Vejledende opgavebesvarelser

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vejledende opgavebesvarelser"

Transkript

1 Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver Atal hæder, hvor alle kort har samme farve, er ifølge additiospricippet lig med K(13,5) 4, som giver De 5 kort skal emlig ete være ruder, spar, klør eller hjerter. 2. Atal mulige kombiatioer er 3 6, altså 729, idet hver tast ka stå i 3 positioer. Ma ka evetuelt se bort fra de mulighed, hvor ige af tastere skal id eller ud. I praksis ka ma på et ark papir opskrive samtlige muligheder for ku 3 taster. De ka skrives uder hiade, da der ikke er mere ed 27. Ma ka så systematisk gå disse 27 muligheder igeem svarede til heholdsvis de første 3 taster og de sidste 3 taster. 3. Ehver rute har e lægde på 12, delt op i stykker af lægde 1, som går ete he eller op. Da ma 4 gage skal gå op, er atallet af ruter lig med K(12,4), altså Atal mulige koder udreges ved brug af multiplikatiospricippet: Der er 4 muligheder for hvilke pid, der er rigtig; lad os sige, at det er de røde. Der er 3 muligheder for hvilke pid, der har rigtig farve, me står galt; vi siger, at det er de gule. Der er 2 muligheder for, hvor de gule skulle have stået, emlig på positio 3 eller 4; vi vælger positio 3. Vi magler så at fide de mulige farver på positio 2 og 4. På positio 2 er der 2 muligheder, da det ikke ka være rød, gul, grø eller blå. På positio 4 er der så ku 1 mulighed tilbage. Ialt er der = 48 muligheder. 5. Når er lig 3, er der 6 kugler, hvoraf 3 er hvide. Sadsylighede p(3) for, at der udtrækkes 2 hvide kugler, er ifølge formel (11) side 23 lig med K(3, 2)/K(6, 2), som bliver 0.2. På tilsvarede måde får ma p() = K(,2) K(2,2) = ( 1) 2 = 1 2(2 1) Ved at forkorte med og lade gå mod uedelig, ses at brøkke går mod Det bemærkes at dee sadsylighed er de samme som sadsylighede for at trække 2 hvide kugler, år der trækkes 2 kugler med tilbagelægig fra e kasse med lige mage sorte og hvide kugler. 6. Alle sadsylighedere udreges ved hjælp af formel (11) side 23. Sadsylighede for, at de 5 kugler alle er røde, er lig med K(10,5) divideret med K(25,5), og ma får Når ma skal have etop 1 blå, skal de 4 øvrige være røde, og ifølge multiplikatiospricippet er atal gustige udfald derfor lig med K(15, 1) K(10, 4). Divideres med atal mulige udfald, altså K(25,5), får ma Sadsylighede p for, at der trækkes både røde og blå, ka udreges ved at fide sadsylighede 1 p for de modsatte hædelse, at der ku trækkes røde eller ku blå. Ved brug af additiospricippet får ma: hvilket giver p = p = K(10,5) K(25,5) + K(15,5) K(25,5) =

