GEOMETRISK TEGNING SIDE OM KAPITLET

Transkript

1 GOMTRISK TGNING SI OM KPITLT I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. e skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger ved både plane og rumlige figurer. 104

2 LVMÅL OR KPITLT Målet er, at eleverne: kan anvende nogle grundlæggende tegnemetoder til gengivelse af to- og tredimensionale figurer kan beskrive og undersøge linjers indbyrdes forhold og beliggenhed knyttet til polygoner og cirkler kan anvende forskellige metoder til at fremstille og undersøge to- og tredimensionale figurer - både på papir og ved hjælp af digitale værktøjer kender til muligheder og begrænsninger i de forskellige tegneformer til gengivelse af rumlighed. GLIG GRR I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: midtpunkt og midtnormal skitse vinkelhalveringslinje topvinkler ensliggende vinkler ligedannethed isometrisk tegning projektionstegning. HUSKLIST PRINTRK 6 igurkort 7 Store konstruktioner 7 egreber og fagord Geometrisk tegning MTRILR enticubes Vinkelmåler Passer Teodolit Målebånd eller målehjul Snor lag, atletikspyd eller lign. til markering Videooptager fx en mobiltelefon Karton Saks Lim og/eller tape IGITLT VÆRKTØJ ynamisk geometriprogram Skærmoptager ÆLLS MÅL På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke ælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. 105

3 SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING 115 Geometrisk tegning OPGV 2 KTIVITT Herunder er beskrevet og skitseret seks forskellige figurer. LYT OG TGN Tegn fire af de seks figurer I dette kapitel skal du arbejde med geometrisk Geometrisk tegning handler blandt andet om, at ktivitet for to personer. tegning. kunne undersøge og gengive to og tredimensionale objekter fra omverdenen. u skal i dette med et digitalt værktøj. ved hjælp af passer, lineal og vinkelmåler. Materialer: igurkort (6), centicubes, isometrisk papir eller et digitalt værktøj med kapitel arbejde med forskellige tegneteknikker og isometrisk tegneflade. hjælpemidler. I en trekant måler siderne I denne aktivitet skal I bygge figurer af centicubes I den første del af kapitlet skal du undersøge og 7, 5 og 10 cm. og tegne figurer, der er bygget af centicubes. gengive forskellige plane figurer. u skal lære, hvilke I skal tegne isometriske tegninger og arbejdstegninger (også kaldet projektionstegning). informationer du kan læse ud af de forskellige typer tegninger. t parallelogram har omkredsen en sidste del af kapitlet har fokus på muligheder L 1 10 cm, en side med længden og begrænsninger i forbindelse med gengivelse af Regler: I skal på skift have rollerne eskriver 4 cm og en vinkel på 45. rumlige figurer. og Tegner. Tegneren må ikke kunne se figuren eller opgavekortet. t kvadrat har omkredsen 16 cm. Klip figurkortene ud og læg dem på bordet med bagsiden opad. MÅL, GOR OG GRR eskriveren trækker et opgavekort og Målet er, at du: kan anvende nogle grundlæggende tegnemetoder til gengivelse af to og tredimensionale figurer kan beskrive og undersøge linjers indbyrdes forhold og beliggenhed knyttet til polygoner og cirkler kan anvende forskellige metoder til at fremstille og undersøge to og tredimensionale figurer både på papir og ved hjælp af digitale værktøjer kender til muligheder og begrænsninger i de forskellige tegneformer til gengivelse af rumlighed. u skal arbejde med: midtpunkt midtnormal vinkelhalveringslinje skitse ligedannethed topvinkel ensliggende vinkler isometrisk tegning projektionstegning ,5 cm 5 cm 5 cm bygger den viste figur. eskriveren beskriver herefter figuren for Tegneren. Tegneren skal tegne figuren ud fra beskrivelsen. Hvis det er en isometrisk tegning, der er vist på opgavekortet, skal der tegnes en arbejdstegning. Hvis det er en arbejdstegning, der er vist, skal der tegnes en isometrisk tegning. Når I har bygget figuren og tegnet den, så skal I sammenligne den byggede figur, arbejdstegningen og den isometriske tegning inden næste opgavekort trækkes. ORHÅNSVIN OPGV Tegn de tre figurer ved hjælp af passer, lineal og vinkelmåler. passer og lineal. et digitalt værktøj. Hvilken tegneteknik synes du gav den mest nøjagtige tegning? Hvilken tegneteknik kan du bedst lide at bruge? Hvorfor? 110,5 5,2 cm 3,8 cm 161 OPGV 3 Tegn to polygoner, der er kongruente. der er ligedannede i længdeforholdet 1:3. der er ligedannede i længdeforholdet 4:1. L 2 Tal om: Var der altid overensstemmelse mellem arbejdstegning, figur og isometrisk tegning? Hvorfor/hvorfor ikke? Hvorfor kunne det være svært at beskrive figuren? Hvorfor kunne det være svært at tegne figuren ud fra en beskrivelse? IT OPGV 1 OPGV 2 OPGV 3 106

4 SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 117 TORI KLSSISK GOMTRI I den klassiske græske geometri er det kun tilladt at bruge en passer og en lineal uden længdemål. Når du skal fremstille tegninger på denne måde, så vil du oftest få to punkter som udgangspunkt. Ud fra disse punkter må du: tegne en linje gennem to givne eller konstruerede punkter. konstruere nye punkter som skæringspunkt mellem to tegnede linjer som skæringspunkter mellem to tegnede cirkler som skæringspunkter mellem en tegnet linje og en tegnet cirkel. Når du skal tegne figurer, er det vigtigt at kende og kunne anvende nogle grundlæggende tegne metoder. Herunder kan du se, hvordan forskellige linjer kan tegnes. TGN MITPUNKT OG MITNORML Tegn et linjestykke. Tegn en cirkel med centrum i punktet. Vælg en radius, der er større end den halve afstand mellem og. Tegn en cirkelbue, som vist herunder. Tegn en cirkelbue med centrum i punktet og samme radius. Tegn midtpunkt og midtnormal som vis på tegningen. n normal n til en linje l er en linje, der står vinkelret på l. Midtnormal Midtpunkt TGN VINKLHLVRINGSLINJN Tegn en vilkårlig vinkel og kald vinkelspidsen. Tegn en cirkel med centrum i. fsæt med passeren to punkter ( og ) på vinklens to ben og med samme afstand til. Sæt passeren i punktet og tegn en cirkel som vist på tegningen. Tegn en ny cirkel med samme radius, men nu med centrum i punktet. Tegn vinkelhalveringslinjen v, der går gennem og skæringspunktet. Vinkelhalveringslinje v TGN N HØJ I N TRKNT Tegn en trekant. Vi vil tegne højden fra. Tegn en cirkel med centrum i og en radius, der er så lang, at cirklen skærer linjestykket (eller dens forlængelse) i to punkter og. Tegn midtnormalen til linjestykket. enne midtnormal vil være højden fra. Højde IT lle opgaver på denne side tegnes ved hjælp af passer, lineal og blyant. OPGV 4 fsæt to punkter og tegn linjestykket mellem dem. Tegn midtpunktet og midtnormalen til linjestykket. Tegn et linjestykke, der skæres af fire normaler. fstanden mellem normalerne skal være ens. orklar, hvordan du gjorde. OPGV 5 Tegn figurerne herunder i længdeforholdet 1:2. OPGV 6 Tegn en ligesidet trekant. et kvadrat, som har én side tilfælles med den ligesidede trekant fra opgave. kvadratets midtpunkt og kald punktet. en cirkel med centrum i punktet, og som netop rører hver af kvadratets sider ét sted. OPGV 7 Tegn tre trekanter: en retvinklet en spidsvinklet en stumpvinklet Tegn alle højder i hver af de tre trekanter. eskriv, hvad du finder ud af om højdernes placering og skæringspunkt. OPGV 8 Tegn en trekant med tre vinkelhalveringslinjer og tre midtnormaler. Tegn trekantens indskrevne cirkel. Tegn trekantens omskrevne cirkel. Hvad bruges henholdsvis vinkelhalveringslinjerne og midtnormalerne til i denne forbindelse? OPGV 9 eskriv, hvordan mønsteret er tegnet. Tegn mønsteret. et er en god idé ikke at tegne småt, da du skal arbejde videre med mønsteret. Hvordan bliver den røde cirkel opdelt af de sorte cirkler? orbind punkterne, og, og beskriv trekanten. Hvilke andre figurer kan du danne ud fra punkterne på den røde cirkel og punktet? eskriv, hvordan man kan være sikker på, at alle cirkler i mønstret har samme diameter. OPGV 4 - emærk, at i spørgsmål er der ingen specifikke krav til normalernes placering ud over, at de tre afstande mellem dem skal være lige store. enne løsning vil fx være gyldig: OPGV 7 - e iagttagelser, der forventes beskrevet, er: I en retvinklet trekant falder to af højderne sammen med de to kateter. I en spidsvinklet trekant falder alle højderne inde i trekanten. I en stumpvinklet trekant falder to af højderne uden for trekanten. I alle trekanter skærer højderne hinanden i samme punkt. ventuelt også: I en retvinklet trekant er dette skæringspunkt den rette vinkels vinkelspids, i en spidsvinklet trekant ligger skæringspunktet i trekantens indre, og i en stumpvinklet trekant ligger skæringspunktet uden for trekanten. OPGV 8 - Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for den omskrevne cirkel. OPGV 5 igurer ligedannede med de viste men med dobbelt så store sidemål tegnes. Sidelængden i kvadratet skal være 5 cm. Sidelængderne i rektanglet skal være 4 cm og 8 cm. Sidelængden i kvadratet (= diameteren i cirklen) skal være 4 cm. OPGV 9 Intet fast facit, men følgende kommentarer til opgave: en røde cirkelperiferi bliver inddelt i 6 lige store stykker. Selve cirkelfladen bliver inddelt i 6 kongruente blomsterblade og 6 kongruente øksehoveder. Trekanten bliver ligesidet. OPGV 6 iguren kommer til at se således ud: 108

5 l SKITS SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 119 enne firkant tilhører ikke nogen navngiven kategori. TORI Opgaver på denne side kan enten løses ved hjælp af passer, lineal og vinkelmåler eller med et digitalt OPGV 12 NVNGIVNING OG SKITS NVNGIVNING Linjer navngives med små bogstaver, fx a og b. a b Linjestykker navngives efter endepunkterne, og der bruges store bogstaver, fx og G. G Linjerne a og b er parallelle. et kan skrives på denne måde: a b. Linjestykket er parallelt med G. et kan skrives på denne måde: G. m Linjen l står vinkelret på linjen m. et kan skrives på denne måde: l I m. Siden overfor en vinkel navngives med det tilsvarende lille bogstav. Siden overfor vinkel kaldes a, osv. Vinkel kan skrives på denne måde:. Siden a kan også betragtes som linjestykket. Linjestykkets længde kan skrives på denne på måde:. Med små streger kan man markere, at vinkler eller linjestykker er lige store eller lige lange: SKITS n skitse er en tegning, der gengiver væsentlige træk ved en figur, men den er ikke målfast. Vinkler og sidelængder kan være angivet på figuren, hvis man kender dem. ksempel: I trekant er = 75 b = 5 cm c = værktøj. OPGV 10 Tegn trekant ud fra skitsen. Hvad måler vinkel? OPGV 11 Tegn figurerne. Lav først en skitse. or firkant G gælder det, at I og I G = 5 G = 7 = 3 or firkant HIJK gælder det, at H = 60 I = 140 HI = HK = 6 HJ = cm cm 2 4,5 cm cm cm 5 8 cm 4 cm 6 5 cm 4 cm K b a or firkant LMNO gælder det, at L = M = N = O 60 c n trekant navngives efter vinkelspidsernes navne. et vil sige, at en trekant med vinkelspidserne, og kaldes trekant. et kan også skrives som. Tegning LM = 7 MN = 2 or firkant PQRS gælder det, at PQ RS PQ I QR PQ = 3 QR = 2,5 Tegn hver figur ud fra oplysningerne på skitserne enten på papir eller med et digitalt værktøj. Vurder efter hver tegning om der findes én eller flere løsninger. orklar, hvorfor/hvorfor ikke. er er én af figurerne, der ikke kan tegnes. orklar, hvorfor figuren ikke kan tegnes. RS = 10 IT H I J OPGV 10 Tegning (målfast): irkanten er et rektangel med siderne 2 og 7. O N 2 L 7 M a trekanten er ligebenet, er =. e har derfor begge gradmålet ( ) : 2 = 49. irkanten herunder er et trapez med højden 2,5 og de parallelle sider 3 og 10. OPGV 11 irkanten er et trapez med højden 3 og de parallelle sider 5 og 7. G S 10 R 2,5 P 3 Q

6 igur 1 Netop én løsning, da to trekanter, der har to vinkler og den mellemliggende side parvis lige store, er kongruente. igur 2 Øverste vinkel er 47 ( ). Netop én løsning, da to trekanter, der har to vinkler og den mellemliggende side parvis lige store, er kongruente. igur 3 er er løsninger, idet summen af de tre vinkler er 180. er er uendeligt mange løsninger, nemlig alle de trekanter som er ensvinklede med den givne. igur 4 Netop én løsning. igur 5 Ingen løsning. I en trekant skal summen af længderne af de to korteste sider være større end den sidste side. et er ikke tilfældet her. igur 6 Netop én løsning en retvinklet trekant med kateterne 3 og 4 og hypotenusen 5. igur 7 Uendeligt mange løsninger, nemlig enhver ligebenet trekant med grundlinjen 4 cm. igur 8 Uendeligt mange løsninger. 111

7 55 SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 121 KTIVITT TGN STORT ktivitet for fire til seks personer. Materialer: Store konstruktioner (7), teodolit, målebånd eller målehjul, snor, flag eller fx spyd fra atletik og telefon eller lignende med videooptager. ktiviteten skal foregå udendørs på et stort græsareal. I har tidligere lavet geometriske tegninger af forskellige figurer på papir eller med et digitalt værktøj. Når der fx skal anlægges nye boligområder, opføres et nyt byggeri eller anlægges nye veje, så er det vigtigt, at der er lavet nogle nøjagtige opmålinger af områderne. Målingerne bygger på nogle af de samme geometriske konstruktioner, som I har arbejdet med. et er ofte en kort og landmålingstekniker, der foretager de relevante målinger. I denne aktivitet skal I arbejde med store geometriske opmålinger og konstruktioner. L 1 Til at konstruere figurerne skal I bruge en teodolit. n teodolit er et instrument, man kan bruge til at måle og afsætte vinkler både horisontalt og vertikalt. På billedet herunder kan I se, hvordan I bruger en teodolit til at bestemme størrelsen af vinklen mellem de to sigtelinjer fra til og fra til. Prøv alle i gruppen at afsætte forskellige vinkler ved at 1. placere teodolitten lige over vinkel. et er vigtigt, at pladen er vandret. 2. Sigt først mod punktet og aflæs retningen, og derefter mod punktet og aflæs retningen. 3. I finder størrelsen af vinkel ved at finde forskellen mellem de to aflæste retninger. fsæt tre punkter, så de danner en trekant. Mål vinklerne i trekanten. L 2 I denne del skal I først markere store figurer ud fra de oplysninger, som I får fra de viste skitser herunder og på på arket Store konstruktioner (7). erefter skal I måle de manglende vinkler og sidestykker. Inden I begynder at afsætte punkterne, skal I beskrive, hvordan I vil løse opgaven. Optag jeres beskrivelse på en telefon eller tablet. Optag mindst en af jeres konstruktioner på video, så I kan forklare for de andre grupper, hvordan I løste opgaven. u kan evt. bruge et digitalt værktøj til opgaverne på denne side. OPGV 13 Tre jægere skal deles om jagten i en trekantet skov. e skal hver have en af trekantens sider som grænse. Lav en skitse, hvor du viser, hvordan de tre jægere kan dele skoven, så de får et lige stort areal hver. n fjerde jæger vil gerne være med i jagten. Vis med en skitse, hvordan de fire jægere kan dele området i fire lige store arealer. OPGV 15 u skal i denne opgave undersøge forhold omkring vinkelhalveringslinjer. Tegn en vinkel på 80. Navngiv vinkelspidsen. Tegn vinkelhalveringslinjen for vinklen. fsæt et punkt på vinkelhalveringslinjen og mål den korteste afstand mellem punktet og vinklens to ben. Undersøg afstanden fra vinkelhalveringslinjen til vinklens to ben ved at afsætte tre andre punkter på vinkelhalveringslinjen. ormuler en regel ud fra det du har fundet ud af i opgave og. Undersøg, om reglen gælder for alle vinklers vinkelhalveringslinjer. OPGV 16 nders og rian dykker efter ringe i rians pool. e har hver et punkt, de dykker fra punkt og. nders har bestemt, at de skal dykke efter ringe i det område, der er nærmest dem selv. Tegningen herunder viser, hvor i poolen nders () og rian () er placeret. lere muligheder. or eksempel deler midtpunktstransversalerne trekanten i fire kongruente trekanter. Men en trekantside delt i fire lige store dele kan også være udgangspunkt for en deling af trekanten i fire trekanter med samme areal (samme grundlinje og højde): OPGV 14 sger har bier og vil gerne sælge sin honning ved vejen. Skiltet med priser på honningen vil han lave som en regulær sekskant, inspireret af biernes celler m 8 m 6 m på vokstavlerne i stadet. sger vil save skiltet ud af en træplade. Han laver to modeller, en lille og en stor. Lav en skitse, der viser, i hvilket område nders 7 m Giv et bud på, hvordan sger i praksis skal gøre for at kunne tegne regulære sekskanter på træpladen, inden han skærer den ud. Giv et bud på mål til de to ligedannede sekskanter. og rian må lede efter ringe. arl vil også gerne være med til at dykke efter ringe. rengene har 21 ringe, som de kaster ud i poolen. fterprøv forskellige muligheder for at 11 m m Tegn begge sekskanter i et passende længdeforhold. sger har maling nok til, at han kan male det lille skilt to gange. Men han overvejer, om han i stedet for skal male det store skilt én gang. r der maling nok til det? egrund dig svar. placere punkterne (nders), (rian) og (arl). Vis med skitser for hver placering, hvordan du vil dele poolen op, så hver af drengene får et område at dykke på. Gør rede for, hvorfor du har valgt netop disse inddelinger af poolen. IT OPGV 13 Linjestykker fra medianernes skæringspunkt til vinkelspidserne vil dele trekanten i tre lige store deltrekanter, der alle har én af den oprindelige trekants sider som den ene side. OPGV 14 - OPGV 15 - Undersøgelse af vinkelhalveringslinjer. en ønskede konklusion er: n vinkels halveringslinje består af de punkter, der har samme vinkelrette afstand til vinklens ben. OPGV 16 Poolen skal deles af midtnormalen for linjestykket. 112

8 SKITS SKITS SKITS l l SKITS SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 123 TORI LIGNN TRKNTR, TOPVINKLR OG NSLIGGN VINKLR LIGNN TRKNTR TOPVINKLR or ensvinklede trekanter gælder: To trekanter, der er ensvinklede, er også ligedannede. I ensvinklede trekanter er der altid samme forhold mellem de ensliggende sider. er ensvinklet med, det vil sige, at = og = og =, og = = OPGV 17 e to figurer er ligedannede. Skriv de manglende vinkelstørrelser og sidelængder på hver figur , , ,7 96 På tegningen kan du se to linjer, der skærer hinanden, så der dannes fire vinkler, hvis ben ligger i forlængelse af hinanden. e to vinkler, der ligger overfor hinanden, kaldes topvinkler. Topvinkler er lige store. NSLIGGN VINKLR n m e to linjer l og m skæres af en tredje linje n. e par af vinkler, der fx har l og m som højre ben og n som venstre ben kaldes ensliggende. På figuren er de røde vinkler ensliggende. OPGV 18 Linjerne l og m er parallelle. Hvilke par af vinkler er ensliggende? Hvilke af vinklerne er lige store? eskriv, hvorfor. n a b c d e f g h m IT OPGV 19 Tegn to parallelle linjer, og en tredje linje der skærer dem. Mål de ensliggende vinkler. Gentag opgave med to andre parallelle linjer, og mål igen de ensliggende vinkler. Hvad op dager du? Tegn to linjer, der ikke er parallelle og en tredje, der skærer dem. Mål de ensliggende vinkler. Gentag opgave med to andre linjer, der ikke er parallelle, og mål igen de ensliggende vinkler. Hvad opdager du? Skriv en regel for, hvad der ser ud til at gælde om ensliggende vinkler ved parallelle linjer, der skæres af en tredje. ensliggende vinkler ved ikke parallelle linjer, der skæres af en tredje. OPGV 20 På skitsen herunder er linjestykkerne og parallelle. OPGV 21 På skitsen er vist to trekanter: og. Siderne og er parallelle cm orklar, hvorfor og er ensvinklede. Hvad er længdeforholdet mellem de to trekanter? eregn længden af linjestykket. OPGV 22 rik og Johan vil bygge en svævebane over en å. Svævebanen skal spændes ud mellem to træer. Men hvad er afstanden? e kan ikke komme til at måle afstanden mellem de to træer på grund af åen. rik og Johan laver hver deres skitse, og de foretager nogle målinger, som de skriver på skitserne. orklar, hvordan du kan bruge din viden om ligedannede trekanter til at finde afstanden mellem de to træer fra målene på skitserne. eregn afstanden mellem de to træer ud fra både riks og Johans skitse. OPGV 17 e manglende mål er skrevet på figurerne herunder. 33,7 SKITS 16 cm Hvilke to trekanter er ligedannede? orklar hvorfor. eregn længden af linjestykket. 12 cm 22,5 cm 56,3 56,3 3,6 x x 6 m Træstamme 1 9 m Træstamme 2 Træstamme 1 5 m Træstamme 2 10 m riks skitse 3 m 2 m Johans skitse OPGV 19 - Når parallelle linjer skæres af en tredje linje, er de ensliggende vinkler lige store. Når ikke-parallelle linjer skæres af en tredje linje, er de ensliggende vinkler ikke lige store. emærk, at disse to sætninger tilsammen indeholder den modsatte sætning til : Når linjer skæres af en tredje linje således, at de ensliggende vinkler er lige store, så er de to linjer parallelle. enne påstand (som er en sætning i faglig forstand) kan evt. diskuteres med klassen. OPGV 20 Trekant og trekant er ligedannede. orklaring: og er begge rette. i de to trekanter er topvinkler og dermed lige store. Så er også = (vinkelsum). ltså er de to trekanter ensvinklede og dermed ligedannede. = 64 cm. OPGV 21 er fælles i de to trekanter, og er (ligesom , ,44 2,5 og ) ensliggende vinkler ved parallelle linjer. ltså er trekanterne ensvinklede. Længdeforholdet mellem og er 16 22,5 = 32 0,712. Længdeforholdet mellem 45 og er ,4. = ,34 cm. 32 OPGV 18 isse vinkelpar er ensliggende: a og e c og g b og f d og h levernes argumentation for hvilke vinkler der er lige store. emærk, at sætningen om, at ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store, først afsløres for eleverne i opgave 19. rgumentationen kan i denne opgave basere sig på, at topvinkler er lige store, men man må også acceptere måling som et argument her. ølgende vinkler er lige store: a, d, e og h b, c, f og g. OPGV 22 - riks skitse. og er ensvinklede (og dermed ligedannede) i længdeforholdet 9:3 = 3. fstanden x (= ) er da lig med 3 2 = 6 m. Johans skitse. og er ensvinklede og dermed ligedannede. Johan kan derfor opstille ligningen = x 5 = x f denne ligning kan x bestemmes til x = 6. en søgte afstand er derfor 6 m. 114

9 GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 125 Isometrisk tegning i længdeforholdet 1:1. UNRSØGLS TORI OPGV 23 N LIGSI TRKNT PROJKTIONSTGNING OG ISOMTRISK TGNING Undersøgelse for to personer. Materialer: t digitalt værktøj. I skal med et digitalt værktøj undersøge forskellige Undersøg, om sammenhængene gør sig gældende for alle ligesidede trekanter ved at gøre trekanten større og mindre. ISOMTRISK TGNING Isometri betyder samme mål. n isometrisk tegning et en tegning, hvor nogle længdemål sammenhænge ved punkter og linjer i den lige sidede trekant. I en ligesidet trekant er alle vinkler inde i trekanten lige store nemlig 60, og alle sider har samme længde L 1 Undersøg skæringspunkter i den ligesidede trekant. Tegn en ligesidet trekant. ind skæringspunkterne mellem trekantens højder. vinkelhalveringslinjer. medianer. midtnormaler. Hvad opdager du? Undersøg, ved at gøre trekanten større eller mindre, om dette ser ud til at gælde for alle ligesidede trekanter. Tegn en trekant, der ikke er ligesidet. Gentag punkt. G Hvad opdager du? L 3 Undersøg længderne af de tre vinkelrette linjestykker fra et tilfældigt punkt i den ligesidede trekant og ud til trekantens sider. Tegn en ligesidet trekant. fsæt et punkt P tilfældigt inde i trekanten. Tegn fra punktet P normaler på alle trekantens sider. Kald skæringspunkterne for, og G. ind summen af længden af de tre linjestykker P, P og GP. lyt punktet P rundt i trekanten, hvad opdager du? G Tegn en af højderne i trekanten, og find længden af den. H Sammenlign summen af linjestykkerne P, P og GP med længden af trekantens højde. Hvad opdager du? h P på tegningen svarer til længdemål i virkeligheden. PROJKTIONSTGNING n projektionstegning kaldes også en arbejdstegning. et er en tegning, som typisk er beregnet til fx at bygge en genstand efter. n projektionstegning vil ofte være en tegning, der viser en genstand set fra tre sider: oppefra, forfra og fra siden. Længderne eller længdeforholdet af siderne på den tegnede genstand er den samme som i virkeligheden. orfra ra siden yg den viste figur i centicubes. Lav en projektionstegning af figuren i længdeforholdet 1:1. Lav en isometrisk tegning af figuren i længdeforholdet 1:1. Mål højden, bredden, længden og diagonalerne på figuren, og sammenlign dem med de tilsvarende mål på projektionstegningen og den isometriske tegning. Hvilke afstande er ens, og hvilke er forskellige? OPGV 24 Tal med din makker om, hvilken type tegning eller tegninger, I ville bruge, hvis I skulle lave en salgsannonce for et hus. en samle vejledning for en kommode. en reklame for et sofabord. en tegning med specifikationer på en cylinderformet silo. L 2 Undersøg sammenhænge mellem den indskrevne og omskrevne cirkel i den ligesidet trekant. Tegn en ligesidet trekant. Tegn den indskrevne og omskrevne cirkel i trekanten. G Oppefra Hvilke sammenhænge er der mellem den omskrevne og indskrevne cirkel i trekanten? Se fx på centrum for de to cirkler og forholdet mellem arealet af de to cirkler. IT levaktivitet. Kun afstande målt langs de tre isometriske tegneretninger er ens på tegningen og i virkeligheden. OPGV 23 levbygget figur. emærk: Når man skal tegne en genstand orfra, Oppefra og ra siden vil der være en vis valgfrihed fx med hensyn til, hvad man kalder orfra, og OPGV 24 - Oppefra orfra ra siden Projektionstegning i længdeforholdet 1:1. orfra Oppefra ra siden 116

10 GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING cm OPGV 26 Lav en projektionstegning og en isometrisk tegning af dit bord, din stol eller en anden genstand. Vælg selv et passende længdeforhold. orestil dig, at din makker skal bygge din tegnede genstand i de rigtige længdemål ud fra hver af dine to tegninger. r der oplysninger om den tegnede genstand, der mangler på de to tegninger? eskriv i givet fald, hvilke oplysninger din makker mangler. OPGV 27 Hvilke oplysninger kan Silja få fra grundplanen? Hvis et byggefirma skulle bygge huset, hvilke informationer ville de mangle for at kunne bygge det hus, Siljas familie har bestilt? Hvilke tegninger har byggefirmaet brug for ud over en grundplan? Hvilken type tegning skal Silja se af huset, for at hun kan vurdere, om hun synes, at huset er pænt? OPGV 29 r der informationer, der kan forsvinde? KTIVITT 3-TGNINGR ktivitet for to personer. Materialer: t digitalt værktøj, hvor I kan tegne i 3 og en skærmoptager. I skal undersøge, hvilke muligheder I har for at tegne 3 med et digitalt værktøj. L 1 Tegn: en kugle en kube en pyramide en sammensat figur. Undersøg, hvordan I kan finde overfladeareal L 2 I skal vælge én af jeres figurer, og lave en videovejledning, der viser, hvordan I har tegnet figuren, samt hvordan programmet kan vise rumfang og overfladearealer. ind et andet makkerpar og tal i gruppen om de to videovejledninger, I har lavet. I kan fx tale om: Har I løst opgaverne på samme måde? indes der i geometriprogrammet en lettere måde at løse opgaven på? Var det let at anvende geometriprogrammet? og rumfang af de figurer, I har tegnet. OPGV 30 Løs opgaverne på denne side sammen med din makker. I skal bruge et digitalt værktøj, hvor I kan tegne i 3. Tegn en isometrisk tegning og en projektionstegning af legehuset i et længdeforhold, du selv bestemmer. OPGV 28 u og din makker skal: Undersøge for hver figur, hvor mange forskellige figurer I kan bygge, som passer til tegningen. Lav en isometrisk tegning af en centicubefigur, der kun er én figur til. Lav en isometrisk tegning af en centicubefigur, Tegn en 3 tegning af samme genstand, som I tegnede i opgave 26. Tegn genstanden i samme længdemål. Tegn en 3 tegning af legehuset fra opgave 27. I skal bruge samme længdemål. Siljas familie har besluttet, at de vil bygge et nyt hus. rkitekten har tegnet denne grundplan over familiens kommende hus: Værelse 13,5 m 2 Gang ad 3 m 2 3,5 m 2 Køkken/alrum 25,5 m 2 Værelse 14,5 m 2 ryggers 10 m 2 der kan være mange figurer, der passer til. ad 6,5 m 2 Opholdsstue 30 m 2 Soveværelse 12,5 m 2 OPGV 31 Løs denne opgave sammen med din makker. Vælg et lokale, I har adgang til på skolen og mål længde, bredde, vinkler og højde i lokalet og noter, hvor eventuelle vinduer og døre er placeret. Tegn en skitse af lokalet, og skriv målene på. Tegn en grundplan af lokalet i et passende længdeforhold. Tegn et lodret tværsnit af lokalet, og skriv mål på. Tegn en isometrisk tegning af lokalet. Tegn en 3 model af dit klasselokale i et geometriprogram. G Hvilken type tegning mener I, giver den bedste beskrivelse at lokalet? OPGV 32 ind sammen med din makker en genstand, som I i fællesskab vil tegne en 3 model af. Tag de nødvendige mål på genstanden. Tegn genstanden i et 3 program. Lav en skærmoptagelse, hvor I roterer den tegnede genstand, og forklar, hvordan I har orfra tegnet den. IT OPGV 26 OPGV 27 Isometrisk tegning. Oppefra ra siden 20 cm Projektionstegning. leven vælger selv længde forhold. Tegningen her er i længdeforholdet 1:50. OPGV 28 OPGV 29 OPGV 30 3-tegninger af genstande fra opgave 26 og 27. OPGV 31 OPGV

11 I SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 129 TM SIGN, SKRIV OG YG VLURING På denne side skal I enten bruge arket egreber OPGV 3 og fagord Geometrisk tegning (7) eller jeres egen Tegn en vilkårlig trekant. SIGN begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værktøjer. OPGV 1 Vis og beskriv, hvordan trekantens indskrevne og omskrevne cirkel kan tegnes. OPGV 4 I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire I figuren herunder er et kvadrat, og elever sammen. er en ligesidet trekant. Tema for to til tre personer. Materialer: karton, saks, lim og/eller tape og et digitalt værktøj. I dette tema skal I designe en selvvalgt genstand. er er mange muligheder, men det kan fx være en stol, et hundehus, en bladholder eller et legehus. et er vigtigt, at I undervejs i arbejdet med opgaverne noterer eller optager jeres overvejelser og besvarelser. L 1 I skal I jeres gruppe blive enige om, hvad det er, I gerne vil designe. Når I har fundet ud af, hvilken genstand I vil designe, så skal I lave en kort beskrivelse af, hvordan den skal se ud. tegne en skitse, hvor længdemål, vinkelstørrelser med videre er angivet. tegne en projektionstegning. ngiv, hvilket længdeforhold genstanden er tegnet i. tegne en isometrisk tegning. tegne en 3 tegning. L 2 yg en model af jeres genstand i et selvvalgt længdeforhold. yt jeres tegninger fra L 1 opgave med en anden gruppe, og prøv at bygge deres genstand ud fra de nævnte tegninger. Sammenlig jeres modeller. r de ens? Hvorfor/hvorfor ikke? L 3 I skal som afslutning på temaet præsentere jeres design for resten af klassen. I kan fx lave en kort film, en skærmvideo, en planche, en model eller lign., der viser, hvordan I har tænkt og løst de forskellige delopgaver. ftal i klassen inden, hvad jeres præsentationer skal indeholde. et kunne for eksempel være overvejelser over om jeres projektionstegning viser alle informationer om genstandens udseende. r det nok at gengive den fra tre sider? Hvilke informationer er evt. forsvundet? om jeres isometriske tegning har sider, der ikke er målbare. eskriv evt. hvilke. Lav ni kort. Skriv ét af følgende fagord eller begreber på hvert kort: midtpunkt, midtnormal, vinkelhalveringslinje, skitse, ligedannethed, topvinkel, ensliggende vinkler, isometrisk tegning og projektionstegning. VINKLHLVRINGSLINJ ISOMTRISK TGNING MITPUNKT SKITS LIGNNTH Læg kortene på bordet, så I kan se dem. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. orklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået begrebet, så lægges kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter til alle begreber er forklaret og forstået. et kan være en god ide, at skrive stikord til de enkelte forklaringer undervejs. Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller forstå, så hænger I kortene med disse begreber op på tavlen. Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen. et kan være en elev eller læreren, der hjælper med at forklare begrebet. OPGV 2 or hvert af de ni ord og begreber, du lige har arbejdet med, skal du vise et eksempel eller en tegning. skrive din egen forståelse af begrebet. G H 10 cm orklar og vis for hinanden, hvordan I vil tegne figuren i længdeforholdet 1:2 ved hjælp af en passer og en lineal og med et digitalt værktøj. hvilke af vinklerne der er lige store. hvordan I, uden at måle på jeres tegning, kan finde størrelsen af vinklerne i trekant, trekant og trekant H. OPGV 5 Tegn en projektionstegning og en isometrisk tegning af hundehuset i et passende længdeforhold. Hvilke længder på de to tegninger, kan bruges til at bestemme længder i virkeligheden? IT VLURING OPGV 1 OG OPGV 2 levaktivitet. leverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. OPGV 3 levtegning. levbeskrivelse. et væsentlige er: n trekants indskrevne cirkel har centrum i vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt og den vinkelrette afstand fra til en trekantside som radius. n trekants omskrevne cirkel har centrum i sidemidtnormalernes skæringspunkt og afstanden fra til en vinkelspids som radius. OPGV 4 leverne forklarer for hinanden. lle vinkler i kvadratet er lige store. lle vinkler i trekanten er lige store. =. =. : lle vinkler er 60. : = 150, = = 15. H: = 60, = 15, H = 105. OPGV 5 leverne tegner en projektionstegning og en isometrisk tegning af hundehuset. lle længder på projektionstegningen kan bruges. e længder, der på den isometriske tegning er tegnet langs de tre isometriske tegneretninger, kan bruges. 120

12 SKITS SKITS I SKITS SKITS SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 131 OPGV 2 TRÆN 1 ÆRIGHR OPGV 1 Tegn trekant med passer og lineal. a = 6 cm b = 8 cm c = 10 cm Tegn trekant. d = e = 4 cm f = 6 cm OPGV 2 Tegn trekanterne herunder. Trekant : Trekant : a = d = e = f = 4 cm b = 4 cm c = 5 cm Tegn en af trekanternes J Hvilke vinkler på tegningen er lige store? TRÆN 2 ÆRIGHR OPGV 1 Tegn trekant GHI. g = 6 cm h = 8 cm H = 110 Tegn trekantens indskrevne cirkel. Tegn trekantens omskrevne cirkel. OPGV 2 ind længden af linjestykket. eregn længden af linjestykket. Tegninger i længdeforholdet 1:1. OPGV 5 Trekant og trekant er ligebenede. eregn omkredsen af trekant. OPGV 5 indskrevne cirkel. omskrevne cirkel. OPGV 3 OPGV 4 G H OPGV 4 Trekant og trekant er ligebenede. Linjestykkerne og er parallelle. 24 5,6 8 Trekant GHI: g = 5 cm h = 7 cm H = 95 Tegn figuren. Tegn en figur, der et ligedannet med figuren 4 cm 4 cm 9 cm e to trekanter er ligedannede. 6 cm ovenfor. ngiv længdeforholdet mellem de to figurer. OPGV 3 Linjestykkerne og er parallelle. 6 cm Hvilke vinkler er ens i de to trekanter? eregn længden og længden. OPGV 6 1,5 cm 8 cm 4 cm 5 cm 15 Hvad er længdeforholdet mellem de to trekanter? Tegn en projektionstegning af hver af de Hvad måler siden? Tegn en projektionstegning af figuren. Tegn en skitse af figuren. Marker på din skitse, hvilke vinkler der har samme størrelse. orklar, hvorfor trekant og trekant er ligedannede. ind længdeforholdet mellem de to trekanter. to figurer. IT TRÆN 1 ÆRIGHR OPGV 1 4 cm 4 cm Længdeforholdet er her 1:2. Konstruktionsmetoden er antydet. 4 cm G 8 cm 10 cm 7 cm 6 cm 95 4 cm 4 cm H 5 cm I 6 cm leven tegner den indskrevne cirkel i en af trekanterne. leven tegner den omskrevne cirkel til en af trekanterne. OPGV 3 Længdeforholdet er 1:3. =

13 OPGV 4 TRÆN 2 Umiddelbart kan man kun sige, at følgende vinkler er ÆRIGHR lige store (fordi de er topvinkler): =, =, =, ( + ) = ( + ), (+) = ( + ) og ( + ) = ( + ). G leverne kan måle på tegningen, og konstatere at de to lodrette linjer er parallelle, og de kan ligeledes ved at måle på tegningen konstatere, at trekanten 8 cm mellem de to linjer er ligebenet. Med den viden, kan eleverne nå frem til, at: 110 følgende vinkler være lige store (fordi de er ensliggende vinkler ved parallelle linjer): H 6 cm I H =, G = ( + ), I = og J = ( + ). H = I (grundvinkler i en ligebenet trekant) og leven tegner trekantes indskrevne cirkel. leven tegner trekantens omskrevne cirkel. G = VJ (nabovinkler til de to grundvinkler). leverne kan måle på tegningen, og konstatere at linjerne er parallelle. OPGV 2 Opgaven kan danne udgangspunkt for en samtale med klassen om forskellen på matematik i hverda 5 gen og matematik som fag. På tegningen ser det ud som om, de to linjer er parallelle, og at trekanten er ligebenet. et vil være tilstrækkeligt til at benytte vor 105 viden om parallelle linjer og ligebenede trekanter i en hverdagssammenhæng. 4 OPGV 5 er samme vinkel i begge trekanter. esuden gælder = = =. 100 = 6 cm, = 3 OPGV 6 Projektionstegning: leven tegner en figur ligedannet med den fra spørgsmål. leven angiver længdeforholdet mellem de to figurer. orfra Oppefra OPGV 3 Skitse: Vinkler med samme størrelse er markeret på skitsen. Trekanterne er ensvinklede og derfor også ligedannede. ra siden Længdeforholdet er 3:16 (eller 1:5 1 3 ). 123

14 GOMTRISK TGNING SI (ORTST) OOPGV 4 = 5,6. = 22,4. Omkredsen af er 57,6. OPGV 5 Projektionstegninger: orfra Oppefra ra siden 124

15 SKITS SKITS GOMTRISK TGNING SI GOMTRISK TGNING GOMTRISK TGNING 133 TRÆN 1 PROLMLØSNING OPGV 1 OPGV 3 Jens rik skal købe et flag til den flagstang, der står i hans have. Han har fundet et sted på nettet, hvor han kan købe flag. Men han ved ikke hvilket flag, han skal købe, da han ikke kender flagstanges højde. Stanghøjde lagstørrelse 8 meter 170 x 225 cm 9 meter 189 x 250 cm 10 meter 208 x 275 cm 11 meter 227 x 300 cm 12 meter 245 x 325 cm 13 meter 265 x 350 cm 14 meter 283 x 375 cm 15 meter 300 x 400 cm eskriv, hvordan mønsteret er tegnet. Tegn mønsteret. Jens rik stiller sig 8,5 meter væk fra flagstangen. orklar, hvorfor alle tre cirkler er lige store. erfra måler han vinklen op til flagstangens top. Hvilken type trekant er den røde trekant? en er 51. Han måler vinklen 1,5 meter over jorden. Hvor stor en del af cirkelbuen spænder en af Tegn en skitse, der viser situationen. trekantens sider over? Hvor høj er flagstangen? Tegn en ny trekant med vinkelspidserne i de Hvilket flag skal han skal vælge? tre røde punkter. en nye trekant er ligedannet med den røde trekant. OPGV 4 G Hvor stor en del af cirkelbuen spænder siden i Her er en tegning af en figur, den nye trekant over? der er bygget i centicubes. På tegningen kan man se OPGV 2 16 centicubes. I nes og Lineas have er der et bed, der har facon Gæt, hvor mange som en regulær sekskant. Længden af hver side i centicubes der kan gemme bedet er 2 m. e har fået lov til at dyrke blomster sig bag denne figur. og grøntsager i bedet. ne og Linea vil dele bedet i Undersøg, om dit gæt var rigtigt. fire lige store stykker, så de hver kan få et stykke til u kan fx tegne eller bygge med centicubes blomster og et til grøntsager. i din undersøgelse. Tegn bedet i et passende længdeforhold. Tegn en projektionstegning, der viser figuren med Vis på tegningen, hvordan de kan dele bedet op. alle de centicubes, der kan gemme sig bag Hvor stort bliver arealet af hvert af de fire bede? den. Pigerne beslutter, at de gerne vil have et bed hver Sammenlign din undersøgelse med din med jordbær også. makkers undersøgelse. andt I frem til samme Vis på tegningen, hvordan skal de dele bedet op, antal skjulte centicubes? hvis de hver skal have tre lige store stykker. Hvis figuren var bygget af 5 x 5 centicubes, eregn arealet af det område, de hver har til at hvor mange centicubes kunne der da gemme sig så jordbær på. bag den? TRÆN 2 PROLMLØSNING OPGV 1 På skitsen er vist en cirkel, med to linjer, der skærer cirklen. irklens centrum er ikke vist på tegningen. Tegn en cirkel med to linjer, som skærer cirklen. ind cirklens centrum ved hjælp af de to linjer. orklar, hvordan du fandt centrum. OPGV 2 rrangørerne af en musikfestival vil finde et punkt, hvor det er muligt for deltagerne at mødes. Mødestedet markeres med en høj flagstang, så det tydeligt kan ses fra festivallens tre teltlejre. rrangørerne er enige om, at mødestedet skal ligge lige langt fra de tre teltlejre. Lejr m 600 m M Lejr m Lejr 3 Tegn festivalpladsen i et passende længdeforhold. Undersøg tre forskellige placeringer af mødestedet (M) ved at bestemme skæringspunktet mellem trekantens tre højder. tre vinkelhalveringslinjer. tre midtnormaler. Hvor ville du placere mødestedet? egrund dit svar. OPGV 3 nna er i Tivoli Hun vil gerne undersøge, om Himmelskibet virkelig er 80 meter højt. Hun stiller sig 18 meter fra Himmelskibet. erfra måler hun vinklen op til Himmelskibets top, den er 77. Hun måler vinklen 1,45 meter over jorden. Tegn en skitse, der viser situationen. Undersøg ud fra nnas mål, om det passer, at Himmelskibet er 80 meter højt. OPGV 4 Victor og Lucas er taget på stranden. Ude i vandet kan de se en gummibåd, der er fastgjort til strandbredden med et langt reb (x). e diskuterer, hvor langt rebet er. e to drenge laver nedenstående opmåling. x 5 m 1 m 8 m Hvor langt er rebet? OPGV 5 et er ikke altid tilstrækkeligt, at lave en isometrisk tegning af en genstand, da der kan være informationer om genstanden, der ikke er til at se på tegningen. Tegn en isometrisk tegning af en centicubefigur, hvor der kan være fem centicubes skjult. Tegn en projektionstegning, der viser din løsning eller løsninger med de skjulte centiubes. er er mange muligheder for deling af sekskanten i seks lige store stykker. en mest oplagte er vel denne: IT TRÆN 1 PROLMLØSNING OPGV 1 - levbeskrivelser, -tegning og -forklaringer. Trekanten er ligesidet. Trekanten spænder over 1 af cirkelperiferien (60 ). 6 levtegning. G Siden i den nye trekant spænder over halvdelen af cirkelperiferien (180 ). OPGV 2 levtegning i selvvalgt længdeforhold. er er mange muligheder for opdeling. Her er en af dem: Jordbærarealet er 3 1,7 m 2. OPGV 3 levskitse. lagstangen er 12 m høj. X Jens rik skal vælge flaget med dimensionerne cm. OPGV 4 levgæt. Undersøgelse af gættet. Man kan tegne sig til resultatet på isometrisk papir. På tegningerne herunder angiver den røde ramme bagsiden af figuren med de 16 centicubes. Inden for denne ramme skal de ekstra centicubes tegnes, hvis de skal være skjult af de 16 forreste. e skjulte centicubes er tegnet lagvis, således at første tegning er nederste niveau, derefter kommer mellemste og øverste niveau. Nederste niveau realet af hvert af de fire bede er ,6 m 2. Her er 6 centicubes 126

16 Mellemste niveau Projektionstegning: orfra Her er 5 centicubes Oppefra Øverste niveau ra siden Her er 3 centicubes Som det ses, kan der i alt skjules 14 centicubes bag de 16 på forsiden. e kan ikke ses forfra, men fra den anden side ser figurtilføjelsen (de skjulte centicubes) således ud: Hvis figuren var bygget af 5 5 centicubes, kunne der skjules 30 centicubes. Som man måske kan se, ved at betragte figurtilføjelsen til 4 4-pladen herover, gælder, generelt, at hvis forsiden består af n 2 centicubes, vil der kunne skjules (n 1) 2 centicubes. Summen af de første n kvadrattal kan udregnes ved n (2n + 1) (n + 1) udtrykket

17 GOMTRISK TGNING SI (ORTST) TRÆN 2 PROLMLØSNING OPGV 1 levtegning. leven finder cirklens centrum. levforklaring. irklens centrum er karakteriseret ved at ligge lige langt fra alle punkterne på cirkelperiferien dvs. det ligger fx lige langt fra og. Men de punkter, der ligger lige langt fra og, er punkterne på midtnormalen for linjestykket, så centrum ligger på denne midtnormal. Tilsvarende kan man se, at centrum må ligge på midtnormalen for linjestykket. irklens centrum ligger med andre ord på skæringspunktet mellem de to midtnormaler. OPGV 2 levtegning. levundersøgelse. levbegrundelse for valg af mødested. Hvis mødestedet, som det forlanges i teksten, skal ligge lige langt fra de tre teltlejre, skal det ligge i centrum for trekantens omskrevne cirkel dvs. i sidemidt normalernes skæringspunkt. OPGV 3 levtegnet skitse. Med den usikkerhed, der må ligge i målingerne, må man sige, at det passer, at Himmelskibet er 80 m højt. OPGV 4 Rebet (linjestykket ) er 40 m langt. OPGV 5 levtegning. levens projektionstegning. emærk: n 3 3-plade med 9 centicubes kan bruges (se opgave 4 i Træn 1-Problemløsning). en vil netop skjule = 5 centicubes. 128