Introduktion til Domæneteori

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til Domæneteori"

Transkript

1 Introduktion til Domæneteori 1995 Mads Rosendahl Datalogisk Institut Københavns Universitet Disse noter er skrevet til Introduktionskurset i Semantik afholdt første gang i efteråret Noterne er siden udvidet og visse dele er omarbejdet. Formålet med noterne er at give en introduktion til domæneteori og fixpunktsemantik for derved at give de nødvendige forudsætninger til kursets dele om denotationssemantik og abstrakt fortolkning. I disse noter dækkes fixpunktsætningen, definition af semantik ved brug af fixpunkter, fixpunktinduktion og løsning af rekursive domæneligninger. Noterne er stadig under revision så jeg vil bede læserne om råd til hvordan jeg kan forbedre teksten. Hvis du mener der er noget der er forkert eller uklart så fortæl mig det.

2 Contents 1 Domæneteori Domæner Kontinuitet Fixpunktsætning Blandede sætninger Opgaver Domænekonstruktioner Cartesisk produkt Sumdomæne Funktiondomæne Potensmængde Opgaver Rekursivt definerede funktioner Paradokser Fixpunkter Løsningen Beregnelige funktioner Opgaver Fixpunktsemantik Semantiske funktioner Funktionssprog Imperativt sprog Logiksprog Opgaver Fixpunktinduktion Fixpunktinduktion Eksempel Induktive relationer Indlejring Mere om indlejringer Opgaver i

3 6 Rekursive domæneligninger Rekursive domænedefinitioner Løsning op til isomorfi Approximationer Grænseværdi Semantik for højere ordens funktioner Opgaver Afsluttende bemærkning ii

4 1 Domæneteori Fundamentet for vor gennemgang af abstrakt fortolkning, programanalyse, fixpunktsemantik, mm. er en ganske lille teori kaldet domæneteori. Vi skal kun bruge to definitioner og en sætning. Udover dette skal vi bruge lidt mængdelære, så man skal helst kunne huske hvad en fællesmængde og en foreningsmængde er for noget. Vi skal faktisk ikke bruge mere, men hvis man ikke har set et matematisk bevis før vil teksten nok være lidt tung i starten. Det centrale i denne teori er en slagkraftig sætning: fixpunktsætningen. Det er det værktøj vi skal bruge for at give et matematisk fundament for fixpunktsemantik og abstrakt fortolkning. Først skal vi dog lige definere to begreber, nemlig hvad vi forstår ved et domæne og hvad det vil sige at en funktion er kontinuert. 1.1 Domæner Definition. Et par (D, ) kaldes et domæne hvis og kun hvis D er en mængde. er en partiel ordning over D. Det betyder at det skal være en refleksiv, transitiv og antisymmetrisk relation. x D. x x refleksiv x, y, z D. x y y z x z transitiv x, y D. x y y x x = y antisymmetrisk D har et mindste element kaldet D. Det betyder at relationen skal opfylde følgende betingelse. x D. D x Alle kæder x 1 x 2... x i... i D har en mindste overgrænse x i i D i n. x n x i i d D. ( n. x n d) i overgrænse x i d den mindste 1

5 1.1 Domæner Definition slut. Et domæne er altså en ordnet mængde, der nedadtil har et mindste element og opadtil har mindste overgrænser for alle voksende kæder. På engelsk kaldes et domæne for domain, cpo eller pointed cpo. Forkortelsen cpo står for complete partial order (eller chain-complete partial order). En mindste overgrænse kaldes på engelsk for least upper bound eller blot lub. Vi vil også omtale overgrænsen som grænseværdien af en kæde. Det kan også kaldes limit eller supremum for kæden. Mindsteelementet kaldes på dansk også for bundelementet eller bund. På engelsk kaldes det for bottom. Vi skal bruge kæder igen og igen, så lad os straks indføre en notation for dem. For et domæne D er kæder(d) mængden af kæder i D og vi skriver (x i ) kæder(d) for en kæde x 1 x 2 i D. En kæde er altså en voksende følge af elementer fra et domæne D. Løsagtig notation. Vi vil bruge symbolet om det mindste element i en række domæner. Hvis der er mulighed for tvivl om hvilket, vil vi bruge den underlæggende mængde som index. Tilsvarende vil blive brugt om ordningen i en række domæner når der ikke er tvivl om hvilket domæne vi taler om. Vi vil ofte referere til domænet alene ved navnet på den underlæggende mængde når der ikke er tvivl om hvilken ordning vi antager. Relationer. Definitionen omtaler relationer som måske ikke tydeligt er en del af mængdelæren fra folkeskolen. Det er dog rimeligt nemt at rette op på. En relation R mellem elementer i to mængder A og B kan opfattes som en delmængde R (A B). Som en notation skriver vi så a R b i stedet for a, b R. Denne infix notation giver bedre en fornemmelse af at det er en relation. Kravene til en partiel ordning om at være en refleksiv, transitiv og antisymmetrisk relation er så bare ekstra betingelser til denne delmængde. Eksempler. Etpunktsmængden U = { } med ordningen U er et domæne. Et domæne kan ikke være tomt da det skal have et mindste element. Enhver mængde S kan udvides til et domæne ved at tilføje et mindste element og benytte en såkaldt flad ordning således at x, y S { }. x y x = x = y Vi bruger ofte symbolet S for domænet med mængden S { } og den flade ordning. Vi siger at et domæne er fladt hvis det har en flad ordning (alså en ordning som opfylder x, y. x y x = x = y). 2

6 1.1 Domæner Domænet B af boolske værdier består af mængden {, true, false} med en flad ordning således at false og true. Ordningen kan illustreres som en træstruktur false true Domænet B Domænet N består af de naturlige tal {0, 1, 2,...} udvidet med et mindste element og en flad ordning Domænet N Parret (N, ) af de naturlige tal med den sædvanlige heltalsordning er ikke et domæne selv om det har et mindste element 0. Der findes voksende kæder af naturlige tal, som ikke har en overgrænse. Udvides de naturlige tal med et særligt symbol for uendelig ( ) som er større end alle værdier i N vil (N, ) være et domæne Domænet N 3

7 1.2 Kontinuitet 1.2 Kontinuitet Definition. Lad (D, ) og (E, ) være domæner. En funktion f : D E siges at være kontinuert hvis og kun hvis f er monoton: x 1, x 2 D. x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f er grænseværdibevarende (x i ) kæder(d). f( i x i ) = i f(x i ) Definition slut. Monotonicitet sikrer at den sidste grænseværdi er veldefineret, idet følgen f(x 1 ) f(x 2 )... f(x i )... er en kæde i E. Eksempler. Det er rimeligt nemt at finde funktioner, der ikke er monotone. Som et lille eksempel kan vi betragte en funktion f : B B defineret ved f(x) = if x = then false else true Det er straks vanskeligere at finde monotone funktioner, der ikke er kontinuerte. For at lave et sådant eksempel kræves det at definitionsmængden har kæder som ikke indeholder deres egen mindste overgrænse. Betragt funktionen f : N B defineret ved f(x) = if x = then true else Kæden af værdier har grænseværdi som med f afbildes til true. Elementerne i kæden afbildes derimod alle til værdien. Hvis f : N N er en funktion over de naturlige tal (uden det ekstra mindste element) kan den let udvides til en kontinuert funktion f : (N, ) (N, ). f (x) = if x = then else f(x) 4

8 1.2 Kontinuitet For at overbevise sig om det skal man blot konstatere at der kun er to mulige typer kæder i (N, ); enten er alle elementerne mindste elementet eller også vil kæden fra et trin antage en værdi i N og derefter være konstant. En partiel funktion f : N N, dvs. en funktion der ikke er defineret for alle argumenter kan udvides på samme måde til en total kontinuert funktion f : (N, ) (N, ) ved at lade udefineret repræsentere ved bundelementet. Notation. Fra den lidt mere filosofiske side kan man opfatte mængder som noget der lever i den matematiske fantasiverden. Når vi taler om B er det hverken blækket på papiret eller navnet, der er mængden. B er et navn for en given mængde, vi tror på eksisterer i denne fantasiverden (mere formelt tror vi på Zermelo-Fraenkels aksiomssystem for mængdelæren). Tilsvarende kan man spørge sig selv hvad en funktion er. Ligesom med relationer kan funktioner udtrykkes i mængdelæren som delmængder. En funktion f : A B fra en mængde A til en mængde B er en delmængde f (A B) som opfylder x A. z, v f. x = z x, y f. z, v f. z = x v = y Med andre ord, funktionen skal være total og have en entydig værdi for alle argumenter. Som med relationer bruger vi en lidt pudsig notation (i forhold til mængdelæren) når vi skriver f(x) = y i stedet for x, y f. Når vi beskriver funktioner som f(x) = if x = then true else er det som med mængder hverken blækket eller teksten der er funktionen, men det er navnet på en funktion vi også kunne have beskrevet ved f = {, true } { x, x N} Begge definitioner er navne på den samme funktion (delmængde) i mængdelæren. Vi vil ikke holde os tilbage med forskellige måder at definere funktioner på, så længe vi altid kan gå tilbage og kontrollere fundamentet. Når vi skal definere højere-ordens funktioner er det ofte nemmest at bruge lambda-notation og visse funktioner som + og antager vi blot alle ved hvad er. 5

9 1.3 Fixpunktsætning Scott-topologi. Kontinuitet, som defineret her, minder måske ikke så meget om kontinuitet nogle måske kender fra metriske rum, men der er en sammenhæng. Lad D være et domæne, og definer for en delmængde A D, at A er åben ( x, y D. x A x y y A) ( (x i ) kæder(d). x i A {x i } A Man kan vise, at U = {A D A er åben} da er et system af åbne mængder, og at det for to domæner D og E gælder, at de kontinuerte funktioner fra D til E i domæneteoretisk forstand er de samme som de kontinuerte funktioner i topologisk forstand. 1.3 Fixpunktsætning Et fixpunkt for en funktion f : D D er et element d D så f(d) = d. Den følgende sætning er årsagen til at vi overhovedet beskæftiger os med domæneteori. Fixpunktsætning. En kontinuert funktion over et domæne (D, ) f : (D, ) (D, ) har et mindste fixpunkt der kan findes som Bevis. i f i ( ) Beviset har tre dele Veldefineret: f( ) f 2 ( )... Et fixpunkt: f( i f i ( )) = i f i ( ) Det mindste: d D. f(d) = d i i f i ( ) d Veldefineret. Da er mindste element er f( ). Da f er monoton er f( ) f 2 ( ). Resten følger ved induktion. Fixpunkt. Vi har at f( i f i ( )) = i f(f i ( )) da f er kontinuert. Ligeledes er i f(f i ( )) = i f i ( ) da begge værdier er overgrænse for den andens følge - og derfor den mindste overgrænse. (Se også hjælpesætningen senere). Det mindste. Antag f(d) = d. Ved induktion følger f i ( ) d for alle i: d f( ) f(d) f( ) d. Værdien d er derfor en overgrænse for f i ( ). Bevis slut. 6

10 1.4 Blandede sætninger Notation. Det at finde fixpunkter for kontinuerte funktioner er så nyttig en ting at vi straks vil indføre en særlig notation. Sætningen siger at der for alle domæner D findes en funktion fix D : (D c D) D som finder det mindste fixpunkt for en kontinuert funktion. Vi skal senere se at funktionen fix også selv er kontinuert. En funktion kan godt have flere fixpunkter, men sætningen siger altså at mængden af fixpunkter vil have et mindste element. Det er ikke givet at en funktion også har et største fixpunkt, men hvis den har kaldes det ofte for gfp(f) (for greatest fixed point) i modsætning til fix(f) = lfp(f) (for least fixed point). Kæden f( ) f 2 ( )... kaldes på engelsk for the ascending Kleene chain (eller AKC ). Eksempler. Måske er det mest overraskende ved sætningen at alle kontinuerte funktioner har et fixpunkt, altså en værdi der afbildes til sig selv. Man kan let spørge sig selv om der ikke findes modeksempler hvor alle værdier afbildes til noget forskelligt. For eksempel kunne man tage efterfølgerfunktionen over N som afbilder til 0, 0 til 1 osv. Denne funktion er imidlertid ikke monoton, men selvfølgelig burde beviset også afskrække en fra at stille sådanne spørgsmål. 1.4 Blandede sætninger For at vænne os lidt til hvordan man kan jonglere rundt med kæder og fixpunkter vil vi lige vise et par småsætninger. Sætning. For kæder (a i ) kæder(d) og (b i ) kæder(d) gælder ( i. j. a i b j ) i a i j b j Bevis. Antag at der for kæder (a i ) og (b j ) gælder i. j. a i b j, da gælder også i. a i j b j eftersom j b j er en overgrænse for all b j værdier. Dette betyder at j b j er en overgrænse for a i værdierne og derfor større eller lig den mindste overgrænse. Bevis slut. 7

11 1.4 Blandede sætninger Sætning. at Lad (a ij ) være endobbeltindiceret kæde i et domæne D således i i j j a ij a i j Der gælder da i a ii = i j a ij = j i a ij Bevis. Beviset har to dele: Grænseværdierne er veldefinerede. Vi skal sikre os at j a ij er en kæde i den variable i, altså at for alle i at j a ij j a (i+1)j. Hertil kan vi bruge sætningen ovenfor idet a ij a (i+1)j for alle j. Ækvivalens. Vi skal vise at i a ii = i j a ij. Beviset har to dele idet vi vil udnytte antisymmetrien af ækvivalensen. : Vi skal bruge at for alle i er a ii i er en kæde. j a ij. Dette følger af at a ij med fast : Vi skal bruge at der for ethvert k gælder at i a ii j a kj. Givet et m, da har vi at a km a max(k, m)max(k, m) i a ii. Det betyder at i a ii er en overgrænse for kæden j a kj med variabel k og derfor større eller lig den mindste overgrænse. Bevis slut Kommentar. En sætning som den sidste giver et indtryk af hvor stabil domæneteorien er. Man kan bytte rundt på grænseværdioperationer og flytte dem ind og ud af kontinuerte funktioner uden at det ændrer værdien. Man skal faktisk anstrenge sig en hel del før noget går galt. Historiske noter. Domæneteorien er en forholdsvis ung teori inden for matematikken. Den er startet som en del af gitterteorien (eng. lattice theory), der især er blevet behandlet af Garrett Brikhoff omkring 1940erne. Fixpunktsætningen for gitre blev udledt af Tarski og publiceret i Beviset med brug af en kæde skyldes Kleene (1952). Brugen af gitre til at beskrive semantik af programmeringssprog skyldes Dana Scott og Christopher Strachey med en række arbejder fra 1970 og I arbejder fra 70erne blev ordet domæne ofte brugt om gitre, men fra 80erne er det blevet almindeligt kun at kræve eksistens af grænseværdier for kæder. Resultatet om løsning af rekursive domæneligninger skyldes Dana Scott (1970). 8

12 1.5 Opgaver Gitre. Et gitter er en partielt ordnet mængde hvor hvert par af værdier har en mindste overgrænse og en største undergrænse. I et komplet gitter har enhver delmængde en mindste overgrænse og en største undergrænse. Tarskis fixpunktsætning siger at mængden af fixpunkter for en monoton funktion på et komplet gitter udgør et komplet delgitter, og altså har et mindste element. 1.5 Opgaver Opgave 1.1. Domænet 3 består af elementerne 0, 1 og 2 med en ordning, der kan illustreres således Domænet 3 Angiv de mulige kontinuerte funktioner fra 3 til 3. For hver funktion angiv desuden dens mindste fixpunkt. Opgave 1.2. Højden af et domæne er længden af den længste skarpt voksende følge i domænet. (Den samme værdi forekommer ikke to gange i følgen). Vis at en monoton funktion A m B hvor A har endelig højde også vil være kontinuert. Opgave 1.3. Konstruer et eksempel på et domæne som ikke har endelig højde men hvor ingen kæde kan have uendeligt mange forskellige elementer. Opgave 1.4. En funktion f : D D siges at være ekstensiv hvis den opfylder d D. d f(d). Vis at en ekstensiv funktion på et domæne D har et fixpunkt. D kan antages at være tællelig. 9

13 2 Domænekonstruktioner Vi så i sidste afsnit at domæneteorien giver stor fleksibilitet i brugen af grænseværdioperationer. Vi skal nu se at det samme gælder når vi vil danne sammensatte domæner. Domæneegenskaben synes at være forbløffende stabil ved en lang række mængdekonstruktioner. 2.1 Cartesisk produkt Definition. For to domæner (A, A ) og (B, B ) kan vi definere det cartesiske produkt (A B, A B ) som domænet af tupler (par) af værdier fra mængderne A og B. A B = { a, b a A b B} a 1, b 1 A B a 2, b 2 a 1 A a 2 b 1 B b 2 Ordningen kaldes ofte en elementvis ordning af produktet. Sætning. Det cartesiske produkt af to domæner er et domæne. Bevis. Vi skal vise følgende punkter Relationen A B er en partiel ordning. Der findes et mindste element i A B. Det er muligt at finde grænseværdier for kæder i A B. De fleste af disse punkter er ganske trivielle. Ordning. A B refleksiv: a, b a, b fordi a a b b. A B transitiv: hvis a 1, b 1 a 2, b 2 a 2, b 2 a 3, b 3 er a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 a 3 b 2 b 3 så a 1 a 3 b 1 b 3 hvilket medfører a 1, b 1 a 3, b 3. A B antisymmetrisk: hvis a 1, b 1 a 2, b 2 a 2, b 2 a 1, b 1 er a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 a 1 b 2 b 1 så a 1 = a 2 b 1 = b 2 og a 1, b 1 = a 2, b 2. Mindste element. a, b. For alle a, b gælder A a B b så A, B Mindste overgrænse. For en kæde ( a i, b i ) kæder(a B) kan vi konstruere den mindste overgrænse i a i, i b i da a i, b i i a i, i b i og 10

14 2.1 Cartesisk produkt hvis a i, b i c, d for alle i er i a i c og i b i d, så i a i, i b i c, d. Bevis slut. Notation. Projektionerne fst : A B A og snd : A B B er for alle x, y A B defineret ved, fst( x, y ) = x snd( x, y ) = y Vi vil også ofte bruge en nedadrettet pil til at betyde udvælgelse af elementer fra tupler. Dette betyder at x, y 1 = x og x, y 2 = y For funktioner fra et cartesisk produkt udelader vi ofte de kantede parenteser ved funktionskald. Vi kunne således også skrive fst(x, y) = x. Sætning. En funktion A B C i to argumenter er kontinuert hvis og kun hvis den er kontinuert i hvert argument for sig. Bevis. Kun hvis delen følger let ved at betragte kæder hvor den ene komponent er konstant. Hvis. Lad f : A B C være kontinuert i hvert argument for sig og lad ( x i, y i ) kæder(a B). Da er (x i ) en kæde i A og (y i ) en kæde i B Af monotoniciteten af f følger da at (f(x i, y j )) er en dobbeltindiceret kæde i C hvorfor vi kan bruge hjælpesætningen fra sidste afsnit. En udregning giver da f( i x i, y i ) = f( i x i, j y j ) = i f(x i, j y j ) = i j f(x i, y j ) = i f(x i, y i ) Bevis slut. Kommentar. Den tilsvarende egenskab gælder ikke kontinuitet i metriske rum. Som et modeksempel betragt p(x, y) = if x = y = 0 then 0 else (x y)/(x 2 + y 2 ) I domæneteorien er det sjældent det store problem at overbevise sig om at en funktion er kontinuert. 11

15 2.2 Sumdomæne Strikt produkt. Det cartesiske produkt kaldes af og til for det dovne produkt (lazy product) i modsætning til det strikse produkt (strict product eller smashed product) A B = { A, B } (A \ { A }) (B \ { B }). Også dette er et domæne med elementvis ordning. 2.2 Sumdomæne For to ordnede mængder (A, A ) og (B, B ) kan vi konstruere summen (disjoint union) (A + B, A+B ) som A + B = { A+B } { 1, a a A} { 2, b b B} A+B A+B x x A + B 1, a 1 A+B 1, a 2 a 1 A a 2 2, b 1 A+B 2, b 2 b 1 B b 2 Sætning. Summen af to domæner er også et domæne. Bevis. Atter består beviset af en række dele. Denne gang overlader vi dog dele af beviset som en opgave til læseren. Ordning. Mindste element. Se opgaverne. Følger af definitionen. Grænseværdi. Der er tre muligheder for kæder i A + B. A+B A+B A+B A+B 1, a 1 1, a 2... A+B A+B 2, b 1 2, b 2... I det første tilfælde er A+B en overgrænse for kæden. I de andre tilfælde udgør andenkomponenten fra et vist trin en kæde i henholdsvis A og B. Da A og B er domæner har de grænseværdiegenskaben og vi kan konstruere grænseværdien af kæden i A + B som et par hvor andenkomponenten er grænseværdien af andenkomponenterne fra kæden. Vi skal så sikre os at denne grænseværdi er den mindste overgrænse, men det følger af den tilsvarende egenskab i A eller B. Bevis slut 12

16 2.3 Funktiondomæne Notation. funktioner. For summen af to domæner A + B kan vi definere en række hvor isl, isr : A + B B inl : A A + B inr : B A + B outl : A + B A outr : A + B B isl( ) = isr( ) = isl( 1, x ) = true isr( 1, x ) = false x A isl( 2, x ) = false isr( 2, x ) = true x B inl(x) = 1, x inr(x) = 2, x outl( ) = outr( ) = outl( 1, x ) = x outr( 1, x ) = x A outl( 2, x ) = outr( 2, x ) = x x B Strikt sum. Sumdomænet A + B af to domæner kaldes også for en separat sum (separate sum). For to domæner (A, A ) og (B, B ) er den strikse sum (coalesced sum) A B defineret som (A \ { A }) + (B \ { B }), hvor vi bruger den samme ordning som for sumdomænet. Også den strikse sum af to domæner er et domæne. 2.3 Funktiondomæne For to domæner (A, A ) og (B, B ) kan vi konstruere funktionsdomænet (A B, A B ) af kontinuerte funktioner fra A til B med ordningen f A B g x A. f(x) B g(x) 13

17 2.3 Funktiondomæne Bevis. Ordning. Ordningsegenskaberne arves direkte fra domænet B. For vilkårlige f og g har vi: f f x. f(x) f(x) f g g f x. f(x) g(x) g(x) f(x) x. f(x) = g(x) f = g f g g h x. f(x) g(x) g(x) h(x) x. f(x) h(x) f h Mindste element. Mindste elementet i domænet A B er funktionen λx. B idet B g(x) for alle x A og g A B. Grænseværdi. For en kæde af kontinuerte funktioner (f i ) i A B konstruerer vi grænseværdien som λx. i f i(x). Grænseværdien er veldefineret da (f i (x)) for ethvert x udgør en kæde i B. At det er en overgrænse og den mindste overgrænse følger let af B s domæneegenskaber. Vi mangler blot at vise at grænseværdien er kontinuert og altså ligger i domænet A B. Dette overlades som en opgave. Bevis slut. Funktionsdomæne. Mængden af funktioner fra en ikke tom mængde A til et domæne B er et domæne. Dette følger af at vi kun bruger ordningen af A i beviset for at grænseværdier er kontinuerte. Notation. Som det ses kan man let komme ud for at bruge pil symbolet om forskellige slags funktioner. Hvis mængderne A og B er ordnede som domæner vil A B normalt betyde funktionsdomænet (og altså kun mængden af kontinuerte funktioner fra A til B). Hvis man gerne vil understrege at vi her hentyder til de kontinuerte funktioner fra A til B skriver man gerne A c B. Hvis det er de monotone funktioner vi er interesserede i skriver man A m B. Endelig ser man i litteraturen også symbolet A p B for de partielle funktioner fra A til B. Sætning. Fixpunktoperatoren fix : (D c D) D er kontinuert. 14

18 2.4 Potensmængde Bevis. Monotonicitet. For f g følger ved induktion at f i ( ) g i ( ) hvorfor fix(f) = i f i ( ) i g i ( ) = fix(g) Grænseværdibevarende. Lad (f i ) være en kæde af kontinuerte funktioner i domænet D c D. Vi skal så vise at fix( i f i ) = i fix(f i ) Ved induktion følger at ( i f i ) j = ( i f j i ) for alle j. Dette følger af at grænseværdien for en kæde af funktioner er defineret elementvis. Herefter udleder vi: fix( i f i ) = = = = (( f i ) j ( )) j i j i i i j f j i ( ) f j i ( ) fix(f i ) da (f j i ( )) er en dobbeltindiceret kæde i D. Bevis slut. 2.4 Potensmængde For en mængde S kan man danne potensmængden P(S). Dette er et domæne med delmængdeordningen og den tomme mængde som mindste element: Den tomme mængde opfylder klart X S. X. At delmængderelationen er en partiel ordning skulle gerne være et af de resultater vi er bekendt med på forhånd. For en kæde af delmængder X 1 X 2 kan vi konstruere grænseværdien som i X i = i X i At man kan tillade sig at tage foreningsmængden af en tællelig klasse af mængder er en af de spilleregler mængdelæren giver os. Den sikrer os endvidere at man herved danner den mindste mængde som indeholder alle X i mængderne. 15

19 2.4 Potensmængde Begrænsning. Vi er imidlertid nu rede til den måske væsentligste restriktion i domæneteorien. For et domæne D er funktionen singleton : D P(D) singleton(d) = {d} ikke nødvendigvis kontinuert. Dette kan måske synes ganske uskyldigt, men der er anvendelser hvor det er vigtigt at have en kontinuert afbildning ind i potensmængden. Det gælder især når man vil modellere ikke-determinisme i programmeringssprog. Vejen udenom er at bruge en anden ordning end delmængdeordningen, og indføre en restriktion på hvilke delmængder vi vil betragte. Herved definerer man et såkaldt potensdomæne (eng. power domain). Vi skal se tre forskellige måder at gøre det på. Egli-Milner ordningen. På en potensmængde P(D) over et domæne D indfører vi relationen EM som følger. X EM Y ( x X. y Y. x y) ( y Y. x X. x y) Relationen kan læses som at alle dele af X skal ligge under noget af Y (i domænet D), og at alle dele af Y skal ligge over noget af X. Plotkins potensdomæne. Relationen EM er ikke en partiel ordning på potensmængden da den mangler antisymmetri egenskaben. Dette kan vi råde bod på ved alene at betragte de ikke-tomme konvekse delmængder af D. En mængde X er konveks hvis den opfylder x 1, x 3 X. x 2 D. x 1 x 2 x 3 x 2 X Dette potensdomæne skrives normalt som ( P (D), EM ). 16

20 2.5 Opgaver Hoares potensdomæne. Der er to andre konstruktioner man ser brugt. I Hoares potensdomæne bruges alene de nedadafsluttede delmængder. En mængde X er nedadafsluttet hvis x, y D. y X x y x X En nedadafsluttet mængde er et specialtilfælde af en konveks mængde. Dette potensdomæne skrives normalt som ( H (D), EM ). I Hoares potensdomæne er der kun en etpunktsmængde: { }. Alle andre delmængder skal indeholde nedadafslutningen. For at konstruere disse nedadafsluttede mængder indfører man funktionen LC: LC : P(D) H (D) LC(X) = {y D x X. y x} Funktionen kaldes left closure eller lower closure. Smyths potensdomæne. I Smyths potensdomæne bruges alene de opadafsluttede delmængder. Dette potensdomæne skrives som ( S (D), EM ). 2.5 Opgaver Opgave 2.1. Vis at ordningen for sumdomænet er en partiel ordning. Opgave 2.2. Med funktionen cond : B X X X defineret for ethvert domæne X ved cond(, x, y) = X cond(true, x, y) = x cond(false, x, y) = y vis at x A + B. cond(isl(x), inl(outl(x)), inr(outr(x))) = x Opgave 2.3. For et domæne A med mindste element A kan man danne det løftede domæne A (lifted cpo) (A, ) som værende A udvidet med et nyt mindste element således at A = { } { 1, x x A} x x A 1, x 1, y x y Vis at dette faktisk er et domæne. 17

21 2.5 Opgaver Notation. Til et løftet domæne kan vi definere følgende funktioner. hvor def : A B up : A A down : A A def( ) = def( 1, x ) = true x A up(x) = 1, x down( ) = A down( 1, x ) = x Disse funktioner opfylder: x A. cond(def(x), up(down(x)), ) = x Opgave 2.4. Vis at grænseværdien af en kæde af kontinuerte funktioner i funktionsdomænet selv er kontinuert. Opgave 2.5. For Hoares og Smyths potensdomæner kan Egli-Milner ordningen forenkles noget. Forklar hvordan. Opgave 2.6. Der er et modstykke til sætningen om funktioner af to argumenter. Vis at for en funktion f : A B C at f er kontinuert hvis og kun hvis fst f og snd f er kontinuerte. 18

22 3 Rekursivt definerede funktioner Vi er allerede stødt på en række funktionsdefinitioner i disse noter. Indtil nu har de haft en form som p(x) = x + x 2 hvor højresiden er et simpelt udtryk i argumenterne. Som tidligere nævnt har sådanne funktioner et fundament i mængdelæren. Det betyder at en funktion i virkeligheden (eller rettere i matematikken) opfattes som en mængde. f : D E f(x) = e f = { x, r x D r = e} Funktionen ovenfor bliver således til p = { x, r x N r = x + x 2 } I dette afsnit skal vi se på rekursive funktionsdefinitioner og hvordan vi kan bruge fixpunktsætningen til at give dem mening. 3.1 Paradokser Hvis vi bruger oversættelsen af funktioner til mængder på en typisk rekursiv funktion som fakultetsfunktionen: f(x) = if x = 0 then 1 else x f(x 1) ja, så får vi følgende mængde: f = { x, r x N ((x = 0 r = 1) (x 0 x 1, s f r = x s))} Nu er vi ude på et skråplan. Når vi forsøger at definere mængder ved hjælp af sig selv åbner vi op for masser af mulige paradokser. Vi kan for eksempel spørge om hvilke elementer mængden g har: g = {x x / g} I almindelige ord svarer det til et af de klassiske paradokser i mængdelæren: Hvem barberer barberen, der barberer alle de folk i byen, som ikke barberer sig selv? Løsningen i mængdelæren er at forbyde sådanne definitioner, men det er ikke særlig attraktivt for os, så vi må søge nye veje. 19

23 3.2 Fixpunkter Løsninger. Intuitivt er det klart at f gerne skal være fakultetsfunktionen. Vi kan da også hurtigt overbevise os om at følgende mængde vil opfylde ligningen. f = { x, y x 0 y = x!} Det er dog ikke alle sådanne ligninger der har løsninger og nogle ligninger kan have flere løsninger. Følgende fixpunktligning g(x) = g(x) svarer til mængden g = { x, r x, r g} og det siger sig selv at et hvilket som helst cartesisk produkt opfylder ligningen. Modsat vil ligningen h(x) = h(x) + 1 ikke have nogle løsninger. Målet må nu være at finde en metode til at sikre løsninger, og at sortere ud blandt løsninger. 3.2 Fixpunkter Det kommer næppe som en kæmpe overraskelse at fixpunktsætningen kan hjælpe os til at finde løsninger til rekursive funktionsdefinitioner. For en funktionsdefinition f(x) = e hvor udtrykket e indeholder f kan vi definere en funktion F(f) = λx. e hvilket også kan skrives som F = λf. λx. e Denne funktional (højere-ordens funktion) er ikke rekursiv og giver god mening i mængdelæren. Udtrykket e er jo et udtryk i argumenterne x og f, men det afhænger ikke af F. Kravet til en løsning på ligningen er da at det skal være et fixpunkt for funktionalen F. f = F(f) 20

24 3.2 Fixpunkter For eksempel kan vi nu omformulere definitionen af fakultetsfunktionen til F = λf. λx. if x = 0 then 1 else x f(x 1) og herefter vise at F(λx. x!) = λx. x! Vi har således omformuleret spørgsmålet til at finde et fixpunkt for en funktion F. Det er så fristende at spørge om funktionen F er kontinuert for så ved vi at den har fixpunkter og vi kender en metode til at finde det mindste. Kontinuitet. Umiddelbart er funktionen F ikke kontinuert. Vi har ikke angivet hvilke mængder funktionen er defineret for og når der ikke er nogen ordning kan vi altså heller ikke tale om kontinuitet. Som tidligere nævnt er N N et domæne og vi vil nu forsøge at definere F som en kontinuert funktion i domænet (N N ) (N N ) Dette kræver dog at multiplikation udvides til domænet N. En enkel måde at gøre det på er at kræve at x y = x = y =, altså at multiplikation opfører sig normalt bortset fra på den specielle -værdi. Det er ikke svært at overbevise sig om at denne funktion er kontinuert. Det kan af og til være nyttigt at kunne skelne mellem de to slags multiplikationer og vi bruger da symbolet. x y = if x = y = then else x y Vi kan herefter definere f til at være det mindste fixpunkt for F f = fix(f) F = λf. λx. if x = 0 then 1 else x f(x 1) Spørgsmålet er så om denne definition svarer til hvad vi intuitivt havde forventet. Dette er selvfølgelig svært at svare på hvis man ikke er sikker på hvad man forventer, men vi kan da altid undersøge hvilken funktion, der rent faktisk er defineret ved dette fixpunkt. 21

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser 3/10/96 Seminaret den 26/10 vil omhandle den sidste fase af analysen og de første skridt i kodegenereringen. Det drejer sig om at finde betydningen af programmet, nu hvor leksikalsk og syntaktisk analyse

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Induktion

BOSK F2011, 1. del: Induktion P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Limitations in Formal Systems and Languages

Limitations in Formal Systems and Languages Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results

Læs mere

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002

ER-modellen. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen. Efterår 2002 Databaser, efterår 2002 ER-modellen Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Regularitet og Automater

Regularitet og Automater Plan dregaut 2007 Regularitet og Automater Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske oplysninger om kurset Ugens emner Introduktion til ugens opgaver 2 Regularitet og Automater Formål med kurset: at

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

En note om Programmering

En note om Programmering En note om Programmering Kurt Nørmark Institut for Datalogi Aalborg Universitet normark@cs.aau.dk Resumé Denne note er en introduktion til programmering. Formålet er at give dig et indblik i hvad programmering

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Afsnittet er temmelig teoretisk. Er du mere til det praktiske, går du blot til det næste afsnit.

Afsnittet er temmelig teoretisk. Er du mere til det praktiske, går du blot til det næste afsnit. Afsnittet er temmelig teoretisk. Er du mere til det praktiske, går du blot til det næste afsnit. XML (eng. extensible Markup Language) XML er en måde at strukturere data på i tekstform. På samme måde som

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere