Kortprojektioner L mm Problemformulering
|
|
- Max Thøgersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kortprojektioner L mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
2 Kursusholder Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G2-117 math.aau.dk fajstrup Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
3 Kursusoversigt 1.mm Problemformulering 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort - første fundamentalform og forvanskninger. 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. 4.mm Stereografisk projektion, Mercatorprojektion og Transversale Mercator projektioner, UTM, DKTM 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion.SYSTEM 1934 GI 6.mm : Referencesystemer. Datum. Koordinattransformation. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
4 Arbejdsform Forelæsninger - to timer Øvelser: Opgaveregning Arbejd hjemme (eller i grupperne) med Litteraturen Repetitionsopgaver. Regnes før en kursusgang - gymnasiestof eller fra første studieår) Tre større opgaver, som er udgangspunkt for eksamen (sammen med tre opgaver fra Rasmus del af kurset.) Øvelsesopgaver, I ikke nåede, eller regner forud. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
5 Idag 1.mm Problemformulering Modellering af Jorden. Hvorfor og hvordan Egenskaber ved det ideelle kort: afstandstro, vinkeltro, arealtro mv. Forvanskninger er uundgåelige: sfærisk excess Projektioner og afbildninger på plan, kegle og cylinder Geografiske koordinater Planprojektioner: Ortografisk, gnomisk, stereografisk Cylinderprojektioner: Central, Lambert (Archimedes), Mercator Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
6 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
7 Nye projektioner for Danmark. KMS, 1. marts 2006: Danmark skifter Koordinat og Højdesystem i 2006 KMS, 18. febr. 2009: Danmark har skiftet koordinat- og højdesystem Nyeste status er, at 95 kommuner anvender det nye koordinatsystem, UTM/ETRS89, og 3 er igang med at lægge om. Det nye højdesystem, DVR90, anvendes nu af 96 kommuner og 1 kommuner er igang med at lægge om. KMS, 2. marts 2009: Forslag til nyt koordinatsystem DKTM/ETRS89 til bygge- og anlægsbranchen Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
8 Nye projektioner KMS 2.oktober 2009 Nyhedsbrev om DKTM/ETRS89 KMS har udsendt 1. nyhedsbrev om DKTM/ETRS89 om status for systemet efter høringsrunden i forået Nyhedsbrevet er ledsaget af en kort introduktion for brugere af DKTM, KMS 24. marts 2010 Ny version af KMSTrans og KMSTrLib KMSTrans og KMSTrLib håndterer nu DKTM/ETRS89. Find de nye versioner her. KMS 28. maj 2010 Flyer om DKTM (Dansk Transversal Mercator) KMS maj 2011 : DKTM i MIA m.v. KMS 2. februar 2012 Ny strategi for referencenet i Danmark Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
9 KMS er nu Geodatastyrelsen OG Styrelsen for Dataforsyning og Effektivisering. Om kort: Geodatastyrelsen (og sdfe) har ansvar for, at Danmark kortlægges, til brug for den offentlige forvaltning, virksomheder og borgeren. Geodatastyrelsen og kommunerne kortlægger landet i fællesskab, i FOT-samarbejdet. Kortlægningen sker i forskellige detaljeringsgrader og foregår digitalt. Kortdata opbevares i databaser, hvorfra der kan fremstilles datasamlinger og produkter efter behov. Udtrykket kort benyttes derfor ikke kun om papirkort, men også om datasamlinger, som ligger til grund for online kortvisninger og det almindelige papirkort. Brug af kort foregår derfor ofte online, hvor det er muligt at tilpasse kort efter specifikke behov, til visning på skærmen eller til print. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
10 Om Styrelsen for Dataforsyning og Effektivisering Styrelsen for Dataforsyning og Effektivisering er ansvarlig for infrastrukturen for geografisk information, og har ansvaret for referencenettene, der er grundlag for opmåling og kortlægning i Danmark, Færøerne og Grønland. Desuden er styrelsen ansvarlig for landkortlægning i Danmark, Færøerne og Grønland, samt adresser, stednavne, Danmarks højdemodel og flere andre datasæt. Styrelsen understøtter desuden bl.a. Forsvaret med geodata både nationalt og internationalt. Styrelsen for Dataforsyning og Effektivisering repræsenterer Danmark i internationale geodata-samarbejder bl.a. i EU, FN (UN-GGIM), mm. og repræsenterer Danmark i det arktiske samarbejde (ASDI) under Arktisk Råd. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
11 FOT-samarbejdet og GeoDanmark FOT er et samarbejde mellem SDFE (og Geodatastyrelsen?) og kommunerne om kortlægning og etablering af et Fællesoffentligt Geografisk Administrationsgrundlag. I FOT 5.0 specificeres det geometriske grundlag for FællesOffentligT geografisk administrationsgrundlag. Som etablerings- og lagringssystem anvendes UTM zone 32/ETRS89 til plan registrering og DVR90 til højderegistrering. Udtræk kan foregå i andre koordinatsystemer. UTM zone 32 er en kortprojektion. ETRS89 er et datum. Dette kursus handler om kortprojektioner og deres egenskaber. Og (sidste kursusgang) om datum. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
12 Storcirkler - kuglefladens linjer En storcirkel er en kurve, der fremkommer ved skæring af kuglefladen med en plan gennem kuglefladens centrum. Ækvator er en storcirkel. Storcirkler er de største cirkler på kuglefladen. Den korteste forbindelse mellem to punkter på kuglefladen er langs en storcirkel. Gennem to antipodiske punkter, for eksempel Nord- og Sydpolen, går der uendeligt mange storcirkler. Gennem to punkter, der ikke er antipodiske, går der kun en storcirkel. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
13 En sfærisk trekant. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
14 Faktum: På en kugleflade med radius R, er vinkelsummen i en sfærisk trekant med areal A, givet ved α + β + γ = π + A/R 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
15 Argument for vinkelsumsformlen En dobbeltmåne mellem to storcirkler - kun forsiden er skraveret Arealet af dobbeltmånen med vinkel α er α π 4πR2 = 4αR 2 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
16 Argument for vinkelsumsformlen Skraver alle tre måner. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
17 Sætning: Man kan ikke lave en 1:1 afbildning fra (et stykke af) kuglefladen til planen. Argument: Hvis der er en 1:1 afbildning sender den stykker af storcirkler i liniestykker. Når afstande er bevaret, er vinkler bevaret. Se nu på billedet af en trekant. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
18 Trekanter på kuglen og i planen. α + β + γ = π + A R 2 OG Det er en modstrid. α + β + γ = π Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
19 Det fundamentale problem Sætning: Der findes ikke noget kort, der har konstant målestok. Sætning: Der findes ikke noget kort, der bevarer både vinkler og areal. Den gode nyhed Der findes kort, der bevarer vinkler Der findes kort, der bevarer areal. Der findes kort, der sender storcirkler i storcirkler (men så bevarer det ikke vinkler) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
20 Forvanskninger Vinkler. Arealer. Afstande. Et kort, der bevarer vinkler (er konformt) forvansker - ikke alle storcirkler afbildes i linjer! Trekanter på kuglen afbildes ikke til trekanter i kortet. Men det er der ikke noget at gøre ved!!! Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
21 Udregning af forvanskninger Analytisk tilgang til projektioner Idag med kendt matematik. Ny matematik næste gang. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
22 Geografiske Koordinater Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
23 Fra geografiske til cartesiske koordinater Udregninger i en opgave. X Y Z = R cos(ϕ) cos(λ) R cos(ϕ) sin λ) R sin(ϕ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
24 Omdrejningsellipsoider Omdrejningsellipsoide med halvakser a og b Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
25 Omdrejningsellipsoider Breddegrader på ellipsoider Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
26 Omdrejningsellipsoider Hvor er excentriciteten og x y z = N = er krumningsradius i punktet. N cos ϕ cos λ N cos ϕ sin λ N (1 e 2 ) sin ϕ e 2 = a2 b 2 a 2 a 2 a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
27 Projektionsflader Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
28 Stereografisk projektion Den regner I på til øvelserne Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
29 Ortografisk planprojektion Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
30 Gnomisk planprojektion Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
31 Cylinderprojektioner Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
32 Centralcylindrisk projektion (λ, ϕ) (λ, tan(ϕ)) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
33 Archimedes arealtro - ortografisk - Lambert (By Strebe (Own work) [CC-BY-SA-3.0 ( via Wikimedia Commons) (λ, ϕ) (λ, sin(ϕ)) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
34 Equirektangulær (By Strebe (Own work) [CC-BY-SA-3.0 ( via Wikimedia Commons) (λ, ϕ) (λ, ϕ) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
35 Mercatorprojektion (By Strebe (Own work) [CC-BY-SA-3.0 ( via Wikimedia Commons) (λ, ϕ) (λ, ln(tan(π/4 + ϕ/2))) Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
36 Forvanskninger Hvilke projektioner bevarer vinkler? Hvilke projektioner bevarer arealer? Hvad er målforholdet? Hvordan konstruerer man projektioner med givne egenskaber? Det kræver ny matematik - mere næste gang. Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L April / 36
ONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereAALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mere9940 8848
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: ca.10:15-12:00 Opgaveregning i grupperummene Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver -
Læs mereKortprojektioner og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet
Kortprojektioner og forvanskninger Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Juni 2006 Chapter 1 Forord Disse noter er skrevet til landinspektørstudiet ved Aalborg Universitet.
Læs mereKortprojektioner L mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34.
Kortprojektioner L4 2016 5.mm Optimale projektioner. Afstandskorrektion. System 34. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereUTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark
UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 1 Version 1 2017-04-01 Geomatics Notes 1. Version 1, 2017-04-01 Geodætisk systembeskrivelse: UTM/ETRS89: Den
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2016 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2017 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup & Iver Ottosen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2017
Læs mereNyt om projektioner. Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010. Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS
Nyt om projektioner Kortforsyningsseminar, d. 25/3-2010 Simon Lyngby Kokkendorff Referencenetområdet, KMS Indhold Lidt om kortprojektioner generelt DKTM: Hvorfor, hvordan... Web Mercator hvad er det? Kortprojektioner
Læs mere2. Projektion. Hver af disse kan igen fremstilles som ortografisk-, stereografisk- eller central-projektion.
Kortprojektioner En kortprojektion kan defineres som en systematisk metode til overførsel af punkter fra jordkloden til kortet. Da jordens overflade er en dobbeltkrum flade i modsætning til kortets plane
Læs mereAAU Landinspektøruddannelsen
AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen
Læs mereOplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv
0. April 2007 Oplæg til Studieretningsprojekt i Matematik og Naturgeografi Kortprojektioner i matematisk og geografisk perspektiv Af Astrid Pørtner Nielsen & Lise Danelund Introduktion: Formålet med projektet
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mereI det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π
Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2019 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Iver Ottosen & Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2019
Læs mereSystem 34. Geodætisk systembeskrivelse. Geomatics Notes 3 Version UDKAST
System 34 Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 3 Version UDKAST 2017-03-22 Geomatics Notes 3. Version UDKAST, 2017-03-22 Geodætisk systembeskrivelse: System 34 The Geomatics Notes Series is published
Læs mereDTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.
Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU
Læs mereDanske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber
Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens
Læs mereEkspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion.
Ekspertgruppen for afklaring af tekniske problemstillinger ved at etablere og implementere en ny kortprojektion. Erik Wirring, LE34 Peter Cederholm, AAU Henrik Vad Jensen, Vejdirektoratet Per Knudsen,
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereLæs selv om LANDKORT. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre
Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Landkort Mange forskellige slags kort I gamle dage var
Læs mereFind pkt. 26 (den sorte prik i midten af cirklen med tallet "26")
Kortreference Når man skal angive et steds beliggenhed ved hjælp af hærkort, bruger man en kortreference. Den anvendes, når man skriftligt eller mundtligt skal give meddelelse om "noget" i terrænet - en
Læs mere5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)
5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereKurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kurver og Flader 2013 Lisbeth Fajstrup (AAU)
Læs mereI dag: Digital projektering -formål. Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data.
I dag: Digital projektering -formål Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data. Dagens emner Hvad er et digitalt kort? Digitale grunddata
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereTror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34
Tror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) https://twitter.com/flatearthorg?lang=da Verden som vi ser på den til dagligt i vores CAD system ( The Flat Earth made at
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereIndholdsfortegnelse. Forord 7
Indholdsfortegnelse Forord 7 1 Indledning 8 1.1 Baggrund 8 1.2 Kort som projekteringsgrundlag 8 1.3 Topografiske kort 8 1.4 Tekniske grundkort 9 1.5 Situationsplaner 10 1.6 Matrikelkortet 10 2 Landmåling
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus
Læs mereProjekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner
Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Et almindeligt 3D-koordinatsystem er som et 2D-koordinatsystem, hvor der blot er rejst en tredje akse vinkelret på planen i punktet (0,0),
Læs mereIndledning og indhold
UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereGeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter
GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at
Læs mereStorcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel
Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter
Læs mereGeodætiske referencenet og referencesystemer i Grønland
Geodætiske referencenet og referencesystemer i Grønland Version 0 April 2007 Indledning Dette informationsmateriale beskriver de gamle og nye geodætiske referencenet og referencesystemer i Grønland, og
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2018 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Skjernvej
Læs mereLineær Algebra, 2015 1. kursusgang
Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik
Læs mereKort & Matrikelstyrelsen - infrastrukturvirksomhed for kort og geodata
Kort & Matrikelstyrelsen - infrastrukturvirksomhed for kort og geodata Kort & Matrikelstyrelsens opgave er at gøre kort og geodata til et dagligdags redskab for den offentlige sektor, virksomheder og borgere.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereGIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester
GIS geografi, landinspektør, plan & miljø 1. semester 1982 1992 Programmet for i dag: Stedbestemmelse. Hvordan beskrives, hvor tingene er, og hvordan taler vi om det? 2002 Alle mennesker ved altid, hvor
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereStjernekort især før og lidt nu. Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning
Hvad er et stjernekort - globus eller plan tegning Farnese Atlas Nationalærkæologisk museum, Neapel. 41 stjernebilleder, med gitter, ca. 125. f.kr. Bestemt ud fra præcessionen! Hipparchos data. Planisphære
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug juni 2009-2010 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Grenaa Tekniske Skole HTX Fysik A Niels Gustav
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereLæringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal
Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereSTUDIEORDNING FOR BACHELORUDDANNELSEN I LANDINSPEKTØRVIDENSKAB AALBORG
STUDIEORDNING FOR BACHELORUDDANNELSEN I LANDINSPEKTØRVIDENSKAB - 2016 - AALBORG BACHELOR (BSC) I TEKNISK VIDENSKAB AALBORG MODULER SOM INDGÅR I STUDIEORDNINGEN INDHOLDSFORTEGNELSE Landinspektørens faglighed
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11
Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold
Læs mereGeodæsi og Geostatistik
1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 2009. Indhold: 2 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi? 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester efterår 2013-forår 2014 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereNOGET OM ELLIPSEN. Mogens Esrom Larsen 20. april Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Noget om ellisen NOGET OM ELLIPSEN Mogens Esrom Larsen 20. aril 2012 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Ellisen som keglesnit. Ellisen er et af de første matematiske
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester, 2012
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og yggeri og Anlæg, 1. semester, 2012 LCG-1. Introduktion til landmåling 1. Danmarks fikspunktsregister (I) 2. Horisontalretningsmåling
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2018/19 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HTX Matematik
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs merePROJEKTIONER OPLÆG. Projektioner.docx 1
PROJEKTIONER OPLÆG INDLEDNING Jeg har været noget i tvivl om, hvorledes jeg kunne gribe dette emne om projektioner an. En af begrænsningerne for indholdet findes i min utilstrækkelige matematiske viden
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Vicki Jacob
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereIndledning og indhold
UTM SYSTEM34 Indledning og indhold Denne dokumentation beskriver programfunktionen til koordinattransformation i softwareprogrammet DFF-EDB Ledningsregistrering. Programmet lagrer internt alle grafiske
Læs mereEfteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri
Boringer på land Nivellering og afsætning del af kurset i Vedligehold af Materiel og udstyr Undervisningsministeriet, december -. Materialet er udviklet af bygge/anlæg og industri i samarbejde med Rune
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereCirkler og kugler. Fagdidaktisk opgave i matematik. Frederiksberg Seminarium - Forår 2000 Hold: MA 98 B Vejleder: Steen Groðe
Cirkler og kugler Fagdidaktisk opgave i matematik Frederiksberg Seminarium - Forår 2000 Hold: MA 98 B Vejleder: Steen Groðe Udarbejdet af: Line Maria Jensen 980410 Ditte Maria Lauridsen 980415 Heidi Yoma
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016-2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Helle Kruchov
Læs mereStudieordning for Bacheloruddannelsen i Landinspektørvidenskab
Studieordning for Bacheloruddannelsen i Landinspektørvidenskab Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet 2011 Forord: I medfør af lov nr. 985 af 21. oktober 2009 om universiteter (Universitetsloven)
Læs mere