Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum"

Transkript

1 Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet kædebrøk og jeg giver en anvisning på, hvordan man ved hjælp af programmet kan generere periodiske kædebrøker. Jeg har imidlertid også skrevet et andet program, hvor man mere systematisk kan studere periodiske kædebrøker. En kædebrøk kan være en temmelig uhåndterlig størrelse at notere, og derfor bruger man gerne den kortere notationsform, der kaldes et talspektrum. Det bruger jeg også i mit program, og derfor kalder jeg det periodisktalspektrum. Jeg gentager her, hvad jeg skrev i ovennævnte artikel: En kædebrøk kan populært beskrives som en brøk, hvis nævner selv indeholder en brøk, hvis nævner igen indeholder en brøk... og så fremdeles. Enhver almindelig brøk og enhver decimalbrøk kan skrives som en kædebrøk, og omvendt kan enhver kædebrøk reduceres til en almindelig brøk eller en decimalbrøk. Hvis det oprindelige udtryk er rationelt, vil kædebrøken være endelig, er det irrationelt, vil kædebrøken være uendelig. I opstillingen herunder ses til venstre kædebrøken for 31/53, og derefter ser vi, hvordan kædebrøken nedefra reduceres, så den ender med at blive 31/53: = = = 1 + = Som sagt kan man notere kædebrøken i den kortere form, der kaldes et talspektrum. Her anføres kun første led på hver af brøkens linjer (andet led, der fungerer som tæller i næste brøk i kæden, er jo overalt 1). Ovenstående eksempel skrives sådan: 31 / 53 = [0: 1, 1,,, 4] Det første tal, efterfulgt af et kolon, angiver brøkens eventuelt heltallige del; i dette tilfælde er det 0. I dette tilfælde er brøken rationel og kædebrøken / spektret endeligt. Hvis brøken er irrationel vil kædebrøken / spektret fortsætte i det uendelige, men i visse tilfælde er det den samme talfølge, der gentages (ligesom vi kender det fra periodiske decimalbrøker), og det er disse periodiske tilfælde, det handler om her Det enkleste tilfælde, nemlig en sekvens af lutter 1-taller, fremkommer, når forholdet er lig med det gyldne snit, hvis talværdi tilnærmelsesvis er 0, Spektret ser altså i dette tilfælde sådan ud: [0: 1, 1, 1, 1, 1 ], og den tilsvarende kædebrøk ser vi her: 1 1

2 Nu kunne det være interessant at finde de tal, hvis spektrum består af lutter -taller, 3-tallet, 4-taller osv., og videre kunne vi begynde at lede efter sammensatte periodiske spektre som eksempelvis: [0: 1,, 1,, 1, ] [0:, 3,, 3,, 3 ] [0: 1, 1,, 1, 1, ] [0: 1, 1, 3, 1, 1, 3 ] Udgangspunktet for en sådan eftersøgning er, at spektret vil være periodisk, når brøken kan fremstilles som et tal, hvori der indgår en kvadratrod. Det er netop tilfældet med det gyldne snit, der jo kan skrives som ( 5 1) / = 0, Det er imidlertid det samme som at sige, at spektret vil være periodisk, når tallet er løsning til en andengradsligning dog kun hvis løsningen er irrationel, dvs. kan fremstilles som et tal, hvori der indgår en kvadratrod. Vi skal altså systematisk undersøge spektret for løsningerne til andengradsligningen ax + bx + c = 0 og systematisk betyder her, at vi undersøger alle løsninger, hvor a, b eller c gennemløber et bestemt forløb, enten hver for sig eller i kombination med hinanden. Håbet er, at vi derved kan påvise en sammenhæng mellem perioden og de tre koefficienter a, b og c. Til det formål har jeg skrevet programmet periodisktalspektrum. Brugerfladen består i al sin enkelthed af nogle tekstbokse, hvor man indtaster den mindste og højeste værdi af koefficienterne a, b og c, samt af en tabel, hvor resultatet vises. Illustrationen til venstre herfor viser tekstboksene. I eksemplet holdes a og c konstant, mens b varierer fra 1 til 40. Programmet udregner automatisk hvor mange forskellige løsninger, der fremkommer med de valgte værdier. Det kan være nyttigt at vide, før man klikker på knappen BEREGN. Hvis man f.eks. lader alle tre koefficienter variere mellem 1 og 40, vil programmet beregne 40 3 = ligninger, og det vil nok være lidt uoverskueligt at skulle gennemsøge så mange løsninger. Men i øvrigt kan tabellen slet ikke håndtere et så stort tal, og det vil man i givet fald få en meddelelse om. Man vil ligeledes få en meddelelse, hvis man har indtastet en mindsteværdi, som er større end den tilsvarende størsteværdi, og i det hele taget er programmet idiotsikret mod indtastninger, som vil få programmet til at gå ned. Programmet afviser således alle indtastninger, som ikke er tal, minustegnet dog undtaget. Den næste illustration viser begyndelsen af tabellen, som den ser ud når indtastninger er som i ovenstående eksempel og som man kan se, får man i dette tilfælde netop genereret de 40 simpleste periodiske talspektre eller kædebrøker, dvs. perioden kan skrives som [b, b, b, b... ]. Men først lidt om betydningen af tabellens i alt otte kolonner: Den første kolonne er blot en nummerering af rækkerne. Derefter følger værdierne af a, b og c samt en fremstilling af ligningen på det aktuelle trin af forløbet (det er ikke muligt at notere potenstallet som hævet skrifttype; i programmeringssproget skriver man i stedet x^, men i tabellen har jeg valgt at skrive xx). I den næste kolonne finder man ligningens diskriminant, som er afgørende for 1 Det gyldne snit kalder man det, når et linjestykke deles i to ulige store stykker, således at det mindre stykke forholder sig til det større stykke, som dette forholder sig til hele linjestykket. Sætter vi det udelte linjestykke lig med 1, og kalder vi det større stykke a, er dette udtrykt i ligningen: a / (1 a) = 1 / a eller a + a 1 = 0. Denne andengradsligning har løsningerne: a = ( 5 1) / = 0, og a = ( 5 1) / = 0,618034

3 forståelsen af sammenhængen mellem koefficienterne og perioden. Derefter følger ligningens løsning, og endelig kan man så i den sidste kolonne se talspektret alias kædebrøksfremstillingen. Talspektret / kædebrøksfremstillingen udregnes ved hjælp en algoritme, der kort kan beskrives som en variant af den bekendte Euklids algoritme. Programmet opererer med op til 16 decimaler, men alligevel vil fejlen på sidste decimal efterhånden vokse, så perioden fra et bestemt trin ikke længere vises korrekt. Hvornår det sker afhænger af størrelsen af de tal, hvoraf perioden er sammensat. Jo større disse tal er, desto hurtigere vokser fejlen, og det er forklaringen på, at der i kolonnen med spektret efterhånden medtages færre og færre tal. I eksemplet gentages perioden dog tilstrækkeligt mange gange til, at vi kan være sikre på, den er korrekt. Perioden er her overalt monoton, dvs. den består kun af et tal. Sætter vi a lig med 1, men lader b og c være som i første eksempel, får vi genereret denne tabel: Perioden kan i dette tilfælde skrives som [1, b-]. Usikkerheden begynder her allerede at gøre sig gældende fra 7. række (der slutter med 1, 6 i stedet for det korrekte 1, 5), men perioden gentages stadig tilstrækkeligt mange gange til, at vi kan være sikre på, den er korrekt. Læg mærke til, at lig- Jeg minder om, at størrelsen b 4ac, der optræder i forbindelse med løsningen af en andengradsligning, kaldes diskriminanten. Løsningen findes som bekendt som a/ ± b / 4a c / a, og idet det, der står under kvadratrodstegnet også kan skrives ( b 4ac)/ 4ac, er det klart, at det alene er størrelsen b 4ac, altså diskriminanten, der afgør, om løsningen er rationel eller irrationel, eller der måske slet ingen løsning er (nemlig hvis 4ac er større end b, og diskriminanten dermed bliver negativ). 3

4 ningen ikke har nogen løsning, når diskriminanten er negativ (1. række), og at løsningen er rationel, og når diskriminanten er 0 (. række). Læg også mærke til, at perioden alene afhænger af løsningens decimaldel, dvs. det gør ingen forskel, hvad der står i den heltallige del. Vi ser et eksempel herpå i 3. linje, hvor vi genkender decimalerne fra det gyldne snit , men nullet foran decimaltegnet er nu ombyttet med et -tal. Vi ser også, at diskriminanten i begge tilfælde er den samme, og der er generelt en éntydig forbindelse mellem diskriminanten og perioden (eksempler: til perioden [1] svarer diskriminanten 5, til perioden [1, ] svarer diskriminanten 1, til perioden [1, 3] svarer diskriminanten 1). En anden kombination af a, b og c, der afslører en række relativt simple periodiske spektre, ses til venstre herfor. Det er let at forstå, hvorfor c skal være negativ. Ligningen ser jo i dette tilfælde sådan ud: ax c = 0, og løsningen er c / a ; hvis c havde været positiv, ville udtrykket under kvadratrodstegnet blive negativt, og det giver som bekendt ingen mening. Tabellen ses i næste illustration. Læg mærke til, at løsningerne fordeler sig i grupper, der er begrænset af de tilfælde, hvor a er et kvadrattal, og løsningen følgelig er rationel. Læg videre mærke til, at inden for hver gruppe afsluttes perioden med det samme tal, og at dette tal i hvert tilfælde er identisk med kvadratet på diskriminanten i den nærmest foregående rationelle løsning. Jeg nævner dette som et eksempel, hvad man skal lægge mærke til, når man leder efter mønstre og sammenhænge. I denne tabel begynder perioden i øvrigt hver gang på andet led. Ligesom vi kender det fra periodiske decimalbrøker, kan der gå et eller flere tal forud for den egentlig periode. Eksempelvis hedder perioden i 1. række [1, 1,, 1, 1, 8]. -tallet, som afslutter den ufuldendte 3. periode afsluttes, er tydeligvis en af de tidligere omtalte uundgåelige fejl. 4

5 Som standard ordnes (sorteres) listen efter løbenumrene (1. kolonne), men du kan også vælge at ordne den, så den følger den numeriske orden i en af de andre kolonner. Du skal blot dobbeltklikke med musen et eller andet sted i den pågældende kolonne. Det kan f.eks. i nogle tilfælde være nemmere at få øje på et princip bag perioden, hvis man følger en af koeeficienter numerisk; her skal du altså dobbeltklikke på en af kolonnerne a, b, eller c. Du kan til enhver tid vende tilbage til den oprindelige rækkefølge, ved at dobbeltklikke i 1. kolonne. Bemærk, at det ikke tjener noget formål at sortere efter kolonnerne ligning, løsning eller spektrum ; rækkefølgen bliver ganske vist ændret, men ikke på en måde, der i denne forbindelse giver nogen mening. Her følger et eksempel på, hvordan du kan så sammenligne talspektrene for en bestemt diskriminant, idet du sorterer tabellen, så diskriminanterne kommer i numerisk rækkefølge. Vi vælger de indstillinger, der ses til venstre herfor. Det resulterer i en tabel med = 178 rækker, og mange af de 178 ligninger vil have samme diskriminant. Vi fokuserer på diskriminanten 73. Den forekommer ikke færre end 5 gange, dog er nogle af dem gengangere fra de tilfælde, hvor koefficienterne kan forkortes (bemærk at ligningen i disse tilfælde er tilføjet fork ): Vi bemærker i dette eksemplet, at perioden i hvert tilfælde kan beskrives ved sekvensen {1,, 3, 1, 7, 1, 3,, 1}, idet denne sekvens optræder i forskellige permutationer. Men hvis du nu tror, at du har fundet en almengyldig regel, bliver du skuffet, når du eksempelvis fra samme tabel sammenligner de talspektre, der er fælles om diskriminanten 65. Her kan perioden i nogle tilfælde beskrives ved sekvensen {3, 1, 3}, men i andre tilfælde handler det om sekvensen {1, 7, 1}: 5

6 Hvorfor denne forskel? Kan man overhovedet generelt beskrive perioden alene ud fra koefficienterne og diskriminanten? Du kan sikkert få svar på disse og andre spørgsmål, hvis du søger på internettet, men meningen med dette program er jo at give dig et værktøj, så du selv kan gå på opdagelse efter de lovmæssigheder, der knytter sig til dannelsen af periodiske kædebrøker. Nogle samler på frimærker men det kan også være ganske spændende at samle på periodiske kædebrøker! Kan du f.eks. finde perioden [5, 3, 1]? God jagt! 6

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit

2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit Dette er den anden af fem artikler under den fælles overskrift Matematiske Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Introduktion og indholdsoversigt

Introduktion og indholdsoversigt Introduktion og indholdsoversigt Denne guide omhandler kursus oprettelse i et web-modul (KOSMO). Processen gør det muligt at oprette en mindre mængde kurser af gangen, og dermed gå til og fra kursusoprettelsen.

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

TESTS I MAKROØKONOMI. Formål og indhold

TESTS I MAKROØKONOMI. Formål og indhold TESTS I MAKROØKONOMI Formål og indhold Testene er tænkt som et hjælpemiddel til studerende, der bruger bogen Makroøkonomi teori og beskrivelse fra forlaget Limedesign. Sigtet er at støtte de studerende

Læs mere

UDKAST: Indeholder kun indtastning

UDKAST: Indeholder kun indtastning København d. dd. mmmmm yyyy Dokument: Måler modul manual.doc Manual vedrørende: IDAP manual Måler modul UDKAST: Indeholder kun indtastning Adresse: Århusgade 88, 4.sal 2100 København Ø Danmark Kontakt:

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Indhold

Indholdsfortegnelse. Indhold Indholdsfortegnelse Indhold Login... 2 Registrér komme / gå tider... 4 Flere arbejdsperioder på samme dag?... 5 Frokostpause / ret Frokostpause... 7 Sletning... 8 Afslut måned... 9 Godkendte/afviste måneder...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

DMX styring med USB-interface

DMX styring med USB-interface DMX styring med USB-interface Introduktion...2 DMX bibliotek...3 Programmering af kanaler...7 Sådan skabes et show/en lyssekvens...11 Introduktion DMX LightPlayer er en avanceret men meget brugervenlig

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Binært LAS-format Denne indstilling import Laser scan datafiler, i LAS format.

Binært LAS-format Denne indstilling import Laser scan datafiler, i LAS format. Kvadratnetsmodel - Import af Laser Scan Datafiler Funktionen til at oprette kvadratnetsmodeller er nu blevet udvidet og omfatter nu også en funktion til at importere laser scanning datafiler. Metoden bag

Læs mere

Oprettelse og brug af E-mail i Jubii

Oprettelse og brug af E-mail i Jubii Side 1 af 11 Få din egen mailadresse Start Internettet. Skriv denne adresse i Adressefeltet: www.jubii.dk og tyk på Enterknappen. Du har nu forbindelse med søgemaskinen: Jubii Klik på punktet: E-mail Oprettelse

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

FORMATERING AF REGNEARK

FORMATERING AF REGNEARK FORMATERING AF REGNEARK Indtil nu har vi set på, hvordan du kan udføre beregninger i dit regneark, og hvordan du kan redigere i regnearket, for hurtigt at få opstillet modellerne. Vi har derimod overhovedet

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Indhold

Indholdsfortegnelse. Indhold Indholdsfortegnelse Indhold Login... 2 Registrér komme / gå tider... 4 Flere arbejdsperioder på samme dag?... 5 Frokostpause / ret Frokostpause... 7 Sletning... 8 Afslut måned... 9 Godkendte/afviste måneder...

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007 Indhold

Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007 Indhold Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007 Indhold Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007... 1 Inddeling i afsnit... 2 Sideskift... 2 Sidetal og Sektionsskift... 3 Indholdsfortegnelse...

Læs mere

ectrl vejledning ectrl Autorapporter

ectrl vejledning ectrl Autorapporter ectrl vejledning ectrl Autorapporter Autorapportudskrift Som bruger af ectrl kan man nemt lave sine egne simple rapporter fra alle tabeller i ectrl. Begrænsningen for rapporter under autorapport er, at

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Selv om websites er yderst forskellige i deres fremtræden, så kan de stort set alle sammen passes ind i den skabelon som er illustreret herunder:

Selv om websites er yderst forskellige i deres fremtræden, så kan de stort set alle sammen passes ind i den skabelon som er illustreret herunder: Design en praktisk guide. Et design udtrykker dit websites grafiske udseende, lige fra hvilke skrifttyper der anvendes op til hvor navigationen er placeret og hvilke interaktive elementer der skal benyttes.

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet Tænk, hvis alle elever kunne arbejde med procesorienteret matematik. En arbejdsform, hvor du forsøger at arbejde med matematiske problemstillinger

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER

OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER Kan PowerPoint ikke animere, kan programmet i stedet lave overgangs- og opbygningseffekter. Ikke mindst opbygningseffekter giver rige muligheder, for at lave særdeles avancerede

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM

Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM Bogfunktionen eller Slægtsbogen i FTM En blandt mange af Family Tree Maker s styrker er evnen til at præsentere data på mange forskellige måder, og i dette skrift vil bogfunktionen blive gennemgået. Funktionen

Læs mere

Betjeningsvejledning. for. UniRace

Betjeningsvejledning. for. UniRace Betjeningsvejledning for UniRace 2007 Et konkurrence indtastningsprogram. Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 Figur fortegnelse... 3 Indledning... 4 Race info... 4 Indtastning af deltagere...

Læs mere

GECKO Booking Vejledning til spørgeskema-modul. Læsevejledning. Indholdsfortegnelse

GECKO Booking Vejledning til spørgeskema-modul. Læsevejledning. Indholdsfortegnelse GECKO Booking Vejledning til spørgeskema-modul Er der behov for at få et indgående kendskab til kunden, når de bruger bookingsystemet? Hvad siger brugerne efterfølgende om den service, de har fået? Ved

Læs mere

Easy Guide i GallupPC

Easy Guide i GallupPC Easy Guide i GallupPC Version. 6.00.00 Gallup A/S Masnedøgade 22-26 DK 2100 København Ø Telefon 39 27 27 27 Fax 39 27 50 80 Indhold SÅDAN KOMMER DU I GANG MED AT ANVENDE GALLUPPC... 2 TILFØJELSE AF UNDERSØGELSER

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Vejledning til registrering af virksomheder og personer (effekter) Projektrapporteringsværktøj - PRV

Vejledning til registrering af virksomheder og personer (effekter) Projektrapporteringsværktøj - PRV Vejledning til registrering af virksomheder og personer (effekter) Projektrapporteringsværktøj - PRV Registrering af virksomheder og personer Erhvervsstyrelsen og de regionale vækstfora ønsker at styrke

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

LEKTION 4 MODSPILSREGLER

LEKTION 4 MODSPILSREGLER LEKTION 4 MODSPILSREGLER Udover at have visse fastsatte regler med hensyn til udspil, må man også se på andre forhold, når man skal præstere et fornuftigt modspil. Netop modspillet bliver af de fleste

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel)

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Indhold Introduktion...1 Eksport og tilpasning af tabeldata MUD...1 Direkte til Excel...1 Via Rapport i Word-format til Excel...1

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Optælling med PDA, beregn lageropgørelseskladde. Optælling med PDA, beregn lageropgørelseskladde

Optælling med PDA, beregn lageropgørelseskladde. Optælling med PDA, beregn lageropgørelseskladde Optælling med PDA, beregn lageropgørelseskladde Inden man påbegynder en optælling, skal man tage stilling til hvilke varer, man ønsker at tælle op. Men ikke mindst skal man, når man foretager selve optællingen

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere