Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Transkript

1 Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til kreds

2 Spildopsamling (garbage collection) Knude = objekt, kant = peger/reference. Hvilke objekter kan vi nå fra en rod? WWW Knude = hjemmeside, kant = hyperlink. Webcrawling PageRank rødder Automater og regulære udtryk Knude = tilstand, kant = tilstandsovergang. Accepterer automaten aab = findes sti fra til der matcher aab? Regulære udtryk kan repræsenteres som automat. Afhængigheder Knude = emner, kant = afhængighed. Er der nogle cykliske afhængigheder? Kan vi finde en rækkefølge af emnerne så vi undgår cyckliske afhængigheder? a a b 6 7 c flettesortering tabeller indsættelsessortering ordbøger køer stakke grafer uorienterede grafer stærke sammenhængkomponenter orienterede grafer R = a (a ) (b c) binær søgning binære søgetræer hægtede lister foren og find MST BFS/DFS korteste veje topologisk sortering hob Dijkstras algoritme

3 Afhængigheder Grafanvendelser tabeller flettesortering hægtede lister stakke køer ordbøger indsættelsessortering hob foren og find grafer uorienterede grafer binær søgning binære søgetræer MST orienterede grafer BFS/DFS topologisk sortering graf knuder kanter internet hjemmeside hyperlink transport vejkryds ensrettet vej skedulering job precedens relation infektionssygdom person infektion citation artikel citation objekt graf objekter pegere/referencer objekt hieraki klasse nedarver fra kontrol-flow kode hop korteste veje Dijkstras algoritme stærke sammenhængkomponenter Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude. Algoritmiske problemer på orienterede grafer Sti. Er der en sti fra s til t? Korteste sti. Hvad er den korteste sti fra s til t. Orienteret acyklisk graf. Findes der kredse i grafen? Topologisk sortering. Kan vi ordne knuder i en sekvens så alle kanter peger samme vej? Stærk sammenhængskomponent. Er der en vej mellem alle par af knuder? Transitiv afslutning. For hvilke knuder v og w er der en sti fra v til w?

4 Repræsentation G orienteret graf med n knuder og m kanter.. Vi skal bruge følgende operationer på uorienterede grafer. POINTSTO(v, u): afgør om knude v peger på knude u. NEIGHBORS(v): returner alle knuder som v peger på. INSERT(v, u): tilføj kant (v, u) til G (medmindre den allerede findes) Incidensmatrix Incidensliste Orienteret graf G med n knuder og m kanter Incidensmatrix. D n n tabel A. A[i,j] = hvis i peger på j og ellers. 9 Plads. O(n ) Tid POINTSTO i O() tid NEIGHBORS(v) i O(n) tid. INSERT(v, u) i O() tid Graf G med n knuder og m kanter. Incidensliste. Tabel A[..n-]. A[i] indeholder liste af knuder som i peger på. Plads. O(n + v V deg + (v)) = O(n + m) Tid. POINTSTO, NEIGHBORS OG INSERT i O(deg(v)) tid

5 Repræsentation Datastruktur POINTSTO NEIGHBORS INSERT Plads incidensmatrix O() O(n) O() O(n ) incidensliste O(deg + (v)) O(deg + (v)) O(deg + (v)) O(n+m) Søgning Dybdeførst søgning. Lad alle knuder være umarkede og besøg knude s. Når vi besøger knude v: Marker v. Besøg alle umarkede knuder som v peger på rekursivt. Breddeførst søgning. Lad alle knuder være umarkede. Marker s og tilføj s til kø K. Sålænge K ikke er tom: Udtag knude v fra K. For alle umarkede knuder u som v peger på Tid. O(n + m) Marker u. Tilføj u til K. s s

6 Topologisk sortering og DAGs DAG. Orienteret acyklisk graf (directed acyclic graph). Graf uden kredse. Topologisk sortering (topological sorting). Ordning af knuder v, v,, vn- fra venstre til højre således at alle kanter peger mod højre. DAGs og topologisk sortering Lemma. G har en topologisk sortering G er en DAG. Bevis. Modbevis. Antag G har topologisk sortering v, v,, vn- og ikke er en DAG. G indeholder kreds K. v i v j Algoritmiske problemer. Afgør om G er en DAG. 6 6 Beregn en topologisk sortering (hvis den findes). Mål. Vise G er en DAG G har en topologisk sortering + find algoritme til at løse begge problemer. Kig på knude vi i K som er længst til venstre i sortering og knude vj lige før (vj, vi) er kant i K og dermed i G. Men vi er før vj i rækkefølge v, v,, vn- er ikke en topologisk sortering. DAGs og topologisk sortering Opgave. Givet en DAG, find på en strategi til at beregne en topologisk sortering. DAGs og topologisk sortering Lemma. G er en DAG G har en knude med indgrad. 6 6 Bevis. Modbevis. Antag G er en DAG og alle knuder har indgrad. 6 Vælg knude v og følg kanter baglæns fra v. Efter n+ skridt må der være mindst knude u vi har besøgt gange. u + de knuder mellem første og anden gang vi besøger u udgør kreds.

7 DAGs og topologisk sortering Lemma. G er en DAG G har topologisk sortering. DAGs og topologisk sortering Algoritme. Induktionsbevis som algoritme. 6 6 TOPSORT(G) if G = ({v}, ) print v else find v så deg - (v) = print v TopSort(G - {v}) Bevis. Induktion over n (antallet af knuder). Basis n =. Induktionsskridt n >. Find knude v med indgrad. G - {v} er en DAG G - {v} har en topologisk sortering. Placer v længst til venstre efterfulgt af den topologiske sortering af G - {v}. Giver topologisk sortering af G da v ikke har nogen indgående kanter. Korrekthed. Følger af induktionsbevis. Implementation Mål. Implementer algoritmen effektivt på incidenslisterepræsentation TOPSORT(G) if G = ({v}, ) print v else find v så deg - (v) = print v TopSort(G - {v}) Implementation Løsning. Konstruer omvendt graf G R. Linæer søgning i incidensliste for G R efter knude med indgrad i hvert skridt. TOPSORT(G) if G = ({v}, ) print v else find v så deg - (v) = print v TopSort(G - {v}) Tid per knude. Find knude v med indgrad : O(n). Fjern kanter ud af v: O(deg + (v)) Samlet tid for n knuder. O(n + v V deg + (v)) = O(n + m) = O(n ).

8 Implementation Løsning. Vedligehold indgrad af hver knude i incidensliste + hægtet liste af alle knuder med indgrad. deg tabel TOPSORT(G) if G = ({v}, ) print v else find v så deg - (v) = print v TopSort(G - {v}) -deg Initialisering. O(n+m) Tid per knude. Find knude v med indgrad : O(). Fjern kanter ud af v: O(deg + (v)) Samlet tid for n knuder. O(n + v V deg + (v)) = O(n + m). Topologisk sortering og DAGs Lemma. G er en DAG G har en topologisk sortering. Theorem. Vi kan afgøre om G er DAG og hvis den er så finde en topologisk sortering i O(n + m) tid. Topologisk sortering med DFS Topologisk sortering med DFS. Ide. Kør DFS på G. Ved slutning af rekursivt kald til knude v læg v på stak. Udskriv stak. Tid. O(n + m) Intuition. Finder rekursivt knuder med udgrad.

9 Stærke sammenhængskomponenter Def. v og u er stærk sammenhængende (strongly connected) hvis der er sti fra v til u og fra u til v. Def. Et stærk sammenhængskomponent (strongly connected component) er en maksimal delmængde af stærk sammenhængende knuder. Stærke sammenhængskomponenter med DFS med DFS. Ide. Kør DFS på omvendt graf G R. Kør DFS på G ifht. rækkefølge fra første DFS. Hver rekursiv søgning finder et stærkt sammenhængskomponent. Intuition? Korrekthed. Se kap. i CLRS. Tid. O(n + m) Stærke sammenhængskomponenter med DFS Theorem. Vi kan finde alle stærke sammenhængskomponenter i O(n + m) tid.

10 Implicit graf Implicit graf (implicit graph). Uorienteret/orienteret graf G repræsenteret implicit. Implicit repræsentation. Startknude s. Algoritme til at generere naboer af en knude. Bruges i spil, kunstig intelligens, etc. Rubiks terning Rubiks terning n+m = ~ trillioner. Hvad er det optimale antal træk man skal bruge på at "løse" en terning ligegyldigt hvor man starter? Rubiks terning år nedre grænse øvre grænse