Algebra - Teori og problemløsning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Algebra - Teori og problemløsning"

Transkript

1 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer. De kan betragtes som en slags opvarmning til algebra og har fokus på grundlæggende metoder som giver et godt grundlag for mere udfordrende opgaver. De fleste af opgaverne i disse kapitler er standardopgaver der træner teorien, men der er også et par mere udfordrende opgaver i kapitel 3. I kapitel 4 introduceres rationale og irrationale tal og centrale sætninger om disse. Kapitel 5 har fokus på summer. Her ser vi både på differensrækker, kvotientrækker og teleskopsummer. Kvadratsætninger og omskrivning til kvadrat Kvadratsætningerne kan bruges i rigtig mange sammenhænge, og i dette afsnit skal vi se på hvordan de kan bruges til at løse andengradsligninger og andengradsuligheder, bevise uligheder og faktorisere... Kvadratsætningerne (a + b ) = a + b + a b, (a b ) = a + b a b, (a + b )(a b ) = a b. Indhold Kvadratsætninger og omskrivning til kvadrat Andengradsligninger og skjulte andengradsligninger 3 3 Ligningssystemer 5 4 Rationale og irrationale tal 7 5 Summer 8 6 Løsningsskitser.. Løsning af andengradsligninger ved at omskrive til kvadrat For at løse andengradsligningen 4x + x 7 = 0 omskriver vi til kvadrat på følgende måde: 0 = 4x + x 7 = (4x + x + 9) 9 7 = (x + 3) 6. Læg mærke til hvordan vi udnytter første kvadratsætning til at finde ud af hvilket tal vi skal lægge til eller trække fra for at få et kvadrat hvor 4x +x indgår. Nu er der ikke langt til en løsning: (x + 3) = 6 x + 3 = ±4 x = 3 ± 4 x = 7 x =. Omskrivningen svarer helt til hvordan man udleder diskriminantformlen til at løse andengradsligninger, men når man bliver fortrolig med at omskrive på denne måde uden brug af formel, kan man bruge denne metode i mange andre sammenhænge også. Nu til et eksempel hvor koefficienten til x ikke er et kvadrattal. For at løse andengradsligningen 3x + 5x = 0 ganger vi med 3 så koefficienten til x

2 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. bliver et kvadrattal. Løsningen ser nu sådan ud:.3. Andengradsuligheder 9x + 5x 6 = 0 (3x + 5 ) = x + 5 = ± 7 x = 3 x = 3. Andengradsuligheder kan også løses ved at omskrive til kvadrat. Her får vi brug for den helt grundlæggende iagttagelse at og hvor a 0. x a x a a x x a a x a, Hvis vi ønsker at bestemme for hvilke reelle tal x følgende ulighed gælder x + 6x + 5 0, kan vi også benytte metoden med at omskrive til kvadrat: Og endnu et eksempel: x + 6x (x + 3) 4 x + 3 x + 3 x 5 x. 3x x < 9x 3x < 6 (3x ) < < 3x < 5 < 3x < 3 3 < x <..4. Uligheder Nogle uligheder kan man vise gælder ved at udnytte at et kvadrat altid er større end lig med nul. Fx er x + y x y for alle relle tal x og y, fordi uligheden kan omskrives til (x y ) 0 som er sand da et kvadrat aldrig er negativt. Uligheden x + 9y x + y ser umiddelbart temmelig kompliceret ud, men ved at omskrive til kvadrat kan vi nemt vise at den er sand for alle reelle tal x og y : x + 9y x + y (x 4x + 4) + (9y y + 9 ) 0.5. Faktorisering (x ) + (3y 3 ) 0. Indtil videre har vi kun bugt de to første kvadratsætninger. Nu skal vi også bruge den sidste til at faktorisere udtryk da det ofte er en god ide at omskrive til et produkt. Udtrykket x y + x + y kan faktoriseres til x y + x + y = (x + y )(x y ) + x + y = (x + y )(x y + ). Her brugte vi den sidste kvadratsætning og omskrev derefter videre. Betragt nu udtrykket 4x y + x + 4x y y. Først lægger vi mærke til at de tre første led kan omskrives til et kvadrat, og derefter bruger vi sidste kvadratsætning: 4x y + x + 4x y y = (x y + x ) y = (x y + x + y )(x y + x y ). I næste eksempel får vi brug for at lægge et ekstra led til og trække det fra igen undervejs i omskrivningen: a 4 + a + = a 4 + a + a = (a + ) a = (a + a + )(a a + ).

3 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Her er tricket at se at det der står, næsten er et kvadrat, lægge det til der mangler og trække det fra igen, for at omskrive til kvadrat. Opgave.. Løs følgende andengradsligninger ved at omskrive til kvadrat. a) 5x 6x + = 0. b) a a + 4. c) 3x + 4x + = 0. Opgave.. Løs følgende andengradsuligheder ved at omskrive til kvadrat. a) x + x > 3. b) 3y + 7y + 0. Opgave.3. Bevis følgende uligheder ved at omskrive til kvadrat. a) Bevis at a + a for alle reelle tal a. b) Bevis at x + x for alle positive reelle tal x. c) Bevis at a +b a b for alle positive relle tal a of b. d) Bevis at hvis x + y = for to positive reelle tal x og y, da er x + y 4. e) Bevis at x + y + z x y + y z + z x for alle reelle tal x, y og z. f) Bevis at 8x + y + y x for alle reelle tal x og y Opgave.4. Faktoriser følgende udtryk: a) 9x 3x + 4. b) n + 8m + 8nm. c) 9a b + 6a + b. d) a b + 6a + 9. e) a + b + 3a b + b. f) n Andengradsligninger og skjulte andengradsligninger Nu skal vi se på hvordan man forholdsvis nemt kan gætte løsningerne til en andengradsligning hvis de er heltallige, og at ligninger der der ikke umiddelbart ligninger andengradsligninger, kan være skjulte andengradsligninger hvor den variable fx er x, x 3, x eller andet... Gæt løsninger til andengradsligninger Det er nemt at gætte løsninger til andengradsligninger hvis de er heltallige. Det er kendt at hvis andengradsligningen a x +b x +c = 0 har løsningerne x og x, da er a x + b x + c = a (x x )(x x ) = a x a (x + x )x + a x x. Hvis a =, ses at b = (x + x ) og c = x x, dvs. hvis vi skal gætte løsningerne til ligningen x 5x + 6 = 0, skal vi gætte to tal x og x så x + x = 5 og x x = 6. Det er nemt at se at x = og x = 3 løser begge ligninger, og de er derfor løsningerne til x 5x + 6 = 0 som kan faktoriseres (x )(x 3) = 0. Løsningerne til andengradsligningen 3x 9x = 0 kan gættes ved først at faktorisere 3(x 3x 4) = 0 og derefter finde løsninger x og x som opfylder at x + x = 3 og x x = 4. Her er x = og x = 4 løsningerne, og ligningen kan faktoriseres 3(x + )(x 4) = 0. Man kan selvfølgelig på helt samme måde gætte løsninger hvis de ikke er heltallige; det er bare sværere... Skjulte andengradsligninger Ligninger som x 4 3x 4 = 0 og a 6 9a = 0 kan betragtes som andengradsligninger hvor den variable er henholdsvis x og a 3, da de kan omskrives til (x ) 3x 4 = 0 og (a 3 ) 9a = 0. Vi kan derfor løse dem på samme måde som andengradsligninger fx ved at gætte løsninger: (x ) 3x 4 = 0 (x 4)(x + ) = 0 x = 4 da x ikke kan være negativ. Samtlige løsninger er altså x = ±. Den anden ligning løses tilsvarende: (a 3 ) 9a = 0 (a 3 )(a 3 8) = 0 a 3 = a 3 = 8 3

4 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Samtlige løsninger er derfor a = og a =. I de to første eksempler skulle vi blot finde den variabel der gjorde ligninger til andengradsligninger. Nu ser vi på et eksempel der også kræver at vi skriver om på ligningen: y + 4 y = 9 Opgave.4. Som bekendt siges et punkt P at dele et liniestykke AB i det gyldne snit hvis AB, og denne fælles værdi af forholdet kaldes det gyldne AP = AP P B snit. Bevis at det gyldne snit er lig med + 5. Hint: Sæt uden tab af generalitet P B =, kald AB for x, og opstil en ligning som x opfylder. Her bemærker vi først at y 0 da der divideres med y. Derfor kan vi gange med y på begge sider af ligningstegnet og få en ligning med præcis de samme løsninger: (y ) 9y + 4 = 0 (y )(y 7) = 0 Dermed er samtlige løsninger y = ± og y = ± 7. Opgave.. Gæt løsningerne til følgende andengradsligninger og faktoriser a) x 6x + 8 = 0. b) x + 8x 0 = 0. c) 4x + 4x + 8 = 0. Opgave.. Løs følgende skjulte andengradsligninger a) x 4 8x + 7 = 0. b) u 0 + = u 5. c) x 5 x + 6 = 0. d) a 4 = a 4. e) 4 x x + = 0. Opgave.3. Bevis at forholdet mellem siderne på et A4-ark er. (Om A4- papir ved du at det er rektangulært og ligedannet med A5-papir der fremkommer ved halvering af den lange side af et stykke A4-papir.) Hint: Kald højden for y og bredden x, og opstil en ligning som forholdet y x opfylder. 4

5 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. 3 Ligningssystemer Lineære ligningssystemer kan løses ved standardmetoder, men mange ligningssystemer er mere udfordrende. Her vises hvordan lineære ligningssystemer kan løses ved substitution og ved lige store koefficienters metode. Desuden ser vi på ikke-lineære ligningssystemer og kommer mere idéer til hvordan man løser disse. 3.. Lineære ligningssystemer 3x + y z = 6, x + y + 3z = 9, 5x 3y + z = 6. Ligningssystemet består af tre ligninger med tre ubekendte, og det kaldes lineært fordi alle ligningerne er på formen a x + b y + c z = d, hvor a, b, c,d er konstanter. Den slags ligninger kan løses uden problemer med standardmetoder. Substitution Det kan fx løses ved at isolere fx y i første ligning så y er udtrykt ved x og z, og indsætte det i de to andre ligninger. På den måde reduceres ligningssystemet til to ligninger med to ubekendte. Dette kaldes substitutionsmetoden da y substitueres med noget andet. Ifølge den første ligning er y = 6 3x +z. Ved at indsætte dette i de to andre ligninger fås: og altså x + (6 3x + z ) + 3z = 9, 5x 3(6 3x + z ) + z = 6, x + z = 3, 4x 5z = 4. Ved at isolere x i den første ligning og indsætte i den sidste fås 4 (z + 3) 5z = 4 9z = 8 z =. Altså er z =, x = 3 + ( ) = og y = ( ) = eneste mulige løsning. Ved indsættelse ses at (x, y, z ) = (,, ) faktisk løser ligningssystemet. Lige store koefficienters metode Vi kan også løse ligningssystemet ved at benytte lige store koefficienters metode. Hvis vi ganger første ligning med 3 og anden ligning med fås: 9x + 3y 6z = 8, x + 4y + 6z = 8. Vi har nu to ligninger hvor koefficienten til z er den samme pånær fortegn, og når vi lægger dem sammen fås en ligning i x og y : 7x +7y = 0 og altså x +y = 0. På den måde har vi elimineret z ved at kombinere de to første ligninger. Nu gør vi det samme med de to sidste ligninger: x + y + 3z = 9, 5x 9y + 3z = 8. Når vi trækker den nederste ligning fra den øverste fås 6x + y = 7. Nu har vi reduceret til to ligninger med to ubekendte. Vi kan igen få lige store koefficienter til fx x ved at gange første ligning med 6: 6x + 6y = 0, 6x + y = 7 Summen af ligningerne er 7y = 7 og altså y = Nu kan vi udnytte de tidligere ligninger til at bestemme x og z og som før få (x, y, z ) = (,, ). 3.. Ikke lineære ligningssystemer x + y + x = 3, x x + y =. 5

6 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Disse ligninger er ikke lineære, så vi kan ikke gøre helt som i eksemplet før. Man kan sagtens bruge substitutionsmetoden her, men det er lidt mere besværligt. Vi ser i stedet på ligningerne og overvejer om der ikke er noget smartere vi kan gøre. Hvis vi ganger den første ligning igennem med x, så bliver brøken i denne ligning lig med brøken i den anden ligning, og så kan vi trække dem fra hinanden og få en ligning i x. Inden vi ganger igennem med x, skal vi sikre os at x = 0 ikke er en løsning til ligningssystemet. Hvis vi ser på ligning nummer to, er det klart at der ikke findes løsninger hvor x = 0. Derfor kan vi antage at x 0, og få: x x + y + x = 3x, x x + y =. Ved at trække de to ligninger fra hinanden og omskrive fås x 3x + = 0. Dette er en andengradsligning som fx kan løses ved at faktorisere: (x )(x ) = 0. Dermed er x = eller x =. Hvis x =, fås ved at indsætte i anden ligning at +y =, og altså y =. Hvis vi indsætter x = og y = i første ligning, ses at (x, y ) = (, ) er en løsning til ligningssystemet. Hvis x =, er +y =, og altså y =. Ved indsættelse ses at (x, y ) = (, ) også løser ligningssystemet. Bemærk at vi ved at omskrive ligningssystemet først finder alle mulige løsninger, men at vi skal indsætte i begge ligninger til slut for at se om de faktisk er løsninger. Advarsel Pas på ikke at gange eller dividere med nul når du omskriver i de følgende opgaver! Opgave 3.. Løs ligningssystemet Opgave 3.. Løs ligningssystemet 3x + y 5z = 5, x + y + 7z = 6, x + 4y 0z = 0. y + x = x 0, y x = 0. Opgave 3.3. Løs ligningssystemet Opgave 3.4. Løs ligningssystemet Opgave 3.5. Løs ligningssystemet Opgave 3.6. Løs ligningssystemet 5 x 3 y =, x + y = 7. x + y + y = 4, 3y + y = 5. x + y x + y =, x x + y = x. x y = 3, y z =, z x =. Opgave 3.7. Bestem samtlige reelle løsninger til ligningssystemet. x + y + {z } =, z + x + {y } =, y + z + {x } = 3,3. Heltalsdelen af x betegnes x og er det største hele tal mindre end lig med x. Brøkdelen af x betgens {x } og er {x } = x x. Fx er 5,39 = 5 og {5,39} = 0,39. 6

7 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. 4 Rationale og irrationale tal 4.. Rationale tal Et rationalt tal er et tal der kan skrives som en brøk a b med et helt tal i tæller og nævner og selvfølgelig b 0. Om to rationale tal a b og c d gælder at deres sum, differens, produkt og kvotient igen er et rationalt tal. Fx er deres sum et rationalt tal da a b + c d = a d + b c b d og a d + b c og b d er hele tal da a, b, c,d er hele tal, og b d 0 da b 0 og d Irrationale tal Et irrationalt tal er et reelt tal der ikke er rationalt, dvs. et reelt tal som ikke kan skrives som en brøk med et helt tal i tæller og nævner. Fx er og π irrationale tal. Summen, differensen, produktet og kvotienten af et rationalt og et irrationalt tal er irrationalt, med undtagelse af produkt og kvotient hvor det rationale tal er 0. Fx er deres sum et irrationalt tal, for hvis den var rational ville det irrationale tal være differensen mellem to rationale tal og altså selv rational, hvilket er en modstrid. Dermed er summen af et rationalt og et irrationalt tal irrationalt. Summen, differensen, produktet og kvotienten af to irrationale tal kan derimod både være rational og irrational. Fx er + (3 ) = 3 rational, mens + = er irrational. Opgave 4.. Bevis at differens, produkt og kvotient af to rationale tal igen er rationale tal. Opgave 4.. Bevis at differensen, produktet og kvotienten af et rationalt og et irrationalt tal er et irrationalt tal (på nær produkt og kvotient hvor det rationale tal er 0) Sætning Lad n være et helt positivt tal. Da er n et rationalt tal netop hvis n er et kvadrattal. Bevis: Det er oplagt at hvis n er et kvadrattal, da er n et helt tal og altså rational. Antag at n ikke er et kvadrattal. Vi viser indirekte at n er irrational ved at antage det modsatte og nå frem til en modstrid. Antag derfor at n = a b hvor a og b er hele tal. Dermed er b n = a Betragt nu primfaktoropløsningen n = p α p α p α r r. Fordi n ikke er et kvadrattal, er mindst en af eksponenterne, lad os sige α i, ulige da kvadrattallene netop er de hele tal hvor alle eksponeneterne i primfaktoropløsningen er lige. Eksponenten til p i på venstresiden b n er derfor ulige da alle eksponenter i primfaktoropløsningen af kvadrattallet b er lige, og lige plus ulige giver ulige. Eksponenten til p i på højresiden a er lige da alle eksponenter i primfaktoropløsningen af kvadrattallet a er lige. Dette er en modstrid da primfaktoropløsning er entydig, og dermed er n irrational. Opgave 4.3. Bevis at differensen, produktet og kvotienten af to irrationale tal både kan være rationalt og irrationalt Sætning Lad n og m være hele positive tal. Da er m n et rationalt tal netop hvis n er en m te potens af et postivt helt tal. Opgave 4.4. Bevis sætning Sætning Lad a og b være to forskellige reelle tal. Der er uendeligt mange rationale og uendeligt mange irrationale tal mellem a og b. Bevis: Vi viser kun at der er et rationalt tal mellem a og b. Resten overlades til læseren i en opgave. Antag uden tab af generalitet at a < b. Lad n være et 7

8 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. helt tal så n < b a. Lad m være det mindste hele tal så a < m n. Da må det rationale tal m n ligge mellem a og b da a < m n = m n + < a + (b a ) = b. n Opgave 4.5. Lad a og b være to forskellige reelle tal. Bevis at der mellem a og b ligger uendeligt mange rationale tal og uendeligt mange irrationale tal. Opgave 4.6. Lad a og b være rationale tal. Bevis at hvis a + b er rational eller a b er rational, da er a og b også rationale. Opgave 4.7. For hvilke postive hele tal n og m gælder at n m er rational? Opgave 4.8. Bestem alle ikke-negative hele tal a, b og c så a + b + c = 04. (NMC 04 opgave ). Hint: Træk c fra på begge sider, og gør noget smart;) 5 Summer 5.. Sumtegn Når man skal angive en sum med mange led som fx eller x +x +x 3 + +x 57 bruger man ofte sumtegn og et indeks, fx i. Under sumtegnet skrives fra hvilket indeks summen starter, fx i =, og over sumtegnet skrives sidste indeks. Her er nogle eksempler: 00 i = i = 57 x i = x + x + x x 57. i = 50 i = i = 35 i = 99 i = i (i + ) = i = 0i = n. i =0 Sørg for at blive fortrolig med sumtegnet da du får brug for det i mange sammenhænge. Det er en god idé i starten hver gang du ser et sumtegn at skrive summen op som ovenfor. 5.. Differensrække En differensrække (også kaldet en aritmetisk progression) er en talfølge a,a,a 3,... med den egenskab at differensen mellem ethvert af følgens tal og det foregående er en konstant d kaldet differensen. Summen af de første n led i differensrækken er (n )n a i = na + d i = 8

9 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde Kvotientrække En kvotientrække (også kaldet en geometrisk progression) er en talfølge a,a,a 3,... med den egenskab at kvotienten mellem ethvert af rækkens tal og det foregående er et fast tal q kaldet kvotienten. Summen af de første n led i kvotientrækken er q n a i = a q Opgave 5.. i = a) Bevis formlen for summen af de første n led i en differensrække. b) Bevis formlen for summen af de første n led i en kvotientrække. c) Udregn summen Teleskopsummer Det kan umiddelbart se svært ud at beregne summen 99 i = i (i + ) = Ved en simpel omskrivning bliver det helt ligetil fordi vi kan få næsten alle led til at gå ud med hinanden. Bemærk først at for hele tal n,m, hvor n m, er nm = m n n. m Specielt er Vores sum fra før kan nu skrives som 99 i = i (i + ) = n(n + ) = n n = = Dette kaldes en teleskopsum fordi summen kan foldes sammen ligesom et teleskop. Opgave 5.. Udregn følgende summer 000 i = 99 a =0 00 i (i + ). 5a (5a + 5). i = 000 n= (3i )(3i + ). 3 n + 3n +. Opgave 5.3. Lad a,a,...,a n,a n+ være en differensrække med differens d. Udregn summen udtrykt ved a, d og n Flere teleskopsummer For at udregne summen 80 i = = i + i + i = + + a i a i bemærker vi først at i + i i + i = i + + i ( i + + i )( i + i ) = (i + ) i Nu kan vi nemt omskrive summen 80 i = 80 = ( i + i ) i + i + i = = i + i. = ( ) + ( 3 ) + ( 4 3) + + ( 8 80) = + 8 = 8. 9

10 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde Bemærkning Det er et standardtrick der virkelig er værd at huske, at hvis der står n ± m i nævneren, så forlænges brøken med n m fordi det giver n m i nævneren. Opgave 5.9. Vis at k 3 = (n + ) n. 4 k= Opgave 5.4. Vis at 3 = 6 3i + + 3i + 4 i = Opgave 5.0. Vis at k= k k k(k ) < Opgave 5.5. Vis at for alle positive hele tal n i = > 49. i + i + Opgave 5.6. Vis at 43 i =0. 0i + + 0i + 6 Hint: Tilføj flere led så du kan få en teleskopsum. I de næste opgaver skal du omskrive til en teleskopsum ved at lave nogle smarte omskrivninger. De er lidt mere udfordrende end de tidligere! Husk at for et positivt helt tal n er n! = 3 n. Opgave 5.7. Udregn 00 n! n. n= Opgave 5.8. Vis at k= k (k + )! = (n + )!. 0

11 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. 6 Løsningsskitser Opgave. a) b) c) 5x 6x + = 0 5x 30x + 5 = 0 (5x 3) = 4 x = 3 ± 5 x = 5 x =. a a + 4 = 0 (a ) = 0 a =. 3x + 4x + = 0 9x + x + 6 = 0 (3x + ) =. b) Bemærk at x er positiv, og vi derfor kan gange med x på begge sider af ulighedstegnet. c) a + b x + x x x + 0 (x ) 0. a b ( a ) + ( b ) a b ( a b ) 0. d) Antag at x + y =, og at x og y begge er positive. Ved at udnytte at (x + y ) = x + y fordi x + y =, fås: x + y 4 y + x 4 x y x + y 4x y (x + y ) 4x y (x y ) 0. Dermed har ligningen ingen løsninger. Opgave. a) x + x > 3 (x + ) > 4 x + < < x + x < 3 < x. e) f) x + y + z x y + y z + z x (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) x y + y z + z x (x y ) + (y z ) + (z x ) 0. 8x + y + y x 6x 8x + + 4y + y b) 3y + 7y + 0 (3y + 7 ) y y 3. Opgave.4 a) 9x 3x + 4 = (3x ). (4x ) + (y + ) 0. Opgave.3 a) a + a (a ) 0. b) n + 8m + 8nm = (n + m). c) 9a b + 6a + b = (3a + b )(3a b ) + (3a + b ) = (3a + b )(3a b + ). d) a b + 6a + 9 = (a + 3) b = (a + b + 3)(a b + 3).

12 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. e) a + b + 3a b + b = (a + b ) + b + a b + b = (a + b + )(a + b ) + b (a + b + ) = (a + b + )(a + b ). f) n = (n + ) 4n = (n + n + )(n n + ). Opgave. a) Ligningen x 6x + 8 = 0 (x 4)(x ) = 0 har løsningerne x = og x = 4. b) Ligningen x + 8x 0 = 0 (x + 5)(x ) = 0 har løsningerne x = og x = 5. c) Ligningen 4x + 4x + 8 = 0 4(x 7)(x + ) = 0 har løsningerne x = og x = 7. Opgave. a) x 4 8x + 7 = 0 (x ) 8x + 7 = 0 (x )(x 7) = 0. Samtlige løsninger er altså x = ± og x = ± 7. b) u 0 + = u 5 (u 5 ) u 5 + = 0 (u 5 ) = 0 u 5 =. Eneste løsning er derfor u =. c) x 5 x + 6 = 0 ( x ) 5 x + 6 = 0 ( x 3)( x ) = 0. Samtlige løsninger er altså x = ( ) = 4 og x = ( 3) = 9. d) a 4 = a 4 (a 4 ) 5a 4 6 = 0 (a 4 6)(a 4 + ) = 0 Da a 4 ikke kan være negativ, er samtlige løsninger a = ±. e) 4 x x + = 0 ( x ) x + = 0 Altså er x = og eneste løsning x = 0. ( x ) = 0 Opgave.3 Kald højden på et A4-ark for y og bredden x. Da bliver højden på et A5-ark x og bredden y. Da et A4-ark og et A5-ark er ligedannede, er forholdet mellem højde og bredde det samme: y x = x y = x y y x =. Da x og y begge er positive, er forholdet mellem højde og bredde y x =. Opgave.4 Lad P være et punkt på linjestykket AB så AB og AP = x. Da svarer betingelsen til + x x = x AP = AP P B 0 = x x + (x ) = 5 4. Sæt B P = Da linjestykkerne har positiv længde, er x = + 5. Dette svarer netop til forholdet AP P B = x = x. Opgave 3. Ved at bruge lige store koefficienters metode fås som reduceres til (3x + y 5z ) 3(x + 4y 0z ) = 5 3 0, (x + y + 7z ) (x + 4y 0z ) = 6 0, y + 5z =, 7y + 7z = 6.

13 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Ved endnu engang at bruge lige store koefficienters metode fås 7( y + 5z ) ( 7y + 7z ) = 7 ( 6) 9z = 9 z =. Ved indsættelse ses at når z =, er y = 3 og x =. Dette er eneste løsning. Opgave 3. Ved at dividere nederste ligning med og trække de to ligninger fra hinanden fås (y + x ) (y x ) = (x 0) (0) 3x = x 0 = x (x 3) dvs. x = 0 eller x = 3. Hvis x = 0, er y = 0, og hvis x = 3, er y = 7. Samtlige mulige løsninger er derfor (x, y ) = (0, 0) og (x, y ) = (3, 7), og ved indsættelse ses at de faktisk er løsninger. Opgave 3.3 Ved at gange den nederste ligning med 3 og lægge de to ligninger sammen fås x = x =. Ved indsættelse ses at y = 3. Eneste mulige løsning er altså (x, y ) = (, 3 ), og ved indsættelse ses at den faktisk løser ligningssystemet. Opgave 3.4 Af sidste ligning ses at y = 0 ikke er en løsning. Antag derfor at y 0 og omskriv til y x + y + y = 4y, y + 8y = 0. x + y Ved at trække de to ligninger fra hinanden og omskrive fås y y +0 = 0 og altså (y )(y 0) = 0. Dermed er y = eller y = 0. Hvis y =, er x + + = 4, og altså x = ±. Hvis y = 0, er x = 4, og altså x = hvilket er umuligt. Eneste mulige løsninger er derfor (x, y ) = (±, ), og ved indsættelse tjekkes at de begge løser ligningssystemet. Opgave 3.5 Hvis x = 0, er anden ligning opfyldt for alle y, hvor y 0. Første ligning giver i dette tilfælde y =. Dermed er (x, y ) = (0, ) eneste løsning hvor x = 0. Antag derfor at x 0, og divider anden ligning med x. Kvadrer desuden første ligning: x + y + x y =, x + y =. Ved at kombinere de to ligninger fås x y = 4, og sammen med x + y = at x ( x ) = 4. Dermed er x x + 4 = 0, og altså (x ) = 0. I dette tilfælde ses at x = y =, og ved indsættelse ses at dette er en løsning. Samtlige løsninger er dermed (x, y ) = (0, ) og (x, y ) = (, ). Opgave 3.6 Bemærk først at ingen af de tre ubekendte kan være 0. Ved at udtrykke x ved y i første ligning, z ved y i anden ligning og derefter indsætte dette i sidste ligning fås 3 y y = y = 4 y = ±. Eneste mulige løsninger er derfor (x, y, z ) = (6,, ) og (x, y, z ) = ( 6,, ), og ved at indsætte i ligningssystemet ses at de begge er løsninger. Opgave 3.7 Ved at lægge alle tre ligninger sammen og udnytte at x = x +{x } fås x + y + z = 3,3. Ved at trække de oprindelige ligninger fra fås z + {y } =, y + {x } =, x + {z } = 0. Da 0 {x } < og x altid er et helt tal, er x = 0,, y =, og z = eneste mulige løsning, og ved indsættelse ses at det faktisk er en løsning til ligningssystemet. Opgave 4. At differens, produkt og kvotient af to rationale tal igen er rationale tal følger direkte af brøkregneregler. 3

14 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Opgave 4. At differensen, produktet og kvotienten af et rationalt tal a b og et irrationalt tal x er et irrationalt tal, ses ved at antage det modsatte og se at det medfører at x er rational. (Bemærk at vi mht. produkt og kvotient skal antage at a 0 da vi i beviset gerne vil dividere med a ). Opgave 4.3 At differensen, produktet og kvotienten af to irrationale tal både kan være rational og irrational ses af følgende eksempler: = 0, 8 = =, 8 = 4, 3 = 6, 8 = og 6 = 3. Opgave 4.4 Det er oplagt at hvis n er en m te potens af et positivt helt tal, da er m n et helt tal og altså rational. Antag at n ikke er en m te potens af et positivt heltal. Vi viser indirekte at m n er irrational ved at antage det modsatte og nå frem til en modstrid. Antag derfor at m n = a b hvor a og b er hele tal. Dermed er b m n = a m Betragt nu primfaktoropløsningen n = p α p α p α r r. Fordi n ikke er en m te potens af et positivt heltal, er mindst en af eksponenterne, lad os sige α i, ikke et multiplum af m da de m te potenser netop er de hele tal hvor alle eksponeneterne i primfaktoropløsningen er multipla af m. Eksponenten til p i på venstresiden b m n er derfor ikke et multiplum af m da alle eksponenter i primfaktoropløsningen af b m er multipla af m. Eksponenten til p i på højresiden a m er derimod et multipla af m. Dette er en modstrid da primfaktoropløsning er entydig, og dermed er m n irrational. Opgave 4.5 Lad a og b være to forskellige reelle tal, og antag uden tab af generalitet at a < b. Vi ved allerede at der ligger et rationalt tal q mellem a og b. Der ligger yderligere et rationalt tal q mellem q og b. Sådan kan vi fortsætte og få uendeligt mange rationale tal q,q,... mellem a og b. Nu viser vi at der findes uendeligt mange irrationale tal mellem a og b. Lad c og d være to forskellige rationale tal mellem a og b med c < d. Lad yderligere n være et helt tal så n < d c. Da følger det at det tidligere viste at x = c + n er et irrationalt tal mellem c og d. Nu har vi vist at der mellem to vilkårlige forskellige reelle tal findes et irrationalt tal. Dermed findes der igen et irrationalt tal x mellem x og b. Sådan kan vi fortsætte og få uendeligt mange irrationale tal x, x,... mellem a og b. Opgave 4.6 Lad a og b være rationale tal. Antag at a + b er rational. Hvis a + b = 0, er a = b = 0, og dermed er a og b begge rationale. Antag derfor at a og b ikke begge er 0. Da er a b = a b a + b også rational fordi kvotionen mellem to rationale tal er rational. Dermed er a = ( a + b )+( a b ) rational, og også b = ( a + b ) a rational. Helt tilsvarende hvis a b er rational. Opgave 4.7 m n er rational netop hvis mn er et kvadrattal: Antag at nm = a hvor a er et ikke-negativt helt tal. Da er m n = a n = a n, hvilket viser at m n er rational. Antag at m n er rational, dvs. m n = c d hvor c og d er to ikke-negative heltal og d 0. Da er d nm = c n, hvilket betyder at nm er et kvadrattal. Opgave 4.8 Omskriv ligningen til a + b = 04 c, og kvadrer: a + b + a b = 04 + c 04c Dette viser at a b + 04c er rational, og dermed fra opgave 4.6 at a b og 04c begge er rationale. Da a b og 04c er hele tal, ved vi fra sætning 4.3 at de begge er kvadrattal. Tallet 04c = 9 53 c er et kvadrattal netop når c = 04 n hvor n er et ikke-negativt helt tal. Tilsvarende ses at a = 04 l og b = 04 m hvor l og m er ikke-negative hele tal, da der er symmetri mht. a, b og c. Den oprindelige ligning kan altså reduceres til l + m + n =, og samtlige løsninger er derfor (a, b, c ) = (04, 0, 0), (a, b, c ) = (0, 04, 0) og (a, b, c ) = (0, 0, 04). Opgave 5. a i = a + (a + d ) + (a + d ) + + (a + (n )d ) i = = na + d ( (n )) (n )n = na + d 4

15 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. a i = a ( + q + q + + q n ) i = = a q ( + q + q + + q n ) ( + q + q + + q n ) q = a q n q Summen består af de første led i kvotientrækken 0,,,... er er derfor ifølge formlen lig med Opgave i = 99 a =0 i (i + ) = 5a (5a + 5) = 5 = = i i = 99 a =0 i + = = = a = 5a = = Opgave 5.3 Opgave 5.4 = a i a i + d a i = i a i + = d a a n+ = d a a + nd = nd d a (a + nd ) n = a (a + nd ). i = 3 3 3i + 4 3i + = 3i + + 3i + 4 (3i + 4) (3i + ) i = i = 3 = ( 3i + 4 3i + ) 3 i = = 3 ( ) = 3 ( 400 4) = 6 00 i = (3i )(3i + ) = n= 00 3i = 3i + 3 = = 5 5. i = 3 n + 3n + = (n + )(n + ) = 3 n= n= = 3 = = n + n + Opgave i = = i + i i = 5000 i + i (i + ) (i ) = ( i + i = = ( 000 ) > (00 ) > 49. i ) 5

16 Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Opgave 5.6 For at vi kan omskrive summen til en teleskopsum, bliver vi nødt til at tilføje alle de led vi mangler. Den sum vi skal vurdere størrelse af, er Hvis vi tilføjer summen , kan vi omskrive til en teleskopsum. I den sum vi tilføjer, er hvert led mindre end det tilsvarense i den oprindelige, dvs. den sum vi får bliver mindre end det dobbelte af den oprindelige: Opgave i =0 > 87 0i + + 0i + 6 5i + + 5i + 6 n= = = 0 i =0 87 5i + 6 5i + i = 87 (5i + 6) (5i + ) ( 5i + 6 5i + ) i = = 0 ( 44 ) = ( ) = n! n = n! (n + ) n= 00 = n= = 0!. (n + )! n! Opgave 5.8 Opgave 5.9 Opgave 5.0 k= for alle hele tal n. k= k 3 = k= k (k + )! = = (k + ) k= (k + )! k! k= = (n + )!. (k + )! (k + ) k k (k ) 4 k= k k k(k ) = = (n + ) n. 4 = = k (k + )(k ) k(k ) k(k ) k= k k k= < n + n k + k 6

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere