Projekt 1.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgang

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 1.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgang"

Transkript

1 Hv er mtemtik?, i-bog ISN Projekt.8 Optimeringsproblemer i geometri en eksperimentel tilgng (Projektet ingår i et større projekt.5 i -bogen om optimering f geometriske figurer, specielt firknter) Introuktion Projektet lægger op til en eksperimenterene unervisning me brug f IT-værktøjer, og er skrevet så eleven selv får en chnce for t opge centrle ikke-trivielle smmenhænge. Kombintionen f et eksperimentelle og et teoretiske er ieel til en muntlig eksmen. Forusætninger: Projektet er først og fremmest en perspektivering f trigonometrien, og er forusættes erfor et elementært kenskb til trigonometri, inklusive cosinus- og sinus-reltionerne og en sævnlige relformel for en treknt: T = b sin( ). Heruover forusættes et elementært kenskb til funktioner, vs. en vis fortrolighe me t opstille funktionsutryk, tegne grfer og benytte simple grfværktøjer til t bestemme fx skæringspunkter og lokle ekstrem (mks og min). Derimo forusættes ifferentilregningen ikke bekent. Der er og metget en fsluttene fruning f et centrle problem u fr ifferentilregning. D er lægges op til en eksperimenterene unervisning me støtte f IT-værktøjer, forusættes er eneligt et elementært kenskb til ynmiske geometriprogrmmer. Hvorn opger mn mtemtiske sætninger? Dette er et centrlt spørgsmål i begrunelsen for en eksperimentelle mtemtik. Det forenklee svr er: Mn regner en stribe konkrete eksempler igennem og ser, om mn kn fine et generelt mønster, i e svr mn finer. Me lit hel kn e enkelte eksempler smles i et sånt mønster og mn hr funet en sætning, er erefter kn bevises. Her er et oplgt en klr forel for t hve goe værktøjer til råighe. Intuitionen må mn håbe på, selv om et bestemt hjælper me erfring og en go portion tålmoighe. Se fx på følgene problemstilling: Hvis mn får oplyst e fire sielænger for en firknt, kn mn eformere firknten på mnge måer (i mosætning til treknten er en ikke stiv, men kn trykkes smmen på forskellige leer). Det er nturligt t spørge om hvilken f isse firknter me givne sielænger, er er størst, vs. hr et største rel. Det er rimeligt simpelt t sætte et eksperiment op me et ynmisk geometriprogrm og regne nogle konkrete eksempler igennem. Derefter kn mn kigge på løsningerne og se, hvilke mønstre mn kn fine: Er er nogle bestemte egenskber, er krkteriserer e optimle firknter? Det viser sig, t er er mnge forskellige krkteristiske egenskber, mn kn hæfte sig ve, herf nogle gnske overrskene mn i første omgng tror må bero på fejl i eksperimenterne. I projektet er er smlet en række eksperimenter, mn kn benytte som ugngspunkt for selv t gå på opgelser i firknternes veren. Teori Som fruning perspektiveres til teori om firknter. Dette er stærkt ubygget i et større projekt.5 i - bogen. Her er er stof til båe hol på -niveu og på -niveu. 04 L&R Unnelse /S Vognmgerge DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.k

2 Hv er mtemtik?, i-bog ISN Optimering f treknter Hvis vi kener tre ufhængige stykker i en treknt, fx e tre sier eller to sier og en vinkel, er trekntens form fstlgt. De tre stykker skl og være inbyres ufhængige. Fx er e tre vinkler ikke ufhængige, vinkelsummen i enhver treknt er 80. Hvis vi erimo kun kener to stykker i en treknt, fx to f sierne og b, hr vi en frihe til t eformere treknten og kn erfor konstruere en hel fmilie f treknter me e opgivne mål. Fx kn vi opftte vinklen mellem e to sier og b som en ufhængig vribel, er kn vrieres frit: rel = cm mð = Hvorn skl vi nu vælge en ufhængige vribel, vs. vinklen, så treknten bliver størst mulig? I ette tilfæle er svret ikke særligt overrskene, men for t illustrere principperne vil vi kort se på hvorn vi kn eksperimentere os frem til svret. Luk op for it geometriprogrm og giv sierne og b konkrete værier fx 6 cm og 5 cm. Strt me t konstruere et vnret linjestykke me længen = 6 cm og en cirkel me centrum i og rius 5 cm. Det siste treknthjørne ligger et eller net ste på cirklen. Vi kn en gerne ntge, t et ligger et ste på en øvre hlvcirkel, så vinklen kn vriere mellem 0 og 80. Mål nu såvel vinklen som relet f treknten. Trækker u i treknthjørnet og prøver ig frem, ser et u som om treknten er mksiml, når en er retvinklet, og t et største rel er 5: Vi kn bkke et op me en mere præcis grfnlyse på følgene måe: Ve t upege såvel en ufhængige vinkel som et fhængige rel T, kn vi fsætte punktet (,T) i et koorintsystem. Trækker vi i punktet vil grfpunktet gennemløbe grfen for en funktion, er beskriver relet T som en funktion f vinklen. Som forventet er grfen symmetrisk omkring = 90 me et mksimum tæt på 90, er netop fører til et største rel. Vi kn styrke enne konklusion ennu mere ve t opstille et konkret funktionsutryk for relfunktionen. Vi tger ugngspunkt i en velkente formel for trekntens rel: T = b sin( ). Vi bør erfor inskrive funktionen: f( x) = b sin( x) emærk, t i visse geometriprogrmmer er et kun muligt t håntere sinus-funktionen korrekt, hvis vi regner rgumentet for sinus i riner. I sånne progrmmer må vi først omsætte vinklen til riner: x x p /80, og erefter inskrive relfunktionen sålees: æ x pö T( x) = b sin ç è 80 ø Mksimum fines i punktet (90,5), vs. en optimle treknt er retvinklet me et rel på mð = rel = cm = cm b = cm x Toppunkt = y Toppunkt = Toppunkt L&R Unnelse /S Vognmgerge DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.k

3 Hv er mtemtik?, i-bog ISN Til sist vil vi prøve om vi kn give en simpel forklring på et funne mksimum. Det kn ske ve t se på en mksimle væri for sinus-funktionen. Men vi kn også rgumentere geometrisk: Trekntens rel er T = h g, og grunlinjen g holes fst, skl vi forsøge t gøre højen h så stor som mulig. Det sker tyeligvis, når vinklen er 90. Prøv nu selv kræfter me følgene øvelser! Øvelse ntg t vi hr en fst vinkel og en moståene sie, fx og. fsæt først vinklen og vælg et frit punkt på et ene vinkelben. fsæt ernæst linjestykket. Mål på trekntens vinkler og sier smt relet. Vrier nu et frie punkt. Hvornår er relet størst? Hv er er specielt ve netop enne treknt? Hvorfor? eskriv sporet for en fhængige linje. Konstruer sporet f som et geometrisk ste, når et ufhængige punkt vrieres. Øvelse Igen hr vi en fst vinkel og en moståene sie, fx og. Denne gng fsættes linjestykket som grunlinje. Vælg en fri vinkel i (fx u fr en cirkel me centrum i og et frit punkt P på enne cirkel). eregn størrelsen f vinkel og konstruer treknten. Mål trekntens vinkler og sier smt relet. Vriér nu på en frie vinkel (vs. punktet P). Hvornår er relet størst? Hv er er specielt ve netop enne treknt? Hvorfor? eskriv sporet for et fhængige hjørne. Konstruér sporet f som et geometrisk ste, når en ufhængige vinkel (vs. punktet P) vrieres. Hv er et for et geometrisk ste? = = =.5894 P + Øvelse 3 Denne gng er er givet en fst sie, smt summen l f e to øvrige sier i treknten, vs. l = b + c. Mn kn fx tænke på en fste sie som en mur og e to øvrige sier som et stykke hegn me længen l. fsæt en fste sie =. fsæt også et linjestykke svrene til længen f hegnet. fsæt ernæst et frit punkt P på ette linjestykke, svrene til opelingen f hegnet i e to sier b og c. Konstruer nu treknten me isse tre sier og umål længen f trekntens sier og vinkler smt ens rel. Vriér nu på et frie punkt P. Hvornår er relet størst? Hv er er specielt ve netop enne treknt? Hvorfor? eskriv sporet for et fhængige hjørne. Konstruér sporet f som et geometrisk ste, når et ufhængige punkt vrieres. Hv er et for et geometrisk ste? b P c 04 L&R Unnelse /S Vognmgerge DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.k 3

4 Hv er mtemtik?, i-bog ISN Teoretisk fruning Når mn først er blevet fortrolig me enkeltvribel problemet kn mn gå over til t kigge på to-vribel problemer: Her får mn ltså kun ét stykke oplyst og hr to ufhængige stykker tilbge, mn kn vriere. Det kræver vribelkontrol, vs. t mn nøjes me t vriere en enkelt vribel gngen. Som et klssisk eksempel kn vi se på en treknt hvor omkresen p = + b + c er givet. Hvorn skl mn vælge treknten, så relet bliver størst muligt? Her kn vi fx strte me t vælge som en ufhængig vribel, vi holer fst. For en given væri f holer vi ltså b + c fst. Men så hr vi lige set, t en største treknt er en ligebenee treknt. Hvis nu vi tænker os, vi hr funet en optimle treknt må ette gæle unset hvilken f e tre sier vi holer fst. Dvs. lle tre pr sier skl være lige lnge og erme skl treknten være ligesiet. Men kn got problemtisere om er virkelig fines en optiml treknt, se fx Vgn Lunsgår Hnsens tnkevækkene bog om Dios problem (Temer fr Geometrien, Mtemtiklærerforeningen, 99). Her vil vi nbefle en øvelse me mulighe for et bevis: Øvelse 4: Opstil funktionsutrykket for relet f en ligebenet treknt, hvor grunlinjen kn vrieres frit, mens omkresen holes fst. estem herve et optimle rel. Hvis u kn, er et fint også t gennemføre uregningen ve hjælp f ifferentilregning.. Optimering f firknter En firknt hr fire sier, er opskrives i rækkefølge, b, c og. Tilsvrene hr en fire hjørner,, og D. I mosætning til treknter er er ikke en bestemt måe t knytte hjørner og sier smmen. Går vi u fr e fire hjørner, betegner vi sierne me,, D og D. Går vi u fr sierne betegner vi hjørnerne (vinklerne) me b, bc, c og, se figuren. D D D c c bc b b I en firknt er vinkelsummen 360. Me minre firknten er et rektngel er minst én f vinklerne erfor stump. Yermere er er pls til en enkelt vinkel over 80. I så fl fler en tilsvrene igonl uenfor firknten firknten er konkv. Ve t spejle e 'uhelige sier' i igonlen kn mn omnne en konkv firknt til en konveks firknt me smme sielænger. Konkve firknter er erfor ikke interessnte i optimeringsproblemer. D D Den næste overrskelse hnler om ntllet f ufhængige stykker i en firknt. D en (konveks) firknt består f to treknter me en fælles igonl er en fstlgt ve fem stykker. Hvis mn kun får oplyst e fire sielænger er en leeløs og kn eformeres ve fx t trykke en ene igonl smmen. Vi kn nu spørge efter en optimle (konvekse) firknt me fire opgivne sier. Inen vi kster os over et generelle problem vil vi se på nogle specielle firknter. 04 L&R Unnelse /S Vognmgerge DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.k 4

5 Hv er mtemtik?, i-bog ISN Øvelse 5: ---. Når lle fire sier er lige lnge kles firknten en rombe. Hvilken rombe er en største? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv bliver størrelsen f et mksimle rel? Øvelse 6: -b--b. Hvis moståene sier er lige store kles firknten et prllelogrm. Hvilket prllelogrm er et største? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv bliver størrelsen f et mksimle rel? Øvelse 7: --b-b. Hvis to pr hosliggene sier er lige store kles figuren en rgefirknt. Hvilken rgefirknt er en største? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv bliver størrelsen f et mksimle rel? Øvelse 8: -b-b-b. Denne gng er tre f sierne lige store. Hvorn ser en mksimle firknt u? Hv skl er gæle om vinklerne? Hv bliver størrelsen f et mksimle rel? Du skulle nu hve en fornemmelse for et generelle problem og vi springer u i et og gennemfører resten f fsnittet som en øvelse: Øvelse 9: Hvem er en største? Vælg fire tilfælige hele tl, b, c og mellem og 0. De svrer til sielængerne i in firknt i en vlgte rækkefølge. Hvis mere en to f tllene er ens eller hvis er ikke kn konstrueres en firknt vælger u om igen. Som ufhængig vribel vælger u en vinkel, fx b. Du kn nu konstruere grunlinjen b og en cirkel me centrum i hjørnet b og rius. På en øvre hlvcirkel vælges et frit punkt, hjørnet. For t konstruere et siste hjørne c fsætter u cirkler me centre i og bc og rier henholsvis og c se figuren. Du skulle nu gerne hve frembrgt en ynmisk moel f en firknt me sielængerne, b, c og. b b f c e c bc Ve t vriere på vinklen b, vs. ve t trække i punktet,kn u nu unersøge, hvornår relet bliver størst muligt. fsæt også igonlerne e og f i firknten. Umål lle vinklerne i figuren, vs. e fire kntvinkler, så vel som vinklen mellem igonlerne. Umål også relet T, såvel som længen f e to igonler e og f. Prøve nu t give et bu på følgene: Hv gæler er om kntvinklerne, når firknten er mksiml? Hv gæler er om igonlvinklen, når firknten er mksiml? Hvor stort bliver et mksimle rel? Konstruér grferne for relet T, igonlvinklen v og prouktet f igonlerne e f som funktion f kntvinklen b. Hv observerer u? Vi vil nu prøve t strmme op omkring præcisionen ve t gennemføre en egentlig beregning. Hertil hr vi brug for funktionsutrykket for relet T som funktion f kntvinklen b. Digonlen e splitter firknten i to treknter og vi kn nemt fine relet f e to treknter: 04 L&R Unnelse /S Vognmgerge DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.k 5

6 Hv er mtemtik?, i-bog ISN T = b sin( b) + c sin( c ) Her er kntvinklen b netop en ufhængige vribel x. Vi mngler så bre et utryk for en moståene kntvinkel c. Det finer vi ve hjælp f en elementær trekntberegning: Først uregnes længen f igonlen e ve hjælp f cosinusreltionen, og ernæst uregnes vinklen c ve hjælp f cosinusreltionen: e = + b - b b c + -e cos( c) = c cos( ) Sættes e to utryk smmen finer vi erfor: c b + b cos( b) cos( c) = c Det giver nlening til et følgene utryk for relfunktionen: - c b + b cos( b) ux ( ): = cos ( ) c Tx ( ): = b sin( x) + c sin( ux ( )) Inskriv isse funktionsutryk og tegn grfen for relfunktionen T(x). estem t mksimum for relfunktionens grf. Konstruér på bsis f et funne mksimum, en mksimle firknt. Eftervis me en størst mulige numeriske præcision e formoninger, som u lleree hr opstillet omkring en mksimle firknt. Er er tle om en pæn væri for relet T? Hv me T? Er er tle om en pæn væri for e f? Supplerene uforringer: ) Konstruer mitnormlerne for e fire sier i firknten. Hv sker er når firknten er mksiml? ) Se på højernes fopunkter ', ' og ' på sierne, og fr et fjere hjørne D. Hv sker er når firknten er mksiml? 3) Hv sker er me en mksimle firknt, hvis vi bytter om på rækkefølgen f sierne? Hv sker er fx me størrelsen f relet og længen f igonlerne? Teoretisk fruning Når mn først er blevet fortrolig me enkeltvribel problemet kn mn gå over til t kigge på fler-vribel problemer: Her får mn fx kun ét stykke oplyst og hr fire ufhængige stykker tilbge, mn kn vriere på. Som et klssisk eksempel kn vi se på en firknt, hvor omkresen p = + b + c + er givet. Hvorn skl mn vælge firknten, så relet bliver størst muligt? Her kn vi strte me t vælge e hosliggene sier, b og en tilhørene igonl e som ufhængige vrible, hvis værier vi kn hole fst. For en given væri f, b og e holes erfor summen c + fst. Men vi kn stigvæk vriere sien c (og le sien følge me). Men så hr vi set, t en største treknt er en ligebenee treknt ec, hvor c =. Hvis nu vi tænker os, t vi hr funet en optimle firknt må et jo gæle unset hvilke f e hosliggene sier vi holer fst. Dvs. lle fire pr sier skl være lige lnge, og erme skl firknten være en rombe. Det fstlægger længen f e fire sier, men vi kn stig vriere på igonlen e. Hvilken rombe hr nu et største rel? 04 L&R Unnelse /S Vognmgerge DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.k 6

7 Hv er mtemtik?, i-bog ISN Øvelse 0: Opstil funktionsutrykket for relet f en rombe hvor igonlen kn vrieres frit, mens omkresen holes fst. Hvis u kn, er et fint også t gennemføre uregningen ve hjælp f ifferentilregning og sålees bestemme et optimle rel. 3. En eksmensopgve Et tilsvrene problemkres fås ve t hole iverse stykker i en firknt fst, så er kun er få frie vrible tilbge. I eksmensopgver vil er kun være en enkelt ufhængig vribel tilbge, så mn kn regne sig igennem opgven ve t opstille et enkelt funktionsutryk. Det gæler for eksempel en følgene opgve. Her får mn oplyst en vinkel og en sum f to sielænger (et hegn). Det giver to stykker, hvorfor er må oplyses to stykker mere, fx ennu to rette vinkler (hvorve firknten bliver til et retvinklet trpez) eller t e to moståene sier hr smme størrelse (hvorve firknten bliver til et prllelogrm). Ve løsning f en ovenståene opgve er et selvfølgelig spænene t se, om mn kn se et mønster i e optimle figurer, og erme fx blive i stn til t krkterisere løsningerne simpelt u fr vilkårlige hegnslænger. Men uforringen består i t roppe e ekstr betingelser og søge en størst mulige firkntee inhegning, er lene opfyler e to oprinelige krv: Vinklen mellem murene skl være 35 og summen f e to sier, hvor er ikke er mur skl være 0 meter (hegnet). Det giver tre resterene ufhængige vrible, fx sien, sien og igonlen D. Prøv nu selv om u kn løse opgven. Øvelse : Eksmensopgve To mure nner et hjørne, hvor vinklen mellem murene er 35. Ve hjælp f et 0 meter lngt hegn skl er nnes en trpezformet inhegning D (se figur ). Linjestykket er vinkelret på e prllelle sier og D. Længen f sien betegnes x. Gør ree for, t længen f DE er x. estem en trpezformee inhegnings rel T som funktion f x, og gør ree for, t T kn skrives som 3 T( x) =- x + 0x. estem et størst mulige rel T mx f en trpezformee inhegning. Ve t give inhegningen form som et prllelogrm (se figur ) kn er me smme hegn på 0 m nnes en inhegning me et større rel en T mx. estem et størst mulige rel P mx f en prllelogrmformee inhegning. 04 L&R Unnelse /S Vognmgerge DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lru.k 7

Projekt 1.1 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser

Projekt 1.1 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser Hv er mtemtik? ISN 9788770668699 Projekt. Optimeringsprolemer i geometri eksperimenter og eviser Introuktion Projektet kn nvenes åe på og -niveu. et enkelte hol vil normlt ikke kunne nå t reje hele projektet

Læs mere

Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,

Læs mere

Elementær Matematik. Ligninger og uligheder

Elementær Matematik. Ligninger og uligheder Elementær Mtemtik Ligninger og uligheer Ole Witt-Hnsen 0 Inhol. Førstegrsligninger.... Nulreglen.... Uligheer og regning me uligheer.... Doeltuligheer.... Anengrsligningen... Ligninger og uligheer. Førstegrsligninger

Læs mere

Det dobbelttydige trekantstilfælde

Det dobbelttydige trekantstilfælde Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksmen Algoritmer og Dtstrukturer (DM507) Institut for Mtemtik og Dtlogi Synsk Universitet, Oense Torsg en 26. juni 2008, kl. 9 3 Alle sævnlige hjælpemiler (lærebøger, notter, osv.) smt brug

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I? Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Opgave 1 ( Toppunktsformlen ) Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometri

Elementær Matematik. Trigonometri Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8

Læs mere

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Perspektivtegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Perspektivtegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Tegning Arejs og isometrisk Perspektiv Ligennee figurer Målestoksforhol Konstruktion Hilsen fr Bornholm Østerlrs Runkirke Iso = ens Metri = mål : Erling Hgensen, www.merling.k Bivl og rejser Tegn en rejs

Læs mere

Implicit differentiation Med eksempler

Implicit differentiation Med eksempler Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Værdier og værdibaseret ledelse resultat af undersøgelse

Værdier og værdibaseret ledelse resultat af undersøgelse Værier og væriseret leelse resultt f unersøgelse Af: Susnne Teglkmp, Direktør i Teglkmp & Co. I jnur og ferur måne 6 gennemførte Teglkmp & Co. en internetseret unersøgelse f Værier. Der inkom i lt 2 esvrelser.

Læs mere

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne

Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige

Læs mere

Projekt 1.5 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser

Projekt 1.5 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser Projekt.5 Optimeringsproblemer i geometri eksperimenter og beviser Introuktion Projektet kan anvenes båe på og -niveau. et enkelte hol vil normalt ikke kunne nå at arbeje hele projektet igennem, men projektet

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Elementær Matematik. Rumgeometri

Elementær Matematik. Rumgeometri Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO I kpitlet skl eleverne lære om plne og rumlige igurers egensker og om eres nvenelse som geometriske moeller. I en orinelse kommer e l.. til t eskætige sig me eregninger omkres, rel og rumng, me grunplnstegninger

Læs mere

Projekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN

Projekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Indhold Hvor kommer vektorerne fr? De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Findes

Læs mere

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3 Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg

Læs mere

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen

Læs mere

2 Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Grundlæggende funktioner

Grundlæggende funktioner Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Elementær Matematik. Analytisk geometri

Elementær Matematik. Analytisk geometri Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Grafregner-projekt om differentiation.

Grafregner-projekt om differentiation. Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

ANALYSE 1, 2015, Uge 2

ANALYSE 1, 2015, Uge 2 ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1 Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH. Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Tips. til træningsambassadørerne

Tips. til træningsambassadørerne Tips til træningsmbssdørerne NÅR I TRÆNER GENERELT 1. Brug et motiverende sprog også selvom du fktisk er lidt træt. Du kn for eksempel sige: Jeg er mx klr til træning hvd med dig? Er du frisk?! 2. Din

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

- Om højder og grundlinjer i trekanter

- Om højder og grundlinjer i trekanter KP 4 FIGURER, FLER OG LINJER I dette kpitel skl eleverne lære om definitionerne på forskellige typer f linjer. Herefter skl de gennem teori, ktivitet og opgver rbejde med egenskberne ved forskellige typer

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem

Læs mere

2x MA skr. årsprøve

2x MA skr. årsprøve MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression

FUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift

Læs mere