Kap 5 - beviser - matematikb2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kap 5 - beviser - matematikb2011"

Transkript

1 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr Dierentiation a e Bevis nr Dierentiation a e Bevis nr Dierentiation a! Bevis nr Dierentiation a! Bevis nr.... Dierentiation a! Bevis nr Logaritmeregneregler... 4 loga*b loga + logb... 4 a log loga- logb... 4 b loga *loga... 4 Dierentiation a produktunktion... 5 Dierentiation a brøk - ej kernesto... 7 Dierentialkvotient or brøk... 7 Systime mat B Side

2 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a ln Bevis nr. At bevise: ln så er er Introduktion ørst! Vi ser på de graiske billeder a den eksponentielle unktion og den naturlige logaritme unktion, da disse er spejlinger a hinanden i linjen y. Det betyder som bekendt også, at de er hinandens omvendte unktioner, Beviset bygger netop også på, at e og ln er hinandens omvendte unktioner. Vi ved at betyder tangentens hældning i punktet, En tangent er jo en almindelig ret linje, der deror også har den rette linjes orskrit, hvor ' a angiver hældningen. Vi ser på en ret linje generelt og på den omvendte unktion til den vilkårlige rette line! Givet y a+b - b a - a - a b - a - a b Vi bestemmer orskriten or den omvendte unktion, på helt traditionel vis: Oprindelig skulle vi lægge b til. Nu skal vi trække ra. Før skulle vi gange med a. Nu skal vi dividere med a Hvis en lerleddet størrelse har ællesnævner, må vi godt dele op i to led Det er hældningen or den omvendte unktion, vi er interesseret i at å noget at vide om. Deror vil vi gerne have den omvendte unktion til at står som orskriten or en ret linje, så vi kan alæse hældningen. Her kan vi altså se, at hældningen er a Vi ved altså nu, at hvis en ret linje har hældningen, så vil den omvendte unktion have hældningen ½. Vi ved at e dierentieret giver e. Vi har altså ved e en unktion, der giver sig selv, når den dierentieres. Systime mat B Side

3 Kap 5 - beviser - matematikb0 Hvis ln er den omvendte unktion til e kan vi jo se på et konkret eksempel. På e er der givet.eks. lg. punkt.,e, da,, e,e Dierentialkvotienten i,e er e, da e e og dermed også hvis er Vi ved, at på den omvendte unktion, bytter koordinaterne plads! Det betyder, e, ln Fra ør ved vi så, at hældningen her må være e Så selve beviset! På ln-unktionen, vælger vi et punkt,y, det vil altså også sige, ln Vi ser på punktet på den omvendte unktion, som y, y,e y vi kalder y, e y. Her ved vi, at tangenthældningen i punktet y,e y er e y Hermed ved vi j. y a+b at tangenthældningen i,ln Vi ved da: y e ln e y e da y ln Altså har vi bevist: ln så er Q.E.D. Systime mat B Side 3

4 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a ln Bevis nr.. Vi ved, at en unktion sat sammen med sin omvendte unktion giver sig selv: -, altså: lne e ln. Vi ved hvordan man dierentierer en sammensat unktion: g g*g Disse to ormler anvender vi dereter, hvoreter bevises or dierentialkvotienten or ln er enkelt at vise: ln Vi ved: ln ln e ln e ln Vi sætter ln sammen med den omvendte unktion nemlig e Højresiden skriver vi nu som, idet vi astholder venstre siden e ln Vi dierentierer på begge sider, hvor vi ved dierentieret giver e ln *ln *ln ln Vi dierentierer venstresiden, der er en sammensat unktion. Vi ved, e e. Den ydre unktion er e og den indre unktion g ln. Vi dierentierer den ydre, idet vi på ets plads indsætter den indre unktion. Dereter ganger vi dierentialkvotienten på den indre sammen hermed. Den indre dierentieret er ln da vi ved, e ln, står der nu på venstresiden: *ln Vi ganger nu med på venstresiden. Det modsatte a gange er at dividere. Dermed når vi rem til, at dierentialkvotienten or ln netop er Systime mat B Side 4

5 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a e Bevis nr. Vi ved, at en unktion sat sammen med sin omvendte unktion giver sig selv: -, altså: lne e ln Vi ved hvordan man dierentierer en sammensat unktion: g g*g Disse to ormler anvender vi dereter, hvoreter bevises or dierentialkvotienten or e er enkelt. At vise: e e Vi ved: e e Vi sætter unktionen e sammen med den omvendte unktion nemlig ln lne lne lne Højresiden skriver vi nu som, idet vi astholder venstre siden Vi dierentierer på begge sider, hvor vi ved dierentieret giver e * e ' Vi dierentierer venstresiden, der er en sammensat unktion. Vi ved, ln Den ydre unktion er ln og den indre unktion g e. Vi dierentierer den ydre, idet vi på ets plads indsætter den indre unktion. Hereter ganger vi med dierentialkvotienten or den indre altså med e e *e e Vi dividerer med e på venstresiden. Det modsatte er at gange hermed. Dermed når vi rem til, dierentialkvotienten or e netop er e Systime mat B Side 5

6 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a e Bevis nr. Det, der skal redegøres or, er: e så er e. Eksponentialunktionen e, giver altså sig selv, når den skal dierentieres. Beviset tager udgangspunkt i den almindelige deinition på og så ellers en masse regnetektik! Vi ved, at deinitionen or dierentialkvotienten or alle unktioner er: + Δ lim Δ Δ -> 0 Dierenskvotienten hældningskvotienten or en linje ser næsten ligesådan ud; men der er da ikke tale om en tangenthældning i punktet,; men i stedet tale om hældningen or en lineær unktion gennem to vilkårlige punkter på graen. Det er lettest at regne på dierenskvotienten, da man så ikke skal huske kravene om Δ -> 0 og lim. Man kan uden videre regne på hældningen gennem to vilkårlige punkter, og når udtrykket så ser "pænt" ud, kan man vurdere, hvad det betyder, når vi i stedet ser på dierentialkvotienten. a + Δ Δ Dierenskvotienten hældningen a er da givet ved: Vi vælger nu et vilkårligt punkt på unktionen e, der kaldes,e. Ved siden a dette vælges et andet punkt, der som sædvanlig har ørstekoordinaten + Δ. Dette punkt hedder deror + Δ, + Δ + Δ, e + Δ Hældningen a dierenskvotienten kan vi således inde på ganske normal vis, som når vi bestemmer a or en ret linje y a+b gennem to punkter. a Δy Δ a e + Δ - e Det er den ormel vi kender ra ørste år! Her kan y og erstattes med punkterne på unktionen, j. ovenor Δ Hvis vi nu ser på ørste led, har vi en potens med eksponenten + Δ. Dette kan vi ændre på, da vi ved, at dette så kan skrives om. Der gælder nemlig ølgende: a +4 a *a 4. Man ganger nemlig to potenser med samme rod med hinanden, ved at beholde roden og lægge eksponenterne sammen. Systime mat B Side 6

7 Kap 5 - beviser - matematikb0 a e * e Δ - e Δ a e e Δ - Δ a e Δ e Δ Over brøkstregen står der nu to led med minus imellem. I begge led står der e. Vi ved, at ab - ac også kan skrives som ab-c, idet vi kan sætte a uden or en parentes. Her er det altså e, der kan sættes uden or parentesen. Vi ved nemlig, at e * e Δ - e e e Δ - Hvis der står et led uden or en parentes på en brøkstreg, kan dette led lyttes helt væk ra brøkstregen. Vi ved nemlig at man kan skrive 3* 3* 5 5 Her kan vi altså rykke e væk ra brøkstegen. Som bekendt, er det dierenskvotienten der står ovenor. Det der interesserer os er, hvad der sker, når dierenskvotienten bliver til dierentialkvotienten. Altså hvad tangentens hældning bliver i punktet,e. Altså, hvad sker der, når Δ -> 0 Vi ser på sidste del i udtrykket or dierenskvotienten. Altså størrelsen Δ e Δ Vi kan regne lidt på udtrykket or orskellige værdier a Δ : Δ ½ 0, 0,0 0,00 Δ e ** e-,7 e ½ -,3 e 0, -,05 e 0,0 -,005 e 0,00 -,0005 ½ 0, 0,0 0,00 Δ Vi ser altså, at hvis Δ -> 0, så går Δ e mod. Δ Vi kan deror konkludere: e lim e Δ e * Δ e * lim Δ e Δ e * e Δ -> 0 Δ -> 0 Systime mat B Side 7

8 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a! Bevis nr. Det, der skal bevises, er: så er er Vi ser på de graiske billeder a kvadratrodsunktionen og andengradsunktionen, da disse er spejlinger a hinanden i linjen y. Det betyder som bekendt også, at omvendte unktioner og er hinandens y,y,y,y, Vi ved at betyder tangentens hældning i punktet,. En tangent er jo en almindelig ret linje, der deror også har den rette linjes orskrit, hvor ' a angiver hældningen. Vi ser på en ret linje generelt og på den omvendte unktion til den vilkårlige rette line! Givet y a+b - - a - a b b a Vi bestemmer orskriten or den omvendte unktion, på helt traditionel vis: Oprindelig skulle vi lægge b til. Nu skal trækkes ra. Før skulle vi gange med a. Nu skal vi dividere med a Hvis en lerleddet størrelse har ællesnævner, må vi godt dele op i to led Systime mat B Side 8

9 Kap 5 - beviser - matematikb0 - a - a b Det er hældningen or den omvendte unktion, vi er interesseret i at å noget at vide om. Deror vil vi gerne have den omvendte unktion til at står som orskriten or en ret linje, så vi kan alæse hældningen. Her kan vi altså se, at hældningen er a Vi ved altså nu, at hvis en ret linje har hældningen, så vil den omvendte unktion have hældningen ½. Vi ved også, at dierentieret giver Så selve beviset! På -unktionen, vælger vi et punkt,y, det vil altså også sige, På unktionen, ligger det omvendte punkt, y, y,y Vi ved, at tangentens hældning i dette punkt, kan bestemmes som dierentialkoeicienten i punktet. y y På kvadratrodsunktionen andt vi punktet,y,. Tangentens hældning i dette punkt må være j. det vi udledte om hældningen or den omvendte unktion til en ret linje omvendte _ hældning y da y Systime mat B Side 9

10 Kap 5 - beviser - matematikb0 y,y,y Hældning ay Hældning a y,y, Altså har vi bevist: så er er Systime mat B Side 0

11 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a! Bevis nr. Vi ønsker at bevise, at dierentialkvotienten or er : Der indes en række potensregneregler, som kan være relevante i denne sammenhæng. Multiplikation med potenser: a a a + Ganger man samme tal, med en orskellig potens, så vil det være svarende til samme tal opløtet i potens + potens. F.eks.: Division med potenser: a a a Dividerer man samme tal, med en orskellig potens, så vil det være svarende til samme tal opløtet i potens - potens. F.eks.: Det kan til dette bevis være relevant at vide, at hvis man har et divisions stykke med en større tæller end nævner, så gælder: 5 7 Vi kan nu opstille beviset or dierentialkvotienten or Funktionen lyder: Dierentialkvotienten hedder: ʹ Hvoror? Vi ved, at vi også kan skrive således: Da vi nu ved dette, kan vi dierentiere unktionen, som vi dierentierer alle andre unktioner: ʹ Vi sætter potensen ned oran, og subtraherer minusser potensen med! Systime mat B Side

12 Kap 5 - beviser - matematikb0 Systime mat B Side Dette kan vi også skrive således: ʹ ʹ Vi omskriver : Vi kan nu regne videre på udtrykket: Da vi ra tidligere ved, at kan skrives som, kan vi nu regne videre: ʹ ʹ Vi har nu omdannet udtrykket, og kan igen regne videre på det: ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

13 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a! Bevis nr. 3 Vi ved, at en unktion sat sammen med sin omvendte unktion giver sig selv: -, altså: Vi ved hvordan man dierentierer en sammensat unktion: g g*g Disse to ormler anvender vi dereter, hvoreter bevises or dierentialkvotienten or e, ln og er enkelt. At vise: Vi ved: Vi sætter kvadratrodsunktionen sammen med den omvendte unktion nemlig Højresiden skriver vi nu som, idet vi astholder venstresiden Vi dierentierer på begge sider, hvor vi ved dierentieret giver * Vi dierentierer venstresiden, der er en sammensat unktion. Vi ved,. Den ydre unktion er og den indre unktion g. Vi dierentierer den ydre, idet vi på ets plads indsætter den indre unktion. Hereter ganger vi med den indre dierentieret altså med Vi ganger med på venstresiden. Det modsatte er at dividere hermed. Dermed når vi rem til, at dierentialkvotienten or netop er Systime mat B Side 3

14 Kap 5 - beviser - matematikb0 Logaritmeregneregler For alle logaritmeunktionerne gælder der ølgende: Logaritmen 0 Logaritmen til grundtallet g Samtidig ved vi også, at de omvendte unktioner til logaritmeunktionerne er eksponentielle Funktioner, hvor grundtallet g opløtes i te. Vi arbejder normalt med to logaritmeunktioner den naturlige og 0-talslogaritmen For disse gælder altså: log ln Grundtallet 0 e Logaritmen 0 log 0 ln 0 Logaritmen til grundtallet log0 lne Omvendt unktion log0 0 log lne e ln For unktionerne gælder ølgende regneregler log ln. Produkt loga*b loga + logb lna*b lna + lnb. Brøk a log loga-logb b a ln b lna-lnb 3. Potens loga *loga lna *lna Regnereglerne kan udledes ud ra de tre sætninger, der gælder or logaritmeunktionerne. Beviserne kan udledes på lere orskellige måder, men her er et! loga*b loga + logb loga*b log0 loga *0 logb log0 loga+logb log a + log b Vi benytter at a 0 loga og b 0 logb Vi benytter potensreglen: a p *a n a n+p Vi anvender at log0, hvor vi sætter loga+logb a log loga- logb b Dette kan bevises på præcis samme måde som ovenor, hvor det blot er reglen or divison a potenser, der anvendes! loga:b Vi benytter at a 0 loga og b 0 logb log0 loga :0 logb Vi benytter potensreglen: a p :a n a n-p log0 loga- logb Vi anvender at log0, hvor vi sætter loga-logb log a - log b loga *loga loga log0 loga log0 loga loga Vi benytter a 0 loga Vi benytter potensreglen: 0 n p 0 np Vi benytter; log0 p p Systime mat B Side 4

15 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a produktunktion At bevise: h g h' g'+ ' g Vi ved, at dierenskvotienten hældningen igennem vilkårlige punkter på graen A, og Δ y + Δ B+,+ er bestemt som a Δ Δ Dierenskvotienten bliver til tangenthældningen dvs. dierentialkvotienten når Δ -> 0. Tangenthældning i punktet, lim ' +Δ- Δ 0 Δ Dette skal benyttes, når vi udleder ormlen or, hvordan man dierentierer produktunktioner! Vi ser på h: g a h+δ - h Δ g+δ - *g Δ +Δ g+δ- g Δ Man bestemmer dierenskvotienten ud ra den kendte ormel: Det er dette udtryk, vi tager at på og regner videre på. h er givet som g g Det betyder, vi kan erstatte h med g Vi kan nu gange ind i parenteserne Nu kommer tricket, det man skal huske, det ulogiske osv. PAS PÅ!! Tricket er at sætte noget ind det med rødt og bageter jerne det igen det med grønt, or så giver det jo 0. Vi trækker +Δ g ra og lægger det samme til! +Δ g+δ-+δ g++δ g - g Δ Vi opdeler brøken i. Hvis vi beholder samme nævner, er det ok Δ g+δ-+δ g + +Δ g- g Δ Δ Systime mat B Side 5

16 Kap 5 - beviser - matematikb0 +Δ g+δ-+δ g + +Δ g- g Δ Δ Så sætter vi det, der er ælles i de to led, uden or en parentes remhævet Rød I ørste led er det +Δ. I andet led er det g +Δ g+δ-g + +Δ- g Δ Δ Nu har vi lyttet disse led uden or brøkstregen Alt i alt er vi nu nået rem til: Hældningen a, altså dierenskvotienten a +Δ g+δ-g + +Δ- g Når de to punkter alder næsten sammen, bliver dierenskvotienten til tangentens hældning og dermed dierentialkvotienten Hvis vi lader dette ske i ovennævnte udtryk når vi rem til: h'lim +Δ lim g+δ-g+ lim +Δ- g Δ 0 Δ 0 Δ Δ 0 Δ h g + g Når Δ 0 har vi jo: + Δ->, da + Δ, dermed går mod + 0 dvs.. Det betyder, vi kan erstatte ørste led +Δ med. Vi har deror: Systime mat B Side 6

17 Kap 5 - beviser - matematikb0 Dierentiation a brøk - ej kernesto Dierentialkvotient or brøk Beviset or dierentialkvotienten or en brøkunktion kræver, man husker udenad, hvordan man kommer ra et udtryk til andet. Til eksamen, kan man evt. skrive stikord op, så man hurtigt kan komme i tanke om, hvad man skal. F.eks.:. Fællesnævner.. Fælles brøkstreg. 3. Dividere brøk med tal lyt op 4. Kanin trækkes ind: -gh + gh 0 etc. Vi skal bevise ølgende:!! h!! så er h!!"!!!!!!!"!!!! Vi ved:!!!!!!!!!!!!!!!!!!! lim! samt g! lim! og h! lim! Vi skal altså bevise:!!! Hvis h!! så er h!"#!!!!!!!!!!!!!"#!!!!!!!!!! Vi ser ørst på dierenskvotienten hældningen gennem vilkårlige punkter A, h og B +,h+ på unktionen h.!! Hældningen a kan som bekendt bestemmes som a!!. a.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Vi erstatter h med brøkudtrykket Vi skaer nu ællesnævner FN g g+δ. led ganges med g i tæller og nævner. led ganges med g+δ i tæller og nævner Når vi har ællesnævner kan vi sætte det. på ælles brøkstreg En brøk divideres med et tal således:!!!!!!!!!!!!! :c!!!!!! deror kan Δ lyttes op til g+δ g!!!!! I orhold til det, vi skal nå rem til, så mangler der - i. led Vi lægger også ganget med g til or at kunne lytte g udenor en parentes Systime mat B Side 7

18 Kap 5 - beviser - matematikb0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Når vi lægger noget til, skal vi trække det samme ra på den anden side. leddet Vi trækker altså g ra og lægger det også til Vi har deror nu:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Vi lytter dereter g udenor en parentes i.led og vi lytter udenor i.led. Der ændres ortegn i sidste led -g, da vi har en minusparentes!!!!! Δ lyttes op i begge led, idet der divideres i begge led. Vi splitter brøken op i to.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Vi ser nu ikke længere på dierenskvotienten men dierentialkvotienten tangentens hældning, idet vi lader Δ 0 punkterne alder sammen!"!!!!!!!!!!!!"!!!!!!!!!!!!!!! Δ alder væk, da det jo gå mod nul. g g g!"!!!!!!!!!!!!"!!!!!!!!!!!!!!!!!! h!! så er h!!"!!!!!!!"! Så alt i alt har vi nu:!!! Systime mat B Side 8

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: OKTOBER 07 Michel Mandi (07) Side a 5 Indholdsortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... ASYMPTOTER... 3 VANDRETTE ASYMPTOTER:...

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt..... Funktinsværdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' når er tiden....

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Potenser, rødder og logartime

Potenser, rødder og logartime Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

A U E R B A C H. c h A H

A U E R B A C H. c h A H M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 16 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Optimering af funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Optimering a unktioner a lere variable. udgave 04 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle aledede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere