Trekantsberegning. for C-niveau i hf Karsten Juul A D

Transkript

1 Tekansbeegning fo -niea i hf 0 01 Kasen Jl aeal...1, 7, 1 aeal og sins...7 beis fo sinsfomlen fo aeal af ekan...7 beis fo sinselaionen...8 cosins... cosins og Nsie... cosins i einkle ekan..., 11, 1 cosinselaionen...9, 13 ensinklede ekane..., hosliggende kaee...3, 11, 1 hyoense..., 11, 1 häjde...1, 10 häjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal...1 kaee..., 11, 1 ligebene ekan... median...10 modsående kaee...3, 11, 1 modsående side...3 modsående inkel...3 Pyhagoas' sçning..., 1 e inkel... 1 einkle ekan...11, 1 sammensa ogae... 9 sins..., 7 sins i einkle ekan..., 11, 1 sins og Nsie... sinsfomel fo aeal... 7 sinselaionen...8, 13 skalafako... sids inkel... 1 sm inkel... 1 angens... angens i einkle ekan..., 1 angens og Nsie... ilkålig ekan... 1 inkel...1, 10 inkelhaleingslinje... 10

2 Indhold 1. Vinkle Tekans häjde og aeal HÄjde HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal Eksemel ho aeal e kend Pyhagoas såning Kaee og hyoense Pyhagoas' sçning esem kaee med Pyhagoas' sçning esem hyoense med Pyhagoas' sçning.... Sogbg ModsÅende inkel elle side eegnelse fo modsående inkel elle side Od fo sidene i en einkle ekan Ensinklede ekane....1 Od og meode i ogae om ensinklede ekane.... Simel ogae om ensinklede ekane....3 Sammensa ogae om ensinklede ekane.... osins, sins, angens og Nsie osins, sins og angens i einkle ekan e e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan Eksemle Å degninge med cos, sin og an i einkle ekan Sinsfomlen fo aeal af ekan Sinsfomlen fo aeal af ekan eis fo sinsfomlen fo aeal af ekan Eksemle Å bg af sinsfomlen fo aeal af ekan Sinselaionen Sinselaionen eis fo sinselaionen esem inkel med sinselaionen esem side med sinselaionen osinselaionen osinselaionen esem inkel med cosinselaionen esem side med cosinselaionen Sammensa ogae Nogle begebe HÄjde Median Vinkelhaleingslinje Nogle beegnelse e 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan e fomle il degning af side og inkle i einkle ekan... 1 e ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen e 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal... 1 e 3 fomle fo ilkçlig ekan... 1 I fälgende hçfe e de Äelse, men ikke alle e eleane fo bgene af nççende hçfe: h://ma1.dk/oeelse_il_haefe_kofae_ekansbeegning_fo_gymnasie_og_hf.df Tekansbeegning fo -niea i hf É 01 Kasen Jl. Nyese dgae af dee hçfe kan downloades fa h://ma1.dk/noe.hm. HÇfe må benyes i ndeisningen his lçeen med de samme sende en il kj@ma1.dk som olyse a dee hçfe benyes, og olyse hold, niea, lçe og skole. 13/1-01

3 1. Vinkle I en ekan e de e inkle alid 180 ilsammen: I ligebene ekan e inkle ed gndlinje lige soe, ds. nå = e =. l m His l og m e aallelle, e =. En inkel i en ekan e sids his den e nde 90 e his den e 90 sm his den e oe 90.. Tekans häjde og aeal..1 HÄjde. HÄjden fa e de linjesykke de gå fa og inkele ind Å den modsående side. HÄjden fa gå inkele ind Å den modsående sides folçngelse. Siden e häjden fa.. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal. Fo ekane gçlde: aeal = 1 häjde gndlinje Tekans aeal = En af häjdene i ekanen. 1 da Gndlinje, ds. den af sidene de e inkele Å den alge häjde. a c d b Fomlen bges ikke kn il a besemme aeal. His i kende o af allene aeal, häjde og gndlinje, så kan i besemme de sidse af allene..3 Eksemel ho aeal e kend. eal = 10 = 1 häjdegndlinje 1 h 8 19, 8 h aeal 10 1, LÄsning af ligningen den hjçlemidle: 10 1 h 10 h h 1 1 7, h h 7, LÄsning af ligningen med hjçlemidle: Tekansbeegning fo -niea i hf Side 1 01 Kasen Jl

4 3. Pyhagoas' såning. 3.1 Kaee og hyoense. Sidene og eekanens kaee. e kan i se fodi inklen imellem og e e. Siden e hyoensen. e kan i se fodi ikke e en af kaeene. dasel: His en ekan ikke e einkle, så ha den heken hyoense elle kaee. 3. Pyhagoas' såning. Pyhagoas såning som fomel Fo en einkle ekan gçlde: nå og e kaee, og e hyoense. Pyhagoas såning i od GÇlde kn i einkle ekan. en ene kaee i anden ls den anden kaee i anden e hyoensen i anden. 3.3 esem kaee med Pyhagoas' såning. Vi se: kaeene e a og hyoensen e 10 efo e a 10 LÄsning af ligningen den hjçlemidle: a 10 a 10 da 0<a a a 8 10 a LÄsning af ligningen med hjçlemidle: 3. esem hyoense med Pyhagoas' såning. Vi se: kaeene e og 1 hyoensen e efo e 1 LÄsning af ligningen den hjçlemidle: 1 1 da 0< LÄsning af ligningen med hjçlemidle: Tekansbeegning fo -niea i hf Side 01 Kasen Jl

5 . Sogbg..1. ModsÇende inkel elle side. e modsående inkel il siden l, og l e modsående side il inklen, fodi l ikke säde o il. Vi se a m og n säde o il, så m og n e ikke modsående il. l w m e modsående il m. w e modsående il n. n. eegnelse fo modsçende inkel elle side. His de så i ekan EF e f 1 gçlde de e siden oe fo inkelsidsen F de e 1. Sogbgen e nemlig sådan a nå e so bogsa e en inkelsids i en ekan, gçlde de ilsaende lille bogsa e siden oe fo inkelsidsen, f E e d F his de ikke femgå ande. Eksemel Ç dnyelse af denne sogbg: I en ekan ho inkel e e, e a b c. dasel: Se fig il häje. e d ikke his d skie m =,. LÇseen kan ikke ide om de e elle de e,. Ski m Å den side d mene. skal alid egne en skise i en geomeiogae. M.3 Od fo sidene i en einkle ekan. Siden e en kaee fodi den säde o il den ee inkel. Siden e hyoensen fodi den ikke säde o il den ee inkel. Siden e den hosliggende kaee il inkel fodi e den af kaeene de säde o il inkel. Siden e den modsående kaee il inkel fodi e den af kaeene de ikke säde o il inkel. dasel: Odene kaee og hyoense kan kn bges i en einkle ekan. Eksemle d n 8 k 3 w g e hosliggende kaee il n e hosliggende kaee il w h e modsående kaee il inklen Å 3 e modående kaee il d e modående kaee il w Hyoensen e 8 g e hyoense 7 h Tekansbeegning fo -niea i hf Side 3 01 Kasen Jl

6 . Ensinklede ekane..1 Od og meode i ogae om ensinklede ekane. PÅ figen ha jeg bg be il a ise hilke inkle de e lige soe: e o inkle med dobbelbe e lige soe. e o inkle med enkelbe e lige soe. e o sidse inkle må så Çe lige soe da inklene i en ekan ilsammen e 180. de o ekane ha samme inkle, dykke i ed a sige a ekanene e ensinklede. Regel: NÅ o ekane ha samme inkle, e de en skalafako. NÅ i gange sidene i den ene ekan med skalafakoen, så få i sidene i den anden ekan. PÅ figen ha jeg is a jeg ha alg a kalde skalafakoen k, og a jeg ha alg a de e sidene i ense ekan de skal ganges med skalafakoen. (1) 0k = 8 da sidene de e 0 og 8 ha lige soe modsående inkle (dobbelbe). () 7k = da sidene de e 7 og ha lige soe modsående inkle (ingen be). (3) nk =, da sidene de e n og, ha lige soe modsående inkle (enkelbe). f (1) få i k = 8 = 1, Vi ha n degne k og kan bge k il a degne og n. 0 f () få i = 71, =,8, f (3) få i n = = 33 1,. Simel ogae om ensinklede ekane. Ogae Tekanene og EF Å figen e ensinklede. esem d og c. Sa Tekanene e ensinklede, så de e de en skalafako som i gange side i med fo a få side i EF. c 9 1 F NÅ de i ogaen så ode ensinklede, skal i nomal degne en skalafako. d E = 9 da sidene de e og 9, ha ens modsående inkle. = 1, Vi ha diidee begge side med. Vi ha n degne og kan bge il a degne d og c. = d da sidene de e og d, ha ens modsående inkle. 1, = d d =.. c = 1 da sidene de e c og 1, ha ens modsående inkle. c 1, = 1 c =.8. Vi ha diidee begge side med 1,. Tekansbeegning fo -niea i hf Side 01 Kasen Jl

7 .3 Sammensa ogae om ensinklede ekane. Ogae PÅ figen e aallel med E. esem E. 1 E 1 Sa a e aallel med E, e ekanene og E ensinklede, så de e en skalafako k. Udegning af k : k 1 k 1 k 3 da sidene de e og 1, ha samme modående inkel. Vi ha n degne k og kan bge k il a degne. Ved hjçl af eglene fo ensinklede ekane kan i degne lçngde af side i ekanene, men E e ikke side i en af ekanene. Vi degne defo fäs. SÅ kan i deefe degne E ed a Çkke fa 1. Udegning af : Udegning af E : E E da og siden de e 1, ha ens modsående inkle.. osins, sins, angens og Nsie. I mange ogae med ekane ha i bg fo a egne med noge de hedde cosins, sins og angens. I e maemaikfel i e noeinde i Nsie ase i cos() og cl-ene (cmd-ene Å Mac) : NÅ i lçse denne ligning, sige i: cosins il e 0, Flee degninge: NÅ i lçse disse ligninge, sige i sins il 138 e 0,9131 og angens il 1, e 0,719. His e en inkel i en ekan og 7cos() =, så skal i läse denne ligning. Ligningen ha mange osiie og negaie läsninge, men da e en inkel i en ekan, skal i kn finde läsninge mellem 0 og 180. Nsie läse ligningen 7cos() = mh. fo 0<<180 og få =,101. His e en inkel i en einkle ekan, skal i kn finde läsninge mellem 0 og 90. HUSK: Oe sole-linjen skie i med sçdanlig maemaiksog had de foegå i solelinjen. HUSK alid: HÄjeklik, ibe, Gade fo a Çe hel sikke. Tekansbeegning fo -niea i hf Side 01 Kasen Jl

8 7. osins, sins og angens i einkle ekan. 7.1 e e egle fo cosins, sins og angens i einkle ekan. NÅ så gçlde: e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee e ' s modsående kaee cos( ) ds. hyoense gange cos() e 's hosliggende kaee sin( ) ds. hyoense gange sin() e 's modsående kaee an( ) ds. 's hosliggende kaee gange an() e 's modående kaee I mange ilfçlde hedde inklen og sidene noge ande end,,,. efo e de ofe en fodel a dykke eglene i od som i ha gjo il ense fo fomlene. 7. Eksemle Ç degninge med cos, sin og an i einkle ekan. 7. a Ogae esem inkel. Sa f den einklede ekan få i sin( ). Nsie läse ligningen sin( ) mh. fo 0 90 og få, 7, b Ogae esem. Sa f den einklede ekan få i cos( 0). Nsie läse ligningen cos( 0) mh. fo 0 og få 7, 778 7, c Ogae 30 mee fa e Ç sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e. Tekanen il häje e en model af denne siaion. esem Çes häjde. Sa f denne einklede ekan få i 30 h TÇes häjde e 38 m. Enhed: mee 7. d Ogae med ligebene ekan esem lçngden af. Sa Vi egne häjden fa. a ekan e einkle, e a ekanen e ligebene, e midnke af, så Tekansbeegning fo -niea i hf Side 01 Kasen Jl

9 8. Sinsfomlen fo aeal af ekan. 8.1 Sinsfomlen fo aeal af ekan. Sinsfomlen fo aeal af ekan e T 1 sin( ) ho T e aeale, og e o side i ekanen, og e inklen mellem disse side. T Fomlen bges ikke kn il a besemme aeal. His i kende e af allene T,, og, så kan i besemme de sidse af allene. Sinsfomlen fo aeal af ekan dyk i od: eal af ekan = 1 den ene side den anden side sins il inklen imellem de o side. 8. eis fo sinsfomlen fo aeal af ekan. PÅ figen egne i en häjde h de dele ekanen o i o ekane. f den ense af disse og af fomlen fo sins i einkle ekan få i: sin() = h f häjde-gndlinje-fomelen fo ekans aeal få i: aeal = 1 häjde gndlinje h T = 1 h T = 1 h Hei esae i h med sin(). Oenfo så i a sin() = h. T = 1 sin() ee e sinsfomlen fo ekans aeal, så i ha beis a den gçlde. 8.3 Eksemle Ç bg af sinsfomlen fo aeal af ekan. Ogae eale af ekan e 31,. esem lçngden af. esem aeale af ekan. Sa a aeal af ekan e 31,, få i af sinsfomlen fo aeal af ekan: 31, = 0, sin(110). Nsie läse ligningen 31, = 0, sin(110) mh. og få = 13,1 13, f ekan og sinsfomlen fo aeal af ekan få i: eal af ekan e Tekansbeegning fo -niea i hf Side 7 01 Kasen Jl

10 9. Sinselaionen. 9.1 Sinselaionen. Sinselaionen gçlde i alle ekane og sige a ho sin( ) sin( ) siden e modsående il inklen siden e modsående il inklen Vi bge IKKE sinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 9. eis fo sinselaionen. PÅ figen ha i ilfäje en häjde h, de dele ekanen i o ekane. a disse e einklede, e sin( ) h og sin( ) h. sin( ) sin( ) da begge side e lig h. sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) Vi ha diidee begge ligningens side med sin( ) sin( ). Vi ha fokoe de o bäke. sin( ) sin( ) ee e sinselaionen, så i ha beis a den gçlde. h 9.3 esem inkel med sinselaionen. Ogae esem inklen Å figen. Sa 3 3 f sinselaionen få i sin( ) sin(110). Nsie läse ligningen 3 mh. fo sin( ) sin(110) og få 37, 909 elle 1, 091 ds. = 37,9 fo må Çe minde end 90 da en af de ande inkle e oe esem side med sinselaionen. Ogae esem siden b Å figen. Sa Vi få bg fo siden b 's modsående inkel: = så den fo maemaikfele. ibe skal Çe = og gade. TilfÄj efe faci. b f sinselaionen få i: sin( 8) sin(10) 7 b Nsie läse mh. b fo 0b og få b, 11. s.: b =, sin( 8) sin(10) 10 Tekansbeegning fo -niea i hf Side 8 01 Kasen Jl

11 10. osinselaionen osinselaionen. osinselaionen gçlde i alle ekane og sige a ho cos( ), og e ekanens side siden e modsående il inklen Vi bge IKKE cosinselaionen i einkle ekan, da i ha simlee fomle il einkle ekan. 10. esem inkel med cosinselaionen. Ogae esem inklen Å figen. Sa f cosinselaionen få i: 3,,,0,,0 cos( ) 3,, Nsie läse ligningen 3,,,0,,0 cos( ) mh. fo og få 3, 09. s.: = 3,1., esem side med cosinselaionen. Ogae esem siden Å figen. Sa f cosinselaionen få i: = 8 + 8cos(9) Nsie läse ligning = 8 + 8cos(9) mh. fo 0 og få 1, 93. s.: =, Sammensa ogae. En gndogae i ekansbeegning kan d läse ed a finde ogaen i oesigen side En sammensa ogae kan d ikke läse ed a finde ogaen i en lçebog da de e al fo mange mlighede. Meningen med en sammensa ogae e a d skal se hodan d kan läse den ed hjçl af gndogae. I mange sammensae ogae e de egne e linjesykke som dele en ekan o i o delekane. Fo a finde d af had d skal gäe, kan d egne de e ekane he fo sig og skie al og bogsae Å dem. NÅ d ha egne de e ekane, se d om de e en af dem ho d kan egne noge d. His de d ha egne d, også e en side elle inkel i en af de ande ekane, så skie d også eslae he. e e isç igig a egne den soe ekan da de ise sig a linjen inden i den e disaheende nå man egne Å den soe ekan. Tekansbeegning fo -niea i hf Side 9 01 Kasen Jl

12 1. Nogle begebe. 1.1 HÄjde. En häjde i en ekan e e linjesykke de gå fa en inkelsids il e nk Å den modsående side og e inkele Å denne side. I enhe ekan e de e häjde. PÅ figen e is häjden ha fa Å siden a. F.eks.: His de i en ogae e olys a e häjden Å (se fig), så ha d fåe olys a inkel e e. SÅ kan d bge eglene fo einkle ekan. h a 1. Median. En median i en ekan e e linjesykke de gå fa en inkelsids il midnke af den modsående side. I enhe ekan e de e mediane. PÅ figen e is medianen mb fa Å siden b m b His de i en ogae e olys a e median Å (se fig), så ha d fåe olys a og e lige lange: F.eks.: His d kende elle kan degne, så kan d degne ed a gange med. F.eks.: His d kende elle kan degne, så kan d degne ed a diidee med. 1.3 Vinkelhaleingslinje. En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gå gennem en af inkelsidsene og halee inklen. I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÅ figen e is inkelhaleingslinjen fo inkel. w w His de i en ogae e olys a e inkelhaleingslinje fo inkel (se fig), så ha d fåe olys a inklene og e lige soe: F.eks.: His d kende elle kan degne, så kan d degne inkel i ekan ed a gange med. F.eks.: His d kende inkel i ekan elle kan degne den, så kan d degne inkel ed a diidee inkel med. 1. Nogle beegnelse. e inkel i ekan. Eksemel: PÅ figen e RSQ. S R e linjesykke med endenke og. e långden af linjesykke. Eksemel: PÅ figen e PQ og PS ikke samme linjesykke, men PQ PS. I en ekan beegne, og både nke og inkle. Eksemel: Man kan skie P 90 elle P 90. P Q Tekansbeegning fo -niea i hf Side Kasen Jl

13 e 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il häje e sidene med lçngde 3 og kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med lçngde e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. en kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. en anden kaee e inklens modsçende kaee. 3 Tye 1 Tye Tye 3 Hyoensen og en sids inkel. Vinklens hosliggende kaee. cos(37) Nsie degne ense side inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen En sids inkel og dens hosliggende kaee. Hyoensen. cos( 37) Nsie läse mh. inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Hyoensen og en kaee. Vinklen mellem disse. cos( ) Nsie läse mh. fo inklens sids inkel hyoensen hosliggende kaee Tye Tye Tye Hyoensen og en sids inkel. Vinklens modsående kaee. sin (37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens modsående kaee. Hyoensen. sin ( 37) 3 Nsie läse mh. Hyoensen og en kaee. Kaeens modsående inkel. sin ( ) inklens sids inkel hyoensen inklens sids inkel hyoensen 3 modsående kaee modsående kaee Nsie läse mh. fo inklens modsående kaee sids inkel hyoensen Tekansbeegning fo -niea i hf Side Kasen Jl

14 Tye 7 Tye 8 Tye 9 En sids inkel og dens hosliggende kaee. Vinklens modsående kaee. an(37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens modsående kaee. Vinklens hosliggende kaee. an( 37) 3 Nsie läse mh. e o kaee. En sids inkel. an( ) 3 inklens modsående kaee sids inkel inklens hosliggende kaee inklens modsående kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Nsie läse mh. fo inklens modsående kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Tye 10 Tye 11 e o kaee. Hyoensen. 3 hyoense kaee Nsie läse mh. fo Hyoensen og en kaee. en anden kaee. Nsie läse mh. fo hyoense kaee e fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af fälgende fie fomle: I en einkle ekan gçlde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gçlde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee (3) hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsäende_kaee () inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsäende_kaee Tekansbeegning fo -niea i hf Side 1 01 Kasen Jl

15 e ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. En inkel mellem o side og disse o side. Siden oe fo inklen. alid cos(1,) inklensben siden oe fo inklen Nsie läse ligningen mh. fo 0 1, Tye 13: Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. e e side. Vinklen. alid cos( ) inklensben siden oe fo inklen Nsie läse ligningen mh. fo Tye 1: Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. En side og o inkle. En af de ande side. sin( 1.) sin( 8.8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 1, Nsie läse ligningen mh. fo 0 1, His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, så måe i fäs degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e ,8 Tye 1: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. To side og inklen oe fo en af dem. Vinklen oe fo den anden af de o side. 8,8 sin( ) sin( 8,8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen af säelse Nsie läse ligningen mh. fo Nsie gie både en läsning nde 90 og en läsning oe 90. Hsk a begnde hilken af läsningene de skal bges. I dee ilfçlde kan begndelsen Çe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den säse i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo -niea i hf Side Kasen Jl

16 e 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal Tye 1 eale e alid 1 To side og inklen mellem dem. eale. T 1 sin(1, ) inklen skal Çe mellem disse side Nsie degne ligningens häje side. T 1, Tye 17 alid 9,9 1 eale, inklen mellem o side og en af de o side. en anden af de o side. 1 sin(1, ) Nsie läse ligningen mh.. inklen skal Çe mellem disse side 9,9 1, Tye 18 alid 9,9 1 eale og o side. Vinklen mellem de o side. 1 sin( ) inklen skal Çe mellem disse side Nsie läse ligningen mh. fo Ligningen ha både en läsning nde 90 og en läsning oe 90. His ogaen e i en Äe, så il de Çe flee olysninge så de femgå hilken af de o ekane ogaen deje sig om. 9,9 e 3 fomle fo ilkçlig ekan He af meodene 1-18 bge en af fälgende e fomle: I alle ekane gçlde 1 () T sin( ) nå T e ekanens aeal og e inklen mellem sidene og. () sin( ) nå e siden oe fo inklen og e siden oe fo inklen. sin( ) (7) cos( ) nå, og e sidene og e inklen mellem og. Tekansbeegning fo -niea i hf Side 1 01 Kasen Jl