Kom godt i gang med Maple 12. (Worksheet mode)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kom godt i gang med Maple 12. (Worksheet mode)"

Transkript

1 Kom godt i gang med Maple 12 (Worksheet mode) Adept Scientific 2008 Indtastning af taludtryk - simple beregninger Anbring cursoren ved en input-linje, dvs. en linje med symbolet > yderst til venstre. Er dette symbol ikke til stede, så skaffer du et ved at trykke på knappen (i værktøjslinjen) Skriv her 2+2, og tryk Enter: 2 C2 4 (1) Du kan indtaste i to modes: 1D- og 2D-Math. Du skifter mellem disse med F-knappen. Når du trykker på F-knappen, skifter cursoren udseende fra en skrå streg ( / ) til en lodret streg ( ), så du kan altid på cursoren se, hvilken mode, du befinder dig i. I 1D-Math mode ser ovenstående regnestykke således ud: 2+2; 4 (2) I 2D-Math mode behøver du ikke at afslutte indtastninger med semi-kolon. Bruges i stedet kolon som afslutning, vil udregningen blive foretaget, men resultatet vises ikke: 2 C3$ : At der er sket en udregning af udtrykket kan du se ved at bede Maple vise det sidst udregnede resultat. Som reference til det sidst udregnede resultat benytter Maple et %-tegn. Dette virker uanset om resultatet er vist eller ej: % 17 (3) Advarsel: Vær varsom med brugen af %, da det sidst udregnede resultat ikke nødvendigvis stammer fra linjen ovenover. Du kan nemlig til enhver gå op i en input-linje, eventuelt lave ændringer, og så snart du taster Enter, så sker der en genberegning af udtrykket, og % vil få en ny værdi. Prøv! Arbejdsområde 1 I dette område er det meningen, at du skal afprøve de ovenstående ting - herunder undersøge, hvordan % virker. Hvad sker der, hvis du taster %%%? Har du ikke plads nok, kan du altid tilføje mere plads ved at trykke på [> - knappen.

2 Det er vigtigt, at du bliver fortrolig med Maples formeleditor. Skal du fx indtaste et udtryk som Indtast først tælleren 17 K2. Marker hele tælleren ved at trække med musen - eller alternativt: Hold Shift-tasten nede, og tryk på pil-venste et par gange til hele udtrykket er markeret. Med hele tælleren markeret taster du / for division. Straks vil en pæn brøk komme frem med cursoren stående i nævneren. Indtast nævneren, og tast Enter. 17 K2 kan du naturligvis taste ind ved at sætte en parentes om tælleren, altså som (17-2)/ 17 K2 3 Det ser bare ikke så kønt ud med denne overflødige parentes i tælleren. Men Maple kan gøre det bedre:, (4) 17 K2 3 () Arbejdsområde 2 Indtast ovenstående brøk og check, at alt virker som det skal. 29 C17 Indtast også udtrykket C 3. Der opstår sikkert et problem, når du skal indtaste +, idet 2 7 C4 din cursor er placeret i nævneren i den første brøk. Her gør pil-højre tasten underværker. Skal du indtaste mere komplicerede udtryk, fx potenser, kvadratrødder, n-te rødder mv., så klik på pilen i Expression-knappen (i skærmens højre side): Dette vil åbne Expression-paletten, hor du finder skabeloner til at lette indtastningen. Skal du fx skrive potens 2 4, så klikker du på knappen

3 dette vil give dig denne skabelon i indtastningslinjen: du indtaster et 2-tal, og trykker herefter på TAB-knappen på tastaturet. Eksponenten b vil så blive markeret med blåt, og du kan indtaste 4-tallet. Sådan virker i princippet alle skabeloner med mere end én pladsholder (6) Du finder også en brøk-skabelon i Expression paletten. Tryk på denne, og du får en skabelon som denne a med tælleren markeret. Skriv tælleren, og tryk på tabulator knappen for at hoppe til nævneren. Prøv! b Arbejdsområde 3 Eksperimenter med potens- og brøk-skabelonerne, og indtast herefter udtrykkene K3.17 C 2.32 K (1K2 3 2 C 3 C3 2 Som du måske har bemærket, så returnerer Maple altid - om muligt - det eksakte resultat. Dvs., at hvis der forekommer et decimaltal i udtrykket, så returneres resultatet som et decimaltal, ellers returneres det eksakte resultat. Du kan tvinge Maple til at aflevere et tilnærmet resultat ved at benytte kommandoen evalf. Det fungerer således: evalf 1 C (7) - og vil du have resultatet med fx 4 cifre, så skriver du evalf 4 1 C (8) Arbejdsområde 4 Udregn nedenstående udtryk, og afgør, om de er hele tal. BS: π og e (den naturlige logaritmes grundtal) skal skrives vha. Common Symbols-paletten

4 sin 2017$ 2 e π$ 163 K Arbejde med tekst i et Maple dokument Det dokument, du sidder med, er skrevet i Maple. Beregningsregioner indledes med >, hvorimod tekstregioner er er uden >. Du indsætter en tekstregion med knappen At skrive tekst i Maple er som at skrive i et almindeligt tekstbehandlingsprogram, bortset fra, at du her har en formeleditor indbygget - og det er nøjagtig den samme som den, du bruger i beregningsregioner: For at indsætte matematik i en tekstregion taster du F, hvorved cursoren bliver skråtstillet. Du indtaster det matematiske udtryk, og afslutter med F. Herved er du tilbage i tekstmode igen. TIP: Du kan ændre en tom beregningsregion til en tekstregion ved at taste Ctrl+t. En tom tekstregion ændres til en beregningsregion ved at taste Ctrl+m. Arbejdsområde Skriv denne tekst i Maple: Tredjegradsligningen x 3 Cc$x = d kan løses ved at skære en parabel med ligningen y = d cirkel med centrum i 2 c,0 og radius d 2 c. c $y og en Regning med symbolske udtryk Maple kan naturligvis også regne med symbolske udtryk - dvs. udtryk, hvor der indgår en række symboler, der ikke er tildelt nogen værdi. Fx x C2 x C3 x C4 y C y C6 y 6 x C1 y (9) her samles automatisk x'erne og y'erne. Der ganges også automatisk ind i parenteser med tal, men ikke

5 med symboler: 23 x C2 x$ 3 x C4 6 x C4 x 3 x C4 I (11) er det meget vigtigt at du skriver et gange-tegn foran parentesen. I modsat fald vil Maple opfatte udtrykket som funktion med navnet x, der skal udregnes på 3 x C4. Du kan tvinge Maple til at gange parenteser ud ( - altså at omskrive til ledform) ved at bruge kommandoen expand: expand x$ 3 x C4 3 x 2 C4 x (12) Brøken a2 Kb 2 kan forkortes a Kb. Det ses nemmest ved at omskrive tælleren til a Cb $ a Kb. a Cb Men kan vi få Maple til det? Der sker ingen automatisk forkortning (det ville ske, hvis der kun indgik tal): (10) (11) a 2 Kb 2 a Cb a 2 Kb 2 a Cb (13) Expand giver heller ikke det ønskede, men naturligvis det forventede, idet brøken nu er skrevet som en differens af to led (altså bragt på ledform). expand a2 Kb 2 a Cb a 2 a Cb K b2 a Cb (14) Derimod er kommandoen normal skabt til opgaven. normal a 2 Kb 2 a Cb a Kb (1) Kommandoen simplify kan også bruges her til at sætte på fælles brøkstreg. Denne forenkler - om muligt - udtrykket mest muligt. Dette kan også indbefatte at gange parenteser ud. Den sidste kommando til manipulation af symbolske udtryk, vi vil se på her, er factor, der faktoriserer et symbolsk udtryk: factor a 2 Kb 2 a Kb a Cb (16)

6 factor x 2 C4 x C3 x C3 x C1 (17) Arbejdsområde 6 mskriv med passende Maple kommandoer kvadratet på en to-leddet størrelse a Cb 2 til formen a 2 Cb 2 C2 a$b Addition af talbrøker, fx 2 3 C, vil altid ske automatisk i Maple. Prøv! Derimod er der ingen 7 automatik, hvis du forsøger dig med fx 1 a C 1. Hvordan skal man så få dem på fælles brøkstreg? b Variabler og formler Du kan gemme et udtryk i en variabel ved at benytte tildelingssymbolet :=, der er et kolon efterfulgt af et lighedstegn. Fx vil tildelingen abc d 14 x 3 C 7 x$y 3 abc := 14 x 3 C 7 x y 3 (18) bevirke, at at udtrykket 14 x 3 C 7 gemmes i variablen med navnet abc. Herefter kan abc benyttes i 3 x$y stedet for det oprindelige udtryk. Fx abc 7 2 x 3 C 1 x y 3 (19) Læg mærke til, at det er det symbolske udtryk, der gemmes i variablen abc. Hvis x og y får tildelelt talværdier, så vil abc beregnes til en talværdi. Tildel x værdien 2, og y værdien 3. Dette sker også med tildelingssymbolet := x d 2; y d 3 x := 2 y := 3 (20) hvor kolon (:) efter tildelingerne betyder, at vi ikke ønsker at se output, der jo blot ville være i stil med x = 2 og y = 3. Beregner du nu abc, får du et tal: abc (21)

7 60 4 Når du tildeler værdi med x d 2 og y d 3, så har x og y disse værdier indtil du giver dem nye værdier ved en ny tildeling. Da specielt x og y ofte benyttes i beregninger, er det ikke smart, at de har faste værdier. Du kan rense x og y ved at skrive: (21) x d'x'; y d'y' x := x y := y Check, at x og y er rensede, og at abc atter beregner til formlen i (18). (22) x; y; abc x y 14 x 3 C 7 x y 3 (23) Du kan lave en tildeling af værdier til x og y, der kun er aktiv så længe beregningen af abc står på. Dette kaldes en lokal tildeling. Hertil skal du benytte eval - kommandoen: eval abc, x=2,y= (24) Arbejdsområde 7 Prøv at tildele nye værdier til x og y i linje (20) (husk at taste Enter efter tildelingen, så linjen bliver udført!). Beregn så abc ved at gå til linjen med abc, og taste Enter. Hvis du ikke vil se output fra tildelingen af værdier til x og y, skal du i stedet skrive x d 2: y d 3 : Prøv! Rumfanget af en tønde med højde h, radius R og endefladeradius r beregnes med formlen: V = π$h 1 8 R 2 C4 r$r C 3 4 r2 Find rumfanget af en tønde, når h = 11, r = 4 og R =. Prøv med begge former for tildeling. Undertiden får du behov for at få Maple til at glemme alle tildelinger, du har lavet. Dette klarer du nemt ved at fyre restart kommandoen af (der kommer ingen output fra denne kommando): restart

8 abc, r, R abc, r, R (2) Som det ses, har Maple glemt alt om tildelingen af værdier til variablerne abc, r og R. Du kan føje kommentarer til en kommando linje ved at placere # foran kommentaren, fx restart #Maple glemmer alt. Ligningsløsning Ligningsløsning går for det meste let og smertefrit i Maple, men dog langt fra altid! Du skal nu løse 1 ligningen x =. Det er ofte en rigtig god ide at navngive ligningen (dvs. gemme den i en variabel): x K1 Eq d x = 1 x K1 Eq := x = 1 x K1 Eksakt løsning af denne ligning sker med solve Eq, x, hvor x'et refererer til, at ligningen løses med hensyn til x (hvis der, som her, kun er en variabel i ligningen, kan ', x ' udelades): (26) solve Eq, x 1 2 C 1 2, 1 2 K 1 2 Der er to løsninger, adskilt ved et komma. Denne opskrivning hedder i Maple terminologi en udtryksfølge (expression sequence). gså her kan det være nyttigt at gemme løsningerne i en variabel. Fx (27) sol d solve Eq, x sol := 1 2 C 1 2, 1 2 K 1 2 (28) så kan du efterfølgende få fat i løsningerne ved at skrive hhv. sol 1 og sol 2 : sol C 1 2 Alternativt kan du skrive sol_1 (der kommer til at se sådan ud sol 1 ): (29) sol C 1 2 (30) Løsning af flere ligninger med flere ubekendte sker tilsvarende, blot skal du samle ligningerne i krøllede

9 parenteser {}, og tilsvarende for de variabler, du løser med hensyn til. Et eksempel: Løs ligningssystemet: x 2 C2 x Cy 2 K4 y =3 y =4 x Eq1 d x 2 C2 x Cy 2 K4 y =3 Eq1 := x 2 C2 x Cy 2 K4 y =3 Eq2 d y =4 x Eq2 := y =4 x solve Eq1, Eq2, x, y x = K 3 17, y = K12 17, x =1,y =4 (31) (32) (33) Geometrisk svarer opgaven til at finde skæringspunkterne mellem en cirkel og en ret linje. Skæringspunkterne er altså K 3 17,K12 17, 1, 4 Arbejdsområde 8 Løs den generelle andegradsligning a$x 2 Cb$x Cc = 0 med hensyn til x. Løs ligningssystemet (med hensyn til x og y): Tildel a og b nogle værdier, og løs ovenstående ligningssystem igen. Isoler R, r og h i ligningen x Cy = a Ky C4 x = b V = π$h 1 8 R 2 C4 r$r C3r 2 Uligheder Uligheder løses ligesom ligninger - blot skal du anvende et ulighedstegn: <, >, eller - hvor de første to sidder på tastaturet, mens de to sidste findes i Common-symbols paletten.

10 Lad os se på et eksempel: solve K 1 2 x2 K6 x K16 % 2 x C14, x RealRange KN, K10, RealRange K6, N (34) Løsningen skal her opfattes som KN,K10 g K6,N. solve K 1 2 x2 K6 x K16! 2 x C14, x RealRange KN, pen K10, RealRange pen K6, N (3) Her skal løsningen tilsvarende opfattes som KN,K10 g K6,N. Labels Du har sikkert bemærket de numre, der står ud for hvert resultat i højre side af skærmen. Disse numre kaldes Labels, og dem kan du bruge, når du vil referere til tidligere resultater. Disse resultater kan være tal, tildelinger, løsninger mv. 2 C3 #resultatet bliver et tal a d x Cy Cz #resultatet bliver en tildeling a := x Cy Cz solve x 2 C2 x K2 =0,x #resultatet bliver en udtryksfølge K1 C 3,K1 K 3 (36) (37) (38) Hvis du vil referere til et af disse resultater, taster du Ctrl+l (dvs., du holder Ctrl-tasten nede, og trykker på l - l som i label). Dette bevirker, at en lille boks popper op: I Label Value feltet skriver du nummeret - uden parenteser! Labels opdateres automatisk, hvis du putter en ny udregning ind i en eksisterende følge. (36) (39) (37) (40)

11 (38) x Cy Cz K1 C 3,K1 K 3 (40) (41) Labels kan indgå lige som variabler i udtryk (under forudsætning af, at det giver mening): (37) 2 C(36) 2 x Cy Cz 2 C2 (42) Hvis resultatet er en udtryksfølge, kan du udtrække de enkelte elementer således: (38) 2 K1 K 3 (43) Arbejdsområde 9 Ved løsning af et system af 2 ligninger med 2 ubekendte bliver resultatet solve x 2 C2 x Cy 2 K4 y =3,y =4 x, x, y x = K 3 17, y = K12 17, x =1,y =4 (9.1) Prøv at udtrække y =K 12 ved at benytte label referencen (9.1) og de kantede parenteser []. Læg 17 mærke til, at label referencen ser lidt anderledes ud her end ovenfor, hvor det blot var et enkelt ciffer. (9.1) refererer til, at du er i underafsnit nr. 7 og resultatet er det førte i denne sektion. Funktioner restart Funktioner i Maple skal defineres efter syntaksen f d x/udtryk i x Du kan benytte skabelonen f := a / y fra Expression-paletten når du skal definere funktioner, men da du skkert ofte kommer ud for at skulle definere en funktion, kan du lige så godt lære genvejen med det samme: Pilen laves ved at taste -> (altså en bindestreg efterfulgt af et 'større end' tegn). Definer en funktion ved:

12 f d x/x 2 K2 x C f := x/x 2 K2 x C (44) Herefter er funktionen klar til brug. Du kan fx udregne nogle funtionsværdier: f 2 ; f C3 ; f acb C3 2 K2 K1 a Cb 2 K2 a K2 b C (4) Der er et væld af funktioner indbgget i Maple. Du kan få en oversigt i hjælpesiderne, som du får adgang til via menuen Help > Maple Help. Prøv her at søge efter function, og find oversigten function,index i søgeresultaterne. Hvis du ved, hvad du skal have fat i fra hjælpesiderne, kan du med?-kommandoen få den ønskede hjælpeside frem straks:?index,function Hvis du prøver at definere en funktion ved f x d udtryk i x, brokker Maple sig, og spørger, om du er klar over, hvad du er i færd med. fte udelader man i matematik at skrive gangetegn mellem en variabel og en parentes, fx skriver man abcc, selvom man faktisk mener a$ b Cc. Den går ikke i Maple! a$ b Cc abcc a b Cc abcc (46) (47) Læg mærke til forskellen i output. Maple skriver ikke gangetegnet i (46), men sætter i stedet et lille mellemrum ind. I (47) opfattes a som navnet på en funktion, der skal anvendes på summen a Cb. Gør det derfor til en vane, at skrive alle gangetegn - undtagen dem, der står mellem et tal og en variabel, som fx 2 x. I Maple skal du bruge funktionsparenteser. I matematikbøger skriver man ofte fx ln x i stedet for ln x, og tilsvarende sin x i stedet for sin x. Det går ikke i Maple! Arbejdsområde 10 En parabel går gennem punkterne 1, 2, 2, 1 og 3, 3. Find forskriften. Vejledning: Start med i Maple at definere det generelle andengradspolynomium ved px = ax 2 Cbx Cc, og opskriv vha. forskriften de 3 ligninger med 3 ubekendte, de givne punkter giver anledning til. Løs dette ligningssystem. restart

13 Graftegning Det er meget simpelt at tegne funktionsgrafer i Maple. En enkelt kommando - plot - klarer det meste. Definer en funktion ved f d x/x 2 K6 f := x/x 2 K6 (48) Grafen kan tegnes i et standardvinduet, hvor x-intervallet er K10, 10, og y-intervallet er tilpasset x- intervallet (Autoskaleret). plot f x K10 K 0 10 x Hvis du vil ændre x-intervallet, angiver du dette som en parameter til plotkommandoen. Fx skal x-

14 intervallet K, angives som x =K.., hvor de to prikker laves med to tryk på punktum-tasten. plot f x, x =K K4 K x K Tilsvarende kan du kontrollere y-intervallet plot f x, x =K.., y =K10..10

15 10 y K4 K x K K10 Hvis du vil tegne en graf mere i samme koordinatsystem, så skal pakke de to funktioner sammen med [] eller {}. Benyt {}, hvis den rækkefølge, hvori graferne tegnes, er ligegyldig: g d x/k 3 2 x C2 g := x/k 3 2 x C2 (49) plot f x, gx, x =K.., y =K10..10

16 10 y K4 K x K K10 Arbejdsområde 11 Klik i graffeltet ovenfor. I det aktive grafområde bliver markøren til et sigtekorn. Før sigtekornet hen til et af skæringspunkterne, og du kan aflæse nogle tilnærmede værdier øverst i Maplevinduet: I dette vindue kan du lave en række ændringer i koordinatsystemet. Afprøv nogle af disse muligheder. Hvis du med sigtekornet klikker på en af graferne, markeres denne. Ved et højre-klik kan du så åbne for kontekst-menuen, hvor du finder en række indstillinger for den enkelte graf. Skift fx farve og tykkelse. Klik på Drawing-knappen, så skifter menuen til denne

17 Her kan du fx tilføje tekst til dine grafer. Prøv. Alle ændringer, du har lavet ovenfor, er midlertidige. Hvis du gentegner plottet (gå til plotkommandoen ovenfor, og tast Enter), så forvinder alle dine ændringer. Skal ændringerne være permanente, så skal de tilføjes selve plot-kommandoen. Hvis farverne skal være rød og blå, ændres plot-kommandoen til (fjern : i slutningen af linjen og taste Enter, hvis du vil se plottet) plot f x, gx, x =K.., y =K10..10, color = blue, green : Er farverækkefølgen den forventede? Ellers lav de fornødne ændringer. Vil du lave stiplede linjer mm. er kommandoen denne: plot f x, gx, x =K.., y =K10..10, color = blue, green, linestyle = dash, solid : Alle detaljer finder du her?plot,options Eksempel - verlevelse Nedenstående funktion er et eksempel på en såkaldt overlevelseskurve restart L d x/100$e Kx K x K L := x/100 e Kx C K1 $ x K Fx er L Dette skal tolkes således, at ved en alder på 6 år er 7% i live, altså 2% er døde. (0) (1) Grafen ser således ud (med en masse pynt): plot L x, x = , axes = boxed, title ='verlevelseskurve', titlefont = TIMES, ITALICS, 18, labels = alder, pct overlevende, labeldirections = horizontal, vertical

18 100 verlevelseskurve pct overlevende alder Arbejdsområde Hvor stor en procentdel er i live efter 80 år? Hvornår er halvdelen faldet fra? 3. I hvilket år er dødeligheden størst? Vejledning: Se på funktionen dx = LxC1 KL x, og indtegn denne i et nyt koordinatsystem. Vi vil nu prøve at undersøge betydningen af konstanten 0.00 i forskriften for L. Derfor parametriserer vi L med hensyn til denne konstant, og kalder den nye funktion L1. Denne er så en funktion af to variabler:

19 L1 d x, A /100$e A$ 1 Kx K x K L1 := x, A /100 e A 1Kx C K1 $ x K (2) L1 x, er således identisk med funktionen L x. Vi tegner L1 for forskellige værdier af A: plot L1 x, 0.01, L1 x, 0.00, L1 x, 0.000, x = , color = red, green, blue x Grafen for L1 bliver en 3D-flade, og de tre kurver, vi har tegnet ovenfor, kan opfattes som snit i denne flade. Lokalisér disse snit i fladen nedenfor. plot3d L1 x, A, x = , A = , axes = Framed

20 0,0 0,02 A 100 0, x Du kan rotere fladen ved at trække i den. Differentialregning Maple kan naturligvis også differentiere symbolsk. Til udregning af differentialkvotienter benyttes d skabelonen f fra Expression-paletten. Benyt tabulatoren til at hoppe fra pladsholder til pladsholder d x ved udfyldningen: d d x x2 2 x (3) d 2 x 3 Ce K2 x d x 6 x 2 K2 e K2 x (4) fte har du allerede defineret en funktion som fx f d x/e x K2 x K2 ()

21 f := x/e x K2 x K2 () og skal bruge den afledede funktion. Denne har du direkte adgang til via f': f' x e x K2 (6) Du bruge den afledede funktion f' som enhver anden funktion - herunder fx bestemme bestemme nulpunkter solve f' x =0, x ln 2 (7) Meget illustrativt kan det også være at tegne grafen for f' sammen med grafen fof f. Læg mærke til, at der, hvor f' er negativ, er f aftagende, og der, hvor f' er positiv, er grafen for f voksende. Desuden har f vandret tangent i de punkter, hvor f' er lig med 0. plot f x, f' x, x =K3..3, linestyle = solid, dash K3 K2 K x

22 Du kan nemt finde en tangent til grafen for f i punktet med 1. koordinaten x = 2 vha tangentligningen: t d x/f' 2$ x K2 Cf 2 t := x/ d dx f x x =2 x K2 Cf 2 (8) tx e 2 K2 x K2 Ce 2 K6 plot f x, tx, x =K3..3, y =K..1 1 (9) 10 y K3 K2 K x K Arbejdsområde 13 Find vha. differentialregning maksimum og minimum for funktionen f x = x x 2 C3 og tegn grafen for f og for den afledede funktion i samme koordinatsystem. Gå dernæst til Tools > Tutors > Calculus - Single Variable > Curve Analysis, og skift

23 standardfunktionen ud med funktionen ovenfor. Udforsk dette værktøj.

Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode)

Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode) Kom godt i gang med Maple 12 (Document mode) Adept Scientific 2008 I Document mode har du en helt blank side at skrive på, og altså ingen røde >. Når du åbner en ny side, ser øverste venstre hjørne således

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning.

OPGAVER 1. Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. OPGAVER 1 Opgaver til Uge 5 Store Dag Opgave 1 Løsning af ligningssystemer Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved håndregning. a) Find den fuldstændige

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde

Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde Praktiske Maple kommandoer og arbejdsmåde Options: I menuen "Tools" findes "Options". Under fanebladet "Interface" bør man vælge Default format for new worksheets = Worksheet Det bevirker, at man kan skelne

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Maple B-Niveau Copyright Knud Nissen 2012

Maple B-Niveau Copyright Knud Nissen 2012 Maple B-Niveau Copyright Knud Nissen 2012 Maple B-Niveau Contents 1 Reduktion af udtryk 1 11 Saml led med collect 1 12 Gang ind i parenteser med expand 1 13 Sæt uden for parentes med factor 2 14 Sæt på

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Kogebog til Maple 18

Kogebog til Maple 18 Kogebog til Maple 18 Indledning Udgave 6, Henrik Just, Hjørring Gymnasium og HF, august 2014 Kogebogen er ikke en lærebog i Maple, men en samling af korte opskrifter på brug af de faciliteter, der er relevante

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Maple 18 B-Niveau Copyright Knud Nissen & Maplesoft 2014

Maple 18 B-Niveau Copyright Knud Nissen & Maplesoft 2014 Maple 18 B-Niveau Copyright Knud Nissen & Maplesoft 2014 Maple 18 B-Niveau Contents 1 Løsning af ligninger i Maple 1 11 Solve-kommandoen og førstegradsligninger 1 metode1 (højreklik - cmd+klik) 1 metode

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer.

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer. [OPGAVER I NSPIRE] 1 Opgave 1) Opgaver og sider - dokumentstyring Start et nyt Nspire dokument. Følg herefter nedenstående trin. a) Opret to opgaver i dokumentet, hvor første opgave består to sider, og

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide

[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide [PJ] QuickGuide.dfw 07-04-003 QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du 0.66666 og ikke 0.66667. Du kan altså ikke

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE.

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE. WordMat er en udvidelse til Microsoft Word, som kan køre både på Windows og Mac. Windows-versionen kræver mindst Office 2007, og mac-versionen kræver mindst Office 2011. Du downloader WordMat her: http://goo.gl/wubvvo

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet Tænk, hvis alle elever kunne arbejde med procesorienteret matematik. En arbejdsform, hvor du forsøger at arbejde med matematiske problemstillinger

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Excel-2: Videre med formler

Excel-2: Videre med formler Excel-2: Videre med formler Tips: Du kan bruge Fortryd-knappen ligesom i Word! Du kan markere flere celler, som ikke ligger ved siden af hinanden ved at holde CONTROL-knappen nede Du kan slette indholdet

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Kom godt i gang. Mellemtrin

Kom godt i gang. Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

1. Graftegning i Derive

1. Graftegning i Derive 1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Excel-1: kom godt i gang!!

Excel-1: kom godt i gang!! Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om

Læs mere

Søren Christiansen 22.12.09

Søren Christiansen 22.12.09 1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

3. Gå til Tools Options Interface Default format for new worksheets og skift til Worksheet. Afslut med Apply Globally.

3. Gå til Tools Options Interface Default format for new worksheets og skift til Worksheet. Afslut med Apply Globally. 01005 Matematik 1 Introduktion til Maple side 1 Indledning. Matematikprogrammet Maple er ét blandt flere matematikprogrammer som på DTU bruges i undervisning og forskning. Her giver vi en kort introduktion

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere