MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER

Transkript

1 MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER

2 Matematik i Hasle Bakker Hasle Bakker er et oplagt mål for ekskursioner, der lægger op til, at eleverne åbner øjnene for de muligheder, naturen giver. Leg, bevægelse, samvær, men også målrettet læring, der kan give oplevelser med større perspektiv. Matematik er i vore dage ikke blot nogle indviklede opgaver og tekster, som man kan blive hørt i. Matematik i anvendelse er et af de fire centrale kundskabs- og færdighedsområder, som eleverne skal arbejde med. En matematikundervisning uden for klasseværelset giver optimale muligheder for, at eleverne får øjnene op for, at matematik bruges overalt i samfundet. De 14 matematikopgaver i Hasle Bakker inddrager ikke alle dele af matematikkens pensum, men de giver eleverne mulighed for at arbejde konkret med matematikken. Arbejdet i bakkerne styrker elevernes matematiske kompetencer, eksempelvis problembehandlings-, modellerings-, ræsonnements-, repræsentations- og kommunikationskompetencen. Det faglige indhold i opgaverne er naturligt centreret om geometrien. Skitseteg-ninger, opmålinger og rentegninger indgår i alle opgaver. Herfra går eleverne så videre til de geometriske beregninger: arealer og omkredse, længder beregnet ved hjælp af den pythagoræiske læresætning samt målestoksforhold. Men også lineære funktioner og trigonometriske funktioner optræder i opgaverne. Arbejdet foregår i 3 faser: 1. Gennem øvelser og samtaler i klassen bliver eleverne fortrolige med den matematik, de får brug for til løsning af de enkelte opgaver. 2. Ude i Hasle Bakker foretager eleverne de nødvendige iagttagelser og opmålinger, tegner skitser til senere brug og noterer vigtige detaljer, som de vil have med i slutfasen. 3. Efterbehandlingen hjemme i klassen består i, at eleverne skriver en rapport, som indeholder de færdige tegninger og resultater af beregnigerne. Desuden skal der være begrundelser for beregningerne og meget gerne personlige kommentarer til opgaven. Rapporten danner baggrund for en mundtlig fremlæggelse i klassen eller eventuelt på et forældremøde. De 14 opgaver varierer i sværhedsgrad og kan frit kombineres, så de passer til den enkelte gruppe. Ved starten indscannes opgavekoderne på mobiltelefonen, hvorefter den indbyggede GPS fører eleverne rundt i området til de enkelte opgaver. Hver gruppe udstyres med en taske med de nødvendige måleredskaber.

3 Lærerkommentarer Opgave 1. Hvor høj er bakkekammen ved parkeringspladsen? AB = ca. 62 meter, vinkel ECD = ca. 18, Bakken er ca. 20 meter høj Opgave 2. Hvor høj er højspændingsmasten? Ingen resultater Opgave 3. Affaldsbeholdere Opgaven med affaldsbeholdere kan løses flere steder i området. Opgave 4. Perspektivtegning Opgave 5. Hvor stor er søen mellem Bakkekammen og Spiralen? Idet AB = 75 meter, er vinkel BAC = 60 og vinkel ABC = 75. CH er så ca.100 meter. Afstanden fra H til vandkanten må eleverne måle med målebånd. Idet DE = 80 meter, er vinkel GDF = 70, GDE = 105, DEF = 110 og GED = 23. GF er så ca. 125 meter. Eleverne må foretage en tilnærmet aeralberegning, som sandsynliggør, at søens areal er ca. en ha. Opgave 6. Spiralen Turen op er ca. 285 meter, turen ned er ca. 190 meter. I forfatternes tempo tog det henholdsvis 4 minutter og 3 minutter. Opgave 7. To højspændingsmaster, set fra Plateauet Idet AB = 50 meter, er vinkel DAB = 115, CAB = 73, CBA = 97 og DBA = 50. AD = ca. 148 meter, BC = ca. 275 meter og DC = ca. 200 meter Opgave 8. Regulære geometriske figurer (1) Cirkel 192: Areal = 2376 cm², kvadratets areal = 784 cm². Arealforholdet = 3 : 10. Opgave 9. Den cirkelformede plads Cirklens omkreds: ca. 55 meter. Areal = ca. 241m². Antal brosten: ca. 865 stk. Når vi beder eleverne angive arealet af cirklen på to måder, er det for at få dem til at overveje og redegøre for usikkerheden ved at bruge simple måleredskaber. Opgave 10. En siddeplads Cirklens diameter er 54 cm., cylinderens højde er 50 cm på den afbillede klods. Rumfang ca. 114,5 dm³, vægt ca. 263 kg Eleverne finder cirklens centrum ved at tegne (med tavlekridt!) to korder, tegne kordernes midtnormaler og markere disses skæringspunkt som cirklens cen-trum. Opgave 11. Trapperne ved Edwin Rahrsvej

4 Trappen har 42 trin. s = 12 cm, g = 47 cm, 2s + g = 71 Bakken er ca. 5 meter høj på dette sted. Eleverne kan føle trappen ubekvem at gå på, fordi jorden bag granitstenene ikke er i niveau. Det er imidlertid ikke det, der her skal afgøre, hvorvidt trappen er bekvem at gå på. Det er forholdet mellem stigning og grund, der er afgørende. Opgave 12. Skulpturen AB = 4,40 meter, AD = 1,65 meter, vinkel EDC = 20. BC = 3,45 meter En sten: 90x50x44 cm. Afstand mellem stenene: 12 cm. Hvis skulpturen forøges med en sten, bliver den nye højde ca. 3,75 meter. Der ligger 80 brosten i cirklens periferi. Der ligger ca sten inde i cirklen. Cirklens areal: 24,1 m² Lysene danner et rektangel på 2,45 x 4,40 meter. Opgave 13. En shelter AB = 365cm, BC = 210 cm, HD = 300 cm, HM = 300 cm, vinkel v = 20. FG = 755 cm. Opgave 14. Hvor høj er bakkekammen ved søen? Ingen resultater Opgave 15. Perspektivtegning Opgave 16. Regulære geometriske figurer (2) Cirklens areal = 2376 cm², den regulære sekskant: Areal = 1431 cm². Arealforholdet = 6 : 10. I opgaverne 1 og 2 er der mulighed for, at eleverne kan arbejde med enkle trigonometriske funktioner. Denne teodolit forhandles af Forlaget Gonge, Gåseagervej 12C, 8250 Egå. Litteratur. Svend Hessing. Ny trigonometri. Forlaget MATEMATIK På tur med matematikken. Forlaget MATEMATIK Kirsten Helborg Drews og Finn Egede Rasmussen. Storcentrets Matematik. Forlaget Alinea.

5 Opgave 1 (samme som opgave 14, men anden placering) Hvor høj er bakkekammen ved parkeringspladsen? Hjælpemidler: En teodolit, et meterhjul, et langt målebånd. Mål afstanden AB ved hjælp af meterhjulet. Brug teodolitten til at måle vinklen ECD. Punktet D skal vises tydeligt af den- per son, der står på toppen af bakken (B), så det passer til teodolittens højde. Tegn en skitse af bakken. Skriv målene, I har fundet, på skitsen. Hjemme skal I tegne en profil af bakken i et passende målestoksforhold. Find bakkens højde BF ved at måle på tegningen. Bakkens højde kan også beregnes på denne måde: Mål vinkel ECD og længden af AB Beregn BF, som er udtryk for bakkens højde, idet Sin(ECD) = BF/AB

6 Opgave 2 Hvor høj er højspændingsmasten? Hjælpemidler: En teodolit, et meterhjul. I skal måle mastens højde ved hjælp af teodolitten. Markér et punkt (A) på stien, 50 meter fra masten. Brug meterhjul eller målebånd og mål fra mastens centrum, dvs. fra midtpunktet mellem mastens ben. Mål så vidt muligt i lige linie fra masten til A. Når I måler, skal I have bakken på jeres højre side. Stil teodolitten i A Mål højden AD, dvs. teodolittens højde Mål vinklen EDC Hjemme skal I tegne hele figuren i et passende målestoksforhold. Hvor høj er masten? Mastens højde kan også beregnes ved hjælp af en lommeregner med tangensfunktion. Find på lommeregneren tangens til vinklen. Dette tal er det samme som forholdet mellem CE og DE. I kender DE, som jo er lig med AB. Hvor høj er masten?

7 Opgave 3 Affaldsbeholdere på vej mod toppen af Bakkekammen Hjælpemidler: Et målebånd eller en tommestok Rundt i området er der mulighed for et hvil på nogle cylinderformede betonblokke. Men: Som det fremgår af billedet, mangler der mulighed for at man kan komme af med sit affald. Det er nu jeres opgave at komme med forslag til design af to slags affaldsbeholdere. Den ene skal være til almindeligt affald, den anden til hundenes efterladenskaber. Begge beholdere skal passe ind i miljøet. De skal designes sådan, at det er nemt at tømme dem. Sæt jer på betonblokkene og diskutér forskellige ideer til, hvordan affaldsbeholderne kan komme til at se ud. Tegn nogle skitser med mål på. Hjemme skal I udarbejde en arbejdstegning og en model, som skal vise beholderne sådan, at en fabrikant kan gå i gang med at producere dem.

8 Opgave 4 (samme som opgave 15) Perspektivtegning Tag på forskellige steder i området nogle billeder, som egner sig til perspektivtegning. Hjemme på skolen kopierer I billederne i ca. A4-størrelse. Derefter tegner I perspektivlinjer ind på billederne, angiver horisontlinje og forsvindingspunkt(er). Med fotokopierne af billederne som arbejdsgrundlag skal I nu selv tegne motivet.

9 Opgave 5 Hvor stor er søen mellem Bakkekammen og Spiralen? Hjælpemidler: En teodolit, et meterhjul og mindst 2 kegler Søen skal opmåles, så I kan beregne størrelsen tilbage på skolen. Del 1: Søens bredde Søens bredde (HC) findes ved hjælp af trekant ABC. Begynd med at tegne en skitse af trekanten. De mål, I kommer frem til undervejs, markeres på skitsen. Punkterne A og B markeres med kegler, som placeres på stien med 50 meters afstand. A og B vælges, så de ligger nogenlunde som på billedet (se under Intro ). Vælg selv et synligt punkt (C) på søens modsatte bred. Sæt nu teodolitten i punktet A og sigt mod C. Mål vinklen CAB. Sæt herefter teodolitten i punktet B. Sigt nu mod A og mål vinklen CBA. Del 2: Søens længde Søens længde (FG) findes ved hjælp af firkant DEFG. Tegn en skitse af firkanten. Opmål en 80 meter lang linje (DE) på stien op ad Spiralen. Punkterne D og E markeres med kegler. Punkterne G og F udgør søens ender. Vælg her noget synligt at sigte efter. Brug nu teodolitten til at måle vinklerne GDF, GDE, DEF og GED. Hjemme på skolen skal I tegne de to geometriske figurer i et passende målestoksforhold. Find ved hjælp af tegningerne længden FG i firkanten og højden CH i trekanten. Begrund ved hjælp af tegningerne og målene, at søens areal er ca. én ha

10 Opgave 6 Spiralen Hjælpemidler.: Meterhjul og stopur Gå op ad den ene sti og ned ad den anden. Hvor lang er turen? Hvor lang tid tog det at komme op på toppen af bakken? Hvor lang tid tog det at gå ned? Beregn de to hastigheder i km/time. Her kan turen begynde

11 Opgave 7 To højspændingsmaster, set fra Plateauet Hjælpemidler: En teodolit, et langt målebånd eller meterhjul, 2 kegler I skal finde afstanden mellem to af de højspændingsmaster, I kan se fra Plateauet. Plateauet er den flade bakke, I befinder jer på. På stien, der vender ud mod masterne, placeres to kegler med 50 meters afstand. Keglerne markerer liniestykket AB. Det er ikke så afgørende præcis hvor på stien, keglerne står. Der skal blot være 50 m mellem dem. Masten bag den blågrønne bygning ( til højre for vandtårnet) kaldes C. Masten tættest på jer, neden for den store bakke, kaldes D. Sæt teodolitten i A. Mål vinklerne DAB og CAB. Sæt teodolitten i B og mål vinklerne CBA og DBA. Notér målene på en skitse. Hjemme skal I tegne figuren i et passende målestoksforhold. Bestem følgende afstande ved hjælp af tegningen: AD, BC og CD.

12 Opgave 8 Regulære geometriske figurer (1) Hjælpemiddel: Et målebånd Ved krydset mellem cykelstien og grusstien står denne betonklods. Mål cirklens diameter og kvadratets side. Skriv målene ind på en skitse. Hjemme på skolen skal I tegne cirklen og kvadratet i et passende målestoksforhold. Beregn arealet af cirklen og kvadratet. Angiv arealforholdet mellem kvadratet og cirklen.

13 Opgave 9 Den cirkelformede plads Hjælpemidler: et meterhjul, et langt målebånd Mål cirklens omkreds og diameter. Hvor mange brosten er der lagt ned i kanten af cirklen? Hjemme skal I beregne cirklens areal, både ved hjælp af jeres mål for om-kredsen og ved hjælp af cirklens diameter. Hvorfor kommer I frem til forskellige resultater? Hvordan fandt I frem til antallet af sten i kanten af cirklen? Det er nu jeres opgave at foreslå en udnyttelse eller forskønnelse af pladsen. Det kunne være et solur midt på pladsen. Det kunne være et springvand midt på pladsen. Det kunne være en eller flere geometriske skulpturer på pladsen. Det kunne også være noget helt andet, som I foreslår. Jeres forslag skal vises på en geometrisk tegning i et passende målestoksforhold og på en model. Det skal ledsages af matematiske forklaringer

14 Opgave 10 En siddeplads Hjælpemidler: Et målebånd, tavlekridt, tommestok, tegnetrekant. Tegn en skitse af klodsen. Afsæt på skitsen målene for cylinderens højde og diameter. Prøv at finde cirklens centrum ved hjælp af to korder. Hjemme skal I beregne rumfanget og vægten af den del af klodsen, som er over jorden. Betons massefylde kan sættes til 2,3. Desuden skal I på en tegning vise, hvordan I fandt cirklens centrum. Sæt mål på tegningen.

15 Opgave 11 Trapperne ved Edwin Rahrsvej Hjælpemidler: Et målebånd grund stigning Begynd med at gå nogle ture op og ned ad trappen. Tænk på, hvad forholdet mellem stigning og grund betyder for, om trappen er bekvem at gå på. Giv den karakter efter, hvor bekvem den er at gå på. Brug denne skala: 4: meget bekvem 3: bekvem 2: nogenlunde bekvem 1: ubekvem Mål trappens stigning og grund. Notér antallet af trappetrin. Hjemme på skolen skal I tegne et tværsnit af mindst 5 trin af trappen i et passende målestoks-forhold. Husk at vise målene på stigning og grund. Husk også at anføre, om trappen er bekvem at gå på ud fra karakterskalaen. Derefter skal I bruge matematikken til at undersøge, om trappen er anlagt sådan, at den er bekvem at gå på. Der findes nemlig en formel for den bekvemme trappe: 2s + g = 63, hvor s er trappetrinnets stigning og g er dybden af et trappetrin, kaldet trappens grund. Alle mål er i cm. De 63 cm svarer til et gammelt mål, en alen. En alen = 2 fod = 24 tommer, og en tomme er ca. = 2,6 cm. Sæt jeres mål for trappens stigning og grund ind i formlen. Hvor godt passer denne trappes mål ind i formlen? Hvordan svarer beregningerne til den karakter, I gav trappen ude på stedet? Hvor høj er bakken på det sted, hvor trappen er anlagt?

16 Opgave 12 Skulpturen på hjørnet af Lenesvej og Edwin Rahrsvej Hjælpemidler: Målebånd, en stor vinkelmåler Tegn en skitse af skulpturen set fra siden (som på billedet ovenfor). Tag de nødvendige mål: AB, AD og vinkel EDC. Hvilken geometrisk figur er ABCD? Mål også længder og vinkler på en af skulpturens blokke. Skriv alle mål ind på skitsen. Læg mærke til de figurer, der ses på blokkene. Tegn en skitse af cirklen. Tegn de fire ødelagte lampesteder ind på skitsen. Tag de nødvendige mål, så I kan finde cirklens omkreds og areal samt placeringen af lampestederne. Hvor mange brosten ligger der i cirklens periferi (kanten af cirklen)? Hvor mange sten ligger der inde i cirklen? Beskriv jeres optællingsmetode.. Hjemme skal I tegne skulpturen set frontalt i et passende målestoksforhold. Beregn hvor høj skulpturen vil blive, hvis man forlænger den med endnu en betonklods ved C? Beskriv de figurer, der ses på betonklodserne

17 Opgave 13 En shelter Hjælpemidler: et målebånd, en vinkelmåler Tegn en skitse af shelterens gavl. Skriv de nødvendige mål på skitsen, både længdemål og vinkelmål. Mål også GH samt længden af taget, FG. Punktet F er ikke på tegningen, så det skal I selv finde. Hjemme skal I tegne shelterens gavl i et passende målestoksforhold. Beregn også arealet af tagfladen.

18 Opgave 14 (samme som opgave 1, men anden placering) Hvor høj er bakkekammen? Hjælpemidler: En teodolit, et meterhjul, et langt målebånd. Mål afstanden AB ved hjælp af meterhjulet. Brug teodolitten til at måle vinklen ECD. Punktet D skal vises tydeligt af den- per son, der står på toppen af bakken (B), så det passer til teodolittens højde. Tegn en skitse af bakken. Skriv målene, I har fundet, på skitsen. Hjemme skal I tegne en profil af bakken i et passende målestoksforhold. Find bakkens højde BF ved at måle på tegningen. Bakkens højde kan også beregnes på denne måde: Mål vinkel ECD og længden af AB Beregn BF, som er udtryk for bakkens højde, idet Sin(ECD) = BF/AB

19 Opgave 15 (samme som opgave 4, men anden placering) Perspektivtegning Tag på forskellige steder i området nogle billeder, som egner sig til perspektivtegning. Hjemme på skolen kopierer I billederne i ca. A4-størrelse. Derefter tegner I perspektivlinjer ind på billederne, angiver horisontlinje og forsvindingspunkt(er). Med fotokopierne af billederne som arbejdsgrundlag skal I nu selv tegne motivet.

20 Opgave 16 Regulære geometriske figurer (2) Hjælpemiddel: Et målebånd Ved den cirkelformede plads står denne betonklods, som er forsynet med 6 skruer. Skruerne danner en regulær geometrisk figur. Mål cirklens diameter og afstanden mellem skruerne. Skriv målene ind på en skitse. Hjemme på skolen skal I tegne cirklen og figu-ren i et passende målestoksforhold. Beregn arealet af cirklen og den regulære figur. Angiv arealforholdet mellem den regulære figur og cirklen