Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Afstande, skæringer og vinkler i rummet"

Transkript

1 Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold Introduktion 2 Punkt + Punkt 2 Linje + Punkt 4 4 Linje + Linje 9 4. To ens linjer To linjer som skærer i et punkt To linjer som ikke skærer, men er parallelle To linjer som ikke skærer og er vindskæve Plan + Punkt 26 6 Plan + Linje 2 6. Linjen ligger i planen Linjen skærer planen i et punkt Linjen skærer ikke planen Plan + Plan 4 7. De to planer skærer langs en linje De to planer skærer ikke

3 Resumé I dette dokument viser vi nogle eksempler på typiske beregninger i analytisk rumgeometri. Vi ser på afstande, skæringer og vinkler mellem de mest basale objekter: Punkter, linjer og planer. Introduktion Vi skal her se nogle eksempler på typiske problemer der kan løses inden for analytisk rumgeometri. Bemærk at eksemplerne er inddelt efter hvilke geometriske objekter der er i spil. Så hvis du har brug for et bestemt eksempel, så anbefales det at navigere ved hjælp af indholdsfortegnelsen. Forudsætninger For at forstå dette dokument skal du først kende til almindelig vektorregning med tredimensionelle vektorer, herunder krydsproduktet. Du bør også være fortrolig med de objekter som vi arbejder med: Punkter, linjer og planer herunder de forskellige måder at beskrive sådanne objekter på og de forskellige begreber som er knyttet til dem, såsom retningsvektorer og normalvektorer. Til gengæld er eksemplerne skrevet sådan at det ikke er nødvendigt at læse dem i rækkefølge. Tværtimod vil du opdage at der er rigtigt mange gentagelser såfremt du læser hele dokumentet. side

4 2 Punkt + Punkt Vi starter med det allersimpleste eksempel. Hertil har vi brug for følgende sætning: Sætning (Afstandsformlen). Hvis P = (x ; y ; z ) og Q = (x 2 ; y 2 ; z 2 ) er to punkter i det tredimensionelle koordinatsystem, så er afstanden mellem dem, P Q, givet ved: P Q = (x 2 x ) 2 + (y 2 y ) 2 + (z 2 z ) 2 Eksempel. Lad os sige at vi har punkterne: A = (7; 9; ) og B = ( ; 4; 0) Dermed er afstanden imellem dem: AB = ( 7) 2 + (4 9) 2 + (0 ( )) 2 = ( 0) 2 + ( 5) = 26 8, Dette er forresten det samme som først at beregne den såkaldte forbindende vektor mellem punkterne: side 2

5 AB = ( ) = 0 5 Og derefter finde længden af denne vektor: AB = ( 0) 2 + ( 5) side

6 Linje + Punkt Når man har et punkt og en linje i rummet, så er der to fornuftige spørgsmål at stille:. Ligger punktet på linjen? 2. Hvis ikke, hvad er så afstanden (underforstået: Den kortest mulige afstand) fra punktet til linjen. Til det sidste kan man f.eks. benytte sig af følgende formel hvis man holder mere af at sætte tal ind i formler end at være kreativ. Det skal dog bemærkes at man ofte kan spare en masse tid ved at være kreativ. Sætning 2 (Afstand fra punkt til linje). Hvis P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) er et punkt i det tredimensionelle koordinatsystem, og L er en linje hvorpå vi kender et punkt: Q = (x ; y ; z ) og hvortil vi har en retningsvektor r = r r 2 r så er den vinkelrette afstand fra P til L givet ved: dist(p, L) = P Q r r side 4

7 Eksempel 2. Lad os sige at vi har et punkt: P = ( ; 2; ) og en linje, L, givet ved parameterfremstillingen: x 7 8 y = 9 + t z 4 Dermed har vi umiddelbart et punkt på linjen, nemlig: Q = (7; 9; 4) og en retningsvektor for linjen, nemlig: 8 r = (Se i øvrigt figur ) Vi kunne starte med at undersøge om P ligger på L. Dette svarer til at undersøge om der findes en værdi af parameteren, t, sådan at: t 8 = 2 Dette er tre ligninger med t som den eneste ukendte. Den første ligning kræver at: 7 + t ( 8) = t = side 5

8 Man ser dog øjeblikkeligt at denne værdi af t ikke får de to andre ligninger til af være opfyldt, så der findes ingen sådanne t-værdier, og derfor ligger P ikke på linjen. I stedet kan vi beregne den vinkelrette afstand fra P til L. For at bruge formlen fra sætning 2 skal vi beregne: P Q = 7 ( ) 9 ( 2) 4 ( ) = 8 7 Derefter krydsproduktet: 8 P Q r = 7 8 = Derefter længden af dette krydsprodukt: P Q r = ( 0) 2 + ( 64) = ,4 Derefter længden af retningsvektoren: r = ( 8) = 74 8,6 Og så kan vi beregne afstanden: dist(p, L) = P Q r r 5,04 Alternativ metode: Man kan dog finde denne afstand ved en helt anderledes metode også. Denne metode er i virkeligheden smartere, fordi den kan bruges i mange andre situationer. side 6

9 Vi opskriver afstanden fra P til et vilkårligt punkt på L. Et vilkårligt punkt på L er givet ved: (x; y; z) = (7 + t ( 8); 9 + t ; 4 + t ) = (7 8t; 9 + t; 4 + t) hvor t er et vilkårligt reelt tal. Derfor bliver afstanden fra P til sådan et punkt en funktion af t, givet ved: A(t) = (x ( )) 2 + (y ( 2)) 2 + (z ( )) 2 = ((7 8t) ( )) 2 + ((9 + t) ( 2)) 2 + ((4 + t) ( )) 2 = (8 8t) 2 + ( + t) 2 + (7 + t) 2 Vores problem kan således løses ved at finde den mindste funktionsværdi for funktionen A. Dette kan f.eks. gøres ved at differentiere A og løse ligningen: A (t) = 0 Dette vil give de mulige ekstremumssteder, som derefter kan indsættes i A for at finde de tilhørende ekstremumsværdier. Vi vil her blot tegne grafen for A (se figur 2) og få grafprogrammet til at bestemme den mindste funktionsværdi. Dette bliver selvfølgelig det samme som sidst, nemlig: A(0,24) 5,04 En anden fordel ved denne metode er at man kan finde det punkt Q på linjen som ligger nærmest P. Det er bare et spørgsmål om at huske A(t) angav afstanden fra P til det punkt på linjen som svarede til parameterværdien t i parameterfremstillingen for L. Når vi derfor har fundet minimumsstedet for A til at være: t 0,24 så mangler vi kun af spørge parameterfremstillingen for L om hvilket punkt dette svarer til. Det giver: side 7

10 x y z = ,24 8 = 4,406 9,97 4,24 Altså er: Q = (4,406; 9,97; 4,24) det punkt på L som ligger nærmest P. Figur : Punktet og linjen fra eksempel Figur 2: Grafen for funktionen A i eksempel 2 side 8

11 4 Linje + Linje Hvis man har to linjer i rummet, så er der mange fornuftige spørgsmål at stille:. Er de parallelle? 2. Skærer de hinanden, og i givet fald hvor?. Hvis de skærer hinanden i et enkelt punkt, hvad er så vinklen som de danner i skæringspunktet? 4. Hvis ikke de skærer hinanden, hvad er så den kortest mulige afstand mellem dem? Til det sidste kan vi nogle gange bruge følgende formel: (Husk at to linjer kaldes vindskæve hvis de ikke skærer hinanden og ikke er parallelle.) Sætning (Afstand mellem to linjer). Hvis L og L 2 er to vindskæve linjer i rummet, hvortil vi kender et punkt, som ligger på hver af dem: og P L P 2 L 2 samt en retningsvektor for hver af dem: r og r 2, så er den korteste afstand imellem de to linjer givet ved: dist(l, L 2 ) = P P 2 ( r r 2 ) r r 2 side 9

12 4. To ens linjer Eksempel. Dette er nok det mærkeligste eksempel. To linjer kan nemlig godt se ret forskellige ud, og alligevel være præcis den samme linje. Lad os sige at vi har de to linjer på parameterform (se figur ): og L : L 2 : x y z x y z = = t + t Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t 8 = s Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 7 8t = 2 + 6s 8t = 6 + 6s t = 2 2s side 0

13 Denne sammenhæng kan indsættes i de to andre ligninger, som dermed bliver: 9 + ( 2 2s) = 6s og 4 + ( 2 2s) = 2 2s Hvis man kigger efter, så opdager man at begge disse ligninger er opfyldt uanset hvad s er! Det betyder at s kan være hvad som helst. Hvis bare t er lig 2 2s, så frembringer de to parameterfremstillinger det samme punkt. Men det betyder at hvert eneste punkt på L 2 også ligger på L med andre ord: De to linjer er fuldstændig ens! Figur : To ens linjer 4.2 To linjer som skærer i et punkt Eksempel 4. Lad os sige at vi har de to linjer på parameterform (se figur 4): side

14 og L : L 2 : x y z x y z = = t + t Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 2 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t 8 = s Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 7 8t = 5 + 4s 8t = 8 + 4s t = 2 s Denne sammenhæng kan indsættes i de to andre ligninger, som dermed bliver: 9 + ( s) = 5 6s 2 og 4 + ( s) = 6 2s 2 side 2

15 side

16 Hvis man kigger efter, så opdager man at disse to ligninger siger præcis det samme om s. De kan nemlig begge to omskrives til: 2 s = 2 2s 2s 2 s = 2 s = s = 2 Nu kan vi gå tilbage til den første ligning og se hvad t så må være, nemlig: t = 2 s = 2 Det betyder at de to parameterfremstillinger frembringer det samme punkt præcis hvis man sætter t = 2 ind som parameteren i den første parameterfremstilling og s = 2 ind som parameteren i den anden. Gør vi det første, får vi skæringspunktets koordinater: ( 2) 8 = Og gør vi det andet, får vi selvfølgelig de samme koordinater: = Altså er: Q = (2; ; 2) skæringspunktet mellem de to linjer. 2 2 side 4

17 side 5

18 Bemærk at vi her var heldige med at de to sidste ligninger sagde præcis det samme om s, sådan at løsningen til den ene af disse ligninger også passede med den anden. Dette held svarer til det held som skal til for at to tilfældige linjer i rummet lige præcis skærer hinanden. De fleste gange vil de to sidste ligninger sige noget forskelligt om s, sådan at de ikke kan blive opfyldt på samme tid. Det skal vi se to eksempler på lige om lidt. Lige nu har vi fundet ud af at de to linjer skærer hinanden i et enkelt punkt, og så er det meget naturligt at tilføje spørgsmålet: Hvad er den vinkel som de to linjer danner i skæringspunktet? Dette er heldigvis meget nemt. Hvis man forestiller sig de to retningsvektorer indtegnet fra skæringspunktet, så er strategien indlysende: Vi finder bare vinklen imellem de to retningsvektorer. Denne vinkel, α er som bekendt fastlagt af sammenhængen: I vores tilfælde er: og længderne er: cos(α) = r r 2 r r 2 r r 2 = ( 8) 4 + ( 6) + ( 2) = 44 r = ( 8) = 74 og Så derfor er: r 2 = ( 6) 2 + ( 2) 2 = 56 cos(α) = ,684 α cos ( 0,684), side 6

19 Bemærk dog at to linjer som skærer hinanden altid vil danne to forskellige vinkler: en stump og en spids. Normalt er det den spidse vinkel man mener når man bare siger vinklen mellem dem. Denne kan hurtigt udregnes ved: 80 α 46,9 Figur 4: To linjer som skærer i et enkelt punkt. 4. To linjer som ikke skærer, men er parallelle Eksempel 5. Lad os igen starte med to linjer på parameterform: x 7 8 L : y = 9 + t z 4 side 7

20 og L 2 : x y z = t Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 4 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t 8 = s Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: 7 8t = 5 + 6s 8t = 8 + 6s t = 2s Indsætter vi denne sammenhæng i de to sidste ligninger, får vi: og 9 + ( 2s) = 5 6s 4 + ( 2s) = 6 2s Disse to ligninger er ret underlige. De kan nemlig omskrives til henholdsvist: 6 6s = 5 6s og 2s = 6 2s side 8

21 side 9

22 Og det er klart at ingen værdier af s kan få disse ligninger til at gælde 5 Der er altså ingen værdier af parametrene som får de to parameterfremstillinger til at producere det samme punkt. Derfor skærer vores linjer ikke hinanden. I denne situation er næste oplagte skridt at undersøge om de to linjer er parallelle eller ej. Det gør man ved at undersøge om linjernes retningsvektorer: 8 r = og r 2 = er parallelle. Her er det måske ret indlysende at: r 2 = 2 r Så de to linjer er parallelle. Men det kan nogle gange være lidt sværere at se om to vektorer er parallelle eller ej. I så fald kan man beregne deres krydsprodukt og se om det giver nulvektor. I vores tilfælde er: r r 2 = = Hvilket igen viser at de to linjer er parallelle. Nu er det meget naturligt at tilføje spørgsmålet: Hvad er den korteste afstand mellem de to linjer? Eftersom linjerne er parallelle er dette meget nemt at besvare: Den korteste afstand kan beregnes ved at vælge et tilfældigt punkt på den ene linje, f.eks. P = (7, 9, 4) side 20

23 (som ligger på L ) og så beregne den vinkelrette afstand fra dette punkt til L 2. Dette foregår præcis som i eksempel 2, så vi vil ikke gentage det her. Figur 5: To linjer som ikke skærer hinanden, men som er parallelle. 4.4 To linjer som ikke skærer og er vindskæve Den sidste mulighed er den som forekommer oftest hvis man bare vælger to tilfældige linjer: Eksempel 6. Vi starter med to linjer på parameterform (se figur 6): x L : y = z t side 2

24 og L 2 : x y z = t 8 Hvis vi skal undersøge om de skærer hinanden, skal vi altså (igen igen) spørge om den ene parameterfremstilling nogensinde frembringer et punkt som den anden parameterfremstilling også frembringer. Med andre ord: Findes der en værdi, t, af parameteren for L og en (eventuelt anden 6 ) værdi, s af parameteren for L 2, sådan at: t = s 8 Dette er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning siger at: + t = 5 + 8s t = 2 + 8s Indsætter vi denne sammenhæng i de to sidste ligninger, får vi: og 9 + (2 + 8s) = 5 s 5 (2 + 8s) = 6 s Den første af disse ligninger kan hurtigt løses og giver at: 27s = 0 s = 0 27 = 0 9 Men den anden ligning kan løses lige så hurtigt og giver: 2s = 47 side 22

25 s = 47 2 Så de to sidste ligninger kan aldrig komme til at blive opfyldt på samme tid. Altså findes der ingen valg af parametrene som giver det samme punkt i de to parameterfremstillinger, og derfor skærer linjerne ikke hinanden. I stedet kan vi nu undersøge om linjerne skulle være parallelle. Det gør vi igen ved at se på retningsvektorer for de to linjer: r = og r 2 = Krydsproduktet af disse giver: r r 2 = 8 8 = Da dette ikke er nulvektor, er de to linjer ikke parallelle. Nu er det så oplagt at stille spørgsmålet: Hvad er den mindste afstand mellem de to linjer? Hertil kan vi bruge formlen fra sætning. Vi har allerede krydsproduktet af de to retningsvektorer: 2 r r 2 = 2 27 side 2

26 Figur 6: To linjer som ikke skærer hinanden, og som er vindskæve. Længden af dette krydsprodukt er hurtigt udregnet: r r 2 = ( 2) 2 + ( 2) 2 + ( 27) 2 = 402 7,44 Til sidst skal vi bruge den forbindende vektor mellem et punkt P på den ene linje og et punkt P 2 på den anden. Vi vælger: og Dermed er: P = (; 9; 5) P 2 = (5; 5; 6) P P 2 = Og prikproduktet med krydsproduktet ovenfra: P P 2 ( r r 2 ) = 2 ( 2) + 6 ( 2) + ( 27) = 579 Dermed giver sætning at den korteste afstand mellem de to linjer er: dist(l, L 2 ) = 579 5, side 24

27 Bemærk at formlen fra sætning kun giver mening når krydsproduktet af de to retningsvektorer er forskelligt fra nulvektor. (Ellers kommer vi til at dividere med nul). Hvis man ikke bryder sig om at sætte tal ind i formler, så kan man også finde afstanden mellem de to linjer ved følgende snedige fremgangsmåde. Dette er i øvrigt også fremgangsmåden i beviset for sætning. Ideen er ikke nem at få, fordi det er ret svært at forestille sig at man til to vindskæve linjer altid kan finde to planer som er parallelle og som indeholder hver sin linje. Hvis man ser på figur 7 bliver det forhåbentlig lidt lettere at visualiere.. Beregn krydsproduktet af de to retningsvektorer. Dette er en vektor som er vinkelret på begge retningsvektorerne. 2. Vælg et punkt på hver af linjerne.. Lav nu to planer som begge har ovenstående krydsprodukt som normalvektor, og som går gennem hvert af de to valgte punkter. Disse planer vil være parallelle, og hver især indeholde en af de to linjer (fordi linjerne løber vinkelret på den fælles normalvektor). 4. Beregn nu afstanden mellem de to parallelle planer (se afsnit 0 hvordan det foregår.) side 25

28 Figur 7: De to vindskæve linjer fra eksempel 6 med deres indlagte parallelplaner. 5 Plan + Punkt Når man har en plan og et punkt, så er der kun to oplagte spørgsmål at stille:. Ligger punktet i planen? 2. Hvis ikke, hvad er så afstanden (underforstået: den kortest mulige afstand) fra punktet til planen? Til at besvare det sidste spørgsmål kan man f.eks. bruge følgende formel: Sætning 4 (Afstand fra punkt til plan). Hvis P er et punkt i rummet, og α er en plan, hvorpå vi kender et punkt, P 0 samt en normalvektor: n, så er den vinkelrette afstand fra P til α givet ved: dist(p, α) = P 0 P n n side 26

29 side 27

30 Eksempel 7. Det kunne tænkes at vi havde en plan givet ved parameterfremstillingen: Og et punkt α : x y z = t P = (; 9; 7) 8 + s Hvis vi skal undersøge om P ligger i α, så skal vi altså undersøge om der findes værdier s og t af de to paramtre, sådan at: t 4 + s = Det er tre ligninger med s og t som ukendte. Den første ligning kan omskrives til: 7 8t + 2s = s = + 4t Dette indsættes i de to andre ligninger, hvilket giver: 9 + t + ( + 4t) = og 4 + t + 7 ( + 4t) = 7 Den første af disse to ligninger giver at: 7t = t = 7 side 28

31 Men den anden af ligningerne giver at: 29t = 8 t = 8 29 Disse to ligninger kan altså ikke komme til at gælde på samme tid, så der findes ingen værdier af s og t, sådan at planens parameterfremstilling producerer punktet P. Så P ligger ikke i planen. Til gengæld kan vi så spørge: Hvad er den korteste afstand fra P til planen? Til dette kan vi bruge sætning 4, som siger at vi skal bruge et punkt i planen og en normalvektor. Som punktet kan vi bruge: P 0 = (7; 9; 4) og som normalvektor kan vi bruge krydsproduktet af de to retningsvektorer: n = = Så er det blot at beregne den forbindende vektor: P 0 P = = Og prikproduktet: P 0 P n = ( 4) = 78 Og længden af normalvektoren: n = ( 4) 2 = ,9 Dermed giver sætning 4 at afstanden fra P til α er: dist(p, α) = P 0 P n n side = ,24

32 side 0

33 Eksempel 8. Det kunne også tænkes at vi havde planen givet ved en ligning. F.eks: Hvis vi så fik et punkt, f.eks. (x ) + (y + 2) 4 (z + ) = 0 P = (; 0; ) så er det endnu nemmere at tjekke om punktet ligger i planen. Vi skal blot undersøge om punktets koordinater opfylder planens ligning. Når x =, y = 0 og z =, så giver: (x ) + (y + 2) 4 (z + ) = = 0 Dermed opfylder P s koordinater planens ligning, og derfor ligger P i planen. Dette havde man også opdaget hvis man havde forsøgt at finde afstanden mellem P og planen. I dette tilfælde kan vi aflæse koordinaterne til en normalvektor som koefficienterne i planens ligning. Dermed får vi en normalvektor: n = 4 Og et punkt i planen kan findes ved (fordi vi er dovne) finde tre koordinater som opfylder planens ligning. Det hurtigte gæt er: P 0 = (; 2; ) Når vi nu beregner den forbindende vektor: P 0 P = = 0 ( 2) ( ) side

34 Så får vi sjovt nok prikproduktet: P 0 P n = ( 4) = 0 6 Plan + Linje Når man har en plan og en linje, så er der følgende fornuftige spørgsmål at stille:. Skærer linjen planen? 2. Hvis linjen skærer planen i et enkelt punkt, hvad er så vinklen som der dannes i skæringspunktet?. Hvis ikke linjen skærer planen, hvad er så afstanden fra punkterne på linje til planen? 6. Linjen ligger i planen Det kan forekomme at en given linje simpelt hen ligger i planen (også selvom det ikke umiddelbart kan ses). Eksempel 9. Vi ser på linjen givet ved parameterfremstillingen: x 6 L : y = z t 2 Og så indfører vi en plan, α, givet ved parameterfremstillingen: x 5 8 α : y = 5 + t 4 + s z 6 side 2

35 Denne plan kan også angives med ligningen: α : (x 5) + 7 (y 5) 20 (z 6) = 0 Vi skal nu se at det er meget smartere at bruge ligningen for α frem for parameterfremstillingen. Man kan dog gøre begge dele, og vi starter naturligvis med det mest besværlige. At spørge hvorvidt linjen skærer planen svarer til at spørge om der findes en værdi, u af parameteren for linjen 7, samt (gerne helt forskellige) værdier s og t af parametrene for planen, sådan at de to paramterfremstillinger producerer det samme punkt. Dvs: u 6 2 = t s Dette er tre ligninger med u, s og t som ukendte. Den første ligning kræver at: + 6u = 5 + 8t + s og s = 6 + 6u 8t Hvis dette indsættes i de to andre ligninger, så bliver de til: 7 + 2u = 5 4t + (6 + 6u 8t) ( ) 7 + u = 6 t (6 + 6u 8t) Dette er to ligninger med u og t som ukendte. Vi isolerer t i den nederste: 7 + u = 6 t 6 6u + 8t 7 + 7u = 7t t = + u side

36 side 4

37 Indsættes dette i den øverste, får vi: 7 + 2u = 5 4 ( + u) + (6 + 6u 8 ( + u)) ( ) 7 + 2u = 5 4 4u 8 8u u Kigger man nøje efter, så ser man at denne ligning overhovedet intet siger om u. Den er opfyldt uanset hvilken værdi vi giver u. Det betyder at parameteren, u i linjens parameterfremstilling kan være hvad som helst, og så vil planen producere det samme punkt som linjen hvis blot vi bruger parameterværdierne: og t = + u s = 6 + 6u 8t Sagt med andre ord: Ethvert punkt på linjen ligger også i planen. Alternativ metode: Det er meget nemmere at bruge planens ligning frem for paramterfremstillingen. Hvis man vil undersøge hvorvidt linjen skærer planen, skal man blot undersøge om der finden nogen værdier, t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. Vi undersøger altså om et punkt af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = ( + 6t; 7 + 2t; 7 + t) (x 5) + 7 (y 5) 20 (z 6) = 0 (( + 6t) 5) + 7 ((7 + 2t) 5) 20 ((7 + t) 6) = 0 side 5

38 6 + 6t t 20 20t = 0 0 = 0 Igen ser vi at denne ligning er opfyldt uanset hvilken værdi af t vi indsætter. Det betyder (endnu en gang) at ethvert punkt på linjen ligger i planen. 6.2 Linjen skærer planen i et punkt Dette er langt det hyppigste tilfælde. Eksempel 0. Vi ser på linjen, L, givet ved parameterfremstillingen: L : x y z = Og planen, α, givet ved ligningen 8 : + t 6x + 7y z + 6 = 0 2 Hvis vi skal undersøge hvorvidt linjen skærer planen, så kan vi spørge om der findes en værdi t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. Vi undersøger altså om et punkt af typen: (x; y; z) = (4 t; 2 + 2t; 7 t) opfylder ligningen: 6x + 7y z + 6 = 0 side 6

39 6 (4 t) + 7 (2 + 2t) (7 t) + 6 = t t 2 + 9t + 6 = t = 0 t = 2 7 Præcis for denne værdi af t producerer linjens parameterfremstilling et punkt som ligger i planen. Hvis vi er interesserede i hvilket punkt det er, skal vi blot indsætte værdien i parameterfremstillingen: x 4 y = 2 2 5, ,706 z 7,06 Det vil sige at linjen skærer planen i punktet: P (5,5; 0,706;,06) I denne situation er det oplagt at tilføje spørgsmålet: Hvilken vinkel danner linjen med planen i skæringspunktet? Det er ikke helt oplagt hvordan man skal finde denne vinkel. Det viser sig at man skal en lille omvej:. Find en normalvektor for planen. 2. Find vinklen, v mellem denne normalvektor og en retningsvektor for linjen.. Hvis v er mellem 0 og 90, så er vinklen mellem planen og linjen 90 v Ellers er den v 90 side 7

40 I vores tilfælde kan en normalvektor for planen aflæses fra ligningen: n = 6 7 Og en retningsvektor for linjen er jo: r = 2 Vinklen, v mellem disse to vektorer er givet ved: Dvs. cos(v) = = = n r n r 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ,47 v cos (0,47) 62, Dermed er vinklen som linjen danner med planen i skæringspunktet: 90 v 27,9 6. Linjen skærer ikke planen Til sidst skal vi lige se et eksempel hvor linjen slet ikke skærer planen. side 8

41 Figur 8: En plan og en linje som skærer den. side 9

42 Eksempel. Vi ser på linjen, L, givet ved parameterfremstillingen: L : x y z = 9 0 Og planen, α, givet ved ligningen: + t 6x + 7y z + 6 = 0 Hvis vi skal undersøge hvorvidt linjen skærer planen, så kan vi spørge om der findes en værdi t af parameteren for linjen, sådan at det producerede punkt opfylder planens ligning. Vi undersøger altså om et punkt af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (9 + t; 0 t; t) 6x + 7y z + 6 = 0 6 (9 + t) + 7 (0 t) ( t) + 6 = t t + t + 6 = 0 7 = 0 Denne ligning har helt tydeligt ingen løsninger. Derfor er der ingen skæringspunkter mellem linjen og planen. Vi kan i stedet stille spørgsmålet: Hvad er den korteste afstand mellem linjen og planen? Eftersom linjen nødvendigvis løber parallelt med planen, kan dette gøres bare ved at vælge et punkt på linjen, og så beregne afstanden fra dette punkt til planen, præcis som i eksempel 7. side 40

43 Figur 9: En plan og en linje som ikke skærer den. 7 Plan + Plan Når man står med to planer, så er følgende spørgsmål fornuftige at stille:. Skærer de to planer hinanden? 2. Hvis de skærer hinanden langs en linje, hvad er det så for en linje, og hvad er vinklen mellem de to planer langs med denne linje?. Hvis ikke de skærer hinanden, hvad er så afstanden imellem dem? For at undersøge om to planer skærer hinanden kan man enten have dem begge givet ved en parameterfremstilling, begge givet ved en ligning, eller den ene ved en ligning og den anden ved en parameterfremstilling. Det viser sig at være det sidste som er langt nemmest at håndtere. Derfor vil vi antage at det er tilfældet i alle eksemplerne 9. 9 Man kan sagtens stille noget op i de andre tilfælde. Men det vil næsten altid være hurtigere at omskrive den ene plan sådan at de er givet på hver sin måde. side 4

44 7. De to planer skærer langs en linje Lad os sige at vi har en plan, α, givet ved parameterfremstillingen: x 9 α : y = 0 + t + s z og en anden plan, β, givet ved ligningen: β : 7(x ) 2(y + ) + (z + 8) = 0 Figur 0: To planer som skærer hinanden langs en ret linje. Hvis vi skal undersøge hvorvidt de skærer hinanden, kan vi spørge om der findes værdier, s og t af parametrene i parameterfremstillingen for α hvor det producerede punkt opfylder ligningen for β. Vi skal altså undersøge hvornår punkter af typen: opfylder ligningen: (x; y; z) = (9 + t s; 0 t s; t s) 7(x ) 2(y + ) + (z + 8) = 0 side 42

45 7((9 + t s) ) 2((0 t s) + ) + (( t s) + 8) = t 7s t + 6s 2 + t s + 24 = t 4s = 0 s = 6 + 6t = 5,25 + 6t 4 Hvis man bruger værdier af s og t som hænger sammen på denne måde, så vil parameterfremstillingen for α altså producere punkter som også ligger i β. Man kan altså selv bestemme værdien af t, men så skal man til gengæld vælge ovenstående værdi af s. Når man gør det, så kan udregningen skrives som: x 9 y = 0 + t + (5,25 + 6t) z = = t 6,25 5,75 4,25 + t ,25 45,75 5,25 + t Nu er der kun en fri parameter tilbage, og således står vi sørme med en parameterfremstilling af en linje. Dette er selvfølgelig skæringslinjen mellem de to planer. Man kan nu tilføje spørgsmålet: Hvad er vinklen som de to planer danner langs med skæringslinjen? side 4

46 Bemærk at der som regel er to sådanne vinkler: En som er spids og en som er stump. Når der ikke nævnes andet, er det altid den spidse man mener. For at finde denne vinkel går man en lille omvej, som kan være lidt svær at finde på selv. Det hjælper hvis man forestiller sig at se de to planer fra siden, idet man kigger langs med skæringslinjen. Nu ligner de to planer bare to linjer som skærer, og som danner præcis den vinkel vi er ude efter. Desværre har vi ikke nogen vektorer som peger præcis langs med disse linjer. Derfor finder vi på at kigge på normalvektorer til de to planer i stedet for. Her er metoden:. Find en normalvektor for hver af planerne. 2. Beregn vinklen v imellem disse to normalvektorer.. Hvis v er mellem 0 og 90, så er det den vinkel vi er ude efter. 4. Hvis v er mellem 90 og 80, så er den spidse vinkel mellem planerne: 80 v 5. Hvis v er mellem 80 og 270, så er den spidse vinkel mellem planerne: v Hvis v er mellem 270 og 60, så er den spidse vinkel mellem planerne: 60 v I vores tilfælde kan vi beregne en normalvektor for α som krydsproduktet af de to retningsvektorer: 0 n = = 4 2 side 44

47 Og vi har en normalvektor for β direkte fra ligningen: 7 n 2 = 2 Vinklen v imellem disse to er givet ved: cos(v) = n n 2 n n ( 2) + ( 2) = ( 2) ( 2) = ,44 Dvs. ( ) v = cos 44 6, Så vi er i tilfælde (4) ovenfor. Derfor er den spidse vinkel mellem planerne: 80 v 6,8 7.2 De to planer skærer ikke Den sidste situation er meget simpel: Hvis ikke de to planer skærer, så er det fordi de er parallelle. Det kan de dog godt være uden at det er tydeligt fra præsentationerne af dem. Eksempel 2. Lad os sige at vi har en plan α givet ved parameterfremstillingen: side 45

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4

10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4 1/11/213 Avedøreværket Matematik og IT Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4 Indhold Forord... 2 Matematik... 3 a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen... 4 b) Opstil en

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen

a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen Opgave 1 Lufthavnen Airtowns landingsbane kan tilnærmelsesvist beskrives som (del af) en plan. Med et passende indlejret koordinatsystem (hvor koordinatværdierne kan tolkes som målt i km, -planen er den

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken:

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken: Vektorer i Maple En arbejdsseddel Vælg eventuelt >View>Expand all sections. Husk også, at du kan få brug for at markere udregninger og trykke Enter i det følgende. Rammer for arbejdet Gruppe 1 Kristine,

Læs mere

Rumfang af væske i beholder

Rumfang af væske i beholder Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere