enote 4: Statistik ved simulering Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher
|
|
- Augusta Astrup
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark enote 4: Statistik ved simulering Simulering: Træk tilfældige værdier og beregn statistik mange gange Fejlforplantning (error propagation rules) (F.eks. igennem ikke-lineær funktion) Bootstrapping af konfidensintervaller: Parametrisk (Simuler mange udfald af stokastisk var.) Ikke-parametrisk (Træk direkte fra data) Specifikke setups: (4 versioner af konfidensintervaller) Èn gruppe/stikprøve og to grupper/stikprøver data Parametrisk vs. ikke-parametrisk DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 enote 4: Statistics by simulation Oversigt Simulation: Draw random values and calculate the statistic many times Error propagation rules (e.g. through a non-linear function) Bootstrapping of confidence intervals: Parametric (Simulate many outcomes of random var.) Non-parametric (Draw values directly from data) Specific situations: (4 versions of confidence intervals) One-sample and Two-sample data Parametric vs. non-parametric 1 Eksempel: Areal af plader 2 Introduction to bootstrap One-sample konfidensinterval for µ for en vilkårlig fordeling 3 One-sample konfidensinterval for µ DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
2 Motivation Anvendelser Mange relevant beregningsstørrelser ( computed features ) har komplicerede samplingfordelinger: Medianen Fraktiler generelt, dvs. f.eks. også IQR= Q 3 Q 1 Enhver ikke-lineær function af en eller flere input variable... Data/populations fordelingen kan være ikke-normal, hvilket komplicerer den statistiske teori for selv en simpel gennemsnitsberegning Vi kan håbe på the magic of CLT (Central Limit Theorem), men afhænger af antal samples Stokastisk simulering anvendes mange steder: Trafiksimulering Kø simulering, f.eks. call-center Agent baseret simulering, f.eks. evakuering og markeder Vind- og solenergi... Generelt, kan bruges til at modellere komplekse processer ved generere tilfældige udfald MEN: Nogle gange kan vi ikke være helt sikre på om det er godt nok - simulering kan hjælpe til at verificere! Kræver: Brug af computer - R er et super værktøj til dette! DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 Eksempel: Exponentialfordelingen med λ = 0.5 (Pseudo)tilfældige tal genereret af en computer En tilfældighedsgenerator er en algoritme der kan generere x i+1 ud fra x i En sekvens af tal ser tilfældige ud Kræver en start - kaldet seed (Bruger typisk uret i computeren) Grundlæggende simuleres den uniforme fordeling, og så bruges: Hvis U Uniform(0,1) og F er en fordelingsfunktion for en eller anden sandsynlighedsfordeling, så vil F 1 (U) følge fordelingen givet ved F Uniforme udfald x F(x) = f (t)dt = 1 e 0.5x Exponentielle udfald DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
3 I praksis i R Eksempel: Simuler 100 binomial fordelte værdier De forskellige fordelinger er gjort klar til simulering: rbinom rpois rhyper rnorm rlnorm rexp runif rt rchisq rf Binomialfordelingen Poissonfordelingen Den hypergeometriske fordeling Normalfordelingen Lognormalfordelingen Eksponentialfordelingen Den uniforme(lige) fordeling t-fordelingen χ 2 -fordelingen F-fordelingen ## Sæt et seed for at få samme udfald hver gang set.seed(123) ## 100 realisationer fra binomialfordelingen: ## Antal successer fra 25 trækninger med 0.2 sandsynlighed for succes rbinom(n=100, size=25, prob=0.2) ## Exponential fordelte hist(rexp(n=100, rate=2), prob=true) ## Plot the theoretical pdf xseq <- seq(0,10,len=1000) lines(xseq, dexp(xseq, rate=2)) DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 Eksempel: Areal af plader Eksempel: Areal af plader Eksempel: Areal af plader Eksempel: Areal af plader En virksomhed producerer rektangulære plader Bredden X af pladerne (i meter) antages at kunne beskrives med en normalfordeling N(2, ) og længden Y af pladerne (i meter) antages at kunne beskrives med en normalfordeling N(3, ) Man er interesseret i arealet, som jo så givet ved A = XY Spørgsmål som kan stilles er f.eks.: Hvor ofte sådanne plader har et areal, der afviger mere end 0.1m 2 fra de 6m 2? Sandsynligheden for andre mulige hændelser? Generelt: Hvad er sandsynlighedsfordelingen for A? Hvor ofte sådanne plader har et areal, der afviger mere end 0.1m 2 fra de 6m 2? Løsning ved simulering: ## Antal simuleringer k = ## Simuler længderne af siderne x = rnorm(k, 2, 0.01) y = rnorm(k, 3, 0.02) ## Beregn arealet for hver simulering area = x*y ## Beregn statistikker ## (stikprøve)gennemsnit mean(area) ## (stikprøve)spredning sd(area) ## Fraktion af arealer afviger mere end 0.1 sum(abs(area-6) > 0.1) / k DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
4 Fejlophobning - ved lineær approksimation Spørgsmål om hvilken metode til beregning af varians (socrative.com - ROOM:PBAC) Vi har n stokastiske variabler X 1,X 2,...,X n og kender deres varianser σ 2 1,σ2 2,...,σ2 n Og vil finde variansen af en funktion af dem σ 2 f (X 1,...,X n) = Var( f (X 1,...,X n ) ) Vi kender allerede regneregel for lineære funktioner (Theorem 2.53) σf 2 n (X 1,...,X = n) a 2 i σi 2 hvis f (X 1,...,X n ) = i=1 Method 4.6: for ikke-lineære funktioner σf 2 n ( ) f 2 (X 1,...,X n) σi 2 i=1 x i n i=1 a i X i Hvordan beregnes: Var(2 2 X Y)? A: Som lineær funktion B: Som ikke-lineær funktion C: Ved ikke Svar: A: Som lineær funktion (Regneregel: Theorem 2.53 Mean and variance of linear combinations) Hvordan beregnes: Var(X + Y 1 )? A: Som lineær funktion B: Som ikke-lineær funktion C: Ved ikke Svar: B: Som ikke-lineær funktion (Brug error propagation eller simulation) DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 Eksempel: Varians af areal (ikke-lineære fejlophobningslov) Eksempel: Varians af areal (ikke-lineære fejlophobningslov) Vi har allerede brugt eksemplet med areal af en plade Nu spørger vi: Hvad er fejlen på A = = 6.00 m 2 fundet ved den ikke-lineærefejlophobningslov? Varianserne er σ 2 X = Var(X) = og σ 2 Y = Var(Y) = Funktionen og de partielt afledte er f (x,y) = xy, f x = y, f y = x Så resultatet bliver ( ) f 2 ( ) f 2 Var(A) σx 2 + σy 2 x y = y 2 σ 2 X + x 2 σ 2 Y = = DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
5 Fejlophobning - ved simulering Eksempel: Varians af areal (Simulering) Method 4.7: Error propagation by simulation Assume we have actual measurements x 1,...,x n with known/assumed error variances σ 2 1,...,σ2 n. 1 Simulate k outcomes of all n measurements from assumed error distributions, e.g. N(x i,σ 2 i ): X(j) i,j = 1...,k 2 Calculate the standard deviation directly as the observed standard deviation of the k simulated values of f s sim f (X 1,...,X = 1 k n) k 1 (f j f ) 2 where i=1 f j = f (X (j) 1,...,X(j) n ) Beregn variansen af arealet med simulering: k = ## Simuler længderne af siderne x = rnorm(k, 2, 0.01) y = rnorm(k, 3, 0.02) ## Beregn arealet for hver simulering area = x*y ## Beregn variansen af de simulerede arealer var(area) DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 Eksempel: Varians af areal (Teoretisk udledning) Areal-eksempel et summary Faktisk kan man finde variansen for A = XY teoretisk [ Var(XY) = E (XY) 2] [E(XY)] 2 = E(X 2 )E(Y 2 ) E(X) 2 E(Y) 2 [ = Var(X) + E(X) 2][ Var(Y) + E(Y) 2] E(X) 2 E(Y) 2 = Var(X)Var(Y) + Var(X)E(Y) 2 + Var(Y)E(X) 2 = = = Tre approaches til beregning af varians af ikke-lineær funktion: 1 Den analytiske, men approksimative, fejlophobningslov (error propagation metode) 2 Simuleringsbaseret 3 Teoretisk udledning Simulering har en række fordele: 1 Det er en simpel måde at beregne andre størrelser end standardafvigelsen (som kan være mere komplicerede, f.eks. udtryk sværere at differentiere) 2 Det er en simpel måde at bruge andre fordelinger end normalfordelingen 3 Det afhænger ikke af en lineær approksimation (som error propagation) til den underliggende ikke-lineære funktion DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
6 Bootstrapping Introduction to bootstrap One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Konfidensinterval for middelværdien i en Bootstrapping findes i to versioner: 1 Parametrisk bootstrap: Simuler gentagne samples fra en antagede (og estimerede) fordeling. 2 : Simuler gentagne samples direkte fra data. Antag at vi har observeret følgende 10 opkaldsventetider (i sekunder) i et call center 32.6, 1.6, 42.1, 29.2, 53.4, 79.3, 2.3, 4.7, 13.6, 2.0 Vi estimerer fra data (eksponential fordelingen har en parameter raten) ˆµ = x = og dermed er raten: ˆλ = 1/26.08 = Vores fordelingsantagelse Ventetiderne kommer fra en Hvad er konfidensintervallet for µ? Baseret på tidligere indhold i dette kursus: Det ved vi ikke! DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Konfidensinterval for middelværdien i en One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Konfidensinterval for middelværdien i en ## Sæt seed hvis sammen resultat ønskes set.seed( ) ## Første gang: Simuler 10 observationer og beregn gennemsnit simsample <- rexp(10, 1/26.08) mean1 <- mean(simsample) ## Anden gang: Simuler 10 observationer og beregn gennemsnit simsample <- rexp(10, 1/26.08) mean2 <- mean(simsample) ## Tredje gang: Simuler 10 observationer og beregn gennemsnit simsample <- rexp(10, 1/26.08) mean3 <- mean(simsample) k < ## 1. Simulate 10 exponentials k times and keep in a matrix: set.seed( ) simsamples <- replicate(k, rexp(10, 1/26.08)) ## 2. Compute the mean of the 10 simulated observations k times: simmeans <- apply(simsamples, 2, mean) ## 3. Find the two relevant quantiles of the k simulated means: quantile(simmeans, c(0.025, 0.975)) ## 2.5% 98% ## ## Gør det gange! Alright, det må kunne gøres smartere!! DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
7 One-sample konfidensinterval for µ Example: Konfidensinterval for middelværdien i en Eksempel: Konfidensinterval for medianen i en hist(simmeans, col="blue", nclass=30) Histogram of simmeans Antag at vi har observeret følgende 10 opkaldsventetider (i sekunder) i et call center Frequency , 1.6, 42.1, 29.2, 53.4, 79.3, 2.3, 4.7, 13.6, 2.0 Vi estimerer fra data Median = 21.4 og ˆµ = x = Vores fordelingsantagelse Ventetiderne kommer fra en Hvad er konfidensintervallet for medianen? Baseret på tidligere indhold i dette kursus: Det ved vi ikke! DTU Compute 20 Introduktion40til Statistik Forår / 54 simmeans DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 Eksempel: Konfidensinterval for medianen i en Eksempel: Konfidensinterval for medianen i en k < ## 1. Simulate 10 exponentials with the right mean k times: set.seed( ) simsamples <- replicate(k, rexp(10, 1/26.08)) ## 2. Compute the median of the n=10 simulated observations k times: simmedians <- apply(simsamples, 2, median) ## 3. Find the two relevant quantiles of the k simulated medians: quantile(simmedians, c(0.025, 0.975)) expex2.6, results= asis, purl=true hist(simmedians, col= blue, ## 2.5% 98% ## 7 38 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
8 Papirkuglekast One-sample konfidensinterval for µ One-sample konfidensinterval for µ 1 Klargør papirkugler 2 Prøv at ramme ned i papkassen 3 KAST UAFHÆNGIGT AF DE ANDRE! 4 Vent til Peder siger go Pause :) DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 One-sample konfidensinterval for µ Konfidensinterval for en vilkårlig beregningsstørrelse One-sample konfidensinterval for µ Et andet eksempel: 99% konfidensinterval for Q 3 for en normalfordeling Method 4.10: Confidence interval for any feature θ by parametric bootstrap Assume we have actual observations x 1,...,x n and assume that they stem from some probability distribution with density f. 1 Simulate k samples of n observations from the assumed distribution f where the mean a is set to x. 2 Calculate the statistic ˆθ in each of the k samples ˆθ 1,..., ˆθ k. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q 100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [q 100(α/2)%, q 100(1 α/2)% a And otherwise chosen to match the data as good as possible: Some distributions have more than just a single mean related parameter, e.g. the normal or the log-normal. For these one should use a distribution with a variance that matches the sample variance of the data. Even more generally the approach would be to match the chosen distribution to the data by the so-called maximum likelihood approach ] x <- c(168, 161, 167, 179, 184, 166, 198, 187, 191, 179) n <- length(x) ## Define a (upper-quartile) Q3-function: Q3 <- function(x){ quantile(x, 0.75)} ## Set the number of simulations: k < ## 1. Simulate k samples of n=10 normals with the right mean and variance: set.seed( ) simsamples <- replicate(k, rnorm(n, mean(x), sd(x))) ## 2. Compute the Q3 of the n=10 simulated observations k times: simq3s <- apply(simsamples, 2, Q3) ## 3. Find the two relevant quantiles of the k simulated medians: quantile(simq3s, c(0.005, 0.995)) ## 0.5% 100% ## DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
9 for en vilkårlig fordeling Two-sample konfidensinterval for en vilkårlig feature sammenligning θ X θ Y (inkl. µ X µ Y ) for en vilkårlig fordeling Eksempel: Konfidensinterval for the forskellen mellem to exponentielle middelværdier Method 4.13: Two-sample confidence interval for any feature comparison θ X θ Y by parametric bootstrap Assume we have actual observations x X,...,x n and y X,...,y n and assume that they stem from some probability distributions with density f X and f Y. 1 Simulate k sets of 2 samples of n X and n Y observations from the assumed distributions setting the means a to ˆµ X = x and ˆµ Y = ȳ, respectively. 2 Calculate the difference between the features in each of the k samples ˆθ x1 ˆθ y1,..., ˆθ xk ˆθ yk. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q 100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [q 100(α/2)%, q 100(1 α/2)% ] x <- c(32.6, 1.6, 42.1, 29.2, 53.4, 79.3, 2.3, 4.7, 13.6, 2.0) ## Day 2 data: y <- c(9.6, 22.2, 52.5, 12.6, 33.0, 15.2, 76.6, 36.3, 110.2, 18.0, 62.4, 10.3) ## Keep sample sizes n1 <- length(x) n2 <- length(y) a As before DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 for en vilkårlig fordeling for en vilkårlig fordeling Eksempel: Konfidensinterval for the forskellen mellem to exponentielle middelværdier Papirkuglekast k < ## 1. Simulate k samples of each n1=10 and n2=12 ## exponentials with the right means: set.seed( ) simxsamples <- replicate(k, rexp(n1, 1/mean(x))) simysamples <- replicate(k, rexp(n2, 1/mean(y))) ## 2. Compute the difference between the simulated ## means k times: simdifmeans <- apply(simxsamples, 2, mean) - apply(simysamples, 2, mean) ## 3. Find the two relevant quantiles of the ## k simulated differences of means: quantile(simdifmeans, c(0.025, 0.975)) 1 Klargør papirkugler 2 Prøv at ramme ned i papkassen 3 KAST UAFHÆNGIGT AF DE ANDRE! 4 NU MED DET ENE ØJE LUKKET 5 Vent til Peder siger go ## 2.5% 98% ## DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
10 Parametrisk bootstrap - et overblik for en vilkårlig fordeling - et overblik Vi antager en fordeling! Der er parametre i en fordeling, derfor parametrisk bootstrap To konfidensinterval-metodeboxe blev givet: One-sample Two-sample For any feature Method 4.10 Method 4.13 Vi antager IKKE noget om nogen fordelinger! Altså der er ingen parametre, derfor ikke-parametrisk bootstrap To konfidensinterval-metodeboxe bliver givet: One-sample Two-sample For any feature Method 4.18 Method 4.20 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug I et studie undersøgte man kvinders cigaretforbrug før og efter fødsel Man fik følgende observationer af antal cigaretter pr. dag: før efter før efter Sammenlign før og efter! Er der sket nogen ændring i gennemsnitsforbruget! Et parret t-test setup, MEN med tydeligvis ikke-normale data! x1 <- c(8, 24, 7, 20, 6, 20, 13, 15, 11, 22, 15) x2 <- c(5, 11, 0, 15, 0, 20, 15, 19, 12, 0, 6) ## Calculate the difference dif <- x1 - x2 dif ## [1] ## And the sample mean mean(dif) ## [1] 5.3 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
11 One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug - bootstrapping One-sample konfidensinterval for µ Eksempel: Kvinders cigaretforbrug - de ikke-parametriske bootstrap resultater: ## Resample from the several times sample(dif, replace = TRUE) ## [1] sample(dif, replace = TRUE) ## [1] sample(dif, replace = TRUE) ## [1] sample(dif, replace = TRUE) simsamples = replicate(k, sample(dif, replace = TRUE)) ## Take the mean for every resample simmeans = apply(simsamples, 2, mean) ## Take the two quantiles to get the confidence interval quantile(simmeans, c(0.025,0.975)) ## 2.5% 98% ## ## [1] sample(dif, replace = TRUE) ## [1] DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 One-sample konfidensinterval for en vilkårlig feature θ (inkl. µ) Eksempel: Kvinders cigaretforbrug Method 4.18: Confidence interval for any feature θ by non-parametric bootstrap Assume we have actual observations x 1,...,x n. 1 Simulate k samples of size n by randomly sampling among the available data (with replacement) 2 Calculate the statistic ˆθ in each of the k samples ˆθ 1,..., ˆθ k. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q 100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [q 100(α/2)%, q 100(1 α/2)% ] Lad os finde 95% konfidensintervallet for ændringen af median cigaretforbruget k = simsamples = replicate(k, sample(dif, replace = TRUE)) ## Take the median for each resample simmedians = apply(simsamples, 2, median) ## Take the two quantiles to get the confidence interval quantile(simmedians, c(0.025,0.975)) ## 2.5% 98% ## -1 9 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
12 Eksempel: Tandsundhed og flaskebrug Eksempel: Tandsundhed og flaskebrug - et 95% konfidensinterval for µ X µ Y I et studie ville man undersøge, om børn der havde fået mælk fra flaske som barn havde dårligere eller bedre tænder end dem, der ikke havde fået mælk fra flaske. Fra 19 tilfældigt udvalgte børn registrerede man hvornår de havde haft deres første tilfælde af karies. Find konfidensintervallet for forskellen! flaske alder flaske alder flaske alder nej 9 nej 10 ja 16 ja 14 nej 8 ja 14 ja 15 nej 6 ja 9 nej 10 ja 12 nej 12 nej 12 ja 13 ja 12 nej 6 nej 20 ja 19 ja 13 x <- c(9,10,12,6,10,8,6,20,12) ## Reading in yes group: y <- c(14,15,19,12,13,13,16,14,9,12) ## Resample many times k < simxsamples <- replicate(k, sample(x, replace = TRUE)) simysamples <- replicate(k, sample(y, replace = TRUE)) ## Take the mean for each time and subtract simmeandifs <- apply(simxsamples, 2, mean) - apply(simysamples, 2, mean) ## Take the two quantiles to get the confidence interval quantile(simmeandifs, c(0.025,0.975)) ## 2.5% 98% ## DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 Two-sample konfidensinterval for θ X θ Y (inkl. µ X µ Y ) med ikke-parametrisk bootstrap Eksempel: Tandsundhed og flaskebrug - et 99% confidence interval for median-forskellen Method 4.20: Two-sample confidence interval for θ X θ Y by non-parametric bootstrap Assume we have actual observations x 1,...,x n and y 1,...,y n. 1 Simulate k sets of 2 samples of n X and n Y observations from the respective groups (with replacement) 2 Calculate the difference between the features in each of the k samples ˆθ x1 ˆθ y1,..., ˆθ xk ˆθ yk. 3 Find the 100(α/2)% and 100(1 α/2)% quantiles for these, q 100(α/2)% and q 100(1 α/2)% as the 100(1 α)% confidence interval: [q 100(α/2)%, q 100(1 α/2)% ] k < simxsamples <- replicate(k, sample(x, replace = TRUE)) simysamples <- replicate(k, sample(y, replace = TRUE)) ## Take the difference in medians simmediandiffs <- apply(simxsamples, 2, median)- apply(simysamples, 2, median) ## Take the two quantiles to get the confidence interval quantile(simmediandiffs, c(0.005,0.995)) ## 0.5% 100% ## -8 0 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
13 Bootstrapping - et overblik Vi har fået 4 ret ens forskellige metode-bokse: 1 Med eller uden fordeling (parametrisk eller ikke-parametrisk) 2 For one- eller two-sample analyse (en eller to grupper) Midtvejsevaluerings resultater:?? Bemærk: Middelværdier (means) er inkluderet i vilkårlige beregningsstørrelser (other features). Eller: Disse metoder kan også anvendes for andre analyser end for means! Hypotesetest også muligt Vi kan udføre hypotese test ved at kigge på konfidensintervallerne! DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54 Oversigt 1 Eksempel: Areal af plader 2 Introduction to bootstrap One-sample konfidensinterval for µ for en vilkårlig fordeling 3 One-sample konfidensinterval for µ DTU Compute Introduktion til Statistik Forår / 54
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereKapitel 4: Statistik ved simulering. Kursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik.
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereKursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mere1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote 2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Building 303B, Room 017 Danish Technical University 2800 Lyngby
Læs mereForelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)
Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereKursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 16. august 2015 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, 02402 og 02593) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereOversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 8: Simpel lineær regression. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereBasic statistics for experimental medical researchers
Basic statistics for experimental medical researchers Sample size calculations September 15th 2016 Christian Pipper Department of public health (IFSV) Faculty of Health and Medicinal Science (SUND) E-mail:
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 20. august 2017 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323 og 02402) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Oversigt 1 Motiverende eksempel - energiforbrug 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereAlmindelige kontinuerte fordelinger
Almindelige kontinuerte fordelinger Den uniforme fordeling Symbol: X Uniform a,b Beskrivelse: Et tilfældigt tal mellem a og b. Støtte: V X a, b. Tæthedsfunktion: f x 1/ b a for x a,b Fordelingsfunktion:
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereenote 3: Hypotesetests for én gruppe/stikprøve Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Hypotesetest, power og modelkontrol - one sample Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 10: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereR i 02402: Introduktion til Statistik
R i 02402: Introduktion til Statistik Per Bruun Brockhoff DTU Informatik, DK-2800 Lyngby 20. juni 2011 Indhold 1 Anvendelse af R på Databar-systemet på DTU 5 1.1 Adgang......................................
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereOversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereenote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt
enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereResumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver
Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2 Københavns Universitet Susanne Ditlevsen og Helle Sørensen R opgaver Det er en god ide at vænne sig til at skrive kommandoerne i en editor
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mere