Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock"

Transkript

1 Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013

2 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden. Svaret er ja, men hvad der kan forekomme forvirrende er, at der er flere måder at gøre det på. Vi vil starte med at definere det såkaldte planprodukt. Før vi kan definere planproduktet, er det nødvendigt at definere en orientering af planen. Sædvanligvis tegner man koordinatsystemer med 1.-aksen vandret og positive tal mod højre. 2.-aksen tegnes normalt lodret med positive tal opad. En rotation fra 1.-aksen til 2.-aksen vil vi regne positiv. Bemærk, at denne rotation går mod urets retning. I matematik regner man rotationer mod uret retning for positive og rotationer med uret for negative. Bemærk, at i navigation er det modsat - rotationer med uret regnes positive. w v w v Figure 1: Orienteringen af ( v, w er her positiv. Hvis vektorerne v og w ikke er parallelle, så kan man også tale om orienteringen af parret ( v, w. Orienteringen siges at være positiv, dersom den korteste rotation fra v s retning til w s retning er positiv. Ellers siges orienteringen af ( v, w at være negativ. Definition 1 Lad v og w være vektorer. Hvis ( v, w er positivt orienteret, så defineres planproduktet fra v til w som v w = arealet af det af v og w udspændte parallelogram. Hvis ( v, w er negativt orienteret, så defineres planproduktet fra v til w som v w = minus arealet af det af v og w udspændte parallelogram. Hvis v og w er parallelle, så defineres planproduktet fra v til w som v w = 0. Planproduktet er således et areal regnet med fortegn. Grunden til at vi regner arealer med fortegn er, at vi på denne måde får et produkt, som opfylder nogle pæne regneregler. Dette ville ikke være tilfældet, hvis vi ikke regnede med fortegn. 1

3 w v + w v u u Figure 2: Summen af arealerne af de gråparallelogrammer til venstre er lig arealet af parallellogrammet til højre. Sætning 2 For tre vilkårlige vektorer v, w og c og en konstant k R gælder følgende regneregler: 1. v w =- w v (anti-kommutativ lov. 2. (k v w = k ( v w = v (k w. 3. u ( v + w = u w + u w og ( u + v w = u w + v w (distributiv love. 4. v w = 0 netop hvis v og w er parallelle. Specielt er v v = 0. Bevis. Vi viser regnereglerne en ad gangen. 1. Hvis v og w er parallelle, så står der 0 på begge sider af lighedstegnet. Hvis v og w ikke er parallelle, vil det udspændte parallelogram have samme areal uanset hvilken rækkefølge v og w står i. Orienteringen af ( v, w er modsat af orienteringen af ( w, v så planproduktet skifter fortegn, når v og w bytter plads. 2. Denne regneregel siger, at hvis en af siderne i et palallellogram ganges med k, så vil arealet af det nye parallelogram være k gange så stort som arealet af det oprindelige parallelogram. 3. Beviset for den første af de to ligninger fremgår af Figur 2. Den anden af de to ligninger regel bevises på samme måde eller ved at kombinere regel 1 og regel Dette skyldes at en vektor altid er parallel med sig selv. 2

4 Med disse regneregler kan vi udlede en formel til beregning af planprodukter i koordinatsystemer. ( ( x1 x2 Sætning 3 Lad v og w være vektorer med koordinater og. Da er planproduktet fra v og w givet ved Bevis. Vi skriver v w = x 1 y 2 y 1 x 2. v = x 1 i + y 1 j, w = x 2 i + y 2 j. Vi vil benytte, at i j = 1 og at j i =-1 til at vise ( ( v w = x 1 i + y 1 j x 2 i + y 2 j ( ( ( ( ( ( ( = x 1 i x 2 i + x 1 i y 2 j + y 1 j x 2 i + y 1 j ( ( ( ( = x 1 x 2 i i + x 1 y 2 i j + y 1 x 2 j i + y 1 x 2 j j = x 1 x x 1 y y 1 x 2 (-1 + a 2 b 2 0 = x 1 y 2 y 1 x 2. y 1 y 2 ( y 2 j Hermed er sætningen bevist. Med denne formel er det nu let at beregne arealet af diverse polygoner. ( ( 1-2 Eksempel 4 Vektorerne og udspænder et parallelogram. Plan- 2 3 produktet er ( 1 2 ( -2 3 Parallelogrammets areal er derfor 7. ( 2 Eksempel 5 Vektorerne og 1 udspænder et parallelogram. Planproduktet er ( 2 1 ( 2-3 = (-2 = 7. ( 2-3 = 2 ( = -8. Planproduktet er negativt, hvilket afspejler at vektorerne er negativt orienterede. Arealet er 8. 3

5 Eksempel 6 En trekant har hjørner A = (1, 2, B = (5, 3 og C = (2, 6. Vi bestemmer vektorer svarende til to af siderne. ( ( AB = =, ( ( AC = = Planproduktet beregnes som AB AC = ( 4 1 ( 1 4 = = 15. Arealet af den ud- Arealet af det udspændte parallelogram er dermed 15. spændte trekant er halvt så stort, hvilket er 15 /2 = 7 1 /2. Notation 7 I dette afsnit har vi brugt som notation for planproduktet. Brugen af som symbol for planprodukt stammer fra C.A Bishop 1978 og har ikke vundet større udbredelse uanset at den er ganske raktisk til væres formål. Den mest almindelige notation for planprodukt er at skrive det ( v, w og kalde planproduktet for determinanten af v og w. Hvis vektorerne er givet ved koordinaterne ( x1 v =, y 1 ( x2 w =, så er det almindeligt at skrive determinanten som det ( v, w = x 1 x 2 y 2 y 2. Historisk set startede vektorregning som et systematiske studie af determinanter (i 2 eller flere dimensioner. Sætning 8 (Snørebåndsformelen Lad A 1, A 2,, A n betegne hjørnerne i en polygon så nummereringen af hjørnerne er i positiv omløbsretning. Da er arealet af polygonen 1 ( OA1 OA 2 + OA 2 OA OA n OA 1, 2 hvor O er koordinatsystemets begyndelsespunkt. 4 y 2

6 A 3 A 4 A 2 A 5 A 1 Figure 3: Trianguleret femkant. Bevis. Hvis O ligger inden i polygonen og linjestykkerne fra O til polygonens hjørner, giver en triangulering af polygonen som på Figur 3, så er sætningen oplagt. I andre tilfælde beviser man sætningen for hver trekant i en triangulering af polygonen og lægger de enkelte arealer sammen. Eksempel 9 En femkant har hjørner (-1, 1, (-2, -3, (1, -2, (3, 1 og (2, 4. Arealet beregnes ved hjælp af vores arealformel ( = 1 35 ( = 2 2. Arealet er derfor 35 /2 = 17 1 /2. Øvelse 10 Beregn arealet af en firkant med hjørnerne (2, 1, (3, 2, (5, 6 og (1, 9. Tegn firkanten ind i et koordinatsystem. 2 Tværvektor Som vi har set, kan man bruge planproduktet til at undersøge om to vektorer er parallelle. Vi ønsker nu at bruge planproduktet til at undersøge om to vektorer er vinkelrette eller ortogonale som det også hedder. Definition 11 Lad v være en vektor. Da er tværvektoren til v den vektor som fås ved at dreje v en kvart tørn i positiv omløbsretning. Tværvektoren til v betegnes v eller blot ˆv. 5

7 I stedet for at sige tværvektoren til v er det almindeligt blot at sige v-hat, idet v får en hat på. Sætning 12 Lad v og w være vektorer. Da er v og w ortogonale, netop hvis v w = 0. Bevis. Dette følger af, at v w netop hvis v w. Sætning 13 Lad v og b være vektorer og lad k være et reelt tal. Da gælder følgende regneregler: 1. (k v = k ( v. 2. v + w = v + w. 3. v = v. 4. v = v. Bevis. Beviserne for disse regneregler fås direkte ud fra tegninger af hvad der foregår. ( x Sætning 14 Hvis vektoren v har koordinater, så gælder y v = ( -y x Bevis. Vi benytter vore regneregler og får ( x v = y ( = x i + y j. = x i + y j = x j + y ( -y =. x ( - i Hermed er sætningen bevist. Det viser sig, at størrelsen v w spiller en vigtig rolle i mange sammenhænge, så før vi går videre, vil vi indføre lidt mere notation. 6

8 3 Prikprodukt Vi vil nu definere endnu et produkt mellem vektorer. Hvor planproduktet bruges til at beregne arealer, vil vi bruge det nye produkt til at beregne længder og vinkler. Definitionen af det nye produkt kombinerer defintionerne af planprodukt og tværvektor. Definition 15 Ved prikproduktet af vektorerne v og w forstås planproduktet af v og tværvektoren af w. I symboler ser definitionen således ud v w = v w. Andre betegnelser for prikproduktet er skalarprodukt og indre produkt. ( ( x1 x2 Sætning 16 Lad v = og w = være vektorer. Da kan prikproduktet af de to vektorer beregnes som: y 1 Bevis. Vi benytter definitionen y 2 v w = x 1 x 2 + y 1 y 2. v w = v w ( ( x1 = x 2 y 1 y 2 ( ( x1 -y2 = y 1 = x 1 x 2 y 1 (-y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2. Hermed er sætningen bevist. For hver regneregel vi har for planproduktet har vi en tilsvarende regel for prikproduktet. Sætning 17 For tre vektorer v, w og c og en konstant k R gælder følgende regneregler: 1. v w = w v (kommutativ lov. 2. (k v w = k ( v w = v (k w. 3. v ( w + c = v w + v c (distributive lov. 7 x 2

9 4. v v = v 2. Bevis. De første tre regneregler kan fås direkte ud fra tilsvarende regneregler for planprodukt. Alternativt ( kan man bevise ( dem ud fra sætning 16. Regel x1 x2 1 bevises således. Lad v = og w =. Da gælder v w = y 1 ( x1 y 1 ( x2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 = = w v. y 2 ( x2 y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 ( x1 Regel 2 og 3 fås tilsvarende og beviserne er skrevet ud i alle detaljer i bogen. Den sidste regneregel fås ved at bemærke, at v v = v v. Prikproduktet af en vektor med sig selv er derfor lig med arealet af et kvadrat med sidelængde v, hvilket som bekendt er v 2. Vi har defineret prikproduktet ved hjælp af planprodukt og tværvektor. Mange bøger definerer prikproduktet først og udleder derefter følgende formel til udregning af arealer/planprodukt y 2 v w = v w. 4 Pythagoras og vektorer længder Sætning 18 (Længdeformlen Lad v = bestemt ved: v = (x 2 + y 2 1 /2. Bevis. Vi ved at v 2 = v v = x x + y y = x 2 + y 2. ( x y y 1. Da er længden af v Formlen fås ved at tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. For punkter A = (x 1, y 1 og B = (x 2, y 2 har vektoren ( AB koordinater x2 x 1. Hvis vi anvender længdeformlen på denne vektor, får vi afstandsformlen y 2 y 1 AB = ( (x 2 x (y 2 y 1 21 /2. 8

10 B a c a c C b A b Figure 4: Retvinklet trekant og tilhørende vektorer. Ofte bruger man Pythagoras læresætning til at bevise længdeformlen og afstandsformlen, men vi har vist dem uden hjælp fra Pythagoras. Det er faktisk endnu bedre, idet vi nu er i stand til at give et ganske simpelt bevis for Pythagoras læresætning. Sætning 19 (Pythagoras Læresætning Lad A, B og C betegne hjørnerne i en trekant, hvor C er ret. Lad a og b betegne længderne af kateterne og lad c betegne længden af hypotenusen. Da gælder Bevis. Vi indfører følgende vektorer a 2 + b 2 = c 2. a = CB, b = CA, c = AB, således at a = a, b = b og c = c. Da gælder c = a b og dermed c 2 = c c ( = a b ( a b = a a + b b 2 a b = a 2 + b 2 2 a b. Da trekanten er retvinklet, er a b = 0. 9

11 5 Lineær regression Vi tænker os at vi har målt sammenhørende værdier af to variable X og Y et antal gange. Hvert ( datapunkt (x i, y i kan repræsenteres ved den tilhørende xi stedvektor v i =. Hvis datapunktet (x i, y i er observeret h i gange og y i det samlede antal observationer er n, så er frekvensen af datapunktet f i = h i /n. Vi er interesseret i at bestemme et enkelt punkt (x, y med stedvektor v, som giver en god repræsentation af hele datasættet. Til at måle hvor meget et datapunkt afviger fra (x, y vil vi bruge den kvadrerede afstand v i v 2. Følgende sætning blev bevist af M. Stewart i 1746 i det specielle tilfælde, hvor der kun er to forskellige datapunkter. Sætning 20 (Stewarts Sætning Lad w betegne stedvektoren for tyngdepunktet givet ved w = f i v i. Da gælder at f i v i v 2 = f i v i w 2 + w v 2. Specielt gælder der, at den gennemsnitlige kvadratafvigelse er minimal når v = w. Bevis. Beviset består i følgende udregning f i ( v i v 2 = = = f i (( v i w + ( w v 2 f i (( v i w 2 + ( w v ( v i w ( w v f i ( v i w 2 + f i ( w v 2 + f i 2 ( v i w ( w v. Nu bruger vi, at w v ikke afhænger af i og får f i ( v i v 2 = f i ( v i w 2 + ( w v ( w v f i ( v i w. 10

12 Tilbage er blot at udregne det sidste led f i ( v i w = f i v i = w w = 0. f i w Vi har set, at hvis et helt datasæt skal repræsenteret ved et enkelt punkt, så er tyngdepunktet det bedste valg. Vi vil nu forsøge at repræsentere hele datasættet ved en ret linje af formen y = ax + b. Her vil vi opfatte x som den uafhængige variable og y som den afhængige variabel. Vi vil igen bruge gennemsnitlig kvadratisk afvigelse som mål for kvaliteten af vores rette linje, hvor vi ved kvadratisk afvigelse forstår størrelsen f i (y i (ax i + b 2. Sætning 21 For et datasæt vil bedste rette linje gå gennem tyngepunktet og hældningen vil være givet ved a = n f i (x i x (y i ȳ n f i (x i x 2. Bevis. Først skriver vi f i (y i (ax i + b 2 = f i ((y i ax i b 2 så for fastholdt værdi af a skal vi minimere en kvadratafvigelse og skal derfor vælge middelværdien b = f i (y i ax i = ȳ a x men det medfører at ȳ = a x + b så linen skal gå gennem tyngdepunktet. For at gøre den sidste del af beviset simplere vil vi antage at tyngdepunktet 11

13 ligger i origo så ( x, ȳ = (0, 0 og b = 0. Vi skal derfor minimere f i (y i ax i 2 = = ( f i y 2 i + a 2 x 2 i 2ax i y i f i yi 2 + f i a 2 x 2 i = a 2 f i x 2 i 2a f i 2ax i y i f i x i y i + f i yi 2. Dette er et 2.-gradspolynomium i a og ifølge toppunktsformelen antages minimum for a = ( 2 n f ix i y i 2 n f ix 2 i n = f ix i y i n f ix 2 i Som mål for kvaliteten af en lineær regression bruges størrelsen R 2 = 1 n f i (y i (ax i + b 2 n f i (y i ȳ 2. Denne størrelse vil ligge i [0;1] hvor 0 viser at regressionen er rigtigt dårlig mens 1 angiver at tilnærmelsen med en ret linje er perfekt. 6 Cosinusrelationerne og vinkler En vigtig egenskaber for prikproduktet er, at det kan bruges til at beregne vinkler. Sætning 22 Lad v og b være to egentlige vektorer. Da gælder hvor v = ( v, w. v w = v w cos (v, Bevis. Vi vil først bevise sætningen under antagelse af at w = 1. Vi 12

14 1 (cos(v, sin(v b v 1 a ( a, 0 Figure 5: Enhedscirkel med vektorerne a og b indtegnet. lægger et koordinatsystem som på Figur 5, så v får koordinater ( ( cos v w cos v Koordinaterne for w bliver da w = og sin v w sin v v w = ( v 0 ( w cos v w sin v = v w cos v + 0 sin v = v w cos v. ( v 0. Sætning 23 (Cosinus-relationerne Lad A, B og C betegne hjørnerne i en trekant. Lad a, b og c betegne længderne af de tilsvarende sider. Da gælder a 2 = b 2 + c 2 2bc cos ( A, b 2 = a 2 + c 2 2ac cos ( B, c 2 = a 2 + b 2 2ab cos ( C. 13

15 B a c a c C b A b Figure 6: Trekant og tilhørende vektorer. Bevis. Vi viser kun den sidste ligning, idet de øvrige vises på samme måde. Vi indfører følgende vektorer a = CB, b = CA, c = AB, således at a = a, b = b og c = c. Da gælder c = a b og dermed hvilket beviser sætningen. c 2 = c c = ( a ( b a b = a a + b b 2 a b = a 2 + b 2 2ab cos ( C, 14

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013

Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning til GYM17 Copyright Adept Nordic 2013 Vejledning i brug af Gym17-pakken... iv 1 Deskriptiv statistik... 1 1.1 Ikke-grupperede observationssæt... 1 1.2 Grupperede observationssæt... 4 2 Regressioner...

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benyttet cd'en 'Maple 15 - Til danske Gymnasier' eller en af de tilsvarende installere.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK B Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAB 574604_GL083-MAB_12s.indd 1 14/01/09 14:40:30 Matematik B Prøvens varighed

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

sprog og arbejdsmetode

sprog og arbejdsmetode brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetode F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik sprog og arbejdsmetodde F+E+ D ISBN: 978-87-92488-36-7 1. udgave som E-bog til tablets 2012

Læs mere