Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til."

Transkript

1 Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter samt opgaveløsningsstrategier. Desuden er der et afsnit om polynomier med heltallige koefficienter og deres særlige egenskaber mht. delelighed og irreducibilitet. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver, mens der til sidst er opgaver af stigende sværhedsgrad. Der er løsninger til samtlige opgaver bagerst i noterne. I noterne betegner sædvanligvis mængden af hele tal, mængden af rationale tal, mængden af reelle tal og mængden af komplekse tal. Desuden betegner en af disse fire talmængder. De komplekse tal kan beskrives som mængden af alle tal på formen a + ib, hvor i = og a og b er reelle tal. Alle opgaver kan regnes uden brug af komplekse tal. Indhold Polynomier 2 Polynomiumsdivision 2 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 3 4 Koefficienter 5 5 Polynomier med heltallige koefficienter 6 6 Blandede opgaver 7 7 Løsningsskitser 8 hvor a n,a n,...,a,a 0 og a n 0 kaldes et n te grads polynomium med koefficienter i. Mængden af polynomier med koefficienter i betegnes [x]. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Rod Tallet x 0 kaldes en rod i P(x) hvis P(x 0 ) = 0. Normeret polynomium Et polynomium kaldes normeret hvis koefficienten til højestegradsleddet er. Lige og ulige olynomier Et polynomium kaldes for lige hvis P(x) = P( x) for alle reelle tal x, og et polynomium kaldes tilsvarende for ulige hvis P(x) = P( x) for alle reelle tal x. Entydighedssætningen.. Hvis to polynomier P og Q er identiske, dvs. at P(x) = Q(x) for alle x, da er deres koefficienter identiske. Opskrivningen af polynomier er altså entydig. Bevis Antag at P(x ) =Q(x) for alle x. Hvis koefficienterne i P ogq ikke er identiske, da er 0 = G (x) = P(x) Q(x) = a n x n a 0, hvor n 0 og a n 0. For n = 0, er 0 = G (x ) = a 0 0 hvilket er umuligt. Antag derfor at n > 0, og sæt A = max{ a i a n i = 0,,...,n}. Da er a n (2A) n > a n A n (2 n +2 n ) a n (2A) n +...+a (2A)+a 0, og dermed G (2A) 0 hvilket er en modstrid. Opgave.. Vis at de lige polynomier netop er de polynomier hvor koefficienterne hørende til led af ulige potenser af x er nul. Vis tilsvarende at de ulige polynomier netop er de polynomier hvor koefficienterne hørende til led af lige potenser af x er nul. Opgave.2. Vis at et polynomium af ulige grad med reelle koefficienter altid har mindst en reel rod.

2 2 Polynomiumsdivision Sætning om polynomiumsdivision 2.. Lad P(x ) og Q(x) være polynomier i [x] af grad henholdsvis n og m med n,m 0. Hvis = antages yderligere at koefficienten til m tegradsleddet i Q(x) er ±. Da findes entydigt bestemte polynomier D af grad n m og R af grad mindre end m med koefficienter i så P(x) =Q(x)D(x) + R(x ). Polynomiet R(x ) kaldes resten af P(x) ved division med Q(x). Bevis Lad P(x ) = a n x n +...+a 0 ogq(x ) = b m x m +...+b 0 hvor a n,b m 0. Først viser vi eksistensen ved induktion efter n. For n < m er eksistensen oplagt med D(x) = 0 og R(x) = P(x ). Lad n = N m, og antag at sætningen er sand for alle n < N. Da er P (x) = P(x) a n b m x n m Q(x) et polynomium af grad mindre end n, og dermed findes ifølge induktionsantagelsen polynomier D og R så P (x ) =Q(x)D (x) + R(x ) hvor graden af R er mindre end m. Nu er P(x) =Q(x)D(x) + R(x) hvor D(x ) = a n b m x n m + D (x ), dvs. nu har vi vist eksistensen. Bemærk at koefficienterne i D og R stadig er elementer i da a n når a b n,b m, og vi har forudsat at b m = ± m hvis =. For at vise entydigheden antager vi at der findes polynomier D, D 2, R og R 2 i [x] hvor R og R 2 har grad mindre end m således at Da er P(x) =Q(x)D (x) + R (x) =Q(x )D 2 (x) + R 2 (x ). Q(x)(D (x ) D 2 (x )) + R (x) R 2 (x ) nulpolynomiet. Da Q har grad m og R R 2 har grad mindre end m giver entydighedssætningen at D D 2 er nulpolynomiet og altså D = D 2. Dermed er R R 2 også nulpolynomiet og R = R 2, dvs. D og R er entydigt bestemt. Denne sætning svarer til sætningen om hele tal der siger at hvis n og m er hele tal, m 0, da findes to entydigt bestemte hele tal d og r, 0 r < m, således at n = d m + r. Her er r resten ved division af n med m. At et polynomium går op i et andet polynomium vil ligesom for hele tal sige at resten ved division er 0 hvilket følgende definition siger. Delelighed Et polynomiumq siges at gå op i P i [x], P,Q [x], hvis der findes et polynomium D [x ] så P(x ) =Q(x)D(x). Reducibilitet Et polynomium P kaldes reducibelt i [x] hvis der findes to polynomier S,T [x] af grad mindst en så P(x ) = S(x )T (x) Irreducibilitet Et polynomium P kaldes irreducibelt i [x ] hvis det ikke er reducibelt i [x ]. Eksempel Vi undersøger for hvilke n det gælder at x 2 + går op i x n + x n x +. Sæt P n (x) = x n + x n x +. Da P 3 (x) = (x 2 + )(x + ) må x 2 + gå op i x m + x m + x m 2 + x m 3. Dermed vil x 2 + gå op i P 4t +s (x) netop når x 2 + går op i P s (x). Da x 2 + ikke går op i P 2 (x),p (x) og P 0 (x), går x 2 + op i P n (x) netop hvis n har rest 3 ved division med 4. Eksempel på polynomiumsdivision Man dividerer P(x) = x 3 2x 2 + 2x 5 med Q(x) = x 3 sådan: x 3 x 3 2x 2 + 2x 5 x 2 + x + 5 x 3 3x 2 x 2 + 2x 5 x 2 3x 5x 5 5x 5 0 2

3 Dvs. at P(x ) = x 3 2x 2 + 2x 5 = (x 3)(x 2 + x + 5). Eksempel på polynomiumsdivision med rest Man dividerer P(x) = x 3 + 3x 2 2x + 7 med Q(x ) = x 2 + sådan: x 2 + x 3 + 3x 2 2x + 7 x + 3 x 3 + 0x 2 + x 3x 2 3x + 7 3x 2 + 0x + 3 3x + 4 Dvs. at P(x ) = x 3 + 3x 2 2x + 7 = (x 2 + )(x + 3) 3x + 4. Eksempel med rester Hvis vi skal finde resten af P(x) = x 20 +6x ved division medq(x ) = x 2 4 uden at udføre selve divisionen udnytter vi sætningen om division med rest, dvs. vi ved at der findes et polynomium D med heltallige koefficienter og hele tal a og b så x x = (x 2 4)D(x) + ax + b. For x = 2 er 2a + b = = , og for x = 2 er 2a +b = ( 2) 20 +6( 2) = Dermed er resten ax +b = 2 20 x +. Opgave 2.. Udfør disse tre divisioner x 4 2x 2 + 3x 2 x 3x 4 + 8x 3 + 2x 2 + 9x + 4 x 2 + x + nx n+ (n + )x n + x Opgave 2.2. Vis at P(x ) = x 4n + x 2n + er reducibelt i [x]. Opgave 2.3. Bestem resten ved division af x 00 2x 5 + med x 2. Opgave 2.4. Bestem a og b så (x ) 2 går op i ax 4 + bx 3 +. Opgave 2.5. Undersøg om P(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + er reducibelt i [x]. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder Sætning om rødder og faktorisering 3.. Lad P(x ) være et n te grads polynomium med koefficienter i. Hvis x 0 er rod i P(x), da findes et entydigt bestemt polynomium D(x) af grad n med koefficienter i så P(x ) = (x x 0 )D(x). Specielt gælder at hvis x,x 2,...,x m er rødder i P(x), da findes et entydigt bestemt poynomium D(x) af grad n m med koefficienter i så P(x ) = (x x )(x x 2 )...(x x m )D(x). Bevis. Antag at x 0 er rod i P og x 0. Da findes entydigt bestemte polynomier D og R i [x], hvor R har grad højst nul, således at P(x) = (x x 0 )D(x) + R(x). Dermed er R(x 0 ) = 0, og da R har grad højst nul, må det være nulpolynomiet. Altså findes et polynomium D i [x ] så P(x) = (x x 0 )D(x). Hvis vi antager at x,x 2,...,x m er rødder i P(x), fås ved at gentage argumentationen ovenfor at der findes et polynomium D i [x ] så P(x ) = (x x )(x x ) (x x m )D(x ). Eksempel Da a er rod i P(x) = x n a n, går x a op i P. Ved division ses at x n a n = (x a )(x n + x n 2 a + x n 3 a xa n 2 + a n ). Da a er rod i Q(x) = x n +a n for ulige n, går x +a op i Q. Ved division ses at x n + a n = (x + a )(x n x n 2 a + x n 3 a 2... xa n 2 + a n ). Korollar om antallet af rødder 3.2. Et n te grads polynomium har højst n reelle rødder. Korollar om entydighed 3.3. Hvis P og Q er to polynomier af grad højst n, og P(x) =Q(x ) for n + forskellige værdier af x, da er P =Q. 3

4 Bevis. Antag at P og Q er to polynomier af grad højst n, og P(x) = Q(x) for n + forskellige værdier af x. Da er P(x) Q(x) et polynomium af grad højst n med n + rødder, og dermed er P(x) Q(x ) nulpolynomiet. Algebraens fundamentalsætning 3.4. Lad P(x) være et n te grads polynomium med koefficienter i. Da har polynomiet n ikke nødvendigvis forskellige rødder x,x 2,...,x n således at P(x) = a n (x x )(x x 2 )...(x x n ). Vi beviser ikke algebraens fundamentalsætning da det kræver et rimeligt kendskab til komplekse tal. Bemærkning Lad P(x) være et polynomium med koefficienter i og grad mindst. Da kan P faktoriseres i første- og andengradspolynomier med koefficienter i. Dette skyldes at de komplekse rødder kommer i par a + ib og a ib, og at (x (a +ib))(x (a ib)) = (x 2 2ax +a 2 +b 2 ) [x ]. Da beviset for dette kræver kendskab til komplekse tal, springes det over. Eksempel Når man skal undersøge hvor mange reelle rødder et polynomium har, behøver man ikke nødvendigvis finde de reelle rødder. Man kan i stedet udnytte polynomiers kontinuitet. Fx har fjerdegradspolynomiet P(x) = x 4 2x 3 2x 2 + 3x + fire reelle rødder da P( 2) = 9, P( ) =, P(0) =, P(2) = og P(3) = 9, dvs. der er en reel rod i hvert af følgende intervaller ] 2; [, ] ; 0[, ]0; 2[ og ]2; 3[. Eksempel For at undersøge for hvilke n polynomiet P(x) = x n x n 2, n > 3, er deleligt med Q(x ) = x 3 x +, bemærker vi at Q går op i P netop nårq går op i P(x ) Q(x ) = x n x n 2 x 3 +x. De reelle rødder i polynomiet P(x) Q(x) = x n x n 2 x 3 + x = x(x 2 )(x n 3 ) er x = 0 og x = ±. Polynomiet Q har en reel rod da det er et tredjegradspolynomien, og denne reelle rod er ikke x = 0 eller x = ±. Polynomiuet Q går derfor ikke op i P Q og dermed heller ikke i P for noget n. Multiciplicitet Tallet x 0 siges at være m -dobbelt rod eller rod af mulitiplicitet m i et polynomium P(x ) hvis (x x 0 ) m går op i P(x). Hvis man tæller antallet af rødder i et polynomium med multiplicitet, betyder det at den m -dobbelte rod x 0 tæller m gange. Sætning om røddernes multiplicitet 3.5. For et polynomium P(x ) gælder at x 0 er m -dobbelt rod i P netop hvis P(x 0 ) = P (x 0 ) = P (2) (x 0 ) =... = P (m ) (x 0 ) = 0. Bevis Antag at x 0 er m -dobbelt rod i P, altså at P(x) = (x x 0 ) m Q(x). Da er P (x) = (x x 0 ) m m Q(x) + (x x 0 )Q (x), og x 0 er dermed (m )-dobbelt rod i P (x ). Tilsvarende ses at x 0 er (m 2)-dobbelt rod i P (2) osv., dvs. at P(x 0 ) = P (x 0 ) = P (2) (x 0 ) =... = P (m ) (x 0 ) = 0. Antag omvendt at P(x 0 ) = P (x 0 ) = P (2) (x 0 ) =... = P (m ) (x 0 ) = 0. Vi viser at hvis x 0 er n-dobbelt rod i et polynomiumq, da er x 0 (n +)-dobbelt rod i den stamfunktionq tilq for hvilkenq(x 0 ) = 0, da dette giver det ønskede. Antag at x 0 er n-dobbelt rod i Q, og at Q er den stamfunktion til Q for hvilken Q(x 0 ) = 0. Antag at x 0 ikke er (n + )-dobbelt rod i Q. Ifølge algebraens fundamentalsætning kan vi faktorisere Q(x) = (x x 0 ) n 0 (x x ) n (x x 2 ) n 2 (x x k ) n k, hvor n 0 n. Dermed er Q Q(x ) Q(x ) Q(x) Q(x) (x) = n 0 + n + n n k. x x 0 x x x x 2 x x k Q(x) Q(x) Q(x ) Da n + n x x n x x k er delelig med (x x 2 x x 0 ) n Q(x) 0 mens n 0 k x x 0 ikke er, er Q ikke delelig med (x x 0 ) n 0. Da n 0 n, er x 0 ikke n-dobbelt rod i Q, hvilket er en modstrid. Eksempel Lad P(x ) = nx n+ (n + )x n +. Vi vil vise at (x ) 2 går op i P(x). Ved differentiation får man P (x) = (n + )nx n (n + )nx n, dvs. P() = P () = 0. Dermed er x = dobbeltrod i P, og (x ) 2 går op i P(x). Opgave 3.. Vis at fjerdegradspolynomiet P(x) = x(x 2)(x 4)(x 6) + (x )(x 3)(x 5)(x 7) har fire reelle rødder. Opgave 3.2. Undersøg for hvilke n polynomiet P(x) = x n +x n, n > 4, er deleligt med Q(x) = x 4 + x 3. Opgave 3.3. Bestem a og b så x = er dobbelt rod i P(x ) = ax n +nx n 2 + b, n ulige. 4

5 4 Koefficienter Andengradspolynomiets koefficienter 4.. Hvis andengradspolynomiet P(x) = x 2 + bx + c har rødderne x og x 2, da er P(x ) = (x x )(x x 2 ) = x 2 (x + x 2 )x + x x 2, dvs. at b = (x + x 2 ) og c = x x 2. Tredjegradspolynomiets koefficienter 4.2. Hvis tredjegradspolynomiet P(x) = x 3 + bx 2 + cx + d har rødderne x,x 2 og x 3, da er P(x) = (x x )(x x 2 )(x x 3 ) = x 3 (x +x 2 +x 3 )x 2 +(x x 2 +x x 3 +x 2 x 3 )x x x 2 x 3, Opgave 4.. For hele tal a og n har polynomiet P(x ) = x 3 x 2 + ax 2 n tre heltallige rødder. Bestem a og n. Opgave 4.2. Lad x og x 2 være rødderne i P(x) = x 2 + ax + bc og x 2 og x 3 være rødderne i Q(x ) = x 2 + bx + a c. Vis at hvis a c bc, da er x og x 3 rødderne i R(x ) = x 2 + cx + ab. Opgave 4.3. Lad a 3,a 4,...,a 200,a 20 være reelle tal med a Vis at antallet af reelle rødder (regnet med multiplicitet) i polynomiet P(x) = a 20 x 20 + a 200 x a 3 x 3 + x 2 + x + ikke overstiger dvs. at b = (x + x 2 + x 3 ), c = x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 og d = x x 2 x 3. På samme måde kan man bestemme koefficienterne i polynomier af højere grad ud fra rødderne. Eksempel Hvis P(x) = x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a x +a 0 har rødderne 3,,, 3, da er a 2 = ( 3)( ) + ( 3) + ( 3)3 + ( ) + ( )3 + 3 = 0. Eksempel Vi ønsker at bestemme samtlige polynomier P(x) = x n + a n x n + +a x +a 0, hvor a i = ±, således at alle rødder i P er reelle. Antag at P har lutter reelle rødder x,x 2,...,x n. Da er x 2 x 2 2 x 2 n = a 2 0 = og x 2 + x x 2 n = n 2 x i 2 I følge AG -uligheden er i = i<j n x i x j = a 2 n 2a n 2 3. x 2 + x x 2 n n n x 2 x 2 2 x 2 n = n, altså er n 3. Dermed er det let at finde samtlige ønskede polynomier, nemlig x ±, x 2 ± x og x 3 x ± (x 2 ). 5

6 5 Polynomier med heltallige koefficienter I dette afsnit er alle tal hele tal, og alle polynomier har heltallige koefficienter. Sætning om delelighed 5.. For et polynomium P(x) gælder at a b går op i P(a ) P(b), når a b. Specielt er P(a ) P(b) (mod n) hvis a b (mod n). Bevis Lad P(x) = a m x m + a m x m a x + a 0 og a b. Da a k b k = (a b)(a k + a k 2 b + a k 3 b ab k 2 + b k ), vil a b gå op i P(a ) P(b) = a m (a m b m ) + a m (a m b m ) a (a b). Eksempel For et polynomium P(x) er P(n) lig et trecifret tal for alle n =, 2, 3, Vi vil vise at P(x ) ikke har nogle heltallige rødder. (BW 998) For ethvert helt tal m findes et n {, 2,..., 998} så m n mod 998, og dermed er P(m) P(n) 0 (mod 998), da P(n) 0 mod 998 for alle n =, 2, 3,..., 998. Dvs. at P(x) ikke har nogen heltallige rødder. Sætning om rødder 5.2. Hvis et rationalt tal skrevet som uforkortelig brøk p er rod i polynomiet q P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 med heltallige koefficienter, da vil p a 0 og q a n. Specielt vil de eneste rationale rødder i være hele tal. Opgave 5.. Bevis sætningen. P(x) = x n + a n x n a x + a 0 Eksempel For at bestemme samtlige rationale rødder i P(x) = x 5 + 3x 3 + 2x + 6 er det altså nok at tjekke de hele tal der går op i 6, dvs. at eneste rationale rod er x =. Gauss lemma 5.3. Hvis P(x) er et polynomium med heltallige koefficienter som er irreducibelt i [x], da er det også irreducibelt i [x]. Bevis Antag at P(x) = Q(x )R(x ) [x], hvor Q(x),R(x) [x ] har grad mindst. Da alle koefficienter i Q er rationale, findes et mindste heltal q så qq(x) = q k x k + + q 0 [x], og tilsvarende et mindste heltal r så Sæt r R(x) = r m x m + + r 0 [x]. qr P(x ) = qq(x )r R(x ) = a n x n + + a x + a 0. På baggrund af faktoriseringen q r P(x) = qq(x)r R(x) vil vi finde en faktorisering af P i [x]. Lad p være en primdivisor i q. Da er alle koefficienter i qr P(x) delelige med p. Lad i være det mindste index så p går op i q 0,q,...,q i, men ikke i q i. Da må p gå op i r 0. Desuden er q 0 r i + q r i + + q i r 0 = a i 0 (mod p), q 0 r i + + q r i + + q i r + q i + r 0 = a i + 0 (mod p), dvs. r også er delelig med p. Ved at fortsætte på denne måde ser vi at alle koefficienter i R er delelige med p, dvs. at r R [x ]. Dermed har vi fået en ny faktorisering qr r p P(x) = qq(x ) R(x ). Ved at fortsætte på denne p p måde får vi en faktorisering af P med polynomier med heltallige koefficienter. Eisensteins udvidede irreducibilitetskriterium 5.4. Lad P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 være et polynomium med heltallige koefficienter, hvor et primtal p går op i a 0,a,...a k, for et heltal 0 < k < n, mens p a k + og p 2 a 0. Da har P(x) en irreducibel faktor af grad større end k i [x]. Specielt er P(x) irreducibel hvis k = n, og i dette tilfælde kaldes kriteriet blot for Eisensteins irreducibilitetskriterium. 6

7 Bevis Antag at P(x) = Q(x)R(x), hvor Q(x ) = q s x s + + q 0 og R(x) = r m x m + + r 0 er polynomier med heltallige koefficieneter. Da a 0 = q 0 r 0 er delelig med p, men ikke med p 2, er netop en af q 0 og r 0 delelig med p. Antag wlog at p q 0 og p r 0. Da p går op i a og a = r 0 q + q 0 r, må p q. Ved at fortsætte på denne måde ses at p går op i q 0,q,...,q k, men at p q k +. Det følger heraf at Q har grad mindst k +. Eksempel For at undersøge om polynomiet P(x ) = x er irreducibelt indenfor [x], kan man bruge Eisenteins irreducibilitetskriterium, men ikke direkte. Bemærk først at P(x) er irreducibelt, netop hvis P(x + ) er irreducibelt. Da P(x + ) = x 5 + 5x 4 + 0x 3 + 0x 2 + 5x + 5, er det irreducibelt ifølge Eisensteins irreducibilitetskriterium med primtallet p = 5, og dermed er P(x) det også. Opgave 5.2. Lad P være et polynomium med heltallige koefficienter således at der findes to hele tal a og b så P(a ) = og P(b) = 3. Kan ligningen P(x) = 2 have to forskellige heltallige løsninger? (BW 994) Opgave 5.3. Lad P være et polynomium med heltallige koefficienter således at der findes et helt tal n så P( n) < P(n) < n. Vis at da er P( n) < n. (BW 99) Opgave 5.4. Vis at P(x ) = x 6 + 3x 4 + 6x 3 + 9x + 3 er irreducibelt i [x]. Opgave 5.5. Vis at P(x) = x p + p 2 x 2 + px + p er irreducibelt i [x] for alle ulige primtal p. Opgave 5.6. Lad x,x 2,...,x n være forskellige heltal. Vis at P(x ) = (x x )(x x 2 ) (x x n ) er irreducibelt i [x ]. 6 Blandede opgaver Opgave 6.. Et tredjegradspolynomium P(x) = x 3 + 2x 2 3x 5 har rødderne a, b og c. Angiv et tredjegradspolynomium med rødderne a, b og. (GM 994) c Opgave 6.2. Det reelle tal a er rod i P(x) = x 3 x. Bestem et tredjegradspolynomium med heltallige koefficienter som har a 2 som rod. Opgave 6.3. Bestem samtlige mulige værdier af x +, hvor x tilfredsstiller x ligningen x 4 + 5x 3 4x 2 + 5x + = 0, og løs denne ligning.(gm 2000) Opgave 6.4. Lad P være et sjettegradspolynomium som for to reelle tal a og b, 0 < a < b, opfylder at P(a ) = P( a ), P(b) = P( b) samt P (0) = 0. Vis at P(x ) = P( x) for alle reelle tal x. (BW 998) Opgave 6.5. I et tredjegradspolynomium P(x) = x 3 +ax 2 +bx +c er b < 0 og ab = 9c. Vis at P(x) har tre forskellige reelle rødder. (BW 992) Opgave 6.6. Bestem alle fjerdegradspolynomier P(x ) som opfylder følgende: i) P(x) = P( x) for alle x. ii) P(x) 0 for alle x. iii) P(0) =. iv) P(x) har præcis to lokale minima i x og x 2 således at x x 2 = 2. (BW 992) Opgave 6.7. Vis at ikke alle rødder i P(x ) = x n + 2nx n + 2n 2 x n n n er reelle. Opgave 6.8. Et polynomium P(x) har heltallige koefficienter og grad n. Desuden findes præcis k hele tal som er løsning til ligningen P(x ) 2 =. Vis at k n 2. (IMO 974) Opgave 6.9. Lad P(x) være et n te grads polynomium med P(k ) = k = 0,, 2,...,n. Bestem P(n + ). k k + for 7

8 Opgave 6.0. Lad P(x) = x n + 5x n + 3, hvor n > er et helt tal. Vis at P(x) ikke kan skrives som et produkt af to polynomier med heltallige koefficienter og grad mindst en. (IMO 993) Opgave 6.. Bestem alle polynomier P(x) med reelle koefficienter som opfylder at P(a b) + P(b c) + P(c a ) = 2P(a + b + c) for alle trippler (a,b,c) af reelle tal som for hvilke ab + bc + ca = 0. (IMO 2004) I noterne står GM for Georg Mohr-Konkurrence, NMC for Den Nordiske Matematikkonkurrence, BW for Baltic Way og IMO for Den Internationale Matematik Olympiade. 7 Løsningsskitser Opgave. Lad P(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 være et lige polynomium, dvs. at P(x) = P( x). Dermed er 0 = P(x ) P( x) = 2(a 2m + x 2m + + a 2m x 2m +...a x ), hvor m er det største hele tal så n 2m +. Da det eneste polynomium, der er nul for alle x, ifølge entydighedssætningen er nulpolynomiet, består P(x) kun af led af lige potens af x. At et ulige polynomium kun indeholder led af ulige potens af x, vises på tilsvarende måde. Opgave.2 Lad P(x) være et polynomium af ulige grad. Da vil P(x) for x og P(x ) for x eller omvendt. Da et polynomium er kontinuert og defineret for alle reelle tal, findes dermed mindst et reelt tal r, så P(r ) = 0. Opgave 2. x 4 2x 2 + 3x 2 = (x )(x 3 + x 2 x + 2) 3x 4 + 8x 3 + 2x 2 + 9x + 4 = (x 2 + x + )(3x 2 + 5x + 4) nx n+ (n + )x n + = (x )(nx n x n x n 2 x ) Opgave 2.2 P(x ) = x 4n + x 2n + = (x 2n ) 2 + 2x 2n + x 2n = (x 2n + ) 2 (x n ) 2 = (x 2n + + x n )(x 2n + x n ). Altså er P reducibel i [x]. Opgave 2.3 Vi ved at x 00 2x 5 + = (x 2 )Q(x)+ax +b. Ved at indsætte henholdsvis x = og x = får man a + b = 0 og a + b = 4, dvs. resten er 2x + 2. Opgave 2.4 Sæt P(x) = ax 4 + bx 3 +. Antag at (x ) 2 går op P. Da er x = rod i P og dermed a + b + = 0 og altså b = a. Ved division ses at P(x) = ax 4 +bx 3 + = (x )(ax 3 x 2 x ), og dermed at x = også er rod i ax 3 x 2 x. Dette giver samlet a = 3 og b = 4. Opgave 2.5 Bemærk først at x 4 +x 3 +x 2 +x + = (x 2 +)(x 2 +x)+ > 0 for alle hele tal x, dvs. at P(x) ikke har nogle heltallige rødder. Hvis der findes et polynomium med heltallige koefficienter som går op i P(x), må det altså være et andengradspolynomium. Antag at P(x ) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d ). Det ses let at dette ikke er muligt. 8

9 Opgave 3. Polynomiet P(x) = x(x 2)(x 4)(x 6) + (x )(x 3)(x 5)(x 7) har fire reelle rødder da P(0) > 0, P() < 0, P(3) > 0, P(5) < 0 og P(7) > 0, dvs. der er en reel rod i hvert af intervallerne ]0; [, ]; 3[, ]3; 5[ og ]5; 7[. Opgave 3.2 Polynomiet Q(x ) = x 4 + x 3 går op i P(x) = x n + x n netop hvisq(x) går op i P(x ) Q(x) = x n +x n x 4 x 3 = x 3 (x )(x n 4 ). Polynomiet Q har en reel rod mellem 0 og da Q(0) = og Q() =, men denne rod er ikke rod i P(x) Q(x). Dermed går Q ikke op i P for noget n. Opgave 3.3 Når x = er dobbelt rod i P(x) = ax n + nx n 2 + b, n ulige, er 0 = P( ) = a n + b og 0 = P ( ) = a n + n(n 2), dvs. a = 2 n og b = 2. Opgave 4. Kald de heltallige rødder for x,x 2 og x 3. Da er x x 2 x 3 = 2 n, x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 = a og x + x 2 + x 3 =. Af sidste ligning ses at en eller tre af rødderne skal være ulige, og da x x 2 x 3 = 2 n kan vi uden tab af generelitet antage at x = ±. Hvis x =, skal x 2 + x 3 = 0 og x 2 x 3 = 2 n hvilket er umuligt. Altså er x = og x 2 x 3 = 2 n, x 2 + x 3 = 2 og 2 + x 2 x 3 = a. Heraf ses let at x 2 og x 3 er henholdsvis 4 og -2, dvs. a = 0 og n = 3. Opgave 4.2 Oplysningerne giver at a = (x +x 2 ), bc = x x 2, b = (x 2 +x 3 ) og a c = x 2 x 3, og vi skal vise at c = (x + x 3 ) og ab = x x 3. Af ligningerne ses at a b = x 3 x og c(a b) = x 2 (x 3 x ). Da a c bc, får vi at c = x 2, a = x 3 og b = x. Sluttelig fås let at c = (x + x 3 ). Opgave 4.3 At P højst har 2009 reelle rødder (regnet med multiplicitet), svarer til at vise at P ikke har 20 reelle rødder (regnet med multiplicitet), for hvis det har 200 reelle rødder, må det også have 20 reelle rødder (overvej). Antag derfor at P har 20 reelle rødder x,x 2,...,x 20, og bemærk at ingen af disse er nul. Da er a 20 x 20 +a 200 x a 3 x 3 +x 2 +x + = a 20 (x x ) (x x 20 ). Ved at se på henholdsvis koefficienten til nultegradsleddet, førstegradsleddet og andengradsleddet får man 20 = a 20 x x 2 x 20, = a 20 x x 2 x 20 i =, x i Kombination af dette giver Nu er = a 20 x x 2 x i = 20 = i = x i = x i 2 = 20 og x 2 i = i i<j 20 i<j i<j 20. x i x j =. x i x j > 2, x i x j hvilket er en modstrid. Dermed har P højst 2009 reelle rødder (regnet med multiplicitet). Opgave 5. Antag at p q er rod i P, og at p er uforkortelig. Da er q p q n P = a n p n + a n p n q + + a 0 q n = 0, q og derfor må q gå op i a n p n og dermed i a n, og desuden må p gå op i a 0 q n og dermed i a 0. Opgave 5.2 Da a b vil b a P(b) P(a ) = 3 = 2. Antag at P(c) = 2. Da vil c a P(c) P(a ) = og b c P(b) P(c) =. Vi ved altså at c = a ±, c = b ± samt at a = b ± 2 eller a = b ±. Der findes højst et tal c der opfylder dette. Opgave 5.3 Vi ved at 2n = n ( n) P(n) P( n), dvs. at P(n) P( n) 2n. Dermed er P(n) 2n P( n), og vi ved yderligere at P(n) < n. Samlet giver dette P( n) P(n) 2n < n 2n = n. Opgave 5.4 Polynomiet P(x) = x 6 +3x 4 +6x 3 +9x +3 er irreducibelt i [x] ifølge Eisensteins irreducibilitetskriterium, hvor man benytter p = 3. Opgave 5.5 Polynomiet P(x) = x p +p 2 x 2 +px +p er irreducibelt i [x] for alle ulige primtal p, netop hvis p p P(x+) = (x p + x p x+)+p 2 (x 2 +2x+)+(px+p)+p p 9

10 er irreducibelt. Da p i er delelig med p for alle i =, 2,...,p, når p er et primtal, er alle koefficienterne på nær højestegradskoefficienten til P(x + ) delelige med p. Desuden er konstantleddet p 2 + 2p ikke delelig med p 2, når p er et ulige primtal. Dermed er P(x + ), og altså også P(x ), irreducibelt i [x] ifølge Eisensteins irreducibilitetskriterium. Opgave 5.6 Antag at P(x ) =Q(x )R(x ), hvorq og R er polynomier med heltallige koefficienter. Da er Q(x i ) = R(x i ) = ± for alle i =, 2,...,n. Dermed er Q(x )+R(x ) et polynomium med n forskellige rødder x,x 2,...,x n, dvs. enten har Q(x) + R(x) grad mindst n, eller også er det nulpolynomiet. Antag at Q(x ) + R(x) er nulpolynomiet. Da er P(x) = Q(x) 2 i modstrid med at koefficienten til højestegradsleddet i P er. Dermed har Q(x ) + R(x) grad mindst n, dvs. en af dem har grad mindst n. Da P(x) = Q(x )R(x ) er et polynomium af grad n, følger at enten Q eller R har grad n. Dermed er P irreducibelt i [x] og ifølge Gauss lemma også i [x]. Opgave 6. Bemærk at P(x) = x x 3 2 x 5 x + 2x 3x 2 5x 3 har rødderne a, b og c. Opgave 6.2 Da a er rod i P, har vi at 3, dvs. Q(x) = 0 = (a 3 a ) 2 = a 6 + a 2 + 2a 4 2a 3 + 2a og a 3 a =. Her af ses at (a 2 ) 3 2(a 2 ) 2 + a 2 = 0, dvs. at a 2 er rod i Q(x) = x 3 2x 2 + x. Opgave 6.3 Da x = 0 ikke er løsning til ligningen, kan vi dividere begge sider med x 2 og omskrive til en andengradsligning i x + x. x 2 + 5x x + x 2 = 0 x + x x + 6 = 0. x Dermed er x + x = 6 x + x =. Af første ligning fås x = 3±2 2, mens den sidste ikke har nogen løsninger. Opgave 6.4 Polynomiet Q(x ) = P(x) P( x) har grad højst fem samt fem forskellige rødder b, a, 0, a og b. Desuden erq (0) = 0, hvilket viser at 0 er dobbeltrod. Dermed måq(x) være nulpolynomiet, dvs. at P(x ) = P( x) for alle x. Opgave 6.5 For P (x) = 3x 2 + 2ax + b vil diskriminanten være positiv da b < 0, dvs. P (x ) har to forskellige reelle rødder x og x 2. Da P(x) er et tredjegradspolynomium, vil det have tre forskellige reelle rødder netop hvis P(x ) og P(x 2 ) har forskellige fortegn, dvs. netop hvis P(x )P(x 2 ) < 0 (overvej). Ved at udnytte at ab = 9c, får man ved division af P(x) med P (x) at resten er x ( 2 3 b 2 9 a 2 ). Da og x x 2 = b < 0, er 3 P(x) = P (x ) 3 x + x(2 3 b 2 9 a 2 ) P(x )P(x 2 ) = x x 2 ( 2 3 b 2 9 a 2 ) 2 < 0. Opgave 6.6 Lad P(x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + d x + e. Ifølge i) er b = d = 0, og ifølge iii) er e =. Yderligere giver ii) at a > 0, dvs. P(x) = ax 4 + cx 2 +, hvor a > 0. Da P(x ) har to lokale minima, må P (x ) = 4ax 3 + 2cx = 2x(2ax 2 +c) have tre forskellige reelle rødder, og da a > 0 giver dette at c < 0. Rødderne i P (x) er x = 0 og x = ± c/(2a ), dvs. at 2 c/(2a ) = 2 og dermed c = 2a. Endelig giver ii) at P(x ) = ax 4 2ax 2 + = a (x 2 ) 2 + a > 0, dvs. at 0 < a. Det er nemt at tjekke at alle sådanne polynomier opfylder de fire betingelser. Opgave 6.7 Antag at P har n reelle ikke nødvendigvis forskellige rødder x,x 2,...,x n. Da er n x i = 2n i = Vha. QA-uligheden ses at i<j n x i x j = 2 n i = hvilket er en modstrid. x i 2 2 i = og i<j n i = x i x j = 2n 2. n x 2 i n 2 x i 2 2n n 2 x i = 2n 2 2n, i = 0

11 Opgave 6.8 Bemærk først at P(x) 2 = P(x ) P(x)+ = 0. Antag at P(a ) = og P(b) = for to hele tal a og b. Da vil a b P(a ) P(b) = 2, dvs. at b = a ± b = a ± 2. Antag nu at m er den mindste heltallige løsning til P(x) P(x) + = 0, og antag fx at P(m ) = 0. Da findes højst to heltallige løsninger til P(x)+ = 0, nemlig m + og m + 2. Polynomiet P(x) er af n te grad og har derfor højst n rødder. Dermed har P(x ) P(x ) + = 0 højst n + 2 heltallige løsninger. k Opgave 6.9 Da P(k ) = 0 for k = 0,, 2,...,n, vil n + te grads polynomiet Q(x ) = P(x)(x + ) x have rødderne 0,, 2,...,n. Dermed k + er Q(x) = a (x 0)(x )(x 2)...(x n). Da Q( ) =, må a = ( )n+, og dermed (n+)! Q(n + ) + n + P(n + ) = = ( )n+ + n + for ulige n = n + 2 n + 2 for lige n. n n+2 Opgave 6.0 Ifølge Eisensteins udvidede irreducibilitetskriterium med p = 3 og k = n 2 har P en irreducibel faktor i [x ] af grad mindst n. Dvs. hvis P er reducibelt, må det have en rod. En rod i P er et helt tal som går op i 3, og det ses derfor nemt at P ikke har nogen heltallig rod. Dermed er P irreducibelt i [x]. Opgave 6. Lad P(x) = a n x n + + a 0. For hvert x opfylder tripplen (a,b,c) = (6x, 3x, 2x) betingelsen ab + bc + ca = 0. Dermed er P(3x) + P(5x) + P( 8x) = 2P(7x). Hvis a i 0, er 3 i + 5 i + ( 8) i 2 7 i = 0, men hvis i er ulige, er 3 i + 5 i + ( 8) i 2 7 i < 0, dvs. a i = 0. Hvis i er lige og i 6 eller i = 0, er 3 i +5 i +( 8) i 2 7 i > 0, dvs. a i = 0. Dermed er de eneste koefficienter som ikke nødvendigvis er 0, koefficienterne a 4 og a 2. De eneste mulige polynomier der kan opfylde betingelsen, er derfor polynomier på formen P(x) = a 4 x 4 + a 2 x 2. Det er nemt at tjekke at alle sådanne polynomier faktisk opfylder betingelsen.

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal

Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal Hippias Nikomedes Arkimedes Pappus al-khwärizmi al-khayyãmi Cardano Viète Lagrange Descartes Gauss Abel Galois Wantzel... Et bevis for umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal Erik

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere