Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation."

Transkript

1 H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - forår Opgaveløser: Martin Hofman Laursen Joachim Bramsen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. 5 og 31 Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation. Martin har skrevet afsnit: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 6.1, 6.2, 6.5, 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 11.1, 11.2, 11.3, 13.3 Joachim har skrevet afsnit: 3.5, 4.1, 6.3, 6.4, 8.1, 9., 13.1, 13.2 Sammenfatninger og konklusioner er skrevet i fælleskab. Handelshøjskolen i København 1

2 1. Problemformulering Indledning Problemformulering Metode Afgrænsning Kildekritik Optionsbegrebet Stokastiske processer Markov Wiener processer Generaliserede Wiener processer Ito s proces Ito s Lemma Risikoneutral prisfastsættelse Udledning af risikoneutral prisfastsættelse Sammenfatning Værdiansættelses modeller Black & Scholes formel Aktiebinomialmodellen Monte Carlo simulation Regressioner Least Squares Monte Carlo simulation Sammenfatning Implementering af modellen VBA funktioner Konvergens af LSM modellen Sammenligning af værdiansættelse modeller Call option uden udbytte Call option - med udbytte Put option - uden udbytte Put option - med udbytte Følsomhedsanalyse

3 11.1 Rentefølsomhed Volatilitetsfølsomhed Tidsfølsomhed Sammenfatning Prisfastsættelse af asiatisk bermuda option Asiatiske optioner Asiatisk bermuda option - værdiansættelse Asiatisk bermuda option - prisniveau Konklusion Litteraturliste: Bilag:

4 1. Problemformulering 1.1 Indledning Brugen af finansielle instrumenter er vokset i det 21 århundrede. Derivater og forskellige former for risikostyringsinstrumenter er blevet en større del af finansiel behandling. Optioner er også et instrument som er mere anvendt end tidligere, dog ikke så meget i Danmark som i vores nabolande. Samtidig er optionsaflønningsprogrammer blevet mere hyppige, i hvert fald frem til starten af den finansielle krise. Derfor er værdiansættelsen af optioner et område der har fået større opmærksomhed de seneste årtier. Til værdiansættelse af europæiske optioner har man i dag indarbejdet en klar metode, nemlig Black & Scholes formel, som Scholes, Merton og den afdøde Black vandt nobelprisen i økonomi for, i I forbindelse med værdiansættelse af amerikanske og bermuda optioner eksisterer der os bekendt ikke en lukket formel til denne udregning. Der eksisterer dog en række metoder til at værdiansætte amerikanske optioner, herunder finite difference (endelig differens) samt aktiebinomialmodellen. En vanilla bermuda option kan sådan set også værdiansættes indenfor disse rammer. Endnu en metode, er Least Squares Monte Carlo metoden, som denne opgave vil fokusere på. Det spændende ved Least Squares Monte Carlo metoden er, at den udover at kunne håndtere derivater med mulighed for førtidig indfrielse, også kan håndtere stiafhængige instrumenter. Stiafhængige instrumenter dækker over eksempelvis asiatiske optioner eller konverterbare obligationer, og hvis disse også inkluderer et element af førtidsindfrielse er de altså ekstra vanskelige at værdiansætte. Generelt er metoden meget fleksibel, og der er mulighed for at værdiansætte en lang række derivater. Vi ønsker at give en forståelse af denne metode og teste et udsnit af metodens muligheder samt dens præcision. 4

5 1.2 Problemformulering Udvikle en Least Squares Monte Carlo model der kan håndtere stiafhængighed samt vurdere metodens og modellens præcision, og herefter værdiansætte en asiatisk bermuda option. I denne proces gennemgår vi følgende punkter. - En redegørelse af den relevante grundlæggende teori vedrørende stokastiske processer og derivater. - En redegørelse tre metoder hvorpå man kan værdiansætte en option: Black & Scholes formel, aktiebinomialmodellen og Least Squares Monte Carlo metoden. - Analysere og diskutere præcisionen af Least Squares Monte Carlo i forhold til de øvrige metoder, herunder at klarlægge fordele og ulemper ved Least Squares Monte Carlo metoden. - Værdiansættelse af en asiatisk bermuda option ved hjælp af den, til formålet, udarbejdede Least Squares Monte Carlo model. 1.3 Metode For at definere den underliggende stokastiske aktieproces der vil blive brugt i den senere værdiansættelse, redegøres der først for den generelle teori vedrørende stokastiske aktieprocesser samt princippet om risikoneutral prisfastsættelse. Yderligere redegøres der for de værdiansættelsesmetoder der vil blive brugt som sammenligningsgrundlag. Alt dette vil især blive gjort forståeligt gennem praktiske eksempler. En nærmere beskrivelse af Least Squares Monte Carlo simulation (LSM) vil tage udgangspunkt i den fundamentale teori og ende ud i opbygning af en VBA model som kan værdiansætte bermuda optioner. 5

6 En test af både programmeringskoden samt selve LSM metoden vil blive foretaget ved empirisk at observere modellens output i forhold til de tidligere nævnte værdiansættelsesmodeller. Herunder både konvergens af værdier, samt modellens følsomhed over for diverse parametre. LSM metoden vil derefter blive brugt til at værdiansætte en asiatisk bermuda option, og den konkrete værdiansættelse vil blive analyseret. 1.4 Afgrænsning Opgaven har valgt at fokusere på LSM metoden og for at simplificere processen, bliver der fokuseret på aktier som det underliggende aktiv. I praksis er det nok ikke det underliggende aktiv der bliver handlet flest bermuda optioner på, men det kan fint være med til at illustrere metoden uden at komplicere eksemplerne mere end højst nødvendigt. I opgaven er der antaget perfekte markeder, det vil dog aldrig holde stik i virkeligheden, men det er nødvendigt for at kunne drage nogle fornuftige konklusioner om opgavens modeller. Endvidere anteages det at der ingen skat og transaktionsomkostninger er, samt at alle aktører kan låne og udlåne til den risikofrie rente. Det er vores opfattelse jvf. de analytikere vi har snakket med, at de nuværende markeder bestemt ikke følger de simple teoretiske modeller, da effekter såsom manglende likviditet, aktiebobler, sentiment-trading og irrationelle investorer spiller en langt større rolle en tilfældet var før den finansielle krise. Opgaven vil derfor i høj grad holde sig indenfor en teoretisk ramme, da vores antagelser samt modeller højst sandsynligt ikke vil svare til virkeligheden som den ser ud nu. 1.5 Kildekritik Som kilde til opbygningen af Least Squres Monte Carlo modellen er Longstaff & Schwartz artiklen udelukkende blevet benyttet, man kunne have ønskes sig flere kilder for at sikre troværdigheden. Endvidere har det været utrolig svært at finde dybdegående litteratur om værdiansættelse af bermuda optioner samt markedsdata. 6

7 2. Optionsbegrebet Da denne opgave grundlæggende handler om værdiansættelse af forskellige typer af optioner, vil der her blive redegjort for hvad der helt overordnet set, karakterisere en option. Yderligere vil der også blive introduceret begreber som vil blive benyttet flittigt igennem opgavens afsnit. En option er en ret til at købe eller sælge et aktiv eller passiv til en på forhånd aftalt pris, i en bestemt tidsperiode. Ved en option har man altså en ret men ikke en pligt, til at handle. En helt normal option, en plain vanilla, vil altid være en aftale mellem en investor og en udsteder. Investoren betaler up-front en præmie til udstederen for at købe optionen. Når denne præmie er betalt opnår investoren en ret, men ikke pligt til, at handle en given mængde af et givet aktiv til en forud aftalt pris også kaldet strikekurs eller exercisekurs. Hvis optionen kun kan udnyttes ved udløb, kaldes det for en europæisk option. Alternativt kan optionen give investor retten til at udnytte optionen under hele dens løbetid. Det kaldes for en amerikansk option. En mellemting mellem disse to typer, bermuda optioner, som kan udnyttes på udvalgte tidspunkter. Eksempelvis den første dag i hvert kvartal. Konverteringsoptionen i et konverterbart obligationslån, opfører sig som en bermuda option, selvom det reelt er en amerikansk option. Grunden til at det kaldes en bermuda option skyldes simpelthen at bermuda området ligger midt i mellem USA og Europa. Der findes to typer af optionsrettigheder. En køberet (call option) giver erhververen en ret til at erhverve et aktiv eller et passiv til en på forhånd aftalt pris eller inden et bestemt tidspunkt. Udstederen er forpligtet til at sælge, hvis køberetten udnyttes. Grafen nedenfor illustrer hvordan en købt og en solgt call option bevæger sig. Disse to optioner er hinandens fuldstændige modsætninger og at prisen starter på henholdsvis 1,5 og -1,5 betyder simpelthen at optionen har kostet noget at erhverve. Det giver dermed et negativt udgangspunkt for investoren, der først begynder at tjene penge, når kurven krydser x-aksen. 7

8 Call option 4 købt call solgt call 3 2 payoff pris En salgsret (put option) giver erhververen en ret til at sælge et aktiv eller et passiv til en på forhånd aftalt pris eller inden et bestemt tidspunkt. Udstederen er forpligtet til at købe, hvis salgsretten udnyttes. Grafen nedenfor illustrer payoff profilen på dels en købt og solgt put option, igen følger disse hinanden med modsat fortegn. 4 Put option Købt put Solgt put For en call option er payoff givet ved: 8

9 Max(S - X; 0) som er forskellen mellem spotkursen S og exerciekursen X. For en put option gælder: Max(X - S; 0). Under optionens løbetid skelnes mellem tre tilstande. For en call option, kaldes det for At the money, når den aktuelle kurs er lig med strikekursen, In the money, når den aktuelle kurs er højere end strikekursen og Out of the money, når den aktuelle kurs er lavere end strikekursen. Hvis forskellen er stor er optionen f.eks. deep in-the-money. Det omvendte gælder naturligvis for put optioner. 3. Stokastiske processer Selvom bermuda optioner ikke er så forskellige fra hhv. amerikanske og europæiske optioner, så bruges de primært til at handle eksempelvis swaps, og bestemt ikke aktier. Ikke desto mindre vil alle værdiansættelser i denne opgave omhandle optioner på aktier. Formålet med opgaven er at dykke ned i en bestemt prisfastsættelsesmetode, og det anses ikke at bidrage til forståelsen, at komplicere optionerne mere end højst nødvendigt. Derfor vil der i de kommende afsnit blive redegjort for, hvordan aktier som underliggende aktiv kan håndteres i værdiansættelsesprocessen. Ved værdiansættelse af optioner er det nødvendigt at få en forståelse for hvordan det underliggende aktiv opfører sig. I de efterfølgende vil nogle af de mest normale processer for aktier blive gennemgået. Da LSM metoden er et simulationssetup, er det nødvendigt at kunne sige noget helt konkret om hvordan en aktie forventes at udvikle sig i fremtiden. Det er altså ikke nok i at lave en fordelingsantagelse af det fremtidige afkast, men derimod nødvendigt at simulere faktiske mulige udfald af aktiens fremtidige sti. De stokastiske processer der efterfølgende vil blive gennemgået er alle helt grundlæggende kontinuerte funktioner. De kan altså antage en hvilken som helst værdi på et hvilket som helst tidspunkt. Reelt vil vores modeller være diskrete, men forsøge at approksimere en kontinuert proces 9

10 bedst muligt. I virkelighedens verden, kan aktier ikke antage kontinuerte værdier, da de er noteret i eksempelvis danske kroner, og dermed ikke kan variere mindre end en øre. På samme vis handles aktier ikke døgnet rundt, men kun når den pågældende børs er åben. Da den globale økonomi er i gang hele døgnet, kan der forekomme korrektioner når børserne åbner, for at afspejle den pågældende markedssituation. Det har dog vist sig at disse processer er brugbare i praksis, trods de ovenfor anførte faktiske mangler i forhold til antagelserne. I det efterfølgende vil de forskellige funktioner blive gennemgået, samt illustreret i et praktisk eksempel. 3.1 Markov En stokastisk variabel er en størrelse hvis værdi udvikler sig over tid efter et tilfældigt mønster. Det kan f.eks. være kulør i et spil kort eller udfaldet af et terningkast. Markov beskriver en proces, som kan defineres ved at al information om fremtiden på et givet tidspunkt ikke afhænger af hvad der er sket før dette tidspunkt. Det vil altså sige at man kan benytte denne proces hvis man ønsker at simulere eller fortælle noget om fremtiden, uden hensyntagen til fortiden. Denne proces kan også kaldes en Random Walk, som på mange måde beskriver egenskaberne ved processen rigtig godt. Den fremtidige bevægelse har ikke noget at gøre med den historiske udvikling. Dette skal forstås som den sti processen har fulgt, for at komme til sit nuværende udgangspunkt. Det kan dog stadig være interessant at benytte statistiske værdier estimeret på baggrund af historikken, såsom middelværdi og standardafvigelse. Uafhængighed af den historiske sti, er en egenskab ved Markov processen der er fint i tråd med teorien om svag markedsefficiens. Denne tilsiger netop, at al information er indeholdt i den nuværende pris, og at man ikke kan sige noget om den fremtidige udvikling, ud fra fortiden, samt at ny information hurtigt afspejles i den aktuelle aktiekurs. 10

11 3.2 Wiener processer Wiener processen er opkaldt efter botanikeren Brown, som i 1828 observerede, at når han opslemmede blomsterpollen i vand, bevægede pollenkornene sig på en tilsyneladende tilfældig måde, hvor de hele tiden skiftede retning. Dette fænomen forklarede han ved kornenes sammenstød med vandmolekyler, men har ellers ikke medvirket til udvikling af den matematiske teori for denne proces. Det første forsøg på at give en matematisk definition af processen blev gjort af franskmanden Bachelier, som i slutningen af det 19. århundrede prøvede at give en statistisk beskrivelse af de tilfældige kursudsving på aktiebørsen i Paris. Den første præcise matematiske definition blev givet af Norbert Wiener i 1923, og processen kaldes derfor også ofte for Wienerprocessen. Siden da har den Brownske bevægelse spillet en stor rolle inden for ren matematik, anvendt matematik og fysik, hvor den især benyttes i Einsteins relativitetsteori. I matematisk finansieringsteori spiller den Brownske bevægelse en altdominerende rolle, idet den er den underliggende proces for næsten alle matematiske finansieringsmodeller. Denne proces er en bestemt type af Markovs stokastiske proces med en middelændring på 0 og en varians på 1. dvs. en normalfordelt stokastisk proces med middelværdi 0 og standardafvigelse lig med dt. Betragtes en variabel z, som antager diskrete værdier. Ændringerne i z er z over det lille tidsinterval t. z er da en wiener proces, hvis: 1. z = ε t hvor ε er en stokastisk variabel, fordelt således N (0,1). z er således selv normalfordelt, med middelværdi 0, og varians t. 2. Processens fremtidige værdier er uafhængige, dvs. at ændringen i z for to forskellige tidsintervaller er uafhængige af hinanden. En Wiener proces kan opfattes som en kontinuert udgave af en Random Walk. Hvis man i formlen lader z = ε * t lader t være meget lille (dt) fås dz = ε * dt 11

12 Da det ikke er muligt at bruge uendelige tidsskridt ved simuleringen af z, bliver man nødt til at vælge et tidsskridt delta t som kan anvendes. Teorien tilsiger at der skal anvendes en kontinuert model, men da dette ikke er muligt i praksis, forsøges på ovenstående måde at gøre en diskret model så kontinuert som muligt. 3.3 Generaliserede Wiener processer En simpel Wiener Proces, kan ikke bruges til at beskrive udviklingen i en aktiekurs, men blot beskrive nogle tilfældige udfald uden en vækstrate. Da man antager at en aktie altid over tid vil stige i værdi, bliver man nødt til at udvikle modellen med et driftsled. Derfor udvides den simple wiener proces til den såkaldte Generaliseret Wiener Proces, som for variablen X er givet ved: dx= a*dt + b*dz hvor a*dt er driftsleddet (processen stiger eller falder med a pr. tidsenhed) og b*dz er diffusionsleddet. For den generaliserede wiener proces gælder at de stokastiske tilvækster til enhver tid (T) vil være normalfordelt med middelværdi a*t og varians b 2 *T. Dette vil gøre det muligt umiddelbart at simulere værdier, ved blot ét udtræk fra normalfordelingen, og dermed ved blot at gøre brug af ét tilfældigt tal. For at simulere en bestemt værdi af x gælder det følgende: x t = x 0 + a* t + b* z Hvor x 0 er aktiens startværdi. Modellen er stadig ikke fuldendt da den ikke kan forholde sig til det relative. Hvis man bruger modellen som den er nu, til at simulere en aktiekurs, vil middelværdien og volatiliteten ikke være afhængig af den faktiske pris som ønskes simuleret. 3.4 Ito s proces En udvidelse af den generelle wiener proces er Ito s proces, som er en generaliseret wiener proces hvor paramenterne a og b er funktioner af de underliggende variabler x og tiden t. Ito s proces kan skrives som: 12

13 dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz Hvor dz stadig er en stokastisk standardnormalfordelt variabel, ε, multipliceret med kvadratroden af tiden, dt: dz = ε * dt, helt i tråd med de tidligere beskrevne processer. Da driftsleddet afhænger af x, vil driften ændres over tid i takt med at x ændres. Denne proces kaldes også for en geometrisk brownsk bevægelse. For at modellere aktiekurser (S) vælges nu følgende parametre: a(t,x) = µ * S og b(t,x) = σ * S Dette er en kontinuert model for aktiekurser. I denne udgave vil både µ og σ være konstanter, men der er imidlertid ikke noget til hinder for, at de selv er tidsafhængige. Det bemærkes, at aktien antages ikke at være udbyttebetalende. Såfremt aktien faktisk havde været udbyttebetalende, skulle modellen ændres, således at driften reduceredes f.eks. med et kontinuert udbytte. Antagelsen herfor er dermed at udbyttet bliver udbetalt kontinuert i løbet af året, samt at udbytte raten er kendt. I praksis skaber det nogle problemer, da udbyttebetalinger på en aktie bestemt ikke er en kontinuert tilskrivning, samt at udbytteraten først er kendt umiddelbart efter generalforsamlingen, hvor den bliver udbetalt. Antagelsen er dog ikke helt ved siden af, hvis man eksempelvis betragter et aktieindeks, hvor udbyttebetalingerne med lidt god vilje, godt kan antages at være kontinuerte, såfremt indekset består af nok aktier. Ito s proces, for udviklingen af en aktie bliver herefter: ds = µ S dt + σ S ε dt Modellen inklusiv udbyttebetaling, ser således ud: ds = ( µ q) S dt + σ S ε hvor q er udbytteraten dt 13

14 Modellen opstiller en differentialligning for aktiekursens udvikling, idet der ikke umiddelbart kan angives et udtryk for S som funktion af tid, hvorfor der i stedet opstilles et udtryk for ds som funktion af tid. Dette illustrerer, hvorfor det er vanskeligt at opstille lukkede matematiske udtryk for optionspriser: aktiens værdi (integralet af differentialligningen) på de tidspunkter, som har betydning for options værdi, vil kun undtagelsesvist kunne løses matematisk. Samtidig ses det, hvorfor numeriske metoder finder anvendelse, idet ovenstående differentialligning giver mulighed for at simulere aktiekursens faktiske udvikling over tid. For at illustrere den praktiske implementering af Ito s proces, gennemgås her et tænkt eksempel. Betragt en aktie med følgende parametre: Forventet afkast = 7 % Volatilitet = 20 % Pris = 50 Løbetid = 1 år N = 4 I dette eksempel betragtes kun en sti, hvorfor eksemplet ikke vil vise noget retvisende for udviklingen, men blot et eksempel på hvordan en vilkårlig sti kunne forløbe. Først opstilles en matrice, hvorved ε for hvert tids skridt tilfældigt genereres. Tallene er genereret i excel. Her kan enten bruges NORMSINV(RAND()) funktionerne, eller Random Number Generator, under Data Analysis. t 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 ε -0,663 0,268 0,000-1,735 Da vi nu kender epsilons udvikling over tid, altså i de 4 tidsskridt, kan vi benytte vores formel fra tidligere til at simulere aktiens udvikling. ds = µ S dt + σ S ε dt 14

15 S 0,25 = 50 +0,07*50*0,25+0,20*50*-0,663* 0, 25 = 47,56 Denne værdi angiver aktiekursen i første tidsskridt, dvs. i vores tilfælde kursen efter første kvartal. På samme måde findes prisen for de næste kvartaler og vi ender op med en endelig pris på aktien efter et år på 42,65 kr. Tidsskridt på 0,25 kan ikke siges at nærme sig kontinuerte størrelser, og i praksis skal de da også være væsentligt mindre for at simulere en korrekt sti. Ikke desto mindre hjælper det fint til at illustrere pointen, samt den praktiske implementering af processen. 3.5 Ito s Lemma Ito s lemma er en brugbar hjælpesætning til at differentiere ito processer. Såfremt x t er en Ito proces, og G(x, t) er en differentierbar funktion af denne, så vil det ofte være interessant at kende udviklingen i G, altså differentialet dg. Derivater er netop en funktion af en et underliggende aktiv, og Ito s lemma kan ofte være et skridt på vejen til at bestemme derivatets værdi. Lad os som tidligere anført antage at x er en Ito proces, og dermed ser således ud: dx = a(x, t)*dt + b(x, t)*dz Ito s Lemma tilsiger da, at dg kan defineres således: 2 G G G dg = a + + 0,5 b 2 x t ax 2 G dt + b dz x det er værd at bemærke at udtrykket altså indeholder første og andengrads differentieringer af G med hensyn til x og t. Yderligere er dz inkluderet og G er dermed også er Wiener proces i en eller anden form. 15

16 For bedst at illustrere brugen af Ito s Lemma, som i øvrigt betyder Ito s hjælpesætning, og for samtidig at drage en vigtig konklusion for den videre teori og analyse, vil vi prøve at se hvordan Ito s Lemma kan bruges på processen for en akties kursudvikling. Lad os antage at en aktieproces S T har startværdien S 0 og at ændringen i denne følger en Geometrisk Brownsk bevægelse: ds = µ*s*dt + σ*s*dz Lad os nu antage at G er en funktion af S T således at G T = ln(s T ). Differentieres udtrykkene som angivet i formlen fås: G ds 1 =, S 2 G 2 S 1 = S 2 G samt = 0 t Samtidig ses det hvis man sammenligner den givne aktieproces med den generaliserede Ito Proces, at a = µ*s og b = σ*s. Indsættes de i lemma et fås følgende sammenhæng: dg = (µ - σ 2 /2)*dt + σ*dz Betragter man ovenstående udtryk, fremgår det at funktionen er en generaliseret Wiener proces, med driftsled µ - σ 2 /2 og diffusionsled σ. Som tidligere gennemgået er en sådan proces normalfordelt, hvilket igen medfører at G T = ln(s T ) er normalfordelt. Såfremt en X er stokastisk variabel, og LN(X) er normalfordelt, så er X såkaldt lognormalfordelt. Dermed kan det af ovenstående konkluderes, at den proces en aktiekurs følger er lognormalfordelt. Lognormalfordelingen har en række gode egenskaber i forhold til en aktie, bl.a. kan en aktie ikke tabe mere end 100 %, men det kan godt vinde mere. Det dækker lognormalfordelingen fint. Samtidig er fordelingen højreskæv, hvilket medfører at store positive afkast, er mere sandsynlige end store negative afkast. 16

17 Vores modeller videre i denne opgave, vil tage udgangspunkt i ovenstående proces, og vil således blive brugt til at simulere stier for den underliggende akties udvikling. 4. Risikoneutral prisfastsættelse Risikoneutral prisfastsættelse er en af de vigtigste fundamenter indenfor værdiansættelse af derivater. Uanset om det drejer sig om simulationsmetoder som Monte Carlo metoden eller lukkede formler såsom Black-Scholes formel, så bygger de helt grundlæggende på de principper som der vil se nærmere på herunder. Som udgangspunkt handler risikoneutral prisfastsættelse om at lette nogle problemer ved værdiansættelsen af derivater ved hjælp af nogle matematiske argumenter. Et af nøgleproblemerne er f.eks. at investorer har forskellig risikoaversitet, og kræver derfor forskellig præmie. Det umuliggør umiddelbart en uafhængig værdiansættelse af diverse derivater. Den grundlæggende tanke bag risikoneutral prisfastsættelse er at det viser sig muligt at hedge hele derivatets risiko væk, ved at konstruere en smart portefølje bestående af hhv. derivatet samt det underliggende aktiv. En sådan portefølje er dermed risikoneutral, og skal jvf. argumentet om ingen arbitrage, kun betale den risikofrie rente. På denne måde omgås helt problematikken omkring forskellige investorers differentierende risikoaversion, og dermed afkastkrav. 4.1 Udledning af risikoneutral prisfastsættelse Lad os tage udgangspunkt i et derivat på en aktie, eksempelvis en call option. Aktien følger som tidligere nævnt en Geometrisk Brownsk bevægelse (diskret version): S = µ*s* t + σ*s* z Prisen på et afledt aktiv er kendetegnet ved at afhænge af hhv. værdien af det underliggende aktiv, samt tiden. Altså kan det beskrives som en funktion, f(s,t). En sådan funktion kan netop håndteres i 17

18 det tidligere behandlede Ito s Lemma, da det er en funktion der afhænger af en stokastisk proces. I diskret version ser den således ud: 2 f f f 2 2 f f = * µ * S + + 0,5* * σ * S t + S z S t S * * σ * * 2 S Formlen ovenfor angiver altså hvordan en ændring i f ser ud, ved en ændring i t. Det vil nu være interessant at observere hvad der sker hvis en smart portefølje P konstrueres, hvori derivatet sælges f fra, mens der købes stk. af det underliggende aktiv: S P = -f + f * S S Ændringen i værdien af en sådan portefølje, over tiden t, må se således ud: P = - f + f * S S f samt S er netop defineret ovenfor, og vi kan herved substituere ledene i formlen. En del led kan forkortes ud, og ligningen ser til sidst sådan ud: f P = t 2 f 2 0,5* * σ * S 2 S 2 t Det problematiske stokastiske led i Ito s Lemma, z, er nu forkortet ud. Der er altså ikke forbundet nogen usikkerhed med værdien af ovenstående udtryk. Man kan sige at den er risikofri. Samtidig er det investorspecifikke led µ bortfaldet, og der fremkommer dermed et universalt gældende udtryk. For at undgå arbitrage, må afkastet på en sådan portefølje dermed være den risikofrie rente r. 18

19 Ændringen i P er dermed givet ved: P = r*p* t Det er altså hermed vist, at man kan skabe en risikofri portefølje bestående af derivatet samt en hensigtsmæssig andel i det underliggende aktiv. På samme måde som CAPM argumenterer for at man kun skal have præmie for den systematiske risiko, da den usystematiske kan diversificeres væk, så skal man heller ikke her have en risikopræmie for at investere i derivater, da risikoen kan hedges væk. I så fald ville der opstå en arbtitragemulighed. Da de økonomiske rammer nu kan betragtes som værende en risikoneutral verden, skal afledte aktiver dermed prisfastsættes, som var investorerne risikoneutrale. Det betyder samtidig også som tidligere nævnt, at µ for den stokastiske aktieproces nu er den risikofrie rente r. Værdien af et derivat kan generaliseres til (kontinuert): f t = E[f(S T )] *exp(-r*(t-t)) Altså den kontinuert tilbagediskonterede værdi, af den forventede værdi af f(s T ), hvor processen for S, som nævnt ovenfor, er givet ved (kontinuert): ds = r*s*dt + σ*s*dz Selve værdiansættelsen af derivatet er dermed kraftigt forsimplet, da kun den risikofrie rente spiller en rolle. Næste udfordring bliver at finde den forventede værdi af f(s T ). 19

20 5. Sammenfatning I de ovenstående afsnit er det blevet diskuteret hvorledes man kan opstille en generel model for udviklingen i det underliggende aktiv. Det kan konkluderes at man kan benytte en geometrisk brownsk bevægelse for at beskrive denne udvikling. Yderligere blev Ito s Lemma gennemgået, en grundsætning indenfor afledte funktioner af stokastiske processer. Her blev nogle af fordelingsegenskaberne for den geomtrisk brownske bevægelse klarlagt. Særligt at processen er lognormalfordelt, hvilket i fin grad afspejler nogle praktiske overvejelser omkring en aktiepris, såsom at den mindste værdi er nul m.v. Efterfølgende er det bevist, ved at benytte forudsætningerne om risikoneutral prisfastsættelse, at denne proces kan benyttes til at prisfastsætte alle udviklinger i det underliggende aktiv uagtet investorernes risikoprofil. Dette medfører samtidigt at, processen kan benyttes i forbindelse med værdiansættelse af derivater. I det videre arbejde, vil excel modellen basere sig på en Geometrisk Brownsk bevægelse, under antagelse af risikoneutralitet. 6. Værdiansættelses modeller For at kunne vurdere præcisionen af LSM metoden, er det intentionen af sammenligne værdierne med andre eksakte, ikke numeriske metoder. Derfor vil der i det følgende blive redegjort for de modeller der vil blive benyttet i analysen, samt de dele der menes relevante for at beskrive fremgangsmåden i LSM metoden. 6.1 Black & Scholes formel Black Scholes formel blev udviklet i 1973 af Fischer Black, Myron Scholes og Robert Merton og dannede grundlag for en revolutionerende måde at betragte finansielle instrumenter på. Formlen danner også i dag grundlag for den prisfastsætning der foretages på europæiske optioner. Robert Merton og Myron Scholes modtog også en nobelpris i 1997 for det arbejde der lå til grund for modellen. Fischer Black nåede aldrig at blive hædret med en nobelpris, da han døde i

21 Formlen benyttes i dag til at beregne værdien af europæiske optioner, samt amerikanske call optioner. Vil i det efterfølgende lave en gennemgang af formlen, hvor vi vil beskrive de enkelte parametre i formlen og komme med et mindre eksempel. Kilde: Inspi Af ovenstående fremgår det at formlen er afhængig af 6 parameter. Prisen på aktien på udstedelsestidspunktet, S Exercisekursen, K Den risikofri rente, r Volatiliteten på det underliggende aktiv, σ Optionens løbetid, T Dividenden, δ Løbetiden og exercisekursen er to parametrer, som man mere eller mindre selv bestemmer. Dvs. at disse størrelser typisk vil være forudbestemt i en kontrakt eller lignende. For så vidt angår exercisekursen vil den naturligt ligge i et niveau som giver mening i forhold til aktiens dagspris. Aktiens pris kan i et perfekt marked aflæses på børsen. Med hensyn til renten, er det på sin plads at påpege en af de mest indlysende konflikter mellem antagelserne i Black-Scholes modellen og virkeligheden. I markedet eksisterer der ikke en veldefineret størrelse af den risikofrie rente og den 21

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Estimation af volatilitet på aktiemarkedet H.D. studiet i Finansiering Hovedopgave Foråret 2009 ---------------------------- Opgaveløser: Daniel Laurits Jensen Vejleder: Bo Vad Steffensen Opgave nr. 21 Estimation af volatilitet på aktiemarkedet

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Aalborg universitet. P4-4. semestersprojekt. Optionsteori Optioner på valuta

Aalborg universitet. P4-4. semestersprojekt. Optionsteori Optioner på valuta Aalborg universitet P4-4. semestersprojekt Optionsteori Optioner på valuta 25. maj 2012 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optioner på valuta PROJEKT PERIODE: Fra 1. februar 2012 til 25. maj 2012

Læs mere

Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7

Kapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7 Indhold Kapitel 1...3 1.1 Indledning...3 1.2 Problemformulering...4 1.3 Struktur & metode...5 1.4 Afgrænsning...6 Kapitel 2...7 2.1 Black-Scholes introduktion...7 2.1.1 Optioner...7 2.1.2 Black-Scholes

Læs mere

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning)

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori

Investerings- og finansieringsteori Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q

Læs mere

Copenhagen Business School

Copenhagen Business School Copenhagen Business School Hd. Finansiering Analyse af garanti obligationen Grøn Energi 2012-2016 Forfatter: Don Fischer Vejleder: Jesper Lund Afleveret d. 15. maj 2012 Indholdsfortegnelse Side 1. Indledning

Læs mere

Obligationsbaserede futures, terminer og optioner

Obligationsbaserede futures, terminer og optioner Obligationsbaserede futures, terminer og optioner Her kan du læse om obligationsbaserede futures, terminer og optioner, og hvordan de bruges. Du finder også en række eksempler på investeringsstrategier.

Læs mere

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte Dec 64 Dec 66 Dec 68 Dec 70 Dec 72 Dec 74 Dec 76 Dec 78 Dec 80 Dec 82 Dec 84 Dec 86 Dec 88 Dec 90 Dec 92 Dec 94 Dec 96 Dec 98 Dec 00 Dec 02 Dec 04 Dec 06 Dec 08 Dec 10 Dec 12 Dec 14 Er obligationer fortsat

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m a k t i e o p t i o n e r Her kan du læse om aktieoptioner, og hvordan de kan bruges. Du finder også eksempler på investeringsstrategier. Aktieoptioner kan være optaget til handel

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r

I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r I n f o r m a t i o n o m v a l u t a o p t i o n s f o r r e t n i n g e r Her kan du finde generelle oplysninger om valutaoptionsforretninger, der kan handles i Danske Bank. Valutaoptioner kan indgås

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet

Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet Diskret delta hedging af optionsporteføljer Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G3-110 Aalborg Universitet Aalborg University Department of Mathematics Frederik Bajers Vej 7G, DK-90 Aalborg Ø, Denmark

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

Forudsætningsbrud i Black-Scholes modellen

Forudsætningsbrud i Black-Scholes modellen Erhvervsøkonomisk institut HA-Almen, 6. Semester Vejleder: Thomas Kokholm Forfattere: Martin Eskol Jesper Bjerregård Juul Forudsætningsbrud i Black-Scholes modellen Konstant volatilitet & kontinuert handel

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter. Kompendium om Aktieoptioner Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium om Aktieoptioner Version 1, opdateret den 19. marts 2015 BAGGRUND... 4 INDHOLD OG AFGRÆNSNING... 4 1. INDLEDNING... 4 2. OPBYGNING OG STRUKTUR...

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Korte eller lange obligationer?

Korte eller lange obligationer? Korte eller lange obligationer? Af Peter Rixen Portfolio manager peter.rixen @skandia.dk Det er et konsensuskald at reducere rentefølsomheden på obligationsbeholdningen. Det er imidlertid langt fra entydigt,

Læs mere

1.1. Introduktion. Investments-faget. til

1.1. Introduktion. Investments-faget. til Introduktion til Investments-faget 1.1 Dagens plan Goddag! Bogen & fagbeskrivelse. Hvem er jeg/hvem er I? Hold øje med fagets hjemmeside! (www.econ.au.dk/vip_htm/lochte/inv2003) Forelæsningsplan,slides,

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns

Læs mere

Himalayaoptioner. Brugen af himalayaoptioner i finansielle produkter og prisfastsættelse af disse

Himalayaoptioner. Brugen af himalayaoptioner i finansielle produkter og prisfastsættelse af disse Christian Kjølhede, Studienummer: CK9792 Bachelorafhandling HA Almen, 6. semester Forfatter Christian Kjølhede Vejleder Peter Løchte Jørgensen Himalayaoptioner Brugen af himalayaoptioner i finansielle

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/ NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/6 2002 VEJLEDENDE BESVARELSE OG KOMMENTARER Opgave 1 Spg 1a

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Aktieindekserede obligationer 2 GRUNDLÆGGENDE OMKRING AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 7 3 MARKEDSBESKRIVELSE... 15

Aktieindekserede obligationer 2 GRUNDLÆGGENDE OMKRING AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 7 3 MARKEDSBESKRIVELSE... 15 1 INDLEDNING... 4 1.1 PROBLEMFORMULERING... 4 1.2 AFGRÆNSNING... 6 2 GRUNDLÆGGENDE OMKRING AKTIEINDEKSEREDE OBLIGATIONER... 7 2.1 PRODUKTET... 7 2.2 NULKUPONOBLIGATIONEN... 8 2.3 OPTIONEN... 10 2.4 DELTAGELSESGRADEN...

Læs mere

I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r

I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r I n f o r m a t i o n o m r å v a r e o p t i o n e r Her kan du finde generel information om råvareoptioner, der kan handles gennem Danske Bank. Råvarer er uforarbejdede eller delvist forarbejdede varer,

Læs mere

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider

HD(R) 2.del Finansiel Styring 12.06.2003 Ro203 Erling Kyed ******-**** 1 af 1 sider 1 af 1 sider Opgave 1.: Generelt må det siges at ud fra opgaveteksten er der ingen overordnet plan for koncernens likviditetsstyring. Især de tilkøbte selskaber arbejder med en høj grad af selvstændighed,

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Generaliserede lineære modeller Log-lineære modeller

Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Generaliserede lineære modeller Log-lineære modeller Opsamling Modeltyper: Tabelanalyse Logistisk regression Binær respons og kategorisk eller kontinuerte forklarende variable. Generaliserede lineære modeller Normalfordelt respons og kategoriske forklarende

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 8 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Reeksamen Finansiel planlægning Tirsdag den 12. juni 2007 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladte.

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Aktierne er steget i pris men er de blevet for dyre?

Aktierne er steget i pris men er de blevet for dyre? Aktierne er steget i pris men er de blevet for dyre? Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Der er rigtig mange holdninger til den aktuelle værdiansættelse af aktier. Desværre bliver

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Finansiel planlægning

Finansiel planlægning Side 1 af 7 SYDDANSK UNIVERSITET Erhvervsøkonomisk Diplomuddannelse HD 2. del Regnskab og økonomistyring Finansiering Eksamen Finansiel planlægning Tirsdag den 8. januar 2008 kl. 9.00-13.00 Alle hjælpemidler

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1 Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2

Læs mere

Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked

Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked N O T A T Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked Baggrund og resume Efter i årevis at have rapporteret om et fastfrosset boligmarked, har de danske

Læs mere

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko.

Hvad er en option? Muligheder med en option Køb og salg af optioner kan både bruges som investeringsobjekt samt til afdækning af risiko. Hvad er en option? En option er relevant for dig, der f.eks. ønsker at have muligheden for at sikre prisen på et aktiv i fremtiden. En option er en kontrakt mellem to parter en køber og en sælger der giver

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

RØD CERTIFICERING - BILAG

RØD CERTIFICERING - BILAG RØD CERTIFICERING - BILAG STRUKTUREREDE OBLIGATIONER FINANSSEKTORENS UDDANNELSESCENTER STRUKTUREREDE OBLIGATIONER Strukturerede obligationer som det næstbedste alternativ. GEVINST Næstbedst ved FALD AKTIV

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst

Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst 17. december 2013 Baggrundsnotat: Søskendes uddannelsesvalg og indkomst Dette notat redegør for den økonometriske analyse af indkomstforskelle mellem personer med forskellige lange videregående uddannelser

Læs mere

Hovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping

Hovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping Hovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Aktier har et forventet afkast, der er højere end de fleste andre aktivklasser. Derfor

Læs mere

Målbeskrivelse nr. 8: Modeller til estimation af virksomhedsværdi og ejernes. afkastkrav

Målbeskrivelse nr. 8: Modeller til estimation af virksomhedsværdi og ejernes. afkastkrav HA, 5. SEMESTER STUDIEKREDS I EKSTERNT REGNSKAB Esbjerg, efteråret 2002 Målbeskrivelse nr. 8: Modeller til estimation af virksomhedsværdi og ejernes afkastkrav Valdemar Nygaard TEMA: MODELLER TIL ESTIMATION

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Prisfastsættelse af rentecaps

Prisfastsættelse af rentecaps HD - FINANSIERING Copenhagen Business School Afgangsprojekt maj 2014 Prisfastsættelse af rentecaps Afleveringsdato: 12. maj 2014 Vejleder: Jesper Lund Udarbejdet af: Christian Eske Bruun Dato og underskrift

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan

Læs mere

Værdiansættelse af virksomheder: Sådan fastlægges afkastkravet i praksis

Værdiansættelse af virksomheder: Sådan fastlægges afkastkravet i praksis www.pwc.dk/vaerdiansaettelse Værdiansættelse af virksomheder: Sådan fastlægges afkastkravet i praksis Foto: Jens Rost, Creative Commons BY-SA 2.0 Februar 2016 Værdiansættelse af virksomheder er ikke en

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere