A Calfem-kommandoer B Forsøg B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.1 Formål B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "A Calfem-kommandoer... 3. B Forsøg... 9. B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9. B.1.1 Formål... 9. B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10"

Transkript

1 Indhold A Calfem-kommandoer... 3 B Forsøg... 9 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9 B.1.1 Formål... 9 B.1.2 Forsøgsbeskrivelse B.1.3 Forsøgsresultater B.1.4 Resultatbehandling B.1.5 Fejlkilder B.1.6 Opsamling B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive B.2.1 Forsøgsbeskrivelse B.2.2 Forsøgsresultater B.2.3 Resultatbehandling B.2.4 Fejlkilder B.2.5 Delkonklusion B.3 Forsøg med aluminiumsemner B.3.1 Forsøgsbeskrivelse B.3.2 Forsøgsopstilling B.3.3 Homogen cirkelskive B.3.4 Homogen cirkelring B.3.5 Porøs cirkelskive B.3.6 Porøs cirkelring B.3.7 Fejlkilder B.3.8 Delkonklusion

2 2

3 A Calfem-kommandoer Dette appendiks redegør kort for nogle af de kommandoer, der er anvendt i de numeriske modeller programmeret i Matlab og MatLab-toolbox-applikationen Calfem. Der skelnes mellem last-, flytnings- og topologitensorer og egentlige Calfem-kommandoer. For at illustrere hvorledes de enkelte operationer fungerer, er der taget udgangspunkt i en simpel opstilling vist på figur a.1. Opstillingen er opbygget af CST-elementer, der hver især har 6 frihedsgrader. Elementer, knuder og frihedsgrader i opstillingen er valgt nummeret som angivet på figur a y 4 Elementer Knuder Frihedsgrader x Figur A.1. Opstilling af beregningsmodel. Der henvises til programfilerne vedlagt på CD-bilag for placering af de enkelte kommandoer og tensorer. [SysDof]-matricen definerer hvilke frihedsgrader, der tilhører de enkelte knuder. Rækkenumrene i [SysDof] svarer til knudenumrene, og søjlerne angiver numrene på de tilhørende frihedsgrader. [SysDof] kommer til at se således ud for beregningseksempelet [ SysDof ] = Frihedsgrader knude1 knude5 3

4 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok [ElemDof] angiver hvilke frihedsgrader, der hører til de enkelte elementer. Første søjle i [ElemDof] viser elementnummeret, mens de resterende søjler angiver frihedsgraderne. Her er det vigtigt, at frihedsgraderne indtastes i rigtig rækkefølge. For det viste eksempel ser [ElemDof] ud på følgende måde 4 [ ElemDof ] = Elementnummer Frihedsgrader Herefter opskrives [SysCoor], der indeholder information om koordinaterne til de enkelte knuder. I første søjle står x-koordinaten, mens y-koordinaten står i anden søjle. Rækkenummeret svarer igen til knudenummeret. For eksemplet ser [SysCoor] således ud, idet der henvises til koordinaterne angivet på figur a.1. [ SysCoor ] = x koordinat y koordinat knude1 knude5 De tre viste matricer indeholder alle informationer om modellens topografi. Når topografien er fastlagt, er næste skridt at opskrive den lokale elementstivhedsmatrice [ElemK], der indeholder informationer om, hvilken type element modellen er opbygget af. I dette tilfælde er modellen opbygget af CST-elementer. Udover denne oplysning beskrives i [ElemK] de konstitutive forhold E, beskrevet ved elasticitetsmodulet E og Poissons forhold v, spændings-tøjningstypen ep og koordinatinformationerne fra [SysCoor]. ep definerer, om der regnes med plan spændingstilstand eller plan tøjningstilstand. Fra FEM-teorien haves formel (A.1), fra hvilken [ElemK] kan bestemmes. ep beskriver hvilken form Hookes udvidede lov antager. T [ ] [ ] [ ][ ] ElemK = B E B dv (A.1) ep [ElemK] opskrives ved en standardkommando i Calfem, der for CST-elementer hedder plante. Plante-kommandoen ser principielt således [ ] = plante( ) ElemK x - koordinat,y - koordinat,ep,e (A.2) Indholdet af [ElemK] kan bestemmes iht. teorien for elementmetoden ved bl.a. at opstille formfunktioner for elementet. Disse informationer ligger gemt i Calfem-kommandoen plante, men bestemmelsen ligger udenfor dette appendiks formål. Der henvises i stedet til afsnit 6 og matlab-fil n1 til 6.

5 A Calfem-kommandoer Relationen mellem elementlasttensoren {SysR element } og elementflytningstensoren {SysV element } kan skrives som følgende { } = [ ]{ } SysR ElemK SysV (A.3) element Dette medfører følgende fire relationer element r d r d r 2 d 2 r 4 d 4 r 3 ElemK d 3 r 5 ElemK d 5 =, r for element 1 = d r for element 2 d x6 6x6 r 9 d 9 r 9 d 9 r10 d10 r10 d10 r d r d r 6 d 6 r 8 d 8 r 7 ElemK d 7 r 1 ElemK d 1 =, r for element 3 = d r for element 4 d x6 6x6 r 9 d 9 r 9 d 9 r10 d10 r10 d10 De fire elementstivhedsmatricer samles efterfølgende i én samlet stivhedsmatrice for modellen. Dette gøres med Calfem-kommandoen assem. Denne kommando samler elementstivhedsmatricerne og placerer dem på de rigtige pladser i den globale stivhedsmatrice [SysK]. Derfor kræver assem-funktionen informationer fra [ElemDof], idet denne matrice fortæller hvilke frihedsgrader, der hører til hvilke elementer. Da alle frihedsgrader i modellen deles af flere elementer, overlappes de enkelt indgange i [SysK] af flere elementstivhedsmatricer. [SysK] er principielt skitseret ved formel (A.4), idet der ved alle indgangene i [SysK] er markeret fra hvilke elementstivhedsmatricer, der deles information. Det fremgår endvidere at [SysK] er symmetrisk om den ene diagonal. [ SysK] 1,4 1, ,4 1,4 1,4 1, ,4 1, ,2 1, ,2 1, ,2 1, ,2 1, ,3 2, ,3 2,3 = 2 2 2,3 2, ,3 2, ,4 3,4 3,4 3, ,4 3,4 3,4 3,4 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 1, 4 1, 4 1, 2 1, 2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 (A.4) 5

6 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Relationen mellem de globale knudekræfter {SysR} og globale knudeflytninger {SysV} kan beskrives ved formel (A.5) { SysR} = [ SysK]{ SysV } (A.5) hvilket medfører følgende relation r1 1,4 1, ,4 1,4 d1 r 2 1,4 1, ,4 1,4 d 2 r ,2 1, ,2 1,2 d3 r ,2 1, ,2 1,2 d4 r ,3 2, ,3 2,3 d5 = r ,3 2, ,3 2,3 d6 r , 4 3, 4 3, 4 3, 4 d 7 r , 4 3, 4 3, 4 3, 4 d8 r 9 1, 4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d 9 r 10 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d10 (A.6) Forudsat at enten den globale lasttensor {SysR} eller den globale flytningstensor {SysV} er kendt, haves jf. (A.6) 10 ligninger med 10 ubekendte knudekræfter eller knudeflytninger. Calfem-funktionen solveq benyttes til at løse dette ligningssystem. Hvis nogle af knudeflytningerne på forhånd kendes, kan disse inkluderes i ligningssystemet ved hjælp af [BoundCond]-matricen, der som navnet antyder, angiver randbetingelserne. [Bound- Cond] for beregningseksemplet ser således ud 1 0 Frihedsgrad 1 BoundCond = 2 0 Frihedsgrad 2 (A.7) 4 0 Frihedsgrad 4 [ ] Frihedsgrad Størrelse af flytning idet der er taget udgangspunkt i figur a.1 og figur a.2. F Figur A.2. Understøtningsforhold og lastpåvirkning. 6

7 A Calfem-kommandoer Den globale flytningstensor kan for beregningseksemplet skrives ved formel (A.8) T { } = [ 00d 0d d d d d d ] SysV (A.8) idet randbetingelserne er indført. Lastvektoren tager følgende form, idet lastpåvirkningen fra figur a.2 er indført i vektoren T { } = [ F 000] SysR (A.9) Formel (A.6) kan med de to indførte tensorer skrives på følgende form 0 1,4 1, ,4 1, ,4 1, ,4 1, ,2 1, ,2 1,2 d ,2 1, ,2 1, ,3 2, ,3 2,3 d5 = ,3 2, ,3 2,3 d6 F ,4 3,4 3,4 3,4 d ,4 3,4 3,4 3,4 d8 0 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d 9 0 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d10 (A.10) Hermed kan de resterende knudeflytninger beregnes vha. solveq-kommandoen ved at udføre grundlæggende rækkereduktioner og isolationer af de enkelte variable. Calfem-kommandoerne assem og solveq er de to vigtigste kommandoer, der er benyttet i opstillingen af de numeriske modeller. Der er dog også benyttet en del andre kommandoer til bl.a. at optegne opstillingerne, men disse er ikke beskrevet. 7

8 8

9 B Forsøg B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Det følgende er en beskrivelse og resultatbehandling af trykforsøg udført på prøvelegemer af aluminium i laboratoriet for bærende konstruktioner ved Aalborg Universitet. Forsøget er udført som et led i kurset eksperimentelle metoder og resultaterne er anvendt som grundlag for beregninger af flytninger i cirkulære skiver og ringe af aluminium. Afsnittet omhandler forsøgets formål, udstyr, opstilling og resultatbehandling i den nævnte rækkefølge. Der er endvidere en kort teoretisk redegørelse for brugen af straingages i forsøgsopstillingen. Før udførelsen af dette forsøg har laboratoriet gennemført en række prøveforsøg for at undersøge formen af prøvelegemet og sikre at aluminiumen forbliver i det lineært elastiske område. Disse forsøg danner bl.a. grundlag for valg af belastningsinterval. B.1.1 Formål Aluminiumets elasticitetsmodul E og Poisson s forhold ν bestemmes for en kendt trykkraft vha. tøjningsmåling. Tøjningen måles vha. fire påsatte straingages, og derefter kan materialekonstanterne for prøverne bestemmes vha. Hookes udvidede lov, samt viden om de konstitutive relationer i prøvelegemet. Materialekonstanterne er anvendt i de analytiske og numeriske beregninger foretaget for cirkelskiverne og -ringene af aluminium. Figur B.1. Eksempel på aluminiumsblok uden (tv.) og med (th.) straingages. 9

10 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.2 Forsøgsbeskrivelse Forsøget gennemføres i laboratoriet for bærende konstruktioner på Aalborg Universitet, og i det følgende gennemgås udstyr, opstilling og udførelse af forsøget. Aluminiumslegemet påvirkes af axial tryk og de derved opståede tøjninger ε yy og ε xx måles med straingages. Der fortages målinger i intervallet 0-60 kn. Måleintervallet er valgt på baggrund af tidligere forsøg, for at sikre at aluminiumet holder sig i det elastiske område. Prøvelegemerne og skiverne er fræset ud fra den samme oprindelige blok, således at materialeparametre kan antages at være ens. Tøjningerne aflæses visuelt og benyttes i den senere resultatbehandling. Udstyr I forbindelse med udførsel af forsøgene benyttes følgende udstyr. 4 stk. enkeltstraingages, tabel b.1. Prøvemaskine - Universal static test machine, Mohr og Federhaff, 1968 (Opgraderet i 1983 med HBM kontrol system) Dataopsamler Brüel & Kjær Strain Indicator type 1526 Tabel B.1. Dataetiket for de benyttede straingages. Type FLA-6-23 Test condition 23 ºC 50 % RH Lot No. C Batch No. DI15k Gage factor 2,15 ± 1 % Gauge lenght 6 mm Temp. Compensation for /ºC Gauge Resistance 120±0,3 Ω Transverse sensitivity 0,1 % Anvendelse af dataopsamler åbner mulighed for at måle på flere forskellige typer af Wheatstone broer. Der måles her på fire kvartbroer. Prøvemaskinen benyttes til at belaste i det ønskede interval og vil samtidig belaste prøvelegemet jævnt på hele overfladen, figur b.4. Straingage Straingages benyttes til tøjningsmåling på prøvelegemerne. Der indsættes ens straingages på prøvelegemet, figur b.1. Straingagene måler tøjningen som en ændring i modstanden gennem gagen. Straingagene anvendt i forsøget er enkeltgage, som kun kan måle tøjningsændring i en retning. For at forstærke målingen benyttes et signalkonditioneringskredsløb i form af en Wheatstonebro. Straingagens følsomhed, gagefaktoren K, opgives af producenten, og vil oftest være tæt på 2. Gagefaktoren angiver forholdet mellem relativ modstandsændring R og tøjningen, formel (B.1). R = K ε (B.1) R 10

11 B Forsøg Straingages anvendt i dette forsøg har en gagefaktor på 2.15, tabel b.1. Gagefaktoren forudindstilles i dataopsamleren, og det er derfor ikke nødvendigt at udregne tøjningen manuelt. Tøjningen aflæses direkte. Modstandsændring gennem straingagen kan også fremprovokeres af en temperaturændring, altså uden ydre mekanisk påvirkning. Derfor benyttes temperaturkompenserende gages, som er tilpasset aluminiums temperaturudvidelseskoefficient på α= /ºC. Således vil straingages af denne type være mindre følsomme over for en ændring af temperaturen. Der er endvidere også mulighed for termisk drift eller en ændring af selve gagefaktoren, hvis straingagen benyttes i længere tid. Det skønnes ikke at være relevant mht. denne forsøgsrække, som udføres over en relativ kort periode ved stuetemperatur. Tværeffekten udtrykt ved tværfaktoren T, opstår som følge af fabrikantens bestemmelse af K ved et enakset trækforsøg. Straingages placeret som nr. c, figur b.3, vil ikke udelukkende være udsat for enakset træk/tryk og derfor defineres tværfaktoren, formel (B.2). T K K t = (B.2) a hvor K t er gagefaktoren for træk/tryk i straingagens tværretning [-] K a er gagefaktoren for straingagens længderetning, tabel b.1 [-] Tværeffekt kan korrigeres efter måling hvis ν og T er kendt, formel (B.3) og (B.4). 1 ν T ε = ε ε 1 T ( T ) xx, k 2 xx yy 1 ν T ε = ε ε 1 T ( T ) yy, k 2 yy xx (B.3) (B.4) hvor ε xx,k er korrigeret tøjning i tværretning [mm/mm] ε yy,k er korrigeret tøjning i længderetning [mm/mm] ε xx er tøjning målt i tværretning [mm/mm] ε yy er tøjning målt i længderetning [mm/mm] Poisson s forhold for aluminium kendes ikke, men kan anslås til 0,3-0,35. Ud fra en tværfaktor på 0,1 % og formel (B.3) og (B.4) kan størrelsen af fejlaflæsningen skønnes. Der benyttes værdier af samme størrelse som målt i forsøget, afsnit B ,35 0, , 2 ( , ε yy k ) 235,13 10 = = mm / mm 1 0,001 Ud fra resultatet ses det, at der med det skønnede ν kan påregnes en fejlmåling på ca mm/mm i forbindelse med tværeffekten. Denne viden vil blive brugt i en senere bedømmelse af fejlkilder, afsnit B.1.5. [Pilegaard, 2005] 11

12 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Wheatstone bro Wheatstonebroen benyttes til at måle den relative ændring i modstanden, og anvendes i forbindelse med straingages for at kunne måle små modstandsændringer med stor nøjagtighed. Wheatstonebroen opbygges af fire modstande af samme størrelse, der alle kan være straingages, figur b.2. Wheatstonebroen påføres en brospænding V e og ændringen i modstanden bestemmes ved aflæsning af Wheatstonebroens output V o. Før forsøget påbegyndes balanceres Wheatstonebroen således at V o 0. 2 R12 R24 v o 1 4 ~ v e R13 R34 3 Figur B.2. Wheatstonebro med eksempel på nummerering af straingages. Wheatstonebroen kan opdeles i en række forskellige typer. I forbindelse med dette forsøg benyttes kvartbroen. To yderligere typer, halvbroen og helbroen eksisterer. Kvartbro En straingage og tre modstande af tilsvarende størrelse (120 Ω). Fordelen er, at der kun måles på en gage og derved bestemmes prøvelegemets ε xx og ε yy separat. Kvartbroen benyttes i resultatbehandlingen til bestemmelse af ν og E. Halvbro To gage og to modstande af tilsvarende størrelse (120 Ω). Almindelig praksis er at erstatte R 12 og R 13 med straingages. Fuldbro Fire gage af samme størrelse (120 Ω), dvs. at alle straingages på prøvelegemet er aktive i den samme bro. I forbindelse med dette forsøg kan målingerne fra opstillingen med kvartbro bruges til bestemmelse af E og ν. Ifølge teorien vil aflæsninger af V o over halv- og fuldbroen blive hhv. to og fire gange større end kvartbroen. Samtidig vil den målte V o dække over gennemsnittet af to eller fire gages, hhv. halv- og helbro. Derfor kan disse brotyper ikke benyttes. For at kunne bestemme E og ν er det nødvendigt at måle på hver enkelt straingage separat, se afsnit B.1.4. [Pilegaard, 2005] 12

13 B Forsøg Opstilling Aluminiumslegemet placeres i prøvemaskinen med en straingage monteret på hver side som vist på figur b.1 og figur b.3. Straingagene navngives a, b, c og d således, at nr. a og b vil måle tøjningen ε yy i længderetningen og tøjningen ε xx i tværretning, måles af gage nr. c og d. Figur B.3. Dimensioner for prøvelegeme og placering samt navngivning af straingages. Mål i mm. Legemet påføres en jævnt fordelt belastning fra prøvemaskinen og tøjningerne aflæses visuelt på dataopsamleren, figur b.4. Dataopsamleren indstilles før forsøgets start med K lig 2,15 og alle fire broer balanceres således at V o 0. På grund af kugleled i prøvemaskinens understøtninger er der mulighed for, at der ved små belastninger af prøvelegemet ikke sker en jævn belastning af hele tværsnitsarealet. Dette behandles videre under resultatbehandlingen, afsnit B.1.4. Figur B.4. Prøvelegeme placeret i prøvemaskine (tv.) og dataopsamler (th.). 13

14 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Der er fra fabrikken monteret fire halvbroer i dataopsamleren således, at der ved indsættelse af faste modstande á 120 Ω vil der være fire kvartbroer. Størrelsen af den faste modstand er valgt således, at den passer til straingagene, tabel b.1. Nummerering af modstande R og straingages ε samt fortegn i modstande er gennemgået herunder, figur b.5. Figur B.5. Opstilling af kvartbroer benyttet i forsøg med definition af fortegn. Modstanden R 13 indsættes for at simulere en kvartbro, figur b.5. Fortegn for straingagen medfører, at tryktøjninger i forsøget vil blive regnet negative imens træktøjninger er positive. Således forventes det, at straingagene nr. a og b vil måle negative værdier mens c og d vil måle positive værdier, figur b.3. B.1.3 Forsøgsresultater I det følgende er resultaterne for kvartbroerne opstillet samt målene for tværsnittet. Der er lavet 15 belastningstrin af 4 kn og fem aflastningstrin af varierende størrelse. Siderne på prøvelegemet er målt med skydelære og tværsnitsarealet er bestemt til 900 mm 2. Resultaterne fra forsøget er opstillet på tabelform, hvor den aflæste volt V fra prøvemaskinen er vist samt den tilhørende kraft P. P er beregnet vha. sammenhæng mellem V og P i prøvemaskinen, hvor 10 V er lig 60 kn. Tøjningen er aflæst på dataopsamleren for de enkelte straingages, tabel b.2. 14

15 B Forsøg Tabel B.2. Forsøgsresultater for straingages. P V Gage a [kn] [volt] 10-6 [mm/mm] Gage b 10-6 [mm/mm] Gage c 10-6 [mm/mm] Gage d 10-6 [mm/mm] 0 0, ,9 0, ,9 1, ,9 1, ,9 2, ,9 3, ,8 3, ,8 4, ,9 5, ,8 5, ,8 6, ,7 7, ,7 7, ,7 8, ,7 9, ,7 9, Herefter aflastning 39,8 6, ,9 5, ,9 3, ,9 0, ,0 0,

16 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.4 Resultatbehandling Materialekonstanterne for aluminiumet bestemmes på baggrund af resultaterne i afsnit B.1.3. Resultaterne korrigeres for den start-tøjning, som er vist i tabel b.2 ved en belastning på 0 kn, tabel b.3. Tabel B.3. Korrigerede forsøgsresultater. P V Gage 1 [kn] [volt] 10-6 [mm/mm] Gage [mm/mm] Gage [mm/mm] Gage [mm/mm] 0 0, ,9 0, ,9 1, ,9 1, ,9 2, ,9 3, ,8 3, ,8 4, ,9 5, ,8 5, ,8 6, ,7 7, ,7 7, ,7 8, ,7 9, ,7 9, Herefter aflastning 39,8 6, ,9 5, ,9 3, ,9 0, ,0 0, Til bestemmelse af normalspændingen σ yy anvendes Naviers formel, idet det antages, at trykket er jævnt fordelt, formel (B.5). P σ yy = (B.5) A hvor σ yy er normalspændingerne i y-retningen [N/mm 2 ] A er tværsnitsarealet [mm 2 ] 16

17 B Forsøg Til bestemmelse af normaltøjningen ε yy og ε xx anvendes resultaterne fra tabel b.3. Middelværdien af straingage a og b anvendes som ε yy og middelværdien af straingage c og d som ε xx. Som det ses af tabel b.3, er der stor forskel på aflæsningerne for tøjningerne i længderetningen, hvilket giver en stor usikkerhed på middelværdien af tøjningen. Der er bestemt følgende værdier for σ yy, ε yy og ε xx, tabel b.4. Tabel B.4. Værdier for σ yy, ε yy og ε xx i prøvelegemet. σ yy [N/mm 2 ] ε yy 10-6 [mm/mm] ε xx 10-6 [mm/mm] 0,0 0,0 0,0 4,3 60,0 9,5 8,8 114,5 22,0 13,2 168,0 39,0 17,7 225,0 56,5 22,1 278,5 74,5 26,5 337,0 91,5 30,9 388,5 108,0 35,4 443,0 125,0 39,7 498,5 143,0 44,2 553,0 161,5 48,6 612,0 180,0 53,0 671,0 198,5 57,5 727,0 216,5 61,9 788,5 236,0 66,4 846,5 253,0 Herefter aflastning 44,2 573,0 162,0 35,4 466,0 123,5 22,1 293,5 69,0 4,3 64,5 2,0 0,0 12,0-9,5 Først undersøges om materialet er lineær elastisk. Dette gøres ved at sammenligne be- og aflastningskurverne for forsøget. Til optegnelse af arbejdskurverne anvendes der en lineær statisk model, hvis form ses af formel (B.6). y = b1 x+ b0 (B.6) hvor y er den afhængige variabel x er den uafhængige variabel b 1 er en regressionsparameter svarende til hældningskoefficienten b 0 er en regressionsparameter svarende til skæringen med ordinaten 17

18 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Der gælder følgende sammenhæng mellem den lineære statiske model og de forsøgsmæssige resultater, formel (B.7). y = σ, x= ε, b E, b 0 (B.7) yy yy 1 0 hvor ε yy er tøjningerne målt i x-retningen [mm/mm] E er elasticitetsmodulet [N/mm 2 ] For at tilnærme den lineære model til forsøgsresultaterne anvendes mindste kvadraters metode. Denne metode tilpasser punkter fra forsøgene til regressionslinien ved at minimere den lodrette afstand. Regressionsparametrene b 1 og b 0 bestemmes ved at minimere kvadratafvigelsessummen, formel (B.8). n n 2 2 ei = yi b0 bx 1 i i= 1 i= 1 (B.8) min min ( ) hvor e i er den i te fejlværdi Parameteren b 1 udregnes ved formel (B.9). 1 x y x y n n n i i i i i= 1 n i= 1 i= 1 1 = n n xi xi i= 1 n i= 1 b (B.9) Parameteren b 0 udregnes ved formel (B.10). b 0 = n n y b x i 1 i= 1 i= 1 n i (B.10) Som et mål for, hvor god tilpasning punkterne har til regressionslinien anvendes korrelationskoefficienten R 2 der antager værdier i intervallet [-1,1], hvor en værdi på 0 svarer til ingen korrelation og -1 og 1 til fuld korrelation. R 2 bestemmes ved formel (B.11). R 2 = 1 x y x y n n n n i i i i i= 1 i= 1 i= 1 n n 2 n n xi xi y y i i i= 1 n i= 1 i= 1 n i= 1 (B.11) 18

19 Ud fra den statiske model er der optegnet følgende be- og aflastningskurver, figur b.6. B Forsøg Figur B.6. Be- og aflastningskurver for prøvelegemet. Som det ses af figur b.6, kan forsøgsresultaterne anses for at være lineært elastiske, da beog aflastningskurverne er rette linier. Det kan derfor antages, at der gælder følgende sammenhæng mellem spændinger og tøjninger, formel (B.12). σ = E ε (B.12) Til bestemmelse af elasticitetsmodulet anvendes samme metode som for bestemmelse af lineær elasticitet. Sammenhængen mellem σ yy og ε yy er optegnet, figur b.7, og elasticitetsmodulet er bestemt som hældningen af regressionslinien fundet ved mindste kvadraters metode. Figur B.7. Arbejdskurve for prøvelegemet. 19

20 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Af figur b.7 ses det, at elasticitetsmodulet for prøvelegemet er bestemt til ca. 79 GPa. Korrelationskoefficienten viser en værdi på 0,998, figur b.7. Det betyder, at der er god tilpasning af punkterne til regressionslinien. Tabelværdien for elasticitetsmodulet for aluminium ligger på 72 GPa, [Teknisk Ståbi, 2003], hvilket svarer i størrelse til det bestemte elasticitetsmodul. Tabelværdien er bestemt som 50 % fraktilen og 79 GPa vurderes derfor som et sandsynligt resultat. Ved lineær elasticitet og enakset spændingstilstand gælder der ligeledes følgende sammenhæng, formel (B.13). ν ε yy = (B.13) ε xx hvor ν er Poisson s forhold Ud fra formel (B.13) er Poisson s forhold bestemt for de 15 belastningstrin, tabel b.5. Tabel B.5. Poisson s forhold ved forskellige belastninger. P [kn] 3,9 7,9 11,9 15,9 19,9 23,8 27,8 31,9 35,8 39,8 43,7 47,7 51,7 55,7 59,8 ν [ ] 0,16 0,19 0,23 0,25 0,27 0,27 0,28 0,28 0,29 0,29 0,29 0,30 0,30 0,30 0,30 Poisson s forhold burde være ens for alle belastningerne, men som det fremgår af tabel b.5, så er dette ikke tilfældet for dette forsøg. Dette kan skyldes, at der er stor usikkerhed på målingerne foretaget med lav belastning. Det ses af tabel b.3, at straingage a og b viser store forskelle mht. tøjningen i længderetningen ved de lave belastninger. Disse forskelle kan skyldes, at prøvelegemet er skævt belastet, hvilket senere udjævner sig ved de høje belastninger. Poisson s forhold er bestemt til 0,30, da det er ved disse belastninger, hvor forskellen mellem straingage a og b er mindst og derfor også der, hvor usikkerheden antages mindst. [Pilegaard, 2005] B.1.5 Fejlkilder Der har i forbindelse med forsøget været observeret en række fejl i målingerne i forhold til det forventede. Derudover opstod der en række grove fejl i en række af de forberedte prøvelegemer, så som dårlige limninger af straingages m.m. Disse prøvelegemer er derfor ikke blevet benyttet i opstillingen. Idet resultater fra forsøget skulle benyttes på trods af afvigelser, blev det valgt at forsætte med kun et prøvelegeme til alle grupperne. Fejl i det benyttede legeme kan opdeles i to grupper. Først viser målingerne i tabel b.3, at de konstitutive relationer ikke overholdes når materialet udsættes for små belastninger. Dette kan skyldes, at prøvemaskinens understøtninger kan rotere og således tilpasses skrå overflader. Excentricitet pga. en belastning placeret skævt kan forklare de indledende usikkerheder. Resultaterne stabiliseredes ved belastninger større end 16 kn, og det ses i resultatbehandlingen, at materialekonstanterne svarer til det forventede. Disse materialekonstan- 20

21 B Forsøg ter er udsat for de generelle usikkerheder i forbindelse med målingen, hvor den forventede størrelse af fejl i straingages er beskrevet. Det vurderes, at fejlen stammende fra tværfaktoren ikke har nogen betydning, da fejlene beskrevet ovenfor er flere størrelsesordner større end fejlen fra tværfaktoren. Endvidere må der påregnes en række trivielle fejl i forbindelse med montage, fysiske usikkerheder og det faktum, at aflæsning/balancering foretages manuelt. B.1.6 Opsamling Materialekonstanterne E og ν for aluminiumsblokken er bestemt i resultatbehandlingen, afsnit B.1.4, og er vist i tabel b.6. Tabel B.6. Materialekonstanter for aluminium E og v, sammenholdt med opslagsværdi E teori [Teknisk Ståbi, 2003]. E [GPa] E teori [GPa] ν [-] ,3 De fundne konstanter er ikke repræsentative for alle forsøgets målepunkter, men for et udvalgt interval, hvor prøvelegemet overholder de konstitutive relationer for tryk. Det antages, at såfremt forsøget havde været fejlfrit ville disse konstanter gælde i hele prøveintervallet. Fejlkilderne kunne yderligere bearbejdes ved at gennemføre en analyse af de enkelte fejls betydning vha. fejlophobningsloven. Dette er blevet klart så sent i projektforløbet, at det ikke kunne indarbejdes i rapporten. Med dette forbehold ses det, at materialekonstanterne antager værdier, der ligger tæt op af de forventede for aluminium, og det vælges derfor at arbejde videre med disse værdier i forbindelse med de numeriske- og analytiske modeller for cirkelskive og -ringen. 21

22 B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive I det følgende beskrives, hvordan forsøget og resultatbehandlingen er foretaget for den porøse aluminiumskive med 8 mm huller. Formålet med forsøget er at bestemme elasticitetsmodulet for en porøs aluminiumsskive, hvor porøsiteten udgøres af 16 huller med 8 mm huller. Aluminiumsskiven er mm og 20 mm i tykkelsen, se figur b.8. Figur B.8. Den porøse skive. B.2.1 Forsøgsbeskrivelse Der er udført trykforsøg på det porøse aluminiumsemne i laboratoriet for bærende konstruktioner ved Aalborg Universitet. Den porøse skive belastes med en lodret modsatrettet jævnt fordelt trykkraft, hvorved der sker en flytning u yy i lodret retning. Denne flytning er målt mellem to punkter på skivens sider, hvis placering er vist på figur b.9. Til flytningsmålingerne benyttes to DD1 flytningsmålere. En på hver side af emnet. A Punkt 1 64 Ø8 Snit A-A L Punkt 2 5 A Figur B.9. Placering af målepunkterne 1 og 2 for den porøse skive med 8 mm huller. Alle mål i [mm]. 22

23 B Forsøg Udstyr Ved udførelse af forsøget er der benyttet følgende udstyr. Prøvemaskine - Universal static test machine, Mohr og Federhaff, 1968 (Opgraderet i 1983 med HBM kontrol system) To flytningsmålere af type DD1, tabel b.7. Dataopsamler HBM Spider 8 Kalibreringsbænk, som måler i µm. Tabel B.7. Data for de benyttede flytningsmålere. Type DD1 Nr Måleområde ±2,5 mm Modstand 350 Ω Nøjagtighed <0,1 % Til montering af selve flytningsmåleren er der monteret to beslag, hvorimellem flytningsmåleren monteres. Disse beslag er skruet fast i huller, som er 3 mm i diameter, 5 mm dybe og med en indbyrdes afstand på 32 mm fra center til center, figur b.9. Forsøgsemnet sættes derefter i prøvemaskinen, hvor det belastes med lodret tryk. Opstillingen i prøvemaskinen ses på figur b.10. Figur B.10. Porøs skive monteret i forsøgsmaskine med flytningsmåler påmonteret. Tilsvarende opstilling af flytningsmåler på den anden side. 23

24 B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive Kalibrering af flytningsmålere For at bestemme sammenhængen mellem flytningen inputtet og den aflæste flytning outputtet kalibreres de benyttede flytningsmålere. Ved kalibreringen er en kalibreringsfaktor bestemt for hver af flytningsmålerne. Derfor skal de aflæste værdier korrigeres ved at multiplicere med kalibreringsfaktoren. [Pilegaard, 2005] Til at bestemme kalibreringsfaktoren, er flytningsmåleren monteret i en kalibreringsbænk, hvor det er muligt at indstille flytningen med 1/1000 mm nøjagtighed. Først er der nulkompenseret, hvilket vil sige, at flytningen i kalibreringsbænken er sat til nul, hvorefter aflæsningen er sat til nul. Derefter er der startet med en kendt flytning på 2,2 mm hvorefter den målte flytning aflæses. Med spring på 0,2 mm mellem hver måling aflæses alle de målte værdier på computeren. Det samlede interval er fra -2,2 mm og til 2,2 mm. Ved afbildning af de kendte flytninger som funktion af de ved flytningsmåleren målte værdier, er det muligt at bestemme kalibreringsfaktoren som hældningen for den bedste rette linie gennem punkterne. Resultaterne for disse ses i tabel b.8. og CD-bilag excel-fil f10 og excel-fil f11. Tabel B.8. Ligning for den bedste rette linie gennem målepunkterne, korrelationskoefficienten og kalibreringsfaktorerne for de benyttede flytningsmålere. Flytningsmåler nr. Ligning for bedste rette linie Korrelationskoefficient Kalibreringsfaktor y = 0,9931 x + 0,0145 R 2 = 1,0000 0, y = 0,9879 x + 0,0009 R 2 = 1,0000 0,9879 Herefter multipliceres alle målte værdier for flytningerne med den tilhørende kalibreringsfaktor for den pågældende flytningsmåler. Dette er gjort i regneark vedlagt på CD-bilag. B.2.2 Forsøgsresultater Ved forsøget er der benyttet en dataopsamler, som er tilsluttet en computer. Derefter benyttes softwaren Catman Easy på computeren til aflæsning af data fem gange i sekundet, hvilket giver en stor mængde data. Catman Easy er indstillet således, at det automatisk opstiller de målte værdier i en Excel fil. I filen ses tiden for aflæsningerne, kraften målt i Volt og flytningerne for de forskellige flytningsmålere er målt i mm. For forsøget er der lavet målinger for både belastning og aflastning. Måleresultaterne kan findes i excel-fil f5. Alle databehandlinger er lavet ud fra den samlede mængde data fra forsøgene, dvs. både værdier fra påføring af lasten og aflastningen, da belastnings- og aflastningskurven er tilnærmelsesvis ens. 24

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Stivhedsanalyse af aluminium Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode:

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Referenceblad for statiske pladebelastningsforsøg

Referenceblad for statiske pladebelastningsforsøg Referenceblad for statiske pladebelastningsforsøg Dansk Geoteknisk Forenings Feltkomité April 2005 1. INDLEDNING Pladebelastningsforsøg udføres hovedsageligt for at bestemme jordens deformationsegenskaber.

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Bilag 4.A s MASH. Indhold

Bilag 4.A s MASH. Indhold Bilag 4.A s MASH Indhold 1.1 Indledning 1 1.1.1 Formål med undersøgelsen 1 1.1.2 Beskrivelse af smash metoden 1 1.2 s MASH målinger (omfang, placering og resultater) 1.2.1 Undersøgelsens forløb 5 5 1.2.2

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

BEF Bulletin No 2 August 2013

BEF Bulletin No 2 August 2013 Betonelement- Foreningen BEF Bulletin No 2 August 2013 Wirebokse i elementsamlinger Rev. B, 2013-08-22 Udarbejdet af Civilingeniør Ph.D. Lars Z. Hansen ALECTIA A/S i samarbejde med Betonelement- Foreningen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Murprojekteringsrapport

Murprojekteringsrapport Side 1 af 6 Dato: Specifikke forudsætninger Væggen er udført af: Murværk Væggens (regningsmæssige) dimensioner: Længde = 6,000 m Højde = 2,800 m Tykkelse = 108 mm Understøtningsforhold og evt. randmomenter

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Dagens emner v. Nik Okkels

Dagens emner v. Nik Okkels Dagens emner v. Nik Okkels 1. Fastsættelse af Søvindmergelens geologiske forbelastning på Aarhus Havn 2. En model for svelletryk og hviletryk 25-11-2012 1 Typisk arbejdskurve for stærkt forkonsolideret

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Fag: KEMI Journal nr. Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT Navn: Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Formålet er at bestemme opløseligheden

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

MCE9637 DeviceNet Modul

MCE9637 DeviceNet Modul Kokkedal Industripark 4 DK-2980 Kokkedal DANMARK Tlf: +45 49 18 01 00 Fax: +45 49 18 02 00 MCE9637 DeviceNet Modul MCE9637 til overførsel af status og vægt for digitale vejeceller Gælder for: PIC nr.:

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Disposition for kursus i Excel2007

Disposition for kursus i Excel2007 Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler

Læs mere

4 HOVEDSTABILITET 1. 4.1 Generelt 2

4 HOVEDSTABILITET 1. 4.1 Generelt 2 4 HOVEDSTABILITET 4 HOVEDSTABILITET 1 4.1 Generelt 2 4.2 Vandret lastfordeling 4 4.2.1.1 Eksempel - Hal efter kassesystemet 7 4.2.2 Lokale vindkræfter 10 4.2.2.1 Eksempel Hal efter skeletsystemet 11 4.2.2.2

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Dansk Sportsdykker Forbund

Dansk Sportsdykker Forbund Dansk Sportsdykker Forbund Teknisk Udvalg Sid Dykketabellen Copyright Dansk Sportsdykker Forbund Indholdsfortegnelse: 1 FORORD... 2 2 INDLEDNING... 3 3 DEFINITION AF GRUNDBEGREBER... 4 4 FORUDSÆTNINGER...

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Røntgenøvelser på SVS

Røntgenøvelser på SVS Røntgenøvelser på SVS Øvelsesvejledning Endelig vil du se hvordan radiograferne kan styre kvaliteten af billedet ved hjælp af mængden af stråling og energien af strålingen. Ved CT-scanneren vil du kunne

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave LW 014 Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave FORMÅL: At undersøge den aktuelle strålingsbalance for jordoverfladen og relatere den til drivhuseffekten. MÅLING AF KORTBØLGET STRÅLING

Læs mere

Produkter til kontrol af termisk ekspansion i rør

Produkter til kontrol af termisk ekspansion i rør 80 Produkter til kontrol af termisk ekspansion i rør Fixpunktbøjle FFPS Side 83 Glideelementer GL, GLL Side 85 SB Side 89 81 FFPK Side 83 SBS Side 86 FSC 1 Side 87 GLK Side 88 PDH, PDH K Side 90 82 Længdeændring

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Vi skal således finde en metode til:

Vi skal således finde en metode til: Vi skal således finde en metode til: 1. At anvende maskinen som målemaskine til at finde det forudbestemte startpunkt. 2. At finde programmeringskoordinatsystemets afstand til startpunktet. 3. At indføre

Læs mere

Fig. 6.11.5 Kile type D - Triangulært areal tykkest med forskellig tykkelse ved toppunkterne

Fig. 6.11.5 Kile type D - Triangulært areal tykkest med forskellig tykkelse ved toppunkterne U D R = 2 min R mid R ln R min mid R R ln R + R ( R R )( R R )( R R ) min mid min R max min max min max mid mid R max max R ln R mid max Fig. 6.11.5 Kile type D - Triangulært areal tykkest med forskellig

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

ninasoft Micro Temp. Vandtæt miniature temperatur datalogger.

ninasoft Micro Temp. Vandtæt miniature temperatur datalogger. ninasoft Micro Temp. Vandtæt miniature temperatur datalogger. Betjeningsvejledning Micro Temp. Datalogger. Side 1. Micro Temp. er en 1 kanals temperatur datalogger, der leveres i et vandtæt rustfrit kabinet,

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

MFS - MONIER FORSTÆRKNINGSSYSTEM TIL GITTER-SPÆR

MFS - MONIER FORSTÆRKNINGSSYSTEM TIL GITTER-SPÆR MFS - MONIER FORSTÆRKNINGSSYSTEM TIL GITTER-SPÆR Vejledning Denne vejledning skal anvendes som hjælp til at udfylde formularen på side 4 og 5 med korrekte oplysninger. Som en forudsætning for at spærene

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Læggevejledning P A R K E T

Læggevejledning P A R K E T Læggevejledning P A R K E T For at opnå et godt resultat er det vigtigt at følge denne vejledning. De mest anvendte konstruktioner er omfattet. Beskrivelser og billeder er vejledende. P A R K E T - O G

Læs mere

DS Facadekassetter og paneler

DS Facadekassetter og paneler DS Facadekassetter og paneler Produktbeskrivelse og montagevejledning Februar 2013 2 DS Stålprofil Andrupvej 9 DK-9500 Hobro Februar 2013 www.ds-staalprofil.dk» Indhold: DS Facadekassetter og paneler s.

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Drænhul, vendes mod indvendig side

Drænhul, vendes mod indvendig side Montering Montering af stålskelet Afkortning af slidsede profiler Profilerne kan afkortes med Gyproc Twincutter 160 eller niblingsmaskine. Bærende profiler skal have vinkelrette snitflader, der modsvarer

Læs mere

Dyr i bevægelse. Måling af iltforbrug hos fisk. Arbejdsark til eleverne. Naturhistorisk Museus Århus

Dyr i bevægelse. Måling af iltforbrug hos fisk. Arbejdsark til eleverne. Naturhistorisk Museus Århus Måling af iltforbrug hos fisk Tanker før forsøget I atmosfærisk luft er der ca. 21% ilt? Er det anderledes i vand? Hvorfor? Hvad bruger levende dyr ilt til? Forklar kort iltens vej i kroppen hos dyr, der

Læs mere

Byg din fladskærm. ind i væggen. Flot ser den ud, den nye fladskærm,

Byg din fladskærm. ind i væggen. Flot ser den ud, den nye fladskærm, Byg din fladskærm ind i væggen Lad dit fladskærms-tv sidde helt i plan med væggen, og skjul samtidig alle ledninger fra tv et til spillemaskiner, optagere og stikkontakt. lot ser den ud, den nye fladskærm,

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 27. august 1999. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt.

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 27. august 1999. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Design af IT-medier Skriftlig prøve 27. august 1999 Varighed: Hjælpemidler: Bedømmelse: Besvarelse: Opgaver: 4 timer. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Karakter efter 13-skalaen. Alle ark skal være

Læs mere