GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM. Gert Kjærgård Pedersen November 2002
|
|
- Peter Clemmensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GRUNDBEGREBER 1 GRUNDBEGREBER VEDRØRENDE TOPOLOGI, KONVERGENS OG KONTINUITET I EUKLIDISKE RUM Gert Kjærgård Pedersen November 2002 Emnerne i disse noter behandles forskellige steder i Sydsæters bøger, [SsI] og [SsII]; se for eksempel under Afstand: I.11.4, p 384 Ekstremværdisætningen: I.9.4, p 300; I.13.4, p 389; II.2.7, p 67 Funktionsbegrebet: I.4.9, p 150; II.2.7, p 62 Grænseværdi: I.5.5, p 166; I.6.2, p 210; I.6.9, p 232; II.2.6, p 59 Kontinuitet: I.6.1, p 205; II.2.5, p 55; II.2.7, p 65 Middelværdisætningen: I.9.5, p 310; II.2.1, p 38 Topologi: I.13.4, p 489; II.2.5, p 53 For at hjælpe læseren gives her en sammenhængende fremstilling som uddyber og supplerer Sydsæters værk. 1. Topologi i Euklidiske Rum 1.1. Norm og Afstand. I det euklidiske rum R n bestående af n dimensionale vektorer x = (x 1,..., x n ) defineres en norm ved x = (x x2 n )1/2 = (x x) 1/2. Man efterviser at denne norm tilfredsstiller betingelserne (1) x + y x + y x, y R n, (2) λx = λ x λ R, x R n, (3) x = 0 x = 0, hvor vi bemærker at (1) som er den eneste ikke-trivielle betingelse følger af Cauchy-Schwarz s ulighed : (x y) 2 (x x)(y y) eller (x y) x y. Ud fra denne norm fastlægger vi et afstandsbegreb i R n, idet vi definerer afstanden (distancen) mellem to punkter som ( n ) 1/2 dist(x, y) = x y = (x k y k ) 2. k=1
2 2 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN 1.2. Konvergens. Ved hjælp af afstandsbegrebet kan vi nu definere konvergens af en følge i R n. Hvis (x k ) er givet, siger vi at den konvergerer mod et punkt x, hvis afstanden fra x k til x bliver vilkårligt lille for alle store k. Helt præcist forlanger vi at: ε > 0 N : k N = x x k < ε. Udtrykt i kampsprog: Ligemeget hvor lille et ε fjenden kræver, kan vi finde et nummer N således at hele restfølgen {x n k N} ligger indenfor en kugle i R d med centrum x og radius ε. Vi udtrykker konvergens formelt ved at skrive x = lim x k, eller i mere grafisk notation x k x. Det er oplagt ud fra afstandsformlen, at hvis x k x så vil de enkelte koordinater i følgens elementer også konvergere mod grænsepunktets tilsvarende koordinat. Dette udtrykkes mest elegant ved hjælp af skalarproduktet med standardbasisvektorerne e i, 1 i n i R n, idet den i te koordinat for en vektor x netop er x e i. Omvendt kan man let vise at hvis en vektorfølge (x k ) har den egenskab at x k e i x i for 1 i n, så vil vektoren x = (x 1,..., x n ) være grænseværdi for (x k ). Konvergens i R n er således totalt bestemt ved konvergenser af almindelige talfølger i R. Vi udtrykker dette grafisk ved udsagnet x k x i : x k e i x e i Regning med Grænseværdier. Hvis (x n ) og (y n ) er konvergente talfølger med grænseværdier henholdsvis x og y, gælder for ethvert reelt tal c at også talfølgerne (cx n ), (x n + y n ), (x n y n ) og (x n /y n ) er konvergente med grænseværdier henholdsvis cx, x + y, xy og x/y. [I det sidste tilfælde må vi naturligvis antage at y 0, hvoraf det følger at y n 0 fra et vist trin.] Beviserne for disse påstande er simple, men giver god træning i definitionen af følgers konvergens. Hvis (x n ) og (y n ) er konvergente følger i R n med grænsevektorer henholdvis x og y, gælder tilsvarende for ethvert reelt tal c at (1) cx n cx, (2) x n + y n x + y. Dette følger direkte of ovenstående ved at se på koordinatfølgerne Cauchy-Følger. Det er ofte ønskeligt at vide om en følge er konvergent uden på forhånd at kende grænseværdien. Vi siger at en følge (x k ) i R n er en Cauchyfølge hvis alle dens elementer fra et vist trin ligger vilkårligt tæt ved hinanden. Helt præcist forlanger vi at : ε > 0 N : k, j N = x k x j < ε. Ligesom ved konvergens gælder det at en vektorfølge (x k ) er en Cauchy-følge hvis og kun hvis enhver af koordinatfølgerne (x k e i ) er en Cauchy-følge i R. Det er en dyb egenskab ved de reelle tal, men også dybt tilfredsstillende, at enhver Cauchy-følge er konvergent. Dette omtales som de reelle tals fuldstændighed, og giver mere generelt de euklidiske rums fuldstændighed.
3 GRUNDBEGREBER Sætning. Enhver Cauchy-følge i det euklidiske rum R n er konvergent med netop én grænseværdi i R n. Beviset for denne påstand falder udenfor rammerne af disse noter, men kan eventuelt tages som et aksiom. For et bevis henvises til [Noter] Analyse og Optimering, Sætning 4.10, p 37. Påstanden er ganske ækvivalent med en anden egenskab som ofte tages som en definition af de reelle tals magiske egenart: Enhver voksende talfølge i R som er opad begrænset er også konvergent Topologi. En delmængde G af R n kaldes åben hvis enhver af dens punkter indeholder en (lille) omegn der er helt indeholdt i G. Helt præcist : x G ε > 0 : y x < ε = y G. Ved hjælp af trekantsuligheden (betingelse (1) i 1.1) ser man at enhver åben kugle med centrum x og radius r > 0, altså K(x, r) = {y R n x y < r}, udgør en åben delmængde af R n. Thi hvis y K(x, r) kan vi finde ε > 0 således at x y + ε < r. Men det betyder netop at K(y, ε) K(x, r), som ønsket. Omvendt ser vi af definitionen af begrebet, at enhver åben mængde kan skrives som en (formentlig uendelig) foreningsmængde af åbne kugler (med varierende små radier). En delmængde F af R n kaldes lukket hvis man ikke kan konvergere sig ud af den. Helt præcist : (x k ) F : x k x = x F Sætning. En mængde G i R n er åben hvis og kun hvis dens komplementærmængde F = R n \ G er lukket. Bevis. Antag at G er åben og lad (x k ) være en følge i F = R n \ G som konvergerer mod et punkt x. Hvis x G vil der findes et ε > 0 således at K(x, ε) G. Men da x k x findes et N således at x k K(x, ε) for alle k > N. Dermed ligger x k både i F og i G, hvilket er nonsens. Altså må vi have x / G, dvs. x F, som ønsket. Antag nu omvendt at F = R n \ G er lukket og betragt et vilkårligt punkt x i G. Hvis vi ikke kan finde nogen (nok så lille) kugleomegn om x helt indeholdt i G må der åbenbart gælde at K(x, 1/k) F for ethvert k. Vi kan derfor vælge x k i F med x x k < 1/k, og får herved en følge (x k ) i F som oplagt konvergerer mod x. Men så må x F, i modstrid med at x G. Altså må der findes et ε > 0 så K(x, ε) G, som ønsket Topologisk Struktur. Systemet G af åbne delmængder af R n opfylder følgende strukturelle egenskaber (1) G, R n G, (2) G 1, G 2 G = G 1 G 2 G, (3) {G k } G = k=1 G k G.
4 4 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN Egenskaberne i (1) er en definitionssag, medens (2) og (3) kræver lidt overvejelse. Hvis x G 1 G 2, og både G 1 og G 2 er åbne mængder, så må K(x, ε 1 ) G 1 for et ε 1 > 0, idet x G 1. Men også K(x, ε 2 ) G 2 for et ε 2 > 0, idet x G 2. Sættes ε = min(ε 1, ε 2 ) vil derfor K(x, ε) G 1 G 2, som ønsket. Beviset for (3) er helt elementært: Hvis x k=1 G k så må x G j for (mindst) et index j, og da G j er åben findes altså et ε > 0 så K(x, ε) G j. Men så vil også K(x, ε) k=1 G k, som altså er åben. Et system G af delmængder af en grundmængde X som opfylder de tre betingelser i 1.8 kaldes en topologi på X. Det viser sig nemlig at man alene ud fra mængderne i G kan definere konvergens på X og kontinuitet af funktioner på X. Vi får dog ikke brug for denne hyperabstrakte tilgang til fænomenerne. Ved at udnytte Sætning 1.7 ser man umiddelbart fra 1.8 at systemet F af lukkede delmængder af R n har følgende strukturelle egenskaber: (1) F, R n F, (2) F 1, F 2 F = F 1 F 2 F, (3) {F k } F = k=1 F k F Aflukning og Rand. En mængde X i R n behøver naturligvis hverken at være åben eller lukket. Dog ser vi ved brug af 1.8 (3) at X indeholder en størst mulig åben delmængde nemlig foreningsmængden af alle åbne mængder i R n som er indeholdt i X. Denne mængde kaldes det indre af X og betegnes X. Helt tilsvarende er X indeholdt i en mindst mulig lukket mængde nemlig fællesmængden af alle lukkede mængder i R n som indeholder X. Denne mængde kaldes aflukningen af X og betegnes med X. Det følger af Sætning 1.7 at der altid gælder R n \ X = (R n \ X) og R n \ X = (R n \ X). Af den sidste formel ser vi om et punkt at x / X netop hvis der findes en kugleomegn K(x, ε) helt indeholdt i R n \ X. Ved negation af dette udsagn fås at x X hvis og kun hvis der findes en følge (x n ) i X således at x n x. Det følger af definitionerne at en mængde X er åben hvis og kun hvis X = X, og at X er lukket hvis og kun hvis X = X. Hvis X = siger vi at X er tynd i R n, og hvis X = R n siger vi at X er tæt. Det sidste begreb er mest relevant og bruges ofte relativt til en anden (som regel større) mængde Y. Vi siger således at X er tæt i Y hvis Y X. Dette betyder åbenbart at ethvert y i Y kan fås som grænsepunkt for en følge (x n ) fra X, altså at ethvert y kan tilnærmes med x er. For eksempel gælder der at mængden Q af rationale tal er tæt i R. Som delmængde af R er Q imidlertid en tynd mængde. Mængden X = X \ X kaldes randen af X og dens elementer er randpunkterne for X. Vi ser at X er en lukket mænde (som gennemsnit af de lukkede mængder X og R n \ X ). En lukket mængde indeholder alle sine randpunkter, medens en åben mængde ikke indeholder nogen af sine randpunkter. Man ser generelt at en mængde X og dens komplementærmængde R n \ X har samme rand. Faktisk gælder at x X hvis og kun hvis ε > 0 : K(x, ε) X K(x, ε) (R n \ X).
5 GRUNDBEGREBER Begrænsede Mængder. En delmængde X af R n kaldes begrænset hvis der findes en n kasse af formen I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] således at X I. Det betyder at enhver af koordinaterne til samtlige punkter i X er numerisk mindre end en vis konstant. Den følgende sætning angiver en fundamental egenskab ved begrænsede delmængder af R n. Men ser let at den faktisk endda karakteriserer begrænsede mængder, med det er mindre vigtigt Sætning. Hvis X er en begrænset delmængde af R n så vil enhver følge i X have en konvergent delfølge. Bevis. Vi antager først at n = 1 og at X = [0, 1]. Hvis nu (x n ) er en talfølge i X deler vi intervallet i de to lige store dele X 1 = [0, 1/2] og X 1 = [1/2, 1]. Da følgen er uendelig må (mindst) et af delintervallerne indeholde uendelig mange elementer fra følgen. Kald dette for X 1. [Hvis begge intervaller kan bruges vælges fx det længst til højre.] I intervallet X 1 vælges nu x n1 som det første element i følgen (x n ) der ligger i X 1. Herefter deles X 1 i to lige store intervaller X 2 og X 2, og man indser som før at (mindst) et af dem indeholder uendelig mange elementer fra følgen {x n n > n 1 }. Vælg et af dem og kald det X 2, og vælg x n2 som det første element med index større end n 1 som ligger i X 2. Fortsættes denne proces får man en følge af intervaller (X k ), hvor hvert er indeholdt i alle forrige og har længde 2 n, og en delfølge (x nk ) af (x n ) således at x nk X k for alle k. Derfor vil x nk x nj 2 k for alle j > k, og det er således oplagt at (x nk ) udgør en Cauchy-følge. Delfølgen er derfor konvergent i følge Sætning 1.4. Det er klart at dette argument vil kunne bruges på et vilkårligt interval [a, b] i R og derfor på en vilkårlig begrænset delmængde af R. I det flerdimensionale tilfælde kan man relativt simpelt variere metoden til også at give et bevis. Hvis fx X er en begrænset delmængde af R 2 og (x n ) er en følge i X kan vi først erstatte X med en større mængde X 0 = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]. For nu at udtage en delfølge deler vi X 0 i fire lige store kvadranter X 1, X 1, X 1 og X 1 og vælger et af dem, kaldet X 1, som indeholder uendelig mange elementer fra (x n ). Heri vælges x n1 som det første element. Nu deles X 1 i fire lige store kvadranter osv. Man får en følge af rektangler (X k ), hvor hvert er indeholdt i alle forrige og hvor diameteren er det halve af forgængerens. Samtidig får man en delfølge (x nk ) så x nk X k for alle k; og dette er igen en Cauchy-følge, og dermed konvergent Kompakthed. Selv om en delfølge i en begrænset X har en konvergent delfølge er det natuligvis ikke givet at grænseværdien også tilhører X. Men hvis X yderligere er lukket må ethvert konvergenspunkt tilhøre X per definition. Dette medfører at det er særligt bekvemt at betragte mængder i R n som både er lukkede og begrænsede. Sådanne mængder kaldes kompakte, og vi skal møde dem igen i funktionsteorien. De blev karakteriseret af Henri Borel ved hjælp af den såkaldte overdækningsegenskab: Hvis en kompakt delmængde X af R n er indeholdt i en uendelig foreningsmængde k=1 G k af åbne delmængder, så vil allerede endelig mange af G k erne overdække X. Bruger man den komplementære beskrivelse af lukkede mængder fra Sætning 1.7 får man følgende alternative version af Borels sætning: Hvis (F k ) er en følge af lukkede delmængder af en kompakt mængde X, således
6 6 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN at det for ethvert endeligt antal F k1, F k2,..., F kj gælder at j i=1 F k i, da vil k=1 F k. Hvis således F 1 F 2 F 3..., og alle er ikke-tomme, så vil deres fællesmængde altså heller ikke være tom. 2. Kontinuerte Funktioner 2.1. Funktioner. Som bekendt taler man om en funktion f mellem to mængder X og Y hvis der til ethvert x i X er knyttet netop et element i Y, kaldet funktionsværdien og betegnet med f(x). Denne dynamiske opfattelse af en funktion som en lille sort kasse der spytter et y ud hvergang man putter et x i den er grundlæggende sund og giver fornuftige associationer; men i meget teoretiske overvejelser foretrækker matematikerne at bruge en mere statisk definition som udelukkende afhænger af mængdeteoretiske begreber. Ifølge denne er en funktion en delmængde G(f) af produktmængden X Y med den egenskab at gennemsnitsmængden G(f) ({x} Y ) for ethvert x i X netop består af ét punkt (x, y) i X Y. Anden-koordinaten y i dette punktpar kaldes så f(x), og vi ser at grafen G(f) for f netop beskrives ved punkterne G(f) = {(x, f(x)) X Y ) x X}. Efter på denne måde at have forklaret hvordan funktionskassen virker kan man roligt gå videre med den dynamiske definition Vektorfunktioner. Hvis X R n og Y = R m kalder vi en funktion f: X R m for en vektorfunktion, mere præcist en m dimensional vektorfunktion af n variable. Hvis m = 1 taler vi om en (reel) funktion af n variable. Ved at bruge standardbasisvektorerne e i, 1 i m, i R m ser vi at en vektorfunktion f: X R m giver anledning til m reelle koordinat-funktioner f 1,..., f m defineret ved f i (x) = f(x) e i. Omvendt er det klart at hvis man har et vist antal lad os sige m reelle funktioner af n variable, alle med samme definitionsområde X i R n, så definerer dette en vektorfunktion f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)). Denne lette passage mellem vektorfunktioner og deres koordinatfunktioner gør at man ofte kan nøjes med at betragte koordinatfunktionerne, altsa reelle (en-dimensionale) funktioner. Den eneste undtagelse fremkommer når vi har behov for at sammensætte funktioner. Hvis X R n og Y R m, og hvis f: X R m og g: Y R k er vektorfunktioner således at f(x) Y, så kan vi definere funktionen g f: X R k ved g f(x) = g(f(x)). Denne funktions egenskaber kan ikke umiddelbart aflæses af koordinatfunktionernes egenskaber. I hvert fald bliver man nødt til at behandle f som en vektorfunktion.
7 GRUNDBEGREBER Kontinuitet. En vektorfunktion f: X R m, hvor X R n, er kontinuert i et punkt x i X hvis ethvert nærtliggende punkt ikke afbildes ret langt fra f(x). Udtrykt i det matematikerne kalder Weierstrass ε δ sprog betyder dette, hvis y X, at: ε > 0 δ > 0 : y x < δ = f(y) f(x) < ε. Hvis f er kontinuert i ethvert punkt i X siger vi blot at f er kontinuert på X. Denne definition er temmelig statisk, men kan gøres endnu mere mængdeteoretisk. Hvis G er en delmængde af R m definerer vi originalmængden eller urbilledet af G underf som mængden f 1 (G) = {x X f(x) G}. Nu kommer så overraskelsen: f er kontinuert på X hvis og kun hvis det for enhver åben delmængde G af R m gælder at f 1 (G) er en åben delmængde af X. [Hvis X ikke selv er åben i R n siger vi at f 1 (G) er åben i X såfremt den har formen G 1 X for en passende åben delmængde G 1 af R n.] Nok så anvendelig er følgende dynamiske omfortolkning af kontinuitetsbegrebet: f er kontinuert på X hvis det om enhver konvergent følge (x k ) i X med en grænseværdi x i X gælder at følgen (f(x k )) konvergerer mod f(x). Grafisk udtrykt: x k x = f(x k ) f(x). Beviserne for ovenstående påstande kræver intet udover lidt mængdegymnastik og brug af definitionerne vedrørende konvergente følger. Man får således ikke brug for Cauchy-følger her. Det er bemærkelsesværdigt at urbilledbegrebet, som altså ud fra en funktion f: X Y giver os en en mængdefunktion som går i den modsatte retning (fra delmængder af Y til delmængder af X, idet G f 1 (G)), har ganske skikkelige egenskaber. Man ser således at f 1 (G 1 \ G 2 ) = f 1 (G 1 ) \ f 1 (G 2 ), samt at det for et vilkårligt antal delmængder {G k k K} af Y gælder at f 1 ( G k ) = f 1 (G k ) og f 1 ( G k ) = f 1 (G k ). k K k K 2.4. Regning med Kontinuerte Funktioner. Det følger umiddelbart af definitionen i 2.3, samt resultaterne i 1.3, at hvis f og g er kontinuerte vektorfunktioner på samme mængde X i R n så vil for ethvert reelt c funktionerne cf og f + g [definerede ved at (cf)(x) = cf(x) og (f + g)(x) = f(x) + g(x)] også være kontinuerte. Hvis f og g endda er reelle funktioner vil også fuktionerne fg og f/g [definerede ved (f g)(x) = f(x)g(x) og (f/g)(x) = f(x)/g(x)] være kontinuerte. Det sidste naturligvis under forudsætning af at g(x) 0 for alle x i X. Ud fra disse regneregler er det let at opbygge et arsenal af kontinuerte funktioner ved blot at starte med helt simple og oplagt kontinuerte funktioner som fx konstantfunktionerne c: x c og den identiske funktion id: x x, og så sammensætte dem som ovenfor angivet. Vi ser også at hvis f: X R m og g: Y R k er kontinuerte, hvor X R n og Y R m, og hvor f(x) Y, så vil den sammensatte funktion g f: X R k være kontinuert. Bemærk blot at hvis x n x i X så vil f(x n ) f(x) i Y, og derfor vil g(f(x n )) g(f(x)) i R k, som krævet. k K k K
8 8 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN 2.5. Ekstremværdisætningen. Husk at vi i afsnit 1.12 definerede en mængde i R n til at være kompakt hvis den både var lukket og begrænset. Følgende udsagn om kontinuerte funktioners opførsel på kompakte mængder er helt fundamentalt i funktionsteorien. Og da mange anvendelser af matematik indenfor økonomi drejer sig om at maximere eller minimere en funktion er sætningen også af vital betydning indenfor matematisk økonomi Sætning. En kontinuert funktion på en kompakt delmængde af R n er nødvendigvis begrænset og har derfor et maximum og et minimum. Endvidere findes der punkter i X hvor maximum og minimum antages. Bevis. Lad f: X R være en kontinuert funktion på den kompakte delmængde X af R n. Hvis f er ubegrænset opadtil kan vi finde en følge (x k ) i X således at f(x k ) > k for ethvert k. Ved brug af Sætning 1.11 udtager vi nu en delfølge (x kj ) som er konvergent mod et punkt x, og da X er lukket vil x tilhøre X. Da f er kontinuert vil f(x kj ) konvergere mod f(x), men dette er umuligt idet f(x kj ) > k j. Altså må f være opadtil begrænset og derfor have et maximum. Tilsvarende indses at f har en (endeligt) minimum. Definitionen af maximum er at det er det mindste reelle tal c således at f(x) c for alle x i X. Altså må der findes x er i X således at funktionsværdien f(x) kommer vilkårligt tæt på c. Vi kan derfor udtage en følge (x k ) i X således at c f(x k ) < 1/k for alle k. Som før lader vi (x kj ) være en delfølge af (x k ) som konvergerer mod et punkt x i X. Så vil f(x kj ) konvergere mod f(x), dvs at vi for ethvert ε > 0 kan finde et N således at f(x) f(x kj ) < ε når blot k j > N. Vi får så ulighederne c f(x) > f(x kj ) ε > c 1/k j ε, som er opfyldte for alle k j > N. Heraf sluttes at c f(x) c ε, og da ε er vilkårligt fås f(x) = c, som ønsket. Tilsvarende vises at minimum antages Middelværdisætningen. Lad f: [a, b] R være en kontinuert funktion på et (begrænset og lukket) interval [a, b], og antag at f er differentiabel i ethvert indre punkt. Det betyder at hvis x ]a, b[ så vil der eksistere et tal f (x), således at det for enhver følge (x n ) i intervallet der konvergerer mod x gælder at (f(x n ) f(x)) (x n x) 1 f (x) Sætning. Giver f som ovenfor findes et punkt x i ]a, b[ således at f(b) f(a) = f (x)(b a). Bevis. Antag først at f(b) = f(a). Vi skal da vise at f har vandret tangent i et indre punkt. Da f er kontinuert findes ifølge Sætning 2.6 punkter x og y i [a, b], således at f(x) = sup f og f(y) = inf f. Hvis f(x) = f(a) og f(y) = f(a) er f konstant og f (z) = 0 for alle z i ]a, b[, så sætningen er trivielt sand. Vi kan derfor gerne
9 GRUNDBEGREBER 9 antage at f(x) f(a), hvormed specielt x a og x b, så x ]a, b[. Da x er et maksimumspunkt vil for ethvert ε > 0 (f(x + ε) f(x)) /ε 0 og (f(x ε) f(x)) /( ε) 0. Vi ser i grænsen ε 0 at f (x) 0 og f (x) 0, hvormed f (x) = 0, som ønsket. I det generelle tilfælde defineres hjælpefunktionen g(x) = f(x) (f(b) f(a))(b a) 1 (x a). Da er g kontinuert på [a, b] og differentabel i ]a, b[. Endvidere er g(a) = f(a) = g(b). Af første del af beviset følger at der findes et x i ]a, b[ så g (x) = 0. Udregning viser det ønskede, nemlig at 0 = g (x) = f (x) (f(b) f(a))(b a) Retningsafledet og Gradient. Som bekendt definerer man de partielle afledede af en funktion f af n variable som grænseværdierne (som antages at eksistere): f j(x) = lim ε 0 (f(x + εe j ) f(x)) ε 1, 1 j n. Ud fra disse danner vi gradienten af f som vektorfunktionen f(x) = (f 1(x),..., f n(x)). Hvis alle de partielle afledede eksisterer som kontinuerte funktioner på X siger vi at f tilhører klassen C 1 (X). Tilsvarende definerer man klasserne C p (X), bestående af funktioner hvor alle partielle afledede af p te orden eksisterer og er kontinuerte funtioner på X. [Klassen C o (X) bestående af kontinuerte funktioner på X betegnes dog som regel blot som X(X).] Bemærk at f C 1 (X) netop hvis vektorfunktionen f: X R n er kontinuert. For en vilkårlig vektor h i R n således at x + h X definerer vi nu den afledede i retningen h som differentialkvotienten i 0 af den reelle funktion t f(x + th). For denne retningsafledede har vi følgende udtryk: Sætning. Hvis f: X R har kontinuerte partielle afledede overalt i X, altså hvis f C 1 (X), vil lim t 0 (f(x + th) f(x)) t 1 = f 1(x)h f n(x)h n = f(x) h. Bevis. For at lette notationen gennemfører vi kun beviset for n = 2, således at x = (x, y) og h = (h, k). Vi omformer først funktionstilvæksten f =f(x + th, y + tk) f(x, y) = (f(x + th, y + tk) f(x, y + tk)) + (f(x, y + tk) f(x, y)),
10 10 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN og bruger derefter middelværdisætningen 2.8 på hver af differenserne. Dette giver f = f 1 (x + h 1, y + tk)th + f 2 (x, y + k 1)tk, hvor 0 < h 1 < th og 0 < k 1 < tk. Derfor må h 1 0 og k 1 0 når t 0, og da de partielle afledede er kontinuerte ser vi at lim f/t = f 1(x, y)h + f 2(x, y)k, t 0 som ønsket Middelværdisætningen Udvidet. Hvis f: X R er en kontinuert funktion defineret på en konveks delmængde X af R n, og hvis de partielle afledede f k for 1 k n eksisterer og er kontinuerte i ethvert punkt af X, kan vi vise en smuk generalisering af middelværdisætningen. Vi erindrer om at X er konveks netop hvis det om to vilkårlige punkter x og y i X gælder at hele intervallet [x, y] = {z R n z = λy + (1 λ)x, 0 λ 1} er indeholdt i X. Dette betyder specielt at hvis x, y X kan vi danne den retningsafledede for f i x i retningen h = y x Sætning. Givet et konvekst område X i R n og en funktion f i C 1 (X) findes for ethvert par af punkter x, y i X et punkt z = λy + (1 λ)x, hvor 0 < λ < 1, således at f(y) f(x) = f(z) (y x). Bevis. Definér den reelle funktion ϕ(λ) = f(λy + (1 λ)x) = f(x + λ(y x)) for 0 λ 1. Da er ϕ kontinuert på [0, 1], og vi hævder at den også er differentiabel. Thi hvis z = λy + (1 λ)x fås (ϕ(λ + ε) ϕ(λ)) /ε = (f(z + ε(y x)) f(z)) /ε, og vi ser af Sætning 2.10 at grænseværdien eksisterer når ε 0 med ϕ (λ) = f(z) (y x). Af middelværdisætningen 2.8 følger at der findes et indre punkt λ i [0, 1] således at ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (λ). Sættes z = λy + (1 λ)x fås det ønskede resultat f(y) f(x) = ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (λ) = f(z) (y x).
11 GRUNDBEGREBER Bemærkning. Når man skal bruge den udvidede middelværdisætning på en (lille) tilvækst x + h behøver man ikke at antage at hele definitionsmængden X er konveks, men blot at X indeholder intervallet [x, x + h]. Vi får så udsagnet hvor 0 < λ < 1. f(x + h) = f(x) + f(x + λh) h, Kædereglen. Middelværdisætningen kan bruges til at finde differentialkvotienten af en sammensat funktion af formen f g, hvor g: [a, b] R n er en C 1 vektorfunktion g(t) = (g 1 (t),..., g n (t)) og f er en reel C 1 funktion af n variable på en mængde X således at g([a, b]) X. Til formuleringen får vi foruden gradienten af f brug for differentialkvotientvektoren g (t) = (g 1 (t),..., g n (t)). Resultatet kaldes kædereglen for vektorfunktioner og generaliserer den sædvanlige kæderegel for funktioner f og g af en variabel, hvor man som bekendt finder at (f g) (x) = f (g(x))g (x) Sætning. Hvis ϕ(t) = f(g(t)) som ovenfor vil ϕ være differentiabel med ϕ (t) = f 1(g(t))g 1(t) + + f n(g(t))g n(t) = f(g(t)) g (t). Bevis. Ved at bruge den sædvanlige middelværdisætning på hver af koordinatfunktionerne fås g j (t + ε) = g j (t) + g j (t + ε j)ε, hvor 0 < ε j < ε for 1 j n. Definerer vi nu vektoren v = (g 1 (t + ε 1),..., g n(t + ε n )) fås ϕ(t + ε) = f(g(t + ε)) = f(g(t) + εv). Den udvidede middelværdisætning giver så ϕ(t + ε) ϕ(t) = f(g(t) + εv) f(g(t)) = f(g(t) + λεv) εv, hvor 0 < λ < 1. Da alle afledede er kontinuerte fås at v g (t) når ε 0. Efter division med ε får vi derfor den ønskede grænseværdi ϕ (t) = f(g(t)) g (t) Bemærkning. Hvis vi skriver z = f(x) og underforstår funktionen g ved blot at skrive x j = x j (t) for 1 j n får resultatet ovenover en form der harmonerer smukt med navnet kæderegel : dz dt = z x 1 dx 1 dt + z x 2 dx 2 dt + + z x n dx n dt. Resultatet generaliserer umiddelbart til situationen hvor z er en vektorfunktion z = (z 1, z 2,..., z m ) af n variable x = (x 1, x 2,..., x n ), og hver af disse er er en funktion af de l variable t = (t 1, t 2,..., t l ), således at vi kan opfatte z som sammensat af vektorfunktionerne x og t. Man finder at z i t j = z i x 1 x 1 t j + z i x 2 x 2 t j + + z i x n x n t j.
12 12 GERT KJÆRGÅRD PEDERSEN Youngs Sætning. Middelværdisætningen kan endelig bruges til at vise at rækkefølgen i hvilken man tager højere partielle afledede er ligegyldig, når blot funktionen er tilstrækkelig glat Sætning. Hvis f er en C 2 funktion af n variable så gælder for 1 i, j n at f ij (x) = f ji (x) for ethvert x i X. Bevis. Dan de differentiable hjælpefunktioner g(s) = f(x + se i + te j ) f(x + se i ) og h(t) = f(x + se i + te j ) f(x + te j ). Ifølge middelværdisætningen findes da et s 1 i ]0, s[ således at g(s) g(0) = g (s 1 )s, og et t 1 i ]0, t[ således at h(t) h(0) = h (t 1 )t. Ved differentation fås at g (s 1 ) = f i (x + s 1e i + te j ) f i (x + s 1e i ). Bruger vi nu middelværdisætningen på denne differens fås g (s 1 ) = f ij (x + s 1e i + t 2 e j )t for et t 2 i ]0, t[. Tilsvarende vil h (t 1 ) = f ji (x + s 2e i + t 1 e j )s for et s 2 i ]0, s[. Vi har altså g(s) g(0) = f ij (x + s 1e i + t 2 e j )st samt h(t) h(0) = f ji (x + s 2e i + t 1 e j )st. Ved udregning ses imidlertid at g(s) g(0) = f(x + se i + te j ) f(x + se i ) f(x + te j ) + f(x) = h(t) h(0), og vi får heraf at f ij (x + s 1e i + t 2 e j )st = f ji (x + s 2e i + t 1 e j )st, hvormed f ij (x + s 1e i + t 2 e j ) = f ji (x + s 2e i + t 1 e j ). Dette gælder for alle s og t, og derfor også i grænsen s, t 0. Da de partielle afledede er kontinuerte følger heraf at f ij (x) = f ji (x), som ønsket. Referencer [Noter] Bent Fuglede, Gerd Grubb & Tage Gutmann Madsen, Analyse og optimering, Universitetsbogladen 1999, [Ss I] [Ss II] Knut Sydsæter, Matematisk analyse, Bind 1, Gyldendal Akademisk, Oslo 2000, 7. Udgave. Knut Sydsæter, Atle Seierstad & Arne Strøm, Matematisk analyse, Bind 2, Gyldendal Akademisk, Oslo 2000, 3. Udgave, 5. Oplag.
Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereOptimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereStørste- og mindsteværdi Uge 11
Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereLineær programmering. Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0. Vores metode er også nytteløs her. Ekstrema- teori og praksis
Lineær programmering Ekstrema- teori og praksis Maksimer c T u.b.b. A b hvor > 0 Vores metode er også nytteløs her MAT3, EFTERÅR 2011 GROUP G3-112 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AALBORG UNIVERSITET 16. DECEMBER
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereMatematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010
Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereEkstrema, Teori og Praksis
Kasper H. Christensen Andreas D. Christoffersen Christoffer Gøthgen Stine M. Jensen Kenneth V. L. Offersen Vini M. Olsen Ekstrema, Teori og Praksis - Ikke-lineæar optimeringsproblemer Vejleder: Martin
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereOversigt [S] 4.5, 5.10
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
Læs mereEkstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering
Ekstrema: Teori og praksis Ubegrænset, ikke-lineær optimering Gruppe G3-106 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag 20. december 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg
Læs mereBETA-VERSION. Systime A/S
INDHOLD FORORD 5 Funktioner og deres fortegn 7. Regning medfunktioner........................ 7.2 Parallelforskydninger...........................3 Uligheder................................. 5.4 Ulighederogfortegnsvariation....................
Læs mereImplicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mere