Simple udtryk og ligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Simple udtryk og ligninger"

Transkript

1 Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul

2 Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med de andre emner. Indhold Rækkefølge af + og... 1 Samle led af samme type... Gange ind i parentes 1. del... 4 Rækkefølge af og samt af + og... 5 Gange ind i parentes. del... 8 Hæve parentes... 9 Brøk (division)... 1 Ligninger Isolere Simple udtryk og ligninger 1. udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lærer og skole/kursus.

3 Rækkefølge af + og Teori 1 Udtryk i parentes skal vi regne ud først. Når et tal står mellem + og så skal vi udregne gange før plus. Når et tal står mellem to +'er, så kan vi selv vælge hvilket af de to tegn vi vil udregne først. Dette betyder: Vi kan omskrive til Vi kan ikke omskrive til 5 4 Vi kan ikke omskrive Vi kan ikke omskrive Vi kan omskrive 3 + til til til 7 + Hvis + skal udregnes før, så skal vi skrive en parentes: Vi kan omskrive ( 3+ ) 4 til 5 4 Dette har man bestemt. Så skal man ikke skrive så mange parenteser. Her skal læseren forestille sig at der står gangetegn. Her skal udregnes først, så vi kan ikke udregne noget før vi kender tallet. Øvelse (a) Kan vi omskrive til ? Svar:. (b) Kan vi omskrive til 5 7? Svar:. (c) Kan vi omskrive til 5? Svar:. (d) Kan vi omskrive til + 1? Svar:. (e) Kan vi omskrive ( 5 + 3) til 8? Svar:. (f) Kan vi omskrive til 6 5? Svar:. (g) Kan vi omskrive til 1 + 3? Svar:. (h) Kan vi omskrive til ? Svar:. (i) Kan vi omskrive til ? Svar:. (j) Kan vi omskrive 3 (4 + ) til 1 +? Svar:. (k) Kan vi omskrive ( 5 + 6) 3 til ? Svar:. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

4 Øvelse 3 I nogle spil kan vi udregne antal point når vi kender antal krydser. Vi lader stå for antal krydser. (a) I et spil kan vi udregne antal point sådan: Læg antal krydser til 10. Gang resultatet med 4. Hvilke(t) af regneudtrykkene (1) og () angiver disse udregninger? (1) () ( 10 + ) 4 Svar:. (b) I et spil kan vi udregne antal point sådan: A: Gang 3 med antal krydser. B: Læg A-resultatet til 5. Angiv disse udregninger ved at skrive et regneudtryk med : Antal point. Hvis 6 er dette regneudtryk. (c) I et spil kan vi udregne antal point sådan: A: Læg 4 til antal krydser. B: Gang med A-resultatet. Angiv disse udregninger ved at skrive et regneudtryk med : Antal point. Hvis 5 er dette regneudtryk. Samle led af samme type Øvelse 4 står for et tal. På hver pakke står antal mønter den indeholder: 3 (a) Hvilke(t) af regneudtrykkene (1)-(3) angiver antal mønter i disse pakker? (1) () 3 + (3) 5 Svar:. (b) Hvis 4 er (c) Hvis 4 er 3 +. (d) Hvis 4 er 5. Simple udtryk og ligninger Side 009 Karsten Juul

5 Øvelse 5 står for et tal. På hver pakke står antal mønter den indeholder: 8 6 (a) Hvilke(t) af regneudtrykkene (1)-(7) angiver antal mønter i disse pakker? (1) () (3) (4) (5) 19 (6) 19 + (7) Svar:. (b) Hvis er (c) Hvis er Teori 6 I udtrykket har vi først en gang og derefter tre gange, dvs. vi har fire gange, så Ved at bruge samme tankegang får vi b a + 6a + 5b b + 10a. Øvelse 7 I hvert af regneudtrykkene (1)-(4) skal du samle led der er af samme type. Se Teori 6. (1) () (3) a + 4 b + a + 3b. (4) k + 11k. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

6 Gange ind i parentes 1. del Øvelse 8 m og n står for to tal. På hver pakke står antal mønter den indeholder. Nedenfor er vist hvor mange mønter hver af personerne A, B, C og D har. A: m n B: m n C: m n D: m n m n m n m n m n (a) m + n er antal mønter som har. (b) 3 m + n er antal mønter som har. (c) 3 ( m + n) er antal mønter som har. (d) 3 m + 3 n er antal mønter som har. (e) m + 3 n er antal mønter som har. (f) Hvis m og n 4, så er 3 ( m + n) og 3 m + 3 n. (g) Hvilke tal kan m og n være hvis udtrykkene 3 ( m + n) og 3 m + 3 n skal være samme tal? Svar:. Teori 9 Et udtryk a + b + c med flere led kan vi gange med et tal k ved at gange hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( a + b + c) k a + k b + k c Det er + og der skiller led, så Dette betyder: k ( a b c) k a b c Vi kan omskrive 4 ( + ) til Vi kan ikke omskrive 4 ( + ) til 8 + Vi kan ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kan omskrive 4 ( ) til 8 Vi kan ofte reducere et udtryk sådan: b + ( a + 3b) + 4a a b c indeholder kun ét led: b + a + 6b + 4a Først ganger vi ind i parentesen. 6 a + 7b Så samler vi led af samme type. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

7 Øvelse 10 Reducer: (a) 3 + 5( + ) (c) ( + y) + 3() + 3y (b) ( 1+ a )3 + ( a + ) (d) (4 a + 3 b) (5 b) Øvelse 11 Først køber vi 4 bøger, og derefter køber vi 7 bøger til. For hver bog betaler vi n mønter. For de første 4 bøger betaler vi mønter, og for de næste 7 bøger betaler vi mønter, så vi betaler i alt + mønter for bøgerne. Vi har i alt købt + bøger, og for hver af dem betaler vi mønter, så vi betaler i alt ( + ) mønter for bøgerne. Rækkefølge af og samt af + og Øvelse 1 (a) På hver af de tomme pladser skal du skrive et af følgende udtryk: Hvis vi ser at vi har 10 mønter, derefter bruger 4 mønter og derefter får mønter, så har vi mønter. Hvis vi ser at vi har 10 mønter, derefter bruger 4 mønter og derefter bruger mønter, så har vi brugt mønter og har mønter tilbage. (b) På hver af de tomme pladser skal du skrive et af følgende udtryk: b + c b c a b + c a b c a + b c a + b + c Hvis vi ser at vi har a mønter, derefter bruger b mønter og derefter får c mønter, så har vi mønter. Hvis vi ser at vi har a mønter, derefter bruger b mønter og derefter bruger c mønter, så har vi brugt mønter og har mønter tilbage. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

8 Teori 13 Når der før et tal står + og efter står + eller, så kan vi selv vælge hvilket af de to tegn vi vil udregne først. Når der før et tal står og efter står + eller, så er det minusset før vi skal udregne først. Når et tal står mellem og, så skal vi udregne gange før minus. Dette betyder: Vi kan omskrive til 1 3 Vi kan omskrive til 7 + Vi kan omskrive til + 3 Vi kan ikke omskrive til 7 8 Vi kan ikke omskrive Vi kan ikke omskrive a a til 0 5 til 3 Hvis skal udregnes før, så skal vi skrive en parentes: Vi kan omskrive ( 5 ) til 3 Øvelse 14 (a) Kan vi omskrive 3 + til 3 0 +? Svar:. (b) Kan vi omskrive 3 + til 6 +? Svar:. (c) Kan vi omskrive 3 + til 3? Svar:. (d) Kan vi omskrive 3 + til 3 4? Svar:. (e) Kan vi omskrive 3 + til 3 + 0? Svar:. (f) Kan vi omskrive til 10? Svar:. (g) Kan vi omskrive til 6 +? Svar:. (h) Kan vi omskrive 5 3 til? Svar:. Øvelse 15 På hver af de tomme pladser skal du skrive et af følgende udtryk: 14 6 ( 14 ) For en vare er prisen pr. stk. 14 mønter, men vi får en rabat på mønter. For 6 stk. skal vi betale. For en vare er prisen pr. stk. mønter. Hvis vi ser at vi har 14 mønter, og derefter køber 6 stk. af varen, så har vi mønter tilbage. Hvis vi ser at vi har 14 mønter, og derefter køber en vare til mønter og en vare til 6 mønter, så har vi mønter tilbage. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

9 Teori 16 I udtrykket har vi først otte gange, og derefter fjerner vi syv gange, dvs. vi har én gang tilbage, så Ved at bruge samme tankegang får vi 6 5a 3b + 4b + 8 a + b 14 7a + b. Øvelse 17 I hvert af regneudtrykkene (1)-(5) skal du samle led der er af samme type. Se Teori 16 og Teori 6. (1) () (3) 3 a 4b + 3a + 9b. (4) 6 4 k + 11k. (5) 5 y + 3y 4. Øvelse 18 Reducér: (a) 3(4 + ) 5 10 (c) (5 ) 15 (b) (6) 1 + 3( + 4) (d) ( + a + b) 4 + a 7b Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

10 Gange ind i parentes. del Øvelse 19 står for et bestemt tal. I alle klasser er der 0 elever, og af dem er piger. På hver af de tomme pladser i (a)-(e) skal du skrive en af følgende sætninger: piger i én klasse drenge i én klasse elever i én klasse piger i fire klasser drenge i fire klasser elever i fire klasser (a) 0 er antal. (b) 4 (0 ) er antal. (c) 4 0 er antal. (d) 4 er antal. (e) er antal. (f) Når 8 er 4 (0 ) og (g) Hvilke tal kan være hvis udtrykkene 4 (0 ) og skal være samme tal? Svar:. Teori 0 Et udtryk a b + c med flere led kan vi gange med et tal k ved at gange hvert led i udtrykket med k, dvs. k ( a b + c) k a k b + k c Det er + og der skiller led, så Dette betyder: k ( a b c) k a b c Vi kan omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kan ikke omskrive 4 ( ) til 8 Vi kan ikke omskrive 4 ( ) til 8 4 Vi kan omskrive 4 ( ) til 8 Vi kan ofte reducere et udtryk sådan: b + ( a 3b) + 5b a b c indeholder kun ét led: b + a 6b + 5b Først ganger vi ind i parentesen. a + b Så samler vi led af samme type. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

11 Øvelse 1 Reducér: (a) 4 + 3( ) (c) 3( + y) 5 3y (b) ( 3 a )3 + 8( a + 1) (d) ( a 4 b) a b Øvelse Først køber vi bøger som hver koster 19 mønter. Derefter leverer vi 7 bøger tilbage og får pengene igen. (a) For de bøger betalte vi mønter, og for de 7 bøger får vi mønter tilbage, så for de bøger vi beholder, har vi betalt mønter. (b) Antallet af bøger vi beholder er, og vi betalte mønter for hver bog, så for de bøger vi beholder, har vi betalt ( ) mønter. Hæve parentes Øvelse 3 (a) Vi ser at vi har 15 mønter. Derefter køber vi en vare til 8 mønter, og derefter en vare til 3 mønter. På hver af de tomme pladser skal du skrive en af følgende: betalt for de to varer tilbage når vi har købt den første vare tilbage når vi har købt begge varer 15 8 er antal mønter vi har er antal mønter vi har er antal mønter vi har. 15 (8 + 3) er antal mønter vi har. Øvelsen fortsætter på næste side! Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

12 (b) Vi ser at vi har a mønter. Derefter køber vi en vare til b mønter, og derefter en vare til c mønter. På hver af de tomme pladser skal du skrive en af følgende: betalt for de to varer tilbage når vi har købt den første vare tilbage når vi har købt begge varer a b er antal mønter vi har. a b c er antal mønter vi har. b + c er antal mønter vi har. a ( b + c) er antal mønter vi har. (c) Hvis a 50, b 0 og c 10 er a b c og a ( b + c). (d) Hvilke tal kan a, b og c være hvis de to udtryk a ( b + c) og a b c skal være samme tal? Svar:. Teori 4 Når der foran parentesen er, og efter parentesen er +, eller ingenting så kan vi fjerne parentesen og minusset foran hvis vi samtidig ændrer fortegnet for hvert led i parentesen. Når vi gør dette, siger vi at vi hæver minusparentesen. Når der foran parentesen er +, og efter parentesen er +, eller ingenting så kan vi fjerne parentesen og plusset foran. Når vi gør dette, siger vi at vi hæver plusparentesen. Dette betyder: 14 ( y) y 8 ( 3) + (5 ) 8 ( + 3) + ( + 5 ) Disse tegn skal fjernes. Disse tegn skal ændres. Denne linje skriver vi normalt ikke. ( a + b) ( c + d e) + ( a + b) ( c + d e) a + b + c d + e Denne linje skriver vi normalt ikke. ( 4 ) 4 og 5 + ( ) 5 Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

13 Øvelse 5 Reducér: (a) ( 4) + ( + 3) (b) ( 5 ) ( + ) (d) ( a + b 5) ( b + 5) (e) 1 ( y ) ( + y) (c) 3 a (7 a + b) + b (f) + ( 5) ( 1+ 3) Øvelse 6 Vi har 65 mønter. Først betaler vi mønter for en vare, men vi får 10 mønter tilbage fordi der en mangel ved varen. (a) Lige da vi havde betalt de mønter havde vi mønter. Da vi havde fået mønter tilbage, havde vi + mønter. (b) Da vi havde fået mønter tilbage, havde vi betalt mønter for varen, så vi havde ( ) mønter. Teori 7 Vi kan ofte reducere et udtryk sådan: 3(4 ) (1 6) Først ganger vi ind i parentesen Så hæver vi minusparentesen. 8 1 Så samler vi led af samme type. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

14 Øvelse 8 Reducér: (a) 3(4 ) ( ) (b) 3 4 4( ) (c) 3 + 5(3 + 4) ( ) (d) 3( + 1) (3 4) (e) a( 4 + b) ab + ( 3a) (f) 4(1 + b ) (a 3) b Brøk (division) Teori 9 Vi vil skrive division som en brøk. At 1 divideret med 4 er 3 skriver vi sådan Teori 30 Halvdelen af 6 er 3 dvs. 6 3 Da der står mellem 6 og, må vi dividere op i 6. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

15 Teori 31 Halvdelen af er ikke dvs. 6 + kan vi ikke omskrive til 3 +. Da der står + mellem 6 og, må vi ikke dividere op i 6. Hvis der står minus må vi heller ikke dividere op i 6: 6 Der gælder altså: kan vi ikke omskrive til 3. kan vi ikke omskrive til 3 8 kan vi ikke omskrive til 7 +. Øvelse 3 (a) Kan vi omskrive (b) Kan vi omskrive (c) Kan vi omskrive (d) Kan vi omskrive til 3 5? Svar:. til 3 0? Svar:. til 1 5? Svar:. til 3 + 1? Svar:. Øvelse 33 Reducér: 8 + 9a 7 (a) (b) (c) ( 4) (d) 3 Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

16 Teori 34 Der gælder: a a 1 a a og a a a og a a a 4 ( 4) og og ( 4) a a a + a a a kan vi ikke omskrive til kan vi ikke omskrive til kan vi ikke omskrive til Øvelse 35 Reducér: (a) (b) a + 3a + a 6 (c) 8 k + 8 k (d) ( 3 4) 4 (e) (f) k k k + k k (g) (h) a a + ( 6) 6 Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

17 Ligninger Teori 36 Tænk på en vægt når du løser ligninger. står for et tal. På hver pakke står hvor mange lodder den indeholder. Vi har anbragt nogle pakker på hver af vægtens skåle: Vi ser at der er ligevægt. Dette kan vi skrive som en ligning: Vi omskriver den ene side i ligningen, dvs. flytter rundt på pakkerne på den ene vægtskål. Der må stadig være ligevægt: Vi trækker fra begge ligningens sider, dvs. fjerner fra begge vægtskåle. Der må stadig være ligevægt: Vi dividerer begge ligningens sider med 3. På hver af vægtskålene er der nu en tredjedel af det der var før. Der må stadig være ligevægt: : Pakken med lodder vejer det samme som fire lodder, dvs. 4. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

18 Teori 37 Regler vi kan bruge til at løse ligninger: Vi må lægge det samme tal til begge sider af lighedstegnet. Vi må trække det samme tal fra begge sider af lighedstegnet. Vi må gange begge sider af lighedstegnet med det samme tal hvis det tal vi ganger med, ikke er nul. Vi må dividere begge sider af lighedstegnet med det samme tal hvis det tal vi dividerer med, ikke er nul. Vi kan også omskrive en af ligningens sider ved hjælp af de regler der står i de foregående afsnit. Øvelse 38 Hvad gør vi ved begge sider i for at få ligningen 11? Svar:. Hvad gør vi ved begge sider i 8 13 for at få ligningen 1? Svar:. Hvad gør vi ved begge sider i 8 40 for at få ligningen 5? Svar:. Hvad gør vi ved begge sider i 9 5 Svar:. for at få ligningen 45? Øvelse 39 Skriv mellemregning der viser hvad vi har gjort ved begge sider i ligningen: (a) Af får vi (c) Af 11 0 får vi så 15 så 11 (b) Af 1 5 får vi så 60 (d) Af 7 1 får vi så 3 Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

19 Øvelse 40 Løs ligningerne. (1) () 3 8 (3) 1 3 (4) 1 9 (5) (6) 7 Øvelse 41 Løs ligningerne. (1) () (3) (4) (5) (6) 8 5 Øvelse 4 Løs ligningerne. (1) () (3) Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

20 Øvelse 43 Løs ligningerne. (1) () (3) Øvelse 44 Løs ligningerne. (1) 5 (3 + 6) + 9 () 6 3( + ) + 1 (3) ( + 5) Øvelse 45 Løs ligningerne. (1) ( 4) + (1 3) () 5( + ) 3(4 3) Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

21 Øvelse 46 (a) Følgende er oplyst: Når vi lægger 6 til antal drenge, så får vi det samme som hvis vi ganger antal drenge med 4. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem antal drenge. Ligning: (b) Følgende er oplyst: Når vi ganger antal piger med 3 og lægger 8 til, så får vi det samme som når vi ganger antal piger med 5. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal piger. Ligning: Øvelse 47 (a) Følgende er oplyst: Når vi lægger 7 til antal drenge og ganger resultatet med 8, så får vi 96. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem antal drenge. Ligning: (b) Følgende er oplyst: Når vi trækker antal piger fra 3 og trækker resultatet fra 4, så får vi 13. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal piger. Ligning: Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

22 Isolere Teori 48 I en opgave står at vi skal isolere m i ligningen n m 1. Dette betyder: Vi skal omforme ligningen så m står alene på den ene side. For at isolere m starter vi med at lægge 1 til begge ligningens sider. Så får vi n+ 1 m. Nu dividerer vi begge ligningens sider med : n+ 1 m. Ved at reducere ligningens venstre side får vi ligningen n+ 1 m hvor m er isoleret. Resultatet på opgaven er m n+1 Øvelse 49 (a) Isolér i ligningen (b) Isolér i ligningen t m + n Øvelse 50 (a) Isolér k i ligningen (b) Isolér r i ligningen t ( k + 3) 1 r ( r) s Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

23 Øvelse 51 (a) Tallet a i ligningen er ikke 0. Isolér. y a + b (b) Isolér i ligningen. Start med at gange begge sider med y Øvelse 5 I ligningerne er m og t ikke 0. Isolér t i hver af ligningerne. (1) N m t () t N (3) m N m t Øvelse 53 (a) I ligningen er m ikke 0. Isolér b. y 4m( b a) (b) I ligningen er m ikke 0. Isolér a. y 4m( b a) (c) I ligningen er b a ikke 0. Isolér m. y 4m( b a) Øvelse 54 (a) I ligningen er a og e ikke 0. Isolér e. b c + d a e (b) I ligningen er e ikke 0. Isolér d. b c + d a e Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

24 Øvelse 55 Vi kan finde arealet A af en bestemt type figurer ved hjælp af følgende opskrift: A. Læg til grundlinjen g. B. Gang A-resultatet med højden h. (a) Skriv denne opskrift som en ligning (b) A Isolér g i denne ligning: (c) Skriv resultatet fra (b) som en opskrift af samme type som den ovenfor: A. B. Øvelse 56 Vi kan finde omkredsen O af en bestemt type figurer ved hjælp af følgende opskrift: A. Gang bredden b med 4. B. Gang højden h med. C. Læg B-resultatet til A-resultatet. (a) Skriv denne opskrift som en ligning O (b) Isolér h i denne ligning: (c) Skriv resultatet fra (b) som en opskrift af samme type som den ovenfor: A. B. C. Simple udtryk og ligninger Side 009 Karsten Juul

25 Teori 57 Udtrykket 4 læses 4 i anden og betyder 4 ganget med sig selv dvs For alle tal er. På lommeregneren kan vi udregne at 1,4 I udtryk som, 1, , 4 3 skal vi opløfte til anden før vi bruger, + og, så der gælder ( 3) ( 3) ( 3) ( ) () () 4 9 Øvelse 58 (a) Når t 3 er 5t (b) 1 Når h er h Øvelse 59 (a) Tallene u og a er ikke 0. Isolér a i ligningen my u a (b) Tallene y og a er ikke 0. Isolér m i ligningen my u a Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

26 Teori 60 Vi lader k stå for et positivt tal. Udtrykket k læses kvadratroden af k og er den positive løsning til ligningen k. Når vi kun ser på positive tal, så gælder at ligningen 6 har løsningen 6. Vi udregner kvadratroden på lommeregner og får 7,874 Øvelse 61 (a) Om et positivt tal t gælder t 73 Vi kan skrive dette tal ved hjælp af rodtegn: t Vi udregner kvadratroden på lommeregner og får t (b) I ligningen står og m for positive tal. Isolér. m (c) I ligningen står y, k og m for positive tal. Isolér y. y k+ m Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

27 Teori 6 Vi vil finde det positive tal som er løsning til ligningen Først isolerer vi : Af reglen fra teori 60 får vi Vi udregner kvadratroden på lommeregner og får 1,58 13 dvs. 1, 58 er det positive tal som er løsning til Øvelse 63 (a) Find det positive tal som er løsning til ligningen 6 5 (b) Find det positive tal a som er løsning til ligningen a 4 9 (c) Find det positive tal N som er løsning til ligningen N 5 76 Øvelse 64 (a) Find det positive tal t som er løsning til ligningen t + 13 (b) Find det positive tal p som er løsning til ligningen 4 p 17 (c) Find det positive tal y som er løsning til ligningen y Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

28 Øvelse 65 I denne øvelse står c, h og for positive tal. (a) Isolér c i ligningen (b) Isolér i ligningen h c h c (c) Isolér h i ligningen h c Øvelse 66 I denne øvelse står B, k, m og r for postive tal. (a) Isolér m i ligningen (b) Isolér k i ligningen r k B r k B m m (c) Isolér r i ligningen r k B m Øvelse 67 Vi kan finde rumfanget V af en bestemt type figurer ved hjælp af følgende opskrift: A. Opløft tykkelsen d til anden. B. Gang A-resultatet med højden h. C. Gang B-resultatet med 5. (a) Skriv denne opskrift som en ligning V (b) Udregn rumfanget når tykkelsen er og højden er 6. V (c) Udregn tykkelsen når rumfanget er 7 og højden er 10. Simple udtryk og ligninger Side Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

TAL OM - '" EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)(

TAL OM - ' EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)( Al gebra og ligning er 7..0-1 Ligninger '? k 'Z "-0'1 Zo '8 x.:: 3-4)("'~g 3~X"'3,.il ''

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Mattip om. Ligninger 1. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. Hvad en ligning er. Hvordan du kan genkende en ligning

Mattip om. Ligninger 1. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. Hvad en ligning er. Hvordan du kan genkende en ligning Mattip om Ligninger 1 Du skal lære: Hvad en ligning er Kan ikke Kan næsten Kan Hvordan du kan genkende en ligning Ligningsløsning ved gæt og kontrol Reducering og løsning af ligninger 2016 mattip.dk 1

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07-7 10. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Negative tal...7 Parenteser...9 Brøkstreger...1 Tekst og regnestykker hvad passer sammen?... Potenser...

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Silkeborg 0-05-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Udarbejdet af matematiklærere fra HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

ALGEBRA OG LIGNINGER. Opgave 11

ALGEBRA OG LIGNINGER. Opgave 11 A. 12 B. 40 2 4 2 C. 8 x 416 A. 9,5a B. 2a + 5b A. 0 A. B. Elevforklaring 1 A. B. Elevforklaring 2 A. Omkreds: 2 3a + 2 a = 8a B. Areal: a 3a =3a 2 B. = 4 cm 3 A. Fx A. 4x = 120 m B. 30 m C. D. 245,92

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Årsplan 5. Årgang

Årsplan 5. Årgang Årsplan 5. Årgang 2016-2017 Materialer til 5.årgang: - Matematrix grundbog 5.kl - Matematrix arbejdsbog 5.kl - Skrivehæfte - Kopiark - Færdighedsregning 5.kl - Computer Vi skal i løbet af året arbejde

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Ny skriftlighed - Matematik

Ny skriftlighed - Matematik Ny skriftlighed - Matematik Indhold Andres tanker og ideer:... 2 Andre nyttige links:... 2 Kompetencer:... 2 Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer... 3 Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G. Niels Jørgen Andreasen

Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G. Niels Jørgen Andreasen Matematik på AVU Eksempler til niveau G Niels Jørgen Andreasen Om brug af denne eksempelsamling Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED. Indtil sommeren 009 hed niveauerne

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 1 Eksempler

Matematik. på Åbent VUC. Trin 1 Eksempler Matematik på Åbent VUC Trin Indledning til kursisterne Indledning til kursisterne Dette undervisningsmateriale består af i alt 0 moduler med opgaver. I hvert modul er der en bestemt type opgaver. Der er

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Naturfag - naturligvis. 1. Introduktion

Naturfag - naturligvis. 1. Introduktion Naturfag - naturligvis af Kenneth Hansen 1. Introduktion Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Introduktion Indhold 1. Rapportens svingningstid. Den naturvidenskabelige metode

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere