D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley;

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley;"

Transkript

1 LINEÆR ALGEBRA 1. februar 2008 Oversigt nr. 1 I kurset Lineær Algebra skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; man kan også anvende Third Edition (men ej anden udgave). I store træk vil kapitel 1 3 og blive gennemgået. Som regel vil hver seance omhandle circa et/to afsnit i bogen. Desuden kan det anbefales at man bruger følgende Kompendium i lineær algebra, Definitioner, formler og eksempler af Henrik Vie Christensen og Bo Rosbjerg. Eksamen i kurset er skriftlig og baseret på computersystemet MapleTA (som ikke er det samme som regnemaskinen Maple). Vi vil træne brugen af MapleTA i hele kurset; systemet bruges til automatisk retning af opgaver. Hovedsiden med informationer om MapleTA findes her: matarne/mat2a/web/mapleta/index.html Selvom informationssiderne er på engelsk, så vil opgaverne gradvist blive på dansk. Eksamensopgaverne formuleres alle på dansk. Syntaksen i MapleTA er beskrevet letforståeligt her: matarne/mat2a/web/syntax/syntax.html Ved første brug af systemet skal man ændre password og registrere sig på hold 6 herunder skal man opgive sin -adresse tildelt under tnb.aau.dk (derved har man mulighed for evt. at få tilsendt nyt password). Uge Dato Seance Emner 6 4/2 1 kapitel 1.1 2: Lineære ligninger. Rækkeoperationer. 6 7/2 2 kapitel 1.3: Vektorer i R n. 7 11/2 3 kapitel 1.4 5: Matrixligninger. Løsningsmængder. 9 25/2 4 kapitel 1.7: Lineær (u)afhængighed. 10 3/3 5 kapitel 1.8-9: Lineære tranformationer og deres matricer /3 6 kapitel 1.10: Anvendelse af lineære transformationer /3 7 kapitel 2.1: Matrixregning /3 8 kapitel 2.2: Invers matrix /3 9 kapitel 2.3: Inversion af matricer og lineære transformationer. 15 7/4 10 kapitel 2.8 9: Underrum. Basis. Dimension. Rang /4 11 kapitel 3.1 2: Determinanter. 17/4 12 kapitel 3.2 3: Mere om determinanter. Egenværdier og -vektorer /4 13 kapitel 5.1 3: Karakteristiske polynomier. Diagonalisering /4 14 kapitel 5.3: Mere om diagonalisering. 19 5/5 15 Eksempler og opgaveregning. Ændringer kan naturligvis forekomme undervejs. 1

2 LINEÆR ALGEBRA 1. februar 2008 Oversigt nr. 2 1.gang, mandag den 4. februar kl i auditorium 3: Efter en introduktion til kurset forelæses over lineære ligninger (afsnit 1.1) og temaet bliver hvad, hvorfor og hvordan. Som I vil få at se er der en meget systematisk og overskuelig måde at løse lineære ligninger på, også hvis der skulle ske at være 5 ligninger og 12 ubekendte. Selve løsningsmetoden vil vi bruge en del kræfter på at indøve og forstå, for den bliver central for os i hele kurset. Om kort tid vil det derfor være en overkommelig opgave for jer at løse 7 ligninger med 7 ubekendte (tro det om I kan..). Kl For at få en blid start, og for at stifte nærmere bekendtskab med bogen (og især de store anstrengelser Lay gør sig for at I kan få et godt udbytte), laver vi følgende opgaver: Practice problems 1 4 til afsnit 1.1. Disse kan løses på grundlag af forelæsningen alene, men er ment som træningsopgaver efter man har læst afsnittet løs Practice problems hver gang et afsnit er læst/gennemgået! Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 1.23 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! For at afprøve MapleTA kan I løse det første opgavesæt intro på AHA-opgaven: Løs ligningssystemet i eksempel på følgende måde: Først isoleres x 1 i 1. ligning og substitueres i 3. ligning. Dernæst isoleres x 2 i 2. ligning og indsættes i den nye 3. ligning (men ej i nr. 1). Derved er x 3 blevet bestemt; der bør jævnføres med midten af side 6 i bogen. Resultatet substitueres i ligning 1 og 2. Fortsæt indtil også x 1 og x 2 er bestemt. Ved at sammenligne med bogens gennemgang skulle to ting nu gerne stå klart: Dels optræder alle mellemfacitter i substitutionsmetoden også ved at bruge bogens metode (de to metoder er altså to sider af den samme sag), dels er bogens fremgangsmåde langt mere overskuelig. Kl : Her gennemgås resten af afsnit 1.1 og 1.2. Hjemmeforberedelse: Lær mere om MapleTA ved at læse vejledningen på de to link ovenfor. Husk at oprette URL erne som bogmærker i jeres net-browsere! Læs afsnit 1.1 og det gennemgåede i 1.2 i Lay. Og lav resten af opgaverne ovenfor. 2

3 LINEÆR ALGEBRA 6. februar 2008 Oversigt nr. 3 Fra latinskolen: Det hedder en matrix, matricen og flere matricer. (Og selv når man så har bøjet dem, så kan det aldrig blive til en matrice i ental.) Vi så første gang, at man ved løsning af et lineært ligningssystem kan nøjes med at lave rækkeoperationer på matricer. Mere præcist er strategien at totalmaticen skal bringes på reduceret echelonform. I almindelighed fører dette til en parametrisk beskrivelse af løsningsmængden til et lineært system, som skitseret sidst. 2. gang, NB! torsdag den 7. februar : Her gennemgås resten af afsnit om eksistens- og entydighedssætningen : Vi laver opgaver i: Sandt eller falsk: Regn sammen i gruppen diskuter! (Men husk at læse indledningen foran ) Dernæst laves samme opgave i Maple TA under Lay1.1TF. Prøv gerne flere gange, indtil du føler dig sikker! Rækkeoperationer: For at træne dette laves NB! Gå systematisk til værks! Konsistens: Regn Hvad vil Lay opnå med ordren do not completely solve the systems.?? Echelonform: Regn Anvendelser: Lav Maple-øvelser: Prøv opgaverne i lineaere ligninger : Her gennemgås kapitel 1.3 om vektorer. Læs hjemmefra det velkendte om R 2 og R 3, så vi fælles kan se på det nye i R n det skal vi bruge til ligningssystemer med uendeligt mange løsninger. 3

4 LINEÆR ALGEBRA 8. februar 2008 Oversigt nr. 4 Vi fik sidste gang gennemgået afsnit 1.3 med hovedvægt på tilfældet R n. Desuden så vi på den generelle definition af en afbildning: For to vilkårlige mængder M og K siger man at en forskrift f er fra M til K, skrevet f : M K, dersom f til vhert element x M knytter/udpeger præcis et element y K; da skrives f(x) = y. Dette generaliserer funktionsbegrebet. Som eksempler har man fra Mat1A både den komplekse eksponentialfunktion exp: C C givet ved exp(x + i y) = e x cos y + i e x sin y og differentiationen g(x) g (x) (som er en afbildning mellem to mængder af funktioner). Regn øvelsesopgaverne practice problems til afsnit 1.2 og 1.3 hjemmefra. Gør et oprigtigt forsøg, før du ser løsningsforslaget i bogen! 3. gang, mandag den 11. februar : Her gennemgås først lidt om generelle afbildinger og de betingelser der sikrer, at der eksisterer en omvendt afbildning. Dernæst lidt af afsnit 1.4 frem til Theorem : Opgaveregning i følgende (de er mange, men ej tekniske): Echelonform: Gennemsku opgave Konsistens: Lav ; de kræver meget få udregninger. Parametriserede løsningsmængder: Lav Linear kombinationer: Frembringelse: Og opgave er rigtig god!! Anvendelser: Interpolation er en almindeligt brugt videnskabelig metode, I givetvis vil møde senere; her giver den lidt træning i lineære ligninger via opgave forteksten. Fortsæt gerne med Sandt/falsk: Lav først opgaverne og som teoriopgaver. Gå dernæst til MapleTA, hvor Lay1.2TF, Lay1.3TF hver gang stiller to nye opgaver fra hvert afsnit. Lav dem så mange gange, at du bliver fortrolig med opgaverne : Her gennemgås resten af kapitel 1.4 og 1.5. Vedr. MapleTA-øveopgaver: Der ligger en opgave som raekkeoperationer1 I kan lave hjemme blandt andet for at øve syntaksen i MapleTA for matricer, der indlæses rækkevist; brug preview for at kontrollere resultatet inden du trykker på grade! Desuden er der vektorregning1, der tester evnen til at regne med vektorer. Opgaverne tester både evnen til at regne helt rigtigt, og evnen til at få resultatet rigtigt ind i MapleTA. Bliv ved, indtil alle svarene er korrekte! 4

5 LINEÆR ALGEBRA 15. februar 2008 Oversigt nr. 5 Sidste gang gennemgik vi lidt almen teori om afbildninger: Definition 1. En afbildning f : M K er en forskrift f, som til ethvert x M knytter et og kun et element y K; dette skrives som y = f(x). Den afsendende mængde M kaldes definitionsmængden for f; den modtagende mængde K kaldes rådighedsmængden. I tilfældet M = R og K = R er enhver afbildning blot en sædvanlig reel funktion, som f.eks. sin eller exp. Et andet eksempel fås af skalarproduktet u v af vektorer i rummet R 3. Dette er en afbildning ( u, v) u v, når man som mængderne M og K bruger M = { ( u, v) u, v R 3 } = R 3 R 3, K = R. Et mere abstrakt eksempel er differentiation, dvs. f f, som giver en afbildning f.eks. fra mængden M af alle differentiable funktioner på intervallet ]3, 7[ ; herved kunne K så blot være mængden af vilkårlige funktioner defineret på ]3, 7[. Blandt de egenskaber afbildninger kan have, så vi på følgende: Definition 2. Afbildningen f : M K kaldes injektiv, dersom der for alle x 1, x 2 M gælder f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. f siges at være surjektiv, hvis der til ethvert y K eksisterer et x M så f(x) = y. Hvis f både er injektiv og surjektiv siges f at være en bijektion (eller bijektiv). Delmængden Vm(f) = { y K y = f(x) for et x M } kaldes for billedel. værdimængden for f; denne skrives også som f(m) og kaldes da f s billede af M. Altså er f surjektiv netop når billedet f(m) ikke er en ægte delmængde af K. Som et hovedresultat har man Sætning 1. For en afbildning f : M K, mellem to vilkårlige mængder M og K, er følgende egenskaber ensbetydende: (i) Der findes en afbildning g : K M som opfylder g(f(x)) = x (ii) f er både injektiv og surjektiv. for ethvert x M f(g(y)) = y for ethvert y K. I bekræftende fald er afbildningen g : K M entydigt bestemt; og f siges at være inverterbar, mens g kaldes inversen (el. den omvendte afbildning) til f og skrives g = f 1. Ydermere er f 1 selv inverterbar med (f 1 ) 1 = f. 5

6 Bevis: For at vise at (i) = (ii) antages at en afbildning g som i (i) eksisterer. Da er f injektiv, for hvis f(x 1 ) = f(x 2 ) kan man anvende g på begge sider hvorved (i) giver x 1 = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = x 2. Anden linie af (i) giver direkte at f er surjektiv. Dermed er (ii) vist at gælde for f. Omvendt kan det antages at f opfylder (ii). Da f er surjektiv sluttes, at der til ethvert y K eksisterer (mindst) en løsning x M til ligningen y = f(x). (1) Da f er injektiv er x entydigt bestemt ved y. Dermed giver y x en afbildning g : K M; da g(y) = x viser (1) at f(g(y)) = y; og da y Y er et vilkårligt element viser dette anden linie af (i). Anvendes g på begge sider af (1) ses at x = g(y) = g(f(x)); dette giver første linie af (i). Dermed er implikationen (ii) = (i) vist. I bekræftende fald noteres, at hvis også h: K M er en afbildning som opfylder at h(f(x)) = x og f(h(y)) = y for alle x M og alle y K (altså har samme egenskaber som g), så er h(y) = g(y) for ethvert y K, thi (i) giver h(y) = h(f(g(y))) = g(y). Dette viser at g er entydigt bestemt ved f, så man kan skrive g = f 1. Betragtes udsagnene i (i) for g = f 1 ses at f 1 er inverterbar, og da dennes inverse er entydigt bestemt er f = (f 1 ) 1. Beviset er ført. Som forberedelse til 4. gang bedes I læse afsnit 1.4 og regne de tilhørende praktikproblemer og Desuden bør I repetere injektivitet og surjektivitet fra det ovenstående. Bemærk at vi i Theorem 4 i afsnit 1.4 også har den ækvivalente egenskab: (0) x Ax er en surjektiv afbildning R n R k. (Jævnfør sidste gang.) 4. gang, mandag den 25. februar : Gennemgang af afsnit 1.5 om homogene ligningssystemer og lidt af afsnit : Opgaveregningens menukort af lettere anretninger (begrebstræning snarere end regnetræning): Vektorer i R n Diskuter i gruppen! Matrixprodukt Matrixligning Frembringelse Først Dernæst Konsistens uden rækkeoperationer: Homogene systemer

7 Sandt/falsk: Lav først opgaverne som teoriopgaver. Gå dernæst til MapleTA og lav Lay1.4TF. Besvar homogenligning1 for at blive fortrolig med løsninger på parametrisk form (fortsæt hjemme!) : Her forsætter vi med lineær uafhængighed i afsnit 1.7; dette begreb bliver centralt kurset igennem. 7

8 LINEÆR ALGEBRA 27. februar 2008 Oversigt nr. 6 For en oversættelse af begreberne til dansk henvises til Arne Jensens liste på matarne/mat2a/web/term.html Listen kan også give et overblik over alle de nye begreber. Velegnet til selvoverhøring! 5. gang, mandag den 3. marts. Som forberedelse til denne seance bør I læse afsnit og lave practice problems til afsnit 1.7 og (NB! Opgaverne illustrerer mange mulige fejlslutninger i forbindelse med lineær uafhængighed.) : Her gør vi kapitel 1.7 om lineær uafhængighed færdigt, især Theorem 7 med bevis : Til opgaveregningen: Parametrisk vektorform: Regn Homogene systemer: Lav homogenligning1 i MapleTA. Inhomogene sys Diskuter vha. Sætning 1.5.4! Lav dernæst lineaere ligninger2 i Maple TA. Lineær (u)afhængighed som simpel træning; de kan diskuteres i gruppen. Regn dernæst Regn så 1.7.9, og overvej hvorfor (a) og (b) ikke kommer ud på det samme! God forståelse (som ofte kan spare mange regninger!) kan fås af opgave Endelig er der (De er små og sjove...) Den samfundsvidenskabelige (som også er sjov..). Sandt/falsk Lav først Besvar dernæst Lay1.5TF i MapleTA : Her gennemgår vi kapitel Dele af det bør være velkendt (definitions- og rådighedsmængde, injektiv og surjektiv repeter!). Men der er mange eksempler på lineære afbildninger. NB! Kurset bliver vanskeligere nu det vil være en stor hjælp for jer at prøve at regne opgaverne hjemmefra! [... jo for så kan øvelsestiden udnyttes bedre til de ting I ikke kan klare på egen hånd... ] 8

9 LINEÆR ALGEBRA 19. marts 2007 Oversigt nr. 7 Bemærk at vi undervejs i kapitel 1.4 så følgende: Hovedsætning 1. For en k n-matrix A er følgende egenskaber ækvivalente: (0) x Ax er en surjektiv afbilding R n R k. (1) For ethvert b R k har ligningen Ax = b mindst en løsning x R n. (2) Ethvert b R k er en linearkombination af A s søjler. (3) A s søjler udspænder R k (4) A har en pivotposition i hver række. I analogi hermed har vi et lignende resultat (spredt ud over kapitel l.5 og 1.9): Hovedsætning 2. For en k n-matrix A er følgende egenskaber ækvivalente: (0) x Ax er en injektiv afbilding R n R k. (1) Ligningen Ax = 0 har kun den trivielle løsning x = 0. (2) Ligningen Ax = 0 har ingen frie variable. (3) A s søjler er lineært uafhængige i R k. (4) A har en pivotposition i hver søjle. Bemærkning: 1 For et lineært system A k,n x = b kan der iflg. Sætning 2 ikke være entydighed af løsningerne for k < n ( bred matrix). Derfor siges Ax = b i så fald at være et underbestemt ligningssystem. 2 For et lineært system A k,n x = b kan der iflg. Sætning 1 ikke eksistere løsninger uafhængigt af b hvis k > n ( smal matrix). I så fald siges Ax = b at være et overbestemt ligningssystem. 3 For entydighed af løsninger til A k,n x = b er k n altså nødvendigt. For eksistens af løsninger for alle b R k er derimod k n en nødvendig betingelse. Derfor er det kun for kvadratiske matricer man har både eksistens og entydighed af løsningerne til Ax = b. (Men det kvadratiske kan ikke sikre nogen af delene. Dog skal vi senere se at injektivitet er ækvivalent med surjektivitet af x Ax når k = n.) 4 For vilkårlig lineær transformation T : R n R k har man de samme resultater om ligningen T (x) = b, idet man blot kan introducere T s standardmatrix A = ( T (e 1 )... T (e n) ), som jo opfylder at T (x) = A x. Derfor kan injektivitet/surjektivitet for T diskuteres direkte vha. sætningerne. 6. gang, mandag den 10. marts. Som forberedelse regnes hjemme blandt andet lineaere ligninger2. 9

10 : Vi repeterer lidt om lineære transformationer i kapitel og fokuserer på sætning 10 om standardmatricen for en lineær transformation; herunder eksempel 3 og tabel 1 4. Bemærk at sætning om injektive og surjektive lineære tranformationer faktisk er indeholdt i hovedsætningerne ovenfor : I det nye stof ses på en bunke opgaver (flere er ganske ligetil): Lineær (u)afhængighed: diskuteres i gruppen og besvares i Maple- TA som Lay1.7TF. Linearitet: Regn opgaverne Standardmatricer: Lav opgave Forbindelsen til pivotsøjler: Regn opgaverne Forbindelsen mellem m n og injektiv/surjektiv: Regn Desuden Matrix vektorligning teori1. Linearitet ved sammensætning: Bevis følgende sætning: Når S : R p R n og T : R n R m begge er lineære afbildninger, så er også den sammensatte afbildning T S : R p R m lineær. Vink: se opgave : Vi gennemgår et par af anvendelserne af lineære transformationer i afsnit Desuden tager vi hul på afsnit 2.1 om regneregler for matricer. Som vi skal se er det ganske ligetil at danne summen A + B af to matricer af samme størrelse, og at multiplicere dem med et tal, ta. 10

11 LINEÆR ALGEBRA 14. marts 2008 Oversigt nr gang, mandag den 17. marts : Her vil vi fortsætte gennemgangen af kapitel 2.1 om matrixregning, især skal vi lære om produktet af matricer : Her regnes opgaver i: Injektivitet: Lad A = ( 2 7 ) og betragt den lineære afbildning givet ved x A x, Er denne injektiv? Bestem også A s nulrum, dvs. { x R 2 A x = 0 }. Er afbildningen surjektiv? Standardmatricer: Lav og (alle er ret ligetil). Anvendelser: Opgaverne (søg inspiration i afsnit 1.10). Matrixregning: Opgave og matrix multiplikation. MapleTA: Regn Lay1.8TF, Lay1.9TF og lineaer afbildning1 samt den vigtige lineaer (u)afhaengighed1 (svær!?). Endelig laves gamle opgaver hvis der er tid til overs : Her vil vi begynde på kapitel 2.2 om inverse matricer A 1. (Disse skal man nok se som pendent til det reciprokke a 1 af et tal a 0.) NB! Man opfordres kraftigt til hjemme at regne opgave 1 blandt Lays supplerende opgaver til kapitel 1. Den findes også som Chapter 1 reviewtf. Derved repeteres hele teorien i kapitlet, så regn den bare 5 6 gange! Man kan også teste sig selv ved at regne Lay chapter1tf, som giver alle de tidligere teoriopgaver til kapitel 1. Test jer selv om I har forstået det hele det ville jo være skønt at få fod på de grundlæggende dele af kurset nu 3 måneder før eksamen (i st.f. 3 dage før). Så bliver kurset også nemmere at følge fremover... Brug faciliteterne!! 11

12 LINEÆR ALGEBRA 26. marts 2008 Oversigt nr. 9 Regn som forberedelse , alias Lay2.1TF, og matrixoperationer1 hjemmefra. 8. gang, torsdag den 27. marts : Vi tager her hul på kapitel 2.2 om inverse matricer, A : I grupperne kan I regne: Matrixprodukt: Lav Desuden matrixmultiplikation; bliv ved til række-søjle-reglen nærmest følges som en refleks! Abnormiteter: Regn Enhedsmatricen: Eftervis resultatet i Bruges ofte! Regneregler: Lav Anvendelser: Opgave : Vi gennemgår resten af afsnit 2.2 om inversen A 1 til en matrix A: Vi skal lære hvordan man finder A 1 i praksis, når den eksisterer. I forklaringen møder vi nye venner kaldet elementarmatricer. Som vi skal se, har disse optrådt i baggrunden hver gang vi har udført rækkeoperationer! NB! I opfordres kraftigt til at bruge tid på opgaverne lineaer (u)afhaengighed1, den er sværere end de fleste, men brug metoden forklaret den 17/3; lineaer afbildning1, forstå den! det må ikke bare være mønstergenkendelse. matrix vektorligning teori1, brug Hovedsætning 1 og 2 fra oversigt nr

13 LINEÆR ALGEBRA 28. marts 2008 Oversigt nr. 10 Reflektion: Vi har nu været gennem de 8 af kursets 15 seancer, altså over halvdelen. Men vi mangler stadig at møde over halvdelen af de nye begreber, kurset byder på (!!). Det er derfor nu, kurset bliver svært. En god ide er, at man med papir og blyant (og lukket bog) for repetitionens skyld holder foredrag for sig selv om: linearkombinationer, lineær uafhængighed, spændet af k vektorer, frembringelse af R n, lineær transformation, standardmatricer, produkt af matrix og vektor, produkt af to matricer; invers matrix. Om matrixligninger. Vi så sidste gang hvordan man kan løse matrixligninger af formen A k,n X n,p = B k,p, hvor X er den ubekendte mens koefficientmatricen A og ligningens data B er givne matricer. Vores eksempel var ( ) ( ) 1 2 x11 x 12 = 3 5 x 21 x 22 ( Metoden er at udføre rækkeoperationer på totalmatricen ( ), som altså blot er A udvidet med en søjle mere end tidligere. (Facit er X = ( ) regn efter!) 9. gang, mandag den 31. marts : Her gennemgås kapitel 2.3 (i en simplere form) om inverterbare matricer og inverterbare lineære afbildninger. Dette skal uddybe forståelsen af inverse matricer. ) : Lav følgende opgaver om matrixinversion: Sandt/falsk: Diskuter i gruppen, og lav så individuelt Lay2.1TF. Beregning af invers matrix: Lav Desuden invers matrix1. Invers matrix, teori: Regn Dernæst invers matrix teori1. Matrixligninger: Løs først ligningen ( ) ( ) ( ) 5 5 x11 x =. 3 2 x 21 x Gennemsku derefter : Her begynder vi på kapitel 2.8 og 2.9, hvor vi skal se på underrum af R n : Dette er en generalisering af linier og planer i R 3. Som vi skal se kan underrum have forskellige dimensioner, og generelt kan dimensionen bestemmes ved at tælle antallet af vektorer i en basis for underrummet (en 13

14 basis består af et system af vektorer, som både er lineært uafhængigt og som frembringer hele underrummet repeter disse to begreber fra tidligere!!). Til enhver matrix er der knyttet to særlige underrum kaldet nulrummet og søjlerummet, som man kan opskrive direkte ud fra matricens reducerede echelonform mere om det senere. 14

15 LINEÆR ALGEBRA 4. april 2008 Oversigt nr. 11 Vi fik sidste gang vist følgende om inverterbare matricer: Hovedsætning 3: For en n n-matrix A er følgende egenskaber ensbetydende: (1) A er inverterbar; (2) Den lineære transformation T : R n R n givet ved T (x) = Ax har en invers afbildning (dvs. T er både injektiv og surjektiv); (3) Den lineære transformation T : R n R n givet ved T (x) = Ax er injektiv eller surjektiv; (4) A I n, dvs. A er rækkeækvivalent med enhedsmatricen; (5) det(a) 0. I bekræftende fald er A 1 lig standardmatricen for (den lineære afbildning) T 1. Beviset er enkelt: Hvis (1) gælder, så kan vi indføre S(y) = A 1 y (fordi A 1 eksisterer iflg. (1)) og prøve efter at S T (x) = x for alle x R n og at T S(y) = y for alle y; f.eks. haves T (S(y)) = A(A 1 y) = I n y = y (prøv selv med S(T (x))). Dermed er S invers afbildning til T, så (2) gælder når (1) gør det. Fordi T 1 (y) = S(y) = A 1 y, haves at A 1 som påstået er standardmatrix for T 1. At (2) = (3) er klart. Hvis (3) gælder, så har A pivotpositioner i alle søjler eller alle rækker (jvf. Hovedsætning 1 og 2). I begge tilfælde udgør pivotpositionerne diagonalen, fordi A er kvadratisk. Men da er I n lig den reducerede echelonform af A, så A I n, hvilket viser at (4) gælder. At (4) = (1) er vist vha. elementarmatricer i Lays Theorem (Ækvivalensen med (5) kommer senere i kapitel 3.) 10. gang, mandag den 7. april : Her gør vi afsnit 2.8 færdigt (se beskrivelsen til 9. gang) : Vi regner en bunke opgaver, hvoraf mange er ret ligetil: Invertibilitet: Regn Desuden (brug hovedsætningerne!). Endelig Sandt/Falsk: Lav Lay2.3TF glimrende træning i Hovedsætning 1, 2, 3! Matrixligning: Find den matrix X = ( x 11 x 12 x 21 x 22 ) som løser ligningen ( ) ( ) X = Bestem dernæst løsningen til ( ) 1 2 Y = 3 5 NB! Den ubekendte Y står til venstre. 15 ( )

16 Underrum: Diskuter først opgave i gruppen. Bevis dernæst (uden at kigge i noter mv.) at Nul(T ) = { x R n T (x) = 0 } er et underrum, når T : R n R k er lineær. Elementarmatricer: Regn opgaven elementaer matrix. Desuden gamle opgaver, hvis der er tid til overs : Her gennemgås afsnit 2.9 om dimension af underrum og rangen af en matrix A (=antallet af pivotpositioner i A). 16

17 LINEÆR ALGEBRA 9. april 2008 Oversigt nr gang, mandag den 14. april : Her gør vi afsnit færdige : I opgaveregningen er programmet: Underrum: Lav (nemme!). Godtgør at der for enhver lineær afbildning T : R n R k gælder at dens billedmængde er et underrum af R k. T (R n ){ y R k y = T (x)for et x R n } Basis og dimension: Regn (de to sidste kan afgøres u- den regning vha. hovedsætningerne 1 og 2) og span1. Nulrum og Søjlerum: Lav Rang: Lav (nemme, brug rangformlen i sætning 14). Baser for Nul(A) og Col(A): Lav Dernæst soejlerum1 og nulrum : Vi gennemgår 3.1 og lidt af 3.2 om determinanter. Man kan øve sig på stoffet i kapitel 2 ved at regne Lay2SupplTF (findes også i bogform fra supplementsafsnittet til kapitel 2) og teori chapter1og2. 17

18 LINEÆR ALGEBRA 15. april 2008 Oversigt nr. 13 Forrige gang fik vi indført rangen af en matrix A m,n som rang A = dim Col A = antallet af pivotpositioner i A. (2) (sidste = gælder fordi Col(A) har en basis bestående af pivotsøjlerne i A.) Ligningen Ax = b, hvor b R m er givet, er derfor konsistent netop når rang A = rang(a b), (3) altså (med ord) hvis og kun hvis koefficientmatricen A og den udvidede koefficientmatrix (A b) har samme rang. (Thi rang A = rang(a b) hvis og kun hvis den sidste søjle i (A b) ikke er en pivotsøjle et kriterium vi udledte i kap. 1.) I kan nu øve jer på quizz1, som tager jer gennem hele kapitel 1 og 2! 12. gang, torsdag den 17. april. Som forberedelse bedes I repetere om elementarmatricer og regne elementaer matrix1 og øvelsesopgaven til kapitel / 13.15: Forelæsning af kapitel 3.2 og lidt af 3.3 om determinanters brug i ligningsløsning og volumenbestemmelser : Til træning i de nye begreber: Determinant: Regn Udvikling af determinanter: reglen: (denne regel er ikke gennemgået, men den kan være bekvem for jer at lære nu). En faldgrube: Undgå den ved at regne !! Inverterbarhed: Produktreglen: Cramers regel: Regn MapleTA: Regn Lay3.1TF, determinant1 og determinant udvikling Vi gennemgår (resten af kapitel 3.2+) kapitel 5.1 om kursets sidste hovedemne: egenværdier og egenvektorer. Det er (som vi skal se senere) en hovedpointe med hele kurset, at disse begreber ofte er ret afgørende for at forstå hvorledes f.eks. et dynamisk system udvikler sig som tiden går. Blandt andre eksempler på deres anvendelser kan nævnes analyse af computerberegningers pålidelighed (f.eks. GPS-systemet) eller dimensionering af bygninger og broer (det ville være ualmindeligt ærgerligt om Storebæltsbroen skulle bygges om... ). 18

19 13. gang, mandag den 21. april : Vi fortsætter med mere om egenværdier og -vektorer i kapitel Især om deres anvendelser på dynamiske systemer, jævnfør sidste afsnit i kapitel 5.2. Repeter gerne fra kapitel 1.10 eksemplet om til- og fraflytning af en storby : Der er mange opgaver, men nogle er ret nemme! Cramers formel for Ligninger: Regn Opgaven belyser at determinantformlen kan være nyttig, da en sådan parameter s optræder tit i elektronik (rækkeoperationer ville være ret besværlige!). Rækkeoperationer i determinanter: Lav først som repetition af reglerne (nemme!). Regn så som verifikation af reglerne i 2 2-tilfældet! Endelig laves som applikation af reglerne. Egenværdier: Træn begreberne ved at regne (alle nemme). Egenrum: Lav Find dernæst samtlige egenværdier og -vektorer for matricen A i bogens eksempel 4 i kapitel 5.1. Karakteristisk polynomium: Regn Lav også (nem). MaplaTA: Regn Lay3.2TF, Lay3supplTF, Lay5.1TF : Her gennemgås mere om egenværdier og egenvektorer. Vi når et stykke ind i kapitel 5.3, hvor vi skal se på hvornår en lineær afbildning T : R n R n kan beskrives ved en diagonalmatrix ( det ville jo ærlig talt være en del nemmere end at have en vilkårlig matrix ) og her viser det sig at egenværdier og egenvektorer spiller en afgørende rolle. Dette kendes som diagonalisering. 19

20 LINEÆR ALGEBRA 25. april 2008 Oversigt nr. 14 Vi fik forrige gang indført egenværdierne for en given n n-matrix som de reelle tal λ for hvilke ligningen Ax = λx (4) har løsninger x 0 i R n ; disse x udgør egenvektorerne hørende til egenværdien λ, mens egenrummet E λ udgøres af alle ligningens løsninger (dvs. x = 0 er tilføjet). Der er her to hovedresultater: λ er en egenværdi for A det(a λi) = 0, (5) så egenværdierne udgøres af (de reelle) rødder i det karakteristiske polynomium for A, som er p A (z) = det(a zi). Når først egenværdierne er bestemt, har man v er en egenvektor for A hørende til λ v 0 og x Nul(A λi). (6) Sidste betingelse betyder, at v løser det homogene ligningssystem (A λi)v = 0. Underrummet E λ = Nul(A λi) kaldes egenrummet hørende til egenværdien λ. Sidste gang blev afsnittene om dynamiske systemer i kapitel gennemgået grundigt. Men der var ikke så meget nyt stof, og derfor bliver øvelserne nedenfor til dels i nyt stof fra kapitel 5.3 (OBS!). 14. gang, mandag den 28. april Her gennemgås først similære matricer (afsnit 5.2) og anvendelsen i eksempel 5.3.(1+)2 om potenser af matricer. Dernæst et eksempel på anvendelse af egenværdier i forbindelse med differentialligninger; vi tager udgangspunkt matricen i eksempel Dernæst definerer vi at en matrix er diagonaliserbar (afsnit 5.3) hvis den er similær med en diagonalmatrix, og beskæftiger os med sætning som afklarer hvornår dette er tilfældet Her vil vi lave opgaver til dels i det gennemgåede: Potenser af matricer: Regn Egenrum: Lav Dynamiske systemer: Repeter sagerne ved at lave Similaritet med diagonalmatrix: Regn (Nemme, men viser hvad sagen drejer sig om: Brug sætning ) Simple diagonaliseringer: Regn (overkommelige!). Hvorfor er ( ) ikke diagonaliserbar? Er svaret overraskende? 20

21 MapleTA: Regn Lay5.2TF. Fortsæt med diagonalisering1; regn den mange gange til du får det hele rigtigt! : Vi gennemgår mere om sætning 5.3.5: bevis, eksempler, anvendelser. 21

22 LINEÆR ALGEBRA 30. april 2008 Oversigt nr. 15 Som det sidste nye begreb i kurset indførtes sidste gang at matricen A n,n kaldes diagonaliserbar, dersom man kan skrive A = P DP 1 for en passende diagonalmatrix D n,n og en inverterbar matrix P n,n ; dvs. hvis A er similær med en diagonalmatrix. Vi vist følgende: Hovedsætning 4. For en n n-matrix A er følgende egenskaber ensbetydende: (1) A er diagonaliserbar (dvs. A = P DP 1 for en diagonalmatrix D); (2) R n har en basis (v 1, v 2,..., v n ) af egenvektorer for A; (3) A har n lineært uafhængige egenvektorer. I bekræftende fald er D s diagonalelementer egenværdier for A, og P har A s egenvektorer som søjler, med samme rækkefølge som i D; dvs. for ( λ1 0 ) D =..., P = [v 1 v 2... v n ] 0 λ n gælder mere præcist at Av j = λ j v j for j = 1,..., n. (NB! Mao. kommer hverken D eller P ud af den blå luft her!) Desuden ER A diagonaliserbar, dersom enten A har n forskellige egenværdier, eller A er symmetrisk, dvs. A T = A, og i så fald kan A = P DP 1 opnås med en ortogonal matrix P, dvs. at P T = P 1 ( Spektralsætningen ). Det første af disse resultater så vi sidste gang. Spektralsætningen nævnes blot som en oplysning om et af de større resultater, der ligger uden for pensum (se evt. kapitel 7.1 i Lay) den er forbløffende fordi man kan godtgøre diagonaliserbarheden uden regninger, det kan jo ses med det blotte øje når A er symmetrisk! 15. gang, mandag den 5 maj. Vi har følgende atypiske program: : Forelæsning over resten af kapitel 5.3 med hovedvægt på sætning 7 om tilfældet med multiple egenværdier. Desuden et par eksempler, blandt andet på spektralsætningen nævnt ovenfor (ca.) Opgaveregning i Diagonalisering: Regn prøveopgave nr. 7 fra den mundtlige eksamen, se Desuden opgave (nemme!) og Anvendelser: Regn hele prøveopgaven ovenfor! MapleTA: Regn Lay5.3TF, matrixligning1 og øv dig videre på Lay5supplTF samt endelig teori opgaver A, der går på tværs af hele pensum! 0

23 MR2 23. maj 2008 Oversigt nr. 1 I Matematisk regne- og fremlæggelsesteknik 2 (MR2) vil vi træne jer i problemløsning og ræsonnering. Programmet er: Torsdag den 29. maj 2008: Vi begynder med : Opgaveregning i grupperummene (opgaver følger nedenfor) : Auditorium 4, introduktion til MR : Opgaveregning i grupperummene. Fredag den 30. juni 2008: Vores centrale dag med en test i MapleTA af et eksamenslignende sæt : Auditorium 1, kort om dagens program : Opgaver i grupperummene : Auditorium 1, introduktion til MapleTA-testen, herunder fordeling på computerrummene. NB Der er plads til 60 personer, så ca. halvdelen af jer skal benytte egne computere i grupperummene! : MapleTA-test i computerrummene B144, B233, B348, D316. (jævnfør ovenfor!) Testen består af et sæt MapleTA spørgsmål, med en tidsgrænse på 3 timer fra start af besvarelsen, og der er kun(!) et forsøg. I modsætning til den rigtige eksamen vil opgavesættet blive rettet af MapleTA med det samme, når I trykker på save and quit. Resultatet vil også umiddelbart være tilgængeligt. (Fra lørdag morgen den 31/5 kan sættet regnes et ubegrænset antal gange.) Mandag den 2. juni 2008: : Igangsætning i auditorium : Opgaveregning i grupperummene : Auditorium 1, opsamling og spørgsmål. Procedure vedr. eksamen : Opgaveregning i grupperummene. Om eksamen mm: Se på basiswebstedet. Læs også venligst på Arne Jensens websted om Fokus på fejl: matarne/mat2a/web/raad.pdf Praktiske bemærkninger: Hjælpelærer bliver Dan, som I kender fra Mat2A. 1

24 Opgavelister: Torsdag 29/5 ser vi på alle emneopgaverne fra MapleTA: matrixligning1, diagonalisering1, determinant udvikling1, determinant1, teori chapter 1 og 2 version 2, nulrum1, soejlerum1, span1, elementaer matrix, invers matrix1, invers matrix teori 1, matrix operationer, matrix multiplikation, lineær afbildning1, lineaer (u)afhaengighed1, matrix vektorligning teori 1, lineaere ligninger2, homogen ligning1, vektorregning1, raekkeoperationer, lineaere ligninger1. Desuden teoriopgaver A, quizz1. Bruger I den smarteste metode? Spørg!! (Især ifm. diagonalisering.) Fredag 30/5 ser vi om formiddagen på opgaver i lineær algebra. Begynd med prøveopgaverne nr. 2, 4 og 7 fra _07/matematik2A.html. Disse belyser mange centrale emner fra hele kurset. Dernæst laves MapleTA-opgaverne Chapter1 reviewtf, Lay2supplTF, Lay3supplTF, Lay5supplTF. Brug dem kvalificeret, dvs. (gæt ej men) regn dem ud fra teorien, så du forstår hvorfor svaret er true eller false! Spørg!! Mandag den 2/6 laves opgaver følgende opgaver fra Lay (Splm. x henviser til de supplerende opgaver til kapitel x). Vælg de emner I har mest behov for at styrke jeres viden i: Eksistens- og entydighed: Splm. 1: 5, 4. Konsistente systemer: Splm. 1: 7. Echelonform: Splm. 1: 8, 13. Lineære transformationer: Splm. 1: 20. Desuden: Afbildningen T : R 2 R 2 er givet ved T (x, y) = (a(x + 1) + 2(y 1), x + (a 2) 2 y). For hvilke a R er T lineær? Find T s standardmatrix for disse a. 2

25 Standardmatricer: Splm. 1: 21 og Splm. 2:8. Linearkombinationer: Frembringelse: , 14, 21, 19 og (begynd f.eks. med 4 erstatninger). Lineær uafhængighed: Splm. 1: 14, 16, 17, 18, 19. Basis: , 36 og 2.9.9, 11. Koordinater: 2.9.7, 29. Underrum: Bevis at Nul(A n,n ) er et underrum af R n. Bevis at E λ, dvs. egenrummet hørende til egenværdien λ, er et underrum af R n. Matrixprodukt: og Splm. 2: 3, 5, 6. Invers matrix: Splm. 2: 2, 9, 10. Matrixligninger: Splm. 2: 7, 8, 18. Injektiv/Surjektiv: og Splm. 1: 4, 22 og Splm. 2: 17. Nulrum: og Splm. 2: 16. Billedrum/Søjlerum: og Rangformlen: , 32 og Udspændte underrum: Determinanter: Splm. 3: 2+4, 5+6 og Splm. 5: Elementarmatricer: Splm. 2: 15. Desuden: Lad L = ( ). Find tre elementarmatricer E 1, E 2, E 3 sådan at E 3 E 2 E 1 L = I 3. Gælder der i øvrigt at L 1 = E 3 E 2 E 1? Egenværdiproblemer: og Splm. 5: 2, 3, 4, 5 Egenværdier: , og Splm. 5: 9, 13 (ignorer rådet). Egenrum: Similaritet: , 24. Diagonaliserbarhed: , 27 og Splm. 5: 8, 6. Diagonalisering: Splm. 5: 18. Alternativt kan man også regne de tværgående opgaver på matarne/mat2a/web/matrix.pdf Disse er hverken fra Lay eller MapleTA, men gode til repetition. 3

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley;

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; LINEÆR ALGEBRA 2. februar 2007 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; man kan også anvende Third Edition (men ej anden

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 30. januar 2004 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. februar, 3. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.

DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2018 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2018 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Skjernvej

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1 Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:

Læs mere