Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger"

Transkript

1 Kursus Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Oversigt 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Oversigt Intro Nogle anvendte fordelinger Intro 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) (Både kontinuerte og diskerete) Diskrete: Binomial fordelingen Den hypergeometriske fordeling Poisson fordelingen Kontinuerte: Normal fordelingen Log-Normal fordelingen Uniform fordelingen Eksponential fordelingen Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

2 Oversigt Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) I bogen: { 1 f(x) = β e x/β x > 0, β > 0 0 ellers I R: { λe xλ x > 0, λ > 0 f(x) = 0 ellers hvor λ = 1/β. En stokastisk variabel X der følger en eksponential fordeling skrives som: X Exp(β) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksponential fordelingen Eksponentialfordelingen Eksponential fordelingen Sammenhæng mellem Eksponential og Poisson fordelingen Eksponential fordelingen er et special tilfælde af Gamma fordelingen Eksponential fordelingen anvendes f.eks. til at beskrive levetider og ventetider Eksponential fordelingen kan bruges til at beskrive (vente)tiden mellem hændelser i poisson fordelingen Middelværdi µ = β Varians σ 2 = β 2 Poisson: Diskrete hændelser pr. enhed Eksponential: Kontinuert afstand mellem hændelser t 1 t 2 tid t Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

3 Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen Eksponential fordeling med β= EXP(1) Eksponential fordelingen middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Hvad er sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter? Taethed, f(x) x Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 - løsning Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen exp(2) middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Hvad er sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter? Stokastisk variabel: X = ventetid [min] µ X = 2 β = 2; X Exp(β = 2) Find: P (ventetiden > 2min) = P (X > 2) = 1 P (X < 2) tæthed x Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

4 Eksponential fordelingen - løsning i hånden - løsning i R Eksponential fordelingen Find: P (ventetiden > 2 min) = P (X > 2) = 1 P (X < 2), hvor X Exp(2) I hånden: P (X > 2) = 1 P (X < 2) = f(x) dx = 1 0 β e x/β dx = e x/2 dx = 1 [ e x/2 ] 2 0 = 1 ( e 1 + e 0 ) = e Find: P (ventetiden > 2 min) = P (X > 2) = 1 P (X < 2), hvor X Exp(2) 1 - pexp(q = 2, rate = 1/2) ## [1] pexp(q = 2, rate = 1/2, lower.tail = FALSE) ## [1] exp(-1) ## [1] Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

5 Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? I gennemsnit 1 besøg pr. 2 min λ 2min = 1. Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? I gennemsnit 1 besøg pr. 2 min λ 2min = 1. 3 Find P (X = 0), hvor X Pois(λ 2min = 1): Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? I gennemsnit 1 besøg pr. 2 min λ 2min = 1. 3 Find P (X = 0), hvor X Pois(λ 2min = 1): P (X = 0) = λx e λ x! = 10 e 1 0! = e Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

6 Eksempel 2 - løsning i R Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 Eksponential fordelingen Eksempel 3 Find P (X = 0), hvor X Pois(λ 2min = 1): dpois(x = 0, lambda = 1) middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen ## [1] Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 3 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 3 middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen 1 Når 2 min. intensiteten er 1, hvad er så 10 min. intensiteten? Eksempel 3 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 3 middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen 1 Når 2 min. intensiteten er 1, hvad er så 10 min. intensiteten? I gennemsnit 5 besøg pr. 10 min. λ 10min = 5 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

7 Eksempel 3 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 3 Oversigt Regneregler for stokastiske variable middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen 1 Når 2 min. intensiteten er 1, hvad er så 10 min. intensiteten? I gennemsnit 5 besøg pr. 10 min. λ 10min = 5 2 Find: P (X = 0), hvor X Pois(λ 10min = 5): P (X = 0) = λx e λ x! = 50 e 5 0! = e Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Regneregler for stokastiske variable Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. (Gælder BÅDE kontinuert og diskret) Vi antager at a og b er konstanter, at X er en stokastisk variabel og at Y = ax + b. Vi er nu interesserede i at finde E(Y ) og V ar(y ). Da gælder nu at Beregn middelværdi og varians for Y = 3X + 2 E(Y ) = E(aX + b) = ae(x) + b V ar(y ) = V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

8 Eksempel 4 - løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 4 - løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Beregn middelværdi og varians for Y = 3X Vi kender altså E(X) = 4 og V ar(x) = 6 samt Y = ax + b, hvor a = 3 og b = 2. En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Beregn middelværdi og varians for Y = 3X Vi kender altså E(X) = 4 og V ar(x) = 6 samt Y = ax + b, hvor a = 3 og b = 2. 2 Find nu E(Y ) og V ar(y ): E(Y ) = ae(x) + b = ( 3)4 + 2 = 10 V ar(y ) = a 2 V ar(x) = ( 3) 2 6 = 59 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 5 Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Følgende linear kombinationer gælder: E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) a n E(X n ) Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet V ar(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 2 1V ar(x 1 ) a 2 nv ar(x n ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

9 Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. 2 Hvilken sandsynlighed er vi interesseret i? 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. 2 Hvilken sandsynlighed er vi interesseret i? P (Y > 4000) = 1 P ( Z < 4000 µ Y σ Y ), Z N(0, 1 2 ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

10 Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. 2 Hvilken sandsynlighed er vi interesseret i? P (Y > 4000) = 1 P ( Z < 4000 µ Y σ Y ), Z N(0, 1 2 ) 3 Vores opgave er nu: Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) FORKERT! 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

11 Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) FORKERT! 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Option 2: Derfor: E(Y ) = 1E(X 1 ) + 1E(X 2 ) E(X 55 ) = 55 i=1 1E(X i ) = = 3850 V ar(y ) = 1 2 V ar(x 1 ) V ar(x 2 ) V ar(x 55 ) 55 = V ar(x i ) = = 5500 i=1 P (Y > 4000) = 1 P ( ) Eksempel 5 - FORKERT løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 5 - FORKERT løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) FORKERT! 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Option 1: FORKERT! Derfor: E(Y ) = 55E(X) = = 3850 V ar(y ) = 55 2 V ar(x) = = P (Y > 4000) = 1 P Stor overvurdering af variansen! ( ) Eksempel 5 i R Korrekt løsning (option 2): 1 - pnorm(( )/sqrt(5500)) ## [1] ## eller: 1 - pnorm(q = 4000, mean = 3850, sd = sqrt(5500)) ## [1] Forkert løsning (option 1): 1 - pnorm(( )/550) ## [1] ## eller pnorm(q = 4000, mean = 3850, sd = 550, lower.tail = FALSE) ## [1] Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

12 Eksempel 6 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Fortjenesten: Y = 120kr/passager X passagerer = 120X [kr] Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Fortjenesten: Y = 120kr/passager X passagerer = 120X [kr] 2 Derfor: E(Y ) =120 E(X) = = V ar(y ) =120 2 V ar(x) = = Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

13 Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Fortjenesten: Y = 120kr/passager X passagerer = 120X [kr] 2 Derfor: Eksempel 7 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? E(Y ) =120 E(X) = = V ar(y ) =120 2 V ar(x) = = Sandsynligheden for Y > : P (Y > ) = 1 P ( Z < ) % Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: 1 Hvilken fordeling følger antal sten pr. 10m 3? 2 Hvor mange sten ville jeg forvente (i gennemsnit) i 10m 3? Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

14 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: 1 Hvilken fordeling følger antal sten pr. 10m 3? Poisson fordeling 2 Hvor mange sten ville jeg forvente (i gennemsnit) i 10m 3? Jeg forventer sten m 1 = 5 sten 10m 3 λ 10m 3 = 5 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: 1 Hvilken fordeling følger antal sten pr. 10m 3? Poisson fordeling 2 Hvor mange sten ville jeg forvente (i gennemsnit) i 10m 3? Jeg forventer sten m 1 = 5 sten λ 10m 3 10m 3 = 5 Altså: Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Løsning: P (X 11) = 1 P (X 10), X Pois(λ 10m 3 = 5) 1.37% Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

15 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Løsning: P (X 11) = 1 P (X 10), X Pois(λ 10m 3 = 5) 1.37% Jeg føler mig snydt! Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Løsning: P (X 11) = 1 P (X 10), X Pois(λ 10m 3 = 5) 1.37% Jeg føler mig snydt! I R: 1 - ppois(q = 10, lambda = 5) ## [1] Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Oversigt Transformationer Transformationer Transformationer 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Såfremt data afviger fra at være normal fordelt, kan man ofte med fordel transformere data, således at de transformerede data kan antages at være normal fordelt. Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

16 Transformationer - Før Transformationer Transformationer - Efter Transformationer Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Transformationer Hyppigt anvendte transformationer Transformationer Transformationer Gør store værdier mindre: log e x eller log 10 x x 1 x x 1/4 Gør store værdier større: x 2 x 3 Ofte vil man udføre statistiske analyser på de transformerede data, såfremt det viser sig, at de transformerede data er pænere, f.eks. mere symmetriske. Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

17 Normalplot Normalplot Oversigt Normalplot 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer Man kan kontrollere/undersøg om data ser ud til at være normalfordelt: Plotte histogram Lave box plots Lave et normalplot: En direkte sammenligning med normalfordelingen 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Normalplot Normalplot eksempel fra bogen Normalplot med R Normalplot Er data normalfordelte? Data: 67, 48, 76, 81 Plot fraktiler i normalfordelingen versus de ordnede data. Ligger observationerne på en ret linje? ## Bogens normalplot: x <- c(67, 48, 76, 81) n <- length(x) i <- 1:n p_i <- i/(n + 1) plot(qnorm(p_i), sort(x)) sort(x) qnorm(p_i) Er data normalfordelte? R bruger en lidt anden definition af p i qqnorm(x) ## R bruger: p_i <- (i - 1/2)/n # n >= 11 p_i <- (i - 3/8)/(n + 1/4) # n <= 10 q_i <- qnorm(p_i) points(q_i, sort(x), col = "blue", cex = 2) Sample Quantiles Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

18 Oversigt R (R Note afsnit 5 ) R (R note 5) R (R Note afsnit 5 ) 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) R Betegnelse norm Normalfordelingen unif Den uniforme fordeling lnorm Log-normalfordelingen exp Exponentialfordelingen d Tæthedsfunktion f(x) (density/probability distribution). p Fordelingsfunktion F (x) (cumulative distribution function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Tilfældige tal fra fordelingen (Forelæsning 10). Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 R (R Note afsnit 5 ) Oversigt 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter.

Eksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1 Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik

Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:

Ex µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel: Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 18. august 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 18. august 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 8. august 06 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Almindelige kontinuerte fordelinger

Almindelige kontinuerte fordelinger Almindelige kontinuerte fordelinger Den uniforme fordeling Symbol: X Uniform a,b Beskrivelse: Et tilfældigt tal mellem a og b. Støtte: V X a, b. Tæthedsfunktion: f x 1/ b a for x a,b Fordelingsfunktion:

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4 0202 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel Hjemmeopgaver Vejledende løsning.2 Eksperimentet kan beskrives ved binomialfordelingen, X b(x; n, p), hvor n = og p = 1 2. Dermed kan man

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable

Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen

Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Kiosk-modellen (News vendor s model) og EOQ modellen Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet September 17, 2014 1/15 Stokastiske modeller i økonomi Fundamentale modeller i

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver

Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2 Københavns Universitet Susanne Ditlevsen og Helle Sørensen R opgaver Det er en god ide at vænne sig til at skrive kommandoerne i en editor

Læs mere

Repetition Stokastisk variabel

Repetition Stokastisk variabel Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere