Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Transkript

1 Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26 Uge

2 Analysens hovedsætning [S] 5.4 The fundamental theorem of calc. Sætning (Analysens fundamentalsætning) Antag, at f : [a,b] R er kontinuert. Så er g(x) = x a f(t)dt differentiabel og g (x) = f(x) Calculus - 26 Uge

3 Analysens hovedsætning [S] 5.4 The fundamental theorem of calc. Sætning (Analysens fundamentalsætning) Antag, at f : [a,b] R er kontinuert. Så er g(x) = x a f(t)dt differentiabel og g (x) = f(x) For en stamfunktion F(x), F (x) = f(x), er b a f(x)dx = F(b) F(a) Calculus - 26 Uge

4 Overbevis [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus Sætning (Analysens fundamentalsætning) Bevis g g(x + h) g(x) (x) = lim h h x+h = lim f(u)du h h x f(x )h = lim h h = f(x) Calculus - 26 Uge

5 Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner x n dx = n + xn+, n dx = ln(x) x e x dx = e x ln(x)dx = x ln(x) x a x dx = ln(a) ax Calculus - 26 Uge

6 Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner - flere sin(x)dx = cos(x) cos(x)dx = sin(x) x 2 dx = sin (x) + x 2 dx = tan (x) Calculus - 26 Uge

7 Integral smertefrit Eksempel Beregn [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus 4 (x 2 + x 3 )dx Calculus - 26 Uge

8 Integral smertefrit Eksempel Beregn Løsning [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus 4 (x 2 + x 3 )dx 4 (x 2 + x 3 )dx = [ x x4 4 ] 4 Calculus - 26 Uge

9 Integral smertefrit Eksempel Beregn Løsning [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus 4 (x 2 + x 3 )dx 4 (x 2 + x 3 )dx = [ x x4 4 ] 4 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = Calculus - 26 Uge

10 Integral af integral Definition Antag f : [a,b] [c,d] R er kontinuert. For x [a,b] er det partielle integral A(x) = d c f(x,y)dy Calculus - 26 Uge

11 Integral af integral Definition Antag f : [a,b] [c,d] R er kontinuert. For x [a,b] er det partielle integral A(x) = og det itererede integral d c f(x,y)dy 2 b a A(x)dx = b a d c f(x,y)dydx Calculus - 26 Uge

12 Integral integral avet om Definition I modsat rækkefølge. Det partielle integral og det itererede integral A(y) = b a f(x,y)dx 3 d c A(y)dy = d c b a f(x,y)dxdy Calculus - 26 Uge

13 Beregn integral integral Eksempel R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Calculus - 26 Uge

14 Beregn integral integral Eksempel R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Partial integral A(x) = x 2 y dy Calculus - 26 Uge

15 Beregn integral integral Eksempel R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Partial integral A(x) = = [x 2y2 2 x 2 y dy ] y=2 y= = x x22 2 = 3 2 x2 Calculus - 26 Uge

16 Fortsat Eksempel - fortsat A(x) = 3 2 x2 Calculus - 26 Uge

17 Fortsat Eksempel - fortsat A(x) = 3 2 x2 Itereret integral 3 x 2 y dydx = x2 dx Calculus - 26 Uge

18 Fortsat Eksempel - fortsat A(x) = 3 2 x2 Itereret integral 3 x 2 y dydx = x2 dx [ ] x 3 3 = = = Calculus - 26 Uge

19 Fortsat avet om Eksempel - fortsat R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Calculus - 26 Uge

20 Fortsat avet om Eksempel - fortsat Partial integral R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y A(y) = 3 x 2 y dx Calculus - 26 Uge

21 Fortsat avet om Eksempel - fortsat Partial integral R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y A(y) = = 3 [ x 3 3 y x 2 y dx ] x=3 x= = 33 3 y = 9y Calculus - 26 Uge

22 Sluttelig ens Eksempel - fortsat A(y) = 9y Calculus - 26 Uge

23 Sluttelig ens Eksempel - fortsat A(y) = 9y Itereret integral 3 x 2 y dxdy = 9y dy Calculus - 26 Uge

24 Sluttelig ens Eksempel - fortsat A(y) = 9y Itereret integral 3 x 2 y dxdy = [ y 2 = 9 2 9y dy ] 2 = 9( ) = 27 2 Calculus - 26 Uge

25 Test itereret integral Test Lad f(x,y) = xy. Det itererede integral (a) 9. (b) 9. (c) Afkryds den rigtige: xy dxdy er (a) (b) (c) Calculus - 26 Uge

26 Test itereret integral Test Lad f(x,y) = xy. Det itererede integral (a) 9. (b) 9. (c) Løsning Afkryds den rigtige: xy dxdy er (a) (b) (c) xy dxdy = [ x 2 [ y 2 2 ] 2 ] x=2 x= y dy = = = 9 4 Calculus - 26 Uge

27 Test itereret integral Test Lad f(x,y) = xy. Det itererede integral (a) 9. (b) 9. (c) Løsning Afkryds den rigtige: xy dxdy er (a) (b) (c) xy dxdy = [ x 2 [ y 2 2 ] 2 ] x=2 x= y dy = = = 9 4 Calculus - 26 Uge

28 Øvelse gør mester Eksempel R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x Calculus - 26 Uge

29 Øvelse gør mester Eksempel Partial integral R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x A(x) = (2x + 2ye x )dy = [ 2xy + y 2 e x] y= y= = 2x + e x Calculus - 26 Uge

30 Videre Eksempel - fortsat A(x) = 2x + e x Calculus - 26 Uge

31 Videre Eksempel - fortsat A(x) = 2x + e x Itereret integral (2x + 2ye x )dydx = (2x + e x )dx = [ x 2 + e x] = ( + e) ( + ) = e Calculus - 26 Uge

32 Fortsat avet om Eksempel - fortsat R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x Calculus - 26 Uge

33 Fortsat avet om Eksempel - fortsat Partial integral R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x A(y) = (2x + 2ye x )dx = [ x 2 + 2ye x] x= x= = ( + 2ye) ( + 2y) = 2(e )y + Calculus - 26 Uge

34 Igen ens Eksempel - fortsat A(y) = 2(e )y + Calculus - 26 Uge

35 Igen ens Eksempel - fortsat A(y) = 2(e )y + Itereret integral (2x + 2ye x )dxdy = (2(e )y + )dy = [ (e )y 2 + y ] = ((e ) + ) ( + ) = e Calculus - 26 Uge

36 Fubini: Alle veje fører til Rom 4 Sætning (Fubinis sætning) Lad R = [a,b] [c,d] og antag f : R R er kontinuert. Så er dobbeltintegralet lig de itererede integraler og R R f(x,y)da = f(x,y)da = b a d c d c b a f(x,y)dydx f(x,y)dxdy Calculus - 26 Uge

37 Overbevis Fubinis sætning - begrundelse Lad f(x,y). Volumenet under grafen er dobbeltintegralet f(x,y)da Det partielle integral R A(x) = d c f(x,y)dy er arealet af et snit gennem området under grafen for x fast. Calculus - 26 Uge

38 Mere overbevis Fubinis sætning - begrundelse Det itererede integral b a A(x)dx = b a d c f(x,y)dydx tilnærmes af Riemann summen A(x i ) x i som ved grænseovergang fører til volumenet, der netop er dobbeltintegralets værdi. Calculus - 26 Uge

39 Fremgangsmåde Eksempel 2 R = [, 2] [, 2], f(x,y) = x 3y 2 Calculus - 26 Uge

40 Fremgangsmåde Eksempel 2 R = [, 2] [, 2], f(x,y) = x 3y 2 R (x 3y 2 )da = (x 3y 2 )dydx Calculus - 26 Uge

41 Fremgangsmåde Eksempel 2 R = [, 2] [, 2], f(x,y) = x 3y 2 R (x 3y 2 )da = = = (x 3y 2 )dydx [ xy y 3 ] y=2 y= dx (x 7)dx [ x 2 = 2 7x = 2 ] 2 Calculus - 26 Uge

42 Fortsat Eksempel 2 - fortsat (x 3y 2 )da = R (x 3y 2 )dxdy Calculus - 26 Uge

43 Fortsat Eksempel 2 - fortsat (x 3y 2 )da = R (x 3y 2 )dxdy = = [ x 2 2 3y2 x (2 6y 2 )dy ] x=2 x= = [ 2y 2y 3] 2 = 2 dy Bemærk, at midtpunktsreglen, [S] 2. Eksempel 3, gav tilnærmelsen 95 =, Calculus - 26 Uge

44 Med sinus og cosinus Figur - Eksempel 3 R = [, 2] [,π], f(x,y) = y sin(xy) Calculus - 26 Uge

45 Med sinus og cosinus Figur - Eksempel 3 R = [, 2] [,π], f(x,y) = y sin(xy) z x y Calculus - 26 Uge

46 Fortsat Eksempel 3 - fortsat R y sin(xy)da = π y sin(xy) dxdy Calculus - 26 Uge

47 Fortsat Eksempel 3 - fortsat R y sin(xy)da = = = π π π y sin(xy) dxdy [ cos(xy)] x=2 x= dy ( cos(2y) + cos(y))dy [ = sin(2y) 2 = ] π + sin(y) Calculus - 26 Uge

48 Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = x ln y dxdy. Afkryds: ja nej Calculus - 26 Uge

49 Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = x ln y dxdy. Løsning (x,y) [, 2] [, 2] giver ved Fubinis sætning R x ln y da = Afkryds: x ln y dydx ja nej Calculus - 26 Uge

50 Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = x ln y dxdy. Løsning (x,y) [, 2] [, 2] giver ved Fubinis sætning R x ln y da = Afkryds: x ln y dydx ja nej Calculus - 26 Uge

51 Produktregel Figur - Eksempel 5 R = [, π 2 ] [, π ], f(x,y) = sin(x) cos(y) 2 Calculus - 26 Uge

52 Produktregel Figur - Eksempel 5 R = [, π 2 ] [, π ], f(x,y) = sin(x) cos(y) 2 z x y Calculus - 26 Uge

53 Produktregel Eksempel 5 R sin(x) cos(y)da = π 2 π 2 sin(x) cos(y) dxdy Calculus - 26 Uge

54 Produktregel Eksempel 5 sin(x) cos(y)da = R = = π 2 π 2 π 2 π 2 cos(y) sin(x) cos(y) dxdy π 2 sin(x) dx sin(x)dx dy π 2 cos(y) dy = [ cos(x)] π 2 [sin(y)] π 2 = ( ( ))( ) = Calculus - 26 Uge

55 Opgave Øvelse R = [, ] [, ], f(x,y) = xe xy Calculus - 26 Uge

56 Opgave Øvelse R = [, ] [, ], f(x,y) = xe xy z x y Calculus - 26 Uge

57 Opgave løst Øvelse R xe xy da = xe xy dydx Calculus - 26 Uge

58 Opgave løst Øvelse R xe xy da = = = xe xy dydx [e xy ] y= y= dx (e x e )dx = [e x x] = e 2 Calculus - 26 Uge

59 Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = xdx ln y dy. Afkryds: ja nej Calculus - 26 Uge

60 Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = xdx ln y dy. Afkryds: ja nej Løsning R x ln y da = = = x ln y dy x ln y dydx ln y dydx xdx Calculus - 26 Uge

61 Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = xdx ln y dy. Løsning R x ln y da = = = x ln y dy Afkryds: x ln y dydx ln y dydx xdx ja nej Calculus - 26 Uge