2 7. Der skal højst 5 ekstra spil til at få e afgørelse. Hvis A emlig ikke har vudet midst 2 gage efter disse spil, vil B have vudet midst 4. Der er 2 5 mulige udfald i de 5 spil, idet hvert spil giver e sejr til A eller B. Af de 32 udfald er 6 gustige for B, idet der er 6 udfald med midst 4 sejre til B. De 6 udfald består af det, hvor B får 5 sejre, og de 5, hvor A får etop 1 sejr. Pulje skal altså deles i forholdet 6 til Atallet af ruder er biomialfordelt med = 20 og p = Sadsylighede for højst 7 ruder ka derfor udreges som biomcdf(20,0.25,7), som er lig med Sadsylighede for midst 5 ruder er lig med 1- biomcdf(20,0.25,4), som er Atallet af løg, der spirer, er biomialfordelt med = 7 og p = 0.9. Sadsylighede for, at alle spirer, ka derfor udreges som biompdf(7,0.9,7), som er lig med Sadsylighede for, at etop 5 spirer, ka udreges som biompdf(7,0.9,5), som er lig med Når udtrækige foregår med tilbagelægig, er atallet af ruder biomialfordelt med = 5 og p = Sadsylighede for etop 2 ruder ka derfor udreges som biompdf(5,0.25,2), som er lig med Når udtrækige foregår ude tilbagelægig, fides sadsylighede ved at berege atal gustige divideret med atal mulige. De gustige består af 2 ruder og 3 kort, der ikke er ruder, så atal gustige er K(13,2) K(39,3). Divideres med atal mulige udfald, altså K(52,5), får ma Atallet af rigtige er biomialfordelt med = 10 og p = 0.5. Det gælder om at fide det midste r, så 1-biomcdf(10,0.5,r-1) er midre eller lig 0.05, det vil sige, så biomcdf(10,0.5,r) er større eller lig Ved at prøve sig frem får ma, at r skal være 9. På tilsvarede måde fider ma, at r skal være 59, hvis der laves 100 smagsprøver. Når atallet af smagsprøver er stort, vil sadsylighede for at får etop r rigtige blive lille, selvom om r ligger tæt på det atal rigtige, ma skal forvete, år der gættes, altså tæt på halvdele af smagsprøvere. 12. Sadsylighedsfordelige bliver x p(x) hvor x agiver gevistes størrelse. Ud af de 36 mulige udfald er der emlig 3, der giver e sum på over 10, og 10, der giver e sum på 5 eller deruder. Middelværdie udreges efter formel (14) side 35: µ = = 1 36 Bode vider altså i geemsit 1 kr. i løbet af 36 spil. 13. Atallet af kroe er biomialfordelt med et ukedt og p = 0.5. Sadsylighede for midst 1 kroe er 1 mius sadsylighede for 0 kroe. Idsættes i formel (13) side 27 med x = 0 får ma: Dee ulighed ka løses ete ved at prøve sig frem eller ved brug af logaritmer. Ma får at skal være midst

3 14. Atallet af plat er biomialfordelt med = 20 og p = 0.5. Da biomcdf(20,0.5,5)=0.021, biomcdf(20,0.5,6) er større ed og sadsylighedsfordelige er symmetrisk om 10, går ormalområdet fra 6 til X bliver 10, år ma 9 gage ikke får e sekser og derefter e sekser. Sadsylighede for ikke at få e sekser er 5/6 og kastee er uafhægige, så På tilsvarede måde får ma P(X = 10) = ( 1 6 )1 ( 5 6 )9 = P(X = r) = ( 1 6 )1 ( 5 6 )r 1 Summe af sadsylighedere bliver 1, som de jo skal og middelværdie bliver 6, som ma også vil forvete. 16. Middelværdie bliver og spredige 6.37, år de udreges ved hjælp af itervalmidtpuktere 158, 163, 168,..., 193 og de tilhørede hyppigheder. Geemsitshøjde er altså vokset fra 1950 til Hvis de opåede poits var ormalfordelte med middelværdi 514 og spredig 87, skulle adele af elever, der opåede 366 eller deruder kue udreges på lommeregere som ormalcdf(0,366,514,87). Dee sadsylighed bliver 0.044, altså ret tæt på de observerede 5 %. Tilsvarede med de adre kumulerede frekveser. 18. Ved differetiatio af de sammesatte fuktio f (x) får ma Produkregle giver så f (x) = x σ 2 f (x) f (x) = 1 σ 2 f (x) + x x ( σ 2 σ 2 f (x) = 1 + x2 ) f (x) σ 2 σ 2 Ligige f (x) = 0 ka så løses. 19. Sadsylighede for, at et dige med højde 1.4 overskylles, ka udreges på lommeregere som ormalcdf(1.4, 1000, 0.93, 0.2) = For at fide de højde x, som diget skal have, hvis sadsylighede for oversvømmelse skal være 0.02, ka ma lægge ormalcdf(x,1000,0.93,0.2) id på lommeregere som Y 1, og tallet 0.02 som Y 2. Grafere ka så teges på lommeregere og ved hjælp af Calc, Itersect ka x bestemmes. Ma får x = Geemsit og spredig ka for eksempel bereges ved at lægge de to observatiossæt id i lister på lommeregere og bruge 1-Var Stats. For matematik får ma et geemsit på 8.2 og e spredig på 1.8; for dask får ma et geemsit på 8.0 og e spredig på 1.0. I begge tilfælde er der 23 af observatioere, det vil sige 95.8 %, der afviger midre ed 2 gage spredige fra middelværdie. 5 6

4 21. Ved brug af 1-Var Stats på lommeregere får ma middelværdie 50 og spredige 5. Sadsylighede for, at atal plat afviger midre ed 2 gage spredige fra middelværdie, ka udreges som biomcdf(100, 0.5, 59) mius biomcdf(100, 0.5, 40), og ma får Observatioere skrives som e liste y = (y 1,...,y ). At ædre skalae betyder, at observatiossættet ædres lieært til ay + b, hvor a og b er positive. Formlere (30) og (31) side 74 viser at σ ay+b µ ay+b = aσ y aµ y = σ y µ y altså at variatioskoefficiete er uædret. 23. Resultatere afhæger af de tilfældige tal, me spredige på geemsit af 10 kast skulle gere være cirka 1/ 10 af spredige på et ekelt kast. 24. Histogrammere laves ved hjælp af Statplot, og et Widow, hvor x går fra 0 til 1 med x scl = 0.1. Fordeligere går fra at være at være meget skæve til klokkeformede, år går fra 1 til Ifølge formel (41) side 95 vil kofidesitervallet have edepuktere ± det vil sige gå fra 1.2 til 1.8. Da itervallet udelukkede består af positive tal, tyder tallee på at august er varmere ed jui. 26. Ved brug af formel (32) side 77 får ma ligige Ligige har løsige = = Det forvetede rigtige atal svar vil være x + (100 x) 13 idet x spørgsmål er rigtige, fordi eleve keder svaret, og ud af reste, hvor der gættes, må ma forvete at e trediedel er rigtige. Sættes udtrykket lig med 57, får ma e ligig, hvis løsig er Ifølge formel (49) side 94 har 95 %-kofidesitervallet e forvetet lægde på år atal kast er stort, idet frekvese af plat må forvetes at ligge tæt på 0.5, hvis møte er symmetrisk. Sættes dette udtryk lig med , får ma e ligig, hvis løsig er 400 millioer. 29. Ma ka beytte metode side Geemsittet på forskellee er 0.57 og spredige er Spredige på geemsittet er 0.926/ 10, som bliver Teststørrelse T bliver 0.57/0.293, som er lig med Dette resultat er ikke sigifikat på 5 %-iveau, me ligger lige på græse. 7 8

5 30. De 16 observatioer ragordes som på side 111; de to observatioer på 38 får begge rag Summe W af ragee af de 8 august-observatioer er Dette er ikke sigifikat, da acceptområdet ifølge tabelle side 113 går fra 50 til 86, år både 1 og 2 er Netafstemiger er stort set aldrig repræsetative, da de, der stemmer, ikke er udvalgt tilfældigt. Hvis afstemige drejer sig om, hvorvidt ma er for eller imod et eller adet, vil det oftest være såda, at de ee holdig er overrepræseteret ved afstemige, fordi persoer med de pågældede holdig er mere egagerede i spørgsmålet og derfor mere tilbøjelige til at deltage i afstemige. 32. Ma får y = 0.189x Isoleres x, får ma x = 5.29y Ligige side 122 foretrækkes, hvis absorberet lys skal forudsige fedtprocet, da dee regressiosliie havde absorberet lys som de uafhægige variabel. 33. Ma får e P-værdi på Nedbørsmægde i august er altså heller ikke ved dette test sigifikat midre ed i jui. 34. Ma må ok iddrage de studeredes ever som e baggrudsvariabel. Det kue tækes, at de, der have valgt A-iveau i matematik i gymasiet, i forveje havde bedre ever ed dem, der valgte B-iveau. At de så klarer sig bedre på politstudiets første år, kue skyldes de bedre ever og ikke så meget det, de havde lært i gymasiet. 35. Fuktioe f har forskrifte f (a) = (1 a 2) 2 + (4 a 4) 2 + (5 a 6) 2 + (6 a 12) 2 Efter brug af kvadratsætige ka forskrifte skrives ( )a 2 2( )a + ( ) Grafe for f er e parabel og toppuktets førstekoordiat bliver = 0.6 I Excel får ma da også regressiosliie y = 0.6x, år ma beder om at få e tedesliie, der skærer adeakse i 0. På samme måde som ovefor får ma geerelt at a = x iy i x 2 i Hvis x-værdiere ligger i liste L 1 og y-koordiatere i liste L 2 på lommeregere, ka a bereges som sum(l 1 L 1 )/(sum(l 2 1 ). 36. Med-med regressiosliie på ti84 bliver y = 4.63x ; dette er tæt på geemsittet af liie fra side 122 og liie fra opgave 32; ligigere var y = 4.06x og y = 5.29x år x er absorberet lys og y fedtprocet. Ma ka fide e beskrivelse af metode ved at søge i google på: mediamedia lie regressio idiaapolis auto race. 9 10

6 37. Ma ka for eksempel bruge Excel eller ti84. Regressiosliie bliver y = 0.055x Hældige er ikke sigifikat forskellig fra 0, da P-værdie bliver E ekspoetiel regressio giver y = x hvor x er sigtdybde og y er chlorophyl-kocetratio. E lieær regressio af log(y) på x giver log(y) = 0.317x og de to ligiger er esbetydede. Ved regressioe af log(y) på x får ma stadardfejle s res = Ifølge side 123 må log(y) forvetes at ligge i itervallet fra til med 95 % sadsylighed ved e sigtdybde på 3 meter. Med 95 % sadsylighed gælder altså log(y) 1.25 Heraf får ma at y må ligge mellem 3.27 og 17.8 med 95 % sadsylighed. 39. E sædvalig lieær regressio giver e P-værdi på , år der testes om hældige er Vi lader x være liste med x-værdier, altså x = (x 1,x 2,...,x ). Liste med forvetede y-værdier bliver så ŷ = âx + ˆb. Ifølge (31) side 74 er σŷ = σâx+ˆb = σ âx = â σ x Ved divisio med σ y får ma (118) af (117). Hvis tællere i (119) kaldes T, ka (119) skrives r = og formel (59) side 121 ka skrives T σx σy = â = T σ 2 x T σ x σ y Ved at idsætte sidstævte udtryk i (118) får ma r = T σ 2 x og ved at forkorte med σ x får ma (119) i forme ovefor. Med tallee fra opgave 39 får ma r = 0.468; dee korrelatio ka for eksempel bereges ved at lægge x-værdiere i e liste L 1, y-værdiere i e liste L 2 og udrege (119) på lommeregere ved hjælp af listere. De forvetede y-værdier ka udreges som L og lægges i e liste L 3. Residualere udreges som L 3 L 2 og lægges i e liste L 4. Ved brug af 1-Var Stats på hver af listere L 2, L 3 og L 4 får ma heholdsvis σ 2 y = 6.19, σŷ2 = 1.35 og σ 2 res = Hvis ma ser på de første 10 pukter fra opgave 39 får ma r = 0.472, mes de sidste 10 pukter giver r = σ x σ y 11 12

7 41. E SiReg på ti84 giver y = 8.2 si(0.512x 0.1) Ma atager at ω = 2π/12 og laver e multipel regressio af temperatur på cos(ωt) og si(ωt). Koefficietere til de to variable størrelser vil svare til Asi(ϕ) og Acos(ϕ). 42. Hvis ma vælger at bruge Excel åbes huspriser.xls. Der laves regressioer som beskrevet i file om brug af Excel på boges hjemmeside. Regressio af pris på heholdsvis kvm og grud giver: pris = 8.11 kvm+ 586 og pris = 0.4 grud+ 630 Kostate c ka bestemmes ved at lave e y søjle i regearket således: i F2 skrives: =B D2-0.4 E2; derefter trækkes edad til F56. I for eksempel G2 skrives: =middel(f2:f56); ma får 30.2, som svarer til c. E multipel regressio giver e model af forme: 43. Ved QuadReg på ti84 får ma prisidex = kvm grud y = 0.53x x Det samme får ma i Excel, år ma laver e multipel regressio med y afhægig variabel, og x og x 2 som forklarede variable. I regearket ka x- værdiere lægges i koloe 1, x 2 -værdiere i koloe 2, og y-værdiere i koloe De forvetede atal bliver 6.7, 24.2, 38.3, 24.2 og 6.7. For eksempel udreges 24.2 som 100 ormalcdf(12.5, 13.7, 14.3, 1.2). Idsættes i formel (68) side 146 får ma T = Udregige ka for eksempel foretages ved at lægge de observerede atal i e liste L 1, de forvetede atal i e liste L 2 og skrive sum((l 1 L 2 ) 2 /L 2 ). Hypotese accepteres, da P-værdie bliver De ka udreges på lommeregere ved hjælp af de kumulerede chi-i-adefordelig med 4 frihedsgrader. 45. Ved et eksakt biomialtest udreges 2biomcdf(306,0.5,133), som giver e P-værdi på Der scores altså sigifikat flere mål i ade halvleg. Ved et chi-i-ade-test bliver de forvetede atal mål i første og ade halvleg lig med 306/2, altså 153, da hypotese er, at der scores lige mage mål i de to halvlege. Idsættes i formel (68) side 146 får ma T = Hypotese forkastes også ved dette test, da P-værdie bliver De ka udreges på lommeregere ved hjælp af de kumulerede chi-i-ade-fordelig med 1 frihedsgrad. 46. Formel (72) side 155 brugt på tabelle, som de står i opgave, giver e OR på 1.176; byttes om på de to søjler får ma OR = = 0.85, som agivet side 157. Ved idsættelse i formle side 156 for spredige på l(ôr) får ma Et 95 %-kofidesiterval for l(or) har derfor edepuktere l(0.85) ± , det vil sige at det går fra til Et 95 %-kofidesiterval for OR går så fra e til e , det vil sige fra til Et χ 2 -test ka laves ved hjælp af Excel-skabeloe på boges hjemmeside. Ma får e P-værdi på ; der er altså sigifikat forskel på sadsylighede for at få e dreg i de to grupper

8 47. Resultatere vil aturligvis afhæge lidt af, hvad der simuleres, me tæthede for chi-i-ade-fordelige med 3 frihedsgrader skulle gere give e god beskrivelse af histogrammet. 48. De fire lister ka laves således: radbi(30,0.3,100) L 1 : 30-L 1 L 3 : radbi(40,0.3,100) L 2 : 40-L 2 L 4 Ved (L 1 L 4 )/(L 2 L 3 ) L 5 får ma e liste med tilhørede OR-værdier. Edelig giver l(l 5 ) L 6 e liste med l(or)-værdier. Ma må forvete, at middelværdi og spredig af l(or)-værdiere ligger omkrig 0 og Hvis ma på figure i opgavetekste erstatter X med x og sætter w = π/2 v er w = ta 1 (x). Sadsylighede for, at X er midre eller lig x, er de samme som lægde af itervallet fra π/2 til w divideret med lægde af itervallet fra π/2 til π/2; det vil sige w ( π/2) divideret med π. Ma får altså F(x) = P(X x) = w π = 1 π ta 1 (x) Differetiatio giver tæthedsfuktioe p(x) = F (x) = 1 1 π x Normalfordelige er mere kocetreret om 0 ed Cauchy-fordelige. 50. Middelværdie µ ka ved brug af formel (76) side 159 og tæthede side (161) udreges som µ = xp(x)dx = xλe λ x dx 0 Itegralet udreges som græseværdie af itegralet fra 0 til t, år t går mod uedelig. Ved delvis itegratio får ma: t 0 t xλe λ x dx = [ xe λ x ] t 0 + e λ x dx = te λt λ 1 e λt + λ 1 0 som går mod λ 1, år t går mod uedelig. At te λt går mod 0, år t går mod uedelig, kræver e speciel begrudelse; ma ka bruge sætiger om græseværdi af et produkt af e potesfuktio og e ekspoetialfuktio. Middelværdie er altså λ 1. I eksemplet med vetetid til et scoret mål får ma λ 1 = De kumulerede fordeligsfuktioe for X kaldes F, så F (x) = f (x). Om de kumulerede fordeligsfuktioe G for Y gælder: ( G(y) = P(Y y) = P(aX + b y) = P X y b ) ( y b ) = F a a Differetiatio af de sammesatte fuktio giver som i (121). g(y) = G (y) = 1 a F ( y b ) a = 1 ( y b ) a f a 15 16

9 52. Der gælder at F(u) = P(X u) = P(Z 2 u) = P( u Z u) Ma ka så omskrive videre F(u) = P(Z u) P(Z u) = 2Φ( u) 1 Ved differetiatio af sammesat fuktio får ma 53. Vi har at f (u) = F (u) = u Φ ( u) = 1 ϕ( u) = 1 e u/2 u 2πu G(u) = P(Y u) = P(l(Y ) l(u) = F(l(u)) Ved differetiatio af dee sammesatte fuktio får ma g(u) = G (u) = 1 u F 1 (l(u)) = 2 π σu e (l(u) µ)2 2 σ 2 På grudlag af data i file idkomst.txt ka idkomstere grupperes i itervaller med lægde 25 tusid. Vi iteresserer os ku for idkomster mellem 25 tusid og 750 tusid, og det første iterval går således fra 25 til 50, og det sidste fra 725 til 750. Itervalhyppighedere for de itervaller i idkomst.txt, der er lægere ed 25 tusid, deles i lige store dele ved opdelige i itervaller af lægde 25 tusid. Det sidste iterval har således hyppighede 80/10, altså 8. Itervalmidtpuktere lægges i e liste L 1 og hyppighedere i e liste L 2. Lav e y liste ved l(l 1 ) L 3. Fid skø over µ og σ ved hjælp af 1-Var Stats L 3,L 2. Ma får µ 5.1 og σ Histogrammet ka teges ved hjælp af Statplot ud fra listere L 1 og L 2, og de logaritmiske ormalfordelig ka lægges ovei ved at skrive Y 1 = 1/x ormalpdf(l x,5.1,0.57) Hvis vi kalder ivnorm for Φ 1 og sætter Z = Φ 1 (rad) gælder at P(Z z) = P(Φ 1 (rad) z) = P(rad Φ(z)) = Φ(z) 55. Ved brug af formlere (90) side 169 og (94) side 170 får ma: V(Z) = t 2 V(X) + (1 t) 2 V (Y) = t 2 σ 2 x + (1 t)2 σ 2 y Grafe for dee fuktio af t, som ka kaldes f (t), er e parabel med et miimumspukt. Miimumspuktet ka bestemmes ved at bruge formle for e parabels toppukt eller ved differetiatio, som edefor: Ligige f (t) = 0 er opfyldt, år f (t) = 2tσ 2 x 2(1 t)σ 2 y t 1 t = σ 2 y σ 2 x De to skø skal altså vægtes omvedt proportioalt med variasere. 56. Størrelsere y i opfattes som uafhægige stokastiske variable, mes x i ere er kostater. I de lieære regressiosmodel har y i middelværdi ax i + b og spredig σ 2. Regereglere (87) side 168 og (88) side 169 viser at middelværdie af tællere i (122) er lig med idet (ax i + b)(x i x) = a (x i x) = 0 x i (x i x) 17 18

10 Af samme grud ka ævere i (122) skrives (x i x) 2 = x i (x i x) x(x i x) = x i (x i x) Ved at dividere middelværdie af tælle med ævere får ma, at E(â) = a. Ved brug af regereglere (90) og (94) får ma V(â) = σ 2 (x i x) 2 ( (x i x) 2) 2 = σ 2 (x i x) 2 I udskrifte side 128 er stadardfejle 1.744, hvilket er et skø over σ ovefor. Tallee x i er tallee fra 1 til 45 og ævere i formle for V(â) bliver Udreges kvadratrode af V(â) ved hjælp af formle får ma , som svarer til stadardfejle på koefficiete til År i udskrifte. 58. Summe af sadsylighedere ka udreges således i j P 1 (u i )P 2 (v j ) = i P 1 (u i ) j P 2 (v j ) = P 1 (u i ) 1 = 1 i Ma ka evetuelt skrive udregigere op ude brug af summatiosteg i tilfældet = 2 og m = De 500 geemsit vil typisk ikke have midre spredig ed 500 tilfældige tal fra e Cauchy-fordelig. De 9 måliger har geemsittet 7.13 og mediae 4.8. Når grafe for likelihoodfuktioe laves på lommeregere ka ma vælge et vidue, hvor x går fra 2 til 8, og y går fra 0 til De har et maksimum i x = Projektioere y v og y e af y på heholdsvis v og e opfylder v (y y v ) = 0 og e (y y e ) = 0 Vektore y v + y e ligger i plae α. Desude gælder v (y y v y e ) = v (y y v ) v y e = 0 De to vektorer i sidste led er ortogoale, da projektioe af y på e er parallel med e, som står vikelret på v. På tilsvarede måde får ma e (y y v y e ) = 0 Vektore y v + y e er altså lig med projektioe af y på α

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Trekantsområdets kystlejrpladser

Trekantsområdets kystlejrpladser Gl.Å bo v Selum Stederup Søderskov De østyske forde,, og forde, byder på uikke atur ser lags kyste. Alle e. Favetræspladse Jorde er god, og skove er derfor frodig og varieret. De markerede rute, der går

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere