Matroider Majbritt Felleki

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matroider Majbritt Felleki"

Transkript

1 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte til definitionen af matroider, matematiske objekter som afspejler disse fælles egenskaber. Jeg stødte ind i matroider på Victoria University of Wellington, New Zealand, hvor jeg var takket være Rejselegat for matematikere. Teorien for matroider starter i den lette ende, også hvis man aldrig har studeret grafteori. Sidenhen skal man ikke lade sig narre, der kommer rigeligt at fundere over. Det er min intention at alle som har læst lineær algebra modsvarende Mat1GA skal kunne forstå denne sammenfatning. Der findes en hel del ekvivalente definitioner af matroider. Den som følger her angiver en matroid ud fra de uafhængige mængder. Definition 1 En matroid M er et par (E, I) bestående af en endelig mængde E og en samling I af delmængder af E som opfylder betingelserne (I1) I. (I2) Hvis I I og I I, så er I I. (I3) Hvis I 1 og I 2 er i I, og I 1 < I 2, så findes et element e i I 2 I 1 så I 1 {e} I. Mængderne i I kaldes uafhængige mængder. Her betyder I 2 I 1 mængden af elementer som tilhører I 2 men som ikke tilhører I 1. Dette skrives iblandt I 2 \ I 1, men ikke her. Matroider er som sagt inspirerede af vektorrum. Det er derfor oplagt at se om definitionen stemmer overens med definitionen af lineært uafhængige vektorer. Famøs november 2006

2 Majbritt Felleki 19 Sætning 2 Lad V = (m, F) være det m-dimensionelle vektorrum over legemet F. Lad E være en endelig mængde af vektorer fra V. Lad I bestå af de mængder I af vektorer fra E som er lineært uafhængige. Så er (E, I) en matroid. Inden beviset for sætningen er det tid for et eksempel. Lad vektorrummet bestå af par m = 2 over de reelle tal F = R, altså R 2, og lad E være vektorerne {( ) ( ) ( ) ( )} E =,,, Dette skrives lettere som E = {1, 2, 3, 4} hvor tallene korresponderer til søjlerne i matricen [ ] A = Med disse symboler for elementerne i E er mængderne af lineært uafhængige vektorer I = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}}. Det er hurtigt klaret at tjekke (I1), (I2) og (I3) og overbevise sig om at (E, I) er en matroid. Bevis for sætningen. Det skal tjekkes at I opfylder (I1), (I2) og (I3), hvor (I1) og (I2) følger direkte. Tilbage er at se at I opfylder (I3). Lad I 1 og I 2 være to lineært uafhængige delmængder af E og antag at I 1 < I 2. Lad W være underrummet udspændt af I 1 I 2. Så er dimensionen af W mindst I 2. Hvis I 1 {e} er lineært afhængig for alle e i I 2 I 1, er W indeholdt i underrummet udspændt af I 1, og så er I 2 dim W I 1 < I 2, 20. årgang, nr. 1

3 20 Matroider hvilket er en modstrid. Altså findes et e i I 2 I 1 så I 1 {e} er lineært uafhængig. I grafteori findes ligesom i lineær algebra en form for uafhængighed. Denne uafhængighed beskrives her. Definition 3 En graf G er et par (V, E) bestående af en ikke tom mængde V af knuder og en mængde E af kanter fra { {u, v} u, v V }. Et eksempel på en graf er V = {a, b, c} og E = {{a, b}, {b, c}, {b, c}, {c, c}}. Den er illustreret herunder med elementerne i E nummererede {1, 2, 3, 4}. a 1 b 2 3 c 4 En kreds i en graf er en vej som starter og ender i samme knude og ikke passerer den samme knude to gange. I grafen oven findes altså to kredse. Nu defineres en uafhængig del til at være en del af en graf som ikke indeholder nogen kreds. Termen uafhængig del er det som på engelsk hedder forest. Jeg modtager gerne en mail med den korrekte danske oversættelse. Oversættelsen kan retfærdiggøres med at når der ikke findes nogen kreds, så er der højst en mulighed for at gå fra en knude til en anden. Grafen i eksemplet omfatter de uafhængige dele I = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}}. Det er ikke et tilfælde at denne samling har fået navnet I, der er nemlig tale om en matroid (E, I), og det er præcis den samme som i vektorrumseksemplet. Famøs november 2006

4 Majbritt Felleki 21 Sætning 4 Lad G = (V, E) være en graf. Lad I bestå af de delmængder I af E som er en uafhængig del i G. Så er (E, I) en matroid. Beviset overspringes. Grafer og mængder af vektorer giver ifølge sætningerne altid anledning til en matroid. Dette gælder ikke den anden vej rundt, det er let at finde en matroid som ikke kan illustreres som en graf på den måde det er beskrevet i sætningen. Matroiden M = ({1, 2, 3, 4}, I), hvor I = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} } er et eksempel på en sådan. To kanter skal danne en uafhængig del, men tre kanter skal danne en kreds. Derfor bliver den fjerde kant umulig at placere. Hvis en matroid kan fås ud fra en mængde af vektorer over et givet legeme, siges det at den er repræsenteret over legemet. Det er muligt at finde en matroid som ikke kan fås ud fra en mængde af vektorer over noget som helst legeme, men også matroider som kun kan fås over visse legemer. Oftest ser man dog på det fra den anden side. Man forsøger at vise hvad som kræves for eksistensen af en repræsentation over et legeme. Blandt andet findes en sætning som siger at enhver matroid givet ved en graf kan repræsenteres over samtlige legemer, men den sætning er ikke specielt svær at vise. Derimod er der en del åbne problemer forbundet med netop repræsentationer over legemer, her iblandt Rota s formodning som vil blive beskrevet senere. Først endnu to beskrivelser af matroider hvoraf den ene knytter sig til vektorrum mens den anden hænger stærkest sammen med grafer. 20. årgang, nr. 1

5 22 Matroider Definition 5 En basis for en matroid (E, I) er en maksimal uafhængig delmængde af E. Samlingen af baser betegnes B. Definition 6 En kreds for en matroid (E, I) er en minimal ikkeuafhængig delmængde af E. Samlingen af kredse betegnes C. I matroiden i eksemplerne er baserne B = {{1, 2}, {1, 3}} og kredsene er C = {{2, 3}, {4}}. Det ses at kredsene for matroiden modsvarer kredsene i grafen, og baserne korresponderer til vektorparrene {( ) 1, 0 som er baser for R 2. ( )} 1, 1 {( ) 1, 0 ( )} 1 1 Sætning 7 En samling B er en samling af baser for en matroid hvis og kun hvis B opfylder (B1) B er ikke tom. (B2) Hvis B 1 og B 2 er i B, og x B 1 B 2, så findes et element y B 2 B 1 så (B 1 {x}) {y} B. Hvis B er en samling af baser, er I givet ved at I indeholder alle delmængder af mængder i B. Sætning 8 En samling C er en samling af kredse for en matroid hvis og kun hvis C opfylder (C1) / C. (C2) Hvis C 1 og C 2 er i C, og C 1 C 2, så er C 1 = C 2. (C3) Hvis C 1 og C 2 er to forskellige mængder i C, og e C 1 C 2, så findes C 3 i C så C 3 (C 1 C 2 ) {e}. Hvis C er en samling af kredse, er I givet ved at I indeholder alle delmængder af E som ikke indeholder en mængde fra C. Famøs november 2006

6 Majbritt Felleki 23 Beviserne overspringes. Sætningerne er alternative definitioner af matroider, og der findes endnu flere definitioner. Disse er samlede på internetadressen Det tager lidt tid men det er ikke en uoverskuelig opgave at vise at de alle er ækvivalente. Tre operationer som kan udføres på matroider er dual-dannelse, kontrahering og sletning af et element. Alle tre er inspirerede af de tilsvarende operationer på grafer. En plan graf er en graf som kan tegnes uden at nogle kanter krydser hinanden. Den duale til en plan graf dannes ved at man sætter en knude på samtlige flader samt en udenfor grafen. Derefter tegnes linjer som krydser de oprindelige kanter og forbinder de nye knuder, en linje for hver kant. Dual-dannelse for grafer har nogle brister. En dual eksisterer ikke når grafen ikke kan tegnes plant, og desuden afhænger dualen af den givne tegning af grafen. For matroider eksisterer den duale altid og den er givet som følger Definition 9 Lad B være en samling af baser for en matroid M = (E, I). Den duale matroid M er givet ved samlingen af baser B = { E B B B }. Det er ikke oplagt at B opfylder (B2), men det gør den. Trods bristerne i grafers dual-dannelse gælder sætningen Sætning 10 Hvis G er dualen af en plan graf G er M(G ) = M (G). Her betyder M(G) matroiden genereret af G, og M (G) betyder (M(G)). Lighedstegnet er i virkelighed en isomorfi, men 20. årgang, nr. 1

7 24 Matroider isomorfier i matroide-verdenen betyder blot at bytte symboler på elementer. Når et element e slettes fra en matroid M = (E, I) fås matroiden M\e = (E {e}, I(M\e)), hvor I(M\e) = { I (E {e}) I I }. Operationen kontrahering med hensyn til et element e, som ikke er en kreds, er givet ved matroiden M/e = (E {e}, I(M/e)), hvor I(M/e) = { I (E {e}) I {e} I }. Kontrahering med hensyn til en kreds e er givet ved M/e = M\e. Det er ikke svært at vise at de to operationer at slette et element og kontrahering opfylder at M\x\y = M\y\x, M/x/y = M/y/x og M\x/y = M/y\x, og således giver det mening at tale om M\X/Y når X og Y er to disjunkte delmængder af E. En minor af M er en matroid på denne form, hvor X og Y er to disjunkte og eventuelt tomme delmængder af E. En klasse af matroider kaldes minor-afsluttet hvis alle minor af matroider i klassen også ligger i klassen. Dette gælder for klassen af matroider som kan illustreres som en graf. I en graf er operationen at slette et element givet ved at den korresponderende kant slettes, og kontrahering er givet ved at grafen trækkes sammen som illustreret herunder hvor grafen til venstre bliver til grafen til højre efter kontrahering med hensyn til 3. a 1 b 2 3 c 4 a 2 1 b 4 Der gælder at M(G)\e = M(G\e) og at M(G)/e = M(G/e), og det følger at hvis en matroid kan illustreres som en graf, så Famøs november 2006

8 Majbritt Felleki 25 kan alle dens minor også illustreres som en graf. Matroider som kan illustreres som en graf kaldes grafiske. Klassen af grafiske matroider er altså minor-afsluttet. Matroider som kan fås ud fra en mængde af vektorer over et givet legeme F kaldes F-repræsentable. Sætning 11 Lad F være et legeme. Klassen af F-repræsentable matroider er minor-afsluttet. Del af et bevis. Hvis M = (E, I) er F-repræsentabel findes en matrix A med søjler nummererede ved E, så mængder af lineært uafhængige søjler korresponderer med mængder i I. Hvis x E slettes fra M, er M\x repræsenteret af matricen A hvor søjlen x er slettet. Derfor er M\x F-repræsentabel. At M/x også er F-repræsentabel bygger på to sætninger om dualer. Hvis M er F-repræsentabel er også M F-repræsentabel. M \x = (M/x). Ifølge første sætning og ovenstående er (M \x) F-repræsentabel, og ifølge anden sætning er M/x = M /x = (M \x). Det er nu påstået at hvis en matroid er grafisk, så er alle dens minor også grafiske, og hvis en matroid er F-repræsentabel, så er alle dens minor også F-repræsentable. Det er et stort område indefor matroide-teori at gå den anden vej. Ud fra en matroids minor kan det afgøres om den er grafisk, og i nogle tilfælde om den er repræsentabel over et givet legeme. Rettere kan det vises hvilke minor en matroid ikke kan have hvis den til eksempel er grafisk. Matroiden bliver altså karakteriseret af de minor som den ikke har. Et eksempel på en sådan sætning er følgende med efterfølgende forklaringer. 20. årgang, nr. 1

9 26 Matroider Sætning 12 En matroid er GF (2)-repræsentabel hvis og kun hvis den ikke har U 2,4 som en minor. Her er GF (2) legemet med to elementer. For de som ikke er kommet til endelige legemer endnu og for os som har glemt det, findes et legeme GF (q) med q elementer hvis og kun hvis q er en primtalspotens, q = p n, og dette legeme er entydigt. Matroiden U 2,4 er en matroid som er så populær at den har fået sit eget symbol. Den er givet ved U 2,4 = ({1, 2, 3, 4}, {I {1, 2, 3, 4} I 2}). Generelt er U k,n, 0 k n givet ved U k,n = ({1,..., n}, {I {1,..., n} I k}), og sådanne matroider kaldes uniforme. På side 21 blev U 2,4 brugt som et eksempel på en matroid som ikke er grafisk. Når en minor-afsluttet klasse kan karakteriseres ved at en matroid findes i klassen netop når den ikke har en eller flere bestemte minor, kaldes disse for udelukkede minor for klassen. Matroiden U 2,4 er altså en udelukket minor for klassen af GF (2)- repræsentable matroider. I tabel 1 ses udelukkede minor for forskellige minor-afsluttede klasser. Der er en hel del matroider med eget symbol, og konstruktionen af dem er en anelse omfattende. De symboler som optræder i tabellen er ikke det som er vigtigst, formålet er at se på klasserne og antallet af udelukkede minor. Det ses at for de endelige legemer GF (2), GF (3) og GF (4) findes kun endeligt mange udelukkede minor for repræsentabilitet over disse. I 1970 kom Rota med følgende formodning som er det mest berømte problem indenfor matroide-teori. Rotas formodning Lad GF (q) være et endeligt legeme. Der findes endeligt mange udelukkede minor for GF (q)-repræsentabilitet. Famøs november 2006

10 Majbritt Felleki 27 Klasse af matroider Antal udelukkede minor Hvilke minor er udelukkede Årstal Grafiske 5 U2,4, F7, F 7, M (K3,3), M (K5) 1958 Repræsentable over alle 3 U2,4, F7, F legemer Repræsentable over 1958 uendelige legemer Repræsentable over GF (2) Repræsentable over GF (3) Repræsentable over GF (4) 1 U2, U2,5, U3,5, F7, F U2,6, U4,6, F 7, (F 7 ), P6, P8, P Tabel 1 Udelukkede minor for forskellige minor-afsluttede klasser. 20. årgang, nr. 1

11 28 Matroider Eftersom der findes uendeligt mange udelukkede minor for klassen af matroider som kan repræsenteres over uendelige legemer, kan formodningen ikke udvides til alle legemer. Årstallene i tabellen illustrerer hvor mange år det har taget at vise formodningen for legemerne med 2, 3 og 4 elementer. For endelige legemer med 5 eller flere elementer er problemet uløst. Det her er selvfølgelig kun en kort og meget ufuldstændig introduktion til matroider. For videre læsning kan det anbefales at besøge James Oxleys hjemmeside ~oxley/. Der findes flere artikler at downloade som er overkommelige at forstå, blandt andet [4], [5] og [3]. En kortfattet historisk oversigt over vejen til bevis for Rotas formodning så langt er kapitel 5 i [1]. Famøs november 2006

12 Majbritt Felleki 29 Litteratur [1] Kristensen, Kasper Kabell. Extremal Matroid Theory and the Erdös-Pósa Theorem, 2005, publications/phd/2006/imf-phd-2006-kkk.pdf. [2] Oxley, James. Matroid Theory, Oxford University Press, New York, [3] Oxley, James. On the interplay between graphs and matroids, London Math. Soc. Lecture Notes 288, Cambridge Univ. Press, 2001, p , jobcc.pdf. [4] Oxley, James. What is a matroid?, Cubo 5, 2003, p , [5] Hobbs, Arthur M., Oxley, James. William T. Tutte, , Notices Amer. Math. Soc. 51, 2004, p , http: // [6] Whittle, Geoff. Lecture notes, Victoria University of Wellington. 20. årgang, nr. 1

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 20. årgang, nr. 1, november 2006

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 20. årgang, nr. 1, november 2006 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 20. årgang, nr. 1, november 2006 Grigori Perelman blev tildelt en Fieldsmedalje i år, men han nægtede at modtage den. Læs mere på side 3. 2 Leder

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik. Formidlingsaktivitet af Morten Jacob Nesgaard og Julian

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik. Formidlingsaktivitet af Morten Jacob Nesgaard og Julian Indhold FAMØS Velkommen.......................... 2 Poincarés formodning.................... 3 Formidlingsaktivitet af Morten Jacob Nesgaard og Julian Tosev Rustursdigt.......................... 9 Lyrisk

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske Fag K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph

Grafteori. 1 Terminologi. Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august fra V. (Engelsk: subgraph, spanning subgraph, the subgraph Grafteori, Kirsten Rosenkilde, august 2010 1 Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på den type

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Studerende: Ole Lund Jensen Dato: Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer.

Studerende: Ole Lund Jensen Dato: Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer. Specialekontrakt Studerende: Ole Lund Jensen Dato: 27.06.02 Vejleder: Søren Eilers Censor: Anders Jensen 1. Forventet indhold Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer. Hovedfokus: Kvantitativ analyse

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere