Eksponentielle sammenhænge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Eksponentielle sammenhænge"

Transkript

1 Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul

2 Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller a og b om den eksponentielle sammenhæng y b a? 14 4 Potenser 18 5 Renteformlen 6 Opgaver hvor vi skal bestemme y eller i y b a 4 7 Hvordan kan vi beregne ændringer i y og for en eksponentiel sammenhæng? 6 8 Fordoblingskonstant og halveringskonstant 33 9 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem 39 Eksponentielle sammenhænge udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmat1dk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

3 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf Øvelse 11 I år er antal ansatte 1000, og man har vedtaget at dette antal hvert af de kommende år skal være 1, 1 gange så stort som det foregående år Om 1 år er antallet 1, 1 Om år er antallet , 1 Om 3 år er antallet ,1 1, 1 Om år er antallet Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem følgende to variable: antal år fra nu y antal ansatte Ligning: Øvelse 1 Antallet af nogle bakterier vokser sådan at antallet i løbet af en time bliver 1, 4 gange så stort Nu er antallet 340 Om 1 time er antallet 1, 4 Om timer er antallet 340 1, 4 Om 3 timer er antallet 340 1,4 1, 4 Om timer er antallet Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem følgende to variable: antal timer fra nu y antal bakterier Ligning: Øvelse 13 Vi køber 14 enheder af et stof Det er et radioaktivt stof, så der bliver automatisk mindre og mindre af det Stoffet henfalder sådan at mængden i løbet af et år bliver ganget med 0, 96 Om 1 år er mængden 0, 96 Om år er mængden 14 0, 96 Om 3 år er mængden 14 0,96 0, 96 Om år er mængden Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem følgende to variable: antal år efter købet y mængden af det radioaktive stof Ligning: Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

4 Øvelse 14 Antallet af celler i en næringsopløsning vokser hurtigt Antallet af celler bliver hver time ganget med samme tal Dette tal kan vi udregne ud fra de tal som allerede er skrevet i tabellen (a) Vis hvordan vi kan gøre dette: (b) Udfyld resten af tabellen Antal timer fra nu: Antal celler: (c) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem følgende to variable: antal timer fra nu y antal celler Ligning: Øvelse 15 En person indtager enheder af et rusmiddel I kroppen nedbrydes rusmidlet på sådan en måde at mængden hvert døgn bliver ganget med samme tal antal døgn fra nu y antal enheder af rusmidlet der er tilbage i kroppen : y: (a) Udfyld resten af tabellen (b) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem y og : Øvelse 16 I koordinatsystemet er afsat et af punkterne på grafen der viser sammenhængen mellem følgende variable: antal timer fra nu y antal bakterier (a) Om 1 time er der bakterier Hver time ganges antallet af bakterier med 1, 75 (b) Om timer er der bakterier (c) Afsæt et grafpunkt der viser svaret på (b) (d) Om 3 timer er der bakterier (e) Afsæt et grafpunkt der viser svaret på (d) (f) Afsæt nogle flere grafpunkter (g) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem y og : Eksponentielle sammenhænge, udgave side 009 Karsten Juul

5 Øvelse 17 I koordinatsystemet er afsat to punkter på grafen der viser sammenhængen mellem følgende to variable: antal timer fra nu y temperatur i C (a) Nu er temperaturen C (b) Om 1 time er temperaturen C Hver time ganges temperaturen med samme tal (c) Om timer er temperaturen C (d) Vis svaret fra (c) ved at afsætte et grafpunkt i koordinatsystemet (e) Afsæt flere grafpunkter i koordinatsystemet (f) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem y og : Øvelse 18 Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: temperaturen (målt i C) y varens holdbarhed (målt i døgn) (a) Når temperaturen er 1 C, er holdbarheden døgn (b) Når temperaturen er C, er holdbarheden døgn Hver gang temperaturen bliver én grad højere, bliver holdbarheden ganget med et bestemt tal (c) Dette tal er (d) Vis hvordan dette tal kan bruges til at udregne holdbarheden når temperaturen er 3 C: (e) Hvis vi aflæser på grafen, så får vi at når temperaturen er 3 C, er holdbarheden døgn (f) Når temperaturen er 0 C, er holdbarheden døgn (g) Når temperaturen er 10 C, er holdbarheden døgn (h) Når temperaturen er C, er holdbarheden døgn (i) Skriv en ligning der viser sammenhængen mellem y og : Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

6 DEFINITION 19 En sammenhæng mellem to variable og y er eksponentiel hvis den kan beskrives med en ligning på formen y b a hvor a og b er positive Eksempel 110 (a) Ligningen y 3 0, 4 er på formen y b a med a 0, 4 og b 3 Ifølge definition 19 er der altså tale om en eksponentiel sammenhæng (b) Ligningen y 0,4 3 er på formen y b a med a 3 og b 0, 4 Ifølge definition 19 er der altså tale om en eksponentiel sammenhæng (c) Ligningen y er på formen y 1,081 1,6 Bemærk! b a med a 1, 081 og b 1, 6 Ifølge definition 19 er der altså tale om en eksponentiel sammenhæng Øvelse 111 (a) (b) y 1,7 1, 019 er på formen y y 094 1, 4 er på formen (c) y 3,16 0, 08 er på formen y (d) y 5,3 0, 8 er på formen y (e) y 8 er på formen y (f) y 0,98 0, 79 er på formen y y b a med a og b b a med a og b b a med a og b b a med a og b b a med a og b b a med a og b Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

7 SÆTNING 11 Grafen for en eksponentiel sammenhæng (a) er en krum kurve uden knæk (b) ligger over -aksen (c) kommer vilkårlig tæt på -aksen Øvelse 113 Ligningen y 0,4 1, 6 viser sammenhængen mellem to variable y og (a) Find ud af hvad y er når 1, og afsæt denne oplysning som et punkt i koordinatsystemet Udregning: y (b) Udfyld tabellen, og tegn grafen ( husk 11 (a) ) : y: Øvelse 114 Ligningen y 1,5 0, 4 viser sammenhængen mellem to variable y og Udfyld tabellen og tegn grafen : y: Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

8 SÆTNING 115 En eksponentiel sammenhæng y b a er (a) aftagende hvis 0 < a < 1, dvs hvs a er mellem 0 og 1 (b) voksende hvis 1 < a, dvs hvs a er større end 1 Øvelse 116 Figuren viser graferne for tre eksponentielle sammenhænge y A, B og C b a som vi kalder For hver af dem skal du afgøre om 0 < a < 1 eller 1 < a og begrunde det ved hjælp af sætning 115 A B C Skriv 0 < a < 1 eller 1 < a Skriv voksende eller aftagende For A er da A er For B er da B er For C er da C er Øvelse 117 For hver af de eksponentielle sammenhænge y voksende eller aftagende, og begrunde det b a nedenfor skal du skrive om den er (a) Sammenhængen (b) Sammenhængen (c) Sammenhængen (d) Sammenhængen (e) Sammenhængen y 03 a >1 a 1, er for da y 4 0,6, er for da y , er for da y 71 1,6 0, er for da y 1, 0013 voksende er for da a a a a Øvelse 118 (a) Et punkt kan trækkes frem og tilbage på grafen for y 0, Hvis punktets -koordinat bliver større, vil dets y-koordinat blive (b) Et punkt kan trækkes frem og tilbage på grafen for y 100 0, 995 Hvis punktets -koordinat bliver større, vil dets y-koordinat blive (c) Et punkt kan trækkes frem og tilbage på grafen for y 4 0, 011 Hvis punktets -koordinat bliver større, vil dets y-koordinat blive Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

9 Procent DEFINITION 1 At der om et tal gælder at tallet er p % af et andet tal betyder at p tallet er 100 af det andet tal Eksempel Spørgsmål: Hvor mange procent er 7 af 0? Følger af definition 1 7 0, ,35 35% så Du skal ikke i al fremtid skrive 7 er 35 % af 0 så meget, men du skal kunne gennemføre udregningen når der er grund til at være omhyggelig Øvelse 3 Se i eksempel hvad du skal gøre så er % af % Øvelse 4 Se i eksempel hvad du skal gøre så 0,15,5 0,15 er % af, % Øvelse 5 (a) 46, er % af 550 (b) 35 er % af 5 (c) 45 er % af 40 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

10 SÆTNING 6 Vi kan udregne p % af et tal ved at p gange tallet med 100 Eksempel 7 Spørgsmål: Udregn 1 % af 40 Da 1 1 % 0,1 100 skal vi gange 40 med 0, 1 : 40 0,1 4,8 Konklusion: 1 % af 40 er 4, 8 Du plejer nok at skrive men dette kan vi ikke bruge i de udregninger vi snart kommer til, så du er nødt til at vænne dig til i stedet at skrive 40 0,1 Øvelse 8 Se i eksempel 7 hvad du skal gøre 6,5% 100 6,5% af Øvelse 9 Se i eksempel 7 hvad du skal gøre 4,9% 100 4,9% af Øvelse 10 Se i eksempel 7 hvad du skal gøre 10 % % af Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

11 DEFINITION 11 At betyder at et tal er p % større end et andet tal forskellen mellem de to tal er p % af det mindste tal Eksempel 1 Spørgsmål: Hvor mange procent er 40 større end 3? Forskellen på 40 og 3 er Vi skal regne ud hvor mange procent 8 er af 3 : 8 3 0, ,5 5% er 5 % større end 3 Øvelse 13 (a) Hvad er forskellen mellem 60 og 40? (b) Hvor mange procent er denne forskel af 40? (c) Hvor mange procent er denne forskel af 60? (d) Hvor mange procent er 60 større end 40? Øvelse 14 (a) Hvor mange procent er 30 større end 0? (b) Hvor mange procent er 50 større end 40? (c) Hvor mange procent er 90 større end 80? Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

12 DEFINITION 15 At betyder at et tal er p % mindre end et andet tal forskellen på de to tal er p % af det største tal Eksempel 16 Spørgsmål: Hvor mange procent er 3 mindre end 40? Forskellen på 40 og 3 er Vi skal regne ud hvor mange procent 8 er af 40 : , , 0% er 0 % mindre end 40 Øvelse 17 (a) Hvad er forskellen mellem 60 og 48? (b) Hvor mange procent er denne forskel af 48? (c) Hvor mange procent er denne forskel af 60? (d) Hvor mange procent er 60 større end 48? (e) Hvor mange procent er 48 mindre end 60? Øvelse 18 (a) Hvor mange procent er 34 større end 17? (b) Hvor mange procent er 17 mindre end 34? Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

13 SÆTNING 19 For at udregne skal vi tallet der er p % større end starttallet, gange starttallet med 1 + r hvor p r 100 Eksempel 0 Spørgsmål: Udregn det tal der er 5 % større end 3 5 r 0, r 1+ 0,5 1,5 Vi skal gange 3 med 1, 5 : 3 1,5 40 Det tal der er 5 % større end 3, er 40 Vi kommer snart til nogle udregninger hvor det er nødvendigt at skrive udregningen sådan Bemærk: 3 er 100 % af 3 3 0,5 8 er 5 % af 3 3 1,5 40 er 15 % af 3 3 1,5 40 er 5 % større end 3 Studér disse tal grundigt Så går der måske noget op for dig Øvelse 1 Se i eksempel 0 hvad du skal gøre Vi vil udregne det tal der er 1,8 % større end 500 r r Det tal der er 1,8 % større end 500, er 500 Øvelse (a) 100 % af 50 er (b) 30 % af 50 er (c) 130 % af 50 er (d) er 30 % større end 50 (e) 50 1, 30 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

14 SÆTNING 3 For at udregne skal vi tallet der er p % mindre end starttallet, gange starttallet med 1 + r hvor p r 100 Eksempel 4 Spørgsmål: Udregn det tal der er 0 % mindre end 40 0 r 0, r 1+ ( 0,0) Vi skal gange 40 med 0, 80 : 40 0,80 3 0,80 Det tal der er 0 % mindre end 40, er 3 Vi kommer snart til nogle udregninger hvor det er nødvendigt at skrive udregningen sådan Bemærk: 40 er 100 % af ,0 8 er 0 % af ,80 3 er 80 % af ,80 3 er 0 % mindre end 40 Studér disse tal grundigt Så går der måske noget op for dig Øvelse 5 Se i eksempel 4 hvad du skal gøre Vi vil udregne det tal der er 5 % mindre end 460 r r Det tal der er 5 % mindre end 460, er 460 Øvelse 6 (a) 100 % af 50 er (b) 30 % af 50 er (c) 70 % af 50 er (d) er 30 % mindre end 50 (e) 50 0, 70 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

15 Øvelse 7 Da vi både har ganget og divideret med 100, har vi ikke ændret tallet Vi har ganget med 100 ved at rykke kommaet pladser mod højre % betyder "hundrededele" 1, (a) Da 1,3 130%, gælder: Når vi ganger et tal med 1,3, får vi et facit der er 130 % af tallet Når vi ganger et tal med 1,3, får vi et facit der er 30 % større end tallet (b) Udfyld efter samme princip som i (a): 1,045 Da 1,045 %, gælder Når vi ganger et tal med 1,045, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 1,045, får vi et facit der er % større end tallet 0,78 (c) Da 0,78 %, gælder Når vi ganger et tal med 0,78, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 0,78, får vi et facit der er % mindre end tallet Øvelse 8 (a) Når vi ganger et tal med 1,6, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 1,6, får vi et facit der er % større end tallet (b) Når vi ganger et tal med 0,965, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 0,965, får vi et facit der er % mindre end tallet (c) Når vi ganger et tal med 0,1, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 0,1, får vi et facit der er % mindre end tallet (d) Når vi ganger et tal med 1,108, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 1,108, får vi et facit der er % større end tallet (e) Når vi ganger et tal med 1,6, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 1,6, får vi et facit der er % større end tallet (f) Når vi ganger et tal med 0,87, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med 0,87, får vi et facit der er % mindre end tallet (g) Når vi ganger et tal med, får vi et facit der er % af tallet Når vi ganger et tal med, får vi et facit der er % større end tallet Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

16 3 Hvad fortæller a og b om den eksponentielle sammenhæng y b a? Eksempel 31 Hvad fortæller a og b? Mellem de variable antal uger efter at foreningen blev oprettet er der følgende sammenhæng: 65 1, y y antal medlemmer Da 1, 0 1 Et tal i nulte giver altid 1 65 gange 1 er 65 Når 0 er y lig 65 Når 1 er y lig 65 gange 1, Når er y lig 65 gange 1, gange 1, Når 3 er y lig 65 gange 1, gange 1, gange 1, Vi ser at hver uge bliver antal medlemmer ganget med 1,, dvs hver uge bliver antal medlemmer 0 % større Tallene 1, og 65 fra ligningen 65 1, y fortæller følgende om antallet af medlemmer: Hver uge bliver antallet af medlemmer 0 % større Da foreningen blev oprettet, var der 65 medlemmer Da 1, 1 1, Et tal i første giver altid tallet selv Da 1, 1, 1, Øvelse 3 Om nogle bakterier i en næringsopløsning gælder y 000 1, 43 hvor y er antallet af bakterier og er antal timer efter at bakterierne blev anbragt i skålen 0 Når 0 er y 000 1,43 dvs y 000 Når 1 er Når er Når 3 er 1 y 000 1,43 dvs y 000 1, 43 y 000 1,43 dvs y 000 1,43 1, 43 3 y 000 1,43 dvs y 000 1,43 1,43 1, 43 Vi ser at hver time bliver antal bakterier ganget med, dvs hver time bliver antal bakterier % større Tallene 1, 43 og 000 fra ligningen y 000 1, 43 fortæller følgende om antallet af bakterier: Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

17 Øvelse 33 (a) Når 9, er y 000 1, ,43 (b) Når 10, er y 000 1, ,43 (c) Facit i (b) er enheder større end facit i (a) (d) Facit i (c) er % af facit i (a) (e) Er facit i (d) i overensstemmelse med det du i øvelse 3 skrev om hvad 1, 43 fortæller? Denne øvelse viser hvordan du bør kontrollere dine svar I (a) og (b) valgte vi -værdierne 9 og 10 Vi kunne lige så godt have valgt feks 0 og 1 eller 1,7 og 13, 7 Det afgørende er at forskellen på de to -værdier er 1 enhed 9 10 Øvelse 34 Man har indsprøjtet et antal enheder af et stof i et dyr Der gælder y 4 0, 79 hvor y er antal enheder i kroppen, og er antal timer efter indsprøjtningen (a) Når 0 er y (b) Når 1 er y (c) Når er y (d) Tallene 4 og 0, 79 fra ligningen kroppen: y 4 0, 79 fortæller følgende om mængden af stoffet i Øvelse 35 Kontroller dit svar om 0, 79 i 34 (d) med metoden fra 33 : Når, er y Når, er y er % mindre end Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

18 Eksempel 36 Spørgsmål: Om en plante oplyses: (1) højden vokser med 5,6 % pr uge () højden var 7,0 cm da planten blev købt Opskriv en ligning der viser sammenhængen mellem plantens højde og tidspunktet Vi vælger følgende betegnelser: antal uger efter at planten blev købt y højden (i cm) Nul uger efter købet var højden 7,0 cm, dvs Når 0 er y 7 En uge senere er planten 5,6% højere For at udregne det tal der er 5,6% større ganger vi med 1,056 : Når 1 er y 7 1, 056 Efter endnu en uge er højden 5,6% større end 7 1, 056 : Når er y 7 1,056 1, 056, dvs y 7 1,056 Osv Vi kan altså beskrive sammenhængen mellem plantens højde og tidspunktet med ligningen y 7,0 1,056 hvor y er højde i cm og er antal uger efter køb Bemærkning: Det er vigtigt at vi skriver hvad vi har valgt at lade og y stå for ("antal uger efter køb" og "højde i cm") da ligningen er ubrugelig hvis læseren ikke ved dette Øvelse 37 Se i eksempel 36 hvad du skal gøre Om en vare oplyses: I år 000 er forbruget 38 ton, og forbruget vokser 13,8 % hvert år Vi vil skrive en ligning der viser sammenhængen mellem forbrug og tidspunkt: Vi vælger følgende betegnelser: antal år efter y Nul år efter var forbruget, dvs Når er y Et år senere er forbruget % større For at udregne det tal der er % større ganger vi med : Når 1 er y Når er y Den søgte ligning er Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

19 Øvelse 38 I denne øvelse er antal måneder efter maj 008 og y omsætningen (i mio kr) (a) Omsætningen i butik A stiger med 0% hver måned, og i maj 008 var omsætningen 3 mio kr : 0 1 y: Ligning der viser sammenhængen mellem y og : Brug ligningen til at udregne y når er y (b) Omsætningen i butik B stiger med 0, mio kr hver måned, og i maj 008 var omsætningen 3 mio kr : 0 1 y: Ligning der viser sammenhængen mellem y og : Brug ligningen til at udregne y når er y (c) Omsætningen i butik C falder med 0% hver måned, og i maj 008 var omsætningen 3 mio kr : 0 1 y: Ligning der viser sammenhængen mellem y og : Brug ligningen til at udregne y når er y (d) Omsætningen i butik D falder med 0, mio kr hver måned, og i maj 008 var omsætningen 3 mio kr : 0 1 y: Ligning der viser sammenhængen mellem y og : Brug ligningen til at udregne y når er y Øvelse 39 Når man på en skærm ændrer afstanden mellem to punkter A og B, så ændres automatisk afstanden mellem to andre punkter C og D Følgende er oplyst: Afstanden mellem C og D bliver 14, % mindre hver gang afstanden mellem A og B bliver 1 enhed større, og når A og B er sammenfaldende, er afstanden mellem C og D lig 3,7 enheder Opskriv en ligning der viser sammenhængen mellem afstand fra A til B og afstand fra C til D Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

20 4 Potenser SÆTNING 41 Nogle regler om potenser Når a, c, r og s står for tal hvor a og c er positive, gælder 0 a 1 a a 3 a osv 1 a a a a a a a r a ( a c) s r a a r+ s r c r Når Når a r c er a r c a r c er log( c) r, a 1 log( a) Eksempel 4 Se 41 Spørgsmål: Omskriv følgende udtryk så det bliver nemmere at indtaste på lommeregneren: B 500 1,03 1,03 1,03 1,03 B 500 1,03 4 Øvelse 43 Se 41 og 4 Omskriv følgende udtryk så de bliver nemmere at indtaste på lommeregneren: A 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 1,07 C 300 0,961 0,961 0, 961 A C Eksempel 44 Se 41 Spørgsmål: Reducér 3 t+ 1 3 t+ 1 t 1 3 t 3 t 6 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

21 Øvelse 45 Se 41 og 44 Reducér hvert af udtrykkene: 0,5 t+1 0, t+ Eksempel 46 Se 41 Spørgsmål: Hvad skal vi gange t + 1 t 1 t t 1,3 med for at få 1,3 1,3 1,3 1,3 1, 3 1 1,3 t +? t Heraf ser vi at vi skal gange 1,3 med 1, 3 for at få 1 1,3 t + Øvelse 47 Se 41 og 46 Hvad skal vi gange t 4 3 med for at få 4 3 t+? 4 3 t + Heraf ser vi at vi skal gange t 4 3 med for at få 4 3 t+ Eksempel 48 Se 41 Spørgsmål: Reducér 10 (3 t) 10 (3 t ) 10 3 t 10 9 t 90t Øvelse 49 Se 41 og 48 Reducér hvert af udtrykkene: 3 ( t ) 0, 5 4(0,5t ) Eksempel 410 Se 41 Spørgsmål: Hvad skal vi gange t med for at få ( 4t )? ( 4t) 4 t 16 t Heraf ser vi at vi skal gange t med 16 for at få ( 4t ) Øvelse 411 Se 41 og 410 Hvad skal vi gange 0,7(t ) 3 Heraf ser vi at vi skal gange 3 0,7t med for at få 3 3 0,7(t )? 0,7t med for at få 0,7(t ) 3 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

22 Eksempel 41 Se 41 Spørgsmål: Bestem i ligningen 3 4, 65,4 Vi vil bestemme i ligningen,4 3 4,65 Ved at dividere begge sider med 3 får vi,4 1,55 Heraf får vi,4 1,55 Ved at udregne højresiden på lommeregneren får vi at dvs 1,003L 1,0 Øvelse 413 Se 41 og 41 3 Bestem i ligningen 5,5 6, 7 Eksempel 414 Se 41 Spørgsmål: Bestem i ligningen 10 1,05 11, 3 Vi vil bestemme i ligningen 10 1,05 11,3 Ved at dividere begge sider med 10 får vi 1,05 1,13 Heraf får vi log(1,13) log(1,05) Ved at udregne højresiden på lommeregner får vi dvs,5049l,5 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

23 Øvelse 415 Se 41 og 414 Bestem i ligningen 1,5 4, 5 Øvelse 416 Se 41, 41 og 414 Løs hver af ligningerne 3 og 3 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

24 5 Renteformlen Eksempel 51 Hvorfor gælder renteformlen? Vi sætter kr i banken til en fast årlig rente på 5,8% Vi bruger sætning 19: r 5, r 1,058 0,058 Heraf ser vi: Vi skal gange beløbet på kontoen med 1,058 for at få det beløb der er 5,8% større Beløbene på kontoen kan beregnes sådan: Beløbet , 058 skal ganges med 1, 058 Start: for at få det beløb der er 5,8% større Efter 1 år: , 058 Efter år: ,058 1, 058 M Efter 6 år: ,058 1,058 1,058 1,058 1,058 1, 058 Dette kan skrives kortere ved hjælp af potens: (1) Efter 6 år: , , Man bruger ofte følgende symboler: hvor K K (1 r) 0 + n 6 er antallet af terminer n 6 r 5,8% 0,058 er den procent der tilskrives i rente hver termin K er startkapitalen 0 K , er kapitalen efter 6 terminer En termin er den tid der går mellem to rentetilskrivninger I dette eksempel er en termin lig et år SÆTNING 5 Renteformlen Hvis vi indsætter et beløb på en konto, så er hvor K K (1 r) 0 + n n er antallet af terminer r er den procent der tilskrives i rente hver termin K 0 er startkapitalen K er kapitalen efter n terminer Eksponentielle sammenhænge, udgave side 009 Karsten Juul

25 Eksempel 53 Hvordan kan vi udregne antallet af terminer? Spørgsmål: Vi sætter kr i banken til en fast årlig rente på 5,8% Efter hvor mange år er beløbet vokset til kr? Vi bruger renteformlen n K K0 (1 + r) hvor Antal terminer n det tal vi skal bestemme Renteprocenten r 5,8% 0, 058 Startkapitalen K Kapital efter n terminer K Ved at sætte disse tal ind i renteformlen får vi (1 + 0,058) Vi dividerer begge sider med : Heraf får vi dvs så n n efter n 1, log ( ) log(1,058) 1,8 13 år er beløbet vokset til ca kr n Bemærkning: Beløbet på kontoen vokser eksponentielt Hvis vi sætter kr i banken til en fast årlig rente på 5,8%, så følger af renteformlen at kapitalen K efter n år er n K , 058 Ifølge definition 19 er denne sammenhæng eksponentiel Vi har blot brugt K og n i stedet for y og Øvelse 54 De 4 opgavetyper med renteformlen I hvert af tilfældene (1)-(4) skal du gøre følgende: Skriv for hvert af symbolerne n, r, K 0 og K i renteformlen talværdien eller skriv at den er ukendt, og bestem det ukendte tal (1) Vi sætter kr i banken til en fast årlig rente på 6 % Efter hvor mange år er beløbet vokset til 8000 kr? () Vi sætter et beløb i banken til en fast årlig rente på 4,5 % Efter 8 år er beløbet vokset til 180 kr Hvor stort et beløb satte vi i banken? (3) Vi sætter 500 kr i banken til en fast årlig rente på 3 % Hvor stort et beløb står på kontoen efter efter 16 år? (4) Vi sætter 700 kr i banken til en fast årlig renteprocent Efter 15 år er beløbet vokset til 1067 kr Bestem den årlige renteprocent Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

26 6 Opgaver hvor vi skal bestemme eller y i y b a Eksempel 61: For nogle dyr gælder (1) y 0,3 1, hvor y er vægten, målt i gram, og er alderen, målt i uger Spørgsmål (a): Hvad er vægten af et dyr hvis alder er 13 uger? Under ligningen (1) står at er alderen, så da det oplyste tal 13 er alderen, skal 13 indsættes på 's plads: y 0,3 1, 13 Ved at udregne dette får vi y 3, Under ligningen (1) står at y er vægten, så et 13 uger gammelt dyr vejer 3, g Spørgsmål (b): Hvilken alder har et dyr hvis vægt er 6,7 g? Under ligningen (1) står at y er vægten, så da det oplyste tal 6,7 er vægten, skal 6,7 indsættes på y's plads: 6,7 0,3 1, For at løse denne ligning starter vi med at dividere begge sider med 0,3: 6,7 0,3 1, 0,3 0,3 Vi forkorter brøken på højre side og får 6,7 0,3 1, Denne ligning har løsningen,7 ( 6 ) log 0, 3 log(1,) Ved at udregne dette får vi 17 Under ligningen (1) står at er alderen, så et dyr hvis vægt er 6,7 g, har alderen 17 uger Eksemplet fortsætter på næste side Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

27 I det følgende lader vi t stå for et tal som endnu ikke er oplyst Spørgsmål (c): Hvilken alder har et dyr hvis vægt er t gram? Under ligningen (1) står at y er vægten, så da det oplyste tal t er en vægt, skal t indsættes på y's plads: t 0,3 1, For at løse denne ligning starter vi med at dividere begge sider med 0,3: t 0,3 1, 0,3 0,3 Vi forkorter brøken på højre side og får t 1, 0,3 Denne ligning har løsningen log( 0 t, 3) log(1,) Under ligningen (1) står at er alderen, så for et dyr hvis vægt er t gram, er alderen i uger log( 0 t, 3) () log(1,) Bemærkning: Hvis t 6, 7 får vi af () at alderen i uger er ( 6,7 ) log 0, 3 17 log(1,) Øvelse 6 For et firma gælder y 68 1, 14 hvor y er antal ansatte, og er antal år efter 00 Hvor mange ansatte er der i 005? Hvilket år er antallet af ansatte ca 150? Øvelse 63 Mellem to variable og y er der følgende sammenhæng: y 4 0, 73 Hvad er når y er 48k? (k står for et tal vi ikke har fået oplyst Svaret er et udtryk der indeholder k) Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

28 7 Hvordan kan vi beregne ændringer i y og for en eksponentiel sammenhæng? Eksempel 71: For en plante gælder (1) y 50 1, hvor y er prisen i kr, og er vægten, målt i gram Spørgsmål (a): Nu er plantens vægt gram Hvor meget højere end nu vil prisen være når planten er blevet 1 gram tungere? er Spørgsmålet er: hvor meget større bliver y når bliver 1 enhed større? Når er blevet 1 enheder større, så har størrelsen 3 Vi bestemmer y når er og 3: Når er y 50 1, 7 3 Når 3 er y 50 1, 86, 4 Da voksede fra til 3, så voksede y altså fra 7, til 8,64 Nu kan vi nemt regne ud hvor meget større y er blevet: 86,4 7 14,4 Der gælder altså: Prisen steg 14,4 kr da vægten steg fra gram til 3 gram Bemærkning: På samme måde som ovenfor kan vi beregne hvor meget prisen stiger når vægten stiger fra 3 gram til 4 gram Se tabellen nedenfor Vi ser: prisen stiger stiger ikke med samme beløb hver gang vægten stiger 1 gram Hvis der havde været tale om en lineær sammenhæng stige med a kr hver gang vægten stiger med 1 gram y a + b, så ville prisen y 7 86,4 103, , , 8 Spørgsmål (b): Hvor mange procent stiger prisen når vægten stiger fra gram til 3 gram? Prisen stiger fra 7 kr, og stigningen er 14,4 kr I procent er denne stigning 14,4 0, 0% 7 Prisen stiger 0 % når vægten stiger fra gram til 3 gram Eksemplet fortsætter på næste side Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

29 Bemærkning: På samme måde som ovenfor kan vi beregne hvor mange procent prisen stiger når vægten stiger fra 3 gram til 4 gram Se tabellen nedenfor Vi ser: prisen stiger med samme procent ved de to vægtstigninger på 1 gram y 7 86,4 103,68 + 0% + 0% I det følgende står t for et tal som endnu ikke er kendt Spørgsmål (c): Når starter med at have værdien t og derefter bliver gjort 1 enhed større, hvor mange procent større bliver så y? Værdien af øges fra t til t+1 Når t er y 50 1, t r+ s Af potensreglen a a t+ 1 t 1 får vi 1, 1, 1, Af potensreglen får vi 1, 1 1, a r 1 a s a t+ 1 t 1 t Når t+ 1 er y 50 1, 50 1, 1, 50 1, 1, Når vi ganger t t 50 1, med 1,, får vi 50 1, 1, Dvs y bliver 0 % større når fra værdien t øges med 1 Bemærkning: t kan stå for ethvert tal, så y bliver 0 % større når vi gør én enhed større uanset hvilken værdi starter med y % Øvelse 7 En pakke står i et koldt lokale Der gælder y 83 0, 6 hvor y er temperaturen i C af pakkens indhold, og er antal timer siden midnat (a) Hvor mange grader falder temperaturen fra kl 1 til? (b) Hvor mange procent falder temperaturen fra kl 1 til? (c) Hvor mange grader falder temperaturen fra kl til 3? (d) Hvor mange procent falder temperaturen fra kl til 3? Øvelse 73 En pakke står i et koldt lokale Der gælder y 97 0, 53 hvor y er temperaturen i C af pakkens indhold, og er antal timer siden midnat Hvor mange procent falder temperaturen fra kl t til kl t + 1? Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

30 Eksempel 74 I dette eksempel står både a, b og t for tal som endnu ikke er oplyst Ligningen (1) y b a viser sammenhængen mellem to variable y og Spørgsmål (a): Hvilken ændring sker i værdien af y, når ændrer værdi fra t til t + 1? Vi regner ud hvad y er når er t og t + 1 : Når t er y t b a t+ 1 t 1 Når t+ 1 er y b a b a a b a a Vi ser at når værdien af ændres fra t til t+1, så ændres værdien af y fra t a t b til b a a t Dvs værdien af y bliver ganget med a når ændrer værdi fra t til t + 1 Bemærkning: Da t ikke indgår i svaret, gælder altså at ligegyldig hvilken værdi starter med at have, så vil y blive ganget med a når bliver 1 enhed større: y + 1 a Hvis a er 0,3, er a 1 0,7 70% så hver gang bliver 1 enhed større, vil y blive 70 % mindre Bemærkning: Ovenstående udregning viser at regel 75 (a) er korrekt Spørgsmål (b): Hvad er y når er 0? Når 0 er y b a b 1 b Dvs y er b når er 0 0 Bemærkning: Ovenstående udregning viser at regel 75 (b) er korrekt SÆTNING 75 Betydningen af a og b i y b a For en eksponentiel sammenhæng y b a, gælder at (a) hver gang bliver 1 enhed større, bliver y ganget med a (b) når er 0, er y lig b Egenskaben (a) formuleres normalt ved hjælp af procent I eksempel 76 er vist hvordan vi kan finde procenten når vi kender a Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

31 Eksempel 76 Ligningen () y 80 0, 95 viser sammenhængen mellem følgende to variable dybden (målt i cm) under væskens overflade (3) y lysintensiteten Spørgsmål: I ligningen () står tallet 0,95 Hvad fortæller tallet 0,95 om lysintensiteten? Reglen om betydningen af a (sætning 75 (a)) siger at hver gang bliver 1 enhed større, bliver y ganget med a Heri erstatter vi a, og y med oplysningerne fra () og (3): (4) Hver gang dybden bliver 1 enhed større, bliver lysintensiteten ganget med 0,95 Hvis vi måler lysintensiteten et sted i væsken, og derefter måler dem 1 cm længere nede, så vil den sidste måling altså være 95 % af den første, dvs den sidste måling er 5 % mindre end den første For hver cm dybden øges, bliver lysintensiteten 5% mindre Dette er hvad tallet 0,95 fortæller om lysintensiteten Spørgsmål (b): I ligningen () står tallet 80 Hvad fortæller tallet 80 om lysstyrken? Reglen om betydningen af b (sætning 75 (b)) siger at når er 0, er y lig b Heri erstatter vi b, og y med oplysningerne fra () og (3): Når dybden under overfladen er 0, er lysstyrken lig 80 Vi omformulerer dette til Ved væskens overflade er lysstyrken80 Dette er hvad tallet 80 i ligningen () fortæller os om lysstyrken Bemærkning: Nedenfor er anskueliggjort hvad tallene 0,95 og 80 i ligning () fortæller om lysstyrken: Dybde (cm) Lysintensiteten , 68,6 5% 5% 5% Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

32 Øvelse 77 Om nogle bakterier i en næringsopløsning gælder y 350 1, 18 hvor y er antallet af bakterier og er antal timer efter at bakterierne blev anbragt i skålen Hvad fortæller tallene 350 og 1, 18 om antallet af bakterier? Øvelse 78 I et computerspil afhænger gevinsten af den temperatur der opnås Der gælder y 110 0, 98 hvor er temperaturen (i C ) og y er antal mønter man vinder Hvad fortæller tallene 110 og 0, 98 om spillet? Øvelse 79 Man har indsprøjtet et antal enheder af et stof i et dyr Der gælder y 16 0, 83 hvor y er antal enheder i kroppen, og er antal timer efter indsprøjtningen Hvad fortæller tallene 16 og 0, 83 om mængden af stoffet i kroppen? Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

33 Eksempel 710 For en plante gælder y 50 1, hvor y er prisen i kr, og er vægten, målt i gram Spørgsmål (a): Nu er plantens vægt 0,6 gram Hvor mange procent højere end nu vil prisen være når planten er blevet 0,4 gram tungere? er 0,6 Spørgsmålet er: hvor meget større bliver y når bliver 0,4 enheder større? Når er blevet 0,4 enheder større, så har størrelsen 1 Vi bestemmer y når er 0,6 og 1: 0,6 Når 0, 6 er y 50 1, 55, 78 Når 1 er y 50 1, 1 60, 00 Da voksede fra 0,6 til 1, så voksede y altså fra 55,78 til 60,00 Nu kan vi regne ud hvor meget større y er blevet: 60,00 55,78 4, I procent er denne stigning 4, 0,076 7,6% 55,78 Der gælder altså: Prisen steg 7,6% da vægten steg fra 0,6 gram til 1 gram Bemærkning: I tabellen er anskueliggjort hvad det er vi har regnet ud ovenfor + 0,6 1 y 55,78 60,00 + 7,6% Spørgsmål (b): Nu er prisen 160 kr Hvor meget tungere end nu vil planten være når den er blevet 31 % dyrere? y er 160 Når y er blevet 31 % større, så har y størrelsen 160 1,31 09, 6 Vi bestemmer når y er 160 og 09,6 : Ved at løse ligningen , får vi 6, 38 Ved at løse ligningen 09,6 50 1, får vi 7, 86 Vi udregner hvor meget større er blevet: 7,86 6,38 1,48 Der gælder altså Når planten er bevet 31 % dyrere, så vil den være 1,48 gram tungere Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

34 Øvelse 711 Om en plante er oplyst at y 15 1, 08 hvor y er højden i cm, og er antal uger efter udplantningen Hvor mange cm og hvor mange procent bliver planten højere i de første 5 uger efter udplantningen? Øvelse 71 Et radioaktivt stof anbringes i en beholder Der gælder y 130 0, 89 hvor y er antal gram der er tilbage, og er antal år efter at stoffet blev anbragt i beholderen (a) Hvor mange gram og hvor mange procent aftager mængden af det radioaktive stof i løbet af de første 10 år? (b) Hvor mange gram og hvor mange procent aftager mængden af det radioaktive stof i løbet af de næste 10 år? Øvelse 713 Et radioaktivt stof anbringes i en beholder Der gælder y 130 0, 89 hvor y er antal gram der er tilbage, og er antal år efter at stoffet blev anbragt i beholderen På et tidspunkt er der 110 gram tilbage Hvor lang tid går der efter dette tidspunkt før mængden der er tilbage, er 5 % mindre? Øvelse 714 Om en plante er oplyst at y 15 1, 08 hvor y er højden i cm, og er antal uger efter udplantningen På et tidspunkt er højden 18 cm Hvor lang tid går der efter dette tidspunkt før højden er blevet 30 % højere end den er på dette tidspunkt? Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

35 8 Fordoblingskonstant og halveringskonstant Øvelse 81 Tabellen viser hvordan mængden af et stof i en opløsning er aftaget Timer efter at opløsningen blev lavet: Mængde i gram: (1) Hvis vi når opløsningen lige er lavet, stiller spørgsmålet "Om hvor mange timer er mængden halvdelen af hvad den nu er?", hvad er så svaret? () Hvis vi time after at opløsningen er lavet, stiller spørgsmålet "Om hvor mange timer er mængden halvdelen af hvad den nu er?", hvad er så svaret? (3) Hvis vi 4 time after at opløsningen er lavet, stiller spørgsmålet "Om hvor mange timer er mængden halvdelen af hvad den nu er?", hvad er så svaret? Eksempel 8 Oplæg til emnet fordoblingskonstant Spørgsmål: Tabellen viser hvordan højden af en plante er vokset eksponentielt Antal uger efter køb: Højde i cm: På tidspunktet uger efter købet spørger køberen: (1) Om hvor mange uger er planten dobbelt så høj som nu? Hvad er svaret? Af tabellen ses at på tidspunktet er højden 19 Den dobbelte højde er Af tabellen ses at højden er 38 på tidspunktet 5 Da 5 3 må svaret på spørgsmålet (1) være: 3 uger Bemærkning: Af tabellen ses at hvis spørgsmålet (1) var stillet 1 uge efter købet, så ville vi også være kommet frem til svaret "3 uger" Uanset hvornår vi starter, så vil der gå 3 uger før højden er fordoblet Man siger at højdens fordoblingskonstant er 3 uger DEFINITION 83 Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant? Vi ser på en eksponentiel sammenhæng y b a Hvis sammenhængen er voksende (dvs a > 1) definerer vi at fordoblingskonstanten er det antal enheder vi skal gøre større for at fordoble y Hvis sammenhængen er aftagende (dvs 1 0 < < a ) definerer vi at halveringskonstanten er det antal enheder vi skal gøre større for at halvere y Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

36 Øvelse 84 For en eksponentielt voksende sammenhæng med fordoblingskonstant 5 oplyses: Når 3 er y 7 Brug oplysningen om fordoblingskonstant til at bestemme flere eksempler på sammenhørende værdier af og y: Når er y Når er y Eksempel 85 Hvordan kan vi aflæse fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf? Spørgsmål: Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende sammenhæng Hvad er fordoblingskonstanten for denne sammenhæng? Resultatet bliver det samme uanset hvilken -værdi vi starter med Vi kan f starte med 1: Som vist på figuren nedenfor aflæser vi at når 1 er y 3, 1 3,1 Det halve af 3,1 er 1, 55 Som vist på figuren nedenfor aflæser vi at når y 1, 55 er 3, 7 For at halvere y skal vi altså øge med 3,7 1, 7 så halveringskonstanten er,7 Bemærkning: Vi kan aflæse fordoblingskonstant på tilsvarende måde Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

37 Øvelse 86 Figuren nedenfor til venstre viser grafen for en eksponentielt voksende sammenhæng Aflæs fordoblingskonstanten Øvelse 87 Figuren ovenfor til højre viser grafen for en eksponentielt aftagende sammenhæng Aflæs halveringskonstanten Øvelse 88 Figuren nedenfor til venstre viser grafen for en eksponentielt aftagende sammenhæng Aflæs halveringskonstanten Øvelse 89 Figuren ovenfor til højre viser grafen for en eksponentielt voksende sammenhæng Aflæs fordoblingskonstanten Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

38 Eksempel 810 Oplæg til opgave 811 Spørgsmål: En sammenhæng mellem to variable y og er givet ved ligningen y,7 1, 14 Hvad er fordoblingskonstanten for denne sammenhæng? Resultatet bliver det samme uanset hvilken -værdi vi starter med Vi kan f starte med 3 : 3 Når 3 er y,7 1,14 4 Vi bestemmer hvad er når y er det dobbelte af 4, altså 8: 8,7 1,14 8,7,7 1,14,7 8 1,14,7 8,7 log( ) log(1,14) 8,9 For at fordoble y skal vi altså øge med 8,9 3 5, 9 så fordoblingskonstanten er 5, 9 Eksempel 811 Bevis for sætning 81 I det følgende lader vi a og b stå for tal der endnu ikke er oplyst Spørgsmål: En sammenhæng mellem to variable y og er givet ved ligningen () y b a Hvad er fordoblingskonstanten for denne sammenhæng? Resultatet bliver det samme uanset hvilken -værdi vi starter med Vi kan f starte med 0 Af () får vi at når 0 er y b Det dobbelte af b er b Vi indsætter dette i () og finder hvad er når y er b : b b a b b a b b a log() log( a) Besvarelsen fortsætter på næste side! Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

39 For at fordoble y skal vi altså øge fra 0 til log() fordoblingskonstanten er log( a ) log() log( a ), dvs med log() log( a ), så Bemærkning: I ovenstående svar har vi bevist første del af sætningen nedenfor Sætningens anden del kan bevises på tilsvarende måde SÆTNING 81 Formler til beregning af fordoblingskonstant og halveringskonstant Vi ser på en eksponentiel sammenhæng y b a Hvis sammenhængen er voksende (dvs a > 1) gælder at log() fordoblingskonstanten er log( a ) Hvis sammenhængen er aftagende (dvs 0 < a < 1) gælder at log(0,5) halveringskonstanten er log( a) Eksempel 813 Sådan kan vi bruge sætning 81 Spørgsmål: Hvad er halveringskonstanten for sammenhængen y 40 0, 94 Vi indsætter a 0, 94 i formlen log(0,5) halveringskonstant log( a) og får log(0,5) log(0,94) 11, dvs halveringskonstanten er 11, Øvelse 814 Bestem halveringskonstanten for den eksponentielt aftagende sammenhæng y 0,95 0, 3 Øvelse 815 Bestem fordoblingskonstanten for den eksponentielt voksende sammenhæng y 0,13 1, 016 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

40 Eksempel 816 Spørgsmål: Hvad fortæller fordoblingskonstanten? Der er en eksponentiel sammenhæng længden (i cm) (1) y omkredsen (i cm) Det er oplyst at () fordoblingskonstanten er 7 cm Hvad fortæller tallet 7 om omkredsen og længden? y b a mellem de variable Definitionen på fordoblingskonstant siger: fordoblingskonstanten er det antal enheder (3) vi skal gøre større for at fordoble y Ved at sætte oplysningerne (1) og () ind i (3) får vi: 7 er det antal enheder (4) vi skal gøre længden større for at fordoble omkredsen Ved at omformulere (4) får vi: Omkredsen fordobles når længden bliver 7 cm længere Dette er hvad tallet 7 fortæller Øvelse 817 Der er en eksponentiel sammenhæng antal år efter 000 y antal indbyggere Det oplyses at fordoblingskonstanten er 4, Hvad fortæller tallet 4, om antallet af indbyggere? y b a mellem de variable Øvelse 818 Der er en eksponentiel sammenhæng y b a mellem de variable forsøgets varighed (i minutter) y mængde der er tilbage (målt i gram når forsøget er slut) Det oplyses at halveringskonstanten er 18 Hvad fortæller tallet 18 om mængden der er tilbage? Øvelse 819 På en skærm kan vi ændre en trekant ved at trække med musen Der gælder y 4 1, 06 hvor y er højden (i cm) og er grundlinjen (i cm) Bestem fordoblingskonstanten, og skriv hvad dette tal fortæller om højden og grundlinjen Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

41 9 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem I koordinatsystemet nedenfor til højre er den lodrette akse en speciel type der kaldes en logaritmisk akse Et koordinatsystem kaldes et enkeltlogaritmisk koordinatsystem hvis den vandrette akse er sædvanlig, og den lodrette er logaritmisk Eksempel 91 Spørgsmål: Tegn grafen for sammenhængen y,4 1, 43 i begge koordinatsystemerne ovenfor Vi udregner støttepunkter og afsætter disse i begge koordinatsystemer: y,4 1, 43 y,4 1, 43 Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

42 SÆTNING 9 Grafen for en eksponentiel sammenhæng er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem Bemærkning 93 Når vi ser koordinatsystemer i aviser, tidsskrifter og lærebøger i forskellige fag, skal vi se efter om akserne er sædvanlige, så vi ikke tror at en sammenhæng er lineær når grafen er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem Eksponentielle sammenhænge, udgave side Karsten Juul

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Supplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. 37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål 11q sommer 2012. Spørgsmål 1: Ligninger Eksamensspørgsmål 11q sommer 01. Gør rede for omformningsreglerne for ligninger. Spørgsmål 1: Ligninger Giv eksempler på hvordan forskellige ligninger løses. Du bør her komme ind på flere forskellige ligningstyper,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. FORELØBIGE eksamensspørgsmål mac7100 og mac710 dec 01 og maj/juni 013. Spørgsmål 1: Ligninger Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Giv eksempler

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller Forside Indledning Vi har fået tildelt et skema over nogle observationer af gærceller, ideen ligger i at gærceller på bestemt tidspunkt vokser eksponentielt. Der skal nu laves en model over som bevise

Læs mere

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet Rentesregning 1 Forklar begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen), og opstil/omskriv denne så du kan bestemme 1 af størrelserne, ud fra de 3 andre. Giv eksempler,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008. Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: Collage af foto fra blandt andet: istock.com/chuntise istock.com/ihoe Side 11: istock.com/jamesbenet Side 14: Tegning af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning HF C 121 1. Et beløb forrentes i en bank med rentesatsen 3,5 % i 5 år og derefter er indeståendet kr. 59.384,32 kr.

Ib Michelsen Vejledende løsning HF C 121 1. Et beløb forrentes i en bank med rentesatsen 3,5 % i 5 år og derefter er indeståendet kr. 59.384,32 kr. Ib Michelsen Vejledende løsning HF C 121 1 Opgave 1 Et beløb forrentes i en bank med rentesatsen 3,5 % i 5 år og derefter er indeståendet kr. 59.384,32 kr. Beregning af startkapital Da der er tale om kapitalfremskrivning,

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.

x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives. Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 VUCHA Hf-2 og Hf-Enkeltfag Matematik-C Anders

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014/2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Horsens HF og VUC Hf Matematik C Ineta

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere