Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
|
|
- Maja Mathiasen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste moderne matematiske afhandling som menigmand kender af omtale. Dens resultater er af populærjournalistiken blevet tolket som "matematikkens sammenbrud", - ja, som "den menneskelige tankes fallit". Gödel viser først at der i enhver matematisk teori, som omfatter aritmetikken, findes udsagn som hverken kan bevises eller modbevises. Hvis et sådant, eller dets negation, skal bevises, må der føjes flere aksiomer til teorien. Der er intet mærkeligt i dette. En smule overraskende er måske nok Gödel's andet resultat: for en teori som omfatter aritmetikken kan et bevis for at den er modsigelsesfri ikke formaliseres indenfor teorien selv. Der skal altså flere aksiomer til for at bevise at teorien er modsigelsesfri end der er i teorien selv. Men selv om man havde et bevis for at teorien er modsigelsesfri, som var formaliseret indenfor teorien selv, ville det ikke uden videre bevise at teorien er modsigelsesfri. Thi hvis der er en modsigelse i teorien, kan ethvert udsagn jo bevises (se...), og dermed også udsagnet "teorien er modsigelsesfri". Et bevis for at teorien er modsigelsesfri har kun værdi, hvis der kun gøres brug af helt harmløse aksiomer, dvs. aksiomer af endelig karakter. At teorien kan bevises at være modsigelsesfri, hvis man gør brug af flere aksiomer end der er i teorien, er Gentzen's bevis et eksempel på (...). Gödel's afhandling er på 26 sider og har 4 afsnit. Vi skitserer indholdet af hver af disse, og til sidst skitserer vi beviset for Church s uafgørbarhedssætning. 1 er den citerede indledning. Gödel nævner at det udsagn han vil konstruere, som hverken kan bevises eller modbevises, er inspireret af Richard's paradoks. Dette paradoks (Richard, 1905) kan formuleres således: Vi ordner alle sproglige udsagn, hvori der indgår netop eet (variabelt) naturlige tal n, på rad og række (efter et leksikografisk princip). Det k-te udsagn betegnes E k (n). Vi betragter nu udsagnet "E n (n) er falsk". Da dette er et sprogligt udsagn, hvori der indgår netop eet (variabelt) naturlige tal n, må det være blandt E k -erne. Lad os antage at det har nummer q, altså E q (n) = "E n (n) er falsk". Men heraf følger (for n = q) at hvis E q (q) er sand er E q (q) falsk, og omvendt. Paradoksaliteten beror på, at i det naturlige sprog findes der ikke et sandhedsbegreb således at ethvert udsagn kan tildeles en sandhedsværdi sand/
2 falsk (se tredie bog,...). I 2 sættes det formale begrebsapparat op, og Gödel beviser at "i en teori som omfatter aritmetikken og som er ω-modsigelsesfri (se nedenfor), findes der et udsagn som hverken kan bevises eller modbevises". 2 Beviset føres ved at aritmetisere metamatematikken: enhver formal term, ethvert formalt udsagn og ethvert bevis tildeles et naturligt tal, herved kan ethvert metamatematisk udsagn omformes til et formalt aritmetisk udsagn. Gödel giver hvert af tegnene i den formale teori et nummer (som er et naturligt tal). Enhver tegnstreng, altså specielt enhver term og ethvert udsagn, kun nu tildeles et naturligt tal, nemlig 2 n 1 3 n 2 5 n 3 7 n 4 11 n 5... (k-te primtal) n k, hvis tegnstrengen består af k tegn, og det første tegn har nummer n 1, det andet tegn har nummer n 2, osv. Et naturligt tal n er ikke nødvendigvis et Gödelnummer, men hvis det er et sådant, vil vi betegne den tilsvarende tegnstreng G n. Tilsvarende kan ethvert bevis, som jo er en følge af udsagn, tildeles et nummer. Alle beviser kan opstilles på rad og række ved hjælp af et leksikografisk princip. Gödelnummeret til det k-te bevis betegnes B k. Gödel kalder en talteoretisk relation R(x 1,..., x n ) (x 1,..., x n naturlige tal) rekursiv, hvis den kan dannes ved en særlig iterativ procedure. I årene fremkom der forskellige forslag til en definition af begrebet effektiv beregnelighed for en talteoretisk relation R(x 1,..., x n ). Dvs. en regneprocedure ved hjælp af hvilken man, for et givet sæt (x 1,..., x n ) af naturlige tal, kan afgøre om udsagnet R(x 1,..., x n ) er sandt eller falsk. Bl.a. generel rekursiv (Gödel, 1934), λ-definerbar (Church og Kleene, ) og Turing-beregnelig (Turing, l936). Det viste sig at disse definitioner er ensbetydende. Dette førte Church til at fremsætte den tese at "alle tilstrækkelig rummelige definitioner af effektiv beregnelighed er ensbetydende". En regneprocedure udformet som et computerprogram, i et tilstrækkelig rummeligt computersprog, er altså ensbetydende med disse definitioner. En relation som er rekursiv i Gödel's forstand kaldes idag simpel rekursiv. Gödel beviser at for enhver rekursiv relation R(x 1,..., x n ), findes et formalt udsagn r(x 1,..., x n ) således at a. (R(x 1,..., x n ) er sand) (r(x 1,..., x n ) er et teorem), b. (R(x 1,..., x n ) er falsk) ( r(x 1,..., x n ) er et teorem), her skal vi strengt taget i r(x 1,..., x n ) erstatte x 1,..., x n med deres Gödelnumre. Alle udsagn p(x), med een variabel x som gennemløber de naturlige tal, kan opstilles på rad og række ved hjælp af et leksikografisk princip. Gödel kalder et sådant udsagn "ein Klassenzeichen". Det n-te udsagn betegnes R(n). Funk-
3 tionen "n Gödelnummeret af R(n)" kan defineres i den formale teori. Udsagnet R(n)(m) betegnes [R(n):m]. Relationen R(m, n) = "B m er ikke et bevis for [R(n):n]" er rekursiv, derfor findes der et formalt udsagn r(m, n) således at a. "B m er ikke et bevis for [R(n):n]" r(m, n) er et teorem b. "B m er et bevis for [R(n):n]" r(m, n) er et teorem. 3 Udsagnet " m: r(m, n)" har een fri variabel, og er derfor R(q) for et naturligt tal q. Altså [R(q):n] = " m: r(m, n)", og derfor [R(q):q] = " m: r(m, q)". Gödel kalder en teori ω-modsigelsesfri, hvis der ikke findes et udsagn p(n) således at 1. ( n IN: p(n)) er et teorem og 2. p(n) er et teorem for ethvert n IN (husk at hvis " n IN: p(n)" er et teorem er p(n) et teorem for ethvert n, men det omvendte gælder ikke, jvf. logisk aksiom... side...). Hvis teorien er ω-modsigelsesfri er den modsigelsesfri. Thi hvis den var kontradiktorisk, ville ethvert formalt udsagn jo være et teorem, derfor ville den ikke kunne være ω-modsigelsesfri. Af det ovenstående følger nu: 1. Hvis teorien er modsigelsesfri kan [R(q):q] ikke bevises. Bevis: Hvis [R(q): q] var et teorem, ville findes et m' således at B m' var et bevis for [R(q):q]. Derfor ville, ifølge b, r(m', q) være et teorem, men dette strider mod at " m: r(m, q)" er et teorem. 2. Hvis teorien er ω-modsigelsesfri kan [R(q):q] ikke bevises. Bevis: Hvis teorien er ω-modsigelsesfri er den modsigelsesfri. Derfor kan, ifølge 1., [R(q): q] ikke bevises, dvs. for ethvert m er Bm ikke et bevis for [R(q):q]. Ifølge a er r(m, q) derfor et teorem for ethvert m. Hvis nu [R(q):q] kunne bevises, ville ( m: r(m, q)) være et teorem, men dette strider imod at teorien er ω- modsigelsesfri. Hvis teorien er modsigelsesfri kan " m: r(m, q)" altså ikke bevises, men r(m, q) er ikke destomindre et teorem for ethvert m. Hvis vi føjer " ( m: r(m, q))" til teorien som et nyt aksiom, får vi en teori som er stadig er modsigelsesfri (vis dette!), men ikke ω-modsigelsesfri, idet det både gælder at ( m: r(m, q)) er et teorem og at r(m, q) er et teorem for ethvert m. For at bevise at [R(q):q] ikke kan bevises, forudsætter Gödel at teorien er modsigelsesfri, men for at bevise at [R(q):q] ikke kan bevises, behøver Gödel en kraftigere forudsætning, nemlig at teorien er ω-modsigelsesfri. I 1936 viste Rosser at man kan nøjes med at forudsætte at teorien er modsigelsesfri.
4 4 I 3 viser Gödel at enhver rekursiv relation er aritmetisk, dvs. den kan dannes alene ved hjælp af aritmetikkens tegn. Det følger heraf at i udsagnet " m: r(m, q)", kan r(m, q) erstattes med et aritmetisk udsagn s(m), således at hvis " m: r(m, q)" kan bevises da kan også " m: s(m)" bevises, og omvendt. Hvis altså teorien (som omfatter aritmetikken) er ω-modsigelsesfri, findes et aritmetisk udsagn som hverken kan bevises eller modbevises. Desuden viser Gödel at udsagnet " m: r(m, q)", kan erstattes med et udsagn " x: F(x)" i den rene prædikat kalkyle (se...), således at hvis " m: r(m, q)" kan bevises da kan også " x: F(x)" bevises, og omvendt. Hvis altså teorien (som omfatter aritmetikken) er ω-modsigelsesfri, findes et udsagn i den rene prædikat kalkyle som hverken kan bevises eller modbevises. I 4 skitseres beviset til "ein merkwürdiges Resultat". Nemlig at "for en teori som omfatter aritmetikken kan et bevis for at den er modsigelsesfri ikke formaliseres indenfor teorien selv". Et komplet bevis er langt og indviklet - det blev udarbejdet af Hilbert og Bernay i At "teorien er modsigelsesfri" betyder at "der findes et udsagn som ikke kan bevises". Dette metamatematiske udsagn kan formaliseres som " k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k". Gödel argumenterer nu for at beviset i 3, for at "hvis teorien er modsigelsesfri da kan udsagnet [R(q):q] ikke bevises", kan omformes til et formalt aritmetisk bevis. Udsagnet "( k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k) ( m: B m bevis for [R(q):q])" er altså et teorem. Men da det allerede er bevist at hvis teorien er modsigelsesfri da kan udsagnet [R(q):q] ikke bevises, følger heraf at præmissen " k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k" ikke kan bevises hvis teorien er modsigelsesfri. Til sidst nævner Gödel at forudsætningen i 3, at teorien er ω-modsigelsesfri, nu kan erstattes med "at teorien er kontradiktorisk kan ikke bevises i teorien selv", thi da er udsagnet " k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k" et eksempel på et udsagn som hverken kan bevises eller modbevises. I 1936 beviste Church at enhver teori, som omfatter aritmetikken eller den rene prædikat kalkyle, er uafgørbar. Dvs. der findes ikke en effektiv beregningsprocedure, ved hjælp af hvilken man kan afgøre om et givet udsagn har et bevis eller ej. I tilfældet hvor teorien omfatter aritmetikken, går Church således til værks: Alle computerprogrammer som udfører beregninger med naturlige tal, således at såvel input som (evt.) output er ét tal, opstilles på rad og række ved hjælp af et leksikografisk ordningsprincip. Det k-te program betegnes P k. Hvis tallet m er input i P k, kan der ske 1. programmet går ikke igang, 2. programmet går igang men kører i det uendelige, 3. programmet går igang og
5 standser efter endelig mange udregninger, output er et tal n. Lad udsagnet T(k, m, n) være givet ved: T(k, m, n) er sandt hvis og kun hvis 3. gælder, og lad funktionen t: IN IN være givet ved t(m) = n + 1 hvis T(m, m, n) er sandt, og t(m) = 0 hvis der ikke findes noget n således at T(m, m, n) er sandt. 5 Denne funktion er ikke beregnelig. Bevis: Hvis t var beregnelig, ville der findes et tal q således at P q beregner den, dvs. T(q, m, t(m)) ville være sandt for ethvert m. Specielt ville T(q, q, t(q)) være sandt. Men dette ville medføre at t(p) = t(p) + 1 (da n er entydigt bestemt ved k og m, hvis T(k, m, n) er sandt). Det følger umiddelbart heraf at det ikke, ved en beregnings-procedure, kan afgøres om udsagnet " n: T(m, m, n) er sandt" (med én variabel m) er sandt eller falsk. Ifølge et tidligere nævnt resultat af Gödel, findes et formalt udsagn r(m, n) således at a. T(m, m, n) er sandt r(m, n) er et teorem b. T(m, m, n) er falsk r(m, n) er et teorem, og af dette følger at ( n: T(m, m, n) er sandt) (( n: r(m, n)) er et teorem). Hvis teorien var både ω-modsigelsesfri og afgørbar, ville sandhedsværdien af udsagnet "( n: r(m, n)) er et teorem" (med én fri variabel m) være beregnelig. Og dette ville medføre at sandhedsværdien af udsagnet " n:t(m, m, n) er sandt" var beregnelig, men det har vi lige vist at den ikke er.
t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs mereUfuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereSelvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereThomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen. 7. marts 2005
Om Gödels sætning Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen 7. marts 2005 Resumé Gödels sætning er en af det 20. århundredes mest berømte matematiske sætninger. Den er kendt langt ud over de professionelle
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereBOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereFilosofisk logik og argumentationsteori. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet
Filosofisk logik og argumentationsteori Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet Nogle vigtige kendetegn på god videnskab rationalitet systematik éntydighed (klarhed) kontrollérbarhed
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereHvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?
Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereBeregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag
Beregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag Stig Andur Pedersen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 1 Matematikkens grundlagsproblemer Omkring år 1900 havde matematikken udviklet metoder
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereSikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet
Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal
Læs mereRaymond Queneau. Litteraturens grundlag
Raymond Queneau Litteraturens grundlag Efter at have overværet en forelæsning i Halle af Wiener (ikke Norbert, selvfølgelig) om Desargues og Pappus teoremer mumlede David Hilbert tænksomt, mens han ventede
Læs mereOpspaltning i primfaktorer
1 Opspaltning i primfaktorer Et program som kan undersøge om et tal er et primtal, eller finde hvilke primtal det er sammensat af, er det allerførste program enhver talentusiast laver. For den tid jo er
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Compute UNF foredrag, HCØ, 16. september 2014 (c_e)l[^ga=f]2 (F[_E_B])L[=A,_Ac]L[=E,_B,_E]- [E,B,E]2L[F,=B,=E]2 L[^F,C=F] Thomas Bolander, UNF, 16/9-2014
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mere1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!
1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereEksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation
Eksempel 2: Forløb med inddragelse af Læringsmål i forhold til Analyse af (dansk, engelsk, kult) 1. Hvad er (evt. udgangspunkt i model) 2. Argumenter kommer i bølger 3. Evt. argumenttyper 4. God Kobling:
Læs mereTalteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning
1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mereSyllogistik teoretisk set
Syllogistik teoretisk set Peter Øhrstrøm August 2009 Syllogistikken som den er overleveret til os kommer først og fremmest fra middelalderlogikken, som systematisk og pædagogisk bearbejdede Aristoteles
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Introduktion til Fuzzy logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereAalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem
Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:
Læs mereAksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Jørgen Ebbesen
"0" 1 "ƒ" 3 " " 5 " " 7 " " 9 "(" 11 ")" 13 Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger Jørgen Ebbesen Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Her kan man fx tage udgangspunkt i et eller flere eksempler
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMatematikkens fundament i krise
Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970
Læs mereP (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
Læs mereFormaliseringens grænser i matematik og logik
i løbet af 1900-tallet afmonterede mange af de klippefaste videnskabelige overbevisninger fra 1800-tallet og erstattede dem med nye, mere præcise, men også mere relativerende lovmæssigheder. Det viste
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereReeksamen i Diskret Matematik
Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereDen matematiske grundlagskrise 12. januar 2010. Søren Frejstrup Grav Petersen
Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010 Asger Haugstrup Helene Juncher Søren Frejstrup Grav Petersen Mikkel Nichlas Rauf Rasmus Sylvester Bryder Indhold 1 Problemformulering 2 2 Indledning 2 3 Logicisme
Læs mereTuring og den universelle maskine
Hilbert forestillede sig, undslipper ikke paradokserne: den fuldstændige formalisering er umulig. Reaktionerne var til at starte med stor forbløffelse. Logikkens og matematikkens fundamenter var pludselig
Læs mereProjekt 7.10 Uendelighed Hilberts hotel
Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel (Materialet i dette projekt er hentet fra Hvad er matematik? A, indledningen til
Læs mereLimitations in Formal Systems and Languages
Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer 2 (2003-ordning) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Fredag den 28. maj 2004, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (20%) En (r, k) kryds-graf er en orienteret graf
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereHjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996
Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet
Læs mereBanalitetens paradoks
MG- U D V I K L I N G - C e n t e r f o r s a m t a l e r, d e r v i r k e r E - m a i l : v r. m g u @ v i r k e r. d k w w w. v i r k e r. d k D e c e m b e r 2 0 1 2 Banalitetens paradoks Af Jonas Grønbæk
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereProgrammering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen
Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen
Læs mere5 hurtige til de voksne
16 Interview 5 hurtige til de voksne om intuitionisme Jingyu She og Maria Bekker-Nielsen Dunbar Hvad er det, du vil med matematik? Du vil gerne opbygge nogle modeller af et eller andet, som på en eller
Læs mereIntroduktion til prædikatlogik
Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereLogisk set. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet. Sokrates dialoger blev beskrevet af Platon ( f.kr.
Logisk set Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet Glimt af logikkens historie Sokrates dialoger blev beskrevet af Platon (427-347 f.kr.) logos dialog Aristoteles (384-322 f.kr) analytikken
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mere