MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1"

Transkript

1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations and dynamical systems; Springer. Groft sagt begynder vi med at gennemgå kapitel 1 3, 5 7 i [A] i løbet af de første 10 seancer. Jævnfør skemaet på næste oversigt. I kan med fordel læse til og med side 8 i [A] som forberedelse til første gang. 2. gang, fredag den 4. september : Vi tager hul på [A] og stiler mod at nå Subspaces i kapitel og igen : Her er programmet opgaveregning: Kapitalformlen: Bevis ved induktion efter n, at den simple differensligning K n+1 = (1 + r)k n (hvor r betegner rentefoden, f.eks. r = 0, 07 ved 7% p.a.) har løsningen K n = (1 + r) n K 0. (1) Hvis man som 20-årig anbringer 10000kr. til 10% p.a, hvad er så K 14? (Mange køber hus når de er ) Og K 40? (mange køber sommerhus, når de er 60.) Hvad får man, circa, ved at placere 10000kr. til 10% p.a. hvert år som årig? K 14? K 40? Iteration: Man kan bestemme 2 f.eks. ved at indføre f(x) = x og at x k+1 x k + f (x k ) 1 (f(x k ) f(x k 1 )), (2) Prøv at indsætte x 0 = 1, 4 og x 1 = 1, 41 osv. Om C: Regn i [A]. Om vektorrum: Regn 1.3 i [A]. Om underrum: Lav i [A] : Her gennemgår vi resten af Kapitel 1 om sum af underrum. 2. gang, tirsdag den 8. september : Vi begynder på kapitel 2 og stiler mod at nå : Programmet er resten af opgaverne til kapitel 1 i [A] : Vi fortsætter med kapitel 2 i [A], til og med

2 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER Oversigt nr. 2 Nedenstående er opdateret pér 1. september. Emnerne er glimrende STIKORD i forbindelse med selvoverhøring... Uge Dato Seance Emner 36 4/9 1 kapitel 1: Vektorrum, underrum, direkte summer 37 8/9 2 kapitel 2: Lineær (u)afhængighed, frembringelse, baser 11/9 3 kapitel 2: Baser: supplering/udtyndelse, dimension, Grassmann s dimensionsformel 38 15/9 4 kapitel 3: Lineære afbildninger, nulrum og billedrum, dimensionssætningen; matricer 18/9 5 kapitel 3: Invertibilitet, koordinattransformationer 39 22/9 6 kapitel 5: Egenværdier og -vektorer, invariante underrum, øvre trekantsmatricer 23/9 7 kapitel 5: Diagonalisering, basisskifte 40 29/9 8 kapitel 6: Indre produkt, norm; Cauchy Schwarz ulighed; ortonormale baser, Gram Schmidt ortonormalisering 2/10 9 kapitel 6: Ortogonal projektion, afstandsminimering, adjungerede afbildninger og ditto matricer 41 6/10 10 kapitel 7: Normale/selv-adjungerede operatorer, spektralsætningen 9/10 11 kapitel 7: Mere om spektralsætningerne, similaritet Ændringer kan naturligvis forekomme undervejs. 2

3 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 9. september 2009 Oversigt nr. 3 Vi fik sidste gang gennemgået kapitel 2 til og med Prop Første gang nævnte vi følgende hovedeksempel: Lad F (M, L n ) betegne mængden af afbildninger f : M L n, hvorved M er en given vilkårlig mængde. Da er V = F (M, L n ) også et vektorrum over L med de punktvise kompositioner: (f + g)(m) = f(m) + g(m); (a f)(m) = a f(m). F.eks. er C k = F (M, L) når man tager M = {1, 2,..., k} og L = C, idet f F ({1, 2,..., k}, C) da har sin værdimængde f({1, 2,..., k}) organiseret som (z 1, z 2..., z k ). (Dette er mao. den præcise definition af et par (z 1, z 2 ), et tripel (z 1, z 2, z 3 ) eller et generelt k-tupel (z 1, z 2,..., z k ).) På samme vis fås R k. Desuden fås eksemplet L fra [A] som F (N, L) overvej hvorfor! Dette er nyttigt i forbindelse med Den storplettede ugle: (Repeter dette eksempel fra indledningen til kapitel 5 i Lays bog.) Tilstandsvektorerne x k = (j k, s k, a k ) kan bekvemt anses ) for at ligge i C 3 pga. komplekse egenværdier for matricen A =. Her er A lig koefficientmatricen i det diskrete dynamiske system ( 0 0 1/3 0, ,71 0,94 x k+1 = A x k, for k {0, 1, 2, 3,... } = N 0. En løsning x k hertil er faktisk et element i F (N 0, C 3 ), som er et komplekst vektorrum, jævnfør ovenfor. Eksemplet tages op ved næste forelæsning. 3. gang, fredag den 11. september. Foruden ovenstående er programmet: : I [A] fortsætter vi med 2.10 om supplering til en basis, frem til Undervejs vil lemma 2.4 spille en afgørende rolle (som i beviset for theorem 2.6), så sørg for at du/i har forstået dette lemma før forelæsningen og : Opgaverne bliver her følgende: Frembringersæt: Frembringer ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 4)) C 3? Baser: Vis at B = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)) er en basis for C 3. Find koordinaterne for (1 + i, 2 + i, 2) mht. B. Lineær uafhængighed: Vis at hvis (u 1, u 2,..., u m ) er lineært uafhængigt, så er også (u 2,..., u m ) et lineært uafhængigt sæt. Gælder det samme for ethvert delsæt? Regn opg Endelig dimension: Gennemsku opg. 2.5! Almene vektorrum: Lad F (M, U) være mængden af afbildninger f : M U, hvor M er en vilkårlig mængde og U er et givet vektorrum over L. Eftervis da at V = F (M, U) er et vektorrum over L : Vi fortsætter her med resten af kapitel 2, hvor vi skal beskæftige os med begrebet dimension på en seriøs måde. 3

4 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 11. september 2009 Oversigt nr gang, tirsdag den 15. september : Vi begynder på kapitel 3 i [A] om lineære afbildninger (også kaldet operatorer) : Ved øvelserne regnes opgaver om: Grundbegreber: Lad U R 3 bestå af de vektorer (x, y, z), som for passende s, t R opfylder x 1 1 y = s 2 + t 2. z 3 5 Find et frembringersæt for U. Bestem et lineært uafhængigt sæt i U. Angiv en basis B for U, og bestem koordinaterne for u = (3, 2, 11) mht. denne basis. Suppler B til en basis B for R 3. Angiv koordinaterne for u mht. B. Hvad er dim U? Er dette en modstrid med at u er et tripel? Udtynding: Udtynd sættet ((1, 1), (2, 3), (3, 2)) til en basis for det komplekse rum C 2. (Overvej hvorfor du/i fik et frembringersæt for C 2.) Kan sættet ) ( 12 1 ((, 1 3 udtyndes til en basis for C 3? 2 ) ( ) ( 03 1 ),, 4 ) 1 1 Polynomier: Vis at P m (R) er et underrum af P(R). Kontroller at B = (1, x, x 2,..., x m ) er en basis for P m (R) og find dim P m. Godtgør at polynomierne, for fastholdt a R, S a = (1, x a, (x a) 2,..., (x a) m ) (3) er et frembringersæt for P m (R). (Vink: Brug Taylors formel.) Vis også at sættet S a er en basis for P m (R). Er S a en smartere basis end B? Prøv at Taylor-udvikle sin x i a = π/2 til orden m = 2 og skrive polynomiet i basen B fremskridt eller tilbageskridt? Baser: Regn opgaverne Direkte sum: Lav (U)endelig dimension: Regn : Her gennemgår vi kapitel 3 frem til side 53 om matricer. 4

5 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 17. september 2009 Oversigt nr. 5 Vi nåede sidste gang til og med s. 50. Dog blev et par forklaringer udskudt. I kapitel 3 bør I se grundigt på eksemplerne forstå hvorfor afbildningerne er lineære. 5. gang, fredag den 18. september. Hovedemne: Linearitet. Bemærk tiderne! : Vi fortætter med kapitel 3 om lineære afbildninger og matricer : Opgaveregningen fokuserer på: Linearitet: Eftervis at T : V W er lineær netop når T (λu + µv) = λt u + µt v (4) for alle skalarer λ, µ L og alle u, v V. Verificer påstanden s. 41 øverst om at ST er lineær. Regn endelig opgave 3.2 og 3.3 (brug at U har et komplement). Billedrum: Giv dit eget bevis for at billedmængden for en lineær afbilding er et underrum. Injektivitet: Lav 3.5. Surjektivitet: Godtgør påstandene om surjektivitet midt på s. 44. Regn dernæst 3.7. Dimensionssætningen: To udfordringer: Lav 3.8 og (Hvorfor må uligheden i opgaven forventes?) Desuden gamle opgaver, hvis der er tid til overs : Her gør vi kapitel 3 færdigt. 5

6 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 18. september 2009 Oversigt nr. 6 Vi nåede idag resten af kapitel 3. (Læs selv Proposition 3.20.) Næste gang skal vi se at Proposition 3.14 giver en simpel diskussion af Koordinatttransformation: Når et vektorrum V har to baser B = (v 1,..., v n ) og C = (w 1,..., w n ), så kan enhver vektor v V skrives på to måder: v = λ 1 v λ n v n = µ 1 w µ n w n. (5) Dette giver i første omgang to forskellige koordinatsøjler for v, nemlig λ 1 M(v, B) =. λ n, M(v, C) = µ 1. µ n. (6) Kendes blot den ene kan den anden bestemmes ved hjælp af koordinatransformationsmatricen S, idet M(v, C) = K M(v, B). (7) NB! Her er K = M(I, B, C) når I : V V betegner den identiske afbildning, og formlen (7) følger direkte af Proposition 3.14, når denne bruges på I. Eksempelvis har v = (1, 7) koordinatsøjlen ( 1 7 ) mht. den naturlige basis E = (e 1, e 2 ); desuden kunne man indføre basen C = (w 1, w 2 ), hvor w 1 = (1, 1), w 2 = (1, 1). Idet e 1 = 1 2 w w 2, e 2 = 1 2 w w 2, (8) sluttes (af side 48 i [A]) at K = M(I, E, C) = M(v, C) = ( ) ( ) 1/2 1/2 1 1/2 1/2 7 ( ) 1/2 1/2 1/2 1/2, hvorfor (7) giver = ( ) 3. (9) 4 6. gang, tirsdag den 22. september : Først gøres kapitel 3 færdigt med konsekvenserne ofr koordinattransformationer. Læs og forstå ovenstående, så lægger vi hovedvægten på matricers transformation. Dernæst tager vi i kapitel 5 et gensyn med egenværdier og egenvektorer. Desuden skal I møde invariante underrum: Hvis T L(V ), så kaldes et underrum U V invariant ved T, hvis T (U) U : Opgaver i flg. emner: 6

7 Matricer: Find w = T (1, 1), når T er som midt på side 49 i [A]. Bestem dernæst M(w) ved at bruge T s matrix. Indfør nu basen B = ((2, 0), (1, 1)) for L 2 foruden den naturlige basis E for L 3. Hvad er da M(1, 1) og M(T ; B, E)? Brug disse til at bestemme M(w). Lav Koordinater: Regn Er der en isomorfi her? Dimensionssætningen: Regn Inverterbarhed: Vis at hvis T L(V ) er inverterbar, så har matricen M(T ) (mht. en fast valgt basis for V ) en invers matrix og M(T ) 1 = M(T 1 ). (10) Formuler og bevis et omvendt resultat hertil! Anvendelse: I (7) er matricen K inverterbar begrund hvorfor! Inverser: Gennemsku 3.22 (vink: Hvad kunne (ST ) 1 være?). Og den overraskende Injektiv: Lav 3.14 (brug opgave 3.3 til konstruktionen af S). Har du/i et bud på, hvad en højreinvers er!? Surjektiv: Lav 3.15 (brug opgave 3.8 til konstruktionen af S). Har du/i et bud på, hvad en venstreinvers er!? : Her fortsættes frem mod Theorem Den storplettede ugle: I forbindelse med differensligningen (jvf. Lays bog kap. 5) x k+1 = A 3,3 x k k = 0, 1, 2,... (11) kan man indføre x = ( x 0, x 1,..., x k,... ), som er element i det tidligere indførte vektorrum V = F (N 0, C 3 ). Da udgør løsningerne et underrum U V : Dvs., for alle skalarer λ, µ C og alle løsninger x, y fås en ny løsning z V, nemlig z = λx + µy = (λ x 0 + µ y 0,..., λ x k + µ y k,... ). Thi Ax = (A x 0,..., A x k,... ) definerer en lineær afbildning A: V V ; desuden rummer L(V ) skifteoperatoren Sx = ( x 1, x 2,..., x k+1,... ), jvf. side 39 i [A], så ligningen er ækvivalent med Sx = Ax og derfor med (S A)x = 0 eller x Null(S A). (12) Af disse grunde siges differensligningen at være lineær. 7

8 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 23. september 2009 Oversigt nr. 7 Som I kan se, springer vi kapitel 4 i [A] over. Dette skyldes især, at vi alligevel ikke kan overkomme at bevise algebraens fundamentalsætning (4.7) på dette semester. (I vil senere på MAT 2 se et smart bevis, der ikke bruger lineær algebra.) Man kan dog med fordel orientere sig om indholdet af kapitel 4. En god indgangsvinkel kunne være Korollar 4.8, som vi idag har brugt direkte i beviset for Theorem Indse dette (!) Prøv evt. at følge beviset for Korollar 4.8, dvs. for at korollaret er en konsekvens af algebraens fundamentalsætning gang, fredag den 25. september : Vi stiler mod at nå Prop og : Opgaver i: Polynomier af operatorer: Vis påstanden side 80 7 i [A]. Eftervis dernæst den helt afgørende formel side 81 1 at (pq)(t ) = p(t ) q(t ). (13) Den storplettede ugle(=anvendelse af teorien): Indse først, at der til hvert v R 3 findes et og kun et x = ( x 0,..., x k,... ) F (N 0, C 3 ) som opfylder { xk+1 = A 3,3 x k for k N 0 (14) x 0 = v. Vink: Man kan vise enhver løsning nødvendigvis har formen x = ( v, A v, A 2 v,... ); og omvendt at denne vektorfølge faktisk løser begyndelsesværdiproblemet ovenfor. Med andre ord er Φ( v) = ( v, A v, A 2 v,... ) en bijektion af C 3 på løsningsmængden, kaldet X, til selve differensligningen. Vis at Φ er en isomorfi C 3 X, samt at dim X = 3. (NB! Theorem 3.18 i [A] kan ikke bruges som den står; men brug forbemærkningen til den). Egenvektorer: Regn 5.5 og 5.6. Egenværdier: Regn Invariante underrum: Lav opg. 5.1 og 5.4. Eventuelt gamle opgaver, hvis der er tid til overs : Resten af kapitel 5 frem til side 90. Desuden lidt om basisskifte i forbindelse med diagonalisering. 8

9 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 25. september 2009 Oversigt nr. 8 Vi nåede i dag kapitel 5 frem til side 90 om diagonalisering af operatorer. Generelt siges en operator T L(V ) at være diagonaliserbar hvis den opfylder en (og dermed enhver) af de ækvivalente betingelser i NB! 8. gang, tirsdag den 29. september : Her fortsætter vi med kapitel 6 nu skal vi til at inddrage skalarprodukter. Vi vil tage let på de første 2 4 sider, som I bør læse inden forelæsningen : Opgaver: Matricer: Find matricen for T = d dx når V = P m(r) udstyres med basen (1, x, x 2,..., x m ). Ekstra: Hvorfor er λ = 0 eneste egenværdi? Er dette overraskende? Diagonalisering: Find samtlige egenværdier og -vektorer for ( ) , Brug Sætning 5.21 til at afgøre, om matricerne er diagonaliserbare. Den storplettede ugle: Vis at A er diagonaliserbar når 0 0 1/3 A = 0, , 71 0, 94 (Find dens karakteristiske polynomium ved håndkraft, siden rødderne (evt. ved maskinkraft) og bestem egenværdierne. Konkluder så!) Udled at der findes u 1, u 2, u 3 C 3 så enhver begyndelsesvektor v C 3 på entydig måde kan skrives v = c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3. Bevis at der for enhver løsning x = ( x 0, x 1,..., x k,... ) til differensligningen x k+1 = A x k gælder x k+1 = c 1 A k u 1 + c 2 A k u 2 + c 3 A k u 3 = c 1 λ k 1 u 1 + c 2 λ k 2 u 2 + c 3 λ k 3 u 3, (15) for komplekse skalarer λ 1 0, 98, λ 2 0, 2 + i 0, 21 og λ 3 0, 2 i 0, 21. Brug egenskaberne ved en norm til at udlede at Hvad betyder dette for uglebestanden? x k C 3 0 for k. (16) 9

10 Egenværdier og -vektorer: Regn opgave 5.8 og : Her stiler vi mod at nå gang, torsdag den 1. oktober : Vi fortsætter med kapitel : Opgaver i emnerne: Øvre trekantsmatricer: Regn opgave Egenværdier: Regn Evt Gram Schmidt: Tegn (2, 1) og ( 3, 2) og ortonomaliser dem! Cauchy Schwarz: Lav 6.3. Indre produkter: Regn Gamle opgaver der efter : Vi gennemgår resten af kapitel 6. Eksemplerne side vil kun blive skitserede men hvis I er bare lidt nysgerrige kan I lære en masse om matematik & lommeregnere mm! 10

11 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 6. oktober 2009 Oversigt nr. 9 I går nåede vi til og med side 116 i [A]. Siderne var kursorisk stof, omend meget illustrativt for rækkevidden af lineær algebra. 10. gang, fredag den 9. oktober. Efter aftale er tidsplanen: : Her gennemgår vi resten af kapitel 6. Orienter jer hjemmefra om funktionaler, adjungerede operatorer : Opgaver: Ortonormal: Afgør om vektorerne (1, 1, 1), (1, 1, 0) og (1, 0, 0) er en ortonormal basis for R 3. (Nem!) Brug Gram Schmidt ortogonalisering til at finde en o.n.b. for R 3. Skriv så (1, 1, 0) som en linearkombination af de fundne vektorer. Gram-Schmidt: Regn Ortogonalkomplement: Vis at U er et underrum og at {0} = V. Find U når U R 3 er givet ved U = span((1, 2, 3)). Opskriv hvad den direkte sum R 3 = U U giver for vektoren (2, 4, 1). Regn Ortogonal projektion: Eftervis nr. 2,3,5 blandt påstandene over Brug den almene formel for P U, jvf i [A], til at finde P U (2, 4, 1) i opgaven ovenfor. (Ser det bekendt ud?) : Vi tager hul på kapitel 7, og skal i stifte nærmere bekendtskab med operatorer T, der er selv-adjungerede (T = T ) eller normale (T T = T T ). 11

12 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 26. oktober 2009 Oversigt nr. 10 Sidste gang nåede vi til og med Corollary 7.7 i [A] om operatorer T L(V ) der er selvadjungerede henholdsvis normale: T = T henholdsvis T T = T T. (17) I bedes repetere dette, inklusive resultaterne og definitionen af adjungeret operator. 11. gang, tirsdag den 27. oktober : Vi fortsætter her med kapitel 7 fra side 132. Emnet er PE-kursets første sande hovedresultat: spektralsætningen. Som optakt kan I læse bemærkningen i Lay s bog (fra basis) efter Thm Vi skal på afgørende måde udnytte, at operatorer har øvre trekantsmatricer mht. passende baser; repeter derfor 6.28 og : Opgaver: Matrixtilordning: Opskriv mindst 8 (otte) gode resultater for den afbildning L(V, W ) Mat(m, n; L), der er givet ved matrixtilordningen T M(T ). Minimering: Regn Adjungeret afbildning: Regn Øvre trekantsmatrix: Dyrk opgave Opskriv også matricen. Ortogonale projektioner: Lav Selvadjungerede operatorer: Gennemsku 7.9 og regn 7.3. Gamle opgaver dernæst : Mere om spektralsætningen 7.9 og den reelle udgave i

13 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 27. oktober 2009 Oversigt nr gang, fredag den 30. oktober : Her beviser vi den reelle spektralsætning fra kapitel 7 i [A] og gennemgår 7.37 og 7.38 om ortogonale/unitære operatorer (også kaldet lineære isometrier) : Blandt opgaverne ser vi på: Den storplettede ugle: Matricen A for dette diskrete dynamiske system er ikke selvadjungeret (hvorfor?). Udsiger spektralsætningen så, at A ikke er diagonaliserbar? Ortogonale/unitære matricer: Udregn O O for 2/2 3/3 6/6 O = 2/2 3/3 6/6, O = 0 3/3 6/3 ( ) 2/2 2/2 i 2/2 i. 2/2 Er disse matricer unitære? Udgør søjlerne ortonormale baser? (18) Ortogonal diagonalisering: Skriv A = ( ) på formen P DP 1. (Vink: Brug spektralsætningen.) Selvadjungerede operatorer: Lav Normale operatorer: Lav Regn opgaver fra sidst, hvis der er tid til overs : Her begynder vi på teorien for lineære differentialligninger, hvor vi følger [P]. Vi vil få rig lejlighed til at udnytte lineær algebra, som vi har lært det i [A] og mere endnu (!) men det vil ofte være en stor hjælp til at gennemskue sagerne. Vi når antageligt afsnit

14 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. november 2009 Oversigt nr. 12 Vi nåede sidste gang til og med side 7 i [P] og talte en del om den farlige notation blot at skrive x, x osv. når der menes x(t), x (t) osv. 13. gang, tirsdag den 3. november : Vi fortsætter med kapitel 1.2 i [P] og går igang med afsnit 1.3: Her skal vi møde eksponentialfunktionen af en matrix! : Opgaver i følgende emner: Selvadjungerede operatorer: Kontroller eksemplet øverst side 136 i [A]. Unitære operatorer: Bevis at spektret for ( ) cos θ sin θ sin θ cos θ som operator på C 2 er lig med { e i θ, e i θ }. Giv 3 begrundelser for at operatoren er unitær. (Se Thm ) Spektralsætningen: Skriv A = ( ) som A = P DP 1, hvor P er ortogonal, jvf. sidste gang. Udnyt dette i ligningen x x 1 x 2 + x 2 2 = 1/2. (19) Vis at koordinatskiftet ( y 1 y 2 ) = P T ( x 1 x 2 ) fører ligningen (19) over i y y 2 2 = 1. (20) Udled at løsningsmængden er en ellipse! Tegn denne! (Metoden her kaldes diagonalisering af kvadratiske former.) Faseportrætter: Regn opgave i [P]. Diagonalisering: Lav opgave i [P] : Vi fortsætter med kapitel i [P]. 14

15 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 5. november 2009 Oversigt nr. 13 Vi nåede sidste gang til og med side 11. Udgangspunktet var, at den sædvanlige eksponentialfunktion (som det forklares på Mat2) for hvert t R er fremstillet som en konvergent række: e t = lim N N k=0 1 k! tk =: k=0 Man definerer derfor eksponentialmatricen e A i analogi hermed, t k k!. (21) e A = k=0 1 k! Ak ; A Mat(n, L). (22) Dette er hovedemnet for kapitel 1.3 4, hvor vi skal se at denne matrix har rigtig mange egenskaber til fælles med eksponentialfunktionen, og derfor fortjener at blive betegnet med e A. Bogen forudsætter her visse ting, som I først møder på Analyse 2. Men vi finder en anden vej til målet. I definitionen af e A bruger vi operatornormen til at forklarer hvad konvergens af rækken betyder. Generelt er en norm på et vektorrum V over L en afbildning : V R som opfylder: (i) v 0 for alle v V, og kun = 0 for v = 0; (23) (ii) λv = λ v for alle λ L og v V ; (24) (iii) u + v u + v for alle u, v V. (25) Bemærk at et normeret vektorrum V altid har en metrik (=afstandsfunktion) induceret ved at sætte d(u, v) = u v. Specielt er dette tilfældet for matricer med operatornormen, hvor d(a, B) = A B. Konvergens af en matrixfølge (A k ) k N mod A betyder at A n A 0 for k. NB! Dette gælder netop når der er konvergens af matrixelementerne på alle pladser. Thi sidste gang viste vi om A = (a jk ) at a jk A n a jk 2. (26) j,k=1 Næste gang vil vi give et direkte bevis for konvegensen af e A, hvori afsnitsfølgen S N = N 1 k=0 k! Ak ses at være en Cauchy-følge, og derfor er konvergent. 14. gang, fredag den 6. november : Vi fortsætter med kapitel 1.3 efter retningslinierne ovenfor. 15

16 : Opgaver om Faseportræt: Lav Eksponentialmatrix: Find e ta for matricen i opgave 1.2.2! Højere orden: Vis at en reel/kompleks funktion x(t) løser andenordens ligningen x + ax + bx = f(t) hvis og kun hvis vektorfunktionen y = (x 1, x 2 ) = (x, x ) er løsning til et førsteordens system af formen y = Ay. Find A. Regn dernæst (dele af) Komplekse løsninger: Vis at når A n,n er reel, så har x = Ax løsningen x(t) hvis og kun hvis Re x(t) og Im x(t) begge er løsninger. Begyndelsesværdiproblemer: Regn : Vi forsætter med kapitel 1.4, hvori vi ser at x(t) = e ta x 0 er løsningen til x = Ax, x(0) = x 0. Desuden tager vi en stor bid af kapitel 1.5, hvori løsningen x(t) = e ta x 0 analyses kvalitativt ud fra A s egenværdier. 16

17 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 10. november 2009 Oversigt nr. 14 Sidste gang nåede vi til og med side 14 i en grundig gennemgang. Blandt andet beviste vi direkte, at konvergensen af rækkeudviklingen for eksponentialfunktionen e t, t R, overføres til konvergens af rækken for eksponentialmatricen e A. I det følgende skal vi se på konsekvenserne for eksistensen og entydigheden af løsningerne til førsteordens differentialligningssystemer: 15. gang, fredag den 13. november : Her gennemgås kapitel 1.4 og et uddrag af : Opgaver i emnerne Operatornorm: Regn opgave , og evt Eksponentialmatricer: Regn og Førsteordens systemer: Lav opgave Dernæst gamle opgaver, hvis der er tid til overs : Vi fortsætter med kapitel 1.6 mm. 17

18 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 19. november 2009 Oversigt nr. 15 Sidste gang gennemgik vi kapitel 1.5 i [P] og kapitel 1.6 til og med korollaret side gang, fredag den 20. november : Her vil vi gennemgå følgende Sætning: Matricen e ta har indgange e ij (t), der alle er linearkombinationer af eksponentialpolynomier t k e tλ, hvorved λ er en egenværdi for A af multiplicitet mindst k + 1. Vi baserer os på Theorem 5.13 i [A] om øvre trekantsmatricer. REPETER denne! Repeter også den tilhørende faktorisering A = P DP 1. En del af beviset vil være henlagt til den første opgave nedenfor! Dernæst vil vi fortsætte med 1.6 og 1.7 i [P] : Opgaver: Differentialligninger med øvre trekantsmatrix: Bevis at λ 1 u u 1n y 1 (t) d y 1 (t). dt. = y n (t). λ n 1 u n 1,1. y n (t) 0... λ n har løsningsmængden bestående af de funktioner, der kan skrives på formen n y j (t) = p jk (t)e λkt, k=j hvor hvert p jk (t) er et polynomium med grad(p jk ) ν k 1, idet ν k er det antal gange λ k optræder i diagonalen (dvs. multipliciteten af λ k som egenværdi). Vink: Vis først påstanden for y n (t). Faseportrætter: Regn opgave Løsninger: Regn opgave Vink: Man skal nok bruge sidste del af næste opgave. Kontinuitet af regneoperationer: Lad V være et normeret vektorrum over L. Vis da at begge regneoperationer er kontinuerte. Dvs. u n u, v n v = u n + v n u + v (27) λ n λ, v n v = λ n v n λv (28) 18

19 Gælder det samme for matricer? Bevis også at der om A, A k Mat(n; L) og v, v k L gælder Slut endelig at e A x = ( k=0 A k A, v k v = A k v k Av. 1 k! Ak )x = k= : Vi gør kapitel 1.7 færdigt her. 1 k! Ak x for alle x L n. 19

20 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 26. november 2009 Oversigt nr. 16 Sidste gang udledte vi et alment resultat om strukturen af indgangene i en eksponentialmatrix e ta. (Notat derom blev udleveret.) Som konsekvens af heraf fik vi det stabilitetsresultat for en løsning til x = Ax, at når Re λ < 0 for enhver egenværdi til A, da gælder at x(t) C n 0 for t. 17. gang, fredag den 27. november : Vi gennemgår hovedpunkterne fra kapitel 1.7 i [P] og runder af med lidt stabilitetsteori fra : Opgaverne er i emnerne: Strukturen af eksponentialmatricer: Til illustration regnes følgende: Antag A 2,2 een egenværdi λ med i-dimensionalt egenrum udspændt af u. Vis at når v ej er parallel med u, da har x Ax i basen (u, v) matricen ( λ 0 α λ ) for et passende α. Vis også at løsningsmængden for x = Ax har formen x(t) = e tλ (c 1 u + c 2 (αtu + v)). (29) Er dette troligt i lyset af strukturen af e ta? Eksponentialmatricer: Regn (U)Stabile underrum: Lav Desuden opgaver fra sidste gang : Her skal vi frem til Theorem 3 side 131. Vi skal som hjælpemiddel møde Liapunov-funktioner, som er et berømt trick, der groft sagt består i at finde en hjælpefunktion V, der opfører sig som energien i et mekanisk system: Den bliver mindre som tiden går (t vokser), og hvis systemet kommer i en ligevægtstilstand, så er det fordi energien ikke kan blive mindre! (For os betyder det, at et stabilt ligevægtspunkt vil være et globalt minimumspunkt for hjælpefunktionen V.) 20

21 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 3. december 2009 Oversigt nr gang, fredag den 4. december : Vi gennemgår mere mere om Lyapunov funktioner med deres betydning og eksempler samt bevis for sætning : Her er der opgaver i: Lineære systemer: Lav opgave (a), (b) og (b). Stabilitetsteori: Regn Lyapunovfunktioner: Regn : Vi går videre med et bevis for sætning (i let modificeret udgave), idet beviset baseres på konstruktion af en Lyapunov funktion (vi bruger et par sider i bogen fra sidste år på dette punkt). 21

22 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 7. december 2009 Oversigt nr. 18 Sidste gang fik vi som optakt til sætning gennemgået lidt om linearisering; afsnit 2.6 har en mere udførlig beskrivelse med eksempler. I fortsættelsen vil vi møde kvadratiske former. Disse er funktioner på R n som vha. en symmetrisk matrix Q n,n = (q i,j ) kan skrives på formen f(x) = x T Qx = n n x j q jk x k. j=1 k=1 Som vi skal se kan disse, fordi Q er symmetrisk, analyseres på afgørende måde ved diagonalisering. Hertil skal vi udnytte den reelle spektralsætning og faktoriseringen A = P DP 1, hvor P 1 = P T. REPETER BEGGE DELE! 19. gang, tirsdag den 11. november : Vi fortsætter med beviset for sætning , efter retningslinierne antydet ovenfor : Opgaveregning: Ækvivalens: Eftervis at enhver norm x på R n er ækvivalent med den euklidiske x. Dvs. at der findes konstanter c 1 c 2 så c 1 x x c 2 x for alle x R n. (30) Gyser-skalarproduktet: Eftervis påstanden fra beviset for sætning om at grænseværdien N x, y = lim N 0 e ta x e ta y dt (31) eksisterer for ethvert par (x, y) R n R n. Lyapunov funktioner: Regn : Her tager vi hul på den almene teori med Eksistens- og Entydighedssætningen (bevis følger på Mat2) med dens betingelser og konsekvenser, idet vi følger afsnit 2.1 og 2.2 (i uddrag). 22

23 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 24. oktober 2008 Oversigt nr. 19 Sidste gang fik vi givet et bevis for Theorem (uden uligheden) og gennemgået afsnit gang, fredag den 11. december : Vi fortsætter med et helt centralt emne i teorien for differentialligninger: Eksistens- og entydighedssætningen, jvf. side 74. Som afrunding af teorien gennemgås Theorem om maksimale definitionsintervaller : Opgaver: Eksistens- og entydighed: Find den maksimale løsning til problemet x (t) = 1 + x(t) 2, x(π) = 0. (32) Giv TO grunde til at x(t) for t 3π 2 Stabilitet: Regn Lipschitzbetingelser: Regn først opgave , siden (evt for n = 2) og

24 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 11. december 2009 Oversigt nr. 20 Som lovet bringes her en Pensumliste. I Linear algebra done right af Sheldon Axler har vi læst kapitlerne 1 3 og 5 7 frem til og med side 150; dog ikke side og midt. Fra Differential equations and dynamical systems af Lawrence Perko har vi gennemgået kapitel 1: Kapitel 1 pånær afsnittene 1.8 og kapitel 2: Kapitel 2.1 og 2.2 uden bevisdetaljer for Eksistens- og Entydighedssætningen; afsnit 2.4 frem til sætning 2.4.2, som blev omtalt uden bevis. Endelig afsnit 2.9 inklusive et særskilt bevis for sætning (jvf. udleveret notat). 24

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations

Læs mere

I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer.

I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. LINER ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 5. september 2007 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers: Ordinära

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 29. august 2017 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 29. august 2017 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 9. august 017 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [SA] Sheldon Axler, Linear algebra done right, 3. udgave, Springer 015. [AJ] Matrix factorizations, af Arne Jensen, Aalborg

Læs mere

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen

12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 23. august 2018 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 23. august 2018 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 3. august 08 Oversigt nr. Lærebøgerne for kurset er [SA] Sheldon Axler, Linear algebra done right, 3. udgave, Springer 05. [AJ] Matrix factorizations, af Arne Jensen, Aalborg University,

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [LNS]Linear algebra as an introduction to abstract mathematics, af I. Lankham, B. Nachtergaele og A. Schilling, Lecture notes for

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1 Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATEMATIK 1 DYNAMISKE SYSTEMER 19. august 2002 Projektforslag

MATEMATIK 1 DYNAMISKE SYSTEMER 19. august 2002 Projektforslag DYNAMISKE SYSTEMER 19. august 2002 Projektforslag Som emne for mat1-projektet i dynamiske systemer kan I vælge at analysere nedenstående differentialligning; den er kendt som van der Pols ligning og kommer

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 30. januar 2004 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 6

ANALYSE 1, 2014, Uge 6 ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført

Læs mere

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

3. Operatorer i Hilbert rum

3. Operatorer i Hilbert rum 3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens

Læs mere

Lokalt ekstremum DiploMat 01905

Lokalt ekstremum DiploMat 01905 Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =

Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 = Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet

Læs mere