= K u = U. Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. Ai = Ay. Bjælkens differentialligning. Arbejdsligningen.

Transkript

1 Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. oktober, JPU/C p(x) M V+dV V M+dM Bjælkens differentialligning + Ai = Ay Arbejdsligningen = K u = U FEM formulering p

2 Den Store Danske Encyklopædi fortæller om Finite Element Method: finite element metoden, (af lat. finitus 'afsluttet, begrænset', af finire 'slutte', af finis 'slutning, ende'), FEM, computerbaseret teknisk beregningsmetode til løsning af partielle differential- og integralligninger. Metoden har siden 95 haft en revolutionerende indflydelse på løsning af mange fysiske og ingeniørmæssige problemer, fx inden for faststofmekanik, varmetransmission, strømningslære samt elasticitets- og plasticitetsteori. Fælles for disse problemer er, at de kræver en feltbeskrivelse: et forskydningsfelt, et temperaturfelt, et magnetisk felt eller et strømningsfelt. Forskningsarbejde udført af M. Turner og R. Clough (f. 9) i 95 ved Boeing-flyfabrikkerne vedrørende dynamisk beregning af flyvninger førte direkte mod FEM; dog havde R. Courant i 9'erne fra en mere direkte matematisk synsvinkel arbejdet med FEM. Metodens udvikling er tidsmæssigt sammenfaldende med computerens. FEM er i praksis ikke anvendelig uden computerfaciliteter, og udviklingen af FEM-programmer har været direkte knyttet til udviklingen i computerhardware. Udviklingen i 99'erne vedrører i høj grad mand-computersamspillet, dvs. interaktive grafiske værktøjer til formulering af problemet (preprocessing) og interaktive grafiske værktøjer til anskueliggørelse af beregningsresultater (post-processing). Vigtige begreber for metodens beskrivelse er knudepunkter og elementer. en gitter- eller rammekonstruktion, fx en højspændingsmast, er knudepunkterne de punkter, hvor stænger eller bjælker mødes, og elementerne er stængerne eller bjælkerne. dette tilfælde svarer finite element modellen direkte til den fysiske virkelighed. et kontinuum, fx et tandhjul, er knudepunkterne i en finite element model valgte, såvel i antal som i placering. Der er et endeligt antal, og da modellen beskrives ved knudepunkternes frihedsgrader, fx forskydningerne i rummets tre retninger, bliver der totalt et endeligt antal frihedsgrader. Elementerne i en finite element modellering af et kontinuum er også valgte, og valget er knyttet til de valgte knudepunkter, men ikke dermed entydigt. For todimensionale modeller anvendes ofte trekanter eller firkanter som elementer, og for tredimensionale modeller tilsvarende tetraedre og kasser. FEM er baseret på en entydig forbindelse mellem feltstørrelserne i et elements knudepunkter og feltstørrelserne et vilkårligt sted i elementet. Matematisk er dette et interpolationsproblem: Er hjørnepunkternes værdier givet, hvad er da værdien i et vilkårligt punkt i elementet? Fra en mere fysisk synsvinkel kan resultaterne udledes ved en antaget feltvariation, fx lineær variation for en trekant med kun knudepunkter i hjørnerne. En væsentlig del af FEM er principielt ens for selv meget forskelligartede problemer, hvilket er en af grundene til metodens store udbredelse. Mange forskellige elementer er til rådighed, og begrebet isoparametrisk element bør nævnes. Det dækker over elementer, hvis facon beskrives på principielt samme måde som det aktuelle felt, dvs. ved knudepunktsværdier; dette muliggør fx krumme elementer, men nødvendiggør så anvendelse af numerisk integration. Primært har FEM givet mulighed for beregning af konstruktioner med komplicerede faconer. samspil med iterationsog/eller inkrementalmetoder løses også teknisk vigtige ulineære problemer, fx inden for faststofmekanik eksemplificeret ved ulineær materialeopførsel og kontaktproblemer. nkrementalmetoder er karakteriseret ved en stepvis beregning, hvor fx belastninger antages at vokse trinvis. terationsmetoder har derimod fastholdte beregningsbetingelser, men i modsætning til direkte metoder bestemmes løsninger ved en gentagen tilstræbt forbedring af resultatet. Til dynamiske problemer anvendes inkrementalmetoder til simulering af transiente problemer, der er karakteriseret ved at problemets parametre ikke kan regnes konstante i tiden, fx er dette gældende ved opstart af maskineri og for indsvingning til mere stationære tilstande. Computerprogrammer baseret på FEM blev oprindelig udviklet på universiteterne, men ret hurtigt etableredes virksomheder for at distribuere, dokumentere og videreudvikle programmerne. Disse internationale firmaer er baggrunden for den stadig voksende anvendelse af FEM, selv i mindre maskin- og bygningsvirksomheder. PaPe of 55

3 ndledning Finite Element Method (FEM) er en beregningsmetode, der er udviklet til beregninger udført med computer. Metodens grundtanke er, at de differentialligninger, der styrer mange af de fysiske problemstillinger, en ingeniør beskæftiger sig med, matematisk kan tilnærmes nogle matrixligninger. En computer er ikke så god til at løse differentialligninger, mens den til gengæld er ret skrap til at behandle store talmængder så som matricer. Gennem denne proces foretages nogle tilnærmelser, der gør det ekstra vigtigt at forholde sig kritisk til de resultater man får. FEM beregninger bygger på, at alle legemer opbygges af knuder og elementer. Et stangelement er ét element, der har knuder, nemlig en i hver ende. Hver knude har én frihedsgrad, nemlig deformation i stangens længde, da en stang kun kan optage kræfter i sin egen længdeakse. Disse beregninger er korrekte i forhold til de differentialligninger, man går ud fra. Altså en beregning af en stang er en eksakt beregning. Såfremt stangen indgår i en gitterkonstruktion, kan den stadig kun optage kræfter i sin egen længde akse. Hvis deformationerne ønskes betragtet ud fra et globalt koordinatsystem, vil en skrå stang derfor have frihedsgrader til hver knude. x- og y-retningen Et bjælkeelement består ligeledes af ét element og knuder ligesom stangelementet. Bjælkeelement regnes at kunne optage forskydningskræfter og momenter. Bjælkeelementet regnes ikke at optage normalkræfter, idet disse er gennemgået under stangelementer. Hver knude i et bjælkeelement har frihedsgrader, nemlig lodret flytning og vinkeldrejning. Ved indførelse af et charnier indfører man en ekstra frihedsgrad i form af en ekstra vinkeldrejning i en knude. Som udgangpunkt i et beregningsprogram er alle knuder indspændte. Charniers skal derfor altid påføres som ekstra frihedsgrader, der resulterer i større ligningssystemer. Hvis bjælkeelementet indgår i en ramme eller er skrå, vil frihedsgraderne ændre sig ud fra et globalt koordinatsystem. Bjælkeelemente bliver således til et rammeelement. Rammeelementet er stangelementet sat sammen med bjælkeelementet. Et rammeelement kan derfor optage normalkræfter, forskydningskræfter og momenter. Både for stangelementer og rammeelementer gælder, at de kun kan sættes sammen via knuderne. Det kan ikke lade sig gøre at lade et bjælkeelement gå ind midt på et rammeelement. Det er nødvendigt at placere en ekstra knude i rammeelementet, hvor et andet element støder til. Derimod kan man godt påføre an fordelt last, på et element uden for knuderne. Søjleberegninger kan også udføres med FEM. Beregningen er noget anderledes end for rammeberegninger. En søjleberegning resulterer ikke i nogle snitkræfter, men i en kritisk last, som søjlen kan optage inden der opstår udknækning. Ved beregning af temperaturer og spændinger i flader er det nødvendigt at anvende såkaldte fladeelemnter. Disse elementer er på opbygget af knuder i hjørnerne og en flade i mellem disse knuder. Fladeelementerne kan være trekantede eller firkantede, og de kan indeholde forskelligt antal knuder. De forskellige fladeelementer har forskellige egenskaber, og det er således ikke ligegyldigt, hvilket element man bruger til en bestemt beregning. Ved anvendelse af fladeelementer kan de tilhørende differentialligninger sjældent løses eksakt. Derfor er FEM beregningen ikke eksakt, som for stænger, gitre, bjælker og rammer. Resultatet er behæftet med usikkerhed, og det er derfor altid nødvendigt at foretage kontrol med forskellige typer elementer og forskellige antal elementer. Ved alle FEM beregninger er det nødvendigt at forstå den bagvedliggende teori, for kritisk at kunne vurdere resultaterne. Selve FEM beregningen med et program, kan de fleste hurtigt lære at udføre. Det er vurderingen af resultaterne, der er det kritiske punkt. Ved at kende teorien er det også langt lettere at forstå de fejlmeddelelser, programmet kommer med. Grundstrukturen i de fleste FEM programmer er ens, så når man har kendskab til ét af dem, er det ret hurtigt at sætte sig ind i et andet. of 55

4 EMNE. Stænger - Hookes lov - Stivhedsmatrice - Opgaver N u x U(x) u N. Gitterkonstruktioner - Globale koordinater - Global stivhedsmatrice - Gitterkonstruktion - Eksempel - Opgave 5 kn kn. Bjælkens differentialligning - Kræfter - Deformationer M V+dV p(x) V M+dM. Fem formulering og Formfunktioner - Definitioner - Fortegnsdefinitioner 5. Arbejdsligningen - Femformulering - Enkeltkræfter - Fordelt last. Eksempel - bjælkeelement - Udkraget med enkeltkraft 7. Eksempel - bjælkeelementer - Momentpåvirkning - Elastisk løsning of 55

5 EMNE 8. Eksempel - bjælkeelementer - Mometpåvirkning - Plastisk løsning 9. Eksempel - bjælkeelementer - Mometpåvirkning - Charnier. Eksempel - bjælkeelementer - Fordelt last. Skrå bjælker og rammer - elementer - Fordelt last Stang Bjælke ast 5 kn/m 5 5 of 55

6 . Finite Element Method - Stænger.. Teori. N u U(x) u N x Symboler: E er elasticitetsmodulet A(x) er arealet, der kan være afhængig af x u er deformationen U(x) er en fordelt normalkraft, der kan være afhængig af x. Stangsystemer: En stang der belastet i enderne, kan beregnes efter Hooks lov: F = k u, hvor F er stangkraften, k er stivheden (elasticitetsmodulet arealet) pr. længdeenhed, og u er den resulterende deformation. u u Stangen vil få deformationen u i den ene ende og u i den anden ende. F = k( u u) F = k( u u) Dette kan skrives på matrixform på denne måde: k = EA F = F EA u u F = k F u u K kaldes for stivhedsmatricen K = EA of 55

7 u værdier: u er deformationen i venstre ende. u er deformationen i højre ende. u u = u U værdier: U(x) er den fordelte belastning. Kendte U værdier fastsættes ud fra randbetingelser. Ux ( ) ϕ = F Som er normalkraften i venstre ende. Ux ( ) ϕ = F Som er normalkraften i højre ende. F U = F FEM formulering: (Bevises senere mere generelt) Ku = U bliver til: EA u F = u F Ovenstående forudsætter, at koordinatsystemets. akse er sammenfaldende med stangens længde akse. Stangen i det lokale koordinatsystem falder sammen med hovedsystemets koordinatsystem. Denne forudsætning er kun sjældent opfyldt. Ofte indgår stangen i et gittersystem, hvor stængerne har hvert sit lokale koordinatsystem. For at kunne behandlen alle stængerne samtidigt i det samme system, er det derfor nødvendigt at omsætte stivhedsmatrisen fra de lokale koordinatsystemer til det globale koordinatsystem. 7 of 55

8 . Opgaver. Opgave... En stålstang med længde 5 mm og en aluminiumsstang også på 5 mm er samlet til een stang, der på midten er påvirket af en aksial kraft på P. Find deformationen i knude B og reaktionerne i knude A og C. C Ø mm aluminium B P Ø mm stål A Stål: A mm N E mm Aluminium: A mm N E 7 mm P N 5mm 8 of 55

9 Opgave... En stålstang med længde 5 mm og en aluminiumsstang også på 5 mm er samlet til een stang, der er påvirket af en aksial kraft på P på midten og af en aksial kraft på P i knude C. Find deformationen i knude B og i knude C samt reaktionen i knude A. C P Ø mm aluminium B P Ø mm stål A Stål: A mm N E mm Aluminium: A mm N E 7 mm P N 5mm 9 of 55

10 Opgave... Et system er opbygget som vist nedenfor af stænger. - Aluminium med diameter Da, længde a og E-modul 7 Gpa. - Kobber med diameter Dk, længde k og E-modul Gpa. - Stål med diameter Ds, længde s og E-modul Gpa Opgaven skal løses med blyant og papir eller på MathCad som en FEM-beregning med opstillelse af stivhedsmatrix, randbetingelser, belastninger og hist op og kom herned. Diametre og længder kan vælges frit, dog vil det nok være en god idé af vælge a = k + s. Påvirkningen F kan også vælges frit. Eksempel på værdier: π E a 7 A a a π E c A c c 5 π E s A s s 5 of 55

11 . Gitterkonstruktioner.. Teori. Skrå stænger Den generelle ligning Ku = U, vil i dette tilfælde se således ud: Globalt: Kp = P og lokalt: K e u = N. p,p u, N p, P p, P p, P u, N okale system: u = p cos( γ) p sin( γ) u = p cos( γ) p sin( γ) Dette kan skrives på matrixform: u u cos( γ) = sin( γ) cos( γ) p p sin( γ) p p cos( γ) sin( γ) cos( γ) sin( γ) kaldes T, så matrixligningen hedder: u = Tpfor deformationer og N = TPfor kræfter. Globale system: p = u cos( γ) p = u sin( γ) p = u cos( γ) p = u sin( γ) Dette kan skrives på matrixform: p p p p = cos( γ) sin( γ) u cos( γ) u sin( γ) of 55

12 cos( γ) sin( γ) cos( γ) sin( γ) kaldes T T, så matrixligningen hedder: p = T T u for deformationer og P = T T N for kræfter. K e u = N Det lokale system T T K e u = T T N Der højreganges med T T på begge sider. T T K e u = P T T N sættes lig P T T K e Tp = P u sættes lig med T p Det ses således, at stivhedsmatricen i det globale system K kan findes ud fra stivhedsmatricen i det lokale system K e som K = T T K e T of 55

13 . Eksempel med gitterkonstruktion, herunder placering i den samlede stivhedsmatrice p5 p X p p p p Y Tallene, og angiver elementnumre. Tallene, og i cirkler angiver knudenumre. p, p...p angiver deformationer i det globale koordinatsystem. Stivhedsmatricerne for de enkelte elementer udregnes som vist: cos( v) sin( v) A E cos( v) sin( v) cos( v) sin( v) cos( v) sin( v) π v svarende til K, med følgende værdier: E 7 A K cos( v) A E A cos( v) E cos( v) A E A cos( v) E sin( v) sin( v) A cos( v) E sin( v) sin( v) A E A cos( v) E sin( v) sin( v) A E cos( v) A E A cos( v) E sin( v) cos( v) A E A cos( v) E sin( v) A cos( v) E sin( v) sin( v) A E A cos( v) E sin( v) A E sin( v) of 55

14 K Pladserne i den samlede stivhedsmatrice fra element fastlægges ved at kigge på element fra knude til knude, der giver følgende bidrag til den samlede stivhedsmatrice: K K K K K K K K K K 5 K 5 K 5 K 5 K K K K Placering i den samlede stivhedsmatrice for K: K K K = K5 K K K K5 K K5 K5 K55 K5 K K K5 K Placering i den samlede stivhedsmatrice for K: K K55 K5 K = K5 K5 K5 K K K K5 K K K K5 K K K Pladserne i den samlede stivhedsmatrice fra element fastlægges ved at kigge på element fra knude til knude, der giver følgende bidrag til den samlede stivhedsmatrice: K K K K K K K K K K K K K K K K K 9.5 K Bidragene til den samlede stivhedsmatrice er som det ses helt ens. Det er derfor helt ligegyldigt, om man kigger på stangen fra knude til knude eller fra knude til knude. of 55

15 . Eksempel med gitterkonstruktion, herunder placering i den samlede stivhedsmatrice. 5 of 55

16 . Opgaver. Opgave... Gitterkonstruktion. kn 5 kn Ovenfor er der vist en gitterkonstruktion. Alle stænger er cirkulære rør i stål S5 med udvendig diameter på mm og godstykkelse på mm. Vandret last i knude er kn og lodret last i knude er 5 kn i det angivne koordinatsystem. A) Opstil stivhedsmatrice for de enkelte elementer i lokale og globale koordinater. Knude har koordinater i meter: (,), knude : (,), knude : (5,) og knude : (,-) B) Opstil stivhedsmatrix for det samlede system. C) øs ligningssystemet og find deformationerne i knude. D) Find stangkræfterne i alle stænger. E) Kontrollér resultaterne med EDB. F. eks. Robot. Tip: Deformationer i det globale koordinatsystem kan benævnes således: Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p henholdsvis p. Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p henholdsvis p Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p5 henholdsvis p Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p7 henholdsvis p8 of 55

17 Opgave... Gitterkonstuktion. P Gitterkonstruktion. Punkt har koordinaterne, a. Punkt har koordinaterne 5, a. Punkt har koordinaterne, a. Punkt har koordinaterne, a. Alle stænger har tværsnittet A med E-modulet E. ) Find et udtryk for stangkræfterne i alle stænger. ) Find et stålprofil i Teknisk Ståbi og vælg en værdi for a. Find resultaterne for stangkræfterne og kontrollér resultatet i et FEM software. 7 of 55

18 . Bjælkens differentialligning. Bjælkens differentialligning: d px ( ) u = Dette er en. ordens differentialligning, E hvor den ubekendte er u. Der betragtes et udsnit af en udeformeret bjælke: p(x) = p A B M p(x) M+dM odret projektion giver: dv = p( x) dv = px ( ) (A) V V+dV Momentligning giver: dm px ( ) ( ) ( V dv) = dm V = dm = V (B) er en lille størrelse. er derfor meget mindre og udelades derfor. Samme betragtning gælder dv, der således også udelades. Tilbage er der Tilsammen giver dette: d M = px ( ) 8 of 55

19 Der betragtes et udsnit af en deformeret bjælke: p(x) = p A B r du R M V+dV dr Buelængden ds = Rdr. ds sættes lig. ε er tøjningen. y V M+dM dr = R ( ε) = ε = R y y R ds Hookes lov: σ = Eε σ = E y R ( ε) ds = ( ε) ængdesnit med deformeret tværsnit. Tværsnittets normalkraft N findes ved at integrere normalspændingen op over hele arealet. Da nullinien går gennem tyngdepunktet er N =.: N = E σ da = y A R d = Tilsvarende findes momentet: M = σy da = E R y da = E R R = M E Af figuren ses det, at vinklen = Rdr dr = R 9 of 55

20 Det negative fortegn på grund af at vinklen bliver mindre med voksende x. Endvidere ses det at: tan() r du du da r er meget lille er tan(r) = r r = dr d = u d u = R M = d u M E = (C) Fra ovenfor har E vi d M = px ( ) Kombinationen af disse differentialligninger giver bjælkens differentialligning: d u = px ( ) E of 55

21 . FEM formulering. Bjælken differentialligning d px ( ) u = bliver til en matrixformulering Ku = U E Symboler: E er elasticitetsmodulet. er inertimomentet. u(x) er lodret deformation og r(x) er vinkeldrejning. U er en funktion af belastningen p(x). ængden af bjælken er.. Fortegnsdefinition ved beregning af knudekræfter. Den utraditionelle fortegnsdefinition for beregning af knudekræfter indføres, da det på denne måde er muligt direkte at sammenlægge flere bjælkeelementer. p(x) M V x M V Fortegnsdefinition ved optegning af snitkraftkurver: Traditionel fortegnsdefinition. p(x) M V x M V of 55

22 . Formfunktioner. Formfunktioner er matematiske udtryk, der beskriver bjælkens deformation. En vandret bjælke har frihedsgrader og derfor formfunktioner: ϕ ( x) En lodret deformation i venstre ende. ϕ ( x) En vinkeldrejning i venstre ende. ϕ ( x) En lodret deformation i højre ende. ϕ ( x) En vinkeldrejning i højre ende. Der ses bort fra vandrette flytninger, da disse behandles under emnet stænger. En formfunktion har den egenskab, at den kan antage værdien eller. Når eksempelvist formfunktion ϕ ( x) har værdien, er værdien af de andre formfunktioner. Dette betyder, at hvis formfunktion ϕ ( x) har værdien, er vinkeldrejningen i venstre side. Den lodrette flytning i venstre side ϕ ( x) er da lig. Det samme gælder den lodrette flytning i højre side ϕ ( x) og vinkeldrejningen i højre side ϕ ( x). Formfunktionerne ser ud som vist nedenfor. Disse udledes under det punktet: Det virtuelle arbejdes princip. x ϕ ( x) x = ϕ ( x) x x x = x ϕ ( x) x = ϕ ( x) x x x = Grafisk ser formfunktionerne ud som vist her: (x).5 odret deformation....8 (x).5 odret deformation....8 Deformationer tegnes positivt nedad. x/ x/ ( x ) Vinkeldrejning....8 x/ Vinkeldrejning....8 (x) x/ of 55

23 5. Arbejdsligningen. 5. Udbøjningsfunktion. Bjælkens deformationsfigur har vendetangenter. Derfor må funktionerne være. grads polynomier. Bjælkens udbøjning beskrives derfor således: ux ( ) = a ax ax ax (D) ux ( ) x x x ( a a a a ) T a, a, a og a er konstanter. Vinkeldrejningen findes som den. afledede af udbøjningen. = (E) d ux ( ) = rx ( ) rx ( ) = ( ) x x ( a a a a ) T igningen skrives nu på matrixform med brug af randbetingelserne i begge ender af bjælken. u r = u r a a a a Randbetingelser: u = u() = a, r= r() = -a u = u() = a a a a r = r() = a a a u = Ma a = M u u a u a r a a = a r a = a = u a u r u r = a r a u r u r Disse værdier for a indsættes i (E) ux ( ) = x x x u r u r u r u r u r of 55

24 Ganges der ud, får man udtrykket fra (D) r ux ( ) = u rx ux ( ) = x x r u u x x u x u x x r r r x u x x x u r De funktioner, der ganges på u, r, u og r ses da at være de formfunktioner. u r ux ( ) = ( ϕ( x) ϕ( x) ϕ( x) ϕ( x) ) ux ( ) ϕ( x) u u r = (F) Bx ( ) defineres som d ϕ( x). Bx ( ) x = u x r x u x r B = ( B B B B) T 5. Arbejdligningen u er udbøjningen. du er da vinkeldrejningen. Buelængden er l( x) = y du( x). sættes lig buelængden. lx ( ) = y du( x) tøjningen ε = dl( x) d d ε = y ux ( ) = y ( ϕ( x) u) ε = yb ( x) u Husk at ε er en vektor med fire komponenter of 55

25 Det indre arbejde: Ai = ε T σ dv v er volumen σ = Eε Ai ε T = Eε dv = yb T u T EyBu dv Det ydre arbejde fra den fordelte last. Ydre arbejde fra enkeltkræfter og momenter. Ays = ux ( ) p( x) = ϕ( x) upx ( ) d x fra (F) Ayn = u T P e = u T ( P M P M ) Ai = Ays Ayn yb T u T EyBu dv = ϕ( x) T u T px ( ) u T ( P M P M ) u T y B T EBu dv u T = ϕ( x) T px ( ) u T ( P M P M ) y dae ( B) T B u = ( ϕ( x) ) T px ( ) u T ( P M P M ) E ( B) T B u ( ϕ( x) ) T = px ( ) P e Ku = U K = E ( B) T B (G) K - matrice: K ij = E ( B B B B ) T ( B B B B ) K ij = E BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB Eks. K kan findes ved at indsætte formfunktionerne ϕ ( x) og ϕ ( x) : K E = d d ϕ ( x) ϕ ( x) = K E = x x x d d x x x x d = d 5 of 55

26 Hele stivhedsmatricen K for en vandret bjælke for forskydningskræfter og momenter ser således altid sådan ud. K - matrice: K = E u værdier: Kendte u værdier fastsættes ud fra randbetingelser. 5. Enkeltkræfter og momenter. u er lodret deformation i venstre ende. r er vinkeldrejningen i venstre ende. u er lodret deformation i højre ende. r er vinkeldrejningen i højre ende. u r u = u r U værdier: U(x) er den fordelte belastning. Kendte U værdier fastsættes ud fra randbetingelser. Ux ( ) ϕ = V Som er den lodrette kraft eller reaktion i venstre ende. Ux ( ) ϕ = M Som er momentet i venstre ende. Ux ( ) ϕ = V Som er den lodrette kraft eller reaktion i højre ende. V M U = V M Ux ( ) ϕ = M Som er momentet i højre ende. of 55

27 . Eksempel. Udkraget bjælke PE- med enkeltkraft.. Eksempel P b kn 5m 8.9 mm E. 5 N mm P b P b M a P b V a P b u b r b E E M a 5kNm R a kn u b 5.mm r b. R a. E K = u M a = U = u b P b r b De første rækker i u er. Derfor kan man også fjerne de første søjler og rækker i K-matricen. Man får således et modificeret sytem: E K mod u b P b = u mod = U mod = u mod = K mod Umod r b u b r b E = P P b b E = P b E ux ( ) x x x x x x x x x P b E E P b 7 of 55

28 . Snitkraftkurver. u( x) x x P b E Mx ( ) P b ( x) V( x) P b. 5 Udbøjningskurve Momentkurve Forskydningskraftkurve Opgave... Find reaktioner og optegn snitkraftkurver for den viste bjælke. Kontrollér resultatet med FEM software eller Teknisk Ståbi. Find udbøjningen og vinkeldrejningen på midten ud fra formfunktionerne. 8 of 55

29 7. Eksempel med Bjælke over fag med en momentpåvirkning. 7. Symbolsk løsning. M A B C E = = = E = E = = Bjælken opdeles i elementer med hver sin K-matrice. Disse K-matricer expanderes for direkte at kunne lægge dem sammen. E K = K = E Ku = U Der dannes nu et modificeret sytem, hvor alle 'er i deformationsmatricen u fjernes. Dermed fjernes de tilsvarende søjler og rækker i stivhedsmatricen, der bliver til den modificerede stivhedsmatrice K mod. K = K K u T = u b r b r c U T = A l M a C l M Udbøjning i A og C er ligesom vinkeldrejning i A K K K K mod = K K K u mod = u b r b r c U mod = ( M) K mod u mod K K K = U mod u mod = K mod Umod 9 of 55

30 E 8 K mod = u mod = E E E E 8 E E E E E M 8E = M 8 E M M E U = Ku U E E E = E E E E E E E E E E E E 8 E E E E E E E E E E E 8E M M 8 E M E = M M M M 7. Taleksempel. m.7 mm E. 5 N mm M C knm 5kN A l M C M A M C 5kN m Positiv p.g.a. fortegnsdefinition C l M C 5kN u b M C u b.mm r b M C r b.7 8E 8 E r c M C r c.8 E of 55

31 For at få snitkræfter på midten betragtes element alene: Ku = U V A M K = E u a = U = u b V B r b M B U = Ku U = E Eu b Er b Eu b Er b = u b r b Eu b Er b Eu b Er b of 55

32 7. Snitkraftkurver. ux ( ) ϕ( x) u = (D) ux ( ) = x x x x x x x 8E x x M C M C 8 E ux ( ) x 8 M x = C M( x) E M C x V( x) M C Udbøjningskurve d Mx ( ) = ( ux ( ) E) Momentkurve.5.5 Vx ( ) d = Mx ( ) 5 Forskydningskraftkurve of 55

33 7. Opgaver. Opgave 7... Bjælke over fag. F A B C Bjælken er HE A. ængden er 5 m og længden er m. F er kn.. A) Opstil ligningssystemet for bjælken B) Find reaktionerne i A og i B. C) Find vinkeldrejning i B, og find udbøjning og vinkeldrejning i C. D) Find momentet i B. E) Optegn kurver for deformationer og snitkræfter. Opgave 7... Bjælke over fag. Tvangsdeformation. F A B C Bjælken er HE A. ængden er 5 m og længden er m. Pkt. B skal have en deformation på mm. A) Find den nødvendige kraft F. B) Find reaktionerne i A og i C samt vinkeldrejning i B. C) Find momentet i B. D) Optegn kurver for deformationer og snitkræfter. of 55

34 8. Eksempel med Bjælke over fag med en momentpåvirkning. Plastisk beregning. 8. Symbolsk løsning. M A B C E = = = E = E = = Fremgangsmåden følger eksemplet ovenfor. E K = K = E K u = U Der dannes nu et modificeret sytem, hvor all 'er i deformationsmatricen u fjernes. Dermed fjernes de tilsvarende søjler og rækker i stivhedsmatricen, der bliver til den modificerede stivhedsmatrice K mod. K = K K u T = u b r b r c U T = A l M a C l M K K mod = K K K u mod = u b r b r c K K K K K U mod = M C K mod u mod = U mod u mod = K mod Umod of 55

35 U = Ku E E E E E E E E E E E E E E E 8 E E E E E E E A E l M A u B = E r B C l E r C M C E 8. Snitkraftkurver. Dette ligningssytem løses med iteration, indtil M A = M C Dette er en nedreværdiløsning. Momentkurve Forskydningskraftkurve 5 of 55

36 9. Eksempel. Bjælke over fag med charnier. 9. Symbolsk løsning. M = = A B C E = E = E = = Proceduren er igen den samme. På grund af charnier i pkt. B kommer der en frihedsgrad mere, da der nu er vinkeldrejninger i pkt. B E K = K = E K = K K u T = u B r B r B r C K mod = E E M C E M C E = M C M E M C E U T = A l M A C l M u mod = u B r B r B r C U mod = ( M) Ku M C M C = M C M C of 55

37 9. Taleksempel. m.7 mm E. 5 N mm M C knm u B M C u B 8.55mm r B M C r B.8 E E r B M C r B. r C M C r C 5.7 E E M A M C A l M C A l. N x. 9. Snitkraftkurver. M( x) M C x M A Momentkurve Forskydningskraftkurve 7 of 55

38 9. Opgaver Opgave 9... P A Der er charnier i punkt B. A) Find reaktioner. B) Optegn snitkraftkurver for forskydning og moment. C) Kontrollér resultatet med et FEM software. D) Opgave 7.. med charnier i knude B..Fordelt last.. Symbolsk beregning. Bjælken analyseres nu for en trekantformet fordelt belastning. Bjælken inddeles i elementer: Element fra A-B og element fra B-C. Der ses bort fra normalkræfter. p p kn m = = E = E = E = = Den generelle stivhedsmatrice for en vandret bjælke er som angivet K. Med de nævnte forudsætninger, vil stivhedsmatricerne for element og element være ens. 8 of 55

39 K = E Deformationsmatricen u ser ud som følger. Randbetingelserne er deformation og vinkeldrejning i pkt. A er ligesom deformationen i pkt B. u A r A u B u = = r B r B u C u C r C r C For direkte at kunne lægge K-matricerne for de elementer sammen, ekspanderes de begge. E K = K = E Det samlede system vil have frihedsgrader, nemlig lodret deformation og vinkeldrejning i alle punkter A, B og C. Den samlede stivhedsmatrix vil derfor være en * matrix K = K K En trekantformet fordelt last kan opskrives med funktionen: p( x) = p x Trekantlasten skal transformeres til nogle ækvivalente virtuelle knudelaste på element ud fra udtrykket: U i = ϕ i px ( ). For den første ækvivalente knudelast, som er den lodrette påvirkning i punkt B, giver x x dette: U x x = p d = P På samme måde fastsættes den næste ækvivalente knudelast, som er momentpåvirkningen i pkt. B: x x U x x = x p d = p På samme måde fastsættes de ækvivalente knudelaste i pkt. C. x x U x x = p d = 7 p x x U x = x p d = p 9 of 55

40 vektoren for det samlede system vil da komme til at se sådan ud: R A V A M A u A M A p R B r A V B u U = = M B p Deformationsvektoren u B = = r B r og søjle. B V C 7 M p u C u C C r C r C p Vi kan derfor opstille et modificeret system, hvor vi udnytter, at de første rækker i u er. Derfor kan vi kigge på et modificeret system, hvor række, og i stivhedsmatricen kan slettes. K K 5 K Den modificerede stivhedsmatrix findes som K mod = K 5 K 55 K 5. dette tilfælde giver K K 5 K 8 E E E p dette: K mod E E E 7 =. U mod = p E E E p For at finde de ubekendt i u, løses følgende ligning: r B u C r C = K mod Umod 8 E Hvilket giver: E E E E E E p p E E 7 p 7 = p E E p 5 p E of 55

41 Ku = U p A l p M A 7 B l p p p p = M B C p p = p 7 M 7 C p p p p De vituelle knudekræfter trækkes fra de fundne knudelaste Bjælken opdeles i element og. Element nr. : V A M A V B M B = E p p = p p E p Element V B M B V C M C = E p p E p p 7 = p E 7 5 p p p E p of 55

42 Element : u( x) = x x x x x x x x x p E u( x) x x p E M( x) d = u( x) E = x p M( x) x p Element : u( x) = x x x x x x p E x 7 x x p 5 E p E u( x) xp 8x 7x E M( x) d = u( x) E = p ( 7x ) of 55

43 . Snitkraft kurver. FEM beregningen giver kun resultater i knuderne. For at få førløbet af momentkurven for den fordelte last, lægges det simple moment for en trekantlast til samt virkningerne fra de virtuelle momenter: M( x) p[ 7( x) ] px x p x x p M( x) p x x Udbøjningskurve Momentkurve of 55

44 . Opgaver... Opgave med trekantslast. p = A) Find reaktioner. B) Optegn snitkraftkurver for forskydning og moment. C) Kontrollér resultatet med et FEM software... Opgave med jævnt fordelt last og moment. M = A) Find reaktioner. B) Optegn snitkraftkurver for forskydning og moment. C) Kontrollér resultatet med et FEM software. of 55

45 . Bjælke-/ramme konstruktioner En rammekonstruktion er en bjælkekonstruktion, hvor der dels optræder normalkræfter og dels optræder bjælker, og hvor længdeaksen ikke følger det globale koordinatsystem. Bjælkens stivhedsmatrice skal nu også indeholde bidragene fra normalkræfterne. Dette gøres ved at tillægge de bidrag, vi fandt ved behandling af stænger: Eksempel: Stang Bjælke 5 ast 5 kn/m A K e = E A A A Som for stænger skal vi nu omsætte stivhedsmatricen fra det lokale system til det globale system: K = T T K e T. For bjælker ser T matricen ud som følger: T = cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) For stænger blev stivhedsmatricen i det globale koordinatsystem en matrix, hvor stivhedsmatricen for den tilsvarende stang i lokale koordinatsystem var en matrix. For bjælker er stivhedsmatricerne i både det lokale- og det globale koordinatsystem en matrix. Dette hænger sammen med, at en skrå kraft altid kan projiceres i retningerne for forskydningskraft og normalkraft, mens momentet er uafhængig af vinklen. 5 of 55

46 . Eksempel. Nedenstående konstruktion gennemregnes med forskellige tværsnitskonstanter dels ved hjælp af kraftmetoden og dels ved hjælp af programmet Analys. beregningerne er indspændingsmomentet valg som den overtallige. Forskellene i resultaterne skyldes, at normalkraftens bidrag for bjælken ikke er medregnet i arbejdsligningen. ast 5 kn/m Stang Bjælke 5 7 Element, Ø: A E. 5 π π v atan 5 Element, HEA: A 88.7 ast er 5 kn/m, der omsat til enkeltkræfter i knuderne giver /8 last længde i toppen og 5/8 last længde ved indspændingen. Det globale koordinatsystem placeres med. aksen i bjælkens, element 's længdeakse. Det er derfor kun element, der skal drejes. p 5 Py Topologimatrix for en bjælke ser ud som T: T cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) A Kl = E A A A of 55

47 A Kl = E A A A K = T T KlT K = T T KlT K = K K l v r M u l u = u U = v r M l v M K K K 5 K K K K 5 K K mod = U mod = K 5 K 5 K 55 K 5 Py K K K 5 K u mod = K mod Umod U = Ku l v M l U = v = M l v M of 55

48 . Opgave. Opgave.. ) Hvor mange frihedsgrader har systemet, hvis det opdeles i to elementer. En bjælke og en fjeder. ) Opstil flytningsvektoren for systemet og indsæt derefter givne randbetingelser. ) Ækvivaler den trekantformede last til enkelt laster. ) Opstil belastningsvektoren. 5) Opstil elementstivhedsmatricen Ke for alle elementer og elementtyperne. ) Opstil stivhedsmatricen for hele systemet. 7) Opstil det modificerede system, løs for de ubekendte (flytningerne) og angiv deres størrelse på en skitse. 8) Find de globale reaktioner og angiv dem på en skitse. 8 of 55