrum Muterede Bygplanter Absorptionsspektrum Når planter skal lave fotosyntese absorberer de lys fra solen. Sollys består af lys med forskellige bølgelængder. Når en plante bruger sollys til fotosyntese absorberer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

VEDTtr-GTER AN D E LS BOLIG FORE N I N G E N TORVEBO FOR

VEDTtr-GTER AN D E LS BOLIG FORE N I N G E N TORVEBO FOR VEDTtr-GTER FOR AN D E LS BOLIG FORE N I N G E N TORVEBO s 1. Navn. Foreningens navn er andelsboligforeningen "Torvebo". s2. Formil Foreningens formal er at erhverve, eje og administrerejendommen matr.

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

ORDIIUER GENERALFORSAMLING

ORDIIUER GENERALFORSAMLING Grundejerfrengen 18 Naesby Strand Til grundejerfrengens medlemmer; N^sby Strand, den 8. juli 2012. Hermed dkaldes til RIIUR GNRALFRSAMLING Lrdag den 28. juli 2012 kl. 16.00 i teltet a Grassgangen 11. Husk

Læs mere

VEDTJEGTER FOR N0DEBO VANDVJERK

VEDTJEGTER FOR N0DEBO VANDVJERK VEDTJEGTER FOR N0DEBO VANDVJERK 1 Selskabet er stiftet 26. marts 2009 er et andelsselskab A.m.b.a., hvis navn er N0debo Vandvrerk. Selskabet har hjemsted i Hillef0d Kommune formal 2 Selskabets formal er

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Hypotesetest s og spørgeskemaer Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Kumuleret sandsynlighed 0.9 0.8

Læs mere

Budget 2013 Resultat 20{3 Resultat?012. 688.223 5.130 683.498 449.670 24.365 lndtægter ialt 2.0u.601 2.040.545,69 1.850.887

Budget 2013 Resultat 20{3 Resultat?012. 688.223 5.130 683.498 449.670 24.365 lndtægter ialt 2.0u.601 2.040.545,69 1.850.887 Blvstrød Vandværk t/s Regnskab 21 3 lndtæqter Fast Driftsbidrag 967 å kr. 713, Sprinklerbidrag Kubikmeter bidrag 1.242 ms å kr 7.2A Statsafift på vand 1.242 m3 å kr. 5,9 Andre indtægter 14-1-214 Budget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring 7. april 2011 Indhold 1 Undersøgelsesdesign 5 1.1 Kausalitet............................. 5 1.2 Validitet og bias......................... 6 1.3

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad)

Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad) Med PEI A på langtur (del 4) (Gdan s k Kaliningrad) To r s d a g m o r g e n G d a n s k - sol og vin d fra N o r d. H a v d e aft al t m e d ha v n e k o n t o r e t at bet al e ha v n e p e n g e n e

Læs mere

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL

FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf132-MAT/C-29082013 Torsdag den 29. august 2013 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

MilftfrRr. IVSA Danmarks vedtagter er vedtaget i 1995. Revideret p& ordinar generalforsamling i: L997,1998, L999,2000, 2001,2003,

MilftfrRr. IVSA Danmarks vedtagter er vedtaget i 1995. Revideret p& ordinar generalforsamling i: L997,1998, L999,2000, 2001,2003, IVSA Danmarks vedtagter er vedtaget i 1995 I MilftfrRr Revideret p& ordinar generalforsamling i: L997,1998, L999,2000, 2001,2003, 200 4, 2005, 200 6, 2007, 2 0 08, 2009, 2010, 20L3 0g 20t4 Kapitel l: Navn

Læs mere

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik 1.-10. klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

TALKUNNEN. Tre test: Modeltest Forskelstest Sammenhængstest. Allan C. Malmberg MI 140 ISBN 87-7701-630-0

TALKUNNEN. Tre test: Modeltest Forskelstest Sammenhængstest. Allan C. Malmberg MI 140 ISBN 87-7701-630-0 TALKUNNEN 2 Allan C. Malmberg Tre test: Modeltest Forskelstest Sammenhængstest MI 140 ISBN 87-7701-630-0 INFA A Matematik - 1998 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

3. De to typer spil 3. 5. Meldingernes rækkefølge 4. 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5

3. De to typer spil 3. 5. Meldingernes rækkefølge 4. 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5 1 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning 1 2. Kortgivning 2 3. De to typer spil 3 4. Meldeforløbet 3 5. Meldingernes rækkefølge 4 6. Oversigt over meldingernes rækkefølge og værdier 5 7. De enkelte meldingers

Læs mere

lag Deklaration Matr.nr 3 E Hesselbjerg by, Blistrup '.4071 r47l Registreringsafgift kr. I.400,00 John Beliggende: Ved Soen 3 3210 Vejby

lag Deklaration Matr.nr 3 E Hesselbjerg by, Blistrup '.4071 r47l Registreringsafgift kr. I.400,00 John Beliggende: Ved Soen 3 3210 Vejby lag e g GEl.{FAftT??6rJ87 ]1 ut:r8u. rlr1?1 3u. 11.3ij'l:, f ft 1., 4r.t[t t liu f" Registreringsafgift kr..400,00 Matr.nr 3 E Hesselbjerg by, Blistrup Beliggende: Ved Sen 3 3210 Vejby Deklaratin Jhn '.4071

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere