Introduktion til Domæneteori

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til Domæneteori"

Transkript

1 Introduktion til Domæneteori 1995 Mads Rosendahl Datalogisk Institut Københavns Universitet Disse noter er skrevet til Introduktionskurset i Semantik afholdt første gang i efteråret Noterne er siden udvidet og visse dele er omarbejdet. Formålet med noterne er at give en introduktion til domæneteori og fixpunktsemantik for derved at give de nødvendige forudsætninger til kursets dele om denotationssemantik og abstrakt fortolkning. I disse noter dækkes fixpunktsætningen, definition af semantik ved brug af fixpunkter, fixpunktinduktion og løsning af rekursive domæneligninger. Noterne er stadig under revision så jeg vil bede læserne om råd til hvordan jeg kan forbedre teksten. Hvis du mener der er noget der er forkert eller uklart så fortæl mig det.

2 Contents 1 Domæneteori Domæner Kontinuitet Fixpunktsætning Blandede sætninger Opgaver Domænekonstruktioner Cartesisk produkt Sumdomæne Funktiondomæne Potensmængde Opgaver Rekursivt definerede funktioner Paradokser Fixpunkter Løsningen Beregnelige funktioner Opgaver Fixpunktsemantik Semantiske funktioner Funktionssprog Imperativt sprog Logiksprog Opgaver Fixpunktinduktion Fixpunktinduktion Eksempel Induktive relationer Indlejring Mere om indlejringer Opgaver i

3 6 Rekursive domæneligninger Rekursive domænedefinitioner Løsning op til isomorfi Approximationer Grænseværdi Semantik for højere ordens funktioner Opgaver Afsluttende bemærkning ii

4 1 Domæneteori Fundamentet for vor gennemgang af abstrakt fortolkning, programanalyse, fixpunktsemantik, mm. er en ganske lille teori kaldet domæneteori. Vi skal kun bruge to definitioner og en sætning. Udover dette skal vi bruge lidt mængdelære, så man skal helst kunne huske hvad en fællesmængde og en foreningsmængde er for noget. Vi skal faktisk ikke bruge mere, men hvis man ikke har set et matematisk bevis før vil teksten nok være lidt tung i starten. Det centrale i denne teori er en slagkraftig sætning: fixpunktsætningen. Det er det værktøj vi skal bruge for at give et matematisk fundament for fixpunktsemantik og abstrakt fortolkning. Først skal vi dog lige definere to begreber, nemlig hvad vi forstår ved et domæne og hvad det vil sige at en funktion er kontinuert. 1.1 Domæner Definition. Et par (D, ) kaldes et domæne hvis og kun hvis D er en mængde. er en partiel ordning over D. Det betyder at det skal være en refleksiv, transitiv og antisymmetrisk relation. x D. x x refleksiv x, y, z D. x y y z x z transitiv x, y D. x y y x x = y antisymmetrisk D har et mindste element kaldet D. Det betyder at relationen skal opfylde følgende betingelse. x D. D x Alle kæder x 1 x 2... x i... i D har en mindste overgrænse x i i D i n. x n x i i d D. ( n. x n d) i overgrænse x i d den mindste 1

5 1.1 Domæner Definition slut. Et domæne er altså en ordnet mængde, der nedadtil har et mindste element og opadtil har mindste overgrænser for alle voksende kæder. På engelsk kaldes et domæne for domain, cpo eller pointed cpo. Forkortelsen cpo står for complete partial order (eller chain-complete partial order). En mindste overgrænse kaldes på engelsk for least upper bound eller blot lub. Vi vil også omtale overgrænsen som grænseværdien af en kæde. Det kan også kaldes limit eller supremum for kæden. Mindsteelementet kaldes på dansk også for bundelementet eller bund. På engelsk kaldes det for bottom. Vi skal bruge kæder igen og igen, så lad os straks indføre en notation for dem. For et domæne D er kæder(d) mængden af kæder i D og vi skriver (x i ) kæder(d) for en kæde x 1 x 2 i D. En kæde er altså en voksende følge af elementer fra et domæne D. Løsagtig notation. Vi vil bruge symbolet om det mindste element i en række domæner. Hvis der er mulighed for tvivl om hvilket, vil vi bruge den underlæggende mængde som index. Tilsvarende vil blive brugt om ordningen i en række domæner når der ikke er tvivl om hvilket domæne vi taler om. Vi vil ofte referere til domænet alene ved navnet på den underlæggende mængde når der ikke er tvivl om hvilken ordning vi antager. Relationer. Definitionen omtaler relationer som måske ikke tydeligt er en del af mængdelæren fra folkeskolen. Det er dog rimeligt nemt at rette op på. En relation R mellem elementer i to mængder A og B kan opfattes som en delmængde R (A B). Som en notation skriver vi så a R b i stedet for a, b R. Denne infix notation giver bedre en fornemmelse af at det er en relation. Kravene til en partiel ordning om at være en refleksiv, transitiv og antisymmetrisk relation er så bare ekstra betingelser til denne delmængde. Eksempler. Etpunktsmængden U = { } med ordningen U er et domæne. Et domæne kan ikke være tomt da det skal have et mindste element. Enhver mængde S kan udvides til et domæne ved at tilføje et mindste element og benytte en såkaldt flad ordning således at x, y S { }. x y x = x = y Vi bruger ofte symbolet S for domænet med mængden S { } og den flade ordning. Vi siger at et domæne er fladt hvis det har en flad ordning (alså en ordning som opfylder x, y. x y x = x = y). 2

6 1.1 Domæner Domænet B af boolske værdier består af mængden {, true, false} med en flad ordning således at false og true. Ordningen kan illustreres som en træstruktur false true Domænet B Domænet N består af de naturlige tal {0, 1, 2,...} udvidet med et mindste element og en flad ordning Domænet N Parret (N, ) af de naturlige tal med den sædvanlige heltalsordning er ikke et domæne selv om det har et mindste element 0. Der findes voksende kæder af naturlige tal, som ikke har en overgrænse. Udvides de naturlige tal med et særligt symbol for uendelig ( ) som er større end alle værdier i N vil (N, ) være et domæne Domænet N 3

7 1.2 Kontinuitet 1.2 Kontinuitet Definition. Lad (D, ) og (E, ) være domæner. En funktion f : D E siges at være kontinuert hvis og kun hvis f er monoton: x 1, x 2 D. x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) f er grænseværdibevarende (x i ) kæder(d). f( i x i ) = i f(x i ) Definition slut. Monotonicitet sikrer at den sidste grænseværdi er veldefineret, idet følgen f(x 1 ) f(x 2 )... f(x i )... er en kæde i E. Eksempler. Det er rimeligt nemt at finde funktioner, der ikke er monotone. Som et lille eksempel kan vi betragte en funktion f : B B defineret ved f(x) = if x = then false else true Det er straks vanskeligere at finde monotone funktioner, der ikke er kontinuerte. For at lave et sådant eksempel kræves det at definitionsmængden har kæder som ikke indeholder deres egen mindste overgrænse. Betragt funktionen f : N B defineret ved f(x) = if x = then true else Kæden af værdier har grænseværdi som med f afbildes til true. Elementerne i kæden afbildes derimod alle til værdien. Hvis f : N N er en funktion over de naturlige tal (uden det ekstra mindste element) kan den let udvides til en kontinuert funktion f : (N, ) (N, ). f (x) = if x = then else f(x) 4

8 1.2 Kontinuitet For at overbevise sig om det skal man blot konstatere at der kun er to mulige typer kæder i (N, ); enten er alle elementerne mindste elementet eller også vil kæden fra et trin antage en værdi i N og derefter være konstant. En partiel funktion f : N N, dvs. en funktion der ikke er defineret for alle argumenter kan udvides på samme måde til en total kontinuert funktion f : (N, ) (N, ) ved at lade udefineret repræsentere ved bundelementet. Notation. Fra den lidt mere filosofiske side kan man opfatte mængder som noget der lever i den matematiske fantasiverden. Når vi taler om B er det hverken blækket på papiret eller navnet, der er mængden. B er et navn for en given mængde, vi tror på eksisterer i denne fantasiverden (mere formelt tror vi på Zermelo-Fraenkels aksiomssystem for mængdelæren). Tilsvarende kan man spørge sig selv hvad en funktion er. Ligesom med relationer kan funktioner udtrykkes i mængdelæren som delmængder. En funktion f : A B fra en mængde A til en mængde B er en delmængde f (A B) som opfylder x A. z, v f. x = z x, y f. z, v f. z = x v = y Med andre ord, funktionen skal være total og have en entydig værdi for alle argumenter. Som med relationer bruger vi en lidt pudsig notation (i forhold til mængdelæren) når vi skriver f(x) = y i stedet for x, y f. Når vi beskriver funktioner som f(x) = if x = then true else er det som med mængder hverken blækket eller teksten der er funktionen, men det er navnet på en funktion vi også kunne have beskrevet ved f = {, true } { x, x N} Begge definitioner er navne på den samme funktion (delmængde) i mængdelæren. Vi vil ikke holde os tilbage med forskellige måder at definere funktioner på, så længe vi altid kan gå tilbage og kontrollere fundamentet. Når vi skal definere højere-ordens funktioner er det ofte nemmest at bruge lambda-notation og visse funktioner som + og antager vi blot alle ved hvad er. 5

9 1.3 Fixpunktsætning Scott-topologi. Kontinuitet, som defineret her, minder måske ikke så meget om kontinuitet nogle måske kender fra metriske rum, men der er en sammenhæng. Lad D være et domæne, og definer for en delmængde A D, at A er åben ( x, y D. x A x y y A) ( (x i ) kæder(d). x i A {x i } A Man kan vise, at U = {A D A er åben} da er et system af åbne mængder, og at det for to domæner D og E gælder, at de kontinuerte funktioner fra D til E i domæneteoretisk forstand er de samme som de kontinuerte funktioner i topologisk forstand. 1.3 Fixpunktsætning Et fixpunkt for en funktion f : D D er et element d D så f(d) = d. Den følgende sætning er årsagen til at vi overhovedet beskæftiger os med domæneteori. Fixpunktsætning. En kontinuert funktion over et domæne (D, ) f : (D, ) (D, ) har et mindste fixpunkt der kan findes som Bevis. i f i ( ) Beviset har tre dele Veldefineret: f( ) f 2 ( )... Et fixpunkt: f( i f i ( )) = i f i ( ) Det mindste: d D. f(d) = d i i f i ( ) d Veldefineret. Da er mindste element er f( ). Da f er monoton er f( ) f 2 ( ). Resten følger ved induktion. Fixpunkt. Vi har at f( i f i ( )) = i f(f i ( )) da f er kontinuert. Ligeledes er i f(f i ( )) = i f i ( ) da begge værdier er overgrænse for den andens følge - og derfor den mindste overgrænse. (Se også hjælpesætningen senere). Det mindste. Antag f(d) = d. Ved induktion følger f i ( ) d for alle i: d f( ) f(d) f( ) d. Værdien d er derfor en overgrænse for f i ( ). Bevis slut. 6

10 1.4 Blandede sætninger Notation. Det at finde fixpunkter for kontinuerte funktioner er så nyttig en ting at vi straks vil indføre en særlig notation. Sætningen siger at der for alle domæner D findes en funktion fix D : (D c D) D som finder det mindste fixpunkt for en kontinuert funktion. Vi skal senere se at funktionen fix også selv er kontinuert. En funktion kan godt have flere fixpunkter, men sætningen siger altså at mængden af fixpunkter vil have et mindste element. Det er ikke givet at en funktion også har et største fixpunkt, men hvis den har kaldes det ofte for gfp(f) (for greatest fixed point) i modsætning til fix(f) = lfp(f) (for least fixed point). Kæden f( ) f 2 ( )... kaldes på engelsk for the ascending Kleene chain (eller AKC ). Eksempler. Måske er det mest overraskende ved sætningen at alle kontinuerte funktioner har et fixpunkt, altså en værdi der afbildes til sig selv. Man kan let spørge sig selv om der ikke findes modeksempler hvor alle værdier afbildes til noget forskelligt. For eksempel kunne man tage efterfølgerfunktionen over N som afbilder til 0, 0 til 1 osv. Denne funktion er imidlertid ikke monoton, men selvfølgelig burde beviset også afskrække en fra at stille sådanne spørgsmål. 1.4 Blandede sætninger For at vænne os lidt til hvordan man kan jonglere rundt med kæder og fixpunkter vil vi lige vise et par småsætninger. Sætning. For kæder (a i ) kæder(d) og (b i ) kæder(d) gælder ( i. j. a i b j ) i a i j b j Bevis. Antag at der for kæder (a i ) og (b j ) gælder i. j. a i b j, da gælder også i. a i j b j eftersom j b j er en overgrænse for all b j værdier. Dette betyder at j b j er en overgrænse for a i værdierne og derfor større eller lig den mindste overgrænse. Bevis slut. 7

11 1.4 Blandede sætninger Sætning. at Lad (a ij ) være endobbeltindiceret kæde i et domæne D således i i j j a ij a i j Der gælder da i a ii = i j a ij = j i a ij Bevis. Beviset har to dele: Grænseværdierne er veldefinerede. Vi skal sikre os at j a ij er en kæde i den variable i, altså at for alle i at j a ij j a (i+1)j. Hertil kan vi bruge sætningen ovenfor idet a ij a (i+1)j for alle j. Ækvivalens. Vi skal vise at i a ii = i j a ij. Beviset har to dele idet vi vil udnytte antisymmetrien af ækvivalensen. : Vi skal bruge at for alle i er a ii i er en kæde. j a ij. Dette følger af at a ij med fast : Vi skal bruge at der for ethvert k gælder at i a ii j a kj. Givet et m, da har vi at a km a max(k, m)max(k, m) i a ii. Det betyder at i a ii er en overgrænse for kæden j a kj med variabel k og derfor større eller lig den mindste overgrænse. Bevis slut Kommentar. En sætning som den sidste giver et indtryk af hvor stabil domæneteorien er. Man kan bytte rundt på grænseværdioperationer og flytte dem ind og ud af kontinuerte funktioner uden at det ændrer værdien. Man skal faktisk anstrenge sig en hel del før noget går galt. Historiske noter. Domæneteorien er en forholdsvis ung teori inden for matematikken. Den er startet som en del af gitterteorien (eng. lattice theory), der især er blevet behandlet af Garrett Brikhoff omkring 1940erne. Fixpunktsætningen for gitre blev udledt af Tarski og publiceret i Beviset med brug af en kæde skyldes Kleene (1952). Brugen af gitre til at beskrive semantik af programmeringssprog skyldes Dana Scott og Christopher Strachey med en række arbejder fra 1970 og I arbejder fra 70erne blev ordet domæne ofte brugt om gitre, men fra 80erne er det blevet almindeligt kun at kræve eksistens af grænseværdier for kæder. Resultatet om løsning af rekursive domæneligninger skyldes Dana Scott (1970). 8

12 1.5 Opgaver Gitre. Et gitter er en partielt ordnet mængde hvor hvert par af værdier har en mindste overgrænse og en største undergrænse. I et komplet gitter har enhver delmængde en mindste overgrænse og en største undergrænse. Tarskis fixpunktsætning siger at mængden af fixpunkter for en monoton funktion på et komplet gitter udgør et komplet delgitter, og altså har et mindste element. 1.5 Opgaver Opgave 1.1. Domænet 3 består af elementerne 0, 1 og 2 med en ordning, der kan illustreres således Domænet 3 Angiv de mulige kontinuerte funktioner fra 3 til 3. For hver funktion angiv desuden dens mindste fixpunkt. Opgave 1.2. Højden af et domæne er længden af den længste skarpt voksende følge i domænet. (Den samme værdi forekommer ikke to gange i følgen). Vis at en monoton funktion A m B hvor A har endelig højde også vil være kontinuert. Opgave 1.3. Konstruer et eksempel på et domæne som ikke har endelig højde men hvor ingen kæde kan have uendeligt mange forskellige elementer. Opgave 1.4. En funktion f : D D siges at være ekstensiv hvis den opfylder d D. d f(d). Vis at en ekstensiv funktion på et domæne D har et fixpunkt. D kan antages at være tællelig. 9

13 2 Domænekonstruktioner Vi så i sidste afsnit at domæneteorien giver stor fleksibilitet i brugen af grænseværdioperationer. Vi skal nu se at det samme gælder når vi vil danne sammensatte domæner. Domæneegenskaben synes at være forbløffende stabil ved en lang række mængdekonstruktioner. 2.1 Cartesisk produkt Definition. For to domæner (A, A ) og (B, B ) kan vi definere det cartesiske produkt (A B, A B ) som domænet af tupler (par) af værdier fra mængderne A og B. A B = { a, b a A b B} a 1, b 1 A B a 2, b 2 a 1 A a 2 b 1 B b 2 Ordningen kaldes ofte en elementvis ordning af produktet. Sætning. Det cartesiske produkt af to domæner er et domæne. Bevis. Vi skal vise følgende punkter Relationen A B er en partiel ordning. Der findes et mindste element i A B. Det er muligt at finde grænseværdier for kæder i A B. De fleste af disse punkter er ganske trivielle. Ordning. A B refleksiv: a, b a, b fordi a a b b. A B transitiv: hvis a 1, b 1 a 2, b 2 a 2, b 2 a 3, b 3 er a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 a 3 b 2 b 3 så a 1 a 3 b 1 b 3 hvilket medfører a 1, b 1 a 3, b 3. A B antisymmetrisk: hvis a 1, b 1 a 2, b 2 a 2, b 2 a 1, b 1 er a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 a 1 b 2 b 1 så a 1 = a 2 b 1 = b 2 og a 1, b 1 = a 2, b 2. Mindste element. a, b. For alle a, b gælder A a B b så A, B Mindste overgrænse. For en kæde ( a i, b i ) kæder(a B) kan vi konstruere den mindste overgrænse i a i, i b i da a i, b i i a i, i b i og 10

14 2.1 Cartesisk produkt hvis a i, b i c, d for alle i er i a i c og i b i d, så i a i, i b i c, d. Bevis slut. Notation. Projektionerne fst : A B A og snd : A B B er for alle x, y A B defineret ved, fst( x, y ) = x snd( x, y ) = y Vi vil også ofte bruge en nedadrettet pil til at betyde udvælgelse af elementer fra tupler. Dette betyder at x, y 1 = x og x, y 2 = y For funktioner fra et cartesisk produkt udelader vi ofte de kantede parenteser ved funktionskald. Vi kunne således også skrive fst(x, y) = x. Sætning. En funktion A B C i to argumenter er kontinuert hvis og kun hvis den er kontinuert i hvert argument for sig. Bevis. Kun hvis delen følger let ved at betragte kæder hvor den ene komponent er konstant. Hvis. Lad f : A B C være kontinuert i hvert argument for sig og lad ( x i, y i ) kæder(a B). Da er (x i ) en kæde i A og (y i ) en kæde i B Af monotoniciteten af f følger da at (f(x i, y j )) er en dobbeltindiceret kæde i C hvorfor vi kan bruge hjælpesætningen fra sidste afsnit. En udregning giver da f( i x i, y i ) = f( i x i, j y j ) = i f(x i, j y j ) = i j f(x i, y j ) = i f(x i, y i ) Bevis slut. Kommentar. Den tilsvarende egenskab gælder ikke kontinuitet i metriske rum. Som et modeksempel betragt p(x, y) = if x = y = 0 then 0 else (x y)/(x 2 + y 2 ) I domæneteorien er det sjældent det store problem at overbevise sig om at en funktion er kontinuert. 11

15 2.2 Sumdomæne Strikt produkt. Det cartesiske produkt kaldes af og til for det dovne produkt (lazy product) i modsætning til det strikse produkt (strict product eller smashed product) A B = { A, B } (A \ { A }) (B \ { B }). Også dette er et domæne med elementvis ordning. 2.2 Sumdomæne For to ordnede mængder (A, A ) og (B, B ) kan vi konstruere summen (disjoint union) (A + B, A+B ) som A + B = { A+B } { 1, a a A} { 2, b b B} A+B A+B x x A + B 1, a 1 A+B 1, a 2 a 1 A a 2 2, b 1 A+B 2, b 2 b 1 B b 2 Sætning. Summen af to domæner er også et domæne. Bevis. Atter består beviset af en række dele. Denne gang overlader vi dog dele af beviset som en opgave til læseren. Ordning. Mindste element. Se opgaverne. Følger af definitionen. Grænseværdi. Der er tre muligheder for kæder i A + B. A+B A+B A+B A+B 1, a 1 1, a 2... A+B A+B 2, b 1 2, b 2... I det første tilfælde er A+B en overgrænse for kæden. I de andre tilfælde udgør andenkomponenten fra et vist trin en kæde i henholdsvis A og B. Da A og B er domæner har de grænseværdiegenskaben og vi kan konstruere grænseværdien af kæden i A + B som et par hvor andenkomponenten er grænseværdien af andenkomponenterne fra kæden. Vi skal så sikre os at denne grænseværdi er den mindste overgrænse, men det følger af den tilsvarende egenskab i A eller B. Bevis slut 12

16 2.3 Funktiondomæne Notation. funktioner. For summen af to domæner A + B kan vi definere en række hvor isl, isr : A + B B inl : A A + B inr : B A + B outl : A + B A outr : A + B B isl( ) = isr( ) = isl( 1, x ) = true isr( 1, x ) = false x A isl( 2, x ) = false isr( 2, x ) = true x B inl(x) = 1, x inr(x) = 2, x outl( ) = outr( ) = outl( 1, x ) = x outr( 1, x ) = x A outl( 2, x ) = outr( 2, x ) = x x B Strikt sum. Sumdomænet A + B af to domæner kaldes også for en separat sum (separate sum). For to domæner (A, A ) og (B, B ) er den strikse sum (coalesced sum) A B defineret som (A \ { A }) + (B \ { B }), hvor vi bruger den samme ordning som for sumdomænet. Også den strikse sum af to domæner er et domæne. 2.3 Funktiondomæne For to domæner (A, A ) og (B, B ) kan vi konstruere funktionsdomænet (A B, A B ) af kontinuerte funktioner fra A til B med ordningen f A B g x A. f(x) B g(x) 13

17 2.3 Funktiondomæne Bevis. Ordning. Ordningsegenskaberne arves direkte fra domænet B. For vilkårlige f og g har vi: f f x. f(x) f(x) f g g f x. f(x) g(x) g(x) f(x) x. f(x) = g(x) f = g f g g h x. f(x) g(x) g(x) h(x) x. f(x) h(x) f h Mindste element. Mindste elementet i domænet A B er funktionen λx. B idet B g(x) for alle x A og g A B. Grænseværdi. For en kæde af kontinuerte funktioner (f i ) i A B konstruerer vi grænseværdien som λx. i f i(x). Grænseværdien er veldefineret da (f i (x)) for ethvert x udgør en kæde i B. At det er en overgrænse og den mindste overgrænse følger let af B s domæneegenskaber. Vi mangler blot at vise at grænseværdien er kontinuert og altså ligger i domænet A B. Dette overlades som en opgave. Bevis slut. Funktionsdomæne. Mængden af funktioner fra en ikke tom mængde A til et domæne B er et domæne. Dette følger af at vi kun bruger ordningen af A i beviset for at grænseværdier er kontinuerte. Notation. Som det ses kan man let komme ud for at bruge pil symbolet om forskellige slags funktioner. Hvis mængderne A og B er ordnede som domæner vil A B normalt betyde funktionsdomænet (og altså kun mængden af kontinuerte funktioner fra A til B). Hvis man gerne vil understrege at vi her hentyder til de kontinuerte funktioner fra A til B skriver man gerne A c B. Hvis det er de monotone funktioner vi er interesserede i skriver man A m B. Endelig ser man i litteraturen også symbolet A p B for de partielle funktioner fra A til B. Sætning. Fixpunktoperatoren fix : (D c D) D er kontinuert. 14

18 2.4 Potensmængde Bevis. Monotonicitet. For f g følger ved induktion at f i ( ) g i ( ) hvorfor fix(f) = i f i ( ) i g i ( ) = fix(g) Grænseværdibevarende. Lad (f i ) være en kæde af kontinuerte funktioner i domænet D c D. Vi skal så vise at fix( i f i ) = i fix(f i ) Ved induktion følger at ( i f i ) j = ( i f j i ) for alle j. Dette følger af at grænseværdien for en kæde af funktioner er defineret elementvis. Herefter udleder vi: fix( i f i ) = = = = (( f i ) j ( )) j i j i i i j f j i ( ) f j i ( ) fix(f i ) da (f j i ( )) er en dobbeltindiceret kæde i D. Bevis slut. 2.4 Potensmængde For en mængde S kan man danne potensmængden P(S). Dette er et domæne med delmængdeordningen og den tomme mængde som mindste element: Den tomme mængde opfylder klart X S. X. At delmængderelationen er en partiel ordning skulle gerne være et af de resultater vi er bekendt med på forhånd. For en kæde af delmængder X 1 X 2 kan vi konstruere grænseværdien som i X i = i X i At man kan tillade sig at tage foreningsmængden af en tællelig klasse af mængder er en af de spilleregler mængdelæren giver os. Den sikrer os endvidere at man herved danner den mindste mængde som indeholder alle X i mængderne. 15

19 2.4 Potensmængde Begrænsning. Vi er imidlertid nu rede til den måske væsentligste restriktion i domæneteorien. For et domæne D er funktionen singleton : D P(D) singleton(d) = {d} ikke nødvendigvis kontinuert. Dette kan måske synes ganske uskyldigt, men der er anvendelser hvor det er vigtigt at have en kontinuert afbildning ind i potensmængden. Det gælder især når man vil modellere ikke-determinisme i programmeringssprog. Vejen udenom er at bruge en anden ordning end delmængdeordningen, og indføre en restriktion på hvilke delmængder vi vil betragte. Herved definerer man et såkaldt potensdomæne (eng. power domain). Vi skal se tre forskellige måder at gøre det på. Egli-Milner ordningen. På en potensmængde P(D) over et domæne D indfører vi relationen EM som følger. X EM Y ( x X. y Y. x y) ( y Y. x X. x y) Relationen kan læses som at alle dele af X skal ligge under noget af Y (i domænet D), og at alle dele af Y skal ligge over noget af X. Plotkins potensdomæne. Relationen EM er ikke en partiel ordning på potensmængden da den mangler antisymmetri egenskaben. Dette kan vi råde bod på ved alene at betragte de ikke-tomme konvekse delmængder af D. En mængde X er konveks hvis den opfylder x 1, x 3 X. x 2 D. x 1 x 2 x 3 x 2 X Dette potensdomæne skrives normalt som ( P (D), EM ). 16

20 2.5 Opgaver Hoares potensdomæne. Der er to andre konstruktioner man ser brugt. I Hoares potensdomæne bruges alene de nedadafsluttede delmængder. En mængde X er nedadafsluttet hvis x, y D. y X x y x X En nedadafsluttet mængde er et specialtilfælde af en konveks mængde. Dette potensdomæne skrives normalt som ( H (D), EM ). I Hoares potensdomæne er der kun en etpunktsmængde: { }. Alle andre delmængder skal indeholde nedadafslutningen. For at konstruere disse nedadafsluttede mængder indfører man funktionen LC: LC : P(D) H (D) LC(X) = {y D x X. y x} Funktionen kaldes left closure eller lower closure. Smyths potensdomæne. I Smyths potensdomæne bruges alene de opadafsluttede delmængder. Dette potensdomæne skrives som ( S (D), EM ). 2.5 Opgaver Opgave 2.1. Vis at ordningen for sumdomænet er en partiel ordning. Opgave 2.2. Med funktionen cond : B X X X defineret for ethvert domæne X ved cond(, x, y) = X cond(true, x, y) = x cond(false, x, y) = y vis at x A + B. cond(isl(x), inl(outl(x)), inr(outr(x))) = x Opgave 2.3. For et domæne A med mindste element A kan man danne det løftede domæne A (lifted cpo) (A, ) som værende A udvidet med et nyt mindste element således at A = { } { 1, x x A} x x A 1, x 1, y x y Vis at dette faktisk er et domæne. 17

21 2.5 Opgaver Notation. Til et løftet domæne kan vi definere følgende funktioner. hvor def : A B up : A A down : A A def( ) = def( 1, x ) = true x A up(x) = 1, x down( ) = A down( 1, x ) = x Disse funktioner opfylder: x A. cond(def(x), up(down(x)), ) = x Opgave 2.4. Vis at grænseværdien af en kæde af kontinuerte funktioner i funktionsdomænet selv er kontinuert. Opgave 2.5. For Hoares og Smyths potensdomæner kan Egli-Milner ordningen forenkles noget. Forklar hvordan. Opgave 2.6. Der er et modstykke til sætningen om funktioner af to argumenter. Vis at for en funktion f : A B C at f er kontinuert hvis og kun hvis fst f og snd f er kontinuerte. 18

22 3 Rekursivt definerede funktioner Vi er allerede stødt på en række funktionsdefinitioner i disse noter. Indtil nu har de haft en form som p(x) = x + x 2 hvor højresiden er et simpelt udtryk i argumenterne. Som tidligere nævnt har sådanne funktioner et fundament i mængdelæren. Det betyder at en funktion i virkeligheden (eller rettere i matematikken) opfattes som en mængde. f : D E f(x) = e f = { x, r x D r = e} Funktionen ovenfor bliver således til p = { x, r x N r = x + x 2 } I dette afsnit skal vi se på rekursive funktionsdefinitioner og hvordan vi kan bruge fixpunktsætningen til at give dem mening. 3.1 Paradokser Hvis vi bruger oversættelsen af funktioner til mængder på en typisk rekursiv funktion som fakultetsfunktionen: f(x) = if x = 0 then 1 else x f(x 1) ja, så får vi følgende mængde: f = { x, r x N ((x = 0 r = 1) (x 0 x 1, s f r = x s))} Nu er vi ude på et skråplan. Når vi forsøger at definere mængder ved hjælp af sig selv åbner vi op for masser af mulige paradokser. Vi kan for eksempel spørge om hvilke elementer mængden g har: g = {x x / g} I almindelige ord svarer det til et af de klassiske paradokser i mængdelæren: Hvem barberer barberen, der barberer alle de folk i byen, som ikke barberer sig selv? Løsningen i mængdelæren er at forbyde sådanne definitioner, men det er ikke særlig attraktivt for os, så vi må søge nye veje. 19

23 3.2 Fixpunkter Løsninger. Intuitivt er det klart at f gerne skal være fakultetsfunktionen. Vi kan da også hurtigt overbevise os om at følgende mængde vil opfylde ligningen. f = { x, y x 0 y = x!} Det er dog ikke alle sådanne ligninger der har løsninger og nogle ligninger kan have flere løsninger. Følgende fixpunktligning g(x) = g(x) svarer til mængden g = { x, r x, r g} og det siger sig selv at et hvilket som helst cartesisk produkt opfylder ligningen. Modsat vil ligningen h(x) = h(x) + 1 ikke have nogle løsninger. Målet må nu være at finde en metode til at sikre løsninger, og at sortere ud blandt løsninger. 3.2 Fixpunkter Det kommer næppe som en kæmpe overraskelse at fixpunktsætningen kan hjælpe os til at finde løsninger til rekursive funktionsdefinitioner. For en funktionsdefinition f(x) = e hvor udtrykket e indeholder f kan vi definere en funktion F(f) = λx. e hvilket også kan skrives som F = λf. λx. e Denne funktional (højere-ordens funktion) er ikke rekursiv og giver god mening i mængdelæren. Udtrykket e er jo et udtryk i argumenterne x og f, men det afhænger ikke af F. Kravet til en løsning på ligningen er da at det skal være et fixpunkt for funktionalen F. f = F(f) 20

24 3.2 Fixpunkter For eksempel kan vi nu omformulere definitionen af fakultetsfunktionen til F = λf. λx. if x = 0 then 1 else x f(x 1) og herefter vise at F(λx. x!) = λx. x! Vi har således omformuleret spørgsmålet til at finde et fixpunkt for en funktion F. Det er så fristende at spørge om funktionen F er kontinuert for så ved vi at den har fixpunkter og vi kender en metode til at finde det mindste. Kontinuitet. Umiddelbart er funktionen F ikke kontinuert. Vi har ikke angivet hvilke mængder funktionen er defineret for og når der ikke er nogen ordning kan vi altså heller ikke tale om kontinuitet. Som tidligere nævnt er N N et domæne og vi vil nu forsøge at definere F som en kontinuert funktion i domænet (N N ) (N N ) Dette kræver dog at multiplikation udvides til domænet N. En enkel måde at gøre det på er at kræve at x y = x = y =, altså at multiplikation opfører sig normalt bortset fra på den specielle -værdi. Det er ikke svært at overbevise sig om at denne funktion er kontinuert. Det kan af og til være nyttigt at kunne skelne mellem de to slags multiplikationer og vi bruger da symbolet. x y = if x = y = then else x y Vi kan herefter definere f til at være det mindste fixpunkt for F f = fix(f) F = λf. λx. if x = 0 then 1 else x f(x 1) Spørgsmålet er så om denne definition svarer til hvad vi intuitivt havde forventet. Dette er selvfølgelig svært at svare på hvis man ikke er sikker på hvad man forventer, men vi kan da altid undersøge hvilken funktion, der rent faktisk er defineret ved dette fixpunkt. 21

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. 3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

1 Opsumering fra tidligere. 2 Dagsorden 3 BIMS. 4 Programtilstande. Statements/kommandoer (Stm) i bims. 3.1 Abstrakt syntaks for bims

1 Opsumering fra tidligere. 2 Dagsorden 3 BIMS. 4 Programtilstande. Statements/kommandoer (Stm) i bims. 3.1 Abstrakt syntaks for bims 1 Opsumering fra tidligere Hvis A er kontekstfrit, S er der et p > 0 s Alle s A hvor s p kan splittes op som s = uvxyz så argument 1-3 holder A er ikke kontekstfrit, hvis for ethvert bud på p kan findes

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

26 Programbeviser I. Noter. PS1 -- Programbeviser I. Bevis kontra 'check af assertions' i Eiffel. Betingelser og bevisregler.

26 Programbeviser I. Noter. PS1 -- Programbeviser I. Bevis kontra 'check af assertions' i Eiffel. Betingelser og bevisregler. 26 Programbeviser I. Bevis kontra 'check af assertions' i Eiffel. Betingelser og bevisregler. Hvad er programverifikation? Bevisregel for 'tom kommando'. Bevisregel for assignment. Bevisregler for selektive

Læs mere

Sproget Limba. Til brug i G1 og K1. Dat1E 2003

Sproget Limba. Til brug i G1 og K1. Dat1E 2003 Sproget Limba Til brug i G1 og K1 Dat1E 2003 Abstract Limba er et simpelt imperativt sprog med hoballokerede tupler. Dette dokument beskriver uformelt Limbas syntaks og semantik samt en fortolker for Limba,

Læs mere

Kursusgang Rekursive definitioner. 14. april Mystiske eksempler. Hvad er en rekursiv definition egentlig? Partielle ordninger

Kursusgang Rekursive definitioner. 14. april Mystiske eksempler. Hvad er en rekursiv definition egentlig? Partielle ordninger Kursusgang 15 14. april 2011 1 Rekursive definitioner Hvad er en rekursiv definition egentlig? Partielle ordninger cpo er (fuldstændige partielle) ordninger Monotone og kontinente funktioner Sætning om

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Sproget Rascal (v. 2)

Sproget Rascal (v. 2) Sproget Rascal (v. 2) Til brug i K1 på kurset Oversættere Opdateret 29/11 2004 Abstract Rascal er et simpelt Pascal-lignende imperativt sprog. Dette dokument beskriver uformelt Rascals syntaks og semantik

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Sproget Six. Til brug i rapportopgaven på kurset Oversættere. Vinter 2006. Abstract

Sproget Six. Til brug i rapportopgaven på kurset Oversættere. Vinter 2006. Abstract Sproget Six Til brug i rapportopgaven på kurset Oversættere Vinter 2006 Abstract Six er baseret på det sprog, der vises i figur 6.2 og 6.4 i Basics of Compiler Design. Den herværende tekst beskriver basissproget

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

1 Program for forelæsningen

1 Program for forelæsningen 1 Program for forelæsningen Udvidelser af Bims (Kontrolstrukturer) Repeat-løkker For-løkker Non-determinisme God Ond parallelitet Alle emner hører under semantisk ækvivalens. 1.0.1 Fra tidligere.. Bims

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Ja! det beviste vi uge 16+17

Ja! det beviste vi uge 16+17 Ugens emner Lukketheds- og afgørlighedsegenskaber [5.3-5.5] lukkethed under,,,, * lukkethed under homomorfi og invers homomorfi pumping -lemmaet beslutningsproblemer: membership, emptiness, finiteness

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Introduktion til prædikatlogik

Introduktion til prædikatlogik Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Regularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012

Regularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012 Regularitet og Automater Tobias Brixen Q4-2012 1 Noterne er skrevet med inspiration fra http://cs.au.dk/ illio/courses/dregaut/dregautnoter.pdf Contents 1 Regulære udtryk 3 1.1 RegEx.................................

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Oversættere. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005

Oversættere. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Regulære udtryk og endelige automater

Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk: deklarative dvs. ofte velegnede til at specificere regulære sprog Endelige automater: operationelle dvs. bedre egnet til at afgøre om en given streng

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Dat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende

Dat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende Dat 2/BAIT6/SW4: Syntaks og semantik En manual for studerende Hans Hüttel Foråret 2011 Indhold Indhold 1 1 Kurset er lavet om! 1 2 Kursets indhold 2 2.1 Kursets emner................................ 2

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996 Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere