Matematik Aflevering - Æggebæger

Transkript

1 Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/ Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6

2 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner, l1 er den oprindelige, l2 har jeg ændret fortegnet foran x, for at få den til at ligge spejlet i y-aksen l 1 ( x) := ln( x 1.5) l 2 ( x) := ln( x 1.5) Derefter finder jeg det nedre interval til de to logaritme funktioner l 1 ( x) = 2 solve, x L1 starter altså i x = 1.63 og stiger derefter. Samtidig har jeg fundet intervallet af den nedre vandrette streg, da den er symmetrisk om y-aksen, så må den gå fra til 1.63 For at tegne logaritme funktionen, så finder jeg nogle værdier som jeg kan tegne efter x 1 := 1.6, x ( ) = 2l 1 x 1 = Skitsen skal tegnes i formatet 2:1, derfor ganger jeg x1 og l1(x1) med 2 Htx 3.2 Side 2 af 6

3 Så finder jeg det maksimale x-værdi som logaritme funktionen kan have. Da det andet interval er det samme sted som funktionen skær med den skrå linje, så kan jeg først finde forskriften for den skrå linje, og derefter sætte det to funktioner lig med hinanden, og isolere x. jeg burger følgende forskrift til at finde den skrå linje y = a x + b a = 4 Hældningstallet b finder jeg ved at gange hældningstallet med x-koordinatet, og trækker y koordinatet til det tal jeg finder = 17.2 da jeg kan se at linjen er på højreside af y-aksen, og da hældningstallet er negativ, så kan jeg se at skæringen med y-aksen (b) skal være positiv, så jeg ændre fortegnet, og sætter det ind i forskriften s( x) := 4 x Så sætter jeg de to ligninger lig med hinanden og isolere x fx ( ) := ln( x 1.5) fx ( ) = s( x) solve, x altså skal k-koordinatet til skæringen mellem de to linjer være x = Så finder jeg y-koordinatet ved at tage f(4.064) f( 4.064) = y = altså er det andet interval til logaritmefunktionen = 4.06 Htx 3.2 Side 3 af 6

4 Opgave 1 Delopgave B Jeg vælger at f( x) := ln( x 1.5) + 2 Jeg har til denne formel valgt at sænke x-aksen med 2, derfor har jeg lagt 2 til denne formel s( x) := ( 4) x F( x) := 2 π xfx ( ) dx 2 Fx ( ) π = S( x) := 2 π xsx ( ) dx 3.8 Sx ( ) π = Så skal jeg have fundet volumet af den halvkugle hvor æget skal være r:= 2 V := 4 3 r3 π 2 V = Sx ( ) + F( x) V π = d := 7.8 g cm 3 g := d altså kommer æggebægeret til at veje g = Htx 3.2 Side 4 af 6

5 Opgave 1 Delopgave C f( x) := ln( x 1.5) y = a x + b For at finde det punkt hvor emnet er tyndest så siger jeg at det punkt på funktionens kurve, som er tættest på cirklen, det må være ved det punkte at emnet er tyndest. For at finde det punkt, så skal jeg først have fundet hældningen til den linje, som går fra cirklens centrum, og til det punkt på funktions grafen. For at finde hældningen på den linje, så bruger jeg at når man tager Δy/Δx så får man hældningstallet til mellem de to punkter. Jeg siger bare f(x)-2/x i stedet, grunden til at jeg har sat -2 på f(x), er at cirklens centrum ligger i (0,2), og da f(x) dymbolisere y, så skal der trækkes 2 fra. Når jeg har gjort det, så kommer jeg frem til følgende formel ax ( ) := fx ( ) 2 x Dette er et udtryk for hældningen af den linje der går mellem cirklens centrum, og punktet på funktions grafen, dette er udtrykt ved x Derefter vil jeg finde et udtryk for hældningen af tangenten i punktet til funktions grafen, dette gør jeg ved at differentiere funktions udtrykket, f ( x) f ( x) d := dx fx ( ) 1 x 1.5 Da jeg ved at to hældningstal, hvor linjerne står vinkelret på hinanden, hvis de ganges med hinanden, så giver det -1, derved kan jeg gange de to udtryk for hældningstallet af henholdsvis tangenten til funktions udtrykket, og linjen som går fra cirklens centrum til punktet på kurven, og til sidst isolere x f ( x) a( x) = 1 solve, x nu har jeg fundet x, så kan jeg sætte det ind i de to udtryk for hældningstallet, og finde hældnignstallet for linjen, og tangenten a( ) = for linjen f ( ) = for tangente Derefter så finder jeg de to punkter på funktions kurven, hvor emnet er tyndest. Jeg kendere allerede x koordinatet, den fandt vi tidligere, for at finde y-koordinatet, så sætterjeg den fundne x værdi ind i funktions udtrykket. f( ) = Nu har jeg de koordinatet til det punkt på kurven, hvor emnet er tyndest, de er: Htx 3.2 Side 5 af 6

6 P kurve = ( 2.388, 0.119) Derefter så finder jeg afstanden til det punkt, og op til cirklens centrum ved at bruge pythagoras Cirkel centrum = ( 02, ) Δx := Δx = Δy := Δy = Centrum Punkt := Δx 2 + Δy 2 Centrum Punkt = Så har vi afstanden fra punktet på grafen hvor materialet er tyndest, og til cirklens centrum. Da vi ved at cirklen har en radius på 2, så skal vi trække 2 fra resultatet r := 2 Materialle tyndest := Centrum Punkt r Materialle tyndest = Htx 3.2 Side 6 af 6