Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation."

Transkript

1 H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - forår Opgaveløser: Martin Hofman Laursen Joachim Bramsen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. 5 og 31 Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation. Martin har skrevet afsnit: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 6.1, 6.2, 6.5, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 11.1, 11.2, 11.3, 13.3 Joachim har skrevet afsnit: 3.5, 4.1, 6.3, 6.4, 8.1, 9., 13.1, 13.2 Sammenfatninger og konklusioner er skrevet i fælleskab. Handelshøjskolen i København 1

2 1. Problemformulering Indledning Problemformulering Metode Afgrænsning Kildekritik Optionsbegrebet Stokastiske processer Markov Wiener processer Generaliserede Wiener processer Ito s proces Ito s Lemma Risikoneutral prisfastsættelse Udledning af risikoneutral prisfastsættelse Sammenfatning Værdiansættelses modeller Black & Scholes formel Aktiebinomialmodellen Monte Carlo simulation Regressioner Least Squares Monte Carlo simulation Sammenfatning Implementering af modellen VBA funktioner Konvergens af LSM modellen Sammenligning af værdiansættelse modeller Call option uden udbytte Call option - med udbytte Put option - uden udbytte Put option - med udbytte Følsomhedsanalyse

3 11.1 Rentefølsomhed Volatilitetsfølsomhed Tidsfølsomhed Sammenfatning Prisfastsættelse af asiatisk bermuda option Asiatiske optioner Asiatisk bermuda option - værdiansættelse Asiatisk bermuda option - prisniveau Konklusion Litteraturliste: Bilag:

4 1. Problemformulering 1.1 Indledning Brugen af finansielle instrumenter er vokset i det 21 århundrede. Derivater og forskellige former for risikostyringsinstrumenter er blevet en større del af finansiel behandling. Optioner er også et instrument som er mere anvendt end tidligere, dog ikke så meget i Danmark som i vores nabolande. Samtidig er optionsaflønningsprogrammer blevet mere hyppige, i hvert fald frem til starten af den finansielle krise. Derfor er værdiansættelsen af optioner et område der har fået større opmærksomhed de seneste årtier. Til værdiansættelse af europæiske optioner har man i dag indarbejdet en klar metode, nemlig Black & Scholes formel, som Scholes, Merton og den afdøde Black vandt nobelprisen i økonomi for, i I forbindelse med værdiansættelse af amerikanske og bermuda optioner eksisterer der os bekendt ikke en lukket formel til denne udregning. Der eksisterer dog en række metoder til at værdiansætte amerikanske optioner, herunder finite difference (endelig differens) samt aktiebinomialmodellen. En vanilla bermuda option kan sådan set også værdiansættes indenfor disse rammer. Endnu en metode, er Least Squares Monte Carlo metoden, som denne opgave vil fokusere på. Det spændende ved Least Squares Monte Carlo metoden er, at den udover at kunne håndtere derivater med mulighed for førtidig indfrielse, også kan håndtere stiafhængige instrumenter. Stiafhængige instrumenter dækker over eksempelvis asiatiske optioner eller konverterbare obligationer, og hvis disse også inkluderer et element af førtidsindfrielse er de altså ekstra vanskelige at værdiansætte. Generelt er metoden meget fleksibel, og der er mulighed for at værdiansætte en lang række derivater. Vi ønsker at give en forståelse af denne metode og teste et udsnit af metodens muligheder samt dens præcision. 4

5 1.2 Problemformulering Udvikle en Least Squares Monte Carlo model der kan håndtere stiafhængighed samt vurdere metodens og modellens præcision, og herefter værdiansætte en asiatisk bermuda option. I denne proces gennemgår vi følgende punkter. - En redegørelse af den relevante grundlæggende teori vedrørende stokastiske processer og derivater. - En redegørelse tre metoder hvorpå man kan værdiansætte en option: Black & Scholes formel, aktiebinomialmodellen og Least Squares Monte Carlo metoden. - Analysere og diskutere præcisionen af Least Squares Monte Carlo i forhold til de øvrige metoder, herunder at klarlægge fordele og ulemper ved Least Squares Monte Carlo metoden. - Værdiansættelse af en asiatisk bermuda option ved hjælp af den, til formålet, udarbejdede Least Squares Monte Carlo model. 1.3 Metode For at definere den underliggende stokastiske aktieproces der vil blive brugt i den senere værdiansættelse, redegøres der først for den generelle teori vedrørende stokastiske aktieprocesser samt princippet om risikoneutral prisfastsættelse. Yderligere redegøres der for de værdiansættelsesmetoder der vil blive brugt som sammenligningsgrundlag. Alt dette vil især blive gjort forståeligt gennem praktiske eksempler. En nærmere beskrivelse af Least Squares Monte Carlo simulation (LSM) vil tage udgangspunkt i den fundamentale teori og ende ud i opbygning af en VBA model som kan værdiansætte bermuda optioner. 5

6 En test af både programmeringskoden samt selve LSM metoden vil blive foretaget ved empirisk at observere modellens output i forhold til de tidligere nævnte værdiansættelsesmodeller. Herunder både konvergens af værdier, samt modellens følsomhed over for diverse parametre. LSM metoden vil derefter blive brugt til at værdiansætte en asiatisk bermuda option, og den konkrete værdiansættelse vil blive analyseret. 1.4 Afgrænsning Opgaven har valgt at fokusere på LSM metoden og for at simplificere processen, bliver der fokuseret på aktier som det underliggende aktiv. I praksis er det nok ikke det underliggende aktiv der bliver handlet flest bermuda optioner på, men det kan fint være med til at illustrere metoden uden at komplicere eksemplerne mere end højst nødvendigt. I opgaven er der antaget perfekte markeder, det vil dog aldrig holde stik i virkeligheden, men det er nødvendigt for at kunne drage nogle fornuftige konklusioner om opgavens modeller. Endvidere anteages det at der ingen skat og transaktionsomkostninger er, samt at alle aktører kan låne og udlåne til den risikofrie rente. Det er vores opfattelse jvf. de analytikere vi har snakket med, at de nuværende markeder bestemt ikke følger de simple teoretiske modeller, da effekter såsom manglende likviditet, aktiebobler, sentiment-trading og irrationelle investorer spiller en langt større rolle en tilfældet var før den finansielle krise. Opgaven vil derfor i høj grad holde sig indenfor en teoretisk ramme, da vores antagelser samt modeller højst sandsynligt ikke vil svare til virkeligheden som den ser ud nu. 1.5 Kildekritik Som kilde til opbygningen af Least Squres Monte Carlo modellen er Longstaff & Schwartz artiklen udelukkende blevet benyttet, man kunne have ønskes sig flere kilder for at sikre troværdigheden. Endvidere har det været utrolig svært at finde dybdegående litteratur om værdiansættelse af bermuda optioner samt markedsdata. 6

7 2. Optionsbegrebet Da denne opgave grundlæggende handler om værdiansættelse af forskellige typer af optioner, vil der her blive redegjort for hvad der helt overordnet set, karakterisere en option. Yderligere vil der også blive introduceret begreber som vil blive benyttet flittigt igennem opgavens afsnit. En option er en ret til at købe eller sælge et aktiv eller passiv til en på forhånd aftalt pris, i en bestemt tidsperiode. Ved en option har man altså en ret men ikke en pligt, til at handle. En helt normal option, en plain vanilla, vil altid være en aftale mellem en investor og en udsteder. Investoren betaler up-front en præmie til udstederen for at købe optionen. Når denne præmie er betalt opnår investoren en ret, men ikke pligt til, at handle en given mængde af et givet aktiv til en forud aftalt pris også kaldet strikekurs eller exercisekurs. Hvis optionen kun kan udnyttes ved udløb, kaldes det for en europæisk option. Alternativt kan optionen give investor retten til at udnytte optionen under hele dens løbetid. Det kaldes for en amerikansk option. En mellemting mellem disse to typer, bermuda optioner, som kan udnyttes på udvalgte tidspunkter. Eksempelvis den første dag i hvert kvartal. Konverteringsoptionen i et konverterbart obligationslån, opfører sig som en bermuda option, selvom det reelt er en amerikansk option. Grunden til at det kaldes en bermuda option skyldes simpelthen at bermuda området ligger midt i mellem USA og Europa. Der findes to typer af optionsrettigheder. En køberet (call option) giver erhververen en ret til at erhverve et aktiv eller et passiv til en på forhånd aftalt pris eller inden et bestemt tidspunkt. Udstederen er forpligtet til at sælge, hvis køberetten udnyttes. Grafen nedenfor illustrer hvordan en købt og en solgt call option bevæger sig. Disse to optioner er hinandens fuldstændige modsætninger og at prisen starter på henholdsvis 1,5 og -1,5 betyder simpelthen at optionen har kostet noget at erhverve. Det giver dermed et negativt udgangspunkt for investoren, der først begynder at tjene penge, når kurven krydser x-aksen. 7

8 Call option 4 købt call solgt call 3 2 payoff pris En salgsret (put option) giver erhververen en ret til at sælge et aktiv eller et passiv til en på forhånd aftalt pris eller inden et bestemt tidspunkt. Udstederen er forpligtet til at købe, hvis salgsretten udnyttes. Grafen nedenfor illustrer payoff profilen på dels en købt og solgt put option, igen følger disse hinanden med modsat fortegn. 4 Put option Købt put Solgt put For en call option er payoff givet ved: 8

9 Max(S - X; 0) som er forskellen mellem spotkursen S og exerciekursen X. For en put option gælder: Max(X - S; 0). Under optionens løbetid skelnes mellem tre tilstande. For en call option, kaldes det for At the money, når den aktuelle kurs er lig med strikekursen, In the money, når den aktuelle kurs er højere end strikekursen og Out of the money, når den aktuelle kurs er lavere end strikekursen. Hvis forskellen er stor er optionen f.eks. deep in-the-money. Det omvendte gælder naturligvis for put optioner. 3. Stokastiske processer Selvom bermuda optioner ikke er så forskellige fra hhv. amerikanske og europæiske optioner, så bruges de primært til at handle eksempelvis swaps, og bestemt ikke aktier. Ikke desto mindre vil alle værdiansættelser i denne opgave omhandle optioner på aktier. Formålet med opgaven er at dykke ned i en bestemt prisfastsættelsesmetode, og det anses ikke at bidrage til forståelsen, at komplicere optionerne mere end højst nødvendigt. Derfor vil der i de kommende afsnit blive redegjort for, hvordan aktier som underliggende aktiv kan håndteres i værdiansættelsesprocessen. Ved værdiansættelse af optioner er det nødvendigt at få en forståelse for hvordan det underliggende aktiv opfører sig. I de efterfølgende vil nogle af de mest normale processer for aktier blive gennemgået. Da LSM metoden er et simulationssetup, er det nødvendigt at kunne sige noget helt konkret om hvordan en aktie forventes at udvikle sig i fremtiden. Det er altså ikke nok i at lave en fordelingsantagelse af det fremtidige afkast, men derimod nødvendigt at simulere faktiske mulige udfald af aktiens fremtidige sti. De stokastiske processer der efterfølgende vil blive gennemgået er alle helt grundlæggende kontinuerte funktioner. De kan altså antage en hvilken som helst værdi på et hvilket som helst tidspunkt. Reelt vil vores modeller være diskrete, men forsøge at approksimere en kontinuert proces 9

10 bedst muligt. I virkelighedens verden, kan aktier ikke antage kontinuerte værdier, da de er noteret i eksempelvis danske kroner, og dermed ikke kan variere mindre end en øre. På samme vis handles aktier ikke døgnet rundt, men kun når den pågældende børs er åben. Da den globale økonomi er i gang hele døgnet, kan der forekomme korrektioner når børserne åbner, for at afspejle den pågældende markedssituation. Det har dog vist sig at disse processer er brugbare i praksis, trods de ovenfor anførte faktiske mangler i forhold til antagelserne. I det efterfølgende vil de forskellige funktioner blive gennemgået, samt illustreret i et praktisk eksempel. 3.1 Markov En stokastisk variabel er en størrelse hvis værdi udvikler sig over tid efter et tilfældigt mønster. Det kan f.eks. være kulør i et spil kort eller udfaldet af et terningkast. Markov beskriver en proces, som kan defineres ved at al information om fremtiden på et givet tidspunkt ikke afhænger af hvad der er sket før dette tidspunkt. Det vil altså sige at man kan benytte denne proces hvis man ønsker at simulere eller fortælle noget om fremtiden, uden hensyntagen til fortiden. Denne proces kan også kaldes en Random Walk, som på mange måde beskriver egenskaberne ved processen rigtig godt. Den fremtidige bevægelse har ikke noget at gøre med den historiske udvikling. Dette skal forstås som den sti processen har fulgt, for at komme til sit nuværende udgangspunkt. Det kan dog stadig være interessant at benytte statistiske værdier estimeret på baggrund af historikken, såsom middelværdi og standardafvigelse. Uafhængighed af den historiske sti, er en egenskab ved Markov processen der er fint i tråd med teorien om svag markedsefficiens. Denne tilsiger netop, at al information er indeholdt i den nuværende pris, og at man ikke kan sige noget om den fremtidige udvikling, ud fra fortiden, samt at ny information hurtigt afspejles i den aktuelle aktiekurs. 10

11 3.2 Wiener processer Wiener processen er opkaldt efter botanikeren Brown, som i 1828 observerede, at når han opslemmede blomsterpollen i vand, bevægede pollenkornene sig på en tilsyneladende tilfældig måde, hvor de hele tiden skiftede retning. Dette fænomen forklarede han ved kornenes sammenstød med vandmolekyler, men har ellers ikke medvirket til udvikling af den matematiske teori for denne proces. Det første forsøg på at give en matematisk definition af processen blev gjort af franskmanden Bachelier, som i slutningen af det 19. århundrede prøvede at give en statistisk beskrivelse af de tilfældige kursudsving på aktiebørsen i Paris. Den første præcise matematiske definition blev givet af Norbert Wiener i 1923, og processen kaldes derfor også ofte for Wienerprocessen. Siden da har den Brownske bevægelse spillet en stor rolle inden for ren matematik, anvendt matematik og fysik, hvor den især benyttes i Einsteins relativitetsteori. I matematisk finansieringsteori spiller den Brownske bevægelse en altdominerende rolle, idet den er den underliggende proces for næsten alle matematiske finansieringsmodeller. Denne proces er en bestemt type af Markovs stokastiske proces med en middelændring på 0 og en varians på 1. dvs. en normalfordelt stokastisk proces med middelværdi 0 og standardafvigelse lig med dt. Betragtes en variabel z, som antager diskrete værdier. Ændringerne i z er z over det lille tidsinterval t. z er da en wiener proces, hvis: 1. z = ε t hvor ε er en stokastisk variabel, fordelt således N (0,1). z er således selv normalfordelt, med middelværdi 0, og varians t. 2. Processens fremtidige værdier er uafhængige, dvs. at ændringen i z for to forskellige tidsintervaller er uafhængige af hinanden. En Wiener proces kan opfattes som en kontinuert udgave af en Random Walk. Hvis man i formlen lader z = ε * t lader t være meget lille (dt) fås dz = ε * dt 11

12 Da det ikke er muligt at bruge uendelige tidsskridt ved simuleringen af z, bliver man nødt til at vælge et tidsskridt delta t som kan anvendes. Teorien tilsiger at der skal anvendes en kontinuert model, men da dette ikke er muligt i praksis, forsøges på ovenstående måde at gøre en diskret model så kontinuert som muligt. 3.3 Generaliserede Wiener processer En simpel Wiener Proces, kan ikke bruges til at beskrive udviklingen i en aktiekurs, men blot beskrive nogle tilfældige udfald uden en vækstrate. Da man antager at en aktie altid over tid vil stige i værdi, bliver man nødt til at udvikle modellen med et driftsled. Derfor udvides den simple wiener proces til den såkaldte Generaliseret Wiener Proces, som for variablen X er givet ved: dx= a*dt + b*dz hvor a*dt er driftsleddet (processen stiger eller falder med a pr. tidsenhed) og b*dz er diffusionsleddet. For den generaliserede wiener proces gælder at de stokastiske tilvækster til enhver tid (T) vil være normalfordelt med middelværdi a*t og varians b 2 *T. Dette vil gøre det muligt umiddelbart at simulere værdier, ved blot ét udtræk fra normalfordelingen, og dermed ved blot at gøre brug af ét tilfældigt tal. For at simulere en bestemt værdi af x gælder det følgende: x t = x 0 + a* t + b* z Hvor x 0 er aktiens startværdi. Modellen er stadig ikke fuldendt da den ikke kan forholde sig til det relative. Hvis man bruger modellen som den er nu, til at simulere en aktiekurs, vil middelværdien og volatiliteten ikke være afhængig af den faktiske pris som ønskes simuleret. 3.4 Ito s proces En udvidelse af den generelle wiener proces er Ito s proces, som er en generaliseret wiener proces hvor paramenterne a og b er funktioner af de underliggende variabler x og tiden t. Ito s proces kan skrives som: 12

13 dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz Hvor dz stadig er en stokastisk standardnormalfordelt variabel, ε, multipliceret med kvadratroden af tiden, dt: dz = ε * dt, helt i tråd med de tidligere beskrevne processer. Da driftsleddet afhænger af x, vil driften ændres over tid i takt med at x ændres. Denne proces kaldes også for en geometrisk brownsk bevægelse. For at modellere aktiekurser (S) vælges nu følgende parametre: a(t,x) = µ * S og b(t,x) = σ * S Dette er en kontinuert model for aktiekurser. I denne udgave vil både µ og σ være konstanter, men der er imidlertid ikke noget til hinder for, at de selv er tidsafhængige. Det bemærkes, at aktien antages ikke at være udbyttebetalende. Såfremt aktien faktisk havde været udbyttebetalende, skulle modellen ændres, således at driften reduceredes f.eks. med et kontinuert udbytte. Antagelsen herfor er dermed at udbyttet bliver udbetalt kontinuert i løbet af året, samt at udbytte raten er kendt. I praksis skaber det nogle problemer, da udbyttebetalinger på en aktie bestemt ikke er en kontinuert tilskrivning, samt at udbytteraten først er kendt umiddelbart efter generalforsamlingen, hvor den bliver udbetalt. Antagelsen er dog ikke helt ved siden af, hvis man eksempelvis betragter et aktieindeks, hvor udbyttebetalingerne med lidt god vilje, godt kan antages at være kontinuerte, såfremt indekset består af nok aktier. Ito s proces, for udviklingen af en aktie bliver herefter: ds = µ S dt + σ S ε dt Modellen inklusiv udbyttebetaling, ser således ud: ds = ( µ q) S dt + σ S ε hvor q er udbytteraten dt 13

14 Modellen opstiller en differentialligning for aktiekursens udvikling, idet der ikke umiddelbart kan angives et udtryk for S som funktion af tid, hvorfor der i stedet opstilles et udtryk for ds som funktion af tid. Dette illustrerer, hvorfor det er vanskeligt at opstille lukkede matematiske udtryk for optionspriser: aktiens værdi (integralet af differentialligningen) på de tidspunkter, som har betydning for options værdi, vil kun undtagelsesvist kunne løses matematisk. Samtidig ses det, hvorfor numeriske metoder finder anvendelse, idet ovenstående differentialligning giver mulighed for at simulere aktiekursens faktiske udvikling over tid. For at illustrere den praktiske implementering af Ito s proces, gennemgås her et tænkt eksempel. Betragt en aktie med følgende parametre: Forventet afkast = 7 % Volatilitet = 20 % Pris = 50 Løbetid = 1 år N = 4 I dette eksempel betragtes kun en sti, hvorfor eksemplet ikke vil vise noget retvisende for udviklingen, men blot et eksempel på hvordan en vilkårlig sti kunne forløbe. Først opstilles en matrice, hvorved ε for hvert tids skridt tilfældigt genereres. Tallene er genereret i excel. Her kan enten bruges NORMSINV(RAND()) funktionerne, eller Random Number Generator, under Data Analysis. t 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 ε -0,663 0,268 0,000-1,735 Da vi nu kender epsilons udvikling over tid, altså i de 4 tidsskridt, kan vi benytte vores formel fra tidligere til at simulere aktiens udvikling. ds = µ S dt + σ S ε dt 14

15 S 0,25 = 50 +0,07*50*0,25+0,20*50*-0,663* 0, 25 = 47,56 Denne værdi angiver aktiekursen i første tidsskridt, dvs. i vores tilfælde kursen efter første kvartal. På samme måde findes prisen for de næste kvartaler og vi ender op med en endelig pris på aktien efter et år på 42,65 kr. Tidsskridt på 0,25 kan ikke siges at nærme sig kontinuerte størrelser, og i praksis skal de da også være væsentligt mindre for at simulere en korrekt sti. Ikke desto mindre hjælper det fint til at illustrere pointen, samt den praktiske implementering af processen. 3.5 Ito s Lemma Ito s lemma er en brugbar hjælpesætning til at differentiere ito processer. Såfremt x t er en Ito proces, og G(x, t) er en differentierbar funktion af denne, så vil det ofte være interessant at kende udviklingen i G, altså differentialet dg. Derivater er netop en funktion af en et underliggende aktiv, og Ito s lemma kan ofte være et skridt på vejen til at bestemme derivatets værdi. Lad os som tidligere anført antage at x er en Ito proces, og dermed ser således ud: dx = a(x, t)*dt + b(x, t)*dz Ito s Lemma tilsiger da, at dg kan defineres således: 2 G G G dg = a + + 0,5 b 2 x t ax 2 G dt + b dz x det er værd at bemærke at udtrykket altså indeholder første og andengrads differentieringer af G med hensyn til x og t. Yderligere er dz inkluderet og G er dermed også er Wiener proces i en eller anden form. 15

16 For bedst at illustrere brugen af Ito s Lemma, som i øvrigt betyder Ito s hjælpesætning, og for samtidig at drage en vigtig konklusion for den videre teori og analyse, vil vi prøve at se hvordan Ito s Lemma kan bruges på processen for en akties kursudvikling. Lad os antage at en aktieproces S T har startværdien S 0 og at ændringen i denne følger en Geometrisk Brownsk bevægelse: ds = µ*s*dt + σ*s*dz Lad os nu antage at G er en funktion af S T således at G T = ln(s T ). Differentieres udtrykkene som angivet i formlen fås: G ds 1 =, S 2 G 2 S 1 = S 2 G samt = 0 t Samtidig ses det hvis man sammenligner den givne aktieproces med den generaliserede Ito Proces, at a = µ*s og b = σ*s. Indsættes de i lemma et fås følgende sammenhæng: dg = (µ - σ 2 /2)*dt + σ*dz Betragter man ovenstående udtryk, fremgår det at funktionen er en generaliseret Wiener proces, med driftsled µ - σ 2 /2 og diffusionsled σ. Som tidligere gennemgået er en sådan proces normalfordelt, hvilket igen medfører at G T = ln(s T ) er normalfordelt. Såfremt en X er stokastisk variabel, og LN(X) er normalfordelt, så er X såkaldt lognormalfordelt. Dermed kan det af ovenstående konkluderes, at den proces en aktiekurs følger er lognormalfordelt. Lognormalfordelingen har en række gode egenskaber i forhold til en aktie, bl.a. kan en aktie ikke tabe mere end 100 %, men det kan godt vinde mere. Det dækker lognormalfordelingen fint. Samtidig er fordelingen højreskæv, hvilket medfører at store positive afkast, er mere sandsynlige end store negative afkast. 16

17 Vores modeller videre i denne opgave, vil tage udgangspunkt i ovenstående proces, og vil således blive brugt til at simulere stier for den underliggende akties udvikling. 4. Risikoneutral prisfastsættelse Risikoneutral prisfastsættelse er en af de vigtigste fundamenter indenfor værdiansættelse af derivater. Uanset om det drejer sig om simulationsmetoder som Monte Carlo metoden eller lukkede formler såsom Black-Scholes formel, så bygger de helt grundlæggende på de principper som der vil se nærmere på herunder. Som udgangspunkt handler risikoneutral prisfastsættelse om at lette nogle problemer ved værdiansættelsen af derivater ved hjælp af nogle matematiske argumenter. Et af nøgleproblemerne er f.eks. at investorer har forskellig risikoaversitet, og kræver derfor forskellig præmie. Det umuliggør umiddelbart en uafhængig værdiansættelse af diverse derivater. Den grundlæggende tanke bag risikoneutral prisfastsættelse er at det viser sig muligt at hedge hele derivatets risiko væk, ved at konstruere en smart portefølje bestående af hhv. derivatet samt det underliggende aktiv. En sådan portefølje er dermed risikoneutral, og skal jvf. argumentet om ingen arbitrage, kun betale den risikofrie rente. På denne måde omgås helt problematikken omkring forskellige investorers differentierende risikoaversion, og dermed afkastkrav. 4.1 Udledning af risikoneutral prisfastsættelse Lad os tage udgangspunkt i et derivat på en aktie, eksempelvis en call option. Aktien følger som tidligere nævnt en Geometrisk Brownsk bevægelse (diskret version): S = µ*s* t + σ*s* z Prisen på et afledt aktiv er kendetegnet ved at afhænge af hhv. værdien af det underliggende aktiv, samt tiden. Altså kan det beskrives som en funktion, f(s,t). En sådan funktion kan netop håndteres i 17

18 det tidligere behandlede Ito s Lemma, da det er en funktion der afhænger af en stokastisk proces. I diskret version ser den således ud: 2 f f f 2 2 f f = * µ * S + + 0,5* * σ * S t + S z S t S * * σ * * 2 S Formlen ovenfor angiver altså hvordan en ændring i f ser ud, ved en ændring i t. Det vil nu være interessant at observere hvad der sker hvis en smart portefølje P konstrueres, hvori derivatet sælges f fra, mens der købes stk. af det underliggende aktiv: S P = -f + f * S S Ændringen i værdien af en sådan portefølje, over tiden t, må se således ud: P = - f + f * S S f samt S er netop defineret ovenfor, og vi kan herved substituere ledene i formlen. En del led kan forkortes ud, og ligningen ser til sidst sådan ud: f P = t 2 f 2 0,5* * σ * S 2 S 2 t Det problematiske stokastiske led i Ito s Lemma, z, er nu forkortet ud. Der er altså ikke forbundet nogen usikkerhed med værdien af ovenstående udtryk. Man kan sige at den er risikofri. Samtidig er det investorspecifikke led µ bortfaldet, og der fremkommer dermed et universalt gældende udtryk. For at undgå arbitrage, må afkastet på en sådan portefølje dermed være den risikofrie rente r. 18

19 Ændringen i P er dermed givet ved: P = r*p* t Det er altså hermed vist, at man kan skabe en risikofri portefølje bestående af derivatet samt en hensigtsmæssig andel i det underliggende aktiv. På samme måde som CAPM argumenterer for at man kun skal have præmie for den systematiske risiko, da den usystematiske kan diversificeres væk, så skal man heller ikke her have en risikopræmie for at investere i derivater, da risikoen kan hedges væk. I så fald ville der opstå en arbtitragemulighed. Da de økonomiske rammer nu kan betragtes som værende en risikoneutral verden, skal afledte aktiver dermed prisfastsættes, som var investorerne risikoneutrale. Det betyder samtidig også som tidligere nævnt, at µ for den stokastiske aktieproces nu er den risikofrie rente r. Værdien af et derivat kan generaliseres til (kontinuert): f t = E[f(S T )] *exp(-r*(t-t)) Altså den kontinuert tilbagediskonterede værdi, af den forventede værdi af f(s T ), hvor processen for S, som nævnt ovenfor, er givet ved (kontinuert): ds = r*s*dt + σ*s*dz Selve værdiansættelsen af derivatet er dermed kraftigt forsimplet, da kun den risikofrie rente spiller en rolle. Næste udfordring bliver at finde den forventede værdi af f(s T ). 19

20 5. Sammenfatning I de ovenstående afsnit er det blevet diskuteret hvorledes man kan opstille en generel model for udviklingen i det underliggende aktiv. Det kan konkluderes at man kan benytte en geometrisk brownsk bevægelse for at beskrive denne udvikling. Yderligere blev Ito s Lemma gennemgået, en grundsætning indenfor afledte funktioner af stokastiske processer. Her blev nogle af fordelingsegenskaberne for den geomtrisk brownske bevægelse klarlagt. Særligt at processen er lognormalfordelt, hvilket i fin grad afspejler nogle praktiske overvejelser omkring en aktiepris, såsom at den mindste værdi er nul m.v. Efterfølgende er det bevist, ved at benytte forudsætningerne om risikoneutral prisfastsættelse, at denne proces kan benyttes til at prisfastsætte alle udviklinger i det underliggende aktiv uagtet investorernes risikoprofil. Dette medfører samtidigt at, processen kan benyttes i forbindelse med værdiansættelse af derivater. I det videre arbejde, vil excel modellen basere sig på en Geometrisk Brownsk bevægelse, under antagelse af risikoneutralitet. 6. Værdiansættelses modeller For at kunne vurdere præcisionen af LSM metoden, er det intentionen af sammenligne værdierne med andre eksakte, ikke numeriske metoder. Derfor vil der i det følgende blive redegjort for de modeller der vil blive benyttet i analysen, samt de dele der menes relevante for at beskrive fremgangsmåden i LSM metoden. 6.1 Black & Scholes formel Black Scholes formel blev udviklet i 1973 af Fischer Black, Myron Scholes og Robert Merton og dannede grundlag for en revolutionerende måde at betragte finansielle instrumenter på. Formlen danner også i dag grundlag for den prisfastsætning der foretages på europæiske optioner. Robert Merton og Myron Scholes modtog også en nobelpris i 1997 for det arbejde der lå til grund for modellen. Fischer Black nåede aldrig at blive hædret med en nobelpris, da han døde i

21 Formlen benyttes i dag til at beregne værdien af europæiske optioner, samt amerikanske call optioner. Vil i det efterfølgende lave en gennemgang af formlen, hvor vi vil beskrive de enkelte parametre i formlen og komme med et mindre eksempel. Kilde: Inspi Af ovenstående fremgår det at formlen er afhængig af 6 parameter. Prisen på aktien på udstedelsestidspunktet, S Exercisekursen, K Den risikofri rente, r Volatiliteten på det underliggende aktiv, σ Optionens løbetid, T Dividenden, δ Løbetiden og exercisekursen er to parametrer, som man mere eller mindre selv bestemmer. Dvs. at disse størrelser typisk vil være forudbestemt i en kontrakt eller lignende. For så vidt angår exercisekursen vil den naturligt ligge i et niveau som giver mening i forhold til aktiens dagspris. Aktiens pris kan i et perfekt marked aflæses på børsen. Med hensyn til renten, er det på sin plads at påpege en af de mest indlysende konflikter mellem antagelserne i Black-Scholes modellen og virkeligheden. I markedet eksisterer der ikke en veldefineret størrelse af den risikofrie rente og den 21

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering

Læs mere

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet H.D. studiet i Finansiering Hovedopgave Foråret 2009 ---------------------------- Opgaveløser: Daniel Laurits Jensen Vejleder: Bo Vad Steffensen Opgave nr. 21 Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Copenhagen Business School

Copenhagen Business School Copenhagen Business School Hd. Finansiering Analyse af garanti obligationen Grøn Energi 2012-2016 Forfatter: Don Fischer Vejleder: Jesper Lund Afleveret d. 15. maj 2012 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium om Aktieoptioner Version 1, opdateret den 19. marts 2015 BAGGRUND... 4 INDHOLD OG AFGRÆNSNING... 4 1. INDLEDNING... 4 2. OPBYGNING OG STRUKTUR...

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Korte eller lange obligationer?

Korte eller lange obligationer? Korte eller lange obligationer? Af Peter Rixen Portfolio manager peter.rixen @skandia.dk Det er et konsensuskald at reducere rentefølsomheden på obligationsbeholdningen. Det er imidlertid langt fra entydigt,

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER Indledning Lægernes Pensionsbank tilbyder handel med alle børsnoterede danske aktier, investeringsbeviser og obligationer

Læs mere

Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S

Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S Oversigt over godkendte kompetencekrav Rød certificeringsprøve Financial Training Partner A/S 22. juni 2012 I:\Certificering af Investeringsrådgivere\Kompetencekrav\Kompetencekrav 9 produkter til hjemmesiden

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Beskrivelse af nøgletal

Beskrivelse af nøgletal Beskrivelse af nøgletal Carnegie WorldWide Dampfærgevej 26 DK-2100 København Ø Telefon: +45 35 46 35 46 Fax: +45 35 46 36 00 Web: www.carnegieam.dk E-mail: cww@cww.dk 11. marts 2008 Indhold 1 Porteføljeafkast

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Analyse af indekserede obligationer

Analyse af indekserede obligationer Institut for Finansiering Vejleder Svend Jakobsen Forfattere Rune Sørensen Kristian Overgaard Analyse af indekserede obligationer ( Hvad private investorer bør vide om.. Investering i indekserede obligationer

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Gustav Smidth Alm. Brand Børs 22. maj 2006

Gustav Smidth Alm. Brand Børs 22. maj 2006 Praktiske erfaringer om prepaymentmodellering Gustav Smidth Alm. Brand Børs 22. maj 2006 Agenda Teaser Modelsetup hos Alm. Brand Børs Rentestrukturmodel Prepaymentmodel Burnout Estimation / kalibrering

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko.

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko. Hvad er en option? En option er relevant for dig, der f.eks. ønsker at have muligheden for at sikre prisen på et aktiv i fremtiden. En option er en kontrakt mellem to parter en køber og en sælger der giver

Læs mere

Værdiansættelse af en opsparingskonto (med 7 pointer)

Værdiansættelse af en opsparingskonto (med 7 pointer) Værdiansættelse af en opsparingskonto (med 7 pointer) Ole Sørensen Institut for Regnskab og Revision Handelshøjskolen i København Solbjerg Plads 3, 2000 Frederiksberg Tlf: 3815 2346 e-mail: os.acc@cbs.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

En statistisk analyse af aktieafkast

En statistisk analyse af aktieafkast En statistisk analyse af aktieafkast Af cand.scient.oecon. Erik Christiansen IBC Kolding Efterår 2008 Forord Kan man ved bruge af statistiske modeller og de historiske aktiekurser forudsige fremtidens

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Erhvervsøkonomisk Institut. Vejleder: Henrik Nørholm BILAG. Analyse og prissætning af JB Ti Aktier 2013. I skyggen af en finanskrise

Erhvervsøkonomisk Institut. Vejleder: Henrik Nørholm BILAG. Analyse og prissætning af JB Ti Aktier 2013. I skyggen af en finanskrise Erhvervsøkonomisk Institut Kandidatafhandling Forfatter: Henrik Gerstrøm (xxxxxx) Vejleder: Henrik Nørholm BILAG Analyse og prissætning af JB Ti Aktier 2013 I skyggen af en finanskrise 1. december 2010

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Konverterbare Realkreditobligationer

Konverterbare Realkreditobligationer Konverterbare Realkreditobligationer Copenhagen Business School Summer school August 17, 2005 Niels Rom-Poulsen Danske Markets, Quantitative Research nrp@danskebank.dk Konverterbare Realkreditobligationer

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Markedskommentar juni: Græsk krise tager fokus!

Markedskommentar juni: Græsk krise tager fokus! Nyhedsbrev Kbh. 3. jul. 2015 Markedskommentar juni: Græsk krise tager fokus! Juni blev en måned, hvor den græske krise tog al fokus fra et Europa på vej mod opsving. Usikkerheden gav aktiekursfald. Der

Læs mere

Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002

Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002 Global 2007 Tegningsperiode: 11. september - 24. september 2002 PLUS PLUS - en sikker investering Verdens investeringsmarkeder har i den seneste tid været kendetegnet af ustabilitet. PLUS Invest er en

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 4. UDGAVE

TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 4. UDGAVE MICHAEL CHRISTENSEN AKTIE INVESTERING TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 4. UDGAVE JURIST- OG ØKONOMFORBUNDETS FORLAG Aktieinvestering Teori og praktisk anvendelse Michael Christensen Aktieinvestering Teori

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider 1 af 1 sider Opgave 1.: Generelt må det siges at ud fra opgaveteksten er der ingen overordnet plan for koncernens likviditetsstyring. Især de tilkøbte selskaber arbejder med en høj grad af selvstændighed,

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

PROSPEKT. TradingAGROA/S. Investering i afgrødefutures. AgroConsultors

PROSPEKT. TradingAGROA/S. Investering i afgrødefutures. AgroConsultors PROSPEKT TradingAGROA/S Investering i afgrødefutures AgroConsultors TradingAGRO A/S HVORFOR? Peter Arendt og Anders Dahl har i en årrække investeret i afgrødefutures. I de seneste år har de genereret et

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999

)LQDQVLHO$QDO\VH 3. september 1999 )LDVLHO$DO\VH 3. september 1999 1\XONXSRUHHVUXNXUPRGHO 8LEDNVRIILFLHOOHXONXSRUHHVUXNXUVNLIHVXGIUDGHXY UHGH1HOVR 6LHJHOPRGHOLOHPHUHNRPSOLFHUHPRGHO 'H\HPRGHOJLYHUEHGUHILLJDISULVHUSnVDVREOLJDLRHURJHOLPLHUHUEODG

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Konverterbare Realkreditobligationer

Konverterbare Realkreditobligationer Konverterbare Realkreditobligationer Niels Rom-Poulsen Danske Markets, Kvantitativ Analyse nrp@danskebank.dk Konverterbare Realkreditobligationer p. 1/20 Kurs-rente grafer 150 140 BND MBS 104 102 130 100

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer

Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer Indledning I banken kan du som udgangspunkt frit vælge, hvordan du vil investere dine penge. En begrænsning er dog f.eks. gældende lovregler om pensionsmidlernes

Læs mere

Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1

Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1 Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1 Konklusioner: Foreningernes samlede formue er vokset med knap 208 mia. kr. i 2004, og udgjorde ultimo året i alt knap 571 mia.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

NOTAT VEDR. KAPITEL 6 I ACCOUNTING THEORY Peder Fredslund Møller, Institut for Regnskab

NOTAT VEDR. KAPITEL 6 I ACCOUNTING THEORY Peder Fredslund Møller, Institut for Regnskab NOTAT VEDR. KAPITEL 6 I ACCOUNTING THEORY Peder Fredslund Møller, Institut for Regnskab Formålet med dette notat er at understøtte tilegnelse og forståelse af lærebogens fremstilling af porteføljeteori,

Læs mere

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank.

De danske huspriser. homes husprisindeks. 180 Realkreditrådet. Home s Danske Husprisindeks. Danmarks Statistik. 80 www.danskebank. De danske huspriser homes husprisindeks København den 1. sept. 7 For yderligere information: Steen Bocian, Danske Bank +5 5 1 5 31, stbo@danskebank.dk Niels H. Carstensen, home +5 15 3 nica@home.dk Den

Læs mere

Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur

Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur Nyhedsbrev Kbh. 3. sep. 2015 Markedskommentar august: Black August vækstnedgang i Kina giver aktienedtur Uro i Kina sætte sine blodrøde spor i aktiemarkederne i august måned. Vi oplevede de største aktiefald

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

NOTAT OM GEARING OG RISIKO I FORMUEPLEJE PENTA A/S

NOTAT OM GEARING OG RISIKO I FORMUEPLEJE PENTA A/S NOTAT OM GEARING OG RISIKO I FORMUEPLEJE PENTA A/S Dette notat er skrevet på opfordring af Formuepleje A/S. Baggrunden er at Formupleje A/S er uenige i konklusionerne i to artikler i Børsen den 1. april

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

xxxxx Danske Invest Mix-afdelinger

xxxxx Danske Invest Mix-afdelinger Maj 2010 xxxxx Danske Invest Mix-afdelinger Fire gode alternativer til placering af overskudslikviditet eller værdipapirinvesteringer Henvender sig til aktie- og anpartsselskaber samt erhvervsdrivende

Læs mere

KK STOXX 2015 - KØB NU OG SÆLG PÅ TOPPEN EN AKTIERELATERET OBLIGATION

KK STOXX 2015 - KØB NU OG SÆLG PÅ TOPPEN EN AKTIERELATERET OBLIGATION KK STOXX 2015 - KØB NU OG SÆLG PÅ TOPPEN EN AKTIERELATERET OBLIGATION ALM. BRAND BANK KK STOXX 2015 er en obligation, hvor afkastet er afhængigt af kursudviklingen på aktierne i 50 af de største virksomheder

Læs mere

B L A N D E D E A F D E L I N G E R

B L A N D E D E A F D E L I N G E R BLANDEDE AFDELINGER Om Sparinvest Sparinvest er en investeringsforening, der blev etableret i 1968. Vi har specialiseret os i langsigtede investeringsprodukter og tilbyder både private og professionelle

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport oktober 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector

Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport oktober 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport oktober 214 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Sammenfatning (se side 3 for en uddybning) Med de nuværende renteforventninger har Faaborg-Midtfyn

Læs mere

Valutaterminskontrakter

Valutaterminskontrakter Valutaterminskontrakter Valutaterminskontrakter bliver mere og mere brugt indenfor landbruget. De kan både bruges til at afdække en valutarisiko, men også til at opnå en gevinst på en ændring i en given

Læs mere

Risikoneutrale tætheder fra optioner: Teori og anvendelser

Risikoneutrale tætheder fra optioner: Teori og anvendelser Handelshøjskolen i København Institut for Finansiering Erhvervsøkonomi-matematik-studiets 6. semester 2005 Forfatter: Allan Sall Tang Andersen 180682-XXXX Projektvejleder: Bo Vad Steffensen Risikoneutrale

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup Claus Munk kap. 1-3 1 Dagens forelæsning Grundlæggende introduktion til obligationer Betalingsrækker og låneformer Det danske obligationsmarked Pris og kurs Effektive renter 2 Obligationer Grundlæggende

Læs mere

Jyske Invest. Kort om udbytte

Jyske Invest. Kort om udbytte Jyske Invest Kort om udbytte 1 Hvad er udbytte, og hvorfor betaler en afdeling ikke altid udbytte? Her får du svar på nogle af de spørgsmål, som vi oftest støder på i forbindelse med udbyttebetaling. Hvad

Læs mere

Investpleje Frie Midler

Investpleje Frie Midler Investering Investpleje Frie Midler Investpleje Frie Midler 1 Investpleje Frie Midler En aftale om Investpleje Frie Midler er Andelskassens tilbud til dig om pleje af dine investeringer ud fra en strategi

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Notat vedrørende afkastkrav til elsektorens realkapitalinvesteringer

Notat vedrørende afkastkrav til elsektorens realkapitalinvesteringer Michael Møller 22/04/2014 Notat vedrørende afkastkrav til elsektorens realkapitalinvesteringer Elsektoren har et betydeligt realkapitalapparat. Det kan med fordel deles op i det allerede eksisterende kapitalapparat

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Derfor skal du investere

Derfor skal du investere Derfor skal du investere Investering er ofte lig med store kursudsving og mange bekymringer. Er det ikke bedre blot at spare op og undgå risiko? Nej, for hvis du ikke investerer, mister du penge hver dag,

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Realkreditmarkeder: - CF realkreditobligationer - Prisfastsættelse og kalibrering

Realkreditmarkeder: - CF realkreditobligationer - Prisfastsættelse og kalibrering Realkreditmarkeder: - CF realkreditobligationer - Prisfastsættelse og kalibrering Jesper Lund Quantitative Research Nykredit Markets 3. maj 2006 Plan for præsentationen Rene variabelt forrentede obligationer

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3

Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3 Bilag 1: Prisudvikling, generelt effektiviseringskrav og robusthedsanalyser FORSYNINGSSEKRETARIATET AUGUST 2014 VERSION 3 Indholdsfortegnelse Indledning Prisudvikling 2.1 Prisudviklingen fra 2014 til

Læs mere

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen

Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen n o t a t Lav efterspørgsel forklarer det faldende bankudlån men udlånet forventes at stige igen 8. december 29 Kort resumé Henover året har der været megen fokus på faldet i bankernes udlån til virksomhederne.

Læs mere

Estimering og anvendelse af modeller ved brug af PROC MODEL

Estimering og anvendelse af modeller ved brug af PROC MODEL Estimering og anvendelse af modeller ved brug af PROC MODEL Anders Ebert-Petersen Business Advisor Risk Intelligence Agenda 1. Indledning 2. Overordnet information om PROC MODEL 3. Eksempel med anvendelse

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Markedskommentar april: Stigende vækst- og inflationsforventninger i Europa!

Markedskommentar april: Stigende vækst- og inflationsforventninger i Europa! Nyhedsbrev Kbh. 5. maj. 2015 Markedskommentar april: Stigende vækst- og inflationsforventninger i Europa! Efter 14 mdr. med stigninger kunne vi i april notere mindre fald på 0,4 % - 0,6 %. Den øgede optimisme

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Formuepleje i landbruget

Formuepleje i landbruget Formuepleje i landbruget Hvordan bliver man rig? 1. Psykologi 2. Sammensætning af værdipapirer 3. Investeringsstrategi 4. Markedets forventninger og indikatorer 5. De bedste foreninger Psykologi Nej, nej,

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

Realkreditobligationer

Realkreditobligationer Skitsering af lånemarkedet i DK vs. kontantlån Fastforrentede lån tilpasningslån (FlexLån) udvikling og huspriser Warning: kortfattet simplificeret skitsering af et komplekst område! Den interesserede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere