Paradokser og Opgaver. Opgave Den mystiske pyramide. Opgave Eventyret. Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub
|
|
- Trine Kvist
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail eller per almindelig post (se adresse på bagsiden). Første indsendte, korrekte læsning til en af de stillede opgaver bringes i næste nummer af Gamma. Opgave Den mystiske pyramide Ægyptens ældste pyramide, trinpyramiden ved Sakkara, ligner ikke Cheops og de andre. Som navnet antyder, har den snarere form som en kæmpetrappe, mere som Mayaernes pyramider. Hvis vi begynder fra over, er der én sten i det øverste lag, fire i det næste, ni i det tredie, osv. Når vi nu får at vide, at antallet af sten, der ialt er medgået til byggeriet, er et kvadrattal, og at der er medgået mere end én sten, hvor mange trin har så pyramiden? Opgave Eventyret Der var engang en prins, der skulle vælge sig en prinsesse. Han havde valget mellem tre søstre, som alle var unge og smukke. Deres far var en viis gammel konge, og han ville sikre sig, at hans kommende svigersøn havde omløb i hovedet. Så han sagde til prinsen: Før du får min velsignelse til at ægte en af mine døtre, vil jeg sætte dit mod og din intelligens på en prøve. Du får lov til at stille én af prinsesserne ét spørgsmål, som kan besvares med ja eller nej. Den ene vil svare sandfærdigt, den anden vil svare 46
2 Gamma 52 Paradokser og opgaver falsk, og den tredje, som er min yndlingsdatter, kan svare sandfærdigt eller falsk, som hun vil. Hun har alligevel aldrig rettet sig efter mig. Ud fra svaret på dit spørgsmål skal du vælge din brud. Men jeg advarer dig: Hvis du vælger min yndlingsdatter, skal du have dit hoved hugget af! Prinsen havde ingen anelse om, hvem der var kongens yndligsdatter, lige så lidt som han anede, hvem der ville tale sandt, og hvem falsk. Han måtte altså formulere sit spørgsmål sådan, at ligegyldigt hvem han spurgte, og ligegyldigt, hvad hun svarede, skulle han ud fra svaret kunne vælge en af de to andre til sin brud. Naturligvis stillede prinsen et så snedigt spørgsmål, at han med sikkerhed undgik yndlingsprinsessen. Og kongen blev så imponeret, at han alligevel gav prinsen yndlingsdatteren, og de to levede lykkeligt til deres dages ende. Hvordan mon prinsen formulerede sit spørgsmål? Opgave Gitterpunkterne Forleden dag sad jeg og slog krusseduller på et almindeligt ark ternet papir. Så kom jeg for skade at lege med gitterpunkterne. Jeg valgte 5 af dem tilfældigt ud. Så tegnede jeg alle 0 forbindelseslinier mellem dem. Og hver gang var der et af liniestykkerne, der passerede hen over et gitterpunkt. Hvorfor det? Opgave Pythagoras En Pythagoræisk trekant med heltallige sider, x, y og z, der opfylder x 2 + y 2 = z 2 må have mindst én side som et lige tal. Og ingen Pythagoræisk trekant har en side af længde 2. Men man kan tænke sig en Pythagoræisk trekant, hvis sider er to primtal og et tal, der er det dobbelte af et primtal. 47
3 Paradokser og opgaver Gamma 52 Opgaven går ud på at bestemme samtlige Pythagoræiske trekanter af den slags. Opgave De logiske frimærkesamlere Tre personer A, B og C var alle fuldstændig logiske. De kunne alle tre øjeblikkelig drage alle de logiske konsekvenser af alle præmisser. Desuden vidste hver af dem, at de to andre var lige så logiske som han selv. Man viste dem syv frimærker; to røde, to gule og tre grønne. Derpå fik de bind for øjnene, og et frimærke blev klistret i panden af dem hver især, mens de resterende frimærker blev lagt ned i en skuffe. Da øjenbindene var fjernet, spurgte man A: Kan du nævne én farve, som dit frimærke i hvert fald ikke har? Nej, svarede A. Så fik B det samme spørgsmål, og han svarede også nej. Er det muligt ud fra disse oplysninger at regne sig frem til, hvilken farve A s frimærke havde? Eller B s? Eller C s? Opgave Joakim von And i Sahara Joakim von And er som bekendt verdens rigeste og nærigste and. Da han derfor engang skulle køre over Sahara i jeep, måtte han jo spekulere på, hvor billigt det kunne lade sig gøre. Nu var hans jeeps kun i stand til at køre en trediedel af vejen på en fuld tank, men til gengæld kunne alle hans jeeps køre fuldautomatisk uden chauffør, og han havde masser af dem. Og han kunne let tømme og fylde tankene midt i ørkenen uden at spilde. Men med fuld tank menes så meget benzin, som en jeep på nogen måde kan medbringe. Problemet er, hvordan slipper Joakim von And billigst muligt over ørkenen, når hele hans flåde af jeeps står på den ene side. Hvor mange jeeps skal han bruge, og hvordan skal han bære sig ad? 48
4 Gamma 52 Paradokser og opgaver Svar En tryllekunst Tryllekunstneren og hans assistent præsenterer publikum for 8 mønter på en række. Tryllekunstneren instruerer publikum om opgaven og forlader lokalet. Publikum vælger nu for hver mønt, om den skal være krone eller plat. Derefter oplyser publikum assistenten om deres foretrukne mønt, fx. nr. 5 fra venstre. Nu vender assistenten én af mønterne om efter sit valg. Tryllekunstneren kommer ind fra kulissen og udpeger den foretrukne mønt. Vi stiller mønterne på række og giver dem numre fra venstre mod højre, 0,,..., 7. Disse tal organiserer vi som gruppen Z 3 2, fx. ved at skrive numrene binært fra 000 til og definere gruppeoperationen som addition uden mente eller, om man vil, med regnereglen + = 0. Så fx. er 3+6 = 0+0 = 0 = 5. En række af mønter gives nu værdien, der er summen af numrene på de viste kroner. Mønsteret PPKKPKPP får således summen = = 00 = 4. Hvis nu publikum vælger at pege på mønt nr. 3, så skal vi vende en mønt, så summen bliver 3 i stedet for 4. Vi skal altså løse ligningen 4+x = 3. Men da alle elementer i gruppen er deres egen inverse, er x = = = = 7. Vi skal derfor vende den sidste mønt, så vi får PPKKPKPK med summen = =0=3. Dette trick virker for enhver potens af 2, men med andre antal mønter kan kunsten ikke udføres. Prøv selv at lave tryllekunsten med 3 mønter! Svar En sum I Amer. Math. Monthly April 2008 stilles som problem 356 en opgave af Michael Poghosyan, Yerevan State University, Yerevan, Armenien. Vis identiteten ( n k) 2 (2k + ) ( ) 2n = 2k 2 4n (n!) 4 (2n)!(2n + )! 49
5 Paradokser og opgaver Gamma 52 Bevis: Vi definerer den nedstigende faktoriel med angivet skridtlængde således x, d] n := n j=0 n j= (x jd) n N n = 0 x + jd n N, x / {d, 2d,, nd} Vi omskriver de fleste binomialkoefficienter i summen til faktorieller n k n!(2k)!(2n 2k)! k!(n k)!(2n)!(2k + ) Faktoriellerne med et 2 tal deles i faktorieller af hvert andet led og skridtlængde 2 n k n! 2k, 2] k 2k, 2] k 2n 2k, 2] n k 2n 2k, 2] n k k!(n k)! 2n, 2] n 2n, 2] n (2k + ) Nu halveres alle faktorerne, så skridtlængden bliver, med korrektioner af diverse potenser af 2 n n!k!2k k k 2, ] k 2k (n k)!2 n k n k 2, ] n k 2n k k!(n k)!n!2 n n 2, ] n 2n (2k + ) Efter at have forkortet, hvad som kan, fås n k k 2, ] k n k 2, ] n k n 2, ] (2k + ) = n 50 n 2, ] n n k k 2, ] k n k 2, ] n k 2k +
6 Gamma 52 Paradokser og opgaver For at komme nævneren til livs indføres faktoriellen n + 2, ] n hvorved fås 2 = n + 2, ] n+ = n + 2, ] n k (k + 2 ) k 2, ] k Så kan vi skrive n k k 2, ] 2k + = k n + k 2, ] k n + 2, ] n 2, ] n k n 2, ] n n k 2, ] n + 2, ] n n k n + 2, ] n k k 2, ] Nu skifter vi fortegn i alle faktorerne i de faktorieller, der indeholder et k i starten k n 2, ] n n + 2, ] n n k 2, ] k ( ) k 2, ] hvilket skrives pænere som ( ) n n 2, ] n n + 2, ] n n k n k ( ) n k n + 2, ] n k 2, ] k ( ) k ] 2 2, ] n k 2, + ] n k 2, ( ) k n k Dette udtryk genkendes som Pfaff-Saalschütz formel, (9.), i min nylige lærebog, Summa Summarum, A K Peters 2007: 5
7 Paradokser og opgaver Gamma 52 Theorem 9.. If the complex numbers satisfy a + a 2 + b + b 2 = n we have the Pfaff-Saalschütz formula (J. F. Pfaff 797, L. Saalschutz 890) Så vi kan reducere til n a, ] k k a 2, ] k b, ] n k b 2, ] n k ( ) k n 2, ] n = b + a, ] n b + a 2, ] n ( ) n n + 2, ] n 2 2n n! 2 2n, 2] n 2n +, 2] n = =, ] 2 n = n! 2 n 2, ] n 2 4n n! 4 n + 2, ] n = 2n, 2] n 2n, 2] 2 n 2n +, 2] n 2 4n (n!) 4 (2n)!(2n + )! Svar Sokker, der passer til hinanden Når sandsynligheden for at få to røde sokker er 2, når man trækker to tilfældigt ud af en sæk med røde og sorte sokker, hvor mange er der så af hver farve i sækken? Det samlede antal sokker betegnes med m, og antallet af røde sokker med n. Så kan man udtage et par sokker på m(m )/2 måder, og et par røde sokker på n(n )/2 måder. Sandsynligheden for, at et tilfældigt udtaget par sokker er røde, er altså n(n )/m(m ), og denne sandsynlighed er, hvis og kun hvis 2 m(m ) = 2n(n ). () Et talpar (m, n), som er løsning til (), giver en løsning til sokkeproblemet, hvis m og n er hele tal 2. Ligningen () kan omformes til 52 (2m ) 2 = 2(2n ) 2,
8 Gamma 52 Paradokser og opgaver og det ses let, at hvis (x, y) er en heltallig løsning til x 2 2y 2 =, (2) så er x og y begge ulige, således at m = (x + )/2 og n = (y + )/2 er hele. For at finde samtlige løsninger til sokkeproblemet, skal vi altså finde samtlige heltallige løsninger til (2) med x 3 og y 3. For reelle tal z i ringen Z 2 ] af tal af formen z = x+y 2 med x, y Z indfører vi betegnelsen z = x y 2. Vi bemærker, at der for z, w Z 2 ] gælder zw = z w, samt at (x, y) er løsning til (2), hvis og kun hvis z = x + y 2 er løsning til zz =. (3) Idet vi sætter e = + 2, ser vi, at ee =, hvoraf følger, at z er løsning til (3), hvis og kun hvis e 2 z er det. Hermed har vi uendeligt mange løsninger til (3), nemlig z k = e 2k+, k = 0,, 2,.... (4) Her giver z 0 = e = + 2 ikke nogen løsning til sokkeproblemet, men alle z k med k gør, og specielt har vi z = , der giver (m, n ) = (4, 3). Ved brug af binomialformlen i (4), får vi x k = k j=0 2k + 2 k j, 2j + y k = k j=0 2k + 2 k j, 2j der for k giver løsningen m k = k j=0 2k + 2 k j +, 2j + n k = k j=0 2k + 2 k j + k +, 2j til sokkeproblemet. Da z k = e 2 z k = ( )z k, kan følgen {(x k, y k )} k= også bestemmes rekursivt ved x = 7, y = 5, x k = 3x k + 4y k, y k = 2x k + 3y k for k 2. 53
9 Paradokser og opgaver Gamma 52 Ved indsættelse af x k = 2m k, y k = 2n k heri fås rekursionligningerne m = 4, n = 3, m k = 3m k + 4n k 3, n k = 2m k + 3n k 2 for k 2 til bestemmelse af løsninger til sokkeproblemet. Jeg vil slutte med at bevise, at dette er samtlige løsninger. Dertil vil jeg vise, at talsættene {(x k, y k )} er samtlige positive heltalsløsninger til (2). Lad nemlig (x, y) være en vilkårlig positiv heltalsløsning til (2), sæt z = x + y 2, og bemærk, at z e. Lad k 0 være bestemt således, at e ze 2k < e 3, (5) og sæt z = ze 2k. Da z kan skrives z = ze 2k, er z Z 2 ], lad os sige z = x + y 2. Da z z = zz = og z >, er z = x y 2 <, hvilket kun kan være opfyldt, hvis x og y har samme fortegn, dvs hvis x og y begge er positive. Da x 2 = 2y 2, er x = y = en mulighed, medens y = 2, 3 eller 4 ikke kan bruges. y 5 giver x 7, og altså z = x + y 2 e 3 i modstrid med (5). Der må altså gælde z = e, og dermed z = z e 2k = z k. Svar Travle duellanter Duellerne i Travløse er sjældent fatale. Hver kombattant møder op på et tilfældigt tidspunkt mellem 5 og 6 om morgenen på den aftalte dag, venter 5 min på sin modstander, og går igen, hvis denne ikke er mødt op. Ellers slås de to. Hvad er sandsynligheden for, at det kommer til kamp? Lad (x, y) betegne ankomsttidspunkterne for de to duellanter, regnet i timer fra klokken 5. Så er sandsynlighedsfordelingen for (x, y) Lebesguemålet på enhedskvadratet 0, ] 0, ]. 54
10 Gamma 52 Paradokser og opgaver Det kommer til kamp, hvis og kun hvis y x /2, dvs hvis og kun hvis (x, y) ikke ligger i en af trekanterne T : 2 < x og 0 y < x 2, T 2 : 0 x < og x < y. Sandsynligheden for, at de to duellanter mødes, er altså 2 2 ( ) 2 = Svar Eksponentielt Når man får at vide, at tallet 2 29 er 9 cifret, og at de 9 cifre alle er forskellige, kan man så uden at udregne tallet bestemme, hvilket ciffer der mangler? og Vi har 2 29 = 2 2 (2 3 ) 9 4 ( ) 9 = 4 (mod 9) (mod 9), og altså må det manglende ciffer være 4. Svar Trekantet En trekant er tegnet på ternet papir, så alle tre hjørner er i skæringspunkter (punkter med heltallige koordinater). Lad nu r være antallet af skæringspunkter på randen og i antallet af skæringspunkter i det indre af trekanten. Vis, at arealet af trekanten er i + 2 r 55
11 Paradokser og opgaver Gamma 52 Jeg vil bevise, at formlen gælder ikke blot for trekanter, men for vilkårlige gitterpolygoner, dvs polygoner med hjørner i gitterpunkterne. For en vilkårlig gitterpolygon P defineres f(p ) = i + 2r, hvor i er antallet af gitterpunkter i det indre af P, og r antallet af gitterpunkter på randen. Jeg skal bevise, at f(p ) = a(p ) = arealet af P for enhver gitterpolygon P. Lemma. Hvis P er delt i to delpolygoner P og P ved et linjestykke, der forbinder to gitterpunkter A og B på randen af P, så er f(p ) = f(p ) + f(p ). B P P A Bevis: Lad i, i, og i hhv r, r, og r betegne antallet af indre gitterpunkter hhv randgitterpunkter for P, P, og P, og lad i betegne antallet af indre gitterpunkter i P, som tilhører linjestykket AB. Så er i = i + i + i, og da A og B tæller med både i r og r, er og () følger. r = (r i ) + (r i ) 2, 56
12 Gamma 52 Paradokser og opgaver Bevis for, at f(p ) = a(p ): (a) Hvis P er enhedskvadratet, er f(p ) = a(p ). Bevis: i = 0, r = 4 (b) Hvis P er et akseparallelt rektangel med sider m og n, er f(p ) = a(p ). O m = 5, n = m = 5, n = 7 Bevis: Først induktion efter m med n =, derefter induktion efter n med m fast. (c) Hvis T er en trekant med to akseparallelle sider, er f(t ) = a(t ). B T T A Bevis: Lad P være det rektangel, der fremkommer, når man tegner akseparallelle linjer gennem den tredje sides endepunkter A og B. Så deler linjestykket AB rektanglet P i to trekanter T og T. Af symmetrigrunde er f(t ) = f(t ) og a(t ) = a(t ), og af () og (b) følger, at f(t ) = f(t ) + f(t ) 2 = f(p ) 2 = a(p ) 2 = a(t ). 57
13 Paradokser og opgaver Gamma 52 (d) Hvis T er en trekant med én akseparallel side, er f(t ) = a(t ). T T Bevis: T er enten foreningsmængde af eller differens mellem to trekanter, der begge har to akseparallelle sider. (e) Hvis T er en trekant uden en akseparallel side, er f(t ) = a(t ). D B D B T C T C A A Bevis: Lad R være det mindste akseparallelle rektangel, der indeholder T. Da hver af R s sider indeholder præcis én af T s vinkelspidser, er der en af T s vinkelspidser (A), der samtidig er vinkelspids i R, medens der om de to andre vinkelspidser i T gælder enten, at de ligger på hver sin af R s øvrige sider, eller, at en af dem (B) er sammenfaldende med den vinkelspids i R, der er over for A, og den anden i det indre af R. Lad vinkelspidsen D i R være bestemt således, at ADBC er en konveks firkant (se figurerne). Så er 58 f(t ) = f(adc) + f(dbc) f(adb) = a(adc) + a(dbc) a(adb) = a(t ).
14 Gamma 52 Paradokser og opgaver (f) Hvis P er en vilkårlig gitterpolygon, er f(t ) = a(t ). Bevis: P deles i trekanter. Dette er Picks sætning (899), Georg Alexander Pick ( ). 59
Paradokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post
Læs mereAFTERMATH LØSNINGER. En tryllekunst
AFTERMATH LØSNINGER To af opgaverne i sidste nr. er hentet fra Frederic Mosteller, Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions, Dover, New Yor 987. Ebbe Thue Poulsen og problemlubben Con Amore
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereTidsskrift for fysik Vinter 2008 Nr. 152
Afsender: Gamma Niels Bohr Institutet Blegdamsvej 7 200 København Ø Returneres ved varig adresseændring MAGASINPOST B Gamma Γ Tidsskrift for fysik Vinter 2008 Nr. 52 Fortale..................................
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereParadokser og opgaver Gamma 146 Opgave { Kombinatorik Lad p n (k) vre antallet af permutationer af n elementer med netop k xpunkter. Vis formlen Opgav
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse pa
Læs mereAFTERMATH LØSNINGER. Problemklubben Con Amore har løst de fleste af opgaverne. De lystige kroner
1 AFTERMATH LØSNINGER Problemklubben Con Amore har løst de fleste af opgaverne. De lystige kroner Der ligger seks kroner i énkronestykker på et bord. De tre ligger på en ret linie. De ligger ikke helt
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereLille Georgs julekalender december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?
1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 2. december Hvilket ord er et tal? SNE DIS VIN MIX MEL En mystisk kileskrift er tydet! 3. december betyder 243,
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts Kombinatorik
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Kombinatorik Disse noter er en introduktion til kombinatorik og starter helt fra bunden, så en del af det indledende er sikkert kendt for dig allerede
Læs mereLille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?
1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere
Læs mere9 er et positivt tal. Niveau er det. samme som 0,25. Niveau. Vinkelsummen i en trekant er 180. Niveau. Niveau. 7 er et negativt tal.
Udsagn A A 7 er et primtal. 6 er et lige tal. I tallet, er der tiendedel. 0 =.000 er et primtal. er et lige tal. 0 =.000 I tallet, er der tiendedele. 5 00 er det samme som 0,5. 97887090_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereLille Georgs julekalender 08. 1. december
1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereIndhold. Servicesider. Testsider
Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs merei tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale
Læs merefx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2
Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereDen lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3
Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereFacitliste til MAT X Grundbog
Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereStatistik og sandsynlighed
Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat3 Noter: Kompetencemål efter 3. klassetrin Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker og procent Negative
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereIndhold Forklaring til kortene Antal trylletricks Spillets mål Trick nr. 1: BANK PÅ BUNKEN Materiel Hemmelig forberedelse
DK Fra 8 til 99 år 1 tryllekunstner + publikum Indhold: 61 kort (et spil med 48 kort + 6 kort med bagside på begge sider + 1 kort kort + 6 tryllekort med gule pailletter) Forklaring til kortene: 4 familier
Læs mereAllan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg
Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereGeomeTricks Windows version
GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereFormat FACITLISTE I I I I I I I I I. Træningshæfte 1. klasse. Side 3. Facit, side 1-3. Format, Træningshæfte 1.1. Alinea. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx.
Side Format Træningshæfte klasse Tæl ting Side FCITLISTE Side Skriv tallene Talforståelse. Marker med krydser antallet af blomster og deres blade, bier og deres vinger samt biller og deres ben. I I I.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs merePapirfoldning. en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning.
Papirfoldning en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning. Når man folder og klipper figurer kan man blive irriteret over at skulle vende og dreje saksen. Hvor få klip kan man mon nøjes med?
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik
Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereKvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter
Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,
Læs meredynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs mereSpilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier
Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mere