Grænseværdier og Kontinuitet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Grænseværdier og Kontinuitet"

Transkript

1 Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion Meget små og meget store tal Begrebet uendelig Grænseværdier Uendelig som grænseværdi Grænseværdier for funktioner Eksempler Kontinuitet Kontinuitet og skæringer Asymptoter 23 5 Den præcise definition 26

3 Resumé I dette afsnit går vi løs på grænseværdibegrebet. Til sidst indføres begrebet kontinuitet, og vi ser på hvad det betyder for grænseværdiproblemet. 1 Introduktion Grænseværdier? Puh... Det svarer nogenlunde til at skulle forklare hvordan man kører på cykel: Man kan enten gennemgå alle de teoretiske detaljer om impulsmomenter i hjulene, opbygningen af kuglelejer og kraftoverførsel mellem tandhjulene, eller man kan smide folk op på cyklen og håbe at det går godt af sig selv. Vi vælger en mellemting her, hvor grænseværdibegrebet bliver indført temmeligt intuitivt, men hvor vi alligevel snuser til nogle af de vigtige detaljer undervejs. Som med cyklen er det vigtigste at du kommer i gang med at bruge begrebet. Så skal den dybere forståelse nok komme hen ad vejen. Grænseværdibegrebet hører hjemme i funktionernes verden. Funktioner er den matematiske manifestation af det fænomen at en størrelse afhænger af en anden. Man bør forestille sig situationen, hvor man har total magt over den ene størrelse (den uafhængige størrelse), og kan indstille den til at være præcis hvad man vil, mens den anden størrelse (den afhængige) automatisk ændrer sig når den første gør det. Grænseværdibegrebet opstår præcis når man har en sådan situation og begynder at tale om hvordan små ændringer i den uafhængige størrelse giver ændringer i den afhængige. Mere præcist: Hvis man lidt ad gangen lader den uafhængige størrelse nærme sig en bestemt værdi, hvad sker der så med den afhængige størrelse? side 1

4 Forudsætninger Dokumentet kan forstås uden problemer hvis man har styr på funktionsbegrebet 1. For at forstå eksemplerne skal man desuden kende de basale funktionstyper 2. Indholdet leder direkte videre til et studie af de vigtige begreber differentiation og integration. 1.1 Meget små og meget store tal Vi starter med en lille omvej, nemlig med en type problemer der har drillet mennesker siden talbegrebet opstod. Tænk f.eks. over følgende spørgsmål: Hvad sker der med en positiv talstørrelse hvis man bliver ved med at dividere den med 2, uendeligt mange gange? 3 Svaret er ikke helt oplagt, fordi det viser sig at spørgsmålet slet ikke er præcist nok stillet. Nogle almindelige forsøg på at svare er følgende: 1. Det er fristende at sige at størrelsen må blive uendeligt lille. Men hvad betyder det? Og hvad sker der når man så dividerer en uendeligt lille størrelse med 2? Bliver den endnu mere uendeligt lille? 2. Hvis man er fysiker vil man måske påstå at det slet ikke kan lade sig gøre at blive ved med at dele noget for evigt, fordi alle fysiske størrelser er kvantificerede, dvs. at man til sidst vil nå et atom niveau hvor der ikke kan deles yderligere. Men her er ikke tale om en fysisk størrelse. De reelle tal er et abstrakt begreb som er defineret meget præcist, og det er en direkte konsekvens af definitionen at man kan blive ved med at dele et 1 Læs om funktioner her 2 Læs om funktionstyper her. 3 Der findes tusindvis af varianter af dette problem. En meget berømt variant er Zenon s såkaldte paradoks om Achilleus og skildpadden. Det kan du læse om her. side 2

5 reelt tal med 2 lige så mange gange man har lyst til. Der findes ikke noget positivt reelt tal som er det mindste. 3. Et tredie bud kunne være at størrelsen ganske enkelt bliver til nul på et tidspunkt. Men det er helt forkert, fordi halvdelen af et positivt tal altid er positivt. Ganske vist vil en lommeregner på et tidspunkt nå til grænsen for hvor små tal den kan håndtere og derefter afrunde resultatet til nul. Men det er lommeregneren som laver en fejl, og ikke selve divisionen der giver nul. Det korrekte svar på spørgsmålet er at selve begrebet uendeligt skal bruges mere forsigtigt. Det er rigtigt at man kan blive ved med divisionerne så længe man har lyst, men man når aldrig til uendelig. Det eneste man kan gøre er at nærme sig uendelig. Og hvad der sker der så når man nærmer sig at have divideret uendeligt mange gange med 2? Jo, resultatet vil nærme sig nul uden nogensinde at blive lig med nul. Dette er ideen med grænseværdibegrebet: Vi skal studere fænomener hvor en størrelse nærmer sig eller går imod en teoretisk grænse, og hvor andre størrelser som konsekvens deraf nærmer sig nogle andre grænseværdier. 1.2 Begrebet uendelig I vores diskussioner undervejs vil vi bruge begrebet uendelig så ofte at det skal have sit eget symbol, nemlig: Bemærk dog: er ikke et tal! Man kan aldrig sætte en størrelse til at være lig med, og man kan ikke lægge sammen med Grænseværdier Nu kaster vi os over de fundamentale definitioner. De kommer i en light version her, fordi de rigtige definitioner er meget komplicerede. side 3

6 Læs eventuelt det sidste afsnit i dette dokument hvis du har mod på at se hvor komplicerede, men start her hvis det er første gang du læser om grænseværdier. Alene light udgaven kan være temmeligt svær at fordøje. Definition 1 Vi siger at en talstørrelse, x nærmer sig eller går imod et tal, a R hvis vi (teoretisk set 4 ) på skift lader x være lig hver af værdierne: x 1, x 2, x 3,... hvor disse værdier bliver tættere og tættere på at være lig med a i følgende forstand: Uanset hvilket åbent interval 5 man vælger omkring a, så vil værdierne ligge inden for dette interval fra et eller andet trin og fremefter. Tallet a kaldes i så fald en grænseværdi for x, og vi skriver at x går imod a på følgende måde: x a Bemærkninger Det er betydningen af tættere og tættere som er svær at fordøje. Hvis følgende bemærkninger giver mening, så har du forstået den rigtigt: Værdierne: (1,1), (1,11), (1,111),... nærmer sig ikke 6 517, selvom de kommer tættere på i hvert eneste skridt. Vælger man det åbne interval ]516; 518[ omkring 6 Derimod nærmer disse tal sig det reelle tal 1, 11, bedre kendt som side 4

7 517, så vil værdierne aldrig komme til at ligge inden for dette interval. Værdierne behøver ikke at komme tættere på a i hvert eneste skridt. F.eks. kan værdierne: 1 2, 1 3, 951, 1 4, 1 5, 1 6,... nærme sig nul, også selvom de i tredje skridt smutter helt ud forbi 951. Blot de følger den naturlige udvikling resten af tiden. Værdierne x 1, x 2,...kan umiddelbart godt blive lig med grænseværdien a flere gange undervejs. De må også gerne ligge skiftevist over og under a. F.eks. vil vi sige at tallene: nærmer sig 1. (1,1), 1, (0,99), 1, (0,999), 1, (1,0001),... Nogle gange er vi ikke interesserede i at x ligger skiftevist over og under grænseværdien. Derfor har vi følgende udvidelser af den første definition: Definition 2 Vi siger at en talstørrelse, x nærmer sig eller går imod et tal, a R fra venstre (eller nogle gange: nedefra) hvis alle værdierne, x 1, x 2, x 3,... er mindre end a. At x går imod a fra venstre skrives på følgende måde: x a side 5

8 Definition 3 Vi siger at en talstørrelse, x nærmer sig eller går imod et tal, a R fra højre (eller nogle gange: ovenfra) hvis alle værdierne, x 1, x 2, x 3,... er større end a. At x går imod a fra højre skrives på følgende måde: x a Uendelig som grænseværdi Til sidst skal vi også have muligheden for at bruge som grænseværdi: Definition 4 Vi siger at en talstørrelse x går imod uendelig hvis vi (teoretisk set) på skift lader x være lig hver af værdierne: x 1, x 2, x 3,... hvor disse værdier bliver større og større i følgende forstand: Uanset hvilket tal 7 man vælger, så vil værdierne være større end dette tal fra et eller andet trin og fremefter. At x går imod uendelig skrives på følgende måde: x side 6

9 Definition 5 Tilsvarende siger vi at en talstørrelse x går imod minus uendelig hvis vi (teoretisk set) på skift lader x være lig hver af værdierne: x 1, x 2, x 3,... hvor disse værdier bliver mindre og mindre i følgende forstand: Uanset hvilket tal 8 man vælger, så vil værdierne være mindre end dette tal fra et eller andet trin og fremefter. At x går imod minus uendelig skrives på følgende måde: x Igen er formuleringerne større og større"og mindre og mindre grunden til at definitionerne er svære at fordøje. Læs forklaringen grundigt og test dig selv med følgende opgave: Øvelse 1 Hvilke af følgende værdier går imod enten uendelig eller minus uendelig. (Alle værdierne skal forestille at fortsætte på den logiske måde.) 1. 1, 2, 3, 4, 5, , (1,1), (1,11), (1,111), , 10, 100, 1000, , 10, 100, 10, 100, 1000, 100, 1000, 10000, , 1, 10, 10, 100, 100,... side 7

10 2.2 Grænseværdier for funktioner Nu kommer hele grunden til at tale om grænseværdier: Nemlig hvis f : R R er en funktion, så kan man spørge: Hvad sker der med funktionsværdierne når den variable nærmer sig en grænse? Svaret på dette spørgsmål kan være meget forskelligt, alt efter hvilken funktion der er tale om. Vi vil se på nogle forskellige muligheder i de følgende eksempler. Først definerer vi lige de ord som vi for brug for: Definition 6 Hvis f : R R er en funktion og a og b er reelle tal, så siger vi at 9 : funktionsværdierne f(x) går imod b når x går imod a hvis vi kan lade x gå imod a sådan at værdierne x 1, x 2, x 3,... ligger i definitionsmængden for f, og sådan at de tilsvarende funktionsværdier: f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... nærmer sig b uanset hvordan vi har valgt x 1, x 2, x 3,... Dette skriver man på følgende måde: f(x) b når x a (Bemærk rækkefølgen som man siger de to ting i.) side 8

11 Man omtaler også b som grænseværdien af f(x) for x gående imod a. Dette skrives som: b = lim x a f(x) side 9

12 Bemærkninger Definition 6 giver også mening hvis a eller b (eller begge to) udskiftes med plus eller minus uendelig. Dermed kan man tale om funktioners grænseværdier for x gående mod og. Det kan også forekomme at en funktion har eller som grænseværdi når x nærmer sig en grænse. Kravet: f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... nærmer sig b skal forstås lige som før: Uanset hvilket åbent interval man vælger omkring b, så vil værdierne af f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... ligge inden for dette interval fra et eller andet trin og fremefter. Man kan selvfølgelig aldrig nogensinde tjekke om f(x) b når x a ved at lade x gå imod a på alle tænkelige måder og for hver af disse tjekke at værdierne f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... nærmer sig b. I stedet vil man prøve på at give et generelt argument for at det forholder sig sådan. Det kan du se nogle eksempler på lige om lidt. 2.3 Eksempler Eksempel 1 Betragt funktionen f givet ved: f(x) = x2 + x 2 x 1 Denne funktion er tydeligvis ikke defineret i x = 1, fordi der ville komme til at stå nul i nævneren på brøken. Det giver derfor ikke mening at spørge om hvad f(1) giver. side 10

13 I stedet kan vi prøve at lade x nærme sig 1 som beskrevet i det foregående afsnit. Hvis man prøver at beregne f(x) for værdier af x som ligger meget tæt på 1 (prøv med x = 0,999 eller x = 1,00001, får man hurtigt en mistanke. Det viser sig nemlig at funktionsværdierne er meget tæt på 3. Tegner man grafen for f (se figur 1) bliver mistanken bekræftet. Faktisk kunne man fra starten have skrevet forskriften for f meget simplere, hvis man havde luret at: x 2 + x 2 = (x 1) (x + 2) Derfor er: (x 1) (x + 2) f(x) = = x + 2 x 1 og nu er det helt klart at grafen for f løber langs en ret linje, og at funktionsværdierne nærmer sig = 3 når x nærmer sig 1. Vi kan altså skrive vores konklusion på følgende måde: f(x) 3 for x 1 Øvelse 2 Betragt funktionen f, givet ved: f(x) = sin(x) x Den er naturligvis ikke defineret i x = 0, men vi kunne spørge om der mon var en grænseværdi for f(x) når x nærmer sig nul. Undersøg funktionsværdier f(x) når x nærmer sig nul, og giv et bud på grænseværdien. Tegn derefter grafen for f og se efter om dit første bud virker fornuftigt. side 11

14 5 4 y=f(x) Figur 1: Grafen for funktionen f i eksempel 1 Dette er faktisk en vigtig grænseværdi, og det er en god ide at lære den udenad. Eksempel 2 Betragt funktionen f defineret ved gaffelforskriften: f(x) = { x 2, x > 0 x + 2, x 0 Grafen for denne funktion er angivet på figur 2, og det fremgår at: f(0) = 2 og at f(x) 2, når x 0 side 12

15 Men også at: f(x) 0, når x y=f(x) Figur 2: Grafen for funktionen f i eksempel 2 Eksempel 3 Reciprokfunktionen, f defineret ved: f(x) = 1 x har flere interessante grænseværdier. Når x nærmer sig uendelig, bliver f(x) meget tæt på nul (prøv f.eks. med x = ). Det kan skrives som: f(x) 0, Når x side 13

16 Tilsvarende, når x nærmer sig minus uendelig, bliver f(x) også meget tæt på nul. (Denne gang er funktionsværdierne blot negative). Det kan skrives som: f(x) 0, Når x Derudover sker der noget interessant når x nærmer sig nul. Ved at se på grafen for reciprokfunktionen, kan man se at: f(x), Når x 0 + Og at: f(x), Når x 0 Øvelse 3 Kan du komme i tanker om en funktion f : R R som opfylder at ( ) π f(x), når x 2 og at ( ) π f(x), når x 2 + Eksempel 4 Den naturlige logaritmefunktion er kun defineret i positive tal. (Se grafen på figur 3.) Når x nærmer sig nul fra højre bliver funktionsværdierne meget hurtigt små. Vi kan skrive: ln(x), Når x 0 + side 14

17 Når x bliver meget stor, så vokser logaritmefunktionen ekstremt langsomt. Når f.eks. x = , så er logaritmefunktionen kun nået op på: ln( ) 27,6 Den berømte russiske fysiker Lev Landau har engang udtalt noget i retning af: En kylling er ikke en fugl, og en logaritme går ikke imod uendelig Vistnok i frustration over hvor ufatteligt langsomt logaritmen vokser. Men selvom det går langsomt, så går den naturlige logaritme faktisk imod uendelig når x nærmer sig uendelig. (Ligesom en kylling rent faktisk er en fugl.) Hvis vi f.eks. skal argumentere for at ln(x) kan blive større end 1000, så skal vi blot sætte x til at være 10 x = e 1000 fordi vi så har: ln(x) = ln(e 1000 ) = Kontinuitet Måske har du allerede indset at mange grænseværdispørgsmål kan besvares ved ganske enkelt at sætte grænsepunktet ind i funktionen. F.eks. er der ingen tvivl om at sin(x) 1, når x π 2 side 15

18 y=ln(x) Figur 3: Grafen for den naturlige logaritmefunktion Men hvorfor egentlig? Vi definerer en egenskab som forklarer dette: Definition 7 Hvis f er en funktion, og x 0 er et element i definitionsmængden for f, så siger vi at f er kontinuert i x 0 hvis f(x) f(x 0 ), når x x 0 Hvis f er kontinuert i alle punkter i dens definitionsmængde, så siger man at f er en kontinuert funktion. Bemærkninger f er kontinuert i x 0 hvis funktionsværdien i x 0 og grænseværdien når x nærmer sig x 0 er det samme. side 16

19 Hvis man tænker på grafen for f betyder kontinuitet at grafen hænger sammen (deraf navnet) omkring x 0. For eksempel er funktionen i eksempel 2 ikke kontinuert, fordi den ikke er kontinuert i punktet x 0 = 0. Bemærk dog at den løse formulering at grafen hænger sammen eller at den kan tegnes uden at løfte blyanten slet ikke er præcis nok. Det vil de næste eksempler vise meget tydeligt. Eksempel 5 Funktionen f givet ved: f(x) = tan(x) er kontinuert. Ganske vist kan man ikke tegne dens graf uden at løfte blyanten (grafen laver nogle kæmpe spring hver gang vi passerer... π, π, 3π,... men da f ikke er defineret i disse punkter, kan man slet ikke tale om kontinuitet i dem. I alle punkter hvor f er defineret, hænger grafen pænt sammen. Eksempel 6 Funktionen f givet ved: f(x) = x med den underlige definitionsmængde: Dm(f) = {x R x 1} har en graf som er vist på figur 4. Selv om grafen har et stort spring i midten, er f alligevel kontinuert. Det som sker i endepunkterne side 17

20 er blot at i disse punkter kan x kun nærme sig fra en af siderne. Men når den så gør det, har f en grænseværdi som er lig med funktionsværdien Figur 4: En kontinuert funktion, hvis graf springer Langt de fleste funktioner som vi skal arbejde med er heldigvis kontinuerte. Faktisk er det kun hvis vi laver fjollede gaffelforskrifter at vi kan lave funktioner som ikke er kontinuerte. Dette er dog en langt dybere sandhed end man umiddelbart skulle tro. Følgende sætning ville kræve en meget mere præcis definition af grænseværdibegrebet, og mindst et års intense studier af definitionerne på vores funktioner hvis vi skulle bevise den. Sætning 1 Følgende funktioner er kontinuerte: Alle konstante funktioner. Alle potensfunktioner af typen: f(x) = x a side 18

21 hvor a er en reel konstant. Alle eksponentialfunktioner af typen: f(x) = a x hvor a er en positiv, reel konstant. Alle logaritmer; f(x) = log a (x) hvor a er en positiv, reel konstant. De trigonometriske funktioner: og deres sektioner: cos, sin og tan cos 1, sin 1 og tan 1 Alle summer, differenser, produker, brøker og sammensætninger af ovenstående. Herunder, f.eks. alle polynomier. Selvom vi ikke beviser denne sætning, vil vi bruge den hele tiden, når vi skal udregne grænseværdier. Eksempel 7 Vi vil udregne grænseværdien af funktionen f givet ved: f(x) = x2 cos(π x) + e x x 3 x + 1 når x nærmer sig 1. Da denne funktion er kontinuert, kan vi udside 19

22 regne grænseværdien ved ganske enkelt at indsætte x = 1: lim f(x) = f(1) = 12 cos(π 1) + e 1 x = (1 + e) 3.1 Kontinuitet og skæringer Den anden grund til at vi nævner begrebet kontinuitet er at det er meget vigtigt når vi taler om skæringer mellem funktioners grafer og om ekstremer altså maksima og minima for funktioner. Det viser sig nemlig at de kontinuerte funktioner er til at stole på i følgende forstand. (Igen beviser vi ikke disse sætninger, men vil alligevel tillade os at bruge dem hele tiden.) Sætning 2 (Skæringssætningen) Hvis f er en kontinuert funktion som er defineret på et lukket interval, [a; b] (den må gerne være defineret i andre punkter også), sådan at: og f(a) > 0 f(b) < 0 så findes der et sted, x [a; b] hvor f(x) = 0. Bemærkninger Grunden til at denne sætning hedder skæringssætningen bliver meget klar hvis man forestiller sig grafen for en funktion af den side 20

23 omtalte type. (Se figur 5). Sætningen siger ganske enkelt at hvis en kontinuert funktions graf på et tidspunkt ligger over x-aksen og på et senere tidspunkt ligger under x-aksen, så må den skære x-aksen et sted mellem disse to steder. a b Figur 5: Illustration af skæringssætningen En direkte konsekvens af skæringssætningen er at hvis f og g er to kontinuerte funktioner som er definerede på et lukket interval, [a; b] sådan at og f(a) > g(a) f(b) < g(b) så bliver to to funktioner på et tidspunkt have samme funktionsværdi. Eller sagt med andre ord: Deres grafer vil skære hinanden. side 21

24 Bemærk at dette kan bruges til at konkludere at der findes løsninger til ligninger. Hvis man har en ligningen af formen: f(x) = g(x) hvor f og g er kontinuerte funktioner, og man blot kan finde to punkter x 1 og x 2, hvor venstresiden henholdsvist større og mindre end højresiden, så ved man at der findes en løsning til ligningen et sted imellem x 1 og x 2. Øvelse 4 Giv et argument for at der findes mindst et reelt tal, x, hvor cos(x) = x (Lad være med at prøve at finde dette x ved at løse ligningen.) Sætning 3 (Ekstremalværdisætningen) Hvis f er en kontinuert funktion som er defineret på et lukket interval, [a; b] så er værdimængden for f på dette interval: Vm(f) = {f(x) x [a; b]} et lukket interval. Derfor antager f både en maksimumsværdi og en minimumsværdi på intervallet mellem a og b. side 22

25 Øvelse 5 Giv nogle eksempler på situationer hvor konklusionen i ekstremalsætningen er både rigtig og forkert: 1. Tegn nogle grafer for kontinuerte funktioner som er defineret på lukkede intervaller, og indse at de allesammen har mindst et globalt maksimumssted og mindst et globalt minimumssted på dette interval. 2. Prøv derefter at tegne grafer for nogle funktioner der ikke har nogen ekstremumssteder, og undersøg hvilken af forudsætningerne i ekstremalværdisætningen der ikke er opfyldt. 4 Asymptoter En særlig form for grænseværdier forekommer, når en funktions graf har såkaldte asymptoter. En asymptote er løst sagt en ret linje som grafen lægger sig tæt opad. Mere præcist laver vi følgende definitioner: Definition 8 (Lodret asymptote) Hvis f : R R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen for f at have den lodrette linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 x = a} 1. a ligger uden for definitionsmængden Dm(f). 2. Man kan lade x gå imod a, sådan at x 1, x 2, x 3... ligger i definitionsmængden Dm(f). side 23

26 3. f(x), når x a Bemærk den nummeriske værdi i det sidste krav. Det betyder at vi tillader funktionsværdierne at gå imod enten plus eller minus uendelig, og endda have hver sin grænse fra henholdsvis venstre og højre. Definition 9 (Vandret asymptote) Hvis f : R R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen for f at have den vandrette linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 y = a} f(x) a eller f(x) a eller eventuelt begge dele., når x, når x Eksempel 8 Grafen for reciprokfunktionen, f, givet ved: f(x) = 1 x har y-aksen som en lodret asymptote, og den har x-aksen som vandret asymptote. side 24

27 Definition 10 (Skrå asymptote) Hvis f : R R er en funktion og a og b er reelle tal, så siges grafen for f at have den skrå linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 y = ax + b} f(x) (ax + b) 0 eller f(x) (ax + b) 0 eller eventuelt begge dele., når x, når x Eksempel 9 Grafen for funktionen f givet ved: f(x) = 2x e x har en skrå asymptote i form af den skrå linje givet ved ligningen: y = 2x + 1 Dette er fordi forskellen: f(x) (2x + 1) = (2x e x ) (2x + 1) = e x nærmer sig nul når x går imod uendelig. Der findes en særlig type af funktioner, hvor hvilke det er meget nemt at afgøre om deres grafer har asymptoter. Det er de såkaldte side 25

28 polynomiumsbrøker eller med et fint ord: rationelle funktioner Den præcise definition Dette afsnit er udelukkende taget med for at tilfredsstille de mest nysgerrige, og for at vise præcis hvor svært det er at definere grænseværdibegrebet på en måde som er præcis nok til at man kan arbejde med den. Som nævnt er de foregående formuleringer af grænseværdibegrebet ikke helt præcise nok hvis man skal bevise sætninger om grænseværdier. I virkeligheden definerer man ikke hvad det vil sige at en størrelse går mod en grænse, men kun det samlede begreb: Hvad det vil sige at en funktions værdier nærmer sig en grænse idet den variable nærmer sig en anden grænse. Her er definitionen i al sin rædsel: Definition 11 Hvis f : R R er en funktion og a R, så siger man at f(x) går imod en grænse b når x går imod a, eller skrevet i symboler: f(x) b når x a hvis: ɛ > 0 δ > 0 : x Dm(f) : x a < δ f(x) b < ɛ Dette skal læses som: For ethvert positivt tal 12, ɛ, kan man vælge et andet positivt tal 13, δ, med den egenskab at alle elementer x i definitionsmængden opfylder at hvis de bare er tættere på a end δ, så er funktionsværdien f(x) tættere på b end det ɛ som vi startede 11 Læs om asymtoter til grafer for polynomiumsbrøker her 12 Underforstået: Uanset hvor lille det måtte være. 13 Underforstået: Også meget lille, men afhængigt af hvad ɛ er. side 26

29 med. Løst sagt siger det: Vi kan bringe funktionsværdierne lige så tæt på b som det skal være, alene ved at holde x tilpas tæt på a. Der findes tilsvarende definitioner når den ene eller begge grænserne sættes til at være uendelig. Eksempel 10 Lad os prøve at bevise følgende meget uskyldige påstand: x 2 1, når x 1 bare for at illustrere hvor svært det er at være fuldstændig præcis: Vi betragter funktionen f, givet ved: Vi skal vise at: f(x) = x 2 ɛ > 0 δ > 0 : x R : x 1 < δ f(x) 1 < ɛ Antag derfor at ɛ er et hvilket som helst reelt tal. Uanset hvad ɛ er, kan vi vælge δ til at være mindre end en trediedel af ɛ: δ < ɛ 3 Vi kan samtidigt vælge δ til at være mindre end 1. Hvis vi gør dette, har vi for ethvert x R med x 1 < δ at: og x 1 < ɛ 3 x 1 < 1 Til brug lige om lidt bemærker vi at den sidste information betyder at x ligger mellem 0 og 2, hvilket betyder at x + 1 ligger mellem 1 og 3. side 27

30 Vi kan nu konkludere at så længe x 1 < δ, har vi: f(x) 1 = x 2 1 = (x 1) (x + 1) = x 1 x + 1 < ɛ 3 3 = ɛ Dermed er påstanden bevist. :) side 28

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere