A Calfem-kommandoer B Forsøg B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.1 Formål B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "A Calfem-kommandoer... 3. B Forsøg... 9. B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9. B.1.1 Formål... 9. B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10"

Transkript

1 Indhold A Calfem-kommandoer... 3 B Forsøg... 9 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9 B.1.1 Formål... 9 B.1.2 Forsøgsbeskrivelse B.1.3 Forsøgsresultater B.1.4 Resultatbehandling B.1.5 Fejlkilder B.1.6 Opsamling B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive B.2.1 Forsøgsbeskrivelse B.2.2 Forsøgsresultater B.2.3 Resultatbehandling B.2.4 Fejlkilder B.2.5 Delkonklusion B.3 Forsøg med aluminiumsemner B.3.1 Forsøgsbeskrivelse B.3.2 Forsøgsopstilling B.3.3 Homogen cirkelskive B.3.4 Homogen cirkelring B.3.5 Porøs cirkelskive B.3.6 Porøs cirkelring B.3.7 Fejlkilder B.3.8 Delkonklusion

2 2

3 A Calfem-kommandoer Dette appendiks redegør kort for nogle af de kommandoer, der er anvendt i de numeriske modeller programmeret i Matlab og MatLab-toolbox-applikationen Calfem. Der skelnes mellem last-, flytnings- og topologitensorer og egentlige Calfem-kommandoer. For at illustrere hvorledes de enkelte operationer fungerer, er der taget udgangspunkt i en simpel opstilling vist på figur a.1. Opstillingen er opbygget af CST-elementer, der hver især har 6 frihedsgrader. Elementer, knuder og frihedsgrader i opstillingen er valgt nummeret som angivet på figur a y 4 Elementer Knuder Frihedsgrader x Figur A.1. Opstilling af beregningsmodel. Der henvises til programfilerne vedlagt på CD-bilag for placering af de enkelte kommandoer og tensorer. [SysDof]-matricen definerer hvilke frihedsgrader, der tilhører de enkelte knuder. Rækkenumrene i [SysDof] svarer til knudenumrene, og søjlerne angiver numrene på de tilhørende frihedsgrader. [SysDof] kommer til at se således ud for beregningseksempelet [ SysDof ] = Frihedsgrader knude1 knude5 3

4 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok [ElemDof] angiver hvilke frihedsgrader, der hører til de enkelte elementer. Første søjle i [ElemDof] viser elementnummeret, mens de resterende søjler angiver frihedsgraderne. Her er det vigtigt, at frihedsgraderne indtastes i rigtig rækkefølge. For det viste eksempel ser [ElemDof] ud på følgende måde 4 [ ElemDof ] = Elementnummer Frihedsgrader Herefter opskrives [SysCoor], der indeholder information om koordinaterne til de enkelte knuder. I første søjle står x-koordinaten, mens y-koordinaten står i anden søjle. Rækkenummeret svarer igen til knudenummeret. For eksemplet ser [SysCoor] således ud, idet der henvises til koordinaterne angivet på figur a.1. [ SysCoor ] = x koordinat y koordinat knude1 knude5 De tre viste matricer indeholder alle informationer om modellens topografi. Når topografien er fastlagt, er næste skridt at opskrive den lokale elementstivhedsmatrice [ElemK], der indeholder informationer om, hvilken type element modellen er opbygget af. I dette tilfælde er modellen opbygget af CST-elementer. Udover denne oplysning beskrives i [ElemK] de konstitutive forhold E, beskrevet ved elasticitetsmodulet E og Poissons forhold v, spændings-tøjningstypen ep og koordinatinformationerne fra [SysCoor]. ep definerer, om der regnes med plan spændingstilstand eller plan tøjningstilstand. Fra FEM-teorien haves formel (A.1), fra hvilken [ElemK] kan bestemmes. ep beskriver hvilken form Hookes udvidede lov antager. T [ ] [ ] [ ][ ] ElemK = B E B dv (A.1) ep [ElemK] opskrives ved en standardkommando i Calfem, der for CST-elementer hedder plante. Plante-kommandoen ser principielt således [ ] = plante( ) ElemK x - koordinat,y - koordinat,ep,e (A.2) Indholdet af [ElemK] kan bestemmes iht. teorien for elementmetoden ved bl.a. at opstille formfunktioner for elementet. Disse informationer ligger gemt i Calfem-kommandoen plante, men bestemmelsen ligger udenfor dette appendiks formål. Der henvises i stedet til afsnit 6 og matlab-fil n1 til 6.

5 A Calfem-kommandoer Relationen mellem elementlasttensoren {SysR element } og elementflytningstensoren {SysV element } kan skrives som følgende { } = [ ]{ } SysR ElemK SysV (A.3) element Dette medfører følgende fire relationer element r d r d r 2 d 2 r 4 d 4 r 3 ElemK d 3 r 5 ElemK d 5 =, r for element 1 = d r for element 2 d x6 6x6 r 9 d 9 r 9 d 9 r10 d10 r10 d10 r d r d r 6 d 6 r 8 d 8 r 7 ElemK d 7 r 1 ElemK d 1 =, r for element 3 = d r for element 4 d x6 6x6 r 9 d 9 r 9 d 9 r10 d10 r10 d10 De fire elementstivhedsmatricer samles efterfølgende i én samlet stivhedsmatrice for modellen. Dette gøres med Calfem-kommandoen assem. Denne kommando samler elementstivhedsmatricerne og placerer dem på de rigtige pladser i den globale stivhedsmatrice [SysK]. Derfor kræver assem-funktionen informationer fra [ElemDof], idet denne matrice fortæller hvilke frihedsgrader, der hører til hvilke elementer. Da alle frihedsgrader i modellen deles af flere elementer, overlappes de enkelt indgange i [SysK] af flere elementstivhedsmatricer. [SysK] er principielt skitseret ved formel (A.4), idet der ved alle indgangene i [SysK] er markeret fra hvilke elementstivhedsmatricer, der deles information. Det fremgår endvidere at [SysK] er symmetrisk om den ene diagonal. [ SysK] 1,4 1, ,4 1,4 1,4 1, ,4 1, ,2 1, ,2 1, ,2 1, ,2 1, ,3 2, ,3 2,3 = 2 2 2,3 2, ,3 2, ,4 3,4 3,4 3, ,4 3,4 3,4 3,4 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 1, 4 1, 4 1, 2 1, 2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 (A.4) 5

6 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Relationen mellem de globale knudekræfter {SysR} og globale knudeflytninger {SysV} kan beskrives ved formel (A.5) { SysR} = [ SysK]{ SysV } (A.5) hvilket medfører følgende relation r1 1,4 1, ,4 1,4 d1 r 2 1,4 1, ,4 1,4 d 2 r ,2 1, ,2 1,2 d3 r ,2 1, ,2 1,2 d4 r ,3 2, ,3 2,3 d5 = r ,3 2, ,3 2,3 d6 r , 4 3, 4 3, 4 3, 4 d 7 r , 4 3, 4 3, 4 3, 4 d8 r 9 1, 4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d 9 r 10 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d10 (A.6) Forudsat at enten den globale lasttensor {SysR} eller den globale flytningstensor {SysV} er kendt, haves jf. (A.6) 10 ligninger med 10 ubekendte knudekræfter eller knudeflytninger. Calfem-funktionen solveq benyttes til at løse dette ligningssystem. Hvis nogle af knudeflytningerne på forhånd kendes, kan disse inkluderes i ligningssystemet ved hjælp af [BoundCond]-matricen, der som navnet antyder, angiver randbetingelserne. [Bound- Cond] for beregningseksemplet ser således ud 1 0 Frihedsgrad 1 BoundCond = 2 0 Frihedsgrad 2 (A.7) 4 0 Frihedsgrad 4 [ ] Frihedsgrad Størrelse af flytning idet der er taget udgangspunkt i figur a.1 og figur a.2. F Figur A.2. Understøtningsforhold og lastpåvirkning. 6

7 A Calfem-kommandoer Den globale flytningstensor kan for beregningseksemplet skrives ved formel (A.8) T { } = [ 00d 0d d d d d d ] SysV (A.8) idet randbetingelserne er indført. Lastvektoren tager følgende form, idet lastpåvirkningen fra figur a.2 er indført i vektoren T { } = [ F 000] SysR (A.9) Formel (A.6) kan med de to indførte tensorer skrives på følgende form 0 1,4 1, ,4 1, ,4 1, ,4 1, ,2 1, ,2 1,2 d ,2 1, ,2 1, ,3 2, ,3 2,3 d5 = ,3 2, ,3 2,3 d6 F ,4 3,4 3,4 3,4 d ,4 3,4 3,4 3,4 d8 0 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d 9 0 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d10 (A.10) Hermed kan de resterende knudeflytninger beregnes vha. solveq-kommandoen ved at udføre grundlæggende rækkereduktioner og isolationer af de enkelte variable. Calfem-kommandoerne assem og solveq er de to vigtigste kommandoer, der er benyttet i opstillingen af de numeriske modeller. Der er dog også benyttet en del andre kommandoer til bl.a. at optegne opstillingerne, men disse er ikke beskrevet. 7

8 8

9 B Forsøg B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Det følgende er en beskrivelse og resultatbehandling af trykforsøg udført på prøvelegemer af aluminium i laboratoriet for bærende konstruktioner ved Aalborg Universitet. Forsøget er udført som et led i kurset eksperimentelle metoder og resultaterne er anvendt som grundlag for beregninger af flytninger i cirkulære skiver og ringe af aluminium. Afsnittet omhandler forsøgets formål, udstyr, opstilling og resultatbehandling i den nævnte rækkefølge. Der er endvidere en kort teoretisk redegørelse for brugen af straingages i forsøgsopstillingen. Før udførelsen af dette forsøg har laboratoriet gennemført en række prøveforsøg for at undersøge formen af prøvelegemet og sikre at aluminiumen forbliver i det lineært elastiske område. Disse forsøg danner bl.a. grundlag for valg af belastningsinterval. B.1.1 Formål Aluminiumets elasticitetsmodul E og Poisson s forhold ν bestemmes for en kendt trykkraft vha. tøjningsmåling. Tøjningen måles vha. fire påsatte straingages, og derefter kan materialekonstanterne for prøverne bestemmes vha. Hookes udvidede lov, samt viden om de konstitutive relationer i prøvelegemet. Materialekonstanterne er anvendt i de analytiske og numeriske beregninger foretaget for cirkelskiverne og -ringene af aluminium. Figur B.1. Eksempel på aluminiumsblok uden (tv.) og med (th.) straingages. 9

10 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.2 Forsøgsbeskrivelse Forsøget gennemføres i laboratoriet for bærende konstruktioner på Aalborg Universitet, og i det følgende gennemgås udstyr, opstilling og udførelse af forsøget. Aluminiumslegemet påvirkes af axial tryk og de derved opståede tøjninger ε yy og ε xx måles med straingages. Der fortages målinger i intervallet 0-60 kn. Måleintervallet er valgt på baggrund af tidligere forsøg, for at sikre at aluminiumet holder sig i det elastiske område. Prøvelegemerne og skiverne er fræset ud fra den samme oprindelige blok, således at materialeparametre kan antages at være ens. Tøjningerne aflæses visuelt og benyttes i den senere resultatbehandling. Udstyr I forbindelse med udførsel af forsøgene benyttes følgende udstyr. 4 stk. enkeltstraingages, tabel b.1. Prøvemaskine - Universal static test machine, Mohr og Federhaff, 1968 (Opgraderet i 1983 med HBM kontrol system) Dataopsamler Brüel & Kjær Strain Indicator type 1526 Tabel B.1. Dataetiket for de benyttede straingages. Type FLA-6-23 Test condition 23 ºC 50 % RH Lot No. C Batch No. DI15k Gage factor 2,15 ± 1 % Gauge lenght 6 mm Temp. Compensation for /ºC Gauge Resistance 120±0,3 Ω Transverse sensitivity 0,1 % Anvendelse af dataopsamler åbner mulighed for at måle på flere forskellige typer af Wheatstone broer. Der måles her på fire kvartbroer. Prøvemaskinen benyttes til at belaste i det ønskede interval og vil samtidig belaste prøvelegemet jævnt på hele overfladen, figur b.4. Straingage Straingages benyttes til tøjningsmåling på prøvelegemerne. Der indsættes ens straingages på prøvelegemet, figur b.1. Straingagene måler tøjningen som en ændring i modstanden gennem gagen. Straingagene anvendt i forsøget er enkeltgage, som kun kan måle tøjningsændring i en retning. For at forstærke målingen benyttes et signalkonditioneringskredsløb i form af en Wheatstonebro. Straingagens følsomhed, gagefaktoren K, opgives af producenten, og vil oftest være tæt på 2. Gagefaktoren angiver forholdet mellem relativ modstandsændring R og tøjningen, formel (B.1). R = K ε (B.1) R 10

11 B Forsøg Straingages anvendt i dette forsøg har en gagefaktor på 2.15, tabel b.1. Gagefaktoren forudindstilles i dataopsamleren, og det er derfor ikke nødvendigt at udregne tøjningen manuelt. Tøjningen aflæses direkte. Modstandsændring gennem straingagen kan også fremprovokeres af en temperaturændring, altså uden ydre mekanisk påvirkning. Derfor benyttes temperaturkompenserende gages, som er tilpasset aluminiums temperaturudvidelseskoefficient på α= /ºC. Således vil straingages af denne type være mindre følsomme over for en ændring af temperaturen. Der er endvidere også mulighed for termisk drift eller en ændring af selve gagefaktoren, hvis straingagen benyttes i længere tid. Det skønnes ikke at være relevant mht. denne forsøgsrække, som udføres over en relativ kort periode ved stuetemperatur. Tværeffekten udtrykt ved tværfaktoren T, opstår som følge af fabrikantens bestemmelse af K ved et enakset trækforsøg. Straingages placeret som nr. c, figur b.3, vil ikke udelukkende være udsat for enakset træk/tryk og derfor defineres tværfaktoren, formel (B.2). T K K t = (B.2) a hvor K t er gagefaktoren for træk/tryk i straingagens tværretning [-] K a er gagefaktoren for straingagens længderetning, tabel b.1 [-] Tværeffekt kan korrigeres efter måling hvis ν og T er kendt, formel (B.3) og (B.4). 1 ν T ε = ε ε 1 T ( T ) xx, k 2 xx yy 1 ν T ε = ε ε 1 T ( T ) yy, k 2 yy xx (B.3) (B.4) hvor ε xx,k er korrigeret tøjning i tværretning [mm/mm] ε yy,k er korrigeret tøjning i længderetning [mm/mm] ε xx er tøjning målt i tværretning [mm/mm] ε yy er tøjning målt i længderetning [mm/mm] Poisson s forhold for aluminium kendes ikke, men kan anslås til 0,3-0,35. Ud fra en tværfaktor på 0,1 % og formel (B.3) og (B.4) kan størrelsen af fejlaflæsningen skønnes. Der benyttes værdier af samme størrelse som målt i forsøget, afsnit B ,35 0, , 2 ( , ε yy k ) 235,13 10 = = mm / mm 1 0,001 Ud fra resultatet ses det, at der med det skønnede ν kan påregnes en fejlmåling på ca mm/mm i forbindelse med tværeffekten. Denne viden vil blive brugt i en senere bedømmelse af fejlkilder, afsnit B.1.5. [Pilegaard, 2005] 11

12 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Wheatstone bro Wheatstonebroen benyttes til at måle den relative ændring i modstanden, og anvendes i forbindelse med straingages for at kunne måle små modstandsændringer med stor nøjagtighed. Wheatstonebroen opbygges af fire modstande af samme størrelse, der alle kan være straingages, figur b.2. Wheatstonebroen påføres en brospænding V e og ændringen i modstanden bestemmes ved aflæsning af Wheatstonebroens output V o. Før forsøget påbegyndes balanceres Wheatstonebroen således at V o 0. 2 R12 R24 v o 1 4 ~ v e R13 R34 3 Figur B.2. Wheatstonebro med eksempel på nummerering af straingages. Wheatstonebroen kan opdeles i en række forskellige typer. I forbindelse med dette forsøg benyttes kvartbroen. To yderligere typer, halvbroen og helbroen eksisterer. Kvartbro En straingage og tre modstande af tilsvarende størrelse (120 Ω). Fordelen er, at der kun måles på en gage og derved bestemmes prøvelegemets ε xx og ε yy separat. Kvartbroen benyttes i resultatbehandlingen til bestemmelse af ν og E. Halvbro To gage og to modstande af tilsvarende størrelse (120 Ω). Almindelig praksis er at erstatte R 12 og R 13 med straingages. Fuldbro Fire gage af samme størrelse (120 Ω), dvs. at alle straingages på prøvelegemet er aktive i den samme bro. I forbindelse med dette forsøg kan målingerne fra opstillingen med kvartbro bruges til bestemmelse af E og ν. Ifølge teorien vil aflæsninger af V o over halv- og fuldbroen blive hhv. to og fire gange større end kvartbroen. Samtidig vil den målte V o dække over gennemsnittet af to eller fire gages, hhv. halv- og helbro. Derfor kan disse brotyper ikke benyttes. For at kunne bestemme E og ν er det nødvendigt at måle på hver enkelt straingage separat, se afsnit B.1.4. [Pilegaard, 2005] 12

13 B Forsøg Opstilling Aluminiumslegemet placeres i prøvemaskinen med en straingage monteret på hver side som vist på figur b.1 og figur b.3. Straingagene navngives a, b, c og d således, at nr. a og b vil måle tøjningen ε yy i længderetningen og tøjningen ε xx i tværretning, måles af gage nr. c og d. Figur B.3. Dimensioner for prøvelegeme og placering samt navngivning af straingages. Mål i mm. Legemet påføres en jævnt fordelt belastning fra prøvemaskinen og tøjningerne aflæses visuelt på dataopsamleren, figur b.4. Dataopsamleren indstilles før forsøgets start med K lig 2,15 og alle fire broer balanceres således at V o 0. På grund af kugleled i prøvemaskinens understøtninger er der mulighed for, at der ved små belastninger af prøvelegemet ikke sker en jævn belastning af hele tværsnitsarealet. Dette behandles videre under resultatbehandlingen, afsnit B.1.4. Figur B.4. Prøvelegeme placeret i prøvemaskine (tv.) og dataopsamler (th.). 13

14 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Der er fra fabrikken monteret fire halvbroer i dataopsamleren således, at der ved indsættelse af faste modstande á 120 Ω vil der være fire kvartbroer. Størrelsen af den faste modstand er valgt således, at den passer til straingagene, tabel b.1. Nummerering af modstande R og straingages ε samt fortegn i modstande er gennemgået herunder, figur b.5. Figur B.5. Opstilling af kvartbroer benyttet i forsøg med definition af fortegn. Modstanden R 13 indsættes for at simulere en kvartbro, figur b.5. Fortegn for straingagen medfører, at tryktøjninger i forsøget vil blive regnet negative imens træktøjninger er positive. Således forventes det, at straingagene nr. a og b vil måle negative værdier mens c og d vil måle positive værdier, figur b.3. B.1.3 Forsøgsresultater I det følgende er resultaterne for kvartbroerne opstillet samt målene for tværsnittet. Der er lavet 15 belastningstrin af 4 kn og fem aflastningstrin af varierende størrelse. Siderne på prøvelegemet er målt med skydelære og tværsnitsarealet er bestemt til 900 mm 2. Resultaterne fra forsøget er opstillet på tabelform, hvor den aflæste volt V fra prøvemaskinen er vist samt den tilhørende kraft P. P er beregnet vha. sammenhæng mellem V og P i prøvemaskinen, hvor 10 V er lig 60 kn. Tøjningen er aflæst på dataopsamleren for de enkelte straingages, tabel b.2. 14

15 B Forsøg Tabel B.2. Forsøgsresultater for straingages. P V Gage a [kn] [volt] 10-6 [mm/mm] Gage b 10-6 [mm/mm] Gage c 10-6 [mm/mm] Gage d 10-6 [mm/mm] 0 0, ,9 0, ,9 1, ,9 1, ,9 2, ,9 3, ,8 3, ,8 4, ,9 5, ,8 5, ,8 6, ,7 7, ,7 7, ,7 8, ,7 9, ,7 9, Herefter aflastning 39,8 6, ,9 5, ,9 3, ,9 0, ,0 0,

16 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.4 Resultatbehandling Materialekonstanterne for aluminiumet bestemmes på baggrund af resultaterne i afsnit B.1.3. Resultaterne korrigeres for den start-tøjning, som er vist i tabel b.2 ved en belastning på 0 kn, tabel b.3. Tabel B.3. Korrigerede forsøgsresultater. P V Gage 1 [kn] [volt] 10-6 [mm/mm] Gage [mm/mm] Gage [mm/mm] Gage [mm/mm] 0 0, ,9 0, ,9 1, ,9 1, ,9 2, ,9 3, ,8 3, ,8 4, ,9 5, ,8 5, ,8 6, ,7 7, ,7 7, ,7 8, ,7 9, ,7 9, Herefter aflastning 39,8 6, ,9 5, ,9 3, ,9 0, ,0 0, Til bestemmelse af normalspændingen σ yy anvendes Naviers formel, idet det antages, at trykket er jævnt fordelt, formel (B.5). P σ yy = (B.5) A hvor σ yy er normalspændingerne i y-retningen [N/mm 2 ] A er tværsnitsarealet [mm 2 ] 16

17 B Forsøg Til bestemmelse af normaltøjningen ε yy og ε xx anvendes resultaterne fra tabel b.3. Middelværdien af straingage a og b anvendes som ε yy og middelværdien af straingage c og d som ε xx. Som det ses af tabel b.3, er der stor forskel på aflæsningerne for tøjningerne i længderetningen, hvilket giver en stor usikkerhed på middelværdien af tøjningen. Der er bestemt følgende værdier for σ yy, ε yy og ε xx, tabel b.4. Tabel B.4. Værdier for σ yy, ε yy og ε xx i prøvelegemet. σ yy [N/mm 2 ] ε yy 10-6 [mm/mm] ε xx 10-6 [mm/mm] 0,0 0,0 0,0 4,3 60,0 9,5 8,8 114,5 22,0 13,2 168,0 39,0 17,7 225,0 56,5 22,1 278,5 74,5 26,5 337,0 91,5 30,9 388,5 108,0 35,4 443,0 125,0 39,7 498,5 143,0 44,2 553,0 161,5 48,6 612,0 180,0 53,0 671,0 198,5 57,5 727,0 216,5 61,9 788,5 236,0 66,4 846,5 253,0 Herefter aflastning 44,2 573,0 162,0 35,4 466,0 123,5 22,1 293,5 69,0 4,3 64,5 2,0 0,0 12,0-9,5 Først undersøges om materialet er lineær elastisk. Dette gøres ved at sammenligne be- og aflastningskurverne for forsøget. Til optegnelse af arbejdskurverne anvendes der en lineær statisk model, hvis form ses af formel (B.6). y = b1 x+ b0 (B.6) hvor y er den afhængige variabel x er den uafhængige variabel b 1 er en regressionsparameter svarende til hældningskoefficienten b 0 er en regressionsparameter svarende til skæringen med ordinaten 17

18 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Der gælder følgende sammenhæng mellem den lineære statiske model og de forsøgsmæssige resultater, formel (B.7). y = σ, x= ε, b E, b 0 (B.7) yy yy 1 0 hvor ε yy er tøjningerne målt i x-retningen [mm/mm] E er elasticitetsmodulet [N/mm 2 ] For at tilnærme den lineære model til forsøgsresultaterne anvendes mindste kvadraters metode. Denne metode tilpasser punkter fra forsøgene til regressionslinien ved at minimere den lodrette afstand. Regressionsparametrene b 1 og b 0 bestemmes ved at minimere kvadratafvigelsessummen, formel (B.8). n n 2 2 ei = yi b0 bx 1 i i= 1 i= 1 (B.8) min min ( ) hvor e i er den i te fejlværdi Parameteren b 1 udregnes ved formel (B.9). 1 x y x y n n n i i i i i= 1 n i= 1 i= 1 1 = n n xi xi i= 1 n i= 1 b (B.9) Parameteren b 0 udregnes ved formel (B.10). b 0 = n n y b x i 1 i= 1 i= 1 n i (B.10) Som et mål for, hvor god tilpasning punkterne har til regressionslinien anvendes korrelationskoefficienten R 2 der antager værdier i intervallet [-1,1], hvor en værdi på 0 svarer til ingen korrelation og -1 og 1 til fuld korrelation. R 2 bestemmes ved formel (B.11). R 2 = 1 x y x y n n n n i i i i i= 1 i= 1 i= 1 n n 2 n n xi xi y y i i i= 1 n i= 1 i= 1 n i= 1 (B.11) 18

19 Ud fra den statiske model er der optegnet følgende be- og aflastningskurver, figur b.6. B Forsøg Figur B.6. Be- og aflastningskurver for prøvelegemet. Som det ses af figur b.6, kan forsøgsresultaterne anses for at være lineært elastiske, da beog aflastningskurverne er rette linier. Det kan derfor antages, at der gælder følgende sammenhæng mellem spændinger og tøjninger, formel (B.12). σ = E ε (B.12) Til bestemmelse af elasticitetsmodulet anvendes samme metode som for bestemmelse af lineær elasticitet. Sammenhængen mellem σ yy og ε yy er optegnet, figur b.7, og elasticitetsmodulet er bestemt som hældningen af regressionslinien fundet ved mindste kvadraters metode. Figur B.7. Arbejdskurve for prøvelegemet. 19

20 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Af figur b.7 ses det, at elasticitetsmodulet for prøvelegemet er bestemt til ca. 79 GPa. Korrelationskoefficienten viser en værdi på 0,998, figur b.7. Det betyder, at der er god tilpasning af punkterne til regressionslinien. Tabelværdien for elasticitetsmodulet for aluminium ligger på 72 GPa, [Teknisk Ståbi, 2003], hvilket svarer i størrelse til det bestemte elasticitetsmodul. Tabelværdien er bestemt som 50 % fraktilen og 79 GPa vurderes derfor som et sandsynligt resultat. Ved lineær elasticitet og enakset spændingstilstand gælder der ligeledes følgende sammenhæng, formel (B.13). ν ε yy = (B.13) ε xx hvor ν er Poisson s forhold Ud fra formel (B.13) er Poisson s forhold bestemt for de 15 belastningstrin, tabel b.5. Tabel B.5. Poisson s forhold ved forskellige belastninger. P [kn] 3,9 7,9 11,9 15,9 19,9 23,8 27,8 31,9 35,8 39,8 43,7 47,7 51,7 55,7 59,8 ν [ ] 0,16 0,19 0,23 0,25 0,27 0,27 0,28 0,28 0,29 0,29 0,29 0,30 0,30 0,30 0,30 Poisson s forhold burde være ens for alle belastningerne, men som det fremgår af tabel b.5, så er dette ikke tilfældet for dette forsøg. Dette kan skyldes, at der er stor usikkerhed på målingerne foretaget med lav belastning. Det ses af tabel b.3, at straingage a og b viser store forskelle mht. tøjningen i længderetningen ved de lave belastninger. Disse forskelle kan skyldes, at prøvelegemet er skævt belastet, hvilket senere udjævner sig ved de høje belastninger. Poisson s forhold er bestemt til 0,30, da det er ved disse belastninger, hvor forskellen mellem straingage a og b er mindst og derfor også der, hvor usikkerheden antages mindst. [Pilegaard, 2005] B.1.5 Fejlkilder Der har i forbindelse med forsøget været observeret en række fejl i målingerne i forhold til det forventede. Derudover opstod der en række grove fejl i en række af de forberedte prøvelegemer, så som dårlige limninger af straingages m.m. Disse prøvelegemer er derfor ikke blevet benyttet i opstillingen. Idet resultater fra forsøget skulle benyttes på trods af afvigelser, blev det valgt at forsætte med kun et prøvelegeme til alle grupperne. Fejl i det benyttede legeme kan opdeles i to grupper. Først viser målingerne i tabel b.3, at de konstitutive relationer ikke overholdes når materialet udsættes for små belastninger. Dette kan skyldes, at prøvemaskinens understøtninger kan rotere og således tilpasses skrå overflader. Excentricitet pga. en belastning placeret skævt kan forklare de indledende usikkerheder. Resultaterne stabiliseredes ved belastninger større end 16 kn, og det ses i resultatbehandlingen, at materialekonstanterne svarer til det forventede. Disse materialekonstan- 20

21 B Forsøg ter er udsat for de generelle usikkerheder i forbindelse med målingen, hvor den forventede størrelse af fejl i straingages er beskrevet. Det vurderes, at fejlen stammende fra tværfaktoren ikke har nogen betydning, da fejlene beskrevet ovenfor er flere størrelsesordner større end fejlen fra tværfaktoren. Endvidere må der påregnes en række trivielle fejl i forbindelse med montage, fysiske usikkerheder og det faktum, at aflæsning/balancering foretages manuelt. B.1.6 Opsamling Materialekonstanterne E og ν for aluminiumsblokken er bestemt i resultatbehandlingen, afsnit B.1.4, og er vist i tabel b.6. Tabel B.6. Materialekonstanter for aluminium E og v, sammenholdt med opslagsværdi E teori [Teknisk Ståbi, 2003]. E [GPa] E teori [GPa] ν [-] ,3 De fundne konstanter er ikke repræsentative for alle forsøgets målepunkter, men for et udvalgt interval, hvor prøvelegemet overholder de konstitutive relationer for tryk. Det antages, at såfremt forsøget havde været fejlfrit ville disse konstanter gælde i hele prøveintervallet. Fejlkilderne kunne yderligere bearbejdes ved at gennemføre en analyse af de enkelte fejls betydning vha. fejlophobningsloven. Dette er blevet klart så sent i projektforløbet, at det ikke kunne indarbejdes i rapporten. Med dette forbehold ses det, at materialekonstanterne antager værdier, der ligger tæt op af de forventede for aluminium, og det vælges derfor at arbejde videre med disse værdier i forbindelse med de numeriske- og analytiske modeller for cirkelskive og -ringen. 21

22 B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive I det følgende beskrives, hvordan forsøget og resultatbehandlingen er foretaget for den porøse aluminiumskive med 8 mm huller. Formålet med forsøget er at bestemme elasticitetsmodulet for en porøs aluminiumsskive, hvor porøsiteten udgøres af 16 huller med 8 mm huller. Aluminiumsskiven er mm og 20 mm i tykkelsen, se figur b.8. Figur B.8. Den porøse skive. B.2.1 Forsøgsbeskrivelse Der er udført trykforsøg på det porøse aluminiumsemne i laboratoriet for bærende konstruktioner ved Aalborg Universitet. Den porøse skive belastes med en lodret modsatrettet jævnt fordelt trykkraft, hvorved der sker en flytning u yy i lodret retning. Denne flytning er målt mellem to punkter på skivens sider, hvis placering er vist på figur b.9. Til flytningsmålingerne benyttes to DD1 flytningsmålere. En på hver side af emnet. A Punkt 1 64 Ø8 Snit A-A L Punkt 2 5 A Figur B.9. Placering af målepunkterne 1 og 2 for den porøse skive med 8 mm huller. Alle mål i [mm]. 22

23 B Forsøg Udstyr Ved udførelse af forsøget er der benyttet følgende udstyr. Prøvemaskine - Universal static test machine, Mohr og Federhaff, 1968 (Opgraderet i 1983 med HBM kontrol system) To flytningsmålere af type DD1, tabel b.7. Dataopsamler HBM Spider 8 Kalibreringsbænk, som måler i µm. Tabel B.7. Data for de benyttede flytningsmålere. Type DD1 Nr Måleområde ±2,5 mm Modstand 350 Ω Nøjagtighed <0,1 % Til montering af selve flytningsmåleren er der monteret to beslag, hvorimellem flytningsmåleren monteres. Disse beslag er skruet fast i huller, som er 3 mm i diameter, 5 mm dybe og med en indbyrdes afstand på 32 mm fra center til center, figur b.9. Forsøgsemnet sættes derefter i prøvemaskinen, hvor det belastes med lodret tryk. Opstillingen i prøvemaskinen ses på figur b.10. Figur B.10. Porøs skive monteret i forsøgsmaskine med flytningsmåler påmonteret. Tilsvarende opstilling af flytningsmåler på den anden side. 23

24 B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive Kalibrering af flytningsmålere For at bestemme sammenhængen mellem flytningen inputtet og den aflæste flytning outputtet kalibreres de benyttede flytningsmålere. Ved kalibreringen er en kalibreringsfaktor bestemt for hver af flytningsmålerne. Derfor skal de aflæste værdier korrigeres ved at multiplicere med kalibreringsfaktoren. [Pilegaard, 2005] Til at bestemme kalibreringsfaktoren, er flytningsmåleren monteret i en kalibreringsbænk, hvor det er muligt at indstille flytningen med 1/1000 mm nøjagtighed. Først er der nulkompenseret, hvilket vil sige, at flytningen i kalibreringsbænken er sat til nul, hvorefter aflæsningen er sat til nul. Derefter er der startet med en kendt flytning på 2,2 mm hvorefter den målte flytning aflæses. Med spring på 0,2 mm mellem hver måling aflæses alle de målte værdier på computeren. Det samlede interval er fra -2,2 mm og til 2,2 mm. Ved afbildning af de kendte flytninger som funktion af de ved flytningsmåleren målte værdier, er det muligt at bestemme kalibreringsfaktoren som hældningen for den bedste rette linie gennem punkterne. Resultaterne for disse ses i tabel b.8. og CD-bilag excel-fil f10 og excel-fil f11. Tabel B.8. Ligning for den bedste rette linie gennem målepunkterne, korrelationskoefficienten og kalibreringsfaktorerne for de benyttede flytningsmålere. Flytningsmåler nr. Ligning for bedste rette linie Korrelationskoefficient Kalibreringsfaktor y = 0,9931 x + 0,0145 R 2 = 1,0000 0, y = 0,9879 x + 0,0009 R 2 = 1,0000 0,9879 Herefter multipliceres alle målte værdier for flytningerne med den tilhørende kalibreringsfaktor for den pågældende flytningsmåler. Dette er gjort i regneark vedlagt på CD-bilag. B.2.2 Forsøgsresultater Ved forsøget er der benyttet en dataopsamler, som er tilsluttet en computer. Derefter benyttes softwaren Catman Easy på computeren til aflæsning af data fem gange i sekundet, hvilket giver en stor mængde data. Catman Easy er indstillet således, at det automatisk opstiller de målte værdier i en Excel fil. I filen ses tiden for aflæsningerne, kraften målt i Volt og flytningerne for de forskellige flytningsmålere er målt i mm. For forsøget er der lavet målinger for både belastning og aflastning. Måleresultaterne kan findes i excel-fil f5. Alle databehandlinger er lavet ud fra den samlede mængde data fra forsøgene, dvs. både værdier fra påføring af lasten og aflastningen, da belastnings- og aflastningskurven er tilnærmelsesvis ens. 24

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Stivhedsanalyse af aluminium Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode:

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFOREGNELSE DEL I FORSØG... 3 A Elastiske konstanter...5 A. Dataopsamling...5 A. Brudstyrkemåling på massivt aluminiumsemne...5 A.3 Elasticitetsmodul og Poissons forhold for

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Analyse af måledata II

Analyse af måledata II Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER FORSØG MED 37 BETONELEMENTER - CENTRALT, EXCENTRISK OG TVÆRBELASTEDE ELEMENTER SAMT TILHØRENDE TRYKCYLINDRE, BØJETRÆKEMNER OG ARMERINGSSTÆNGER Peter Ellegaard November Laboratoriet for Bærende Konstruktioner

Læs mere

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul

Læs mere

Eftervisning af bygningens stabilitet

Eftervisning af bygningens stabilitet Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.

Læs mere

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008 Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

Introduktion til programmet CoRotate

Introduktion til programmet CoRotate Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som

Læs mere

Funktioner. 1. del Karsten Juul

Funktioner. 1. del Karsten Juul Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2

Læs mere

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter. Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger

Læs mere

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Athena DIMENSION Tværsnit 2

Athena DIMENSION Tværsnit 2 Athena DIMENSION Tværsnit 2 Januar 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Programmets opbygning........................... 2 2.1 Menuer og værktøjslinier............................

Læs mere

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Residualer i grundforløbet

Residualer i grundforløbet Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad

Læs mere

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton 10.3 E-modul Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen Forskellige materialer har forskellige E-moduler. Hvis man fx placerer 15 ton (svarende til 10 typiske mellemklassebiler) oven på en

Læs mere

1 Regressionsproblemet 2

1 Regressionsproblemet 2 Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lineær algebra 4. kursusgang

Lineær algebra 4. kursusgang Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet

Læs mere

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler M. P. Nielsen Thomas Hansen Lars Z. Hansen Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Rapport BYG DTU R-113 005 ISSN 1601-917 ISBN 87-7877-180-3 Forord Nærværende

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Betonkonstruktioner Lektion 7

Betonkonstruktioner Lektion 7 Betonkonstruktioner Lektion 7 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Faculty of Engineering 1 Bøjning i anvendelsestilstanden - Beregning af deformationer og revnevidder Faculty of Engineering 2 Last

Læs mere

Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345)

Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345) Kursus 4: Besvarelser til øvelses- og hjemmeopgaver i uge 11 Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 35 og 6ed: 11., side 345) Opgaven består i at foretage en regressionsanalse. Først afbildes data som i

Læs mere

Statik og styrkelære

Statik og styrkelære Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

LiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang

LiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,

Læs mere

Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til:

Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til: Binder Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til: Differensbevægelse (0,21 mm/m målt fra estimeret tyngdepunkt ved sokkel til fjerneste binder) Forhåndskrumning (Sættes

Læs mere

Modulet kan både beregne skjulte buer og stik (illustreret på efterfølgende figur).

Modulet kan både beregne skjulte buer og stik (illustreret på efterfølgende figur). Murbue En murbue beregnes generelt ved, at der indlægges en statisk tilladelig tryklinje/trykzone i den geometriske afgrænsning af buen. Spændingerne i trykzonen betragtes i liggefugen, hvor forskydnings-

Læs mere

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Indledning BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Erik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller

Erik Vestergaard   1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Kapitel 11 Lineær regression

Kapitel 11 Lineær regression Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Indre modstand og energiindhold i et batteri

Indre modstand og energiindhold i et batteri Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra

QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Lavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f

Lavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Opsætning af MIKE 3 model

Opsætning af MIKE 3 model 11 Kapitel Opsætning af MIKE 3 model I dette kapitel introduceres MIKE 3 modellen for Hjarbæk Fjord, samt data der anvendes i modellen. Desuden præsenteres kalibrering og validering foretaget i bilag G.

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ

1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ Indhold 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) 2 1.1 Variation indenfor og mellem grupper.......................... 2 1.2 F-test for ingen

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Anvendt Lineær Algebra

Anvendt Lineær Algebra Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT

BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Indledning BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et

Læs mere

grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen

grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren BM7-1-E09 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren Tema: Titel: Projektgruppe: Gruppemedlemmer: Vejleder: Analyse af bærende konstruktioner BM7-1-E09 Christian

Læs mere

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau) Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette

Læs mere

Dyr i bevægelse. Måling af iltforbrug hos pattedyr eller krybdyr i hvile. Arbejdsark til eleverne. Naturhistorisk Museus Århus

Dyr i bevægelse. Måling af iltforbrug hos pattedyr eller krybdyr i hvile. Arbejdsark til eleverne. Naturhistorisk Museus Århus Måling af iltforbrug hos pattedyr eller krybdyr i hvile Tanker før forsøget I atmosfærisk luft er der ca. 21% ilt. Hvad bruger levende dyr ilt til? Forklar kort iltens vej fra indånding til udånding hos

Læs mere

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde Lodret belastet muret væg Indledning Modulet anvender beregningsmodellen angivet i EN 1996-1-1, anneks G. Modulet anvendes, når der i et vægfelt er mulighed for (risiko for) 2. ordens effekter (dvs. søjlevirkning).

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Dimensionering af samling

Dimensionering af samling Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene

Læs mere