SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG"

Transkript

1 SAN DSYN LIG H EDSREG N I NG S 1. TILFELDIGT EKSPERIMENT. SANDSYNLIGHEDSFELT Sandsynlighedsregnirg som matematisk disciplin er oprindeligt opstäet som en teori for hasardspil. De matematiske metoder, som blev udviklet, viste sig at kunne bruges mange andre steder; for eksempel bygger stikprovekontrol, vurdering af opinionsundersogelser og undersogelser af lregemidlers virkning pä disse metoder. När man skal bestemme sandsynligheden for, at en eller anden begivenhed indtrrffer, vil man i praksis ofte vrere henvist til at gore dette udfra et eller andet statistisk materiale. Et forsikringsselskab, der skal fastsrette stsrrelsen af en livsforsikringsprremie, er for eksempel interesseret i at bestemme sandsynligheden for at en person stadigvrek er i live efter en vis ärrrekke. Dette kan i princippet gores ved hjrelp af en tabel over dsdeligheden i forskellige aldersgrupper Ovelse I 1950 var der i Danmark ca personer i aldersgruppen är; i 1970 var der ca personer i aldersgruppen är. Benyt disse tal til at vurdere sandsynligheden for at en tilfaldigt udvalgt 52-ärig dansker stadigvek er i live efter 20 ärs torlab. Päpeg nogle fejlmomenter ved beregningen. Vi vil i det folgende ofte benytte hasardspil (terningkast, msntkast o.s.v.) som eksempler. Begrundelsen for dette er, at sädanne spil er velkendte for de fleste og simple at beskrive. Lad os starte med at betragte et kast med en almindelig terning. Der er seks forskellige muligheder for, hvad terningen kan vise; vi sig er, at der er seks forskellige udfald. De seks udfald er lige sandsynlige, d.v.s. sandsynligheden for hvert af udfaldene er 1l6.Dette svarer til, at hvis man kaster mange gange med en terning, forventer man f.eks. en tre'er i ca. Il6 af kastene. Kast med en terning er et eksempel pä et tilfreldigt eksperimenl. Herved forstäs et eksperiment, hvor resultatet ikke er givet pä forhänd, men hvor de forskellige udfald indtrreffer med visse sandsynligheder. Tilfreldige eksperimenter med endeligt mange udfald kan beskrives pä folgende mäde:

2 1.2. Mrengden af mulige udfald ved et tilfreldigt eksperiment kaldes udfaldsrummet for eksperimentet, og betegnes med [/. Til hvert udfald u e U er knyttet et bestemt tal P (r), sandsynligheden for u. Sandsynlighederne opfylder: a)foralle ue U: 0=P(u) b) Summen af sandsynlighederne P (") er I, dvs. z r alle u P kan äbenbart opfattes som en funktion med definitionsmnngde U. En funktion P, der opfylder a) og b) kaldes en s andsy nlighedsfunktion. Et udfaldsrumu med en tilhsrende sandsynlighedsfunktion P kaldes et sandsynlighedsfelt. Det sandsynlighedsfelt (U,P), der beskriver kast med en almindelig terning, har udfaldsrum u - { tr,2,3,,4,5,6} og sandsynlighedsfunktionen P er givet ved P (") Dette sandsynlighedsfelt er af en s&rlig simpel type, der kaldes symmetriske sandsynlighedsfelter : 1.3. Et sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, hvis alle udfald har samme sandsynlighed Ovelse Man kaster med en mont, og observerer, om det blev plat eller krone. Beskriv udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. Er det et symmetrisk sandsynlighedsfelt? 10

3 1.5. Ovelse Man kaster to gange med en mont, og observerer, hvor mange gange det blev plat (0,1 eller 2 gange). Beskriv udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. Er det et symmetrisk sandsynlig hedsfelt? 1.6. En delmrengd e H af et udfaldsrum kaldes "n h,orctetse. Sandsynligheden P(H) for at fä et udfald, der tilhgrer H, er P(H) :ur" 7, np(") P (H) kaldes sandsynligheden fo, hrendelsen H. Om hrendelserne Q og U grelder äbenbart P(Q)-0 os P((I)_I Ved kast med en terning kan man vredde offi, at den hsjstviser 4. Man vredder da offi, at udfaldet tllhsrer hrendelsen Sandsynligheden for dette er da H - {I,2,3,4} P(H) - P(l)+P (2)+P(3)+P(4) J- I \ / Ovelse Vi betragter et almindeligt spil kort med 52 blade. Der trakkes et tilfaldigt kort. Find sandsynligheden for falgende hendelser a) Kortet er spar 7 b) Kortet er en spar c) Kortet er ikke en klar d) Kortet er et billedkort (altsä knagt, dame eller konge) Af ovelse I.7 fremgär, at man i et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan bestemme sandsynligheden for en hrendelse 11 som forholdet mellem 11

4 antal udfald i H ogdet samlede antal udfal d i U. Hvis U har n elementer, grelder jo at P("): Iln for alle u iu ;og hvis H har m elementer er P(H) :I+1+1+ n n n När man skal bestemme sandsynligheden for en hrendelse /1, kalder man udfaldene i H for gunstige udfald. Vi kan da kort skrive 1.8. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan sandsynligheden for en hrendelse F1 beregnes ved 1 t l t - n ry n P (r{) _ antal udfald i H antal udfald i U _ antal gunstige udfald antal mulige udfald Det fremgär af (1.S), vt man i et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan bestemme sandsynligheden for en hrendelse ved attrelle udfald. I $ 2 skal vi gennemgä nogle metoder, der gar det lettere at foretage sädanne optrellinger. Vi vil slutte dette afsnit med at vise nogle regneregler for sandsynligheder. Lad A ogb vnrehrendelser i et udfaldsrum (1. A ogb er delmrengdet af (J, sä vi kan pä sredvanlig mäde tale om foreningsmrengden AUB og frellesmrengdena-tb. Pä fig. Il er vist en situation, hvor A)B - Q ; i dette tilfrelde er P(AUB) lig med summen af P(A) og P(B), d.v.s. der grelder 1.9 HvisAaB-0er P(AUB) -P(A)+P(B) OG Pä figur 1.2 er AaB + Q. I dette tilfrelde grelder (1.9) ikke, for när man beregner P(A) + P(B), bliver udfaldene i A)B talt med to gange. Der grelder derfor 12

5 1.10 Hvis A ogb er to vilkärlige hrendelser, er P(AuB) - P(A)+P(B) -P(A.B) Vi ser, ät 1.10 indeholder I.9 som et specialtilfrelde. ffi Avelse. Man trakker et kort fra et sadvanligt spil kort. A og B er handelserne A: det blev et es B: det blev en klar Bestem sandsynlighederne P(A), P(B), P(AnB) og P(AUB) I mrengdelreren defineres komple' mentrermrengden til en mrengde H som mrengden bestäende af de elementer, der ikke er med i H, jf. fig I sandsynlighedsregningen betegner man ksmplement&rmrengden tll H med H og man kalder H for den komplementrere hrendelse til H. Da H U H - U og H n n - Q, fär vi af 1.9 P(u)-P(H)+P(fr) og her af folger P(tr)-1-P(H) Eksempel. Lad os betragte det tilfreldige eksperiment, der bestär i kast med to terninger, en rad og en hvid. Udfaldsrummet kan illustreres som vist pä fig. I.4. Pä figuren er med krydser markeret udfaldene i hrendelsen H: summen af ojnene er 4 HVID a-) 2 I 1 2 3, R A D Fig

6 Antallet af gunstige udfald for H er 3, og da antallet af mulige udfald er 6' 6-36, ser vi, at 3 1 P(H)- %: D Qlvelse. Tegn selv en figur som fig Indtegn handelserne A: terningerne viser ens B: summen af ajnene er 7 C: den rode terning viser mere end den hvide D: summen ai alnen er mindst 10 Bestem sandsynlighederne P(A), P(B), P(C), P(D), P(BOC) og p(buc) Ovelse. När en tipskamp mä aflyses f.eks. som falge af därligt vejr, foretager tipstjenesten pä grundlag af 20 avisers tips om kampen en säkaldtendenslodtrekning. Udfaldet af denne tendenslodtrekning bestemmer da hvilket tegn, der skal stä pä ugens tipskupon ud for den pägeldende kamp. Tendenslodtrakningen foretages ved, at man ien krukke anbringer 32 kugler af forskellig farve (gul, rad og gran). Farverne har folgende betydning: gul betyder 1 rod belyder x gran betyder 2 Fordelingen af gule, rade og g ranne kugler i krukken bestemmes ved, at man for hver af de 20 aviser anbringer en kugle svarende til bladets tips. Endvidere anbringes der 4 gule, 4 rade og 4 grsnne kugler i krukken. Tendenslodtrekningen udfores ved, at man pä tilfeldig mäde udtager en kugle af krukken. Farven pä den udtagne kugle an jiver da, hvilket tegn der skal stä pä ugens tipskupon ud for den aflyste kamp. Skemaet nedenfor viser, hvorledes de 20 aviser bedsmte udfaldet af en tipskamp. Tips: x 1 x 2 1 x 1 x 1 1 x x x Pä grundlag af disse tips, skal der laves en tendenslodtrakning a) Hvor mange gule, rade og granne kugler skal der anbringes i krukken I4

7 b) Angiv sandsynligheden for, at der ved tendenslodtrekningen kommer et 1-tal ud for den pägaldende kamp. c) Samme sporgsmäl som b) blot med x hhv. 2. d) Hvorfor nojes man ikke med at lade de 20 avisers tips vare afgarende for udfaldet af ten d en slodtrekn ingen? s 2. KOMBTNATORTK En spilleautomat (enarmet tyveknregt) indeholder tre hjul, hver forsynet med 20 symboler. Fordelingen af symboler pä de tre hjul kan f.eks. vrere som vist i tabellen nedenfor. E--l ttü{l i_el L.,l Fig SYMBOL ANTAL hjul I hjul II hjul III Appelsin Blomme Citron Kirsebrer Klokke Streg Ialt I I 20 5 I I I 3 T 20 Lad os undersoge, hvor mange forskellige stillinger hjulene kan standse i, hvis visningen i ruderne skal vrere som pä fig. 2.I dvs. kirsebrer, klokke og blomme. Af tabellen ser vi, at hjul I i 7 stillinger vil vise kirsebrer, hjul II viser klokke i 3 stillinger, og hjul III viser blomme i 5 stillinger. For hver af de 7 stillinger, hvori hjul I viser kirsebrcr er der 3 stillinger, hvori hjul II viser klokke. Der er säledes 7 '3-21 stillin ger hvori hjulene I og II viser kombinationen kirsebrer-klokke. For hver af disse er der 5 muligheder for at hjul III viser blomffi, säledes at der ialt er (7 ' 3) ' stillinger af hjulene, der giver visningen pä fig. 2.I i ruderne. 15

8 Pä samme mäde ser vi, at de 3 hjul ialt kan standsei20'20'20: 8000 forskellige stillinger. Situationen ovenfor illustrerer anvendelsen af multiplikationsprincippet: 2.1. När en valgsituation kan opdeles i to valg med henholdsvis n og m valgmuligheder, er det totale antal valgmuligheder lig med n'm Multiplikationsprincippet er her formuleret for en valgsituation, der kan opdeles i to delvalg. Som vi allerede har set kan det udvides til at omf atte valgsituationer bestäende af flere delvalg. Hvert enkelt spil pä en enarmet tyveknregt kan opfattes som et tilfreldigt eksperiment. De 8000 mulige stop af hjulene er eksperimentets udfald, og hvert har sandsynligheden P(u) Sandsynlighedsfeltet knyttet til den enarmede tyvekn egtpä denne mäde er altsä et symmetrisk sandsynlighedsfelt. En bestemt visning i ruderne kan fremkomme ved flere forskellige stillinger af hjulene, og mä derfor opfattes som en hrendelse i det symmetriske sandsynlighedsfelt. For eksempel er 2.2. H- {ulu: (kirsebrer,klokke,blomme)} en hrendelse, der indeholder 105 forskellige udfald, og derfor er 2.g. P(H): ]l: 8000 jf. ( 1.B) Avelse. Beregn sandsynlighederne for handelserne Ht _ {u I u - (blomme, kirseber, citron)} H2: {u lu - (streg, streg, sfreg)} I6

9 Vi vil gennemgä endnu et par eksempler, hvor multiplikationsprincippet anvendes. Et fodboldhold bestär af.11 spillere. Vi vil prove at beregne antallet af forskellige holdopstillinger, en trrener kan lave med IL spillere. Starter vi ved venstre wing (ttt. II), er der her 11 muligheder for at placere en spiller. När denne plads er blevet besat, er der 10 spillere at vrelge imellem til plads nr. 10, d.v.s. plads LI og 10 kan ifolge multiplikationsprincipp et besrettes pä II'10 mäder. Fig.2.2. Fortsretter vi r&sonnementet, ser vi, dannes at der af de li spillere ialt kan 2.5. 'l.l'10' 9' 8'7' 6' 5' 4' 3' 2' ,800 holdopstillinger! Et produkt af de hele talfran og ned til 1,, d.v.s. n' (n- 1) ' ("-2)' ' 4'3 '2' 1 skrives kort n! - lres: >>n-fakultet<< eller >>n-udräbstegn(. Vi definerer altsä 2.6. n! - n'("-l)'(n-z)'... '4'3'2'I Med denne sprogbrug kan vi sige, ät der med 1-1 spillere kan laves 11! forskellige holdopstillinger. Generelt grelder, atn elementer kan anbringes i rrekk efolge pä n! forskellige mäder. 17

10 Tallen e n! vokser meget hurtigt, när ru vokser. Dette fremgär af nedenstäende tabel. n! I L Ovelse. Et händboldhold bestär af 7 spillere. Hvor mange forskellige holdopstillinger kan man lave af et hold? Hvor mange holdopstillinger kan man lave, hvis man kan velge de 7 spillere f rit blandt 10. En fodboldtr&ner har som regel flere end 11 spillere at vrelge imellem, när han skal lave holdopstilling. Vi vil prove at beregne hvor mange forskellige holdopstillinger, der kan laves, när man har L7 spillere til rädighed. Betragter vi igen fig. 2.2 ser vi, at plads rlr. LL da kan besrttes pä 17 mäder, plads nr. 10 kan dernrest besrettes pä 16 mäder, osv. Antallet H af. forskellige holdopstillinger bliver derfor H L5. L Tallet minder en del om tallet '1-.7!, jt. (2.6). Sammenhrengen mellem FI og L7I kommer tydeligere frem ved en omskrivnitrg 18

11 2.9. H - L _ T7T 6! I stedet for antallet af holdopstillinger kan man vrere interesseret i blot at bestemme antallet afforskellige hold (gr.rpper pä 11 personer), der kan udtages af de 17 spillere, der er til rädighed. Dette antal kan vi bestemme udfra (2.8). Lad os benytte betegnelsen K for antallet af forskellige hold. Hver gang vi har et hold, kan de 11 spillere opstilles pä 11! forsketlige mäder, jf. (2.5). Vi kan derfor beregne det samlede antal holdopstillinger pä en anden mäde, end vi gjorde i (2.8), nemlig som H - K.11! Ved sammenligning med (2.8) finder vi da, at 2.g. Da 6-17 K--U- 6!.ILT II ser vi, at (2.9) ogsä kan skrives pä formen K_ T7T (r7-rr)!. 11! Indfsrer vi betegnelsen en n-mengde for en mengde me d n-elementer kan vi sige, at (2.10) angiver hvor mange forskellige 1l-detmrengder der er i en L 7 -mnngde. Tallet K i (2.10) betegnes normalt med K17,1r, da det udtrykker antallet af. 1l-delmrengder af en 17-mnngde, dvs. Kn Jr 17T (r7-rr)!. 11! Ovenstäende lader sig let generalisere til: Antallet af forskellige q-delmrengder af. enn-mrengde er Kr,n Sretter man q - 0 eller q - n i 2* (2.1I) fär man symbolet 0! i brokens t9

12 nrevner. Tillregger man 0! vrrdien 1, bliv er (2.1 1) ogsä korrekt for e : 0 og for q - n. I det folgende vil tallene Kn,n blive omtalt som binomialkoefficienter. Der findes tabeller over Kn,q.Af pladshensyn angiver man ikke altid Kr,n for alle vrerdier af q.yed brug af tabellen kan man da benytte, at der grelder Kn,n : Kn,n-q (2.I2) indses ved direkte udregning: Kn,n-n n! ("-q)i' ("-("-q))i : Kn,q Ovelse. Find enten ved beregning eller opslag ien tabel tallene Kts.e og Kts,z Multiplikationsprincippet og formlen for Kr,n kan anvendes til beregning af antallet af valgmuligheder i mere komplicerede tilfrelde. En krukke indeholder 10 kugler, hvoraf 4 er sorte og 6 er hvide. Et eksperiment gär ud pä at tage en händfuld med 3 kugler op af krukken, og se pä farvesammensretningen. Hvis kuglerne bortset fra farve isvrigt er ens, kan vi gä ud fra, zt enhver kombination af 3 kugler har Fig samme sandsynlighed for at blive udtaget. Vi kan med andre ord betragte sandsynlighedsfeltet knyttet til eksperimentet som et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Et udfald er en delmrengde pä 3 kugler, säledes at udfaldsrummet kan karakteriseres som 3-delmrengderne af en 1O-mrengde. Antallet af mulige udfald er da ifolge (2.11) Krc3- L20 20

13 Sandsynligheden for et udfald z bliver P (") L :- 120 Lad os betragte hrendelserne H3: {ulu bestär af.3 sortekugler} Hz: {u I u bestär af 2 sorte og I hvid} Vi vil beregne sandsynlighederne P(H) og P(H). Hertil har vi brug for at kende antallet af udfald i hver af de to hrendelser (antal gunstige udfald). Et udfald tilhsrer hrendelsen H.,hvis alle kuglerne er sorte. Da der ialt er 4 sorte kugler i krukken kan vi udta ge3 af dem PäK+,t - 4 mäder. Der er säledes 4 gunstige udfald for hrendelsen H z, d.v.s. P(Hz) - {-o't :L Kro3 I20 Et udfald tl\hsrer Hzsäfremt2kugler er sorte og 1 er hvid. Da vi af de 4 sorte kugler i krukken kan udtage 2 pä K4,zmäder, og af de 6 hvide kan udtage 1 pä K6,1 mäder, folger det af multiplikationsprincippet, at 2 sorte og t hvid i.an udtages pä ialt K+,2'K6,1 : 36 mäder. Heraf folger da, at P(H) W Avelse. En krukke indeholder 10 kugler, hvoraf 3 er rade, resten blä. Ved et eksperiment udtages en händfuld pä tre kugler. Beregn sandsynligheden for hver af nedenstäende handelser: Ho: {u Ht: {u H2: {u Hs: {u u indeholder 0 rode) u indeholder 1 radj u indeholder 2 rade\ u indeholder 3 rade\ lllustr6r de fundne sandsynligheder med et stolpediagram: 2T

14 r i r f i i l, l i i l r, r i ' : t : ' ' : l 1 ] t r ' ; _ l r ' i r,, l i :. -.., f + : - +. t. - r 1 L r. t r,, l l i f I r l l,, i l]l Il::! t f 1 1 l '! i it I illl.l,li tl ; : l : r 1 J + 't-+i ii i i t: i ;J i l i. r i. ' + i i l r i + i : l : i l i i i l i l l i i r l ' i i i r. t ;! t t, t l llril iiillrill?t+ r}-i r'* i t r : t t i i : : l : i, l ' : : '! t r l i i i ffi l : 1 l l ' i : t+:-ilr;lt ' 1 1 ' i f i i r T ' 1 t,, l ' l r i r t r r l t i : i r : r l r t i i t l. ' i ::llt:r'1 r'j;' ii tisi ill:j., : 1 "! i -# I ' l t t ii:i 't:fü iiiiijn f t I l 1 iirlt : t i. t, { '. :. i L ; : ; + _. 1 I f 1, i I, i, + : l i I 'l I : : I I ;,:1 : ' I I : ll. i, t.. - t r r,. l r. : ilf:il,l:1r : 1;:[1:rl illii,.;' :lflilrr$n'sfliir : l r ' 1 : ' l iliitrl', 7'.l* lf ii [Tl11.'fii,t : : i ' f ' : r : i 1 : i ' l :, i ' 1 t i : r 1 'ri-lt-+i :,i:li:r: ;;iili+-- i : i t ' r '. :iiliii,: i riilii j r ;: i{:ll: iiirl'fl. --!n;+-+'.i " " - l r : 1 r.ii,iir:l :-:.l l i ;.1.:.- ir.i;;iii t : ", ' t J ',::Jl;,1 alif-r,jii,i;i :.;f'# iril'.ir r.1...ii-_lt:;.- I, I :i:l;t: J, ii'il:,1:jti.i- ;.:.;.J l+-.:-r I;i,;, i:i,-l::!1..:l:i: j,:l:..;t ;"1 r: 1,, 't-: :1, i:-j;:l i. lri,.i',,lll 1 " 1 a*\atrq rl Fig Ovelse. En granthandler modtager appelsiner i kasser med 30 stk. Far han stiller kassen ind i butikken plejer han at pakke 4 appelsiner ud af papiret og se efter om de er i orden. Hvis han finder en eller flere därlige appelsiner blandt disse 4 gär han hele kassen igennem og smider de därlige vek fsr kassen kommer ind i butikken. Hvad er sandsynligheden for, at en kasse med 5 därlige appelsiner islipper gennem gronthandlerens kontrol? Samme sporgsmäl for en kasse, der kun indeholder 2 därlige appelsiner. s 3. BTNOMTALFORDELTNG I starten af $2 betragtede vi en spilleautomat. Vi kan opfatte spillet pä denne som tre tllfnldige eksperimenter, der udfore s uffiengigt af hinanden: 1. eksperiment: hjul I srettes i gang og stopper 2. eksperiment: hjul II srettes i gang og stopper 3. eksperiment: hjul III srettes i gang og stopper Lad os betragte folgende hrendelser, horende til hver sit af disse tre eksperimenter: 22 H i hjul I viser kirsebrer Hz: hjul II viser klokke H z: hjul III vis er blomme

15 Sandsynligheden for disse hrendelser er fif. tabellen side 15): P(Ht):* P(Hz):* P(Hz)-5 20 Den hrendelse FI, vi betragtede i (2.2) kan karakteriseresom hrendel' sesforlgbet H- (H rflzliz) Vi fandt i (2.3), at sandsynligheden for H var 3.1, P\H) ffi- For at finde denne sandsynlighed benyttede vi multiplikationsprincippet. Antallet af" mulige udfald er 20'20' , og antallet af gunstige udfald er 7'3' Skriver vi i (3.1) hvordan broken faktisk er fremkommet, finder vi P(H) : n - P(H).P(H).P(Hz) Sandsynligheden for H kan altsä bestemmes ved at multiplicere sandsynlighederne for H 1, Hz oeh z. Dette er noget, der grelder generelt, när. man udforer flere tilfreldige eksperimenter uaftrrengigt af hinanden: 3.2. När en rrekke tilfreldige eksperimenter udfores uafhrengigt af hinanden, kan sandsynligheden for et bestemt hrendelsesforlsb findes ved at multiplicere sandsynlighederne for de enkelte hrendelser Ovelse. I et spil kastes forst en terning, dernest en mont. Hvad er sandsynligheden for, at terningen viser 5 eller 6 og monten viser krone? Ovenfor har vi betragtet situationer, hvor forskellige eksperimenter udfores efter hinanden. (3.2) kan naturligvis ogsä benyttes, när eksperimenterne er ens. I resten af. denne paragraf. skal vi udelukkende benytte (3.2) i situationer, hvor samme tilfrldige eksperiment udfores gentagne gange. 23

16 3.4. Eksempel. Lad os betragte kast med en terning. Lad H i terningen viser 6 Hz: terningen viser ulige. Der grelder äbenbart PQI) - Ll6 og PQI) - Il2. Vi kaster 2 gange med terningen. Sandsynligheden for hrendelsesforlsbet H- (Ht,Hz) er da P(H) : ä 1_ Med andre ord, sandsynligheden for at terningen viser 6 i forste kast og et ulige antal ojne i andet kast er "l.llz Ovelse. I starten af et spil LUDO skal man slä en sekser (eller globus) for at fä lov at flytte en brik ud. Til at begynde med har man tre slag ihver runde, indtil man har fäet sin forste brik ud. Hvad er sandsynligheden for at en bestemt spiller ikke fär nogen brik ud ispillets fsrste ru nde? Hvad er sandsynligheden for at spilleren ikke fär nogen brik ud de fo forste runder? I den situatior, vi betragtede i ovelse 3.5 er det naturligt at omtale det at slä en sekser som held, og det, dt slä L,2,3,4 eller 5 som uheld. Vi skal i det folgende beskreftige os mere med tilsvarende situationer, hvor udfaldsrummet er opdelt i to hrendelser H og H, kaldet held og uheld. Indfsrer vi betegnelsenp for P (H) fär vi, da H og H er komplementrere hrendelser, at 3.6. p - P(H) os I-p-P(H) Baggrunden for det folgende er altsä et eller andet tilfreldigt eksperiment, hvor vi specielt er interesseret i en bestemt hrendelse H - held og dennes komplementnrehrendelse 11 - uheld. Vi skal beskreftige os med gentagne udforelser af dette eksperiment, og det vi stiler mod er atblive i stand til at besvare sporgsmäl som f.eks. hvad sandsynligheden er for at vrere heldig mindst 5 gange, hvis eksperimentet udfores L0 gange efter hinanden. 24

17 /J 3.7. Avelse. Ved spil pä en rouletter udfaldsrummettalmangden U - {0,1,2,g,...,35,36}. En spiller satser 10 gange i trak pä tallet 19. a) Hvad er sandsynligheden for at han er uheldig hver gang? b) Hvad er sandsynligheden for at han er heldig iforste spil og uheldig ide 9 andre. c) Hvad er sandsynligheden for at han er heldig netop en gang ud af de 'l 0. Som eksempel pä gentagne udforelser af et tilfreldigt eksperiment vil vi se pä udfyldning af en tipskupon. Vi ant ager at udfyldningen sker pä tilfreldig mäde, altsä uden kendskab til hvor gode de enkelte hold er. Sandsynligheden for at en bestemt kamp tippes rigtigt er da I13. Tipning af en rrekke (13 kampe) sker ved 13 udforelser af samme tilfreldige eksperiment tipning af en enkelt kamp. Hrendelserne held og uheld er H: H: kampen tippes rigtigt kampen tippes forkert og sandsynligheden for disse hrendelser er P(H) _ 1 3 P(H) ') :.t J Det interessante set ud fra tipperens synspunkt er antallet af rigtige kampe i en rrekke, d.v.s. antal gange hrendelsen H forekommer. Som en kort betegnelse for dette antal vil vi benytte bogstavetx. Skriver vi f.eks. X - 7, mener vi at antallet af rigtigt tippede kampe (antal held) er 7. Begrundelsen for at indfore denne notation er bl.a., zt vi sä fär en kortfattet skrivemäde for sandsynligheder: 3.9. P(X-0) - P(X-1) - P(X - 13) - sandsynligheden for 0 rigtige kampe sandsynligheden for I rigtig kamp sandsynligheden for 13 rigtige kampe Vi vil prove at bestemme disse sandsynligheder, og starter med sandsynligheden P(X _ 0). Hvis X - 0 er alle kampe tippet forkert, d.v.s. hrendelsen H forekommer 13 gange. Da P(tr) :? fär vi iflg. (3.2), zt P(X:O)_ z.z.z.z.z.2.z.z.z.z.z.z.z-(z\r \ 3 / 25

18 Vi forsretter me d X - I. Der er 13 forskellige hrendelsesforlsb med netop I rigtigt tippet kamp (1 gange H og 12 gange 0, (H, (H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n, U, n1 H, H, H, H, H, H, rt, n, n7 (H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, H, n) Sandsynligheden for hvert af disse hrendelsesforlsb er + (?)" sä alt i alt fär vi P(x -r) - 13'+(?)" De resterende 12 sandsynligheder kan i princippet findes pä samme mäde som vi fandtp(x-l). Det er imidlertid etmojsommeligt arbejde at opskrive alle de mulige hrendelsesforlsb; lad os se, om vi ikke kan slippe lidt nemmere om ved det (H fl,n,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h) QI,H,H,H,H,H,H,H II,H,H,H,N1 (H,H,n fl,u,h,h,h,h,h fl,h,h) I (3.9) er vist tre forskellige hrendelsesforlsb svarende til X - 2.DaH forekommer 2 gange og H II gange, er sandsynligheden for hvert af disse lig med (+)' (?)" For at bestemme den samlede sandsynlighed P (X : 2) Skal vi regne ud, hvor mange forskellige hrendelsesforlob, der svarer tll X - 2. Et sädant hrendelsesforlsb fremkommer ved, at vi i et skema som (3.9) udvrelg er 2 pladser af de 13 og skriver H her. Pä de resterende 11 pladser skrives F1. Af (2.1L) tolger, at dette valg kan foretages pä Kn,2 forskellige mäder. Der findes altsä Kr3,z forskellige hrendelsesforlsb svarende tll X - 2, og vi fär derfor 26 P(x : z) : Kr3,2. (+)'. (?)'1-78- (+)'. (?)"

19 Ved at argumentere pä tilsvarende mäde kan man finde de ovrige sandsynligheder. Det samlede resultat bliver P(X - 0) : Kr3,o (+)' '(?)" P(X- 1) : Kr3,r (+)t (?)" P(X - 2) : K"!.3,2 ' (+)' '(?)" P(X : 3) : Kr3,3 (+)' (?)to P(X - 4) : Kr3,4 (+)- '(?)n P(x - s) : Kr3,s (+)t (3)t P(X : 6) : Kr3,6 (+)t (?)' P(X : 7) : Kr3,7 (+)t (?)' P(x : s) : Kr3,8 (+)t (3)t P(X : 9) : Kr3,s (+)t (?)^ P(X _ 10) : KL3,1'' (+)to'(?)t P(X - 11) : Kr3,jr' (+)tt'(?)' P(X - LZ) : Kr3,1.z' (+)t''(?)t P(X : 13) : Kr3,r3' (+)t''(?)' Generelt kan vi skrive sandsynligheden fo, j rigtige: P(X - j) : K13,i -( +)' (?)"' Tallene kan beregnes ved hjrelp af regnemaskine og en tabel over binomialkoefticienterne Ktt,j. Resultatet af beregningen er vist med stolpediagrammet pä fig. 3.L. 27

20 Sandsynlighedsfeltet knyttet til udfyldningen af tipskuponen som beskrevet i (3.10) er et eksempel pä en säkaldt binomialfordeling. Binomialfordelingen angiver sandsynlighederne for forekomsten af en bestemt hrendelse - primrerhrendelsen - ved et antal udfsrelser af det pägreldende eksperiment. Definitionen pä en binomialfordeling er Ved en binomialfordeling af- lrengde n og med primßrsandsynlighed p forstäs et sandsynlighedsfelt (U,Pr), hvor og hvor Un - {0,1,2,3)..., n} P"(X - i) - Kn,j'pi '(1 -p)"-i, j - 0,1,,2,..., n Tallet P r(x - j) angiver sandsynligheden for, at primrerhrendelsen vil forekomme j gange ved n gentagne udfsrelser af eksperimentet Eksempel. Vi betragter 10 kast med en ternirg, og vil finde sandsynligheden for, at hrendelsen H: at slä en sekser forekommer 4 gange. 28

21 Sandsynlighederne for forekomsten af seksere er binomialfordelt med lnngde n _ 10 og primrersandsynlighed p - I I 6. Sandsynligheden for 4 seksere er derfor iflg. (3.11) prc(x - 4) : Kr0,4 (ä)' (ä)u : zr0 (ä)- (;)u: 0,0s Ovelse.. ' t 1 Beregn sandsynligheden for ved 10 kast med en mont at fä 4 krone. Som vi har set kan sandsynlighederne i en binomialfordeling beregnes udfra lrengden n og primrersandsynligheden p. Der er imidlertid ogsä udarbejdet tabeller over binomialfordelingerne. Heri er normalt ikke angivet Pr(X - j), men derimod de kumulerede sandsynligheder P"(X =i), dvs. sandsynlighederne for, at primrerhrendelserne forekomm er hojst j gange ved n udfsrelser af eksperimentet. Eksempelvis er säledes P,(X=4): P,(X:0) + P,(X:l) + P,(X-z) * P,Q{-3) + P,6:4) For n - 7 og p - 0,5 finder man i en tabel, at Heraf kan P t6-4) findes, idet P7(X=4)-0,7734 Pr6 S 3) - 0,5000 PilX-4) : Pt6=4) - P76=3)- 0,7734 0,5000-0,2734 Find ved brug af en tabel over binomialfordelingen fl : 8 og p : 1/3 sandsynlighederne PaV = 4), pa(x = 3), pa(x = 1), pa(x - 4), Pa(1 <X = 4) * * * * * 29

22 Pt(X = i) Pt(x - j) ,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734 0,9375 0,9922 1,0000 0,0078 0,0547 O,T64I 0,2734 0,2734 O,T64I 0,0547 0,0078 Tabellen ovenfor angiver binomialfordelingen svarende til n - 7 og P - 0,5' Vi har tidligere illustreret sandsynlighedsfordelinger ved at tegne et stolpediagram. Tilsvarende kan de kumulerede sandsynligheder illustreres ved at man tegner et trappediagram. Tabellen ovenfor er illustreret pä fig Fig Ovelse. En symmetrisk terning kastes 5 gange. Find sandsynlighederne for 0 seksere, 1 sekser, 2 seksere,., 5 seksere. lllustrer de fundne sandsynligheder med et stolpediagram. lllustrer de kumulerede sandsynligheder med et trappediagram. 30

23 Vi vil afslutte denne paragraf med at indfsre en storrelse, der kaldes middelvrerdien for en binomialfordeling Eksempel. Ved kast med en symmetrisk mont betragtes hrendelsen H: msnten viser krone Sä er P(H) - 1lz, ogvi kan beregne sandsynlighederne for, at krone forekommer 0,I,2 eller 3 gange i en serie pä 3 kast ved hjrelp af (3.11) med p - 7lz og n - 5. Lader vi X betegne antal krone fär vi P(X-0)- _ 1 (+)' 8 P(X-1)-3-3 (+)' 8 P(X-2)-3-3 (+)' 8 P(X-3)- - 1 (+)' 8 t), 5'r Lad os trenke os, at vi foretager 100 udforelser af eksperimentet >3 kast med en msnt<<. Resultaterne kan trenkes opskrevet i et skema: eksperiment nr. udfald antal krone kr pl pl kr kr pl pl pl pl pl kr kr pl pl kr I Observationssrettet bestäende af tallene i hojre kolonne kan vi behandle som vi tidligere har set (Matematik I, kap I), og f.eks. bestemme hyppighed og frekvens. Lad os forestille os, at fordelingen blev: 3r

24 observation x hyppighed frekvens "f (antal krone) 0 I 2 3 n 0, , , ,r2 i tt, Vi kan nu beregne observationssrettets middeltal (det gennemsnitlige antal krone). Middeltallet bliver, jf Matematik I side 14: Z*'f - 0'0,11 + I'0,37 + 2'0,40 + 3'0,12-1,53 De frekvenser, der indgär i udtrykket her, mä v&re omtrent lig med de sandsynligheder, vi har beregnet i eksempel F.eks. er sandsynligheden for hrendelsen >>2 kroneu lig med den forventede frekvens af >2 krone<< ved et stort antal udforelser af eksperimentet. Vi kan säledes, inden vi overhovedet giver os til at udfore eksperimentet >3 kast med en mont<<, pä forhänd beregne det gennemsnitlige antal krone vi vil forvente. Benytter vi tallene i eksempel 3.16 finder vi dette tal til 0.Pz(X:O) + l.pe(x:i) + 2'Pz(X:2) + 3'Pz(X:3) :oä*1;.2;.3 *:#:r,so Vi bemrerker, at dette forventede middeltal kan beregnes alene udfra kendskab til hvilken binomialfordeling, man har med at gorc i den aktuelle situation. Pä baggrund af dette vil vi indfore et tal, der kaldes middelvrerdien af en binomialfordeling : Ved middelvrerdien for en binomialfordeling af lrengde n, forstäs tallet p givet ved s LL: ^a j'p"(x -/) i:0-0 'P,Qf -0)+ I'P,(X:1)+...*n'Pn(X -n) 32 Her er talle ne P n6 -j) de sandsynligheder, der hsrer til den pägreldende binomialfordeling, jf. definition 3.LI.

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 9. Sandsynlighedsregning Hvad er den typiske størrelse af et nittehoved? 9. Statistik og sandsynlighedsregning Indhold 9.0 Indledning

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

Priser for en ramme: Lister 10 k Net,. Di\,terse 1,50 k

Priser for en ramme: Lister 10 k Net,. Di\,terse 1,50 k ::: 9. b vil i en emneuge fremstille papir. Til fremstillingen vil de bruge trerammer, de selv samler. Priser for en ramme: Lister 10 k Net,. Di\,terse 1,50 k l.ttl Beregn prisen for en ramme. ; Rammen

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

599 n" Golf. f!-.41. t!,e] Lis vil spille golf. Det koster 750 kr. i kontingent pr. halvir. Beregn Lis' irlige kontingent. ti,il

599 n Golf. f!-.41. t!,e] Lis vil spille golf. Det koster 750 kr. i kontingent pr. halvir. Beregn Lis' irlige kontingent. ti,il Golf Lis vil spille golf. Det koster 750 kr. i kontingent pr. halvir. ti,il Beregn Lis' irlige kontingent. l.-7.2 ) Beregn den minedlige udgift til kontingent. 599 n" Priser i Golfshoppen. Lis skal bruge

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder?

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO. Kan det virkelig passe?

Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO. Kan det virkelig passe? Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO Kan det virkelig passe? INFA 2006 Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO Kan det virkelig passe? Faglige udfordringer med løsninger INFA 2006 Seneste publikationer af samme

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993.

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Københavns Universitet Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Opgave 1 (50%) Det bemærkes, at en række af nedenstående spørgsmål kan besvares uafuængigt af de Øvrige spørgsmål (resultaterne,

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X. Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført

Læs mere

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Hypotesetest s og spørgeskemaer Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Kumuleret sandsynlighed 1 0.9 0.8

Læs mere

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A)

Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Opgave 1 I nedenstående tabel ses resultaterne af samtlige hjerteklapoperationer i 007-08 ved Odense Universitetshospital (OUH) sammenlignet

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

Kapitel 2: Statistik og Sandsynlighed

Kapitel 2: Statistik og Sandsynlighed Kapitel : Statistik og Sandsynlighed.1 Middelværdi og spredning Hvis man foretager eksperimenter i laboratoriet eller går ud og gør observationer i naturen eller samfundet, vil resultaterne af disse eksperimenter

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte

Læs mere

c) Finn Eriksen, som blev valgt for 2 ttr i2012, har meddelt, at han onsker at stoppe som bestyrelsesmedlem.

c) Finn Eriksen, som blev valgt for 2 ttr i2012, har meddelt, at han onsker at stoppe som bestyrelsesmedlem. .'l.ii-'-111, I I ifl 1'jj'1 11,i1 i rjrl ii,!, Referat af generalforsamli ng 25. Novem be r 2013 Dagsorden 1) Valg af dirigent. 2) Formandens beretning om foreningens virksomhed i det forlsbne ir 3) Fremleggelse

Læs mere

ffii; 'r,llti+g-t**-;j,' ,*i':,;'_ii,-,r..,,i l:. ',, ,r,r.,_,.i ;; :r,,* j, r.';i';*:ti..ni ', - -,=-=". i.,.,-..'.'...:.',...'.].. . ' "-"..

ffii; 'r,llti+g-t**-;j,' ,*i':,;'_ii,-,r..,,i l:. ',, ,r,r.,_,.i ;; :r,,* j, r.';i';*:ti..ni ', - -,=-=. i.,.,-..'.'...:.',...'.].. . ' -.. i'..,l E @. F # t{ s. ' "-"..;**-:; '"t. i.,.,-..'.'...:.',...'.]..,art-.t" ',, '' 'r,llti+g-t**-;j,',r,r.,_,.i ;; :r,,* j, ; r.';i';*:ti..ni ', - -,=-=". ffii;,*i':,;'_ii,-,r..,,i l:. Julie skal flytte

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5

Læs mere

I'W. irlil. tj G',,' Vekselstrommen i vore boliger. l&'

I'W. irlil. tj G',,' Vekselstrommen i vore boliger. l&' ( Aff bade Det gir Men ledn er de alle r Den til r krer ogn ver i Billed ind i et Den gv og me Vekselstrommen i vore boliger Normale stikkontakter har en spending ph220 voit. I de fleste moderne boliger

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere