A Calfem-kommandoer B Forsøg B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.1 Formål B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "A Calfem-kommandoer... 3. B Forsøg... 9. B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9. B.1.1 Formål... 9. B.1.2 Forsøgsbeskrivelse... 10"

Transkript

1 Indhold A Calfem-kommandoer... 3 B Forsøg... 9 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok... 9 B.1.1 Formål... 9 B.1.2 Forsøgsbeskrivelse B.1.3 Forsøgsresultater B.1.4 Resultatbehandling B.1.5 Fejlkilder B.1.6 Opsamling B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive B.2.1 Forsøgsbeskrivelse B.2.2 Forsøgsresultater B.2.3 Resultatbehandling B.2.4 Fejlkilder B.2.5 Delkonklusion B.3 Forsøg med aluminiumsemner B.3.1 Forsøgsbeskrivelse B.3.2 Forsøgsopstilling B.3.3 Homogen cirkelskive B.3.4 Homogen cirkelring B.3.5 Porøs cirkelskive B.3.6 Porøs cirkelring B.3.7 Fejlkilder B.3.8 Delkonklusion

2 2

3 A Calfem-kommandoer Dette appendiks redegør kort for nogle af de kommandoer, der er anvendt i de numeriske modeller programmeret i Matlab og MatLab-toolbox-applikationen Calfem. Der skelnes mellem last-, flytnings- og topologitensorer og egentlige Calfem-kommandoer. For at illustrere hvorledes de enkelte operationer fungerer, er der taget udgangspunkt i en simpel opstilling vist på figur a.1. Opstillingen er opbygget af CST-elementer, der hver især har 6 frihedsgrader. Elementer, knuder og frihedsgrader i opstillingen er valgt nummeret som angivet på figur a y 4 Elementer Knuder Frihedsgrader x Figur A.1. Opstilling af beregningsmodel. Der henvises til programfilerne vedlagt på CD-bilag for placering af de enkelte kommandoer og tensorer. [SysDof]-matricen definerer hvilke frihedsgrader, der tilhører de enkelte knuder. Rækkenumrene i [SysDof] svarer til knudenumrene, og søjlerne angiver numrene på de tilhørende frihedsgrader. [SysDof] kommer til at se således ud for beregningseksempelet [ SysDof ] = Frihedsgrader knude1 knude5 3

4 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok [ElemDof] angiver hvilke frihedsgrader, der hører til de enkelte elementer. Første søjle i [ElemDof] viser elementnummeret, mens de resterende søjler angiver frihedsgraderne. Her er det vigtigt, at frihedsgraderne indtastes i rigtig rækkefølge. For det viste eksempel ser [ElemDof] ud på følgende måde 4 [ ElemDof ] = Elementnummer Frihedsgrader Herefter opskrives [SysCoor], der indeholder information om koordinaterne til de enkelte knuder. I første søjle står x-koordinaten, mens y-koordinaten står i anden søjle. Rækkenummeret svarer igen til knudenummeret. For eksemplet ser [SysCoor] således ud, idet der henvises til koordinaterne angivet på figur a.1. [ SysCoor ] = x koordinat y koordinat knude1 knude5 De tre viste matricer indeholder alle informationer om modellens topografi. Når topografien er fastlagt, er næste skridt at opskrive den lokale elementstivhedsmatrice [ElemK], der indeholder informationer om, hvilken type element modellen er opbygget af. I dette tilfælde er modellen opbygget af CST-elementer. Udover denne oplysning beskrives i [ElemK] de konstitutive forhold E, beskrevet ved elasticitetsmodulet E og Poissons forhold v, spændings-tøjningstypen ep og koordinatinformationerne fra [SysCoor]. ep definerer, om der regnes med plan spændingstilstand eller plan tøjningstilstand. Fra FEM-teorien haves formel (A.1), fra hvilken [ElemK] kan bestemmes. ep beskriver hvilken form Hookes udvidede lov antager. T [ ] [ ] [ ][ ] ElemK = B E B dv (A.1) ep [ElemK] opskrives ved en standardkommando i Calfem, der for CST-elementer hedder plante. Plante-kommandoen ser principielt således [ ] = plante( ) ElemK x - koordinat,y - koordinat,ep,e (A.2) Indholdet af [ElemK] kan bestemmes iht. teorien for elementmetoden ved bl.a. at opstille formfunktioner for elementet. Disse informationer ligger gemt i Calfem-kommandoen plante, men bestemmelsen ligger udenfor dette appendiks formål. Der henvises i stedet til afsnit 6 og matlab-fil n1 til 6.

5 A Calfem-kommandoer Relationen mellem elementlasttensoren {SysR element } og elementflytningstensoren {SysV element } kan skrives som følgende { } = [ ]{ } SysR ElemK SysV (A.3) element Dette medfører følgende fire relationer element r d r d r 2 d 2 r 4 d 4 r 3 ElemK d 3 r 5 ElemK d 5 =, r for element 1 = d r for element 2 d x6 6x6 r 9 d 9 r 9 d 9 r10 d10 r10 d10 r d r d r 6 d 6 r 8 d 8 r 7 ElemK d 7 r 1 ElemK d 1 =, r for element 3 = d r for element 4 d x6 6x6 r 9 d 9 r 9 d 9 r10 d10 r10 d10 De fire elementstivhedsmatricer samles efterfølgende i én samlet stivhedsmatrice for modellen. Dette gøres med Calfem-kommandoen assem. Denne kommando samler elementstivhedsmatricerne og placerer dem på de rigtige pladser i den globale stivhedsmatrice [SysK]. Derfor kræver assem-funktionen informationer fra [ElemDof], idet denne matrice fortæller hvilke frihedsgrader, der hører til hvilke elementer. Da alle frihedsgrader i modellen deles af flere elementer, overlappes de enkelt indgange i [SysK] af flere elementstivhedsmatricer. [SysK] er principielt skitseret ved formel (A.4), idet der ved alle indgangene i [SysK] er markeret fra hvilke elementstivhedsmatricer, der deles information. Det fremgår endvidere at [SysK] er symmetrisk om den ene diagonal. [ SysK] 1,4 1, ,4 1,4 1,4 1, ,4 1, ,2 1, ,2 1, ,2 1, ,2 1, ,3 2, ,3 2,3 = 2 2 2,3 2, ,3 2, ,4 3,4 3,4 3, ,4 3,4 3,4 3,4 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 1, 4 1, 4 1, 2 1, 2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 (A.4) 5

6 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Relationen mellem de globale knudekræfter {SysR} og globale knudeflytninger {SysV} kan beskrives ved formel (A.5) { SysR} = [ SysK]{ SysV } (A.5) hvilket medfører følgende relation r1 1,4 1, ,4 1,4 d1 r 2 1,4 1, ,4 1,4 d 2 r ,2 1, ,2 1,2 d3 r ,2 1, ,2 1,2 d4 r ,3 2, ,3 2,3 d5 = r ,3 2, ,3 2,3 d6 r , 4 3, 4 3, 4 3, 4 d 7 r , 4 3, 4 3, 4 3, 4 d8 r 9 1, 4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d 9 r 10 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d10 (A.6) Forudsat at enten den globale lasttensor {SysR} eller den globale flytningstensor {SysV} er kendt, haves jf. (A.6) 10 ligninger med 10 ubekendte knudekræfter eller knudeflytninger. Calfem-funktionen solveq benyttes til at løse dette ligningssystem. Hvis nogle af knudeflytningerne på forhånd kendes, kan disse inkluderes i ligningssystemet ved hjælp af [BoundCond]-matricen, der som navnet antyder, angiver randbetingelserne. [Bound- Cond] for beregningseksemplet ser således ud 1 0 Frihedsgrad 1 BoundCond = 2 0 Frihedsgrad 2 (A.7) 4 0 Frihedsgrad 4 [ ] Frihedsgrad Størrelse af flytning idet der er taget udgangspunkt i figur a.1 og figur a.2. F Figur A.2. Understøtningsforhold og lastpåvirkning. 6

7 A Calfem-kommandoer Den globale flytningstensor kan for beregningseksemplet skrives ved formel (A.8) T { } = [ 00d 0d d d d d d ] SysV (A.8) idet randbetingelserne er indført. Lastvektoren tager følgende form, idet lastpåvirkningen fra figur a.2 er indført i vektoren T { } = [ F 000] SysR (A.9) Formel (A.6) kan med de to indførte tensorer skrives på følgende form 0 1,4 1, ,4 1, ,4 1, ,4 1, ,2 1, ,2 1,2 d ,2 1, ,2 1, ,3 2, ,3 2,3 d5 = ,3 2, ,3 2,3 d6 F ,4 3,4 3,4 3,4 d ,4 3,4 3,4 3,4 d8 0 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d 9 0 1,4 1,4 1,2 1,2 2,3 2,3 3,4 3,4 1,2,3,4 1,2,3,4 d10 (A.10) Hermed kan de resterende knudeflytninger beregnes vha. solveq-kommandoen ved at udføre grundlæggende rækkereduktioner og isolationer af de enkelte variable. Calfem-kommandoerne assem og solveq er de to vigtigste kommandoer, der er benyttet i opstillingen af de numeriske modeller. Der er dog også benyttet en del andre kommandoer til bl.a. at optegne opstillingerne, men disse er ikke beskrevet. 7

8 8

9 B Forsøg B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Det følgende er en beskrivelse og resultatbehandling af trykforsøg udført på prøvelegemer af aluminium i laboratoriet for bærende konstruktioner ved Aalborg Universitet. Forsøget er udført som et led i kurset eksperimentelle metoder og resultaterne er anvendt som grundlag for beregninger af flytninger i cirkulære skiver og ringe af aluminium. Afsnittet omhandler forsøgets formål, udstyr, opstilling og resultatbehandling i den nævnte rækkefølge. Der er endvidere en kort teoretisk redegørelse for brugen af straingages i forsøgsopstillingen. Før udførelsen af dette forsøg har laboratoriet gennemført en række prøveforsøg for at undersøge formen af prøvelegemet og sikre at aluminiumen forbliver i det lineært elastiske område. Disse forsøg danner bl.a. grundlag for valg af belastningsinterval. B.1.1 Formål Aluminiumets elasticitetsmodul E og Poisson s forhold ν bestemmes for en kendt trykkraft vha. tøjningsmåling. Tøjningen måles vha. fire påsatte straingages, og derefter kan materialekonstanterne for prøverne bestemmes vha. Hookes udvidede lov, samt viden om de konstitutive relationer i prøvelegemet. Materialekonstanterne er anvendt i de analytiske og numeriske beregninger foretaget for cirkelskiverne og -ringene af aluminium. Figur B.1. Eksempel på aluminiumsblok uden (tv.) og med (th.) straingages. 9

10 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.2 Forsøgsbeskrivelse Forsøget gennemføres i laboratoriet for bærende konstruktioner på Aalborg Universitet, og i det følgende gennemgås udstyr, opstilling og udførelse af forsøget. Aluminiumslegemet påvirkes af axial tryk og de derved opståede tøjninger ε yy og ε xx måles med straingages. Der fortages målinger i intervallet 0-60 kn. Måleintervallet er valgt på baggrund af tidligere forsøg, for at sikre at aluminiumet holder sig i det elastiske område. Prøvelegemerne og skiverne er fræset ud fra den samme oprindelige blok, således at materialeparametre kan antages at være ens. Tøjningerne aflæses visuelt og benyttes i den senere resultatbehandling. Udstyr I forbindelse med udførsel af forsøgene benyttes følgende udstyr. 4 stk. enkeltstraingages, tabel b.1. Prøvemaskine - Universal static test machine, Mohr og Federhaff, 1968 (Opgraderet i 1983 med HBM kontrol system) Dataopsamler Brüel & Kjær Strain Indicator type 1526 Tabel B.1. Dataetiket for de benyttede straingages. Type FLA-6-23 Test condition 23 ºC 50 % RH Lot No. C Batch No. DI15k Gage factor 2,15 ± 1 % Gauge lenght 6 mm Temp. Compensation for /ºC Gauge Resistance 120±0,3 Ω Transverse sensitivity 0,1 % Anvendelse af dataopsamler åbner mulighed for at måle på flere forskellige typer af Wheatstone broer. Der måles her på fire kvartbroer. Prøvemaskinen benyttes til at belaste i det ønskede interval og vil samtidig belaste prøvelegemet jævnt på hele overfladen, figur b.4. Straingage Straingages benyttes til tøjningsmåling på prøvelegemerne. Der indsættes ens straingages på prøvelegemet, figur b.1. Straingagene måler tøjningen som en ændring i modstanden gennem gagen. Straingagene anvendt i forsøget er enkeltgage, som kun kan måle tøjningsændring i en retning. For at forstærke målingen benyttes et signalkonditioneringskredsløb i form af en Wheatstonebro. Straingagens følsomhed, gagefaktoren K, opgives af producenten, og vil oftest være tæt på 2. Gagefaktoren angiver forholdet mellem relativ modstandsændring R og tøjningen, formel (B.1). R = K ε (B.1) R 10

11 B Forsøg Straingages anvendt i dette forsøg har en gagefaktor på 2.15, tabel b.1. Gagefaktoren forudindstilles i dataopsamleren, og det er derfor ikke nødvendigt at udregne tøjningen manuelt. Tøjningen aflæses direkte. Modstandsændring gennem straingagen kan også fremprovokeres af en temperaturændring, altså uden ydre mekanisk påvirkning. Derfor benyttes temperaturkompenserende gages, som er tilpasset aluminiums temperaturudvidelseskoefficient på α= /ºC. Således vil straingages af denne type være mindre følsomme over for en ændring af temperaturen. Der er endvidere også mulighed for termisk drift eller en ændring af selve gagefaktoren, hvis straingagen benyttes i længere tid. Det skønnes ikke at være relevant mht. denne forsøgsrække, som udføres over en relativ kort periode ved stuetemperatur. Tværeffekten udtrykt ved tværfaktoren T, opstår som følge af fabrikantens bestemmelse af K ved et enakset trækforsøg. Straingages placeret som nr. c, figur b.3, vil ikke udelukkende være udsat for enakset træk/tryk og derfor defineres tværfaktoren, formel (B.2). T K K t = (B.2) a hvor K t er gagefaktoren for træk/tryk i straingagens tværretning [-] K a er gagefaktoren for straingagens længderetning, tabel b.1 [-] Tværeffekt kan korrigeres efter måling hvis ν og T er kendt, formel (B.3) og (B.4). 1 ν T ε = ε ε 1 T ( T ) xx, k 2 xx yy 1 ν T ε = ε ε 1 T ( T ) yy, k 2 yy xx (B.3) (B.4) hvor ε xx,k er korrigeret tøjning i tværretning [mm/mm] ε yy,k er korrigeret tøjning i længderetning [mm/mm] ε xx er tøjning målt i tværretning [mm/mm] ε yy er tøjning målt i længderetning [mm/mm] Poisson s forhold for aluminium kendes ikke, men kan anslås til 0,3-0,35. Ud fra en tværfaktor på 0,1 % og formel (B.3) og (B.4) kan størrelsen af fejlaflæsningen skønnes. Der benyttes værdier af samme størrelse som målt i forsøget, afsnit B ,35 0, , 2 ( , ε yy k ) 235,13 10 = = mm / mm 1 0,001 Ud fra resultatet ses det, at der med det skønnede ν kan påregnes en fejlmåling på ca mm/mm i forbindelse med tværeffekten. Denne viden vil blive brugt i en senere bedømmelse af fejlkilder, afsnit B.1.5. [Pilegaard, 2005] 11

12 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Wheatstone bro Wheatstonebroen benyttes til at måle den relative ændring i modstanden, og anvendes i forbindelse med straingages for at kunne måle små modstandsændringer med stor nøjagtighed. Wheatstonebroen opbygges af fire modstande af samme størrelse, der alle kan være straingages, figur b.2. Wheatstonebroen påføres en brospænding V e og ændringen i modstanden bestemmes ved aflæsning af Wheatstonebroens output V o. Før forsøget påbegyndes balanceres Wheatstonebroen således at V o 0. 2 R12 R24 v o 1 4 ~ v e R13 R34 3 Figur B.2. Wheatstonebro med eksempel på nummerering af straingages. Wheatstonebroen kan opdeles i en række forskellige typer. I forbindelse med dette forsøg benyttes kvartbroen. To yderligere typer, halvbroen og helbroen eksisterer. Kvartbro En straingage og tre modstande af tilsvarende størrelse (120 Ω). Fordelen er, at der kun måles på en gage og derved bestemmes prøvelegemets ε xx og ε yy separat. Kvartbroen benyttes i resultatbehandlingen til bestemmelse af ν og E. Halvbro To gage og to modstande af tilsvarende størrelse (120 Ω). Almindelig praksis er at erstatte R 12 og R 13 med straingages. Fuldbro Fire gage af samme størrelse (120 Ω), dvs. at alle straingages på prøvelegemet er aktive i den samme bro. I forbindelse med dette forsøg kan målingerne fra opstillingen med kvartbro bruges til bestemmelse af E og ν. Ifølge teorien vil aflæsninger af V o over halv- og fuldbroen blive hhv. to og fire gange større end kvartbroen. Samtidig vil den målte V o dække over gennemsnittet af to eller fire gages, hhv. halv- og helbro. Derfor kan disse brotyper ikke benyttes. For at kunne bestemme E og ν er det nødvendigt at måle på hver enkelt straingage separat, se afsnit B.1.4. [Pilegaard, 2005] 12

13 B Forsøg Opstilling Aluminiumslegemet placeres i prøvemaskinen med en straingage monteret på hver side som vist på figur b.1 og figur b.3. Straingagene navngives a, b, c og d således, at nr. a og b vil måle tøjningen ε yy i længderetningen og tøjningen ε xx i tværretning, måles af gage nr. c og d. Figur B.3. Dimensioner for prøvelegeme og placering samt navngivning af straingages. Mål i mm. Legemet påføres en jævnt fordelt belastning fra prøvemaskinen og tøjningerne aflæses visuelt på dataopsamleren, figur b.4. Dataopsamleren indstilles før forsøgets start med K lig 2,15 og alle fire broer balanceres således at V o 0. På grund af kugleled i prøvemaskinens understøtninger er der mulighed for, at der ved små belastninger af prøvelegemet ikke sker en jævn belastning af hele tværsnitsarealet. Dette behandles videre under resultatbehandlingen, afsnit B.1.4. Figur B.4. Prøvelegeme placeret i prøvemaskine (tv.) og dataopsamler (th.). 13

14 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Der er fra fabrikken monteret fire halvbroer i dataopsamleren således, at der ved indsættelse af faste modstande á 120 Ω vil der være fire kvartbroer. Størrelsen af den faste modstand er valgt således, at den passer til straingagene, tabel b.1. Nummerering af modstande R og straingages ε samt fortegn i modstande er gennemgået herunder, figur b.5. Figur B.5. Opstilling af kvartbroer benyttet i forsøg med definition af fortegn. Modstanden R 13 indsættes for at simulere en kvartbro, figur b.5. Fortegn for straingagen medfører, at tryktøjninger i forsøget vil blive regnet negative imens træktøjninger er positive. Således forventes det, at straingagene nr. a og b vil måle negative værdier mens c og d vil måle positive værdier, figur b.3. B.1.3 Forsøgsresultater I det følgende er resultaterne for kvartbroerne opstillet samt målene for tværsnittet. Der er lavet 15 belastningstrin af 4 kn og fem aflastningstrin af varierende størrelse. Siderne på prøvelegemet er målt med skydelære og tværsnitsarealet er bestemt til 900 mm 2. Resultaterne fra forsøget er opstillet på tabelform, hvor den aflæste volt V fra prøvemaskinen er vist samt den tilhørende kraft P. P er beregnet vha. sammenhæng mellem V og P i prøvemaskinen, hvor 10 V er lig 60 kn. Tøjningen er aflæst på dataopsamleren for de enkelte straingages, tabel b.2. 14

15 B Forsøg Tabel B.2. Forsøgsresultater for straingages. P V Gage a [kn] [volt] 10-6 [mm/mm] Gage b 10-6 [mm/mm] Gage c 10-6 [mm/mm] Gage d 10-6 [mm/mm] 0 0, ,9 0, ,9 1, ,9 1, ,9 2, ,9 3, ,8 3, ,8 4, ,9 5, ,8 5, ,8 6, ,7 7, ,7 7, ,7 8, ,7 9, ,7 9, Herefter aflastning 39,8 6, ,9 5, ,9 3, ,9 0, ,0 0,

16 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok B.1.4 Resultatbehandling Materialekonstanterne for aluminiumet bestemmes på baggrund af resultaterne i afsnit B.1.3. Resultaterne korrigeres for den start-tøjning, som er vist i tabel b.2 ved en belastning på 0 kn, tabel b.3. Tabel B.3. Korrigerede forsøgsresultater. P V Gage 1 [kn] [volt] 10-6 [mm/mm] Gage [mm/mm] Gage [mm/mm] Gage [mm/mm] 0 0, ,9 0, ,9 1, ,9 1, ,9 2, ,9 3, ,8 3, ,8 4, ,9 5, ,8 5, ,8 6, ,7 7, ,7 7, ,7 8, ,7 9, ,7 9, Herefter aflastning 39,8 6, ,9 5, ,9 3, ,9 0, ,0 0, Til bestemmelse af normalspændingen σ yy anvendes Naviers formel, idet det antages, at trykket er jævnt fordelt, formel (B.5). P σ yy = (B.5) A hvor σ yy er normalspændingerne i y-retningen [N/mm 2 ] A er tværsnitsarealet [mm 2 ] 16

17 B Forsøg Til bestemmelse af normaltøjningen ε yy og ε xx anvendes resultaterne fra tabel b.3. Middelværdien af straingage a og b anvendes som ε yy og middelværdien af straingage c og d som ε xx. Som det ses af tabel b.3, er der stor forskel på aflæsningerne for tøjningerne i længderetningen, hvilket giver en stor usikkerhed på middelværdien af tøjningen. Der er bestemt følgende værdier for σ yy, ε yy og ε xx, tabel b.4. Tabel B.4. Værdier for σ yy, ε yy og ε xx i prøvelegemet. σ yy [N/mm 2 ] ε yy 10-6 [mm/mm] ε xx 10-6 [mm/mm] 0,0 0,0 0,0 4,3 60,0 9,5 8,8 114,5 22,0 13,2 168,0 39,0 17,7 225,0 56,5 22,1 278,5 74,5 26,5 337,0 91,5 30,9 388,5 108,0 35,4 443,0 125,0 39,7 498,5 143,0 44,2 553,0 161,5 48,6 612,0 180,0 53,0 671,0 198,5 57,5 727,0 216,5 61,9 788,5 236,0 66,4 846,5 253,0 Herefter aflastning 44,2 573,0 162,0 35,4 466,0 123,5 22,1 293,5 69,0 4,3 64,5 2,0 0,0 12,0-9,5 Først undersøges om materialet er lineær elastisk. Dette gøres ved at sammenligne be- og aflastningskurverne for forsøget. Til optegnelse af arbejdskurverne anvendes der en lineær statisk model, hvis form ses af formel (B.6). y = b1 x+ b0 (B.6) hvor y er den afhængige variabel x er den uafhængige variabel b 1 er en regressionsparameter svarende til hældningskoefficienten b 0 er en regressionsparameter svarende til skæringen med ordinaten 17

18 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Der gælder følgende sammenhæng mellem den lineære statiske model og de forsøgsmæssige resultater, formel (B.7). y = σ, x= ε, b E, b 0 (B.7) yy yy 1 0 hvor ε yy er tøjningerne målt i x-retningen [mm/mm] E er elasticitetsmodulet [N/mm 2 ] For at tilnærme den lineære model til forsøgsresultaterne anvendes mindste kvadraters metode. Denne metode tilpasser punkter fra forsøgene til regressionslinien ved at minimere den lodrette afstand. Regressionsparametrene b 1 og b 0 bestemmes ved at minimere kvadratafvigelsessummen, formel (B.8). n n 2 2 ei = yi b0 bx 1 i i= 1 i= 1 (B.8) min min ( ) hvor e i er den i te fejlværdi Parameteren b 1 udregnes ved formel (B.9). 1 x y x y n n n i i i i i= 1 n i= 1 i= 1 1 = n n xi xi i= 1 n i= 1 b (B.9) Parameteren b 0 udregnes ved formel (B.10). b 0 = n n y b x i 1 i= 1 i= 1 n i (B.10) Som et mål for, hvor god tilpasning punkterne har til regressionslinien anvendes korrelationskoefficienten R 2 der antager værdier i intervallet [-1,1], hvor en værdi på 0 svarer til ingen korrelation og -1 og 1 til fuld korrelation. R 2 bestemmes ved formel (B.11). R 2 = 1 x y x y n n n n i i i i i= 1 i= 1 i= 1 n n 2 n n xi xi y y i i i= 1 n i= 1 i= 1 n i= 1 (B.11) 18

19 Ud fra den statiske model er der optegnet følgende be- og aflastningskurver, figur b.6. B Forsøg Figur B.6. Be- og aflastningskurver for prøvelegemet. Som det ses af figur b.6, kan forsøgsresultaterne anses for at være lineært elastiske, da beog aflastningskurverne er rette linier. Det kan derfor antages, at der gælder følgende sammenhæng mellem spændinger og tøjninger, formel (B.12). σ = E ε (B.12) Til bestemmelse af elasticitetsmodulet anvendes samme metode som for bestemmelse af lineær elasticitet. Sammenhængen mellem σ yy og ε yy er optegnet, figur b.7, og elasticitetsmodulet er bestemt som hældningen af regressionslinien fundet ved mindste kvadraters metode. Figur B.7. Arbejdskurve for prøvelegemet. 19

20 B.1 Trykforsøg med aluminiumsblok Af figur b.7 ses det, at elasticitetsmodulet for prøvelegemet er bestemt til ca. 79 GPa. Korrelationskoefficienten viser en værdi på 0,998, figur b.7. Det betyder, at der er god tilpasning af punkterne til regressionslinien. Tabelværdien for elasticitetsmodulet for aluminium ligger på 72 GPa, [Teknisk Ståbi, 2003], hvilket svarer i størrelse til det bestemte elasticitetsmodul. Tabelværdien er bestemt som 50 % fraktilen og 79 GPa vurderes derfor som et sandsynligt resultat. Ved lineær elasticitet og enakset spændingstilstand gælder der ligeledes følgende sammenhæng, formel (B.13). ν ε yy = (B.13) ε xx hvor ν er Poisson s forhold Ud fra formel (B.13) er Poisson s forhold bestemt for de 15 belastningstrin, tabel b.5. Tabel B.5. Poisson s forhold ved forskellige belastninger. P [kn] 3,9 7,9 11,9 15,9 19,9 23,8 27,8 31,9 35,8 39,8 43,7 47,7 51,7 55,7 59,8 ν [ ] 0,16 0,19 0,23 0,25 0,27 0,27 0,28 0,28 0,29 0,29 0,29 0,30 0,30 0,30 0,30 Poisson s forhold burde være ens for alle belastningerne, men som det fremgår af tabel b.5, så er dette ikke tilfældet for dette forsøg. Dette kan skyldes, at der er stor usikkerhed på målingerne foretaget med lav belastning. Det ses af tabel b.3, at straingage a og b viser store forskelle mht. tøjningen i længderetningen ved de lave belastninger. Disse forskelle kan skyldes, at prøvelegemet er skævt belastet, hvilket senere udjævner sig ved de høje belastninger. Poisson s forhold er bestemt til 0,30, da det er ved disse belastninger, hvor forskellen mellem straingage a og b er mindst og derfor også der, hvor usikkerheden antages mindst. [Pilegaard, 2005] B.1.5 Fejlkilder Der har i forbindelse med forsøget været observeret en række fejl i målingerne i forhold til det forventede. Derudover opstod der en række grove fejl i en række af de forberedte prøvelegemer, så som dårlige limninger af straingages m.m. Disse prøvelegemer er derfor ikke blevet benyttet i opstillingen. Idet resultater fra forsøget skulle benyttes på trods af afvigelser, blev det valgt at forsætte med kun et prøvelegeme til alle grupperne. Fejl i det benyttede legeme kan opdeles i to grupper. Først viser målingerne i tabel b.3, at de konstitutive relationer ikke overholdes når materialet udsættes for små belastninger. Dette kan skyldes, at prøvemaskinens understøtninger kan rotere og således tilpasses skrå overflader. Excentricitet pga. en belastning placeret skævt kan forklare de indledende usikkerheder. Resultaterne stabiliseredes ved belastninger større end 16 kn, og det ses i resultatbehandlingen, at materialekonstanterne svarer til det forventede. Disse materialekonstan- 20

21 B Forsøg ter er udsat for de generelle usikkerheder i forbindelse med målingen, hvor den forventede størrelse af fejl i straingages er beskrevet. Det vurderes, at fejlen stammende fra tværfaktoren ikke har nogen betydning, da fejlene beskrevet ovenfor er flere størrelsesordner større end fejlen fra tværfaktoren. Endvidere må der påregnes en række trivielle fejl i forbindelse med montage, fysiske usikkerheder og det faktum, at aflæsning/balancering foretages manuelt. B.1.6 Opsamling Materialekonstanterne E og ν for aluminiumsblokken er bestemt i resultatbehandlingen, afsnit B.1.4, og er vist i tabel b.6. Tabel B.6. Materialekonstanter for aluminium E og v, sammenholdt med opslagsværdi E teori [Teknisk Ståbi, 2003]. E [GPa] E teori [GPa] ν [-] ,3 De fundne konstanter er ikke repræsentative for alle forsøgets målepunkter, men for et udvalgt interval, hvor prøvelegemet overholder de konstitutive relationer for tryk. Det antages, at såfremt forsøget havde været fejlfrit ville disse konstanter gælde i hele prøveintervallet. Fejlkilderne kunne yderligere bearbejdes ved at gennemføre en analyse af de enkelte fejls betydning vha. fejlophobningsloven. Dette er blevet klart så sent i projektforløbet, at det ikke kunne indarbejdes i rapporten. Med dette forbehold ses det, at materialekonstanterne antager værdier, der ligger tæt op af de forventede for aluminium, og det vælges derfor at arbejde videre med disse værdier i forbindelse med de numeriske- og analytiske modeller for cirkelskive og -ringen. 21

22 B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive I det følgende beskrives, hvordan forsøget og resultatbehandlingen er foretaget for den porøse aluminiumskive med 8 mm huller. Formålet med forsøget er at bestemme elasticitetsmodulet for en porøs aluminiumsskive, hvor porøsiteten udgøres af 16 huller med 8 mm huller. Aluminiumsskiven er mm og 20 mm i tykkelsen, se figur b.8. Figur B.8. Den porøse skive. B.2.1 Forsøgsbeskrivelse Der er udført trykforsøg på det porøse aluminiumsemne i laboratoriet for bærende konstruktioner ved Aalborg Universitet. Den porøse skive belastes med en lodret modsatrettet jævnt fordelt trykkraft, hvorved der sker en flytning u yy i lodret retning. Denne flytning er målt mellem to punkter på skivens sider, hvis placering er vist på figur b.9. Til flytningsmålingerne benyttes to DD1 flytningsmålere. En på hver side af emnet. A Punkt 1 64 Ø8 Snit A-A L Punkt 2 5 A Figur B.9. Placering af målepunkterne 1 og 2 for den porøse skive med 8 mm huller. Alle mål i [mm]. 22

23 B Forsøg Udstyr Ved udførelse af forsøget er der benyttet følgende udstyr. Prøvemaskine - Universal static test machine, Mohr og Federhaff, 1968 (Opgraderet i 1983 med HBM kontrol system) To flytningsmålere af type DD1, tabel b.7. Dataopsamler HBM Spider 8 Kalibreringsbænk, som måler i µm. Tabel B.7. Data for de benyttede flytningsmålere. Type DD1 Nr Måleområde ±2,5 mm Modstand 350 Ω Nøjagtighed <0,1 % Til montering af selve flytningsmåleren er der monteret to beslag, hvorimellem flytningsmåleren monteres. Disse beslag er skruet fast i huller, som er 3 mm i diameter, 5 mm dybe og med en indbyrdes afstand på 32 mm fra center til center, figur b.9. Forsøgsemnet sættes derefter i prøvemaskinen, hvor det belastes med lodret tryk. Opstillingen i prøvemaskinen ses på figur b.10. Figur B.10. Porøs skive monteret i forsøgsmaskine med flytningsmåler påmonteret. Tilsvarende opstilling af flytningsmåler på den anden side. 23

24 B.2 Forsøg med porøs aluminiumskive Kalibrering af flytningsmålere For at bestemme sammenhængen mellem flytningen inputtet og den aflæste flytning outputtet kalibreres de benyttede flytningsmålere. Ved kalibreringen er en kalibreringsfaktor bestemt for hver af flytningsmålerne. Derfor skal de aflæste værdier korrigeres ved at multiplicere med kalibreringsfaktoren. [Pilegaard, 2005] Til at bestemme kalibreringsfaktoren, er flytningsmåleren monteret i en kalibreringsbænk, hvor det er muligt at indstille flytningen med 1/1000 mm nøjagtighed. Først er der nulkompenseret, hvilket vil sige, at flytningen i kalibreringsbænken er sat til nul, hvorefter aflæsningen er sat til nul. Derefter er der startet med en kendt flytning på 2,2 mm hvorefter den målte flytning aflæses. Med spring på 0,2 mm mellem hver måling aflæses alle de målte værdier på computeren. Det samlede interval er fra -2,2 mm og til 2,2 mm. Ved afbildning af de kendte flytninger som funktion af de ved flytningsmåleren målte værdier, er det muligt at bestemme kalibreringsfaktoren som hældningen for den bedste rette linie gennem punkterne. Resultaterne for disse ses i tabel b.8. og CD-bilag excel-fil f10 og excel-fil f11. Tabel B.8. Ligning for den bedste rette linie gennem målepunkterne, korrelationskoefficienten og kalibreringsfaktorerne for de benyttede flytningsmålere. Flytningsmåler nr. Ligning for bedste rette linie Korrelationskoefficient Kalibreringsfaktor y = 0,9931 x + 0,0145 R 2 = 1,0000 0, y = 0,9879 x + 0,0009 R 2 = 1,0000 0,9879 Herefter multipliceres alle målte værdier for flytningerne med den tilhørende kalibreringsfaktor for den pågældende flytningsmåler. Dette er gjort i regneark vedlagt på CD-bilag. B.2.2 Forsøgsresultater Ved forsøget er der benyttet en dataopsamler, som er tilsluttet en computer. Derefter benyttes softwaren Catman Easy på computeren til aflæsning af data fem gange i sekundet, hvilket giver en stor mængde data. Catman Easy er indstillet således, at det automatisk opstiller de målte værdier i en Excel fil. I filen ses tiden for aflæsningerne, kraften målt i Volt og flytningerne for de forskellige flytningsmålere er målt i mm. For forsøget er der lavet målinger for både belastning og aflastning. Måleresultaterne kan findes i excel-fil f5. Alle databehandlinger er lavet ud fra den samlede mængde data fra forsøgene, dvs. både værdier fra påføring af lasten og aflastningen, da belastnings- og aflastningskurven er tilnærmelsesvis ens. 24

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Stivhedsanalyse af aluminium Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode:

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFOREGNELSE DEL I FORSØG... 3 A Elastiske konstanter...5 A. Dataopsamling...5 A. Brudstyrkemåling på massivt aluminiumsemne...5 A.3 Elasticitetsmodul og Poissons forhold for

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Introduktion til programmet CoRotate

Introduktion til programmet CoRotate Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som

Læs mere

Måling af turbulent strømning

Måling af turbulent strømning Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning

Læs mere

Eftervisning af bygningens stabilitet

Eftervisning af bygningens stabilitet Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER FORSØG MED 37 BETONELEMENTER - CENTRALT, EXCENTRISK OG TVÆRBELASTEDE ELEMENTER SAMT TILHØRENDE TRYKCYLINDRE, BØJETRÆKEMNER OG ARMERINGSSTÆNGER Peter Ellegaard November Laboratoriet for Bærende Konstruktioner

Læs mere

Athena DIMENSION Tværsnit 2

Athena DIMENSION Tværsnit 2 Athena DIMENSION Tværsnit 2 Januar 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Programmets opbygning........................... 2 2.1 Menuer og værktøjslinier............................

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton 10.3 E-modul Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen Forskellige materialer har forskellige E-moduler. Hvis man fx placerer 15 ton (svarende til 10 typiske mellemklassebiler) oven på en

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat

Læs mere

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler M. P. Nielsen Thomas Hansen Lars Z. Hansen Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Rapport BYG DTU R-113 005 ISSN 1601-917 ISBN 87-7877-180-3 Forord Nærværende

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.

Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,

Læs mere

Indre modstand og energiindhold i et batteri

Indre modstand og energiindhold i et batteri Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Indledning BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Dyr i bevægelse. Måling af iltforbrug hos pattedyr eller krybdyr i hvile. Arbejdsark til eleverne. Naturhistorisk Museus Århus

Dyr i bevægelse. Måling af iltforbrug hos pattedyr eller krybdyr i hvile. Arbejdsark til eleverne. Naturhistorisk Museus Århus Måling af iltforbrug hos pattedyr eller krybdyr i hvile Tanker før forsøget I atmosfærisk luft er der ca. 21% ilt. Hvad bruger levende dyr ilt til? Forklar kort iltens vej fra indånding til udånding hos

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren BM7-1-E09 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren Tema: Titel: Projektgruppe: Gruppemedlemmer: Vejleder: Analyse af bærende konstruktioner BM7-1-E09 Christian

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

DS/EN 15512 DK NA:2011

DS/EN 15512 DK NA:2011 DS/EN 15512 DK NA:2011 Nationalt anneks til Stationære opbevaringssystemer af stål Justerbare pallereolsystemer Principper for dimensionering. Forord Dette nationale anneks (NA) er det første danske NA

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll Styring af revner i beton Bent Feddersen, Rambøll 1 Årsag Statisk betingede revner dannes pga. ydre last og/eller tvangsdeformationer. Eksempler : Trækkræfter fra ydre last (fx bøjning, forskydning, vridning

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

F inite E lement M ethod

F inite E lement M ethod INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS 27. november 2007, LC F inite E lement M ethod 1) Geometri 2) Elementvalg 3) Elementopdeling 4) Materialekonstanter 5) Randbetingelser 6) Belastninger 7) Beregning 8) Vurdering

Læs mere

Referenceblad for trækprøvning af jordankre

Referenceblad for trækprøvning af jordankre Referenceblad for trækprøvning af jordankre Dansk Geoteknisk Forenings Feltkomité Revision 3, marts 2006, FORELØBIG UDGAVE. INDLEDNING. Formål Formålet med referencebladet er at beskrive proceduren for

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær

praktiskegrunde Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær praktiskegrunde Praktiske Grunde. Nordisk tidsskrift for kultur- og samfundsvidenskab Nr. 3 / 2010. ISSN 1902-2271. www.hexis.dk Regression og geometrisk data analyse (2. del) Ulf Brinkkjær Introduktion

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Referenceblad for statiske pladebelastningsforsøg

Referenceblad for statiske pladebelastningsforsøg Referenceblad for statiske pladebelastningsforsøg Dansk Geoteknisk Forenings Feltkomité April 2005 1. INDLEDNING Pladebelastningsforsøg udføres hovedsageligt for at bestemme jordens deformationsegenskaber.

Læs mere

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde Lodret belastet muret væg Indledning Modulet anvender beregningsmodellen angivet i EN 1996-1-1, anneks G. Modulet anvendes, når der i et vægfelt er mulighed for (risiko for) 2. ordens effekter (dvs. søjlevirkning).

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding

Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Hastighedsprofiler og forskydningsspænding Formål Formålet med de gennemførte forsøg er at anvende og sammenligne 3 metoder til bestemmelse af bndforskydningsspændingen i strømningsrenden. Desden er formålet,

Læs mere

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Dyr i bevægelse Arbejdsark til eleverne

Dyr i bevægelse Arbejdsark til eleverne Måling af iltforbrug hos rotte eller hamster i aktivitet Tanker før forsøget I atmosfærisk luft er der ca. 21% ilt. Hvad bruger levende dyr ilt til? Forklar kort iltens vej fra indånding til udånding hos

Læs mere

Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner)

Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets. Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er

Læs mere

SizeWare. Bruger Manual. JVL Industri Elektronik A/S. Skive. Tandrem. Spindel. JVL Industri Elektronik A/S - Bruger Manual - SizeWare LB0041-02GB

SizeWare. Bruger Manual. JVL Industri Elektronik A/S. Skive. Tandrem. Spindel. JVL Industri Elektronik A/S - Bruger Manual - SizeWare LB0041-02GB SizeWare Bruger Manual ä Skive ä Tandrem ä Spindel JVL Industri Elektronik A/S LB0041-02GB Revised 23-3-99 1 2 Copyright 1997, JVL Industri Elektronik A/S. Der tages forbehold for ændringer af indholdet

Læs mere

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler)

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

ELCANIC A/S. ENERGY METER Type ENG110. Version 3.00. Inkl. PC program: ENG110. Version 3.00. Betjeningsvejledning

ELCANIC A/S. ENERGY METER Type ENG110. Version 3.00. Inkl. PC program: ENG110. Version 3.00. Betjeningsvejledning ELCANIC A/S ENERGY METER Type ENG110 Version 3.00 Inkl. PC program: ENG110 Version 3.00 Betjeningsvejledning 1/11 Generelt: ELCANIC A/S ENERGY METER Type ENG110 er et microprocessor styret instrument til

Læs mere

Øvre rand ilt. Den målte variation, er antaget at være gældende på randen i en given periode før og efter målingerne er foretaget.

Øvre rand ilt. Den målte variation, er antaget at være gældende på randen i en given periode før og efter målingerne er foretaget. MIKE 11 model til beskrivelse af iltvariation i Østerå Formål Formålet med denne model er at blive i stand til at beskrive den naturlige iltvariation over døgnet i Østerå. Til beskrivelse af denne er der

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

K-522. Betjeningsvejledning

K-522. Betjeningsvejledning K-522. Betjeningsvejledning 1 Beskrivelse Maskinen er specialudviklet til afbalancering af motorcykelhjul. I modsætning til en traditionel afbalanceringsmaskine, har K-22 en fast aksel, hvor det opspændte

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

11 TVANGSDEFORMATIONER 1

11 TVANGSDEFORMATIONER 1 11 TVANGSDEFORMATIONER 11 TVANGSDEFORMATIONER 1 11.1 Tvangsdeformationer 2 11.1.1 Luftfugtighedens betydning 2 11.1.2 Temperaturens betydning 3 11.1.3 Lastens betydning 4 11.1.3.1 Eksempel Fuge i indervæg

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

1. Installere Logger Pro

1. Installere Logger Pro Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Ohms lov. Formål. Princip. Apparatur. Brug af multimetre. Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd.

Ohms lov. Formål. Princip. Apparatur. Brug af multimetre. Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd. Ohms lov Nummer 136050 Emne Ellære Version 2017-02-14 / HS Type Elevøvelse Foreslås til 7-8, (gymc) p. 1/5 Formål Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd. Princip Et stykke

Læs mere

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse

Læs mere