Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock"

Transkript

1 Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013

2 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden. Svaret er ja, men hvad der kan forekomme forvirrende er, at der er flere måder at gøre det på. Vi vil starte med at definere det såkaldte planprodukt. Før vi kan definere planproduktet, er det nødvendigt at definere en orientering af planen. Sædvanligvis tegner man koordinatsystemer med 1.-aksen vandret og positive tal mod højre. 2.-aksen tegnes normalt lodret med positive tal opad. En rotation fra 1.-aksen til 2.-aksen vil vi regne positiv. Bemærk, at denne rotation går mod urets retning. I matematik regner man rotationer mod uret retning for positive og rotationer med uret for negative. Bemærk, at i navigation er det modsat - rotationer med uret regnes positive. w v w v Figure 1: Orienteringen af ( v, w er her positiv. Hvis vektorerne v og w ikke er parallelle, så kan man også tale om orienteringen af parret ( v, w. Orienteringen siges at være positiv, dersom den korteste rotation fra v s retning til w s retning er positiv. Ellers siges orienteringen af ( v, w at være negativ. Definition 1 Lad v og w være vektorer. Hvis ( v, w er positivt orienteret, så defineres planproduktet fra v til w som v w = arealet af det af v og w udspændte parallelogram. Hvis ( v, w er negativt orienteret, så defineres planproduktet fra v til w som v w = minus arealet af det af v og w udspændte parallelogram. Hvis v og w er parallelle, så defineres planproduktet fra v til w som v w = 0. Planproduktet er således et areal regnet med fortegn. Grunden til at vi regner arealer med fortegn er, at vi på denne måde får et produkt, som opfylder nogle pæne regneregler. Dette ville ikke være tilfældet, hvis vi ikke regnede med fortegn. 1

3 w v + w v u u Figure 2: Summen af arealerne af de gråparallelogrammer til venstre er lig arealet af parallellogrammet til højre. Sætning 2 For tre vilkårlige vektorer v, w og c og en konstant k R gælder følgende regneregler: 1. v w =- w v (anti-kommutativ lov. 2. (k v w = k ( v w = v (k w. 3. u ( v + w = u w + u w og ( u + v w = u w + v w (distributiv love. 4. v w = 0 netop hvis v og w er parallelle. Specielt er v v = 0. Bevis. Vi viser regnereglerne en ad gangen. 1. Hvis v og w er parallelle, så står der 0 på begge sider af lighedstegnet. Hvis v og w ikke er parallelle, vil det udspændte parallelogram have samme areal uanset hvilken rækkefølge v og w står i. Orienteringen af ( v, w er modsat af orienteringen af ( w, v så planproduktet skifter fortegn, når v og w bytter plads. 2. Denne regneregel siger, at hvis en af siderne i et palallellogram ganges med k, så vil arealet af det nye parallelogram være k gange så stort som arealet af det oprindelige parallelogram. 3. Beviset for den første af de to ligninger fremgår af Figur 2. Den anden af de to ligninger regel bevises på samme måde eller ved at kombinere regel 1 og regel Dette skyldes at en vektor altid er parallel med sig selv. 2

4 Med disse regneregler kan vi udlede en formel til beregning af planprodukter i koordinatsystemer. ( ( x1 x2 Sætning 3 Lad v og w være vektorer med koordinater og. Da er planproduktet fra v og w givet ved Bevis. Vi skriver v w = x 1 y 2 y 1 x 2. v = x 1 i + y 1 j, w = x 2 i + y 2 j. Vi vil benytte, at i j = 1 og at j i =-1 til at vise ( ( v w = x 1 i + y 1 j x 2 i + y 2 j ( ( ( ( ( ( ( = x 1 i x 2 i + x 1 i y 2 j + y 1 j x 2 i + y 1 j ( ( ( ( = x 1 x 2 i i + x 1 y 2 i j + y 1 x 2 j i + y 1 x 2 j j = x 1 x x 1 y y 1 x 2 (-1 + a 2 b 2 0 = x 1 y 2 y 1 x 2. y 1 y 2 ( y 2 j Hermed er sætningen bevist. Med denne formel er det nu let at beregne arealet af diverse polygoner. ( ( 1-2 Eksempel 4 Vektorerne og udspænder et parallelogram. Plan- 2 3 produktet er ( 1 2 ( -2 3 Parallelogrammets areal er derfor 7. ( 2 Eksempel 5 Vektorerne og 1 udspænder et parallelogram. Planproduktet er ( 2 1 ( 2-3 = (-2 = 7. ( 2-3 = 2 ( = -8. Planproduktet er negativt, hvilket afspejler at vektorerne er negativt orienterede. Arealet er 8. 3

5 Eksempel 6 En trekant har hjørner A = (1, 2, B = (5, 3 og C = (2, 6. Vi bestemmer vektorer svarende til to af siderne. ( ( AB = =, ( ( AC = = Planproduktet beregnes som AB AC = ( 4 1 ( 1 4 = = 15. Arealet af den ud- Arealet af det udspændte parallelogram er dermed 15. spændte trekant er halvt så stort, hvilket er 15 /2 = 7 1 /2. Notation 7 I dette afsnit har vi brugt som notation for planproduktet. Brugen af som symbol for planprodukt stammer fra C.A Bishop 1978 og har ikke vundet større udbredelse uanset at den er ganske raktisk til væres formål. Den mest almindelige notation for planprodukt er at skrive det ( v, w og kalde planproduktet for determinanten af v og w. Hvis vektorerne er givet ved koordinaterne ( x1 v =, y 1 ( x2 w =, så er det almindeligt at skrive determinanten som det ( v, w = x 1 x 2 y 2 y 2. Historisk set startede vektorregning som et systematiske studie af determinanter (i 2 eller flere dimensioner. Sætning 8 (Snørebåndsformelen Lad A 1, A 2,, A n betegne hjørnerne i en polygon så nummereringen af hjørnerne er i positiv omløbsretning. Da er arealet af polygonen 1 ( OA1 OA 2 + OA 2 OA OA n OA 1, 2 hvor O er koordinatsystemets begyndelsespunkt. 4 y 2

6 A 3 A 4 A 2 A 5 A 1 Figure 3: Trianguleret femkant. Bevis. Hvis O ligger inden i polygonen og linjestykkerne fra O til polygonens hjørner, giver en triangulering af polygonen som på Figur 3, så er sætningen oplagt. I andre tilfælde beviser man sætningen for hver trekant i en triangulering af polygonen og lægger de enkelte arealer sammen. Eksempel 9 En femkant har hjørner (-1, 1, (-2, -3, (1, -2, (3, 1 og (2, 4. Arealet beregnes ved hjælp af vores arealformel ( = 1 35 ( = 2 2. Arealet er derfor 35 /2 = 17 1 /2. Øvelse 10 Beregn arealet af en firkant med hjørnerne (2, 1, (3, 2, (5, 6 og (1, 9. Tegn firkanten ind i et koordinatsystem. 2 Tværvektor Som vi har set, kan man bruge planproduktet til at undersøge om to vektorer er parallelle. Vi ønsker nu at bruge planproduktet til at undersøge om to vektorer er vinkelrette eller ortogonale som det også hedder. Definition 11 Lad v være en vektor. Da er tværvektoren til v den vektor som fås ved at dreje v en kvart tørn i positiv omløbsretning. Tværvektoren til v betegnes v eller blot ˆv. 5

7 I stedet for at sige tværvektoren til v er det almindeligt blot at sige v-hat, idet v får en hat på. Sætning 12 Lad v og w være vektorer. Da er v og w ortogonale, netop hvis v w = 0. Bevis. Dette følger af, at v w netop hvis v w. Sætning 13 Lad v og b være vektorer og lad k være et reelt tal. Da gælder følgende regneregler: 1. (k v = k ( v. 2. v + w = v + w. 3. v = v. 4. v = v. Bevis. Beviserne for disse regneregler fås direkte ud fra tegninger af hvad der foregår. ( x Sætning 14 Hvis vektoren v har koordinater, så gælder y v = ( -y x Bevis. Vi benytter vore regneregler og får ( x v = y ( = x i + y j. = x i + y j = x j + y ( -y =. x ( - i Hermed er sætningen bevist. Det viser sig, at størrelsen v w spiller en vigtig rolle i mange sammenhænge, så før vi går videre, vil vi indføre lidt mere notation. 6

8 3 Prikprodukt Vi vil nu definere endnu et produkt mellem vektorer. Hvor planproduktet bruges til at beregne arealer, vil vi bruge det nye produkt til at beregne længder og vinkler. Definitionen af det nye produkt kombinerer defintionerne af planprodukt og tværvektor. Definition 15 Ved prikproduktet af vektorerne v og w forstås planproduktet af v og tværvektoren af w. I symboler ser definitionen således ud v w = v w. Andre betegnelser for prikproduktet er skalarprodukt og indre produkt. ( ( x1 x2 Sætning 16 Lad v = og w = være vektorer. Da kan prikproduktet af de to vektorer beregnes som: y 1 Bevis. Vi benytter definitionen y 2 v w = x 1 x 2 + y 1 y 2. v w = v w ( ( x1 = x 2 y 1 y 2 ( ( x1 -y2 = y 1 = x 1 x 2 y 1 (-y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2. Hermed er sætningen bevist. For hver regneregel vi har for planproduktet har vi en tilsvarende regel for prikproduktet. Sætning 17 For tre vektorer v, w og c og en konstant k R gælder følgende regneregler: 1. v w = w v (kommutativ lov. 2. (k v w = k ( v w = v (k w. 3. v ( w + c = v w + v c (distributive lov. 7 x 2

9 4. v v = v 2. Bevis. De første tre regneregler kan fås direkte ud fra tilsvarende regneregler for planprodukt. Alternativt ( kan man bevise ( dem ud fra sætning 16. Regel x1 x2 1 bevises således. Lad v = og w =. Da gælder v w = y 1 ( x1 y 1 ( x2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 = = w v. y 2 ( x2 y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 ( x1 Regel 2 og 3 fås tilsvarende og beviserne er skrevet ud i alle detaljer i bogen. Den sidste regneregel fås ved at bemærke, at v v = v v. Prikproduktet af en vektor med sig selv er derfor lig med arealet af et kvadrat med sidelængde v, hvilket som bekendt er v 2. Vi har defineret prikproduktet ved hjælp af planprodukt og tværvektor. Mange bøger definerer prikproduktet først og udleder derefter følgende formel til udregning af arealer/planprodukt y 2 v w = v w. 4 Pythagoras og vektorer længder Sætning 18 (Længdeformlen Lad v = bestemt ved: v = (x 2 + y 2 1 /2. Bevis. Vi ved at v 2 = v v = x x + y y = x 2 + y 2. ( x y y 1. Da er længden af v Formlen fås ved at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. For punkter A = (x 1, y 1 og B = (x 2, y 2 har vektoren ( AB koordinater x2 x 1. Hvis vi anvender længdeformlen på denne vektor, får vi afstandsformlen y 2 y 1 AB = ( (x 2 x (y 2 y 1 21 /2. 8

10 B a c a c C b A b Figure 4: Retvinklet trekant og tilhørende vektorer. Ofte bruger man Pythagoras læresætning til at bevise længdeformlen og afstandsformlen, men vi har vist dem uden hjælp fra Pythagoras. Det er faktisk endnu bedre, idet vi nu er i stand til at give et ganske simpelt bevis for Pythagoras læresætning. Sætning 19 (Pythagoras Læresætning Lad A, B og C betegne hjørnerne i en trekant, hvor C er ret. Lad a og b betegne længderne af kateterne og lad c betegne længden af hypotenusen. Da gælder Bevis. Vi indfører følgende vektorer a 2 + b 2 = c 2. a = CB, b = CA, c = AB, således at a = a, b = b og c = c. Da gælder c = a b og dermed c 2 = c c ( = a b ( a b = a a + b b 2 a b = a 2 + b 2 2 a b. Da trekanten er retvinklet, er a b = 0. 9

11 5 Lineær regression Vi tænker os at vi har målt sammenhørende værdier af to variable X og Y et antal gange. Hvert ( datapunkt (x i, y i kan repræsenteres ved den tilhørende xi stedvektor v i =. Hvis datapunktet (x i, y i er observeret h i gange og y i det samlede antal observationer er n, så er frekvensen af datapunktet f i = h i /n. Vi er interesseret i at bestemme et enkelt punkt (x, y med stedvektor v, som giver en god repræsentation af hele datasættet. Til at måle hvor meget et datapunkt afviger fra (x, y vil vi bruge den kvadrerede afstand v i v 2. Følgende sætning blev bevist af M. Stewart i 1746 i det specielle tilfælde, hvor der kun er to forskellige datapunkter. Sætning 20 (Stewarts Sætning Lad w betegne stedvektoren for tyngdepunktet givet ved w = f i v i. Da gælder at f i v i v 2 = f i v i w 2 + w v 2. Specielt gælder der, at den gennemsnitlige kvadratafvigelse er minimal når v = w. Bevis. Beviset består i følgende udregning f i ( v i v 2 = = = f i (( v i w + ( w v 2 f i (( v i w 2 + ( w v ( v i w ( w v f i ( v i w 2 + f i ( w v 2 + f i 2 ( v i w ( w v. Nu bruger vi, at w v ikke afhænger af i og får f i ( v i v 2 = f i ( v i w 2 + ( w v ( w v f i ( v i w. 10

12 Tilbage er blot at udregne det sidste led f i ( v i w = f i v i = w w = 0. f i w Vi har set, at hvis et helt datasæt skal repræsenteret ved et enkelt punkt, så er tyngdepunktet det bedste valg. Vi vil nu forsøge at repræsentere hele datasættet ved en ret linje af formen y = ax + b. Her vil vi opfatte x som den uafhængige variable og y som den afhængige variabel. Vi vil igen bruge gennemsnitlig kvadratisk afvigelse som mål for kvaliteten af vores rette linje, hvor vi ved kvadratisk afvigelse forstår størrelsen f i (y i (ax i + b 2. Sætning 21 For et datasæt vil bedste rette linje gå gennem tyngepunktet og hældningen vil være givet ved a = n f i (x i x (y i ȳ n f i (x i x 2. Bevis. Først skriver vi f i (y i (ax i + b 2 = f i ((y i ax i b 2 så for fastholdt værdi af a skal vi minimere en kvadratafvigelse og skal derfor vælge middelværdien b = f i (y i ax i = ȳ a x men det medfører at ȳ = a x + b så linen skal gå gennem tyngdepunktet. For at gøre den sidste del af beviset simplere vil vi antage at tyngdepunktet 11

13 ligger i origo så ( x, ȳ = (0, 0 og b = 0. Vi skal derfor minimere f i (y i ax i 2 = = ( f i y 2 i + a 2 x 2 i 2ax i y i f i yi 2 + f i a 2 x 2 i = a 2 f i x 2 i 2a f i 2ax i y i f i x i y i + f i yi 2. Dette er et 2.-gradspolynomium i a og ifølge toppunktsformelen antages minimum for a = ( 2 n f ix i y i 2 n f ix 2 i n = f ix i y i n f ix 2 i Som mål for kvaliteten af en lineær regression bruges størrelsen R 2 = 1 n f i (y i (ax i + b 2 n f i (y i ȳ 2. Denne størrelse vil ligge i [0;1] hvor 0 viser at regressionen er rigtigt dårlig mens 1 angiver at tilnærmelsen med en ret linje er perfekt. 6 Cosinusrelationerne og vinkler En vigtig egenskaber for prikproduktet er, at det kan bruges til at beregne vinkler. Sætning 22 Lad v og b være to egentlige vektorer. Da gælder hvor v = ( v, w. v w = v w cos (v, Bevis. Vi vil først bevise sætningen under antagelse af at w = 1. Vi 12

14 1 (cos(v, sin(v b v 1 a ( a, 0 Figure 5: Enhedscirkel med vektorerne a og b indtegnet. lægger et koordinatsystem som på Figur 5, så v får koordinater ( ( cos v w cos v Koordinaterne for w bliver da w = og sin v w sin v v w = ( v 0 ( w cos v w sin v = v w cos v + 0 sin v = v w cos v. ( v 0. Sætning 23 (Cosinus-relationerne Lad A, B og C betegne hjørnerne i en trekant. Lad a, b og c betegne længderne af de tilsvarende sider. Da gælder a 2 = b 2 + c 2 2bc cos ( A, b 2 = a 2 + c 2 2ac cos ( B, c 2 = a 2 + b 2 2ab cos ( C. 13

15 B a c a c C b A b Figure 6: Trekant og tilhørende vektorer. Bevis. Vi viser kun den sidste ligning, idet de øvrige vises på samme måde. Vi indfører følgende vektorer a = CB, b = CA, c = AB, således at a = a, b = b og c = c. Da gælder c = a b og dermed hvilket beviser sætningen. c 2 = c c = ( a ( b a b = a a + b b 2 a b = a 2 + b 2 2ab cos ( C, 14

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Vektorrum. Vektorer på en ret linje

Vektorrum. Vektorer på en ret linje Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken:

Camilla, Kristoffer, Sofie, Lisa, Barbara. Abisha, Andreas, Sebastian, Nanna. Når du skal regne med vektorer i Maple, skal du bruge Gym-pakken: Vektorer i Maple En arbejdsseddel Vælg eventuelt >View>Expand all sections. Husk også, at du kan få brug for at markere udregninger og trykke Enter i det følgende. Rammer for arbejdet Gruppe 1 Kristine,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

XII Vektorer i planen

XII Vektorer i planen Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 23. maj 2017 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx171-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet stx171-matn/a-305017 Tirsdag den 3. maj 017 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere