Vejledende opgavebesvarelser

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vejledende opgavebesvarelser"

Transkript

1 Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver Atal hæder, hvor alle kort har samme farve, er ifølge additiospricippet lig med K(13,5) 4, som giver De 5 kort skal emlig ete være ruder, spar, klør eller hjerter. 2. Atal mulige kombiatioer er 3 6, altså 729, idet hver tast ka stå i 3 positioer. Ma ka evetuelt se bort fra de mulighed, hvor ige af tastere skal id eller ud. I praksis ka ma på et ark papir opskrive samtlige muligheder for ku 3 taster. De ka skrives uder hiade, da der ikke er mere ed 27. Ma ka så systematisk gå disse 27 muligheder igeem svarede til heholdsvis de første 3 taster og de sidste 3 taster. 3. Ehver rute har e lægde på 12, delt op i stykker af lægde 1, som går ete he eller op. Da ma 4 gage skal gå op, er atallet af ruter lig med K(12,4), altså Atal mulige koder udreges ved brug af multiplikatiospricippet: Der er 4 muligheder for hvilke pid, der er rigtig; lad os sige, at det er de røde. Der er 3 muligheder for hvilke pid, der har rigtig farve, me står galt; vi siger, at det er de gule. Der er 2 muligheder for, hvor de gule skulle have stået, emlig på positio 3 eller 4; vi vælger positio 3. Vi magler så at fide de mulige farver på positio 2 og 4. På positio 2 er der 2 muligheder, da det ikke ka være rød, gul, grø eller blå. På positio 4 er der så ku 1 mulighed tilbage. Ialt er der = 48 muligheder. 5. Når er lig 3, er der 6 kugler, hvoraf 3 er hvide. Sadsylighede p(3) for, at der udtrækkes 2 hvide kugler, er ifølge formel (11) side 23 lig med K(3, 2)/K(6, 2), som bliver 0.2. På tilsvarede måde får ma p() = K(,2) K(2,2) = ( 1) 2 = 1 2(2 1) Ved at forkorte med og lade gå mod uedelig, ses at brøkke går mod Det bemærkes at dee sadsylighed er de samme som sadsylighede for at trække 2 hvide kugler, år der trækkes 2 kugler med tilbagelægig fra e kasse med lige mage sorte og hvide kugler. 6. Alle sadsylighedere udreges ved hjælp af formel (11) side 23. Sadsylighede for, at de 5 kugler alle er røde, er lig med K(10,5) divideret med K(25,5), og ma får Når ma skal have etop 1 blå, skal de 4 øvrige være røde, og ifølge multiplikatiospricippet er atal gustige udfald derfor lig med K(15, 1) K(10, 4). Divideres med atal mulige udfald, altså K(25,5), får ma Sadsylighede p for, at der trækkes både røde og blå, ka udreges ved at fide sadsylighede 1 p for de modsatte hædelse, at der ku trækkes røde eller ku blå. Ved brug af additiospricippet får ma: hvilket giver p = p = K(10,5) K(25,5) + K(15,5) K(25,5) =

2 7. Der skal højst 5 ekstra spil til at få e afgørelse. Hvis A emlig ikke har vudet midst 2 gage efter disse spil, vil B have vudet midst 4. Der er 2 5 mulige udfald i de 5 spil, idet hvert spil giver e sejr til A eller B. Af de 32 udfald er 6 gustige for B, idet der er 6 udfald med midst 4 sejre til B. De 6 udfald består af det, hvor B får 5 sejre, og de 5, hvor A får etop 1 sejr. Pulje skal altså deles i forholdet 6 til Atallet af ruder er biomialfordelt med = 20 og p = Sadsylighede for højst 7 ruder ka derfor udreges som biomcdf(20,0.25,7), som er lig med Sadsylighede for midst 5 ruder er lig med 1- biomcdf(20,0.25,4), som er Atallet af løg, der spirer, er biomialfordelt med = 7 og p = 0.9. Sadsylighede for, at alle spirer, ka derfor udreges som biompdf(7,0.9,7), som er lig med Sadsylighede for, at etop 5 spirer, ka udreges som biompdf(7,0.9,5), som er lig med Når udtrækige foregår med tilbagelægig, er atallet af ruder biomialfordelt med = 5 og p = Sadsylighede for etop 2 ruder ka derfor udreges som biompdf(5,0.25,2), som er lig med Når udtrækige foregår ude tilbagelægig, fides sadsylighede ved at berege atal gustige divideret med atal mulige. De gustige består af 2 ruder og 3 kort, der ikke er ruder, så atal gustige er K(13,2) K(39,3). Divideres med atal mulige udfald, altså K(52,5), får ma Atallet af rigtige er biomialfordelt med = 10 og p = 0.5. Det gælder om at fide det midste r, så 1-biomcdf(10,0.5,r-1) er midre eller lig 0.05, det vil sige, så biomcdf(10,0.5,r) er større eller lig Ved at prøve sig frem får ma, at r skal være 9. På tilsvarede måde fider ma, at r skal være 59, hvis der laves 100 smagsprøver. Når atallet af smagsprøver er stort, vil sadsylighede for at får etop r rigtige blive lille, selvom om r ligger tæt på det atal rigtige, ma skal forvete, år der gættes, altså tæt på halvdele af smagsprøvere. 12. Sadsylighedsfordelige bliver x p(x) hvor x agiver gevistes størrelse. Ud af de 36 mulige udfald er der emlig 3, der giver e sum på over 10, og 10, der giver e sum på 5 eller deruder. Middelværdie udreges efter formel (14) side 35: µ = = 1 36 Bode vider altså i geemsit 1 kr. i løbet af 36 spil. 13. Atallet af kroe er biomialfordelt med et ukedt og p = 0.5. Sadsylighede for midst 1 kroe er 1 mius sadsylighede for 0 kroe. Idsættes i formel (13) side 27 med x = 0 får ma: Dee ulighed ka løses ete ved at prøve sig frem eller ved brug af logaritmer. Ma får at skal være midst

3 14. Atallet af plat er biomialfordelt med = 20 og p = 0.5. Da biomcdf(20,0.5,5)=0.021, biomcdf(20,0.5,6) er større ed og sadsylighedsfordelige er symmetrisk om 10, går ormalområdet fra 6 til X bliver 10, år ma 9 gage ikke får e sekser og derefter e sekser. Sadsylighede for ikke at få e sekser er 5/6 og kastee er uafhægige, så På tilsvarede måde får ma P(X = 10) = ( 1 6 )1 ( 5 6 )9 = P(X = r) = ( 1 6 )1 ( 5 6 )r 1 Summe af sadsylighedere bliver 1, som de jo skal og middelværdie bliver 6, som ma også vil forvete. 16. Middelværdie bliver og spredige 6.37, år de udreges ved hjælp af itervalmidtpuktere 158, 163, 168,..., 193 og de tilhørede hyppigheder. Geemsitshøjde er altså vokset fra 1950 til Hvis de opåede poits var ormalfordelte med middelværdi 514 og spredig 87, skulle adele af elever, der opåede 366 eller deruder kue udreges på lommeregere som ormalcdf(0,366,514,87). Dee sadsylighed bliver 0.044, altså ret tæt på de observerede 5 %. Tilsvarede med de adre kumulerede frekveser. 18. Ved differetiatio af de sammesatte fuktio f (x) får ma Produkregle giver så f (x) = x σ 2 f (x) f (x) = 1 σ 2 f (x) + x x ( σ 2 σ 2 f (x) = 1 + x2 ) f (x) σ 2 σ 2 Ligige f (x) = 0 ka så løses. 19. Sadsylighede for, at et dige med højde 1.4 overskylles, ka udreges på lommeregere som ormalcdf(1.4, 1000, 0.93, 0.2) = For at fide de højde x, som diget skal have, hvis sadsylighede for oversvømmelse skal være 0.02, ka ma lægge ormalcdf(x,1000,0.93,0.2) id på lommeregere som Y 1, og tallet 0.02 som Y 2. Grafere ka så teges på lommeregere og ved hjælp af Calc, Itersect ka x bestemmes. Ma får x = Geemsit og spredig ka for eksempel bereges ved at lægge de to observatiossæt id i lister på lommeregere og bruge 1-Var Stats. For matematik får ma et geemsit på 8.2 og e spredig på 1.8; for dask får ma et geemsit på 8.0 og e spredig på 1.0. I begge tilfælde er der 23 af observatioere, det vil sige 95.8 %, der afviger midre ed 2 gage spredige fra middelværdie. 5 6

4 21. Ved brug af 1-Var Stats på lommeregere får ma middelværdie 50 og spredige 5. Sadsylighede for, at atal plat afviger midre ed 2 gage spredige fra middelværdie, ka udreges som biomcdf(100, 0.5, 59) mius biomcdf(100, 0.5, 40), og ma får Observatioere skrives som e liste y = (y 1,...,y ). At ædre skalae betyder, at observatiossættet ædres lieært til ay + b, hvor a og b er positive. Formlere (30) og (31) side 74 viser at σ ay+b µ ay+b = aσ y aµ y = σ y µ y altså at variatioskoefficiete er uædret. 23. Resultatere afhæger af de tilfældige tal, me spredige på geemsit af 10 kast skulle gere være cirka 1/ 10 af spredige på et ekelt kast. 24. Histogrammere laves ved hjælp af Statplot, og et Widow, hvor x går fra 0 til 1 med x scl = 0.1. Fordeligere går fra at være at være meget skæve til klokkeformede, år går fra 1 til Ifølge formel (41) side 95 vil kofidesitervallet have edepuktere ± det vil sige gå fra 1.2 til 1.8. Da itervallet udelukkede består af positive tal, tyder tallee på at august er varmere ed jui. 26. Ved brug af formel (32) side 77 får ma ligige Ligige har løsige = = Det forvetede rigtige atal svar vil være x + (100 x) 13 idet x spørgsmål er rigtige, fordi eleve keder svaret, og ud af reste, hvor der gættes, må ma forvete at e trediedel er rigtige. Sættes udtrykket lig med 57, får ma e ligig, hvis løsig er Ifølge formel (49) side 94 har 95 %-kofidesitervallet e forvetet lægde på år atal kast er stort, idet frekvese af plat må forvetes at ligge tæt på 0.5, hvis møte er symmetrisk. Sættes dette udtryk lig med , får ma e ligig, hvis løsig er 400 millioer. 29. Ma ka beytte metode side Geemsittet på forskellee er 0.57 og spredige er Spredige på geemsittet er 0.926/ 10, som bliver Teststørrelse T bliver 0.57/0.293, som er lig med Dette resultat er ikke sigifikat på 5 %-iveau, me ligger lige på græse. 7 8

5 30. De 16 observatioer ragordes som på side 111; de to observatioer på 38 får begge rag Summe W af ragee af de 8 august-observatioer er Dette er ikke sigifikat, da acceptområdet ifølge tabelle side 113 går fra 50 til 86, år både 1 og 2 er Netafstemiger er stort set aldrig repræsetative, da de, der stemmer, ikke er udvalgt tilfældigt. Hvis afstemige drejer sig om, hvorvidt ma er for eller imod et eller adet, vil det oftest være såda, at de ee holdig er overrepræseteret ved afstemige, fordi persoer med de pågældede holdig er mere egagerede i spørgsmålet og derfor mere tilbøjelige til at deltage i afstemige. 32. Ma får y = 0.189x Isoleres x, får ma x = 5.29y Ligige side 122 foretrækkes, hvis absorberet lys skal forudsige fedtprocet, da dee regressiosliie havde absorberet lys som de uafhægige variabel. 33. Ma får e P-værdi på Nedbørsmægde i august er altså heller ikke ved dette test sigifikat midre ed i jui. 34. Ma må ok iddrage de studeredes ever som e baggrudsvariabel. Det kue tækes, at de, der have valgt A-iveau i matematik i gymasiet, i forveje havde bedre ever ed dem, der valgte B-iveau. At de så klarer sig bedre på politstudiets første år, kue skyldes de bedre ever og ikke så meget det, de havde lært i gymasiet. 35. Fuktioe f har forskrifte f (a) = (1 a 2) 2 + (4 a 4) 2 + (5 a 6) 2 + (6 a 12) 2 Efter brug af kvadratsætige ka forskrifte skrives ( )a 2 2( )a + ( ) Grafe for f er e parabel og toppuktets førstekoordiat bliver = 0.6 I Excel får ma da også regressiosliie y = 0.6x, år ma beder om at få e tedesliie, der skærer adeakse i 0. På samme måde som ovefor får ma geerelt at a = x iy i x 2 i Hvis x-værdiere ligger i liste L 1 og y-koordiatere i liste L 2 på lommeregere, ka a bereges som sum(l 1 L 1 )/(sum(l 2 1 ). 36. Med-med regressiosliie på ti84 bliver y = 4.63x ; dette er tæt på geemsittet af liie fra side 122 og liie fra opgave 32; ligigere var y = 4.06x og y = 5.29x år x er absorberet lys og y fedtprocet. Ma ka fide e beskrivelse af metode ved at søge i google på: mediamedia lie regressio idiaapolis auto race. 9 10

6 37. Ma ka for eksempel bruge Excel eller ti84. Regressiosliie bliver y = 0.055x Hældige er ikke sigifikat forskellig fra 0, da P-værdie bliver E ekspoetiel regressio giver y = x hvor x er sigtdybde og y er chlorophyl-kocetratio. E lieær regressio af log(y) på x giver log(y) = 0.317x og de to ligiger er esbetydede. Ved regressioe af log(y) på x får ma stadardfejle s res = Ifølge side 123 må log(y) forvetes at ligge i itervallet fra til med 95 % sadsylighed ved e sigtdybde på 3 meter. Med 95 % sadsylighed gælder altså log(y) 1.25 Heraf får ma at y må ligge mellem 3.27 og 17.8 med 95 % sadsylighed. 39. E sædvalig lieær regressio giver e P-værdi på , år der testes om hældige er Vi lader x være liste med x-værdier, altså x = (x 1,x 2,...,x ). Liste med forvetede y-værdier bliver så ŷ = âx + ˆb. Ifølge (31) side 74 er σŷ = σâx+ˆb = σ âx = â σ x Ved divisio med σ y får ma (118) af (117). Hvis tællere i (119) kaldes T, ka (119) skrives r = og formel (59) side 121 ka skrives T σx σy = â = T σ 2 x T σ x σ y Ved at idsætte sidstævte udtryk i (118) får ma r = T σ 2 x og ved at forkorte med σ x får ma (119) i forme ovefor. Med tallee fra opgave 39 får ma r = 0.468; dee korrelatio ka for eksempel bereges ved at lægge x-værdiere i e liste L 1, y-værdiere i e liste L 2 og udrege (119) på lommeregere ved hjælp af listere. De forvetede y-værdier ka udreges som L og lægges i e liste L 3. Residualere udreges som L 3 L 2 og lægges i e liste L 4. Ved brug af 1-Var Stats på hver af listere L 2, L 3 og L 4 får ma heholdsvis σ 2 y = 6.19, σŷ2 = 1.35 og σ 2 res = Hvis ma ser på de første 10 pukter fra opgave 39 får ma r = 0.472, mes de sidste 10 pukter giver r = σ x σ y 11 12

7 41. E SiReg på ti84 giver y = 8.2 si(0.512x 0.1) Ma atager at ω = 2π/12 og laver e multipel regressio af temperatur på cos(ωt) og si(ωt). Koefficietere til de to variable størrelser vil svare til Asi(ϕ) og Acos(ϕ). 42. Hvis ma vælger at bruge Excel åbes huspriser.xls. Der laves regressioer som beskrevet i file om brug af Excel på boges hjemmeside. Regressio af pris på heholdsvis kvm og grud giver: pris = 8.11 kvm+ 586 og pris = 0.4 grud+ 630 Kostate c ka bestemmes ved at lave e y søjle i regearket således: i F2 skrives: =B D2-0.4 E2; derefter trækkes edad til F56. I for eksempel G2 skrives: =middel(f2:f56); ma får 30.2, som svarer til c. E multipel regressio giver e model af forme: 43. Ved QuadReg på ti84 får ma prisidex = kvm grud y = 0.53x x Det samme får ma i Excel, år ma laver e multipel regressio med y afhægig variabel, og x og x 2 som forklarede variable. I regearket ka x- værdiere lægges i koloe 1, x 2 -værdiere i koloe 2, og y-værdiere i koloe De forvetede atal bliver 6.7, 24.2, 38.3, 24.2 og 6.7. For eksempel udreges 24.2 som 100 ormalcdf(12.5, 13.7, 14.3, 1.2). Idsættes i formel (68) side 146 får ma T = Udregige ka for eksempel foretages ved at lægge de observerede atal i e liste L 1, de forvetede atal i e liste L 2 og skrive sum((l 1 L 2 ) 2 /L 2 ). Hypotese accepteres, da P-værdie bliver De ka udreges på lommeregere ved hjælp af de kumulerede chi-i-adefordelig med 4 frihedsgrader. 45. Ved et eksakt biomialtest udreges 2biomcdf(306,0.5,133), som giver e P-værdi på Der scores altså sigifikat flere mål i ade halvleg. Ved et chi-i-ade-test bliver de forvetede atal mål i første og ade halvleg lig med 306/2, altså 153, da hypotese er, at der scores lige mage mål i de to halvlege. Idsættes i formel (68) side 146 får ma T = Hypotese forkastes også ved dette test, da P-værdie bliver De ka udreges på lommeregere ved hjælp af de kumulerede chi-i-ade-fordelig med 1 frihedsgrad. 46. Formel (72) side 155 brugt på tabelle, som de står i opgave, giver e OR på 1.176; byttes om på de to søjler får ma OR = = 0.85, som agivet side 157. Ved idsættelse i formle side 156 for spredige på l(ôr) får ma Et 95 %-kofidesiterval for l(or) har derfor edepuktere l(0.85) ± , det vil sige at det går fra til Et 95 %-kofidesiterval for OR går så fra e til e , det vil sige fra til Et χ 2 -test ka laves ved hjælp af Excel-skabeloe på boges hjemmeside. Ma får e P-værdi på ; der er altså sigifikat forskel på sadsylighede for at få e dreg i de to grupper

8 47. Resultatere vil aturligvis afhæge lidt af, hvad der simuleres, me tæthede for chi-i-ade-fordelige med 3 frihedsgrader skulle gere give e god beskrivelse af histogrammet. 48. De fire lister ka laves således: radbi(30,0.3,100) L 1 : 30-L 1 L 3 : radbi(40,0.3,100) L 2 : 40-L 2 L 4 Ved (L 1 L 4 )/(L 2 L 3 ) L 5 får ma e liste med tilhørede OR-værdier. Edelig giver l(l 5 ) L 6 e liste med l(or)-værdier. Ma må forvete, at middelværdi og spredig af l(or)-værdiere ligger omkrig 0 og Hvis ma på figure i opgavetekste erstatter X med x og sætter w = π/2 v er w = ta 1 (x). Sadsylighede for, at X er midre eller lig x, er de samme som lægde af itervallet fra π/2 til w divideret med lægde af itervallet fra π/2 til π/2; det vil sige w ( π/2) divideret med π. Ma får altså F(x) = P(X x) = w π = 1 π ta 1 (x) Differetiatio giver tæthedsfuktioe p(x) = F (x) = 1 1 π x Normalfordelige er mere kocetreret om 0 ed Cauchy-fordelige. 50. Middelværdie µ ka ved brug af formel (76) side 159 og tæthede side (161) udreges som µ = xp(x)dx = xλe λ x dx 0 Itegralet udreges som græseværdie af itegralet fra 0 til t, år t går mod uedelig. Ved delvis itegratio får ma: t 0 t xλe λ x dx = [ xe λ x ] t 0 + e λ x dx = te λt λ 1 e λt + λ 1 0 som går mod λ 1, år t går mod uedelig. At te λt går mod 0, år t går mod uedelig, kræver e speciel begrudelse; ma ka bruge sætiger om græseværdi af et produkt af e potesfuktio og e ekspoetialfuktio. Middelværdie er altså λ 1. I eksemplet med vetetid til et scoret mål får ma λ 1 = De kumulerede fordeligsfuktioe for X kaldes F, så F (x) = f (x). Om de kumulerede fordeligsfuktioe G for Y gælder: ( G(y) = P(Y y) = P(aX + b y) = P X y b ) ( y b ) = F a a Differetiatio af de sammesatte fuktio giver som i (121). g(y) = G (y) = 1 a F ( y b ) a = 1 ( y b ) a f a 15 16

9 52. Der gælder at F(u) = P(X u) = P(Z 2 u) = P( u Z u) Ma ka så omskrive videre F(u) = P(Z u) P(Z u) = 2Φ( u) 1 Ved differetiatio af sammesat fuktio får ma 53. Vi har at f (u) = F (u) = u Φ ( u) = 1 ϕ( u) = 1 e u/2 u 2πu G(u) = P(Y u) = P(l(Y ) l(u) = F(l(u)) Ved differetiatio af dee sammesatte fuktio får ma g(u) = G (u) = 1 u F 1 (l(u)) = 2 π σu e (l(u) µ)2 2 σ 2 På grudlag af data i file idkomst.txt ka idkomstere grupperes i itervaller med lægde 25 tusid. Vi iteresserer os ku for idkomster mellem 25 tusid og 750 tusid, og det første iterval går således fra 25 til 50, og det sidste fra 725 til 750. Itervalhyppighedere for de itervaller i idkomst.txt, der er lægere ed 25 tusid, deles i lige store dele ved opdelige i itervaller af lægde 25 tusid. Det sidste iterval har således hyppighede 80/10, altså 8. Itervalmidtpuktere lægges i e liste L 1 og hyppighedere i e liste L 2. Lav e y liste ved l(l 1 ) L 3. Fid skø over µ og σ ved hjælp af 1-Var Stats L 3,L 2. Ma får µ 5.1 og σ Histogrammet ka teges ved hjælp af Statplot ud fra listere L 1 og L 2, og de logaritmiske ormalfordelig ka lægges ovei ved at skrive Y 1 = 1/x ormalpdf(l x,5.1,0.57) Hvis vi kalder ivnorm for Φ 1 og sætter Z = Φ 1 (rad) gælder at P(Z z) = P(Φ 1 (rad) z) = P(rad Φ(z)) = Φ(z) 55. Ved brug af formlere (90) side 169 og (94) side 170 får ma: V(Z) = t 2 V(X) + (1 t) 2 V (Y) = t 2 σ 2 x + (1 t)2 σ 2 y Grafe for dee fuktio af t, som ka kaldes f (t), er e parabel med et miimumspukt. Miimumspuktet ka bestemmes ved at bruge formle for e parabels toppukt eller ved differetiatio, som edefor: Ligige f (t) = 0 er opfyldt, år f (t) = 2tσ 2 x 2(1 t)σ 2 y t 1 t = σ 2 y σ 2 x De to skø skal altså vægtes omvedt proportioalt med variasere. 56. Størrelsere y i opfattes som uafhægige stokastiske variable, mes x i ere er kostater. I de lieære regressiosmodel har y i middelværdi ax i + b og spredig σ 2. Regereglere (87) side 168 og (88) side 169 viser at middelværdie af tællere i (122) er lig med idet (ax i + b)(x i x) = a (x i x) = 0 x i (x i x) 17 18

10 Af samme grud ka ævere i (122) skrives (x i x) 2 = x i (x i x) x(x i x) = x i (x i x) Ved at dividere middelværdie af tælle med ævere får ma, at E(â) = a. Ved brug af regereglere (90) og (94) får ma V(â) = σ 2 (x i x) 2 ( (x i x) 2) 2 = σ 2 (x i x) 2 I udskrifte side 128 er stadardfejle 1.744, hvilket er et skø over σ ovefor. Tallee x i er tallee fra 1 til 45 og ævere i formle for V(â) bliver Udreges kvadratrode af V(â) ved hjælp af formle får ma , som svarer til stadardfejle på koefficiete til År i udskrifte. 58. Summe af sadsylighedere ka udreges således i j P 1 (u i )P 2 (v j ) = i P 1 (u i ) j P 2 (v j ) = P 1 (u i ) 1 = 1 i Ma ka evetuelt skrive udregigere op ude brug af summatiosteg i tilfældet = 2 og m = De 500 geemsit vil typisk ikke have midre spredig ed 500 tilfældige tal fra e Cauchy-fordelig. De 9 måliger har geemsittet 7.13 og mediae 4.8. Når grafe for likelihoodfuktioe laves på lommeregere ka ma vælge et vidue, hvor x går fra 2 til 8, og y går fra 0 til De har et maksimum i x = Projektioere y v og y e af y på heholdsvis v og e opfylder v (y y v ) = 0 og e (y y e ) = 0 Vektore y v + y e ligger i plae α. Desude gælder v (y y v y e ) = v (y y v ) v y e = 0 De to vektorer i sidste led er ortogoale, da projektioe af y på e er parallel med e, som står vikelret på v. På tilsvarede måde får ma e (y y v y e ) = 0 Vektore y v + y e er altså lig med projektioe af y på α

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Sadsylighedsregig og statistisk J. C. F. Gauss 777 855) Peter Haremoës Niels Brock 2. april 23 Idledig Dette hæfte er lavet som supplemet til 2. udgave af boge Mat B. Der er lagt vægt på at give e bedre

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Obligatorisk indikator i kvalitetsrapport 2.0. klasse for folkeskoler er en obligatorisk indikator i Kvalitetsrapporten.

Obligatorisk indikator i kvalitetsrapport 2.0. klasse for folkeskoler er en obligatorisk indikator i Kvalitetsrapporten. Socioøkoomi for karakterere for res afgagsprøver Obligatori idikator i kvalitetsrapport 2.0 De socioøkoomie for geemsittet af karakterere for de bude prøver for 9. klasse for folkeoler er e obligatori

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere