I projekt 4.9 viser vi, at i dette tilfælde bestemmes løsningerne ud fra følgende:

Transkript

1 Hvad r mamai? A, i-bog Projr: Kapil 4. Proj 4.0 Mamais fisrimodllr Proj 4.0 Mamais fisrimodllr D førs mamais fisrimodllr blv sab i Sorbriannin i 50 rn. Mål md modllrn var a rgn sig frm il, vordan man på længr sig får dn sørs mulig fangs. Man så på vr fisar for sig (alds n én-ars-modl) og inddrog i i modllrn, a dr unn vær samspil mllm d forsllig fisbsand. Man gi sålds ud fra, a n rgulring af fisri på n bsand i avd afsmind virning af bydning på andr bsand. Førs i 70 rn bgynd dans fisribiologr md ndsab il mamai a sæ spørgsmålsgn vd dnn anagls. Vd brug af mamais modllr sab d n modl af Nordsøn, dn såald Nordsømodl. Modlln indoldr n ombinaion af llr n sammnobling af n ræ én-ars-modllr, så udgangspun i modllringn r sadig a forså én-ars-modlln. Vi sal i d følgnd s på n mamais én-ars-modl. Dfiniionr N () = anal fis il idspun w () =vægn af n nl fis il idspun Brnouillis diffrnialligning I proj 4.9 ar vi gnnmgå Brnouillis diffrnialligning sam løsningsmodrn, vi anvndr. Brnouillis diffrnialligning an i sin gnrll form opsrivs sålds: y = g x y - f x y, (*) vor f og g r oninur funionr dfinr på inrval I som v. an vær all rll al og r rl al. Hvis d o funionr r onsanr fornls diffrnialligningn il: y = ay -by I proj 4.9 visr vi, a i d ilfæld bsmms løsningrn ud fra følgnd: Andn onlusion om Brnouillis diffrnialligning Dn fuldsændig løsning il diffrnialligningn y = ay - by, vor ¹ 0 og ¹, finds som løsningn il ( ) bx a y = + Ú y= 0. b Bralanffys ligning Ludwig von Bralanffy (90-97), dr var n mamais orinr biolog, publird i 94 n væsmodl, som sadig r dn grundlæggnd mamais modl, dr anvnds i bsrivlsn af smplvis vordan n fis vosr i løb af sin lvid. Vi bragr n nl fis, og rgnr idn fra fisns fødsl. Md w () angivr vi vægn af fis il idn Efr fødsln. Vi usr fra diffrnialrgningn, a for n givn funion som w (), angivr w () dn asigd, vormd vægændringn forgår il idspun. Bralanffy opsilld følgnd modl for vægændringn: () () w = w - w, 04 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Købnavn K Tlf: info@lru.d

2 Hvad r mamai? A, i-bog Projr: Kapil 4. Proj 4.0 Mamais fisrimodllr vor og r posiiv al. D før ld r opbygningsld, dr vdrørr indagls af fød, d sids d r ndbrydningsld, dr vdrørr nrgiab, som følg af sofsrif. Bgrundls for dnn modl finds i bilag om Bralanffy-modlln. Øvls Argumnér for a Bralanffys ligning r n Brnouilli-ligning, og vis a dn fuldsændig løsning il ligningn r () = ( - - ) + llr () - w w = -, når vi anagr, a w() = 0 il idspun = 0 (fisn vjr i mg il a bgynd md). Øvls a) Gør rd for a grafn for w ar n vandr asympo når. b) Tgn grafn for w når = 5 i vr af ilfældn = 0,4, = 0,8 og =, ) Giv n forolning af grænsværdin = lim (w()) w x Vi vndr nu ilbag il N ()(anall af fis il idspun ) og anagr førs, a fisbsandn i r udsa for fisri. Vi bragr n bsm årgang af fisarn, og sr vad dr sr md dnn årgang som idn går. Øvls Argumnér for a N () må opfyld =-, N ( ) a N( ) vor a r dn brødl af fisn, dr dør pr. idsnd. (Bmær: Når vi sr på én bsm årgang blivr dr jo i ilfør ny individr) Bsm rfr N (). Øvls 4 B vær dn samld biomass af dnn årgang il idspun. Argumnér for a Lad B( ) = N( ) w, vor N () r anal fis il idn, og w () r gnnmsnisvægn af n fis il idn. I øvls så vi, a N() må opfyld N =- a N, vor a r dn brødl af fisn, dr dør pr. idsnd. Vi inddragr nu fisri: Tall a bsår drfor af bidrag fra naurlig død M og bidrag fra fisri f, så ligningn an forfins il N =- M+ f N, vor M r dn brødl af fisn, dr pr. idsnd dør naurlig, og f r fisriinnsin, dvs. dn brødl af fisn, dr pr. idsnd fangs (f r f.s. 0, llr 0%). Vd a løs ligningn får vi - ( M + N = f ) 04 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Købnavn K Tlf: info@lru.d

3 Hvad r mamai? A, i-bog Projr: Kapil 4. Proj 4.0 Mamais fisrimodllr Dnn ligning gældr, fra og md vi bgyndr a fis. Lad os anag, a vi førs bgyndr a fis fr år, dvs. fr a årgangn ar nå n vis sørrls. Før vi bgyndr a fis, udvilr anall af fis sig fr udry - N = N, 0 M vor N 0 angivr anall af nylæd fis (f.s. millionr). Øvls 5 Vis a 0 f = N. Ud fra øvls 5 findr vi vd indsæls 0 f - M+ f N = N, dr r gyldig for >, vor r d idspun, vi bgyndr a fang fis af årgangn (f.s. når fisn r år gaml), N 0 r anall af nylæd fis, som»sarr«årgangn (f.s. millionr), rgns ud fra»fødsln«af dnn årgang, M r d brødl af fisn, dr pr. idsnd dør naurlig, og f r fisinnsin, dvs. dn brødl af fisn, dr pr. idsnd fangs. Vi fand idligr, a dn nl fiss væg unn bsrivs vd () ( - ) w sam a all = -, w = r dn masimal væg for dn pågældnd fisar (dn asympois græns for w()). r n proporionalisonsan fra»ndbrydningsldd«vd diffrnialligningn for w()). Sæs d o udry ind, får vi følgnd: f - M+ f - B = w N0 - Dn samld biomass og dn samld fangs Vi anagr, a all årgangn ar samm sarværdi N 0. E bsm år indoldr Nordsøn fis fra mang årgang: år gaml, år gaml,, T år gaml, vis vi sigr, a dnn yp fis øjs blivr T år i al. Dn samld biomass af dnn fisar r sålds summn af all årgangns bidrag. Fangsn sr md n innsi på f. Fisns årgang r sprd mllm inandn, så vi fangr samm andl af all årgang ældr nd. Øvls 6 Argumnér for, a dn samld fangs Y r giv vd T ò T f - M+ f - Y = f ò B d, dvs. 0 Y = f w N - d Øvls 7 6 Indsæ følgnd onsanr: f =, =, T = 6, w N = 0 0, =,5, M = 0,. a) Udfør n numris brgning af Y md værøjsprogram. 04 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Købnavn K Tlf: info@lru.d

4 Hvad r mamai? A, i-bog Projr: Kapil 4. Proj 4.0 Mamais fisrimodllr b) Vis: - 0,5-0,5 - -,5 - = ) Indsæ d og brgn ingral vd jælp af samfunionr: é Vis: Y = 0 ê ë,,6,,6 6 -, -,6 -, -,6 d) Udrgn Y for diss værdir af onsanrn. Konrollr a rsula i a) og d) r d samm. ù ú û 6 Øvls 8 Udfør n symbols brgning og vis: é -( f+ M) -( f+ M+ ) -( f+ M+ ) - ( f+ M+ ) f ù Y = f w N0 ê ú f M f M f M êë f + M+ úû T Vi r inrssr i a find sammnængn mllm Y og f, sam mllm Y og. f an rgulrs vd vor, anal rawlr osv. an rgulrs vd garnmasrns sørrls. Ovrvj d! Øvls 9 Anvnd formln for Y nn fra øvls 6 llr fra øvls 8. Indas all d opgivn onsanr undagn f og. Diss oprs md sydr, vor f løbr fra 0,5 il 8 og løbr fra il 0. Gnnmførr undrsøglsn af vorlds Y afængr af f og md variablonrol, dvs old i førs omgang fas på n bsm værdi, fx, sålds a Y blivr n funion af f. Tgn grafn for Y og undrsøg viln værdi af f dr givr dn masimal fangs. Gnnmfør sammn undrsøgls md forsllig værdir af. Konlusion? Sif nu variabl, old f fas på værdin og lad Y vær n funion af. Tgn grafn for Y og undrsøg viln værdi af dr givr dn masimal fangs. (Dnn værdi alds for rruringsår). Gnnmfør sammn undrsøgls md forsllig værdir af f. Konlusion? Kan du find saml svar? Hvil værdir af f og vil vi anbfal? Kan du forlar, vorfor vi i får d bds rsula vd blo a fis løs? Modlln r naurligvis sær fornl. Mn dn givr indry af, viln problmr man prøvr a løs md mamais fisrimodllr. På følgnd adrss an man find omfand marial fra FAO om mamais fisrimodllr: p:// 04 L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Købnavn K Tlf: info@lru.d 4

5 Hvad r mamai? A, i-bog Projr: Kapil 4. Proj 4.0 Mamais fisrimodllr Bilag om Bralanffys modl Modllring af vægn af n nl fis som funion af idn Lad os bgn vægn af n fis md m og idn md. Væsasigdn af m an analysrs vd a spli op i o ld: Tilvæs pr. id = Ind Ud, vor Ind-ldd r fødopagls pr. id, og Ud-ldd r udsillls pr. id vd forbrænding, ab af affaldssoffr mm. Ud-ldd, anagr vi, r proporional md fisns mass, dvs. Ud = m Hvorfor r d n rimlig anagls? Ind-ldd vdrørr fødopagls og anags drfor a vær proporional md aral af ovrfladn af d armsysm, vorignnm fødn opags. En fis r rdimnsional væsn. Rumfang af n ugl md radius r r giv vd π r, dvs. rumfang r proporional md radius i rdj pons. Rumfang af n rning r liglds proporional md rdjponsn af dns ndimnsional udsræning. Drfor anagr vi nu, a rumfang af n fis r proporional md dn rdj pons af mål for dns ndimnsional udsræning. D samm må så også gæld for massn m af n fis, dvs. m= a r () vor a r n onsan, og r r mål for fisns ndimnsional udsræning (radius, vis d var n uglfis). 4 Ovrfladaral af n ugl md radius r r giv vd 4 π r. D samm forold gældr for andr fladr: Aral r proporional md vadra på mål for fladns ndimnsional udsræning. Drfor anagr vi også, a d gældr for ovrfladn af armsysm, llr som vi argumnrd for ovnfor: Ind-ldd r proporional md vadra på mål for fisns ndimnsional udsræning (radius vis d r n uglfis): Ind = b r Vis nu ud fra d o ligningr, a Ind = m vor r n onsan. Samlr vi Ind-ldd og Ud-ldd, får vi væsasigdn af m il m - m llr = -. m m m Bralanffy-modlln blv præsnr i 94 i: Bralanffy, L. von, (94). Unrsuungn übr di Gszlii ds Wasums. I. Allgmin Grundlagn dr Tori; mamais und pysiologis Gszliin ds Wasums bi Wassrirn. Ar. Enwilungsm., : L&R Uddannls A/S Vognmagrgad DK-48 Købnavn K Tlf: info@lru.d 5