R i 02402: Introduktion til Statistik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "R i 02402: Introduktion til Statistik"

Transkript

1 R i 02402: Introduktion til Statistik Per Bruun Brockhoff DTU Informatik, DK-2800 Lyngby 20. juni 2011 Indhold 1 Anvendelse af R på Databar-systemet på DTU Adgang R R Commander Import af data Brug af programmet Lagring af tekst og grafik ThinLinc R i Pensum Introducerende R-øvelse Diskrete fordelinger, uge Beskrivelse Binomialfordelingen: Poissonfordelingen: Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Opgave Opgave Opgave Opgave

2 4 Kontinuerte fordelinger, normalfordelingen, uge Beskrivelse Normalfordelingen: Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Opgave Opgave Opgave Kontinuerte fordelinger, uge Beskrivelse Log-normal-fordelingen: Den uniforme fordeling: Eksponentialfordelingen: Normalfordelingsplot Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Opgave Opgave Opgave Samplingfordelinger, uge 5 og Beskrivelse t-fordelingen χ 2 -fordelingen: (uge 8) F-fordelingen:(uge 8) Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Opgave Opgave Hypotese-test og konfidensintervaller for et og to gennemsnit, Kap. 7+8, uge Beskrivelse One-sample t-test/konfidensinterval Two-sample t-test/konfidensinterval Parret t-test/konfidensinterval: Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Opgave Opgave Opgave Hypotese-test og konfidensintervaller for andele, Kap. 10, uge Beskrivelse Konfidensinterval for en andel, sec

3 8.1.2 Hypotesetest for en andel, sec Hypotesetest for to eller flere andele, sec Analyse af r c tabeller, sec Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Statistik ved hjælp af simulering, uge Introduktion Hvad er simulering egentlig? Eksempel Simulering som generelt beregningsværktøj Eksempel Fejlophobningslove Eksempel Konfidensintervaller ved hjælp af simulering: bootstrapping Ikke-parametrisk bootstrap for one-sample situationen Two-sample situationen Hypotesetest ved hjælp af simulering Hypotesetest ved hjælp af bootstrap konfidensintervaller One-sample setup, Eksempel Hypotesetest ved hjælp af permutationstest Two-sample situationen Opgaver Exercise Exercise Exercise Exercise Exercise Lineær regression, kap. 11, uge Beskrivelse Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Opgave Variansanalyse, Kap og 12.2, uge Beskrivelse Supplement: Generel variansanalyse ( Orienterende ) Træning vha. ugens øvelsesopgaver Testopgaver Opgave Variansanalyse, Kap. 12.3, uge Beskrivelse Træning vha. ugens øvelsesopgaver

4 12.3 Testopgaver Opgave

5 1 Anvendelse af R på Databar-systemet på DTU 1.1 Adgang En beskrivelse af databar systemet på DTU kan findes på Denne note antager at G-baren benyttes. Adgang til G-baren forudsætter et login (studienummer) og et password, hvilket alle studerende ved DTU får udleveret ved optagelse. Login foretages via en tynd klient (terminal) placeret som beskrevet under databarsystemet i folderen Databarsystemet på DTU (http://www.gbar.dtu.dk/folder.pdf), eller via login over internet. For login over internet anbefales det at benytte ThinLinc, se bilag 1.3. Når der logges ind vha. ThinLinc skal man først vælge en profil for sessionen. I denne note antages at Solaris CDE anvendes. 1.2 R Programmet R er et open source statistikprogram, der i vid udstrækning er en kopi af det kommercielle program R. Det introduceres kort i Appendix C i lærebogen til Det kører på gbaren, men er nemt og hurtigt at hente ned til sin egen computer, hvad enten man bruger Windows, Mac eller Linux: Det anbefales at hente programmet til sin egen computer, idet man jo IKKE har adgang til gbaren ved eksamen, hvor man godt må have programmet med på sin egen labtop. Der findes samme sted adskillige tilgængelige introduktioner til programmet. Programmet fungerer i sin grundform vha. af et kommando-vindue (R Console), hvor man ved prompten kan køre kommandoer/funktionskald. I gbaren kan programmet således køre interaktivt alene via sådan en konsol. I windows versionen er konsollen automatisk pakket ind i en brugergrænseflade, hvor konsollen i opstarten er det eneste aktive vindue, men med nogle forskellige overordnede menuer. Denne version af at køre programmet findes ligeledes på gbaren. Man kan med fordel altid starte en script-editor ( File New Script ) inden for R, hvorfra det er nemt at submitte kommandoer samtidig med, at man ikke mister dem igen. I kurset Anvendt statistik og statistisk programmel, som kører som et 3-ugers kursus i Januar hvert år får man mulighed for at arbejde videre med brugen af programmet R til praktisk statistisk dataanalyse - en direkte projekt-orienteret overbygning på introduktionskurset 02402, se hvor man også kan finde henvisninger til godt (online) lærebogsmateriale R Commander På trods af at R således kører via menuer, er der i denne grundform IKKE egentlige menuer til at udføre selve de statistiske analyser, som kendes fra de fleste standard kommercielle statistikprogrammer. Vi vil derfor i tillæg til dette bruge en menubaseret overbygning til at lave statistik i R. Der findes forskellige af sådanne overbygninger, vi bruger pakken ( package ) 5

6 Rcmdr også kaldet R Commander. Denne er klar til brug i databarens R version - for at starte: ved prompten skriv: > library(rcmdr) Man kan nemt installere Rcmdr på sin egen computer også ved inden for programmet R at gøre følgende: (internetforbindelse forudsættes) 1. Klik Packages Install Packages(s) 2. Vælg Mirror Sit - f.eks. Denmark 3. Find og vælg pakken Rcmdr på listen - så pakken bliver installere ( dvs. kopieret til computeren) 4. Derefter, kør: library(rcmdr) ved prompten. Man loader programmet på denne vis. (Dette skal skrives hver gang man starter R op for også at starte R Commander) (Første gang spørger den sandsynligvis til nogle pakker, der mangler - man svarer blot ja til at den skal installere det nødvendige) NB, vedrørende installationen og første load R Commander: For visse platforme er der forskellige detaljer, der måske kan drille lidt: For Windows 7 og Vista: Hvis du installerer R, som computeren nok vil foreslå, under Pogramme Files, så skal du køre R som administrator for at kunne installere pakker. Enten højreklik på R ved opstart og vælg dette ELLER vælg ved installeringen at installere R helt uden for dette, f.eks. blot direkte i roden. For Macbrugere er der et par ekstra udfordringer: Man skal sikre sig at X Windows er tilgængelig OG at Tcl/Tk for X Windows er installeret inden man går i gang. Uanset platform, se følgende hjemmeside for detaljer og for Mac-brugere direkte links til det nødvendige: (http://socserv.mcmaster.ca/jfox/misc/rcmdr/installation-notes.html). Bemærk, at R Commander giver et ekstra program-vindue, der inkluderer hhv. en script-editor og et outputvindue. Når man laver grafik vil graferne poppe op i seperate vinduer - evt. inden for det oprindelige R-vindue. Bemærk også det ret væsentligt: Man får for alle menubaserede valg ikke blot resultatet af disse valg, men også de R-scripts, som dette svarer til. Man kan således nemt springe imellem script-baseret og menubaseret brug af programmet Import af data Data importeres til R ved f.eks. at bruge read.table funktionen, se Appendiks C. Eller via menuerne i R Commander: Data Import Data. Forskellige valg er filformat er mulige - default setting for text-files virker umiddelbart for de.txt-filer, som hører til bogen (www.pearsonhughered.com/datasets) eller mere direkte via (såfremt browseren kører på en maskine på DTU) (7ed: Ved import af data fra et regneark kan det nogen gange være en fordel at eksportere data fra regnearket til komma separeret (csv) format inden data importeres til R. (Der findes pakker, der bedre og mere direkte kan håndtere f.eks. Excell-filer, men det springes over her (pakken RODBC)) 6

7 1.2.3 Brug af programmet Lagring af tekst og grafik Tekst fra vinduer i programmet R kan kopieres til andre programmer på sædvanlig vis: Marker teksten ved at holde venstre tast på musen nede og træk pointeren over den ønskede tekst. Skift til det andet program (f.eks. StarOffice), placer pointeren det ønskede sted og tryk på musens midterste tast. Alt tekst i Commands Window eller Report Window kan gemmes i en tekstfil ved at gøre vinduet aktivt og vælge File Save As.... Grafik kan gemmes i en grafikfil ved at gøre grafikvinduet aktivt og vælge File Save As.... Der er mulighed for at vælge blandt en række grafik formater (JPEG er default). 1.3 ThinLinc Ved installation af en ThinLinc klient er det muligt at benytte en vilkårlig PC med internetadgang som terminal til G-baren. En ThinLinc klient kan downloades fra (klik på Downloads og vælg platform). Når klienten er installeret startes ThinLinc. Adgang til G-baren fås via internet adressen thinlinc.gbar.dtu.dk. Noter: Pr. default benytter ThinLinc hele skærmen, dette kan ændres under options. Ved login kan der vælges mellem en række brugergrænseflader; det anbefales at benytte CDE. Anvendelse af CDE forudsætter brug af mus med tre knapper. Hvis musen kun har to knapper emuleres den midterste ved samtidigt tryk på begge knapper. For en mus med tre knapper er der under Windows i nogle tilfælde observeret problemer med den midterste museknap (den fortolkes af Windows og overføres ikke til G-baren). I dette tilfælde kan den midterste museknap emuleres ved samtidigt at trykke på de to yderste museknapper. Yderligere information kan opnås via G-barens hjemmeside under user guide general use remote access access to the G-Bar server using ThinLinc. 2 R i Pensum R indgår i kursets pensum svarende til de afsnit i denne note, der i forelæsningsplanen/pensumlisten henvises til som grundig læsning ( g ). Denne pensumsdel er det, der tjekkes i Testopgaverne under hvert hovedafsnit, som er stillet som en del af øvelserne i løbet kursusforløbet. Disse 7

8 opgaver, og således også eksamen, kræver IKKE at man sidder og har adgang til programmet, MEN kræver en forståelse af forskellige aspekter af det som programmet producerer. Man vil typisk kun kunne opnå denne forståelse/ dette kendskab til programmet, såfremt man i løbet af kurset træner sig lidt i selve programmet. Der bliver ved kursusstart arrangeret en decideret computerøvelse, hvor man således under vejledning kan arbejde med de stillede opgaver. Derudover må man selv arbejde med det. Installerer man R på sin egen labtop, kan man med fordel lade programmet erstatte lommeregneren i kurset, hvilket man så kan udnytte til eksamen. Ud over de stillede testopgaver, så er der i noten her en anvisning til hvilke af øvelsesopgaverne man kan løse med programmet. Det skal understreges, at programmets evne til at beregne ting for brugeren IKKE betyder at forståelsen for detaljerne i beregningerne kan glemmes - forståelsen er en vigtig del af pensum, som jo ligger i alle de sider i lærebogen, som udgør pensum. 2.2 Introducerende R-øvelse Man kan, som beskrevet, bruge R på to forskellige måder: 1) Som et Menubaseret dataanalyseprogram, 2) Som en interaktiv regnemaskine med en lang række indbyggede statistiske funktioner og procedurer. Vi skal i denne øvelse mest bruge metode 1), MEN det anbefales også at prøve metode 2), hvor det foreslås! (Skulle de tekniske vanskeligheder ved installeringen og loading af R Commander pakken, se ovenfor, blive uoverstigelige på selve dagen, så er man stadig godt kørende ift. resten af kurset, hvis man gennemfører øvelsen alene baseret på metode 2).) 1. Start R 2. Download via Campusnet fildeling i kursus Excell-filen: karakterer2004.xls, der indholder 10 kolonner (variable) og 1555 observationer (rækker), som svarer til 1555 skoler: Nummer Variabelnavn Forklaring (mundtlige karakterer sommer 2004) Variabel 1 Skole Skole-navn Variabel 2 Type Skoletype Variabel 3 Type2 Skoletype Variabel 4 Amt Amts-navn Variabel 5 Kommune Kommune-navn Variabel 6 Dansk.Eks Dansk 9. kl. eksamensgennemsnit for skolen Variabel 7 Dansk.Aars Dansk 9. kl. årskaraktersgennemsnit for skolen Variabel 8 Mat.Eks Matematik 9. kl. eksamensgennemsnit for skolen Variabel 9 Mat.Aars Matematik 9. kl. årskaraktereksamensgennemsnit for skolen Variabel 10 Antal Antal elever i den pågældende årgang på skolen 3. Importer datamaterialet til R (File,Import Data, Vælg Excell som file format, browse for at finde filen, skriv et Data set name, f.eks. karakterer2004, som anvendtes ved forelæsningen - og anvendes herunder, klik OK) 4. Se på rådata:( View Data Set ). Kan du finde din egen skole? 5. Udfyld følgende skema over summary skole-statistics: (Vi kigger på skole-tallene UDEN at tage hensyn til at der er forskelligt antal elever på skolerne) 8

9 Enten: Brug menupunktet Statistics, Data Summaries, Summary Statistics, Vælg data set og marker relevante variable, klik OK. Eller: Brug funktionerne listet side 529 i Appendix C. (I så fald husk først at skrive attach(karakterer2004)) Gennemsnit Dansk.Eks Dansk.Aars Mat.Eks Mat.Aars Median Varians Spredning øvre kvartil Q 3 Nedre kvartil Q 1 6. Hvilken historie foræller dette? 7. Sammenlign med histogrammerne for hver af de fire fordelinger. Enten: Brug menupunktet Graph, Histogram Eller: Brug funktionen hist() 8. Lav boxplots for hver af de fire fordelinger. Enten: Brug menupunktet Graph, Boxplot Eller: Brug funktionen boxplot() 9. Prøv at visualisere antallet af skoler af hver type. (Bar graph og/eller pie graph) (Menupunkt Graph) 10. Prøv at sammenligne Matematik eksamenskarakterfordelingerne for skoletyper (variabel: Type).(Brug menupunktet Graph, Boxplot, vælg Type som plot by groups variabel) 11. Prøv at undersøge om der er sammenhæng mellem karaktererne! (Graph, scatterplot, vælg x og y-variable) 12. Prøv selv andre plot-metoder - f.eks. scatterplot matrix, prøv forskellige options, f.eks. identify outliers with mouse i boxplot 13. Prøv at ændre noget i de givne scripts og kør dem igen... 9

10 3 Diskrete fordelinger, uge Beskrivelse Kommandoer skrives ud for prompten >. Kommandoen 3:7, genererer de hele tal fra 3 til 7 i en vektor og 7:3 genererer dem i omvendt rækkefølge: > 3:7 [1] > 7:3 [1] Kommandoen prod(x) multiplicerer alle tallene i vektoren x: 1 > prod(2:3) [1] 6 Der betragtes følgende fordelinger: R binom pois Betegnelse Binomialfordelingen Poissonfordelingen Den hypergeometriske fordeling findes også i R ( hyper) men har en anden form (parametrisering) end i lærebogen og betragtes ikke i denne øvelse. Som beskrevet i lærebogens appendiks C findes der for hver fordeling 4 funktioner i R, hvis navne fremkommer ved at tilføje et af 4 bogstaver til navnet i tabellen: d Tæthedsfunktion f(x) (probability distribution). p Fordelingsfunktion F (x) (cumulative distribution function). r Tilfældige tal fra den anførte fordeling. (Bruges og uddybes i Kapitel 9 i noten) q Fraktil (quantile) i fordeling Binomialfordelingen: b(x; n, p) på side 86 (7ed: 107) i lærebogen fås i R som dbinom(x, n, p). B(x; n, p) på side 87 (7ed: 107) i lærebogen fås i R som pbinom(x, n, p) Poissonfordelingen: f(x; λ) på side 104 (7ed: 127) i lærebogen fås i R som dpois(x, lambda). F (x; λ) på side 105 (7ed: 128) i lærebogen fås i R som ppois(x, lambda). 1 Tilsvarende adderer sum(x) alle tallene i vektoren x 10

11 3.2 Træning vha. ugens øvelsesopgaver Løs opgave 4.15 både vha. dbinom og pbinom. Løs opgave 4.19 både vha. dbinom og pbinom. Løs opgave 4.57 vha. R. Løs opgave 4.59 vha. R. Prøv at bruge både dpois og ppois ved løsning af spørgsmål (a). Løs evt. de supperende opgaver 4.2,4.16 og 4.21 vha. R. 3.3 Testopgaver Opgave Lad X betegne en stokastisk variabel. R-kommandoen dbinom(4,10,0.6) køres med resultatet Fremover vil dette vises som følger: > dbinom(4,10,0.6) [1] Hvilken fordeling anvendes og hvad angiver tallet ? Opgave Lad X betegne den stokastiske variabel fra før. Fra R fås to resultater: > pbinom(4,10,0.6) [1] > pbinom(5,10,0.6) [1] Angiv sandsynlighederne P (X 5), P (X < 5), P (X > 4) og P (X = 5) Opgave Lad X betegne en stokastisk variabel. Fra R fås : > dpois(4,3) [1] Hvilken fordeling anvendes og hvad angiver tallet ? Opgave Lad X betegne den stokastiske variabel fra før. Fra R fås to resultater: > ppois(4,3) [1] > ppois(5,3) [1] Angiv sandsynlighederne P (X 5), P (X < 5), P (X > 4) og P (X = 5). 11

12 4 Kontinuerte fordelinger, normalfordelingen, uge Beskrivelse Orienter dig i starten af lærebogens appendiks C, specielt Probability Distributions og Normal Probability Calculations på side 530 (7ed: 611) (dog ikke qqnorm). Nedenfor er en række fordelinger listet: R norm unif lnorm exp Betegnelse Normalfordelingen Den uniforme fordeling Log-normalfordelingen Exponentialfordelingen Som beskrevet i lærebogens appendiks C findes der for hver fordeling 4 funktioner i R, hvis navne fremkommer ved at tilføje et af 4 bogstaver til navnet i tabellen: d Tæthedsfunktion f(x) (probability density function). p Fordelingsfunktion F (x) (cumulative distribution function). r Tilfældige tal fra den anførte fordeling.(bruges og uddybes i Kapitel 9 i noten) q Fraktil (quantile) i fordelingen Normalfordelingen: f(x; µ, σ 2 ) på side 125 (7ed: 154) i lærebogen fås i R som dnorm(x, µ, σ). Fordelingsfunktionen for en normalfordeling med middel µ og varians σ 2 fås som pnorm(x, µ, σ). Dvs. F (z) på side 126 (7ed: 154) fås som pnorm(z, 0, 1) 2 Antag at Z er en standard normalfordelt stokastisk variabel. Den værdi af z for hvilken P (Z z) = p fås som qnorm(p). Denne værdi kaldes p-fraktilen i den standardiserede normalfordeling. Bemærk at R bruger σ og ikke σ Træning vha. ugens øvelsesopgaver Løs opgave 5.19 vha. pnorm. Løs opgave 5.21 vha. qnorm. Løs opgave 5.27 vha. R. Løs opgave 5.33 vha. R. Løs opgave vha. R. (7Ed: 5.113) 2 Eller blot pnorm(z) idet R som default bruger den standardiserede normalfordeling. 12

13 4.3 Testopgaver Opgave Følgende 3 R kommandoer og resultater haves: > pnorm(2) [1] > pnorm(2,1,1) [1] > pnorm(2,1,2) [1] Angiv hvilke fordelinger og sandsynligheder, der er tale om i hvert tilfælde. (Gerne ved en skitse) Opgave Hvad bliver resultatet af R kommandoen qnorm(pnorm(2))? Opgave Følgende 2 R kommandoer og resultater haves: > qnorm(0.975) [1] > qnorm(0.975,1,1) [1] > qnorm(0.975,1,2) [1] Angiv hvilke tal, der er tale om i hvert tilfælde. (Brug gerne skitse) 5 Kontinuerte fordelinger, uge Beskrivelse Orienter dig i starten af lærebogens appendiks C, specielt Probability Distributions og Normal Probability Calculations på side 530 (7ed: 611) Log-normal-fordelingen: f(x) nederst side 136 (7ed: 166) i lærebogen fås i R som dlnorm(x, α, β). Sandsynligheden i eksemplet side 137 (7ed: 167) i lærebogen fås i R som plnorm(8.2,2,0.1)-plnorm(6.1,2,0.1). Samme sandsynlighed fås i R ligeledes som pnorm(log(8.2),2,0.1)-pnorm(log(6.1),2,0.1). Og endelig som pnorm((log(8.2)-2)/0.1)-pnorm((log(6.1)-2)/0.1). 13

14 Bemærk, at i R hedder den naturlige logaritmefunktion log Bemærk også, at den beregnede sandsynlighed i lærebogen er en smule anderledes. Det skyldes, at man i bogen afrunder de tal, der indsættes i standardnormal-funktionen inden disse slås op i tabellen. Den i R beregnede sandsynlighed er således mere korrekt end den i bogen angivne Den uniforme fordeling: f(x) på side 135 (7ed: 165) i lærebogen fås i R som dunif(x, α, β) Eksponentialfordelingen: f(x) side 140 (7ed: 170) i lærebogen fås i R som dexp(x, scale=β). f(x) side 140 (7ed: 170) i lærebogen fås ligeledes i R som dexp(x, 1/β) Normalfordelingsplot Som beskrevet i appendix C side 530 (7ed: 611) kan man bruge R-funktionen qqnorm. Den anvender en metode, der er en smule anderledes end den i bogen beskrevne. I opgavebessvarelsen til opgave vil man kunne finde en præcis beskrivelse af denne variant af konstruktionen af plottet. R ombytter ligeledes x- og y-aksen i plottet ift. bogen. Har man importeret de data, der bruges i opgave ( 2-66.TXT ) OG attachet dem, Så opnås plottet simpelt hen ved at skrive qqnorm(speed). 5.2 Træning vha. ugens øvelsesopgaver Løs opgave 5.46 vha. punif. Løs opgave 5.51 vha. plnorm. Løs opgave 5.58 vha. pexp. Løs opgave 5.38 vha. pnorm. Løs opgave vha. punif. (7Ed: 5.110) Løs opgave vha. qqnorm. (7Ed: 5.119) 5.3 Testopgaver Opgave Angiv formel for og/eller skitser betydningen af følgende R kommando og resultat: > punif(0.4) [1]

15 5.3.2 Opgave Angiv formel for og/eller skitser betydningen af følgende R kommando og resultat: > dexp(2,0.5) [1] > pexp(2,0.5) [1] Opgave Angiv formel for og/eller skitser betydningen af følgende R kommando og resultat: > qlnorm(0.5) [1] 1 6 Samplingfordelinger, uge 5 og Beskrivelse Orienter dig i starten af lærebogens appendiks C, specielt Sampling Distributions side 530 (7ed: 612). De sampling fordelinger, der introduceres i kapitel 6 i lærebogen er: R t chisq f Betegnelse t-fordelingen χ 2 -fordelingen F-fordelingen Som tidligere beskrevet i lærebogens appendiks C findes der helt tilsvarende til alle andre fordelinger i R fire funktioner i R, hvis navne fremkommer ved at tilføje et af 4 bogstaver til navnet i tabellen: d Tæthedsfunktion f(x) (probability density function). p Fordelingsfunktion F (x) (cumulative distribution function). r Tilfældige tal fra den anførte fordeling. (Bruges og uddybes i Kapitel 9 i noten) q Fraktil (quantile) i fordelingen t-fordelingen Tallene i Tabel 4, side 516 (7ed: 587) i lærebogen er givet ved funktionen qt(1 α,ν)(giver værdierne i tabellen) eller tilsvarende 1-pt(x,ν) (giver α-værdierne), hvor x angiver værdierne i tabellen. Sandsynligheden i eksemplet side 188 (7ed: 218) i lærebogen for at ligge under kan i R fås direkte som pt(-3.19,19) og tilsvarende kan sandsynligheden for at ligge over fås som: 1-pt(3.19,19). 15

16 6.1.2 χ 2 -fordelingen: (uge 8) Tallene i Tabel 5, side 517 (7ed: 588) i lærebogen er givet ved funktionen qchisq(1 α,ν)(giver værdierne i tabellen) eller tilsvarende 1-pchisq(x,ν) (giver α-værdierne), hvor x angiver værdierne i tabellen. Sandsynligheden i eksemplet side 190 (7ed: ) i lærebogen kan i R fås som 1-pchisq(30.2,19) F-fordelingen:(uge 8) Tallene i Tabel 6, side (7ed: ) i lærebogen er givet ved funktionen qf(1 α,ν 1,ν 2 )(giver værdierne i tabellen) eller tilsvarende 1-pf(x,ν 1,ν 2 ) (giver α-værdierne), hvor x angiver værdierne i tabellen. Sandsynligheden 0.95 i eksemplet side 191 (7ed: 221) i lærebogen kan i R fås som 1-pf(0.36,10,20) eller som pf(2.77,20,10). Man kunne finde værdien i tabellen, der giver de 0.95 ved qf(1-0.95,10,20) eller 1/qf(0.95,20,10). 6.2 Træning vha. ugens øvelsesopgaver 6.3 Testopgaver Opgave Angiv formel for og/eller skitser betydningen af følgende R kommando og resultat: > qt(0.975,17) [1] > qt(0.975,1000) [1] Opgave Angiv formel for og/eller skitser betydningen af følgende R kommando og resultat: > pt(2.75,17) [1] Hypotese-test og konfidensintervaller for et og to gennemsnit, Kap. 7+8, uge Beskrivelse Orienter dig i starten af lærebogens appendiks C, specielt Confidence Intervals and Tests of Means på side 531 (7ed: 612). Som beskrevet i appendix C, side 531 (7ed: 612) kan man bruge R-funktionen t.test til både et gennemsnit, to gennemsnit samt den parrede situation. 16

17 Funktionen beregner både hypotese-test og konfidensinterval. Som navnet indikerer, giver dette altså KUN mulighed for at lave test og intervaller baseret på t-fordelingen, IKKE z-test. Dette afspejler, at man som regel er i denne situation i alle virkelige anvendelser af disse ting. Skulle man have tilstrækkelig store n til at Z-test er OK, så fås dette jo automatisk, idet t-test ene jo så giver resultater, der er stort set lig med z-testene. Kaldes funktionen med et enkelt sæt af tal, f.eks. som t.test(x), hvor x således indeholder en række tal, vil funktionen automatisk agere som i sektion 7.2 og 7.6 i bogen. Som default vælges to-sidet test og niveau α = 5%. ønsker man et ensidet test og/eller et andet test-niveau anføres dette i kaldet til funktionen, f.eks.: t.test(x,alt="greater",conf.level=0.90). Bemærk, at konfidensniveauet = 1 α. Kaldes funktionen med to sæt af tal, f.eks. som t.test(x1,x2), hvor x1 således indeholder en række tal og x2 en anden række tal, vil funktionen automatisk agere som i sektion 8 i bogen, altså betragte de to sæt af tal som to uafhængige stikprøver. Som default vælges to-sidet test og niveau α = 5%. ønsker man et ensidet test og/eller et andet test-niveau anføres dette i kaldet til funktionen, f.eks.: t.test(x1,x2,alt="less",conf.level=0.90). Er der tale om to parrede stikprøver, kaldes funktionen på samme måde, MEN der tilføjes en option til kaldet: t.test(x1,x2,paired=t). Dette giver således præcis det samme som at kalde funktionen med det enkelte sæt af tal, der udgøres af differenserne: t.test(x1-x2). Der gælder de samme ting vedr. ensidet/tosidet og test-niveau. Når funktionen kaldes med et ensidet alternativ (alt="greater" eller alt="less", så angiver den et andet konfidens-interval end ellers. Dette er et såkaldt ensidet konfidens-interval, som vi IKKE berører i kurset! One-sample t-test/konfidensinterval Man kan opnå t-fordelingsversionen af resultaterne i eksemplet nederst side 210 ved at: 1. Importere C2nanoheight.TXT (vha. file-menu). Kald det (f.eks.) nano. 2. Attach dette data-sæt: attach(nano). (Ved menubaseret analyse behøver man ikke attache ) 3. Brug funktionen: t.test(height.nm.,conf.level=0.99). Bemærk, at bogen jo angiver large sample versionen af konfidensintervallet, som bruger normalfordelingen i stedet for t-fordelingen. Begge dele kan retfærdiggøres. Bemærk også, at man får et tosidet t-test for hypotesen om at µ = 0 skrevet ud uanset om man har nogen interesse overhovedet i dette test! Det er jo f.eks. IKKE noget man gider kigge på i dette tilfælde! Two-sample t-test/konfidensinterval Man kan opnå resultaterne i eksemplet side (7ed: ) ved først at: 1. Importere C8alloy.TXT (vha. file-menu). Kald det (f.eks.) C8alloy. 17

18 I dette eksempel er data lagret på en typisk (og fornuftig) måde, der dog vanskeliggør brugen af funktionen t.test, som beskrevet i bogen, en anelse: Samtlige = 85 strengthværdier for de to alloys ligger i en enkelt variabel: strength, samtidig med at der findes en anden variabel alloy, der identificerer hver enkelt observation som enten alloy 1 eller alloy 2. Variablen alloy indeholder altså og 2-taller. Man kan nu konstruere to nye variable x1 og x2, der indeholder hver sit sæt af tal ved: x1=strength[alloy==1] x2=strength[alloy==2] hvorefter man kan opnå resultaterne side 255 (7ed: 267) ved at kalde funktionen som beskrevet ovenfor: t.test(x1,x2). Man kan alternativt bruge data som de er og så via menuerne klikke sig frem. Før man kan det, skal man fortælle R, at alloy-variablen er en gruppe-variabel, altså en variabel, der opdeler materialet i grupper - dette kalder man sædvanligvis en faktor. Dette gøres enten ved kommandoen: C8alloy$alloy=factor(C8alloy$alloy) eller ved i menuerne: Data Manage Data in active Data set Convert numeric variables to factors og vælg alloy (bestem selv navnene, f.eks. 1 og 2). Nu kan man så lave den statistiske analyse ved menuerne: Statistics Means Independent Samples t-test... Bemærk, at man ligeledes kan udføre one-sample beregninger via menuen. (Bemærk, at hvis variable ikke er på numerisk form, blive de automatisk opfattet af R som faktorer ) Har man først alloy som en faktor kan man faktisk også køre t.test funktionen direkte på følgende form: strength alloy,data=c8alloy, hvor man bruger R s måde at opskrive modeller på: Brugen af tilde-tegnet ( ) betyder at strength udtrykkes som en funktion af alloy. (Man vil se i scriptvinduet ved brug af menuerne, at det faktisk er denne funktion, som menuen baserer sig på) Parret t-test/konfidensinterval: Ingen yderligere beskrivelse. 7.2 Træning vha. ugens øvelsesopgaver For de fleste af opgaverne kan man naturligvis bruge fordelingerne, som øvet tidligere, i stedet for at slå op i tabellerne (det være sig z- eller t-fordelingen). For at anvende t.test (og/eller menuerne) skal man have rådata tilgængelig - det har man kun i visse af opgaverne: Løs opgave 7.61 (Data fra exercise 2.41: Importer 2-41.TXT ). (7Ed: 7.42) Løs opgave 7.63 og 7.64 (Data kan nemt indtastes: x=c(14.5,14.2,14.4,14.3,14.6)). (7Ed: 7.48 og 7.49) Løs opgave 8.21 (Importer 8-21.TXT ). (7Ed: 7.72) løs evt. opgave 8.10 og (Data kan relativt nemt indtastes). (7Ed: 7.68 og 7.69) 18

19 7.3 Testopgaver Opgave Følgende R kommandoer og resultat haves: > x=c(10,13,16,19,17,15,20,23,15,16) > t.test(x,mu=20,conf.level=0.99) One-sample t-test data: x t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x 16.4 Opskriv hypotese, alternativ, α og n svarende til dette output. Hvad er estimatet for standard error for gennemsnittet? Hvad er den maximale fejl med 99% konfidens? (For at svare på det sidste kan (dele af) følgende R-information bruges:) > qt(0.995,9) [1] > qt(0.975,9) [1] > qt(0.95,9) [1] Opgave Følgende R kommandoer og resultat haves: > x1=c(10,13,16,19,17,15,20,23,15,16) > x2=c(13,16,20,25,18,16,27,30,17,19) > t.test(x1,x2,alt="less",conf.level=0.95,var.equal = TRUE) Two Sample t-test data: x1 and x2 t = , df = 18, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 95 percent confidence interval: -Inf sample estimates: mean of x mean of y Opskriv hypotese, alternativ, α, n 1 og n 2 svarende til dette output. Hvad er estimatet for standard error for forskellen på gennemsnittene? Hvilken R-kommando ville du bruge for at finde den kritiske værdi for det anvendte hypotesetest? 19

20 7.3.3 Opgave Følgende R kommandoer og resultat haves: > x1=c(10,13,16,19,17,15,20,23,15,16) > x2=c(13,16,20,25,18,16,27,30,17,19) > t.test(x1,x2,paired=t,alt="less",conf.level=0.95) Paired t-test data: x1 and x2 t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 95 percent confidence interval: -Inf sample estimates: mean of the differences -3.7 Opskriv hypotese, alternativ, α, n 1 og n 2 svarende til dette output. Hvad er estimatet for standard error for forskellen på gennemsnittene? Hvilken R-kommando ville du bruge for at finde den kritiske værdi for det anvendte hypotesetest? 8 Hypotese-test og konfidensintervaller for andele, Kap. 10, uge Beskrivelse Som beskrevet i appendix C, side 531 (7ed: 612) kan man bruge to R-funktioner: prop.test og chisq.test (der findes flere relevante, men dem vil vi ikke gennemgå her) Konfidensinterval for en andel, sec.10.1 Man kan opnå et 95% konfidensinterval, som i eksemplet side 280 (7ed: 295), ved at køre prop.test(36,100). Resultatet bliver en smule anderledes end i bogen. Det skyldes dels, at R som default bruger en såkaldt kontinuitetskorrektion i stil med det vi så ifb. med at approximere binomialfordelingen vha. normalfordelingen, side 132 (7ed: 160). Den kan man slå fra ved at skrive: prop.test(36,100,correct=f). Resultatet vil stadig være en lille smule anderledes end i bogen, idet R anvender endnu en korrektion, der får intervallet til at ligne det eksakte interval, som man kan aflæse i Tabel 9. Denne detalje vil vi IKKE gennemgå her Hypotesetest for en andel, sec.10.2 Man kan opnå resulater som i eksemplet side 299 ved at køre prop.test(48,60,p=0.7,correct=f,alternative="greater") 20

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Introduktion til SPSS

Introduktion til SPSS Introduktion til SPSS Øvelserne på dette statistikkursus skal gennemføres ved hjælp af det såkaldte SPSS program. Det er erfaringsmæssigt sådan, at man i forbindelse af øvelserne på statistikkurser bruger

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Indledning. På de følgende sider vises, primært i tegneserieform, lidt om mulighederne i PC-AXIS for Windows.

Indledning. På de følgende sider vises, primært i tegneserieform, lidt om mulighederne i PC-AXIS for Windows. Indledning PC-AXIS for Windows er et talbehandlingsprogram, der kan håndtere store mængder statistisk materiale. PC-AXIS giver mulighed for at arbejde videre med det statistiske materiale i egne programmer

Læs mere

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer. Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

En meget kort introduktion til R på polit

En meget kort introduktion til R på polit En meget kort introduktion til R på polit Sebastian Barfort sebastian.barfort@econ.ku.dk Indhold 1 Introduktion 1 2 R som lommeregner 2 3 Tabeller, grafer og estimation 6 4 Økonomiske figurer 11 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Program dag 2 (11. april 2011)

Program dag 2 (11. april 2011) Program dag 2 (11. april 2011) Dag 2: 1) Hvordan kan man bearbejde data; 2) Undersøgelse af datamaterialet; 3) Forskellige typer statistik; 4) Indledende dataundersøgelser; 5) Hvad kan man sige om sammenhænge;

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Bruger Manual PC Valtronics IP Kamera - Windows system

Bruger Manual PC Valtronics IP Kamera - Windows system Bruger Manual PC Valtronics IP Kamera - Windows system Brugervejledning til PC (windows) 1. Installation af kamera Vejledningen er almen for alle Valtronics kameraer, og derfor kan billederne af de forskellige

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

IT-Brugerkursus. Modul 1 - Introduktion til skolens netværk og FC. Modul 1 - Introduktion til FC og Lectio. Printvenligt format. Indholdsfortegnelse

IT-Brugerkursus. Modul 1 - Introduktion til skolens netværk og FC. Modul 1 - Introduktion til FC og Lectio. Printvenligt format. Indholdsfortegnelse Modul 1 - Introduktion til FC og Lectio IT-Brugerkursus Modul 1 - Introduktion til skolens netværk og FC Printvenligt format Indholdsfortegnelse Formål og opbygning Opgave Vejledning til intranettet Åbne

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen. 4 Hypotesetest (F-test)

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen. 4 Hypotesetest (F-test) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 11: Tovejs variansanalyse, ANOVA Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

Vejledning til Teknisk opsætning

Vejledning til Teknisk opsætning Vejledning til Teknisk opsætning v. 1.0 Adm4you, 2010. Indhold Kort om denne vejledning... 3 Generelt om easyourtime... 3 Installation af databasen... 3 Sikkerhed og rettigheder... 4 SQL Login... 4 Rettigheder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 2013/14

Læs mere

Svar på de mest almindelige Citrix spørgsmål

Svar på de mest almindelige Citrix spørgsmål Svar på de mest almindelige Citrix spørgsmål Henrik Meyer og Ajâja Hyttel Oprettet: 24/6-13 Sidst revideret 14/5-14 h t t p s : / / c i t r i x. a a b n e t. d k Hvad er nyt i Citrix?... 2 Hvis du ikke

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Quick Guide for Mobil Reception (Omhandler mobil reception også kaldet isymphony)

Quick Guide for Mobil Reception (Omhandler mobil reception også kaldet isymphony) Quick Guide for Mobil Reception (Omhandler mobil reception også kaldet isymphony) Generelt Mobil Reception er et værktøj som bruges til at overvåge medarbejdere, kø er og meget andet samt styre dit omstillingsanlæg

Læs mere

Easy Guide i GallupPC

Easy Guide i GallupPC Easy Guide i GallupPC Version. 6.00.00 Gallup A/S Masnedøgade 22-26 DK 2100 København Ø Telefon 39 27 27 27 Fax 39 27 50 80 Indhold SÅDAN KOMMER DU I GANG MED AT ANVENDE GALLUPPC... 2 TILFØJELSE AF UNDERSØGELSER

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Start af nyt schematic projekt i Quartus II

Start af nyt schematic projekt i Quartus II Start af nyt schematic projekt i Quartus II Det følgende er ikke fremstillet som en brugsanvisning der gennemgår alle de muligheder der er omkring oprettelse af et Schematic projekt i Quartus II men kun

Læs mere

Sådan opretter du en elektronisk aflevering

Sådan opretter du en elektronisk aflevering Sådan arbejder du med opgaver i Gradebook/karakterbog Denne vejledning indeholder en detaljeret beskrivelse af hvordan du bruger gradebook/karakterbogen når du vil arbejde med opgaver og give karakterer

Læs mere

Opsætning af MobilePBX med Kalenderdatabase

Opsætning af MobilePBX med Kalenderdatabase Opsætning af MobilePBX med Kalenderdatabase Dette dokument beskriver hvorledes der installeres Symprex Exchange Connector og SQL Server Express for at MobilePBX kan benytte kalenderadadgang via database

Læs mere

Denne vejledning er optimeret til Windows XP, men kan også bruges til de andre Windows styresystemer.

Denne vejledning er optimeret til Windows XP, men kan også bruges til de andre Windows styresystemer. Guiden min første backup Trin 2.1 Log på Når du har installeret din DATABOKS fjern-backup manager, vil dit log-ind vindue automatisk komme frem (Du kan få hjælp til at installere din DATABOKS fjern-backup

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual

Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual Hvorfor @Risk og dette kursus? Større og mere komplekse landbrugsbedrifter kræver gode beslutningsværktøjer. I traditionelle regneark regnes der på

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Arbejd videre med statistik

Arbejd videre med statistik Danmarks Statistik databanker@dst.dk Arbejd videre med statistik Vejledning i PC-AXIS og Statistikbanken Danmarks Statistik juni 2003 1 www.dst.dk www.statistikbanken.dk Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Program. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren

Program. Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA. Case 3, del II: Fiskesmag i lammekød. Case 3, del I: A-vitamin i leveren Faculty of Life Sciences Program Sammenligning af grupper Ensidet ANOVA Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Sammenligning af to grupper: tre eksempler Sammenligning af mere end to grupper: ensidet

Læs mere

Programmeringseksempel til CX/IPC

Programmeringseksempel til CX/IPC APP-NOTE 610004 Beckhoff Application Note Date: 7/17/2009 Document Status: 1.1 Beckhoff Automation Aps Naverland 2, DK-2600 Glostrup Phone +45 43 46 76 20 Fax +45 43 46 63 35 Programmeringseksempel til

Læs mere

Statistik FSV 4. semester 2014 Holdundervisning Uge 1: 4. februar Introduktion til Stata

Statistik FSV 4. semester 2014 Holdundervisning Uge 1: 4. februar Introduktion til Stata Århus 27. januar 2014 Morten Frydenberg Statistik FSV 4. semester 2014 Holdundervisning Uge 1: 4. februar Introduktion til Stata Hvad er Stata? Stata er et program, der kan lave statistiske analyser af

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

EVALUERING I SURVEYXACT TRIN FOR TRIN

EVALUERING I SURVEYXACT TRIN FOR TRIN EVALUERING I SURVEYXACT TRIN FOR TRIN LÆR AT TACKLE 2015 KOMITEEN FOR SUNDHEDSOPLYSNING 1 INDLEDNING Komiteen for Sundhedsoplysning stiller SurveyXact et internetbaseret redskab til kvalitetssikring til

Læs mere

IDRÆTSSTATISTIK BIND 1

IDRÆTSSTATISTIK BIND 1 IDRÆTSSTATISTIK BIND 1 ii Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet Reprocenter Preben Blæsild og Jørgen Granfeldt 2001 ISBN 87-87436-05-1 Bd.1 iii Forord Denne bog er skrevet til brug i et statistikkursus

Læs mere

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko.

Brugen af RiBAY er typisk en iterativ proces, hvor trin 4-6 gentages et antal gange for at kortlægge og forstå risiko. Kom godt i gang med RiBAY Risikostyring ved hjælp af RiBAY består af følgende seks trin: 1. Indtastning af systemvariable og budgettal 2. Indtastning af Køb og salg 3. Kalibrering af udgangspunktet for

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Ruko SmartAir. Updater installation

Ruko SmartAir. Updater installation Ruko SmartAir Updater installation Introduktion. Updateren er en speciel enhed som giver os mulighed for at tilføje, læse og skrive funktioner i en offline installation. Med læse og skrive funktionen kan

Læs mere

Skolesektionen på www.ballerup.dk

Skolesektionen på www.ballerup.dk Skolesektionen på www.ballerup.dk Louise Callisen Dyhr (ldyh) Marie Louise Gottlieb Frederiksen (mgfr) Janus Askø Madsen (jaam) Nanna Petersen (nshy) Antal tegn: 28319 Afleveringsdato: 21. maj 2014 1 Indledning...

Læs mere

3. Menuen Start -> Programs -> OpenVPN åbnes, og "My Certificate Wizard" vælges:

3. Menuen Start -> Programs -> OpenVPN åbnes, og My Certificate Wizard vælges: Opsætning af VPN forbindelse til DRC En VPN forbindelse gør det muligt for en hjemmecomputer, eller en bærbar computer, at få adgang til DRCs interne lokalnet fra en vilkårlig internetforbindelse. Forudsætninger

Læs mere

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen) Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse

Læs mere

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring 7. april 2011 Indhold 1 Undersøgelsesdesign 5 1.1 Kausalitet............................. 5 1.2 Validitet og bias......................... 6 1.3

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benyttet cd'en 'Maple 15 - Til danske Gymnasier' eller en af de tilsvarende installere.

Læs mere

Installation af Bilinfo på Windows

Installation af Bilinfo på Windows Installation af Bilinfo på Windows Eksempler i denne vejledning er taget fra Windows 7 og Internet Explorer 8 Download det nødvendige program. Gå ind på www.bilinfo.dk/download Klik på download ud for:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

QUICK GUIDE TIL INDBERETNING AF WHEREABOUTS

QUICK GUIDE TIL INDBERETNING AF WHEREABOUTS Brugernavn og password QUICK GUIDE TIL INDBERETNING AF WHEREABOUTS Log into ADAMS on the Internet Udleveres af din antidopingorganisation ved udtagelse til prioriteret testgruppe Brug evt Forgot password

Læs mere