Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011"

Transkript

1 Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Funktioner generelt Indledende eksempler Den rigtige definition Definitionsmængde Bemærkninger En test af forståelsen Terminologi og eksempler Ord, forkortelser og symboler Funktionsværdier Traditionel dovenskab Bestemmelse af definitionsmængden Gaffelforskrifter De trigonometriske grundfunktioner Grafer Bemærkninger og eksempler Grafer for de trigonometriske funktioner Graftegning v.h.a. IT-værktøj Grafisk overblik over ligninger og uligheder Grafkending Regneoperationer på funktioner Addition, subtraktion, multiplikation og division Sammensætning Om at læse et sammensat funktionsudtryk

3 Resumé I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet for alvor og sætter noget af den terminologi som knytter sig dertil på plads. 1 Introduktion I dette dokument skal vi se på funktionsbegrebet for første gang eller i virkeligheden er det ikke for første gang overhovedet. Faktisk har al den matematik du har lært indtil nu kredset omkring funktionsbegrebet på den ene eller den anden måde: Regneoperationer og deres regneregler skal bruges til at definere vores funktioner. Sinus, cosinus og tangens er eksempler på funktioner (de kaldes de trigonometriske grundfunktioner). Løsning af ligninger er et værktøj som skal bruges hele tiden i arbejdet med funktioner. Modelleringsprocessen handler om at vælge den funktion som bedst beskriver sammenhængen mellem to fysiske størrelser. Og store dele af den analytiske geometri handler i virkeligheden om at tegne såkaldte grafer for funktioner. Der kræves ikke så mange forudsætninger for at forstå dette dokument udover at man ved hvad en mængde er og at man klare at tænke på og tale om et abstrakt begreb. Når vi skal snakke om grafer, vil det desuden være en god ide at have sin analytiske geometri fremme i hukommelsen. Til gengæld vil du sikkert opdage at alt hvad du har lært indtil nu vil blive mere overskueligt og hænge sammen på nye måder. Derfor vil du sikkert få en uimodståelig trang til at repetere nogle af de tidligere emner undervejs. side 1

4 2 Funktioner generelt 2.1 Indledende eksempler Hvad er en funktion? Svaret på dette spørgsmål er temmeligt indviklet, og det skal det være, fordi funktionsbegrebet er et meget abstrakt 1 begreb meget mere abstrakt end f.eks. talbegrebet. Meget løst sagt dækker funktionsbegrebet over det fænomen at talstørrelser nogle gange afhænger af hinanden: Hvis man kender den ene størrelse, kan man regne ud hvad den anden nødvendigvis må være, og hvis man ændrer den ene størrelse, så ændrer den anden sig automatisk. Eksempel 1 Lufttrykket og temperaturen i en lukket beholder er et godt eksempel på størrelser som er funktioner af hinanden. Idealgasloven siger at: pv = nrt hvor p er trykket, V er beholderens rumfang, n er et udtryk for hvor mange luftmolekyler beholderen indeholder, R er en naturkonstant og T er temperaturen. Hvis beholderen er lukket, er V, n og R konstante. Ved at omskrive ligningen til: p = nrt V ser vi at p kan bestemmes lige så snart T er kendt, og hvis T ændrer sig, vil p automatisk ændre sig også. Man siger at p er en funktion af T. Man kan også vende eksemplet på hovedet og isolere T i ligningen ovenfor: T = pv nr 1 Ordet abstrakt betyder det modsatte af ordet konkret. En lygtepæl er f.eks. et konkret begreb, mens glæde er et temmeligt abstrakt begreb. side 2

5 Dermed ser man at T også er en funktion af p. Denne sammenhæng er dog lidt ufysisk, da man ikke umiddelbart kan manipulere trykket i en lukket beholder direkte (undtagen ved at varme beholderen op). Desuden er det langtfra altid tilfældet at en funktion kan vendes om på denne måde. Det skal vi se nogle eksempler på senere. 2.2 Den rigtige definition Ovenstående betragtninger er langtfra præcise nok til at være en rigtig definition. I stedet laver vi følgende, meget mere abstrakte definition: Definition 1 En funktion er et matematisk objekt, som består af to mængder (kaldet funktionens primærmængde og sekundærmængde) samt en veldefineret regel som beskriver hvordan elementer i primærmængden kan laves om til elementer i sekundærmængden. At reglen skal være veldefineret vil sige at hvis to forskellige personer læser reglen, og begge personerne starter med det samme element i primærmængden, så vil de altid lave det om til det samme element i sekundærmængden når de følger reglen. Bemærkning Bemærk at en funktion består af hele tre ting på en gang! For at minde sig selv om dette, er det en god ide at have det abstrakte billede på figur 1 inde i hovedet hver gang man taler om en funktion. side 3

6 Primærmængde Sekundærmængde Regel Figur 1: Et abstrakt billede af en funktion 2.3 Definitionsmængde Det er ikke nødvendigt at reglen skal give mening for alle elementer i primærmængden. Faktisk er det fuldt ud tilladt at angive en funktionsregel samtidigt med at man oplyser hvilke hvilke elementer i primærmængden den gælder for. Mængden af de elementer i primærmængden som funktionsreglen gælder for kaldes definitionsmængden. Det er fordi den består af de elementer, hvori funktionen siges at være defineret. Hvis man indtegner definitionsmængden på det indre billede af en funktion, ser det ud som på figur 2. Når man skal lave en funktion skal man altså oplyse følgende (i den nævnte rækkefølge): 1. Primærmængden og Sekundærmængden. 2. Definitionsmængden altså de elementer i primærmængden hvor funktionsreglen skal gælde. 3. Funktionsreglen som til hvert eneste element i definitionsside 4

7 Primærmængde Sekundærmængde Definitionsmængde Regel Figur 2: Et abstrakt billede af en funktion mængden knytter præcis et veldefineret element i sekundærmængden. Man kan med fordel tænke på en funktion som en slags fabrik: Primærmængden er et stort rum, fyldt med hel en masse ting. Sekundærmængden er et andet stort rum med hylder til de færdige produkter. Definitionsmængden består at de ting fra det første rum som rent faktisk må bruges i produktionen. Funktionsreglen er en stor, larmende maskine som er placeret mellem de to rum: Man propper ting fra primærmængden (men naturligvis kun dem som er med i definitionsmængden) ind i maskinen, og så producerer den elementer i sekundærmængden. side 5

8 Eksempel 2 I eksempel 1 om idealgasloven kan man betragte mængden af alle tænkelige temperaturer som primærmængde og mængden af alle tænkelige værdier af trykket som sekundærmængde. Dermed giver den første omskrivning af idealgasloven en regel for hvordan en given værdi af temperaturen bestemmer en værdi af trykket. Definitionsmængden kunne i dette tilfælde være en yderligere oplysning om at temperaturen skulle holdes inden for rimelighedens grænser. (Man kunne let forestille sig at vores regel holdt op med at virke i det øjeblik at gassen enten blev flydende (ved meget lave temperaturer) eller beholderen sprang i luften (ved meget høje temperaturer). Man kan dog også bytte om på de to mængder og bruge den anden omskrivning som regel. Dette svarer til at vende pilen på figur 1 om. Her er et andet eksempel på en funktion: Øvelse 1 Forestil dig mængden af alle naturlige tal. Et hvilket som helst af disse kan fordobles, hvilket giver et (lige) naturligt tal. Det at fordoble, kan altså betragtes som en funktion hvor både primærmængden, sekundærmængden og definitionsmængden består af alle de naturlige tal. Lav en abstrakt tegning i stil med figur 2 af denne funktion, idet du indtegner nogle konkrete elementer i definitionsmængden og deres funktionsværdier i sekundærmængden. side 6

9 2.4 Bemærkninger Man skal passe godt på ikke at læse mere i definitionen end der står. En funktion behøver f.eks. ikke at ramme alle elementerne i sekundærmængden. I eksemplet fra opgave 1 rammer man f.eks. aldrig et ulige tal i sekundærmængden. Det kan også nemt forekomme at to forskellige elementer i definitionsmængden bliver til det samme element i sekundærmængden når man sender dem igennem funktionen. Det skal vi se nogle eksempler på senere. Her er en god test på om man har forstået hvad en funktion er. Læs følgende eksempel, og hvis det virker som fuldstændig sort snak, så skal du nok læse hele afsnittet en gang til. 2.5 En test af forståelsen En spøjs detalje ved funktionsbegrebet er at funktioner ligesom talstørrelser kan eksistere, men alligevel være ukendte. Hvis vi f.eks. betragter tiden, t (f.eks. målt i sekunder efter 1. januar 1990), og lufttemperaturen i Åkirkeby på Bornholm, T (f.eks. målt i grader Celsius), så er T helt uundgåeligt en funktion af t. Til et hvilket som helst tidspunkt har lufttemperaturen i Åkirkeby nemlig en helt bestemt, veldefineret værdi. 2 Definitionsmængden og primærmængden for denne funktion består af alle tænkelige tidspunkter, og sekundærmængden består af alle tænkelige temperaturer. Desværre er der dog ingen mennesker i verden som kender reglen for denne funktion godt nok til at kunne fortælle præcis hvad lufttemperaturen i Åkirkeby f.eks. vil være om 3 måneder. Problemet er at temperaturen i Åkirkeby hænger sammen med utroligt mange andre størrelser, og man vil (efter al sandsynlighed) aldrig kunne bygge alle disse sammenhænge ind i en simpel formel. 2 Faktisk er enhver målbar størrelse automatisk en funktion af tiden, idet man jo (i vores hverdagsopfattelse af virkeligheden) aldrig kan have to forskellige værdier af en målbar størrelse til det samme tidspunkt. Den har nu engang den værdi man kan måle på det pågældende tidspunkt. side 7

10 Men funktionen eksisterer! Og selvom vi ikke kan kende den fuldstændigt, kan man alligevel sige noget om hvordan den opfører sig i forhold til andre størrelser, der også er (ukendte) funktioner af tiden. 3 Lige præcis den slags sammenhænge mellem ukendte funktioner kan faktisk bruges til at skaffe sig mere information om funktionerne. Især lufttrykket (ikke blot på Bornholm men alle mulige andre steder også) spiller en vigtig rolle for om temperaturen i Åkirkeby stiger eller falder. Videnskaben meteorologi handler groft sagt om at bruge informationer om lufttryk og temperatur lige nu til at give estimater på hvad de vil være i fremtiden. Som nævnt er det meget ofte funktioner af tiden, hvor man kun kender funktionen delvist, idet man kender dens værdi til alle tidspunkter indtil nu, og man ville mægtigt gerne udtale sig om værdierne til senere tidspunkter. (Også kaldet at se ud i fremtiden). Der er dog mange andre eksempler på funktioner som kun er delvist kendte. Eksemplet med temperaturen og tiden viser også et andet fænomen, nemlig at temperaturen ganske vist er en funktion af tiden, men at det omvendte ikke er tilfældet: Tiden er ikke en funktion af lufttemperaturen i Åkirkeby, fordi man sagtens kan have den samme temperatur på to forskellige tidspunkter. Derfor kan der umuligt findes en funktion som regner tidspunktet ud alene ved hjælp af temperaturen i Åkirkeby. Spørgsmålet om hvorvidt en funktion kan vendes om eller ej kaldes injektivitet. Det vender vi tilbage til senere. 3 Terminologi og eksempler 3.1 Ord, forkortelser og symboler Når man taler om en funktion, uanset om den er kendt eller ukendt, er det altid klogt at give den et navn. Meget ofte vælger man bog- 3 Sådanne sammenhænge mellem ukendte funktioner udtrykkes ofte ved hjælp af såkaldte differentialligninger. Dem kan du læse mere om her side 8

11 staverne f, g eller h til at betegne sine funktioner. Hvis man har rigtig mange funktioner på spil, kan man også nummerere dem med et index, f.eks. f 1, f 2, f 3,... Hvis en funktion f.eks. hedder f, så har man ofte brug for at omtale dens definitionsmængde. Dertil bruger man følgende forkortelse: Dm(f) Tilsvarende kan man forkorte primær- og sekundærmængden som P m(f) og Sm(f), men det er meget mere sjældent at man har brug for det. I stedet er det meget almindeligt at skrive: f : A B hvis man vil oplyse at f er en funktion med primærmængde A og sekundærmængde B. Næsten alle vores funktioner vil være af typen: f : R R altså hvor både primærmængden og sekundærmængden er de reelle tal. Når man skal fastlægge en funktion, skal man desuden oplyse funktionens definitionsmængde og dens regel. Dertil kan man bruge den såkaldte elementpil: Det er nemmest at forklare hvordan den bruges ud fra et eksempel: Eksempel 3 Betragt funktionen: f : R R, defineret ved: x x 2 (x R + ) Hvis dette skal læses højt, så læses det som følgende: side 9

12 Betragt funktionen f med primærmængde R og sekundærmængde R, defineret ved at et element x bliver lavet om til x 2 (og definitionsmængden er R + ) Med andre ord: f er den funktion som opløfter positive reelle tal i anden potens 4. Når man skal læse hurtigt kan man godt bruge lidt mere sloganagtigt sprog, som f.eks. Betragt f fra R til R som sender x til x 2 for x i de positive reelle tal. Bemærkning Læg mærke til at der nøjagtigt lige så godt kunne have stået b b 2. Bogstavet x er bare en pladsholder. Man er jo kun ude på at fortælle hvad funktionen gør ved elementer i dens definitionsmængde. Dertil er det komplet ligegyldigt hvad disse elementer hedder. 3.2 Funktionsværdier Hvis man har en funktion, f, og et element x i dens definitionsmængde, så skriver vi det element som f producerer når man tager f på x som: f(x) Udtrykket f(x) læses som f af x eller f taget på x eller f s værdi i x. Eksempel 4 Betragt funktionen f : R R defineret ved: x x 3 (x R) Om denne funktion gælder f.eks. at: (Øv dig i at læse hver information højt, og kontroller at den passer.) side 10

13 Dm(f) = R f(2) = 8 f( 3) = 27 f( 1 2 ) = 1 8 Nogle gange kan man blive forvirret fordi tingene er mere simple end man forventer. Det næste eksempel viser en sådan situation. Eksempel 5 Betragt funktionen f : R R defineret ved: x 1 (x R) Det kan ske at man bliver forvirret, fordi funktionsudtrykket til højre for elementpilen slet ikke indeholder et x. Det skal man dog ikke blive, for der er blot tale om en meget simpel funktion, nemlig en såkaldt konstant funktion, som antager den samme værdi (nemlig 1) uanset hvilket element fra definitionsmængden man propper ind i den. Således er: f(0) = 1 f(1) = 1 f( 1000) = 1 f(π) = 1 Nu kommer der nogle eksempler på funktioner som allerede er blevet nævnt flere gange. side 11

14 Eksempel 6 Betragt funktionen: f : R R defineret ved: x 1 x (x 0) Denne funktion er kendt under navnet reciprokfunktionen. F.eks. er: f(1) = 1 f(2) = 1 2 f( 3 4 ) = 4 3 f( 10000) = 0,0001 Bemærk at reciprokfunktionen er defineret i alle reelle tal, undtagen nul. Eksempel 7 Betragt funktionen: f : R R defineret ved: x Det ikke negative tal, y hvorom der gælder at y 2 = x (x 0) Denne funktion er kendt under navnet kvadratrodsfunktionen. F.eks. er: f(1) = 1 f(4) = 2 f(10000) = 100 side 12

15 f( 1 4 ) = 1 2 Bemærk det velkendte (men meget vigtige) faktum at definitionsmængden kun består af ikke-negative tal. Man kan altså ikke tage kvadratroden til negative tal. Derudover er det værd at nævne at funktionens regel er temmeligt kompliceret. Man er nødt til at give funktionsværdien i x et navn (i dette tilfælde y), før man overhovedet kan forklare hvad den er. Faktisk er kvadratrodsfunktionen en såkaldt invers til funktionen i eksempel 3. Vi skal se mere på inverse funktioner senere. En sidste særlig ting ved kvadratrodsfunktionen er at man har besluttet at give den sit helt eget symbol, sådan at man kan bruge den uden nødvendigvis at skulle kalde den f først. Man skriver f.eks. f(16) = 16 = 4 Eksempel 8 Betragt funktionen: f : R R defineret ved: x ( x) (x R) Denne funktion (kendt under navnet fortegnsskift ) går fra de reelle tal til de reelle tal, og den virker på et element i definitionsmængden ved at skifte fortegn på det. F.eks. er: f(1) = 1 f(0) = 0 f( 17) = 17 En sjov ting ved denne funktion er, at dens funktionsværdier ligger i sekundærmængden, R, som jo også er definitionsmængden. side 13

16 Derfor kan man godt tage f en gang til på f(x) 5. Der gælder for ethvert x R at: f(f(x)) = x Også kendt under sloganet minus minus giver plus. 3.3 Traditionel dovenskab Eftersom rigtigt mange funktioner (faktisk alle dem vi skal arbejde med det første lange stykke tid 6 ) har de reelle tal som både primærmængde og sekundærmængde, gider man som regel ikke skrive dette. Desuden er der en tradition for at hvis man heller ikke oplyser definitionsmængden, men kun giver et regneudtryk for hvad funktionen gør ved et givet x, så er det underforstået at definitionsmængden består af alle de reelle tal, hvor regneudtrykket giver mening. Disse to traditioner skriver vi lige op som en definition: Definition 2 Hvis man om en funktion, f, udelukkende oplyser et udtryk for funktionsværdien i et ikke nærmere bestemt element, x, f.eks.: f(x) = x 2 så er det underforstået at der er tale om en funktion med primær og sekundærmængde R, og at dens definitionsmængde er mængden af de reelle tal, x, hvor det givne udtryk for f(x) giver mening. 6 Der kommer eksempler på funktioner med andre sekundærmængder. F.eks. når vi skal arbejde med de såkaldte vektorfunktioner. Dem kan du læse om her side 14

17 Eksempel 9 Betragt funktionen f givet ved regneudtrykket: f(x) = 1 x 1. Her er det så underforstået at denne funktion har primær og sekundærmængde R og at dens definitionsmængde består af alle 1 de reelle tal, x, hvor regneudtrykket giver mening. Eftersom x 1 man ikke må dividere med nul, er dette alle andre reelle tal end x = 1. Med andre ord: Dm(f) = R \ {1} En advarsel! Når man taler om funktioner, er der er utroligt mange mennesker som tilsyneladende ikke kan se forskel på udtrykkene og f f(x) Dette er en skandale, fordi de to ting betyder noget fuldkommen forskelligt: f er som regel navnet på en funktion, med alt hvad den måtte have af primærmængde, sekundærmængde og funktionsregel. f(x) derimod betyder umiddelbart ingenting. Først hvis x er et givet element i definitionsmængden, så betyder f(x) det element i sekundærmængden som fremkommer ved at tage f på x. Det kan give anledning til rigtig meget forvirring hvis man ikke husker denne forskel, og den primære årsag er nok den tradition som er nævnt ovenfor. Lær den derfor, men brug den forsigtigt! Man kan sågar komme ud for at nogen skriver: side 15

18 eller endnu værre: Betragt funktionen: f(x) = 1 x 1. Funktionen x 2 Der er naturligvis stadig ingen tvivl om hvilken funktion vi taler om. Men hvis man læser det for mange gange, kan man måske begynde at tro at f(x) eller x 2 er selve funktionen. Men det er det altså ikke! 3.4 Bestemmelse af definitionsmængden Når ikke en funktions definitionsmængde er oplyst direkte, så er man selv nødt til at bestemme den ud fra reglen om at den skal bestå af de reelle tal, hvor den oplyste funktionsregel giver mening. Når man skal finde en funktions definitionsmængde, så skal man specielt holde øje med følgende: Brøker: Hvis nævneren giver nul, giver brøken ikke mening. Kvadratrodstegn: Hvis udtrykket inde i kvadratrodstegnet bliver negativt, giver kvadratrodstegnet ikke mening. Potensopløftninger: Hvis p er et negativt heltal, giver x p ikke mening når x er nul. Hvis p er en brøk eller et irrationelt tal, giver x p kun mening for x > 0. 7 Tangens: tan(x) giver ikke mening hvis x er π 2 gange π. 8 plus et helt antal Inverse trigonometriske funktioner: cos 1 (x) og sin 1 (x) giver kun mening hvis x [ 1; 1]. 9 7 Læs om potensregneregler her 8 Læs om de trigonometriske funktioner her 9 Læs om de inverse trigonometriske funktioner her side 16

19 Logaritmer: Hvis udtrykket inde i en logaritme er negativt eller nul, giver logaritmen ikke mening. 10 Øvelse 2 Betragt funktionen: f(x) = 1 x + 19 x sin(x) Hvilken af følgende udtalelser er mest forkert? 1. f(x) er en kompliceret funktion 2. f er en kompliceret funktion Bestem desuden definitionsmængden for f. Traditionen fra definition 2 kan nogle gange medføre nogle lidt underlige konklusioner. Det skal vi lige se et enkelt eksempel på: Eksempel 10 Betragt de to funktioner f og g givet ved: f(x) = 1 og g(x) = x x 10 Læs om logaritmefunktioner her side 17

20 Begge disse funktioner giver altid funktionsværdien 1. Men de er alligevel forskellige funktioner. Forskellen er at f er defineret i alle reelle tal, mens g ikke er defineret i x = 0. (Brøken 0 0 giver ikke mening.) 3.5 Gaffelforskrifter Mange funktioner har en fuldkommen logisk regel som kan formuleres med en enkelt information. F.eks. betyder f(x) = 2x den funktion med definitionsmængde R, sekundærmængde R, og som simpelt hen ganger ting med 2. Der er dog også funktioner som er mere komplicerede. Man kunne forestille sig at funktionen reagerede forskelligt, alt efter om man tog den til et negativt tal eller et positivt tal. Lad os f.eks. forestille os en funktion, f : R R, som ganger med 2 hvis man tager den på et positivt tal, men som ganske enkelt giver værdien nul, hvis man tager den på noget andet. Hvis man skal definere en sådan funktion, benytter man følgende skrivemåde: { 2x, x > 0 f(x) = 0, x 0 Dette skal læses som at f gør noget forskelligt alt efter om man tager den i et positivt tal, eller i et tal der er nul eller mindre. Hvis x > 0 skal man læses funktionens regel i den øverste linje, og ellers skal man læse funktionens regel i den nederste linje. Man kalder dette en gaffelforskrift for funktionen. Man kan også have mere komplicerede gaffelforskrifter: side 18

21 Eksempel 11 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften: f(x) = 2x, x > 10 0, x 0 x 2, x [1; 6] 27, ellers Bemærk den nederste linje, hvor betingelsen bare er skrevet som ellers. Det betyder at funktionens værdi skal læses i denne linje i alle de situationer, som ikke er omfattet af nogen af de andre linjer. Således giver denne funktion følgende funktionsværdier: (Tjek selv efter at det passer!) f(-144) = 0 f(0) = 0 f(12) = 24 f(100) = 200 f(4) = 16 f(7) = 27 Øvelse 3 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften: { x, x 0 f(x) = x, x < 0 Beregn funktionsværdierne: f(0), f(5), f( 4) og f( 17). Denne side 19

22 funktion er bedre kendt under et andet navn. Hvilket navn er det? 3.6 De trigonometriske grundfunktioner Sinus, Cosinus og Tangens er funktioner. De kaldes de trigonometriske grundfunktioner. F.eks. er sinus defineret ved: sin(x) = y-koordinaten til det punkt på enhedscirklen hvor venstre ben skærer, idet man tolker x som en vinkel og indtegner den med spidsen i origo og højre ben langs x-aksen. Der er et enkelt farligt punkt i denne lange definition, og det er ordene idet man tolker x som en vinkel. Det skyldes at man skal være fuldstændigt enige om hvordan et givet tal x kan tolkes som en vinkel. For det første skal man være enige om hvorvidt vinkler måles i radianer eller i grader. Ellers aner man jo ikke om x-værdien 1,6 skal tolkes som en meget lille vinkel på 1,6 eller som en vinkel som næsten er ret (fordi den er lidt over π 2 ). Den generelle regel er at: Så snart de trigonometriske funktioner betragtes som funktioner skal vinkler angives i radianer! Vi skal således udelukkende måle vinkler i radianer i dette afsnit. Tag derfor allerede nu fat i din lommeregner og indstil den til at vinkler angives i radianer, og væn dig til at kontrollere denne indstilling hver eneste gang du rører ved en af de trigonometriske funktionstaster 11 For det andet skal man være enige om hvordan et tal, x tolkes som en vinkel hvis det er negativt, eller hvis det er større end 2π 11 De fleste lommeregnere har enten Deg eller Rad stående et sted i display et for at vise hvad den er indstillet til. side 20

23 (en hel omgang rundt på enhedscirklen). Det har vi dog allerede en konvention om, nemlig at negative tal tolkes som vinkler, der kører den modsatte vej, altså hvor det i praksis er vinklens venstre ben, der ligger langs x-aksen, og at tal der er større end 2π blot tolkes som at køre flere omgange rundt. 4 Grafer Vi vil nu begrænse os til udelukkende at tale om funktioner hvis primær og sekundærmængde er de reelle tal. Definition 3 For enhver funktion f : R R definerer vi grafen for f, som følgende mængde: Graf(f) = {(x; y) R 2 x Dm(f) y = f(x)} 4.1 Bemærkninger og eksempler Grafen for en funktion er altså en delmængde af det todimensionale koordinatsystem. Derfor starter man selvfølgelig med at tegne et koordinatsystem, hvis man vil tegne grafen for en funktion. Definitionen kan godt være lidt svær at læse rigtigt. Der står at man skal indtegne alle punkter af typen (x; y) hvor x-koordinaten ligger i Dm(f) og y-koordinaten er lig med f s værdi i x-koordinaten. I praksis tegnes grafen ved at man finder alle elementer fra Dm(f) et ad gangen på x-aksen. Hver gang man finder sådan et (lad os kalde det x), beregner man funktionens værdi f(x), og så sætter man en prik i højden f(x). Man må meget gerne huske definitionen på grafen ved at memoside 21

24 rere den helt centrale ligning: y = f(x) men man skal selvfølgelig huske at x og y er henholdsvis x-koordinaten og y-koordinaten til et punkt på grafen, og at x skal gennemløbe alle elementer i definitionsmængden. Som regel vil grafen strække sig ud over hele koordinatsystemet, og man vil derfor aldrig kunne tegne hele grafen. I stedet skal man udvælge et fornuftigt udsnit af grafen, som enten viser den del af grafen som er interessant i den aktuelle situation, eller som tydeligt antyder hvordan resten af grafen forløber. Eksempel 12 Vi vil tegne grafen for funktionen f : R R givet ved: Grafen er i dette tilfælde: x x 2 (x > 0) Graf(f) = {(x; y) R 2 x R + y = x 2 } Vi skal altså indtegne alle punkter (x; y) hvor x er et positivt tal, og y = x 2. Dette gøres ved at vælge en x-værdi ad gangen, og hver eneste gang beregne hvad den tilhørende y-værdi skal være. Til x-værdien 1 hører f.eks. y-værdien 1 2 = 1, til x-værdien 2 hører y-værdien 2 2 = 4, og til x-værdien 1 1 hører y-værdien 2 = Derfor sættes der prikker i punkterne (1; 1), (2; 4) og ( 1 ; 1 ) Fortsætter vi på denne måde, opstår kurven på figur 3. Bemærk at vi har sat en åben prik 12 i origo, for at antyde at der ikke er noget punkt i selve origo (0 er jo ikke i defini- 12 Læs om notationen med åbne og lukkede prikker her side 22

25 5 4 y=f(x) Figur 3: Grafen for funktionen i eksempel 12 side 23

26 tionsmængden), men der er punkter vilkårligt tæt på (f.eks. i punktet ( 1 ; 1 ) Figur 3 indeholder naturligvis ikke hele grafen, eftersom dette ville kræve et uendeligt stort koordinatsystem. I stedet har vi valgt et fornuftigt udsnit af grafen, som giver et indtryk af hvordan resten af grafen forløber. Bemærk at grafen (i princippet) indeholder al information om vores funktion. Hvis man er interesseret i funktionsværdien i f.eks. 23, skal man blot finde 23 på x-aksen og se i hvilken højde grafen befinder sig derhenne. Dette vil naturligvis være et meget stort tal (helt præcist 529), og man vil skulle bruge et andet udsnit af grafen end det på figur 3, men det er principielt muligt. Grafen giver dog meget mere information om funktionen end blot muligheden for at aflæse dens funktionsværdier en af gangen. Hvis man kigger på alle funktionsværdierne på en gang, får man et indtryk af hvordan funktionens værdier ændrer sig når man tager den i forskellige tal. F.eks. kan man se på figur 3 at f er en såkaldt voksende funktion. Jo større tal man tager funktionen i, desto større bliver funktionsværdien. Men ikke bare det: Man kan endda se at funktionen vokser langsomt i starten, og jo større tal man sætter ind i den, desto hurtigere vokser den. Øvelse 4 Tegn grafer for funktionerne i eksempel 4, 5, 7, 8, 9 og 11. Som du nok allerede har opdaget, er det bestemt ikke enhver delmængde af koordinatsystemet som kan være graf for en funktion. side 24

27 Der kan aldrig kan være to punkter på en graf, som har samme x- koordinat, men to forskellige y-koordinater. Det ville jo betyde at funktionen skulle have to forskellige funktionsværdier i det den pågældende x-koordinat. Øvelse 5 Hvilke af kurverne på figur 4 kan opstå som grafen for en funktion? Figur 4: Graf eller ej? 4.2 Grafer for de trigonometriske funktioner Til sidst vil vi tegne grafer for de trigonometriske grundfunktioner. Det er en meget god ide at lære disse grafers forløb udenad, med så mange detaljer som muligt. side 25

28 Figur 5: Grafen for sinus Figur 6: Grafen for cosinus side 26

29 Bemærkning om radianer og grafhældning Læg rigtig godt mærke til enhederne på x-aksen. Det sted hvor grafen for sinus topper, og hvor grafen for cosinus rammer x-aksen for første gang ligger i x-koordinaten π 1,57. Og begge grafer gentager 2 sig selv hver gang man går 2π 6,28 ud langs x-aksen. Dette skyldes selvfølgelig at vi regner vinkler i radianer. Hvis man havde regnet vinkler i grader, ville der have stået henholdsvis 90 og 360. Dette er faktisk grunden til at vi regner vinkler i radianer. Vi skal nemlig på et tidspunkt beskæftige os meget med et begreb der hedder differentiation som handler om hvor meget en graf hælder. Når man beskæftiger sig med dette, opdager man en sjov (og meget vigtig) sammenhæng mellem sinus og cosinus: Prøv at kigge på grafen for sinus. Til x-koordinaten nul giver funktionsværdien nul, og derfor går grafen gennem origo. Idet den gør går gennem origo, følger den nærmest en ret linje med hældningskoefficient 1. Prøv nu at kigge på grafen for cosinus og se hvad værdien af cosinus er til x-koordinaten nul. Hvis man gentager dette eksperiment i andre x-koordinater, opdager man at værdien af cosinus bestemmer hældningen af grafen for sinus. Hvis vi havde målt vinkler i grader, ville der have stået helt andre tal på x-aksen, og derfor ville både cosinus og sinus have grafhældninger som var meget (cirka 50 gange) mindre. Til sidst vil vi tegne grafen for tangens (se figur 7). Den ser helt anderledes ud end de to foregående. Det skyldes blandt andet at tangens ikke er defineret i alle reelle tal. Husk på at tangens til en vinkel angiver hældningen af det rette linjestykke mellem origo og enhedscirklen, som fremkommer når man indtegner vinklen med højre ben langs x-aksen. Da lodrette linjestykker ikke har nogen hældning, er tangens ikke defineret i vinkler som er lig π plus et helt antal gange 4 π, og når vinklen nærmer sig disse tal, vil værdien af tangens blive meget stor (eventuelt negativ). Læg for øvrigt mærke til at de steder hvor tangens er udefineret svarer præcis til de steder hvor cosinus er nul. side 27

30 Figur 7: Grafen for tangens side 28

31 4.3 Graftegning v.h.a. IT-værktøj I praksis tegner man næsten aldrig grafer i hånden. Der findes nemlig et hav af elektroniske redskaber som kan gøre det for os. Grafiske lommeregnere: F.eks. Texas TI-89 kan tegne grafer, selvom den ikke er særligt god til det. God i en snæver vending, hvis man ikke har en computer i nærheden, men helt umulig hvis man f.eks. skal bruge grafen i en præsentation. Graphmatica: Fremragende og simpelt udseende program, som kan præcis det som det skal kunne. Det kører dog kun på Windows-computere, og det koster penge. Graph: Et glimrende gratis (GNU open source) alternativ til Graphmatica. Det kan downloades til Windows-computere her: Der er også en kildefil som kan kompileres på andre systemer. Grapher: Et program, der er indbygget i styresystemet OS-X på Apple-computere. Programmet kan praktisk talt alt, selvom det nogle gange kan være lidt svært at overtale det til at gøre hvad man ønsker. Fordelen ved at bruge et elektronisk værktøj er selvfølgelig at det går meget hurtigere, og at tegningerne bliver pænere og mere præcise. Ulempen ved at bruge et elektronisk værktøj er, at man nemt kan glemme at tænke sig om. Et graftegningsprogram kan lynhurtigt vælge flere tusinde elementer i definitionsmængden, og for hver af disse udregne funktionsværdien og sætte en prik i koordinatsystemet. Men programmet kan ikke regne ud hvilket udsnit af grafen vi har lyst til at se! Dette skal man selv tænke over og gøre programmet opmærksom på, inden man sætter det i gang med at tegne grafen. side 29

32 Øvelse 6 På figur 8, 9 og 10 har vi tegnet forskellige udsnit af grafen for funktionen: f(x) = 3x4 + x 3 + x 2 2x 3 x 3 Hvilket udsnit siger mest om grafens forløb? Figur 8: Et udsnit af grafen for funktionen i eksempel 6 Nogle gange kan det være helt umuligt at finde et grafudsnit som fortæller alt om hvordan grafen opfører sig. Prøv f.eks. at tegne en god graf for følgende uskyldigt udseende funktion: Øvelse 7 Tegn grafen for funktionen: R \ {0} R f : 100 sin( x x ) 100x side 30

33 Figur 9: Et udsnit af grafen for funktionen i eksempel Figur 10: Et udsnit af grafen for funktionen i eksempel 6 side 31

34 4.4 Grafisk overblik over ligninger og uligheder Sammenhængen mellem ligninger og funktioner kan også bruges når man skal løse komplicerede ligninger og uligheder. Enhver ligning med én ukendt størrelse x kan betragtes som om der står: f(x) = g(x) hvor f og g er to funktioner. Når man skal forsøge at løse en sådan ligning, kan det være en kæmpe hjælp at tegne graferne for de to funktioner i det samme koordinatsystem. Løsninger til ligningen vil således nemlig bestå af x-koordinater til punkter hvor de to grafer skærer hinanden. Det kan ganske vist sjældent lade sig gøre at aflæse løsningerne præcist på denne måde, men man kan let danne sig et overblik over hvor mange løsninger der er, og omtrent hvor de ligger. Tilsvarende vil enhver ulighed med én ukendt størrelse x kunne betragtes som om der står eller f(x) < g(x) f(x) g(x) hvor f og g er to funktioner. Igen er det smart at tegne de to grafer i det samme koordinatsystem. Løsningerne til uligheden vil således bestå af alle de x-koordinater til punkter hvor grafen for f ligger under grafen for g. (Eventuelt inklusive skæringspunkterne, hvis uligheden er blød.) Hvis man allerede har løsningerne til den tilsvarende ligning, er det så let som ingenting at aflæse løsningsintervallerne til uligheden på graferne ved ganske enkelt at aflæse i hvilke intervaller den rigtige graf ligger øverst. side 32

35 4.5 Grafkending Mens det at tegne en graf for en given funktion altid er lige ud af landevejen så er det en meget finurlig kunst at gå den omvendte vej: At se grafen for en funktion, og derudfra regne ud hvilken funktion der er tale om. Men samtidigt er grafkending (som det kaldes) en kunst som kan være ekstremt nyttig i praksis. For det første findes der mange situtiationer ude i virkeligheden hvor man står med en funktion, men hvor man kun kender et antal funktionsværdier (svarende til et antal givne punkter på grafen). Hvis man derudfra kan gætte en funktionsregel som passer med alle de givne punkter, så kan denne regel bruges til at forudsige alle mulige andre funktionsværdier. Denne proces kaldes modellering, og det bliver gennemgået i et andet dokument 13 Derudover giver det en solid forståelse af de forskellige regneoperationer hvis man lærer hvad hver enkelt operation gør ved grafen for en funktion hvis de indgår i funktionsreglen. I næste afsnit skal vi se hvordan et kompliceret funktionsudtryk kan ses som en kombination af flere simple funktionsudtryk. Når man derefter prøver at forstå hvordan forskellige kombinationer af funktionsudtryk påvirker den færdige graf 14, så bliver man hurtigt bedre til at genkende funktioner ud fra deres grafer. 5 Regneoperationer på funktioner Vi vil nu definere hvordan man kan regne med funktioner på næsten samme måde som med reelle tal. Vi skal definere hvordan funktioner lægges sammen, trækkes fra hinanden, ganges og divideres med hinanden samt en helt ny regneoperation kaldet sammensætning. Disse regneoperationer gør det muligt at konstruere masser af nye, avancerede funktioner ud fra nogle få basale funktioner. 13 Læs om modellering her 14 Dette emne kaldes grafmanipulation, og det kan du læse om her side 33

36 5.1 Addition, subtraktion, multiplikation og division Definitionerne i dette afsnit er så simple at man nemt kan tro at de slet ikke siger noget som helst. Men husk på at vi er i gang med at definere helt nye regneoperationer. Ikke fordi regnesymbolerne er nye, men fordi de skal sættes mellem nogle nye, og meget abstrakte ting, nemlig funktioner. Definition 4 Hvis f og g er to funktioner med primær og sekundærmængde R, definerer vi funktionen: f + g ved: (f + g)(x) = f(x) + g(x) Bemærk at vi underforstået har fastlagt at definitionsmængden for f + g er: Dm(f + g) = Dm(f) Dm(g) fordi udtrykket f(x) + g(x) giver mening præcis når x både ligger i Dm(f) og Dm(g). Eksempel 13 Betragt funktionerne f og g givet ved: og f(x) = 1 x 1 Der gælder underforstået at g(x) = 1 x Dm(f) = R \ {1} side 34

37 og Dm(g) = R \ {0} Funktionen f + g er således defineret i og er selvfølgelig defineret ved: For eksempel er: Dm(f + g) = R \ {0, 1} (f + g)(x) = 1 x x (f + g)(2) = = 3 2 Definition 5 Hvis f og g er to funktioner med primær og sekundærmængde R, definerer vi funktionerne: f g, f g og f g ved: (f g)(x) = f(x) g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) f f(x) (x) = g g(x) Der gælder fuldstændig de samme bemærkninger om definitionsmængden for disse funktioner. Bemærk dog at definitionsmængden side 35

38 for f g ofte er endnu mindre, fordi udtrykket f(x) g(x) giver mening præcis hvis x ligger i Dm(f) og Dm(g) og der gælder at g(x) 0. Øvelse 8 Betragt funktionerne: 1. Den konstante funktion, f 1, givet ved: f 1 (x) = f 2 : R R givet ved: x 1 x (x 0) 3. Funktionen f 3, givet ved: f 3 (x) = x Funktionen f 4, givet ved: f 4 (x) = x Bestem både definitionsmængden og funktionsreglen for følgende funktioner, og tegn deres grafer f 1 + f 4 f 3 f 2 f 4 f 1 + f 4 f 3 side 36

39 5.2 Sammensætning I virkeligheden var sidste afsnit mest beregnet til at vænne dig til tanken om at man kan have regneoperationer på mængden af funktioner. Vi skal nu definere en helt ny regneoperation, som slet ikke minder om nogen regneoperationer mellem talstørrelser. Den kaldes sammensætning. Definition 6 Hvis f og g er to funktioner med primær og sekundærmængde R, så definerer vi sammensætningen, f g (læses som: f bolle g ) som: (f g)(x) = f(g(x)) Definitionen kan være lidt svær at læse: Der står at den sammensatte funktion (f g) tages i et x, ved at man først tager g på x, og derefter tager f på resultatet. Man bør have det abstrakte billede på figur 11 i hovedet hver gang man taler om sammensætning af funktioner. (Bemærk rækkefølgen af de to funktioner.) Eksempel 14 Lad f og g være funktionerne givet ved: f(x) = x 2 og g(x) = x+1. Den sammensatte funktion f g er givet ved: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 (Hvor vi brugte den første kvadratsætning i den sidste omskrivning.) Man kan også sammensætte de to funktioner i den omvendte rækkefølge. Den sammensatte funktion g f er givet ved: (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x side 37

40 5.2.1 Bemærkninger Figur 11: Sammensætning af to funktioner Læg mærke til at f g ikke er den samme funktion som g f. Man kan sige at den kommutative lov ikke gælder for sammensætning af funktioner. Definitionsmængden for den sammensatte funktion er en temmeligt kompliceret sag. Den består af elementer x som for det første ligger i Dm(g) (ellers kan man så ikke tage g på dem), og som opfører sig sådan at g(x) ligger i Dm(f). Det næste eksempel viser hvordan man i praksis finder ud af dette. Eksempel 15 Betragt funktionerne f og g, hvor f(x) = x og g(x) = tan x Den sammensatte funktion f g er givet ved: (f g)(x) = tan x side 38

41 Definitionsmængden består således af elementer x som ligger i Dm(g) = R \ {... 3π 2, π 2, π 2, 3π 2,...} og som opfylder at tan x ligger i Dm(f) = [0; [ Hvis man kigger grundigt efter på grafen for tangens (se figur 7), kan man se at det drejer sig om følgende komplicerede definitionsmængde: Dm(f g) = {x R tan x 0} =... [ π; π + π 2 [ [ 0; π 2 [ [ [ π; π + π 2... Denne mængde er en forening af uendeligt mange intervaller. For at gøre det lidt mere overskueligt har vi opmalet den med rødt på x-aksen i figur 12. Øvelse 9 Beskriv den sammensatte funktion g f, hvor f og g er funktionerne fra eksempel 15. Bestem også dens definitionsmængde. Øvelse 10 Betragt de fire funktioner, f 1, f 2, f 3 og f 4 fra opgave 8. Angiv funktionsreglen og definitionsmængden for følgende funktioner: 1. f 1 f 2 side 39

42 Figur 12: Grafen for tangens med markering af definitionsmængden for den sammensatte funktion i eksempel 15 side 40

43 2. f 3 f 2 3. f 3 f 3 4. f 4 f 3 f 2 f Om at læse et sammensat funktionsudtryk Hvis de foregående afsnit har mindet dig om noget du har set under ULULU -temaet, så er du på det helt rigtige spor! I temaet om Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder trænede du jo den ædle kunst at læse et udtryk hvor der indgik ukendte størrelser og derunder svare på spørgsmålet: Hvad er der sket med den ukendte størrelse, og i hvilken rækkefølge? Vi minder lige om at den allervigtigste forudsætning for at mestre denne kunst er at man kender regnearternes hierarki samt reglerne om brug af parenteser ikke mindst de usynlige parenteser i brøker, potenser og kvadratrødder. Eksempel 16 Udtrykket: x x skal i første omgang læses med alle de usynlige parenteser: ( (3 x) ) ( (x 4 + 5) + 6 ) Dette skal derefter fortolkes således: Man tager to kopier af x. Først beregner man tælleren af brøken med den ene kopi af x: side 41

44 x ganges med 3. 2 opløftes i resultatet. Der lægges 1 til resultatet. Derefter beregner man nævneren med den anden kopi af x: x opløftes i fjerde potens. Der lægges 5 til resultatet. Der tages kvadratroden af resultatet. Der lægges 6 til resultatet. Når disse to beregninger er udført divideres resultatet af den første med resultatet af den anden. Lige præcis denne evne skal genbruges når man læser et kompliceret funktionsudtryk. Således kan den komplicerede funktion: f(x) = x x nedbrydes i atomer på følgende måde: Først og fremmest kan vi skrive: hvor g og h er funktionerne: f = g h g(x) = x og h(x) = x side 42

45 Disse to funktioner kan igen beskrives som en sammensætning af funktioner: g = g 3 g 2 g 1 og Hvor: og: h = h 4 h 3 h 2 h 1 g 1 (x) = 3x g 2 (x) = 2 x g 3 (x) = 1 + x h 1 (x) = x 4 h 2 (x) = x + 5 h 3 (x) = x h 4 (x) = x + 6 Bemærk at der som regel er mere end 1 rigtig måde at skille en funktion ad på. F.eks. kunne funktionen h i eksemplet også ses som en sum af h 3 h 2 h 1 med den konstante funktion k(x) = 6. side 43

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Jan 2016 - juni 2016 Institution Hotel- og Restaurantskolen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold EUX ernæringsassistent

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere