Økonometri 1. Prediktion. Dummyvariabler 9. oktober Økonometri 1: F9 1

Transkript

1 Økonometri 1 Prediktion. Dummyvariabler 9. oktober 2006 Økonometri 1: F9 1

2 Program frem til efterårsferien Om goodness-of-fit, prediktion og residualer (kap ) Kvalitative egenskaber i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap ) Kvalitative variabler generelt Dummyvariabler for kvalitative egenskaber med to kategorier Dummyvariabler for kvalitative egenskaber med flere end to kategorier Interaktionsled med dummyvariabler Chow-testet Dummyvariabel som afhængig variabel: Lineær sandsynlighedsmodel Økonometri 1: F9 2

3 Goodness-of-fit 2 Kender R som et mål for modellens forklaringsgrad. Øges når der tilføjes variabler til modellen (med mindre de er perfekt kollineære med eksisterende regressorer). 2 Uegnet til modelvalg. Høj R er ikke nødvendig for en brugbar model. 2 2 Korrigeret R, betegnet R, straffer for at selvom større modeller tilpasser data bedre, sker dette ved hjælp af flere forklarende variabler. 2 SSR /( n k 1) R = 1 SST /( n 1) Tæller og nævner korrigeres for frihedsgrader >< 2 R Økonometri 1: F9 3

4 Goodness-of-fit (fortsat) Hvis en variabel tilføjes til modellen vil øges hvis og kun hvis variablen har en t-værdi, der (numerisk) overstiger 1. Svarer til at lave et to-sidet signifikanstest med et signifikansniveau over 30 %! 2 R bruges i nogle tilfælde til at sammenligne ikkenestede modeller, hvor den ene model er ikke et specialtilfælde af den anden. Men begrænsninger: Samme venstre-side variabel (samme funktionelle form). R 2 Økonometri 1: F9 4

5 Goodness-of-fit (fortsat) Hvor mange variabler skal med i modellen? Overvej hvilke variabler der fortolkningsmæssigt giver mening. Ofte flere praktiske mål for samme teoretiske størrelse: Problematisk at inkludere flere mål og så lave alt-andet-lige betragtning. Høj korrelation mellem forklarende variabler giver multikollinearitetsproblem: Svært at skelne effekterne af de enkelte variabler fra hinanden. Har man mulighed for at tilføje variabler, der er ukorrelerede med de allerede inkluderede, vil det entydigt nedbringe residualvariansen og give mere præcise estimater. Økonometri 1: F9 5

6 Prediktioner (forudsigelser) Punktprediktion fra MLR: Tilpassede værdi: y ˆ ˆ x ˆ x ˆ x ˆ = β0 + β β β k k MLR.3: For givne værdier af x x x et estimat af:,,..., k 1 2 Ey ( x) = ˆ β 0 + ˆ β 1x1 + ˆ β 2x ˆ β kxk ŷ er en estimator af den sande (men ukendte) middelværdi. For givne værdier af x1, x2,..., xk har prediktionen en standardfejl, der er afledt af standardfejlene på OLS estimaterne ˆ β0, ˆ β1,..., ˆ βk. Kan vises at standardfejlen på prediktionen er mindst når x x x sættes lig deres gennemsnit.,,..., k 1 2 Økonometri 1: F9 6

7 Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) Et konfidensinterval for en tænkt enhed (husholdning, skole,virksomhed, ) med givne x1, x2,..., xk 0 Må også tage højde for variansen af fejlleddet, u Prediktionsfejlen er: eˆ = y yˆ = β + β x + β x β x + u yˆ k k = ( β ˆ ˆ ˆ 0 β0) + ( β1 β1) x ( βk βk) xk + u 0 OLS er middelret og Eu ( X ) = 0 så Ee ( ˆ0 X ) = 0 0 Prediktionsfejlsvariansen: u ukorreleret med ŷ0 så variansen splitter op i to komponenter: Var( eˆ ) = Var( yˆ ) + Var( u ) = Var( yˆ ) + σ Økonometri 1: F9 7

8 Kvalitative egenskaber og dummyvariabler Indtil nu har vi (hovedsagligt) set på kvantitative variabler (løn, priser, forbrug, indkomst, )... Men hvad med kvalitative egenskaber? Eksempler: Køn Kommune Sektor (offentlig/privat) Arbejdstid (ikke i arbejde, deltid, fuld tid) Helbred (dårligt, middel, godt) I nogle tilfælde kan udfaldene af den kvalitative egenskab rangordnes Kaldes så for ordinal Eksempler: arbejdstid, helbred Økonometri 1: F9 8

9 Kvalitativ egenskab med to kategorier For kvalitative egenskaber med to kategorier laves ofte en dummyvariabel Dummyvariabler: Diskret variabel Antager kun værdien 0 og 1. Normalt antages værdien 1, når egenskaben er tilstede, f.eks. kvinde=1 når person er kvinde ellers 0 Kategorien hvor Dummy = 0 kaldes reference-kategorien Dummyvariabler kaldes også for indikatorvariabler og binære variabler Økonometri 1: F9 9

10 Kvalitativ egenskab med to kategorier Dummyvariabler kan inkluderes i den multiple regressionsmodel som alm. forklarende variabler Eks: lønrelationen log timeloni = β0 + β1uddi + β2erfaringi + β3kvindei + εi hvor kvinde er en dummyvariabel Lønforskellen mellem mænd og kvinder (med samme uddannelse og erfaring) og når antagelse MLR.4 er opfyldt E(log( timeloni ) udd, erfaring, kvinde = 1) E(log( timelon ) udd, erfaring, kvinde = 0) = β i 3 Økonometri 1: F9 10

11 Eksempel på regressionsanalyse med kvalitativ egenskab: DJØF lønundersøgelse DJØF lavede i 2005 en undersøgelse, hvor man sammenligner lønniveauet for mænd og kvinder i hhv. den offentlige sektor og den private sektor. Ingen kønsmæssig lønforskel i den offentlige sektor: Kvindelige og mandlige djøf ere i den offentlige sektor har den samme løn, når de er på samme niveau og i samme funktion. Kønsmæssig lønforskel på 6 pct. i den private sektor: Privatansatte kvindelige DJØFere i stillinger uden ledelsesansvar har en løn der udgør ca. 94 pct. af den løn deres mandlige kolleger får. I sammenligningen er der korrigeret for forskelle i ancienniet, uddannelse, branche mv. Selvom man korrigerer for disse forhold, er der således stadig en forskel på ca. 6 pct., der ikke umiddelbart kan forklares. Se link til undersøgelsen på hjemmesiden. Økonometri 1: F9 11

12 DJØF lønundersøgelse Analysen laves ved en regressionsanalyse. I analysen blandt ikkecheferne indgår alle de målelige forhold, der kan inddrages på basis af DJØF Privat s lønstatistik. Følgende variabler indgår: Uddannelsesgruppe Geografi Kandidatår Branche Køn Regressionsanalysen viser, at alle ovennævnte variabler har signifikant betydning for lønnen. Kønnet har altså betydning for lønnen. Betinget af de andre variabler udgør kvindernes løn 93,8 procent af mændenes løn. Når der er korrigeret for de målelige karakteristika, er der stadig en lønforskel på 6 procent der ikke umiddelbart kan forklares. Økonometri 1: F9 12

13 Kvalitativ egenskab med to kategorier Fortolkning af parameteren til dummyvariablen: Parameteren til dummyvariablen måler forskellen mellem de to kategorier Inkludering af en dummyvariabel kan grafisk fortolkes som et skift i konstantleddet..men koefficienterne til de øvrige forklarende variabler er ens for de to grupper Hvis den afhængige variabel indgår: Lineært (uden transformation) -> parameteren fortolkes som en absolut forskel mellem to kategorier (når man kontrollerer for øvrige forklarende variable) I logaritmer -> parameteren fortolkes som en ca. procentuel forskel mellem to kategorier (når man kontrollerer for øvrige forklarende variable) Vil man have den eksakte procentuelle forskel skal følgende formel anvendes 100*[exp( β ) 1] Økonometri 1: F9 13

14 Kvalitativ egenskab med to kategorier Valg af referencegruppe: Hvad hvis vi i stedet havde inkluderet en dummy for mand? Man kan blot omparametrisere så får man den samme model (Husk mandi + kvindei = 1 ) Begge variabler kan ikke inkluderes samtidigt (hvis der også er et konstantled i modellen) -> Perfekt multikollinaritet ( dummyvariabelfælden ) Økonometri 1: F9 14

15 Evaluering af programmer Et meget vigtigt eksempel på dummyvariabler er program evaluering Eks: Hvad er effekten af et jobtræningskursus? Simpelt tilfælde: to grupper Treatment (forsøgs-) gruppen: dem som deltager i programmet Control (kontrol-) gruppen: dem som ikke deltager Parameteren til dummyvariablen for treatment - gruppen måler effekten af at have deltaget Det er dog meget tit at denne variabel er endogen (pga. den måde økonomiske data fremkommer) Økonometri 1: F9 15

16 Kvalitativ egenskab med flere end to kategorier Hvad hvis den kvalitative egenskab har m kategorier (og m>2)? Generelt skal man lave m-1 dummy variabler Den kategori hvortil der ikke hører en dummy variabel kaldes reference kategorien Hvis man inkluderer m dummy variabler og et konstantled er der perfekt multikollinaritet Parametrene til dummy variablerne angiver forskellen mellem den pågældende kategori og reference kategorien Betyder valget af reference kategori noget? Nej, ikke for estimation, prediktioner Ja, fortolkningen af parametrene til dummy variablerne afhænger af reference kategorien Økonometri 1: F9 16

17 Kvalitativ egenskab med flere end to kategorier Eksempel: Hvad hvis man brugte dummyvariabler til at kontrollere for uddannelse i lønligningen? Uddannelseskategorier for højeste fuldførte udd.: Folkeskole (udd<10) 10. klasse (udd=10) Gymnasial ungdomsudd./erhvervsfaglig grundudd. (udd=11,12,13) Videregående uddannelse (udd>13) m=4 kategorier: Definerer 3 dummyvariabler: Model: log timelon = γ + γ erfaring + γ kvinde + γ 10klasse + γ gym + γ videreg + ε i 0 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i i Økonometri 1: F9 17

18 Kvalitativ egenskab med flere end to kategorier Hvilke fordele/ulemper er der ved at bruge dummy variabler? Fordele: Generelt mere fleksibel form Ulempe: Flere variabler i regressionen (tab af frihedsgrader) Test for betydning af den kvalitative egenskab udføres som et F-test for at alle parametrene til dummyerne er lig 0 Økonometri 1: F9 18

19 Kvalitativ egenskab med flere end to kategorier Eksempel: Effekten af uddannelse Sammenligning af effekt af uddannelse målt lineært og som fire grupper 5.4 (mean) lon_d (mean) lon_u uddaar Effekten af uddannelse Økonometri 1: F9 19

20 NB er 2 Høj R er ikke nødvendig for en brugbar model. Uegnet til modelvalg. Parameteren til en dummyvariabel måler forskellen til referencekategorien. Valget af referencekategori dikterer fortolkningen af parametre til dummyvariabler. Dummyvariabler kan bruges til at gøre modellen mindre restriktiv: Tillader en mere fleksibel funktionel sammenhæng. Økonometri 1: F9 20

21 Næste gang: Fredag Resten af kapitel 7: Interaktionsled med dummyvariabler Chow test Lineær sandsynlighedsmodel Økonometri 1: F9 21