Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)"

Transkript

1 Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f er en funktion fra A til B eller f er en afbildning mellem A og B skrives f : A B Mængden A kaldes funktionens domæne eller definitionsmængde. Mængden B kaldes funktionens codomæne eller dispositionsmængde. Delmængden (billedet) f (A) B som er givet ved f (A) = {y B y = f () for et eller andet A} kaldes værdimængden eller billedmængden til f. (y B). Funktioners egenskaber f(a) a B{ Funktioners egenskaber y y f(b) y = f() f f(a) A b Kan du huske hvad A, B og f (A) hedder? Er dette en funktion? Hvorfor eller hvorfor ikke?

2 Funktioners egenskaber y y = f() Funktioners egenskaber To funktioner f og g er lig hinanden, hvis og kun hvis 1. f og g har samme definitionsmængde, og 2. f () = g() for alle i definitionsmængden. En funktion h : A C er sammensat af funktionerne f : B C og g : A B, hvis h() = (f g)() = f (g()). En funktion er injektiv eller én-til-én, hvis f ( 1 ) = f ( 2 ) 1 = 2. Er dette en funktion? Hvorfor eller hvorfor ikke? Lad f : A B være en injektiv funktion, da er den inverse funktion f 1 : f (A) A defineret ved for alle y f (A). f 1 (y) = y = f () De elementære funktioner Eksempel (polynomium): En kemisk reaktion Polynomielle funktioner f () = a + a 1 + a a n n (a n ). Rationelle funktioner f () = p()/q() (q() ). Potensfunktioner f () = r (r R). Eksponentialfunktioner f () = a (a R + \{1}). Logaritmiske funktioner f () = log a () (inverse af a ). Trigonometriske funktioner f () = sin, f () = cos, f () = tan (eksempler på periodiske funktioner). Følgende er formlen for en kemiske reaktion hvor A og B er molekyler. A + B AB, Lad [A] være koncentrationen af A. Lad [B] være koncentrationen af B. Reaktionshastigheden R er proportional med koncentrationen af de respektive reaktanter: R [A][B]. Lad k være proportionalitetsfaktoren, så har vi R = k[a][b].

3 Eksempel (polynomium): En kemisk reaktion Følgende er formlen for en kemiske reaktion Vi definerer nu følgende: A + B AB. R = k[a][b]. a er startkoncentrationen for A. b er startkoncentrationen for B. er koncentrationen af molekylet AB Da fås: for a og b. [A] = a, [B] =b Indsættes i udtrykket for reaktionshastigheden, får vi R() = k(a )(b ) =k(ab a b + 2 ) = k 2 k(a + b) + kab, hvilket er et eksempel på et polynomium af 2. grad. Eksempel (polynomium): En kemisk reaktion Følgende er formlen for en kemiske reaktion A + B AB. R() = k(a )(b ). Vi vælger som eksempel: k = 2, a = 2, b = 5. Grafen for R: R r R() = 2(2 )(5 ) Eksempel (rationel funktion): Monod-vækstfunktionen En model til at beskrive en organismes vækst. Væksten beskrives med en per capita vækstrate r. Organismens vækst begrænses af en form for næring N. Hvis tilstrækkelig mængde næring er til rådighed, går vækstraten mod et mætnings-niveau a. Dette er en egenskab, der kan beskrives med en rationel funktion: r(n) = an k + N, hvor k kaldes halvmætningskonstanten, fordi r(k) = a/2. Denne vækstmodel blev beskrevet af nobelpristageren Jacques Monod i 4 erne. Eksempel (rationel funktion): Monod-vækstfunktionen En model til at beskrive en organismes vækst. Væksten beskrives med en per capita vækstrate r. Organismens vækst begrænses af en form for næring N. Hvis tilstrækkelig mængde næring er til rådighed, går vækstraten mod et mætnings-niveau a. a (k, a/2) N r(n) = an/(k + N)

4 Eksempel (potensfunktion): Allometriske relationer Potensfunktioner anvendes ofte til skalering i biologi. Eksempler: Stofskiftet skalerer med kropsvægt i potensen 3/4. Radius af aorta skalerer med kropsvægt i potensen 3/8. Cirkulationstiden skalerer med kropsvægt i potensen 1/4. Dette kaldes allometriske relationer og beskrives matematisk med potensfunktioner: y = k r, hvor r er potensen og k kaldes normaliseringskonstanten. Eksempel (eksponentialfunktion): Ubegrænset vækst Bakterier formerer sig ved celledeling. Under ideelle forhold kan celledeling ske hvert 2. minut. Populationen kan altså fordoble sig selv hvert 2. minut. Lad os betragte delingstiden som 1 tidsskridt. Bakteriernes antal N til tiden t følger derved ligningen N(t + 1) = 2N(t). Eksponentialfunktionen opfylder ligningen idet N(t) = 2 t, t =, 1, 2,... N(t + 1) = 2 t+1 =2 2 t =2N(t). Kilde: Perspektiv, 3. årgang, nr. 2, side 2, 24. Eksempel (eksponentialfunktion): Ubegrænset vækst Bakterier formerer sig ved celledeling. Under ideelle forhold kan celledeling ske hvert 2. minut. Populationen kan altså fordoble sig selv hvert 2. minut. Lad os betragte delingstiden som 1 tidsskridt. Bakteriernes antal N til tiden t følger derved ligningen N N(t + 1) = 2N(t). N(t) = 2 t t Eksempel (eksponentialfunktion): Radioaktivt henfald Radioaktive isotoper, såsom kulstof 14 (C 14 ), bruges til aldersbestemmelse. C 14 dannes højt i atmosfæren og henfalder til N 14 (nitrogen). I atmosfæren er der ligevægt mellem C 14 og C 12 (kulstof 12). Planter optager og omdanner CO 2 molekyler fra atmosfæren med ligevægtsforhold mellem C 14 og C 12. Når planter dør, stopper deres optag af CO 2. Derefter henfalder de radioaktive C 14 isotoper eksponentielt. Lad W (t) være mængden af C 14 til tiden t, med W = W (), da har vi: W (t) = W e λt, hvor λ kaldes henfaldskonstanten (decay rate) og e er det naturlige grundtal for eksponentialfunktionen (ep() = e ).

5 Eksempel (eksponentialfunktion): Radioaktivt henfald Radioaktive isotoper, såsom kulstof 14 (C 14 ), bruges til aldersbestemmelse. Lad W (t) være mængden af C 14 til tiden t, med W = W (), da har vi: W (t) = W e λt, hvor λ kaldes henfaldskonstanten (decay rate) og e er det naturlige grundtal for eksponentialfunktionen (ep() = e ). W W (T h, W /2) t W(t) = W e λt Eksempel (logaritmisk funktion): DNA nukleotidudskiftning DNA-sekvenser udvikler sig fra generation til generation. Nukleotider er DNA-sekvensens byggesten. Der findes 4 typer: A (Adenin), T (Thymin), C (Cytosin) og G (Guanin). En måde DNA kan udvikle sig på, er ved udskiftning af ét nukleotid med et andet. Antag at der ved udskiftning til et nyt nukleotid er lige stor sandsynlighed for alle 4 typer. Måske er det nye nukleotid af samme type som det oprindelige. Ved sammenligning af 2 DNA-sekvenser kan man kun se, hvad der er forskelligt. Brøkdelen af nukleotider som er forskellige kaldes p. For at bedømme hvor lang tid siden det er, at 2 DNA-sekvenser havde samme forfader, skal vi kende den egentlige brøkdel af nukleotidudskiftninger K. Eksempel (logaritmisk funktion): DNA nukleotidudskiftning DNA-sekvenser udvikler sig fra generation til generation. Brøkdelen af nukleotider som er forskellige kaldes p. For at bedømme hvor lang tid siden det er, at 2 DNA-sekvenser havde samme forfader, skal vi kende den egentlige brøkdel af nukleotidudskiftninger K. Charles Cantor har i 1969 beskrevet følgende matematiske model til at finde K, når man kender p: K = 3 ( 4 ln 1 4 ) 3 p, hvor ln er den naturlige logaritme, som er den inverse af ep. ep(ln a) =a, a = ep( ln a), log a = ln ln a. Eksempel (logaritmisk funktion): Logaritmisk skala Ribosom Syfilisvirus Bakterie Bjørnedyr Menneske Blåhval Jordens diameter Afstand fra jorden til solen log (længde) [længde i meter] En (1-tals) logaritmisk skala angiver, hvad 1 skal opløftes i for at man får den rigtige afstand. Semilog plot betyder logaritmisk skala på den ene akse. Dobbelt-log plot betyder logaritmisk skala på begge akser. Hvis en funktion er en ret linie i et semilog plot, så er det en eksponentialfunktion. Hvis en funktion er en ret linie i et dobbelt-log plot, så er det en potensfunktion.

6 c Eksempel (trigonometrisk funktion): Ammoniakudledning Trigonometriske funktioner er specielt gode til at beskrive periodiske fænomener. En periodisk funktion gentager sig selv efter en periode a, d.v.s. f ( + a) = f (), for alle. F.eks. kan ammoniakkoncentrationen c i en sø ændre sig periodisk (p.g.a. sæsonvariation i udledning fra landbruget): c(t) = sin(2π(t 4/52)). 2 Eksempel (trigonometrisk funktion): Ammoniakudledning Trigonometriske funktioner er specielt gode til at beskrive periodiske fænomener. En periodisk funktion gentager sig selv efter en periode a, d.v.s. f ( + a) = f (), for alle. F.eks. kan ammoniakkoncentrationen c i en sø ændre sig periodisk (p.g.a. sæsonvariation i udledning fra landbruget): c(t) = sin(2π(t 4/52)) t Kilde: Atmosfærisk deposition 23. Faglig rapport fra DMU, nr. 519, s. 33, Miljøministeriet, 24.

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2008. Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: Collage af foto fra blandt andet: istock.com/chuntise istock.com/ihoe Side 11: istock.com/jamesbenet Side 14: Tegning af

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 0B1. Potenser og potensregler Hvis a R og n er et helt, positivt tal, så er potensen a som bekendt defineret ved: n (1) n

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

1. Hvad er kræft, og hvorfor opstår sygdommen?

1. Hvad er kræft, og hvorfor opstår sygdommen? 1. Hvad er kræft, og hvorfor opstår sygdommen? Dette kapitel fortæller om, cellen, kroppens byggesten hvad der sker i cellen, når kræft opstår? årsager til kræft Alle levende organismer består af celler.

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Projekt 4.6 C-14 Datering

Projekt 4.6 C-14 Datering Projekt 4.6 C-4 Datering Første del: Metoden I slutningen af 940 erne finder et team på University of Chicago under ledelse af Willard Libby ud af, at man kan bruge det radioaktive stof kulstof 4 ( 4 C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010 Institution Handelsskolen Sjælland Syd, Campus Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Læringsmål i fysik - 9. Klasse

Læringsmål i fysik - 9. Klasse Læringsmål i fysik - 9. Klasse Salte, syrer og baser Jeg ved salt er et stof der er opbygget af ioner. Jeg ved at Ioner i salt sidder i et fast mønster, et iongitter Jeg kan vise og forklare at salt, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012. Institution ZBC Næstved. Uddannelse Hhx. Fag og niveau Matematik C. Lærer(e) Hold Lars Westermann

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Storstrøm / Næstved Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B Lærer(e) Hold Nils

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Workshop i differentialligninger

Workshop i differentialligninger Workshop i differentialligninger Indholdsfortegnelse Eksempler på eksamensopgaver side 1 Opgave 1 7: side 1 Projekter: side 3 8. Isokliner side 3 9. Logistisk vækst med jagt/fiskeri side 4 10. Romeo og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold IBC Aabenraa HHX Matematik C Lars Erik Henriksen 1HHI 1 Funktioner og polynomier a) Lave en grafisk funktionsanalyse. 1. Definitionsmængde.

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Noter til kemi A-niveau

Noter til kemi A-niveau Noter til kemi A-niveau Grundlæggende kemi til opgaveregning 2.0 Af Martin Sparre INDHOLD 2 Indhold 1 Kemiske ligevægte 3 1.1 En simpel kemisk ligevægt.................... 3 1.2 Forskydning af ligevægte.....................

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hf2 Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2006 Institution Selandia-CEU Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik, niveau C Jens Hviid Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Folkeskolens afgangsprøve December 2012. Biologi. Elevnavn: Elevnummer: Skole: Hold: 1/22 B4

Folkeskolens afgangsprøve December 2012. Biologi. Elevnavn: Elevnummer: Skole: Hold: 1/22 B4 Folkeskolens afgangsprøve December 2012 B4 Elevnavn: Elevnummer: Skole: Hold: Elevens underskrift Tilsynsførendes underskrift 1/22 B4 afgangsprøver december 2012 Sæt 4 Evolution og udvikling Det er cirka

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Mine noter om funktioner C. Ib Michelsen

Mine noter om funktioner C. Ib Michelsen Mine noter om funktioner C Ib Michelsen Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Funktioner...72 Generelt om funktioner...74 Variable...74 Talpar i tabeller...76 Grafer i koordinatsystemet...78 Det almindelige

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1

brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D Demo preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D preben bernitt funktioner 2+ - 2010 bernitt-matematik.dk 1 brikkerne til regning & matematik funktioner F+E+D beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-37-4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 12/13 Institution International Business College Fredericia-Middelfart Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Bilag 1: ph. ph er dimensionsløs. Den har en praktisk betydning men ingen fundamental betydning.

Bilag 1: ph. ph er dimensionsløs. Den har en praktisk betydning men ingen fundamental betydning. Bilag 1: Introduktion har afgørende betydning for det kommende afværgeprojekt ved Høfde 4. Det skyldes, at basisk hydrolyse, som er det første trin i den planlagte treatment train, foregår hurtigere, jo

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Teknisk anvisning for marin overvågning

Teknisk anvisning for marin overvågning NOVANA Teknisk anvisning for marin overvågning 5.3 Pb datering af sediment Henrik Fossing Finn Adser Afdeling for Marin Økologi Miljøministeriet Danmarks Miljøundersøgelser 5.3-1 Indhold 5.3 Pb datering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler

Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler 1001 7 a a a) Reducér udtrykket 4 a 100 5 a a) Reducér udtrykket 3 (a ) 1003 a) Løs ligningen x x 6 = 0 1004 a) Reducér ( a + b) a(

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

Drivhuseffekten er det fænomen, der sørger for at jorden har en højere middeltemperatur, end afstanden til solen berettiger til.

Drivhuseffekten er det fænomen, der sørger for at jorden har en højere middeltemperatur, end afstanden til solen berettiger til. 1 Modul 5 Vejr og klima Drivhuseffekten gør at der er liv på jorden Drivhuseffekten er det fænomen, der sørger for at jorden har en højere middeltemperatur, end afstanden til solen berettiger til. Planeten

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Eksamensspørgsmål til biocu til mandag d. 10. juni 2013

Eksamensspørgsmål til biocu til mandag d. 10. juni 2013 Eksamensspørgsmål til biocu til mandag d. 10. juni 2013 Nr. 1. Fra gen til protein. Hvordan er sammenhængen mellem DNA ets nukleotider og proteinets aminosyrer? Beskriv hvad der sker ved henholdsvis transskription

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Michael

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2012/2013 Institution Silkeborg Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik, niv

Læs mere

Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet

Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet Niels Hjersing Per Hammershøj Jensen Børge Jørgensen Indholdsfortegnelse 1 1. Forord... 3 2.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere