Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931"

Transkript

1 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste moderne matematiske afhandling som menigmand kender af omtale. Dens resultater er af populærjournalistiken blevet tolket som "matematikkens sammenbrud", - ja, som "den menneskelige tankes fallit". Gödel viser først at der i enhver matematisk teori, som omfatter aritmetikken, findes udsagn som hverken kan bevises eller modbevises. Hvis et sådant, eller dets negation, skal bevises, må der føjes flere aksiomer til teorien. Der er intet mærkeligt i dette. En smule overraskende er måske nok Gödel's andet resultat: for en teori som omfatter aritmetikken kan et bevis for at den er modsigelsesfri ikke formaliseres indenfor teorien selv. Der skal altså flere aksiomer til for at bevise at teorien er modsigelsesfri end der er i teorien selv. Men selv om man havde et bevis for at teorien er modsigelsesfri, som var formaliseret indenfor teorien selv, ville det ikke uden videre bevise at teorien er modsigelsesfri. Thi hvis der er en modsigelse i teorien, kan ethvert udsagn jo bevises (se...), og dermed også udsagnet "teorien er modsigelsesfri". Et bevis for at teorien er modsigelsesfri har kun værdi, hvis der kun gøres brug af helt harmløse aksiomer, dvs. aksiomer af endelig karakter. At teorien kan bevises at være modsigelsesfri, hvis man gør brug af flere aksiomer end der er i teorien, er Gentzen's bevis et eksempel på (...). Gödel's afhandling er på 26 sider og har 4 afsnit. Vi skitserer indholdet af hver af disse, og til sidst skitserer vi beviset for Church s uafgørbarhedssætning. 1 er den citerede indledning. Gödel nævner at det udsagn han vil konstruere, som hverken kan bevises eller modbevises, er inspireret af Richard's paradoks. Dette paradoks (Richard, 1905) kan formuleres således: Vi ordner alle sproglige udsagn, hvori der indgår netop eet (variabelt) naturlige tal n, på rad og række (efter et leksikografisk princip). Det k-te udsagn betegnes E k (n). Vi betragter nu udsagnet "E n (n) er falsk". Da dette er et sprogligt udsagn, hvori der indgår netop eet (variabelt) naturlige tal n, må det være blandt E k -erne. Lad os antage at det har nummer q, altså E q (n) = "E n (n) er falsk". Men heraf følger (for n = q) at hvis E q (q) er sand er E q (q) falsk, og omvendt. Paradoksaliteten beror på, at i det naturlige sprog findes der ikke et sandhedsbegreb således at ethvert udsagn kan tildeles en sandhedsværdi sand/

2 falsk (se tredie bog,...). I 2 sættes det formale begrebsapparat op, og Gödel beviser at "i en teori som omfatter aritmetikken og som er ω-modsigelsesfri (se nedenfor), findes der et udsagn som hverken kan bevises eller modbevises". 2 Beviset føres ved at aritmetisere metamatematikken: enhver formal term, ethvert formalt udsagn og ethvert bevis tildeles et naturligt tal, herved kan ethvert metamatematisk udsagn omformes til et formalt aritmetisk udsagn. Gödel giver hvert af tegnene i den formale teori et nummer (som er et naturligt tal). Enhver tegnstreng, altså specielt enhver term og ethvert udsagn, kun nu tildeles et naturligt tal, nemlig 2 n 1 3 n 2 5 n 3 7 n 4 11 n 5... (k-te primtal) n k, hvis tegnstrengen består af k tegn, og det første tegn har nummer n 1, det andet tegn har nummer n 2, osv. Et naturligt tal n er ikke nødvendigvis et Gödelnummer, men hvis det er et sådant, vil vi betegne den tilsvarende tegnstreng G n. Tilsvarende kan ethvert bevis, som jo er en følge af udsagn, tildeles et nummer. Alle beviser kan opstilles på rad og række ved hjælp af et leksikografisk princip. Gödelnummeret til det k-te bevis betegnes B k. Gödel kalder en talteoretisk relation R(x 1,..., x n ) (x 1,..., x n naturlige tal) rekursiv, hvis den kan dannes ved en særlig iterativ procedure. I årene fremkom der forskellige forslag til en definition af begrebet effektiv beregnelighed for en talteoretisk relation R(x 1,..., x n ). Dvs. en regneprocedure ved hjælp af hvilken man, for et givet sæt (x 1,..., x n ) af naturlige tal, kan afgøre om udsagnet R(x 1,..., x n ) er sandt eller falsk. Bl.a. generel rekursiv (Gödel, 1934), λ-definerbar (Church og Kleene, ) og Turing-beregnelig (Turing, l936). Det viste sig at disse definitioner er ensbetydende. Dette førte Church til at fremsætte den tese at "alle tilstrækkelig rummelige definitioner af effektiv beregnelighed er ensbetydende". En regneprocedure udformet som et computerprogram, i et tilstrækkelig rummeligt computersprog, er altså ensbetydende med disse definitioner. En relation som er rekursiv i Gödel's forstand kaldes idag simpel rekursiv. Gödel beviser at for enhver rekursiv relation R(x 1,..., x n ), findes et formalt udsagn r(x 1,..., x n ) således at a. (R(x 1,..., x n ) er sand) (r(x 1,..., x n ) er et teorem), b. (R(x 1,..., x n ) er falsk) ( r(x 1,..., x n ) er et teorem), her skal vi strengt taget i r(x 1,..., x n ) erstatte x 1,..., x n med deres Gödelnumre. Alle udsagn p(x), med een variabel x som gennemløber de naturlige tal, kan opstilles på rad og række ved hjælp af et leksikografisk princip. Gödel kalder et sådant udsagn "ein Klassenzeichen". Det n-te udsagn betegnes R(n). Funk-

3 tionen "n Gödelnummeret af R(n)" kan defineres i den formale teori. Udsagnet R(n)(m) betegnes [R(n):m]. Relationen R(m, n) = "B m er ikke et bevis for [R(n):n]" er rekursiv, derfor findes der et formalt udsagn r(m, n) således at a. "B m er ikke et bevis for [R(n):n]" r(m, n) er et teorem b. "B m er et bevis for [R(n):n]" r(m, n) er et teorem. 3 Udsagnet " m: r(m, n)" har een fri variabel, og er derfor R(q) for et naturligt tal q. Altså [R(q):n] = " m: r(m, n)", og derfor [R(q):q] = " m: r(m, q)". Gödel kalder en teori ω-modsigelsesfri, hvis der ikke findes et udsagn p(n) således at 1. ( n IN: p(n)) er et teorem og 2. p(n) er et teorem for ethvert n IN (husk at hvis " n IN: p(n)" er et teorem er p(n) et teorem for ethvert n, men det omvendte gælder ikke, jvf. logisk aksiom... side...). Hvis teorien er ω-modsigelsesfri er den modsigelsesfri. Thi hvis den var kontradiktorisk, ville ethvert formalt udsagn jo være et teorem, derfor ville den ikke kunne være ω-modsigelsesfri. Af det ovenstående følger nu: 1. Hvis teorien er modsigelsesfri kan [R(q):q] ikke bevises. Bevis: Hvis [R(q): q] var et teorem, ville findes et m' således at B m' var et bevis for [R(q):q]. Derfor ville, ifølge b, r(m', q) være et teorem, men dette strider mod at " m: r(m, q)" er et teorem. 2. Hvis teorien er ω-modsigelsesfri kan [R(q):q] ikke bevises. Bevis: Hvis teorien er ω-modsigelsesfri er den modsigelsesfri. Derfor kan, ifølge 1., [R(q): q] ikke bevises, dvs. for ethvert m er Bm ikke et bevis for [R(q):q]. Ifølge a er r(m, q) derfor et teorem for ethvert m. Hvis nu [R(q):q] kunne bevises, ville ( m: r(m, q)) være et teorem, men dette strider imod at teorien er ω- modsigelsesfri. Hvis teorien er modsigelsesfri kan " m: r(m, q)" altså ikke bevises, men r(m, q) er ikke destomindre et teorem for ethvert m. Hvis vi føjer " ( m: r(m, q))" til teorien som et nyt aksiom, får vi en teori som er stadig er modsigelsesfri (vis dette!), men ikke ω-modsigelsesfri, idet det både gælder at ( m: r(m, q)) er et teorem og at r(m, q) er et teorem for ethvert m. For at bevise at [R(q):q] ikke kan bevises, forudsætter Gödel at teorien er modsigelsesfri, men for at bevise at [R(q):q] ikke kan bevises, behøver Gödel en kraftigere forudsætning, nemlig at teorien er ω-modsigelsesfri. I 1936 viste Rosser at man kan nøjes med at forudsætte at teorien er modsigelsesfri.

4 4 I 3 viser Gödel at enhver rekursiv relation er aritmetisk, dvs. den kan dannes alene ved hjælp af aritmetikkens tegn. Det følger heraf at i udsagnet " m: r(m, q)", kan r(m, q) erstattes med et aritmetisk udsagn s(m), således at hvis " m: r(m, q)" kan bevises da kan også " m: s(m)" bevises, og omvendt. Hvis altså teorien (som omfatter aritmetikken) er ω-modsigelsesfri, findes et aritmetisk udsagn som hverken kan bevises eller modbevises. Desuden viser Gödel at udsagnet " m: r(m, q)", kan erstattes med et udsagn " x: F(x)" i den rene prædikat kalkyle (se...), således at hvis " m: r(m, q)" kan bevises da kan også " x: F(x)" bevises, og omvendt. Hvis altså teorien (som omfatter aritmetikken) er ω-modsigelsesfri, findes et udsagn i den rene prædikat kalkyle som hverken kan bevises eller modbevises. I 4 skitseres beviset til "ein merkwürdiges Resultat". Nemlig at "for en teori som omfatter aritmetikken kan et bevis for at den er modsigelsesfri ikke formaliseres indenfor teorien selv". Et komplet bevis er langt og indviklet - det blev udarbejdet af Hilbert og Bernay i At "teorien er modsigelsesfri" betyder at "der findes et udsagn som ikke kan bevises". Dette metamatematiske udsagn kan formaliseres som " k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k". Gödel argumenterer nu for at beviset i 3, for at "hvis teorien er modsigelsesfri da kan udsagnet [R(q):q] ikke bevises", kan omformes til et formalt aritmetisk bevis. Udsagnet "( k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k) ( m: B m bevis for [R(q):q])" er altså et teorem. Men da det allerede er bevist at hvis teorien er modsigelsesfri da kan udsagnet [R(q):q] ikke bevises, følger heraf at præmissen " k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k" ikke kan bevises hvis teorien er modsigelsesfri. Til sidst nævner Gödel at forudsætningen i 3, at teorien er ω-modsigelsesfri, nu kan erstattes med "at teorien er kontradiktorisk kan ikke bevises i teorien selv", thi da er udsagnet " k: G k udsagn m: B m ikke bevis for k" et eksempel på et udsagn som hverken kan bevises eller modbevises. I 1936 beviste Church at enhver teori, som omfatter aritmetikken eller den rene prædikat kalkyle, er uafgørbar. Dvs. der findes ikke en effektiv beregningsprocedure, ved hjælp af hvilken man kan afgøre om et givet udsagn har et bevis eller ej. I tilfældet hvor teorien omfatter aritmetikken, går Church således til værks: Alle computerprogrammer som udfører beregninger med naturlige tal, således at såvel input som (evt.) output er ét tal, opstilles på rad og række ved hjælp af et leksikografisk ordningsprincip. Det k-te program betegnes P k. Hvis tallet m er input i P k, kan der ske 1. programmet går ikke igang, 2. programmet går igang men kører i det uendelige, 3. programmet går igang og

5 standser efter endelig mange udregninger, output er et tal n. Lad udsagnet T(k, m, n) være givet ved: T(k, m, n) er sandt hvis og kun hvis 3. gælder, og lad funktionen t: IN IN være givet ved t(m) = n + 1 hvis T(m, m, n) er sandt, og t(m) = 0 hvis der ikke findes noget n således at T(m, m, n) er sandt. 5 Denne funktion er ikke beregnelig. Bevis: Hvis t var beregnelig, ville der findes et tal q således at P q beregner den, dvs. T(q, m, t(m)) ville være sandt for ethvert m. Specielt ville T(q, q, t(q)) være sandt. Men dette ville medføre at t(p) = t(p) + 1 (da n er entydigt bestemt ved k og m, hvis T(k, m, n) er sandt). Det følger umiddelbart heraf at det ikke, ved en beregnings-procedure, kan afgøres om udsagnet " n: T(m, m, n) er sandt" (med én variabel m) er sandt eller falsk. Ifølge et tidligere nævnt resultat af Gödel, findes et formalt udsagn r(m, n) således at a. T(m, m, n) er sandt r(m, n) er et teorem b. T(m, m, n) er falsk r(m, n) er et teorem, og af dette følger at ( n: T(m, m, n) er sandt) (( n: r(m, n)) er et teorem). Hvis teorien var både ω-modsigelsesfri og afgørbar, ville sandhedsværdien af udsagnet "( n: r(m, n)) er et teorem" (med én fri variabel m) være beregnelig. Og dette ville medføre at sandhedsværdien af udsagnet " n:t(m, m, n) er sandt" var beregnelig, men det har vi lige vist at den ikke er.

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Opspaltning i primfaktorer

Opspaltning i primfaktorer 1 Opspaltning i primfaktorer Et program som kan undersøge om et tal er et primtal, eller finde hvilke primtal det er sammensat af, er det allerførste program enhver talentusiast laver. For den tid jo er

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Jørgen Ebbesen

Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Jørgen Ebbesen "0" 1 "ƒ" 3 " " 5 " " 7 " " 9 "(" 11 ")" 13 Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger Jørgen Ebbesen Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Her kan man fx tage udgangspunkt i et eller flere eksempler

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Limitations in Formal Systems and Languages

Limitations in Formal Systems and Languages Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results

Læs mere

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation

Eksempel 2: Forløb med inddragelse af argumentation Eksempel 2: Forløb med inddragelse af Læringsmål i forhold til Analyse af (dansk, engelsk, kult) 1. Hvad er (evt. udgangspunkt i model) 2. Argumenter kommer i bølger 3. Evt. argumenttyper 4. God Kobling:

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Portræt af matematikeren Bertrand Russell

Portræt af matematikeren Bertrand Russell www.matema10k.dk Portræt af matematikeren Bertrand Russell skrevet af Flemming Chr. Nielsen bragt i DSB s magasin Ud & Se august 2007 (artiklen bringes her på siden efter aftale med Flemming Chr. Nielsen

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen

Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal? Af Terese M. O. Nielsen Hvad er tal?... 5 Indledning... 5 Emner - 1g... 6 Regning - tal og repræsentationer af tal... 6 Litteratur... 6 Potenstal - definitioner og beviste sandheder... 6 Oversigt

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Læsevejledning til Den etiske fordring, Kap. X,1(Instansen i fordringen) og XII (Fordringens uopfyldelighed og Jesu forkyndelse)

Læsevejledning til Den etiske fordring, Kap. X,1(Instansen i fordringen) og XII (Fordringens uopfyldelighed og Jesu forkyndelse) Læsevejledning til Den etiske fordring, Kap. X,1(Instansen i fordringen) og XII (Fordringens uopfyldelighed og Jesu forkyndelse) I kap. X,1 hævder Løgstrup, at vor tilværelse rummer en grundlæggende modsigelse,

Læs mere

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b vil have samme chance for at få eller 7 skilling i et retmæssigt spil, som det senere vil blive vist. Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Matematik, sprog, kreativitet og programmering. Lærervejledning. Stefan Mandal Winther VIA Center for Undervisningsmidler 01-05-2015

Matematik, sprog, kreativitet og programmering. Lærervejledning. Stefan Mandal Winther VIA Center for Undervisningsmidler 01-05-2015 Matematik, sprog, kreativitet og programmering 2015 Lærervejledning Stefan Mandal Winther VIA Center for Undervisningsmidler 01-05-2015 Indhold Indledning... 2 CFU og kodning i undervisningen... 2 Læringsmål

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Bilag 1a. Cpr.nr. Ikke. Samlet indstilling uddannelsesparat. uddannelsesparat

Bilag 1a. Cpr.nr. Ikke. Samlet indstilling uddannelsesparat. uddannelsesparat 1 Bilag 1a Dansk: den obligatoriske optagelsesprøve Prøvegrundlag: en tekst af max 1 normalsides omfang. Teksttyperne kan være prosa, lyrik eller sagprosa. Læse sikkert og hurtigt med forståelse og indlevelse

Læs mere

ALMINDELIGE BETINGELSER FOR ARBEJDER OG LEVERANCER. Udgave af 4. december - 2014

ALMINDELIGE BETINGELSER FOR ARBEJDER OG LEVERANCER. Udgave af 4. december - 2014 Bilag 1 ALMINDELIGE BETINGELSER FOR ARBEJDER OG LEVERANCER Udgave af 4. december - 2014 1. OPTIMON`s hemmeligholdelsespligt OPTIMON træffer alle rimelige og nødvendige foranstaltninger til hemmeligholdelse

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Induktion

BOSK F2011, 1. del: Induktion P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som

Læs mere

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf

Læs mere

Quaternioner blev første gang beskrevet

Quaternioner blev første gang beskrevet vise sig indirekte, i forandret form, som f.eks. neurotiske symptomer eller fejlhandlinger. Det ubevidste er imidlertid ikke bare en art skjult bevidsthed, men er knyttet til træk ved mennesket, der er

Læs mere

Argumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven

Argumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven Argumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven Side 1 af 9 Rem tene, verba sequentur! Behersk emnet, så kommer ordene af sig selv! Indledning: Argumentation kan defineres som ræsonnementer,

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

FESD-standardiseringsgruppen Att: Palle Aagaard IT- og Telestyrelsen IT-strategisk kontor Holsteinsgade 63 2100 København Ø

FESD-standardiseringsgruppen Att: Palle Aagaard IT- og Telestyrelsen IT-strategisk kontor Holsteinsgade 63 2100 København Ø FESD-standardiseringsgruppen Att: Palle Aagaard IT- og Telestyrelsen IT-strategisk kontor Holsteinsgade 63 2100 København Ø Høringssvar vedr. FESD GIS-integrationsmodel version 2.0 Geodata Danmark har

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. "10") til heltal (10). if (udtryk) else

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. 10) til heltal (10). if (udtryk) else Programmering 1999 Forelæsning 2, fredag 3. september 1999 Betingede ordrer: if-, if Indlejrede betingede ordrer Løkker med begrænset iteration: for Løkker med ubegrænset iteration: while Betingede ordrer,

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultets retningslinjer for udarbejdelse af bedømmelsesudvalgsindstillinger i forbindelse med doktorafhandlinger

Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultets retningslinjer for udarbejdelse af bedømmelsesudvalgsindstillinger i forbindelse med doktorafhandlinger Godkendt december 2013 Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultets retningslinjer for udarbejdelse af bedømmelsesudvalgsindstillinger i forbindelse med doktorafhandlinger I. Indledning Formålet med en vejledning

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Regularitet og Automater

Regularitet og Automater Plan dregaut 2007 Regularitet og Automater Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske oplysninger om kurset Ugens emner Introduktion til ugens opgaver 2 Regularitet og Automater Formål med kurset: at

Læs mere

Fastlæggelse af gruppens mål.

Fastlæggelse af gruppens mål. INDKVARTERING - FORPLEJNING - GRUPPEOPGAVE 1 - Blad 1. Fastlæggelse af gruppens mål. side 1 af 12 sider På de følgende sider finder du 22 udsagn, der skal besvares. Først af dig selv. Herefter drøfter

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Arbejdstidsdirektivet

Arbejdstidsdirektivet Arbejdstidsdirektivet Arbejdstid er igen på dagsordenen, og Europa-kommissionen vil formentlig offentliggøre nye forslag til Arbejdstidsdirektivet tidligt på året i 2015. Konsekvenserne for EPSU og dets

Læs mere

Dag 1: 1) Fra problemformulering til spørgeskema-tematikker; 2) Hvordan hører data sammen; 3) Overvejelser om datas egenskaber; 4) Hvad kan man

Dag 1: 1) Fra problemformulering til spørgeskema-tematikker; 2) Hvordan hører data sammen; 3) Overvejelser om datas egenskaber; 4) Hvad kan man Dag 1: 1) Fra problemformulering til spørgeskema-tematikker; 2) Hvordan hører data sammen; 3) Overvejelser om datas egenskaber; 4) Hvad kan man spørge om; 5) Tips n tricks i forhold til at formulere spørgsmål;

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Evaluering af den samlede undervisning på Korinth Efterskole Spejderskolen og plan for opfølgning. Juni 2012

Evaluering af den samlede undervisning på Korinth Efterskole Spejderskolen og plan for opfølgning. Juni 2012 Evaluering af den samlede undervisning på Korinth Efterskole Spejderskolen og plan for opfølgning. Juni 2012 Indledning Hvert år skal skolen lave en evaluering af sin samlede undervisning. Der foreligger

Læs mere

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Kontraktbaseret Programmering Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 978-87-40-41315-1

Kontraktbaseret Programmering Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 978-87-40-41315-1 -1 Kontraktbaseret Programmering Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 978-87-40-41315-1 Forord Denne bog er blevet til gennem undervisning i faget Kontraktbaseret Udvikling på bacheloruddannelsen i Softwareudvikling.

Læs mere

Rekursion C#-version

Rekursion C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet

Læs mere

En retssag om fastsættelse af omkostninger i en voldgiftssag - en kommentar til U 2011.2895 Ø

En retssag om fastsættelse af omkostninger i en voldgiftssag - en kommentar til U 2011.2895 Ø Erhvervsjuridisk Tidsskrift 2012.251 En retssag om fastsættelse af omkostninger i en voldgiftssag - en kommentar til U 2011.2895 Ø Af Steffen Pihlblad, direktør for Voldgiftsinstituttet (Resumé) I artiklen

Læs mere

En teori om leg og fantasi. 1

En teori om leg og fantasi. 1 Gregory Bateson En teori om leg og fantasi. 1 1. Sproglig kommunikation kan foregå på mange abstraktionsniveauer, som rækker i to retninger fra det tilsyneladende simple betydningsgivende (denotative)

Læs mere

Test af Repræsentationssystemer

Test af Repræsentationssystemer Test af Repræsentationssystemer Identificér dit foretrukne repræsentationssystem Testen kan give dig et fingerpeg om din måde at bruge dine sanser/repræsentationssystemer på, og samtidig kan du finde dine

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere