ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011"

Transkript

1 ULULU (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser 20. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Udtryk Taludtryk Regneudtryk Regneoperationernes rækkefølge Bogstavudtryk Andre udtryk Udsagn Relationer Sammensatte udsagn konjunktioner Logik Omskrivning af udsagn Sætning og bevis Ligninger At løse en ligning Simple ligninger Andengradsligninger Numerisk Løsning Uligheder Omskrivning af uligheder Løsning af uligheder

3 Resumé I dette dokument leger vi med tanken om at matematik er et sprog. Vi ser på nogle af byggestenene i det matematiske sprog (udtryk, logik, udsagn, ligninger og uligheder) og sammenligner med de tilsvarende byggesten i andre sprog. 1 Introduktion Matematik er et sprog. Og præcis lige som andre sprog, lærer man det lidt ad gangen ved hele tiden at bruge de ord man har lært og hele tiden udvide sit ordforråd ved at stjæle formuleringer fra de mennesker der mestrer sproget bedre end en selv. Matematik adskiller sig på nogle få punkter fra andre sprog: For det første er det ikke et selvstændigt sprog, men derimod en udvidelse af det sprog man taler i forvejen. Sjovt nok er udvidelsen stort set den samme i hele verden, så derfor vil du sandsynligvis kunne forstå meget mere af hvad der foregår hvis du læser en matematikbog på finsk (eller et andet fremmedsprog), end hvis det havde været et ugeblad eller en børnebog på samme sprog. For det andet er de ting man taler om på matematiksprog ofte lidt anderledes end på andre sprog, fordi de er mere abstrakte. Det betyder at de ikke findes rent fysisk, men derimod er ideer og begreber som kun findes inde i vores hoveder. Det gør det en del sværere at lære det matematiske sprog. For eksempel er det meget nemt at forklare hvad en lygtepæl er. -Man peger simpelt hen på en lygtepæl og siger sådan én. Det er sjældent at man kan fortælle hvad et matematisk objekt er udelukkende ved at pege på det eller vise et billede af det. For det tredie er matematik et meget, meget mere præcist sprog end alle andre. Når man taler, skriver, læser eller hører matematik, skal man hele tiden forholde sig kritisk til hvert eneste tegn, hvert eneste ord og hver eneste sætning. Man kan aldrig regne med at andre ved hvad man mener, og man skal altid være sikker på at man udtrykker præcis det man ønsker at udtrykke. side 1

4 Det sidste skyldes at matematik er det sprog som videnskabsfolk i hele verden bruger til at kommunikere med når de skal bygge broer, sende satellitter til Mars, designe fly, dosere medicin, styre atomreaktorer og tusindvis af andre ting, hvor den mindste fejl kan have forfærdelige konsekvenser. Det kan nogle gange virke hårdt og pedantisk 1 at man hele tiden skal formulere sig præcis lige som ens lærer siger, men det er netop denne ensrettethed (eller hjernevask om man vil) der gør matematik så fantastisk brugbart til at formulere alle de naturvidenskabelige teorier. Og omvendt: Hvis du holder ud og lærer at tale pænt og flydende matematik så vil du opleve at det bliver nemmere at formulere dig også når det handler om problemer som ikke er matematiske. Hvis du stadig mangler lidt motivation for at kaste dig ud i at lære at tale matematik, kommer her lige et citat af den ungarske fysiker, Eugene Wigner: The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. 1 En pedant er en person som går så meget op i småting at det irriterer alle andre. side 2

5 2 Udtryk Udtryk er matematikkens svar på heste, biler, sko og computere. Udtrykkene er de dimser som vi vil tale om, pege på og undersøge på kryds og tværs. Her er et udtryk: (n(n + k) n 1 ) g 1 π (2 sin(λ i i λ j + j) n + k )2 2g λ Γ n,k 1 i<j n Vi kan nok hurtigt enes om at dette udtryk hører hjemme i den komplicerede ende af skalaen 2. Her er et mindre kompliceret udtryk: 127 Selvom dette udtryk gerne skulle være bekendt for de fleste, er det alligevel et godt sted at starte. Når man læser tallet og forstår hvor stort det er, bruger man nemlig mere viden end man lige skulle tro. For det første er man nødt til at vide hvad de enkelte symboler 1, 2 og 7 betyder. (Tænk lige over hvor lang tid det tog at lære.) Derefter er man nødt til at vide at tallet er skrevet i titalssystemet 3, og at 127 derfor skal forstås som , eller sagt i ord: Et hundrede OG to gange ti (altså tyve) OG syv. Hvis man så også forstår hvor meget ti og hundrede er, så har man tilstrækkelig forståelse for at vide præcis hvor stort tallet er. Moralen med hele denne snak er at selv det allersimpleste udtryk kan indeholde meget mere information end man lige er klar over. Nogle gange (som med 127) er det unødvendigt at tænke over al denne information fordi vi har set udtrykket så mange gange at vi har vænnet os til det. Andre gange kan det godt betale sig (og ofte er det fuldkommen nødvendigt) at tage sig tid til at kigge grundigt på et udtryk og blive helt sikker på at man forstår hvad det betyder. 2 For de interesserede kan det oplyses at udtrykket angiver dimensionen af de såkaldte Verlinde vektorrum, som optræder i topologisk kvantefeltteori, ved rang n, grad k og genus g. 3 Læs mere om talsystemer her side 3

6 2.1 Taludtryk De simpleste udtryk vi har i matematikken er tallene. Afhængigt af situationen kan vi vælge at arbejde med tal fra forskellige talmængder. Vi vil støde på tal fra fem forskellige navngivne talmængder, nemlig de naturlige tal (N), de hele tal (Z), de rationelle tal (Q), de reelle tal (R) og de komplekse tal (C). Hver af disse talmængder er en udvidelse af den foregående. Man skal altså tænke på talmængderne som større og større mængder der ligger inde i hinanden: N Z Q R C. Du kan læse om de forskellige talmængder i et andet dokument Regneudtryk Et regneudtryk er et udtryk, hvori der indgår en eller flere af de basale regneoperationer 5. Når man skal læse et regneudtryk som involverer flere forskellige regneoperationer er det meget vigtigt at vide præcist i hvilken rækkefølge de forskellige regneoperationer skal foretages. For eksempel er regneudtrykket: bestemt ikke det samme, om man foretager additionen først, eller om man foretager multiplikationen først. Og her bliver det farligt, fordi: Regneudtryk skal ikke altid læses fra venstre mod højre! Derimod skal man kigge på hvert regneudtryk forlæns og baglæns, og forsigtigt danne sig et overblik over hvad der står. Og undervejs skal man hele tiden huske på regneoperationernes rækkefølge. 4 Læs om talmængder her 5 Læs om regneoperationer her side 4

7 2.3 Regneoperationernes rækkefølge Eftersom de forskellige regneoperationer ikke kan foretages i den rækkefølge man lige har lyst til, har man vedtaget at nogle regneoperationer er hurtigere end andre. Denne regel kaldes regnearternes hierarki eller bare regneoperationernes rækkefølge. Definition 1 (Regneoperationernes rækkefølge) 1. Addition og subtraktion (plus og minus) er de langsommeste regnearter. Det betyder at i et regneudtryk med forskellige regneoperationer, skal additionerne og subtraktionerne udføres til sidst. 2. Multiplikation og division er de næsthurtigste regnearter. I et udtryk med forskellige regnearter udføres multiplikationerne og divisionerne altid inden additionerne og subtraktionerne. 3. Potensopløftning er den hurtigste regneart. I et udtryk med forskellig regnearter udføres potensopløftninger inden addition, subtraktion, multiplikation og division. Betragt for eksempel udtrykket: Dette regneudtryk skal forstås som at man først udregner 4 5 og 8 9. Derefter ganger man 2 med 3, dividerer 4 5 (som man jo udregnede lige før) med 6 og ganger 7 med 8 9. Til sidst lægges 1 sammen med 2 3, derfra trækkes 45 6, og dertil lægges Parenteser Parenteser benyttes i matematik til at udtrykke at indholdet af parentesen udgør en selvstændig enhed, som skal regnes ud for sig selv. side 5

8 Man skal tænke på parenteser som en gennemsigtig indpakning. Udtrykket inde i parentesen kan enten betragtes i alle detaljer hvilket er nødvendigt hvis det skal regnes ud. Men man kan også læse hen over det som noget snik-snak hvilket kan være ekstremt nyttigt hvis man skal danne sig et overblik over det samlede udtryk, hvori parentesen indgår. Parenteser kan derfor bruges til at ændre rækkefølgen af regneoperationerne i forhold til det vi bestemte ovenfor. Det skulle således gerne være fuldkommen klart nu at udtrykket: ikke er det samme som x + y z (x + y) z Find som en øvelse nogle talværdier at indsætte som x, y og z, hvor de to udtryk giver noget forskelligt Usynlige parenteser Der er nogle enkelte situationer, hvor man har vedtaget at notationen fungerer som en usynlig parentes. Det drejer som om følgende situationer: Brøker: En brøkstreg skal læses som om der er en usynlig parentes om tælleren og om nævneren. Derfor giver nedenstående udregning f.eks = (8 2) (1 + 1) = 6 2 = 3. Potenser: En potensopløftning skal læses som om der er en usynlig parentes om hele eksponenten (den som der er opløftet i ). Idet eksponenten altid skrives med hævet og formindsket skrift, kan man sige at skiftet i skrifttype fungerer som en parentes. F.eks. giver nedenstående udregning: side 6

9 = 2 (2 2+1) = 2 5 = 32. Øvelse 1 Når man indtaster et regneudtryk på en lommeregner er det ekstremt vigtig at skrive alle de usynlige parenteser. Ellers opfatter lommeregneren udtrykket forkert. Prøv at udføre følgende udregning på en lommeregner, både med og uden de usynlige parenteser (Jeg kan både få det til at give 9, 17, 64 og 128 hvis jeg laver lidt kreative parentesfejl, men det giver altså 16.) 2.4 Bogstavudtryk Når man skal tale meget om den samme størrelse, er det ofte smart at vælge sig et symbol til at repræsentere den. F.eks. har vi allerede set hvordan man kan skrive N i stedet for De naturlige tal. På samme måde sker det ofte (især i de andre naturvidenskabelige fag) at man har et bestemt tal en såkaldt konstant som optræder mange steder. Dette er for eksempel tilfældet med tallet: 0, Dette tal er den såkaldte finstrukturkonstant som optræder i bl.a. kvantemekanik og elektrodynamik. Man kan spare meget tid, og samtidigt gøre sine tekster mere overskuelige ved at skrive et bogstav i stedet for det lange tal. Således betegnes finstrukturkonstanten traditionelt med det første bogstav i det græske alfabet 6 : 6 Dette bogstav hedder: alfa. Læs mere om det græske alfabet her. α side 7

10 Man skal naturligvis være sikker på at alle forstår hvad man mener hver gang man skriver α. Det betyder at man passende ofte 7 skal minde om hvad ens bogstaver betegner. Nu har vi set et eksempel på anvendelse af bogstavudtryk til at betegne kendte talstørrelser. Den situation hvor bogstavudtryk er allermest nyttige er dog når man skal håndtere ukendte størrelser Ukendte størrelser En finurlighed i matematik er at man ofte har brug for at tale om tal eller andre udtryk uden at kende dem. Hvis man tænker sig om, er der ikke noget underligt i dette. I det daglige sprog omtaler vi ofte ting der enten er ukendte eller ikke fuldstændigt specificerede. F.eks: lufttemperaturen i overmorgen næste uges lottotal eller: en hvilken som helst person fra Sverige. Der kan være flere grunde til at tale om ukendte størrelser. Man kan have lyst til at sige noget om en størrelse uanset hvad den senere måtte vise sig at være. F.eks: 1: Jeg vil gerne købe din computer for halvdelen af nyprisen Det kan også tænkes at man har noget information om en størrelse, og at denne information måske ved nærmere efterforskning kan afsløre hvad størrelsen egentlig er. F.eks: 2: Næste år er Peter dobbelt så gammel som han var for 11 år siden. 7 Betydningen af passende ofte afhænger meget af hvem man skriver til. F.eks. er der ingen grund til at fortælle at c angiver lysets hastighed hvis man skriver en artikel til et tidsskrift for laserfysikere, mens det kunne være en god ide at minde om det et par gange i en bog om fysik for 7. klasse. side 8

11 Ovenstående information, hvor Peters alder ikke angives direkte, men derimod afsløres v.h.a. en slags gåde, forekommer utroligt ofte i matematik og i alle andre naturvidenskaber. Tit er det ganske nemt at løse gåden, lige så snart man har fået skrevet den ordentligt ned. 8 Det kan også ske at man har flere ukendte størrelser, som man kender en sammenhæng imellem, uden egentlig at kende nogen af dem. F.eks: 3: Peter er ældre end Søren. Hvis man i alle sådanne situationer indfører en bogstavbetegnelse for den ukendte størrelse, vil man opleve at det bliver nemmere at overskue hvad informationen faktisk siger. I det første af eksemplerne kunne man lade x betegne nyprisen for den omtalte computer (målt i kroner). Udtalelsen kan da skrives som: Jeg vil give x 2 kroner for din computer. I det andet eksempel kan vi lade x betegne Peters alder. Udtalelsen kan dermed skrives som (Tjek at det passer!): x + 1 = 2 (x 11). I det sidste eksempel er der to ukendte størrelser på spil. Så må de naturligvis ikke hedde det samme! Men hvis vi lader x betegne Peters alder og y betegne Sørens alder, lyder påstanden ganske enkelt: x > y Bemærk at hver gang man indfører en bogstavbetegnelse for en ukendt størrelse, så skal man på en eller anden måde sige det. Man bruger ofte vendingen: Lad x betegne... Bemærk også at man ikke kan bruge det samme bogstav til at betegne to forskellige størrelser samtidigt. Derimod kan det nemt forekomme at bogstav skifter betydning i løbet af en tekst. 8 Vi skal lidt senere se, hvordan denne slags gåder og mange andre løses. side 9

12 Eksempel 1 Nogle gange bruger man også bogstavbetegnelser fordi man vil sige at noget er rigtigt, uanset hvilken værdi bogstavet måtte betegne. Så bruger man ofte vendinger i stil med For ethvert reelt tal x... eller Lad x være et reelt tal. Da gælder.... F.eks. kunne vi påstå at ethvert reelt tal opfører sig sådan at hvis man ganger de to tal som er henholdsvist 1 større og 1 mindre end det givne tal med hinanden, så får man aldrig noget som er mindre end -1. Sagt med bogstavudtryk: Hvis x er et reelt tal, så er (x 1)(x + 1) 1. Vi skal senere se hvordan man argumenterer for en sådan påstand Omskrivning af bogstavudtryk Hvis et regneudtryk indeholder ukendte størrelser er det ofte vigtigt at kunne omskrive udtrykket. Dvs. skrive udtrykket på en anden måde, som betyder præcis det samme. For eksempel er udtrykket: det samme som udtrykket x 2 + 6x + 9 (x + 3) 2 Det kan umiddelbart virke forvirrende, for de to udtryk består jo af helt forskellige regneoperationer. Når man alligevel siger at de er ens, så er det fordi de giver det samme tal uanset hvad x måtte være. Det siger den første af de tre kvadratsætninger 9 nemlig. 9 Læs om kvadratsætningerne her side 10

13 Når man foretager omskrivninger af bogstavudtryk, så bør man foretage en lille ændring af gangen. Når man så skriver det ned, skrives det som en sekvens af lighedstegn. Det kan se sådan her ud: (b + 1) 2 (b 1) 2 4b = (b b 1) (b b 1) 4b = b b b b 4b = b 2 b b + 2b 4b = 0 Læg mærke til at hvert enkelt lighedstegn er en påstand for sig selv, nemlig at det foregående er det samme som det efterfølgende. Når man opskriver en sekvens af lighedstegn, bør man sørge for at hver af disse påstande er meget lette at se er rigtige. Hvert lighedstegn skal altså dække over et lille skridt i omskrivningen. I ovenstående eksempel skyldes det første lighedstegn en anvendelse af de to første kvadratsætninger. Det andet lighedstegn skyldes at man har hævet to parenteser (den ene er en minus-parentes) og desuden har udregnet 1 2 = 1 og 2 b 1 = 2b. Det tredie lighedstegn er en ombytning af leddene, og det sidste lighedstegn er en sammenregning af led med samme koefficient. Når man læser sekvensen af lighedstegn, skal man altså forstå hvert enkelt lighedstegn seperat. Men samtidigt vil hovedbudskabet i sekvensen altid være at det allerførste udtryk, før det første lighedstegn er det samme som det allersidste udtryk. Denne information kan man senere minde om, ved blot at sige at: (b + 1) 2 (b 1) 2 4b = 0 selvom denne lighed ikke er indlysende i sig selv. Det kan godt virke overvældende med de mange regneregler som bruges ved omskrivning af bogstavudtryk. Endnu værre er det at man ofte føler sig fristet til at opfinde sine egne regneregler, som desværre næsten altid er forkerte. Der er ikke så meget andet at sige end: Følg side 11

14 godt med hver gang du ser en omskrivning. Begynd at lægge mærke til at det faktisk er de samme regler der benyttes hele tiden 10, og vær kritisk hver gang du bruger en regneregel som du er usikker på. (Husk altid at kontrollere regnereglen ved at sætte forskellige taleksempler ind på de ukendte størrelsers pladser). 2.5 Andre udtryk Indtil videre har vi mest set på udtryk, der er tal (-enten kendte eller ukendte) af natur. Der findes et hav af andre væsner i matematikkens verden, som også bliver omtalt og undersøgt. Ofte vil disse også være benævnt med et symbol eller et bogstav, og derfor et det vigtigt når man ser et udtryk, at gøre sig klart hvilket slags objekt det drejer sig om. Vi giver her nogle hurtige eksempler på meget forskellige væsner som man kan støde på og hvordan man kan omtale dem. Mængder: F.eks: M = {3, 5, 11}. M har tre elementer. 11 Funktioner: F.eks. f(x) = x + 4, for x R. f er en voksende funktion. 12 Punkter: F.eks. P = (1; 1) og Q = (4; 5). Afstanden mellem P og Q er ( ) 0 Vektorer: F.eks. v =. v er en enhedsvektor Udsagn Udsagn er matematikkens svar på det som i andre sprog kaldes sætninger. Det er simpelt hen de ting vi går og siger til hinanden. Lige- 10 Du kan finde en oversigt over de mest almindelige omskrivningsregler her 11 Læs om mængder her 12 Læs om funktioner her 13 Læs om koordinatsystemet her 14 Læs om vektorer her side 12

15 som sætninger i andre sprog består af grundled og udsagnsled, består et udsagn altid af: Et eller flere udtryk (de ting vi snakker om) Et udsagnsled i form af enten almindelige ord (som ordet er i udsagnet: 127 er et positivt tal ) eller af såkaldte relationer. 3.1 Relationer En relation er et symbol der udtrykker et forhold mellem objekter altså hvad to eller flere objekter har med hinanden at gøre. Der findes et hav af forskellige relationer. Vi vil her se nærmere på nogle få relationer. Andre vil vi definere når vi får brug for dem Lighedstegnet Det vigtigste tegn i matematik er nok relationen: = Det står altid 15 imellem to matematiske objekter, og det læses som: er lig med eller er det samme som. I nogle situationer kan det også læses som: er eller giver. Det bruges naturligvis til at udtrykke at de to objekter på hver side af lighedstegnet er ens. Lighedstegnet er en såkaldt transitiv relation 16. Det betyder at hvis man ser en sekvens af lighedstegn, f.eks. a = b = c så betyder det ikke kun at a = b og b = c, men også at a = c. Det er det man udnytter når man omskriver udtryk, sådan som det er beskrevet i det foregående afsnit. 15 Linjen lige ovenover er den eneste undtagelse. 16 Læs mere om relationer her side 13

16 3.1.2 Ulighedstegnene Der er fire forskellige ulighedstegn i matematik: < Læses som: er (skarpt) mindre end og betyder at tallet til venstre for tegnet er mindre end (og underforstået: ikke lig med) tallet til højre. > Læses som: er (skarpt) større end og betyder at tallet til venstre for tegnet er større end (og underforstået: ikke lig med) tallet til højre. Læses som: er mindre end eller lig med og betyder at tallet til venstre for tegnet er mindre end eller eventuelt lig med tallet til højre. Læses som: er større end eller lig med og betyder at tallet til venstre for tegnet er større end eller eventuelt lig med tallet til højre. Hvert af ulighedstegnene er transitivt. Det betyder at hvis man ser en sekvens af (ens) ulighedstegn: a b c d så kan man ikke blot konkludere at a b, b c og c d, men den samlede konklusion kan læses som at a d Man kan endda blande ulighedstegn og lighedstegn i en sekvens. F.eks. er for alle x R: x 2 + 6x + 10 = x 2 + 6x = (x + 3) = 1 Dette skal læses som at alle udtrykkene til venstre for ulighedstegnet er ens, og alle udtrykkene til højre for ulighedstegnet er ens, og hvert side 14

17 af udtrykkene til venstre er større end eller lig med hver af udtrykkene til højre. Igen er hvert enkelt skridt nemt at indse (tjek det!), mens den samlede konklusion, nemlig at: x 2 + 6x ville være svær at indse uden de mellemliggende forklaringer. De mest almindelige udsagn i matematikken er ligninger og uligheder, hvor udsagnsleddet består af henholdsvis et lighedstegn og et ulighedstegn. Dem skal vi se nærmere på lige om lidt. 3.2 Sammensatte udsagn konjunktioner Hvis man vil lave mere komplicerede udsagn, kan man sætte kortere udsagn sammen ved hjælp af de såkaldte konjunktioner. De svarer til de såkaldte bindeord som vi bruger til at sætte sætninger sammen med i hverdagssprog. Her er nogle eksempler: og Toget var forsinket, og jeg blev irriteret. men Toget var forsinket, men jeg nåede alligevel frem til tiden. fordi Toget var forsinket fordi personalet strejkede. eller Toget var forsinket, eller mit ur var foran. derfor Toget var forsinket, og derfor blev jeg irriteret. hvis/så Hvis toget var forsinket, så ville jeg blive irriteret. Alle disse konjunktioner bliver brugt flittigt i matematiske udsagn. Der er specielt to af dem som bliver brugt så ofte at de har deres egne symboler. Det drejer sig om konjunktionerne og og eller. side 15

18 3.2.1 Og Konjunktionen og skrives i matematik med symbolet:. Når man skriver det imellem to udsagn, f.eks. x R x 2 = 2 så betyder det at begge udsagnene er sande. Bemærk at symbolet kun kan bruges imellem to udsagn, og kun hvis man mener at begge udsagn er sande på samme tid. Der er mange andre betydninger af ordet og hvor symbolet ikke kan benyttes. F.eks. kan ordet og i nedenstående udsagn ikke erstattes med : Eller Løsningerne er 2 og 2. Konjunktionen eller skrives i matematik med symbolet. Når man skriver det imellem to udsagn, f.eks. x 2 = 9 x 1 så betyder det at enten det ene eller det andet, eller eventuelt dem begge er sandt. (Find som en øvelse ud af hvilke reelle tal x der kan være tale om!) Bemærk at symbolet kun kan bruges imellem to udsagn, og kun hvis man mener at mindst et af de to udsagn er sandt. Der er mange andre betydninger af ordet eller hvor symbolet ikke kan benyttes. Hvis man f.eks. vil skrive udsagnet: x er enten lig 5 eller 7 kan man ikke bare erstatte ordet eller med. Man er nødt til at lave to udsagn, f.eks. x = 5 x = 7 side 16

19 4 Logik Logik handler om hvordan man kommer fra nogle forudsætninger til en konklusion på en måde som sikrer at alle der er enige om forudsætningerne også vil være enige i konklusionen. Der er flere situationer i matematik hvor man benytter den logiske fremgangsmåde: Problemløsning: Når man skal løse et problem, består ens forudsætninger af selve problemet (det kunne f.eks. være et tal der skal udregnes, noget måledata der skal forklares eller et spørgsmål der skal besvares), nogle relevante informationer samt alle de redskaber man har i form af matematiske sætninger og tidligere resultater. Konklusionen vil naturligvis bestå af en løsning på problemet. Sætning og bevis: Når man beviser en matematisk sætning, består ens forudsætninger af alle de definitioner man har gjort sig samt alle de sætninger man allerede har bevist tidligere. Konklusionen skulle naturligvis gerne bestå af selve sætningen. Vi skal ikke slet ikke forsøge at give et komplet kursus i logik her. Blot vil vi nævne nogle af de situationer hvor logik anvendes i matematik. 4.1 Omskrivning af udsagn Al viden i alle naturvidenskaber er formuleret som udsagn. Når man vil anvende denne viden til at løse praktiske problemer eller udlede ny viden, benytter man sig af at omformulere og kombinere de udsagn man kender i forvejen til at danne nye udsagn. I hele denne proces er den vigtigste vending man nogensinde kommer til at bruge, følgende: Det vil sige... side 17

20 Når man skriver disse tre små ord, udtrykker man at al den hidtil nævnte viden logisk medfører at det efterfølgende også gør sig gældende. Nogle gange har man ikke brug for at uddybe sin argumentation. F.eks. kan alle se at nedenstående argumentation er korrekt: (... ) vi ved at x 2 = 9 og at x er et positivt reelt tal. Det vil sige at x = 3. Andre gange er det nødvendigt at uddybe sin argumentation. Det kan f.eks. se sådan ud: (... ) Vi ved at x 3 0. Det vil sige at x 0 (fordi negative tal giver negative resultater når de opløftes i tredie potens). 4.2 Sætning og bevis Lad os nu tage fat på noget som et helt grundlæggende for den måde man organiserer viden på i matematik. Vi starter med at se på noget som på en måde er det modsatte: Lidt om jura Lovtekster er skrevet på en helt forfærdelig måde: For eksempel kan man komme ud for at finde en lov som siger at enhver har ret til at udtrykke sin mening i tale og på skrift uden andres godkendelse. Et helt andet sted, tusindvis af bøger senere, kan man så læse at det er forbudt at kalde en person noget nedsættende såkaldte injurier. Et helt tredie sted kan man læse at visse tilsyneladende injurier alligevel kan forsvares hvis man har tilstrækkeligt videnskabeligt belæg for sin påstand. Og i referater fra utallige retssager kan man læse forskellige konklusioner om hvad der er tilstrækkeligt videnskabeligt belæg og hvad der ikke er. Alt i alt noget frygteligt rod! Problemet med jura er at hver enkelt lov intet er værd for sig selv. Hvis man skal følge loven, er man nødt til at kende samtlige love, og det betyder at man ofte skal være ekspert i side 18

21 jura for at kunne anvende det korrekt. Og selv eksperter i en bestemt lovgivning kan tage fejl, fordi de glemmer at tage højde for en eller anden tilføjelse eller undtagelse. Disse svagheder skyldes at jura tager udgangspunkt i en meget vanskelig, udefinerbar og foranderlig størrelse, nemlig samfundet. Selve fundamentet for jura; vores moral, vores konflikter og vores interesser, ændrer sig hele tiden, og derfor må lovgivningen følge med Matematikkens opbygning I modsætning til jura består matematikkens fundament af præcist formulerede definitioner 17. Man kan sige at vi selv bestemmer hvad vores videnskab skal handle om. Hvis nogen ønsker at arbejde med andre definitioner, er de velkomne til det, men de kan ikke forvente at kunne bruge vores resultater til noget som helst. Matematikkens fornemmeste opgave er at opbygge viden om de matematiske objekter som vi definerer og organisere denne viden på en overskuelig måde sådan at man hurtigt kan finde præcis de resultater man har brug for og samtidigt forstå hvorfor de er rigtige, og sådan at man aldrig skal bekymre sig om hvorvidt der findes andre resultater som siger noget helt modsat. Til dette formål bruger man sætninger og beviser Sætninger En sætning er et matematisk resultat som kan anvendes enten i praksis eller til at argumentere for andre resultater. Når man formulerer en sætning er det ekstremt vigtigt at man gør fuldkommen klart 17 Dette er en lidt forsimplet udgave af sandheden. Hvis du tænker grundigt over det, så vil du indse at man aldrig kan lave definitioner hvis man ikke allerede har nogen i forvejen. Så hvordan laver man den første definition? Svaret på dette spørgsmål graver meget dybt i en historie om prædikatlogik og aksiomer. Den historie kan du læse (lidt) mere om her. 18 Vi nøjes med at snuse til disse begreber i dette dokument. Du kan læse meget mere om hvordan man læser og skriver sætninger og beviser her side 19

22 hvad sætningens forudsætninger er. Hvis man f.eks. formulerer Pythagoras læresætning som at a 2 + b 2 = c 2 uden at sige andet, så er den komplet meningsløs og ubrugelig. Man er nødt til at fortælle at denne sætning omhandler retvinklede trekanter, og at bogstaverne a, b og c betegner de to kateter (a og b) og hypotenusen (c) i en sådan trekant. Når man skal oplyse den slags forudsætninger bruger man ofte lidt flot sprog. Det er meget almindeligt at starte med vendinger såsom: "Antag at a og b betegner de to kateder, og c betegner hypotenusen i en retvinklet trekant eller: Lad T være en retvinklet trekant, lad a og b betegne T s kateder og lad c betegne T s hypotenuse. På en måde er navnet sætning lidt fjollet, for en matematisk sætning kan sagtens bestå af flere grammatiske sætninger. Det er med andre ord tilladt at sætte punktummer i formuleringen af en matematisk sætning. Derfor bruger man nogle gange andre ord som f.eks. lemma, proposition eller theorem i stedet for sætning. På den måde antyder man også hvor vigtig sætningen er, idet små sætninger, der kun skal bruges til at bevise andre sætninger kaldes for lemma (hjælpesætning), mens de rigtigt store, vigtige og fantastiske sætninger kaldes for theoremer Beviser Et bevis består i at man logisk argumenterer for at at en sætning er rigtig. Man må benytte alle de sætninger som man tidligere har bevist undervejs i argumentet. Til gengæld skal man altid passe godt på at man ikke kommer til at benytte den sætning man er ved at bevise, som om den allerede var bevist. Derfor er det aldrig klogt at starte et bevis med at opskrive sætningens konklusion. Som et eksempel kan vi bevise påstanden fra afsnit 2.4: side 20

23 Sætning 1 Hvis x er et hvilket som helst reelt tal, så er (x 1)(x + 1) 1 Bevis. Vi omskriver på udtrykket ved hjælp af den tredie kvadratsætning: (x 1)(x + 1) = x 2 1 = ( 1) + x 2. Eftersom x 2 aldrig er negativt, kan vi konkludere at: Dette var netop påstanden. ( 1) + x 2 ( 1) + 0 = 1 Dette er et såkaldt direkte bevis, hvilket nok er den mest almindelige form for argumentation. Man starter ved sine forudsætninger, og konkluderer sig fremad skridt for skridt, indtil man ender ved konklusionen. Der findes dog også andre typer af beviser som vi bare lige nævner navnene på 19 : Direkte beviser Modstridsbeviser (Indirekte beviser) Induktionsbeviser Opdelte beviser 19 Du kan læse mere om hver af disse typer her side 21

24 5 Ligninger En ligning er et udsagn, hvori der indgår et lighedstegn samt en eller flere ukendte størrelser. Man kan tænke på en ligning som en slags gåde. Nogle gange kan regne ud præcis hvad den ukendte størrelse må være, og andre gange er informationen kun tilstrækkelig til at sige noget om hvad den kan og ikke kan være. Hvis der er flere ukendte størrelser, kan informationen som regel bruges til at sige noget om hvad de forskellige størrelser har med hinanden at gøre. En talværdi for hver af de ukendte størrelser, som får udsagnet i en ligning til at passe, kaldes en løsning til ligningen. Bemærk at det altid er meget nemt at kontrollere om et bestemt forslag rent faktisk er en løsning til ligningen. Man indsætter ganske enkelt forslaget på de ukendte størrelsers plads og ser om venstre side af lighedstegnet giver det samme som højre side. Eksempel 2 Her er et eksempel på en ligning som indeholder nok information til at bestemme den ukendte størrelse: x + 3 = 2, (x R). Der skulle ikke være nogen tvivl om at denne ligning har præcis en løsning, nemlig x = 1. Bemærk den lille parentes efter ligningen, hvori man gør opmærksom på at den ukendte størrelse er et reelt tal. Dette er meget vigtigt at gøre opmærksom på, eftersom en ligning kan have helt forskellige løsninger, alt efter hvilken talmængde den ukendte skal komme fra. F.eks. har ovenstående ligning jo ingen løsninger hvis man kræver at x er et naturligt tal. Som regel kon man dog gå ud fra at den ukendte størrelse er et reelt tal, medmindre noget andet er oplyst. side 22

25 Eksempel 3 Her er et eksempel på en ligning som ikke indeholder tilstrækkelig information til at bestemme den ukendte størrelse: x 2 3x + 2 = 0, (x R) Det viser sig nemlig at der faktisk er to forskellige reelle tal som opfylder dette udsagn, nemlig x = 1 og x = 2. (Kontroller selv at disse to værdier er løsninger til ligningen!). 20 Eksempel 4 Til sidst er her et eksempel på en ligning hvor der er mere end en ukendt størrelse: x = y + 1, (x R, y R) Bemærk at en løsning til denne ligning vil bestå af to tal, nemlig en værdi for x og en værdi for y, som tilsammen opfylder udsagnet. Bemærk også at der således er uendeligt mange løsninger til denne ligning. Et eksempel på en løsning kunne være: x = 4 og y = 3. (Find selv nogle flere!) 5.1 At løse en ligning At man løser en ligning betyder at man finder samtlige løsninger til ligningen, inden for de givne rammer. 20 Ligningen er en såkaldt andengradsligning. Læs hvordan man løser den slags ligninger her. side 23

26 Det er bestemt ikke nemt at løse ligninger! Nogle ligninger er så komplicerede at nogle mennesker har brugt flere år af deres liv på at undersøge hvilke løsninger disse ligninger kan have. Der findes dog visse typer af ligninger som er nemme nok at løse. Vi nævner et par eksempler på sådanne typer i de næste afsnit. Fælles for al løsning af ligninger er følgende meget indlysende (men meget, meget vigtige) kendsgerning: Hvis to størrelser er ens, og man gør det samme ved begge størrelserne, så er de stadig ens bagefter! Eksempel 5 Lad os prøve at løse ligningen fra afsnit om Peters alder: x + 1 = 2 (x 11) Dette er vores kendte information om Peters alder, x. I første omgang må vi gerne omskrive udtrykket på højre side af lighedstegnet, idet vi ganger 2 ind i parentesen. Dermed er informationen præcis det samme som: x + 1 = 2x 22 Men når nu disse to ting er ens, så er de også ens hvis man lægger 22 til dem begge. Derfor ved vi nu at: x = 2x Disse to udtryk kan omskrives hver især: x + 23 = 2x side 24

27 Igen: Når disse to størrelser er ens, så er de også ens hvis man trækker x fra dem begge! Bemærk at vi sagtens kan trække x fra et udtryk, selvom vi ikke kender værdien af x. Vi skriver bare: x + 23 x = 2x x Disse to udtryk kan igen omskrives, så der står: 23 = x Og dermed har vi løst vores ligning. Peter er simpelt hen 23 år gammel. Bemærk at hvert enkelt skridt er meget enkelt og logisk, men det kan måske være lidt svært at gennemskue hvorfor vi gør de forskellige ting i præcis den rækkefølge som vi gør. Det må gerne virke lidt magisk eller snedigt i starten. Men når man har løst et par ligninger, begynder det at være helt naturligt hvad man skal gøre og i hvilken rækkefølge. 5.2 Simple ligninger En simpel ligning er en ligning hvor der kun forekommer en ukendt størrelse, og hvor denne ukendte størrelse kun forekommer et sted i ligningen. Ligningen i eksempel 2 er simpel, mens ligningerne i eksempel 3 og 4 ikke er det. Her er et andet eksempel på en simpel ligning: ( x ) = 8. 4 Simple ligninger er meget behagelige at arbejde med, fordi der findes en nem fremgangsmåde til at løse dem 21, også selvom de er lige så indviklede som eksemplet ovenover. 21 Læs om løsning af simple ligninger her side 25

28 5.3 Andengradsligninger En andengradsligning er en ligning hver der forekommer en ukendt størrelse, men hvor denne ukendte størrelse både indgår opløftet i anden potens og eventuelt som sig selv. Derudover må der ikke indgå andre regneoperationer end plus og gange. Enhver andengradsligning kan skrives på formen: a x 2 + b x + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, og a ikke er lig nul. Lige som med de simple ligninger findes der en metode til løsning af andengradsligninger Numerisk Løsning Til alle de ligninger hvor man ikke har nogen løsningsmetoder, findes der heldigvis masser af moderne redskaber som kan hjælpe os med at finde løsninger. Det er dog meget vigtigt at vide at alle disse redskaber (inklusive lommeregnerens berygtede solve -funktion) i bund og grund fungerer ved at gætte sig frem. Selvfølgelig gætter de på meget intelligente måder, og hver gang de gætter forkert, har de en meget intelligent måde at lave et bedre gæt på 23. Men det er uundgåeligt at en sådan gættemetode både har styrker og svagheder. Styrken er selvfølgelig at vi nogle gange kan finde løsninger til ligninger som er alt for svære at løse i hånden. Svaghederne er lidt nemmere at overse, men hvis man ikke er opmærksom på dem risikerer man at lave mange dumme fejl. De primære problemer ved numerisk ligningsløsning er: De fundne løsninger er approksimative. Det betyder at løsningerne giver cirka det rigtige når de indsættes i ligningen. Nogle 22 Læs om andengradsligninger her 23 Dette kaldes for numerisk løsning af ligninger. Det kan du læse mere om her side 26

29 gange kan dette cirka betyde forskellen mellem rigtigt og forkert, så man bør altid være skeptisk over for løsninger der er fundet ved nummeriske metoder. Der er igen garanti for at de omtalte redskaber kan finde alle løsninger. Nogle ligninger har rigtigt mange løsninger, og det kan nemt ske at en nummerisk løsningsmetode overser lige præcis den løsning som man har brug for. Hvis man ved hvordan de nummeriske redskaber fungerer, er det meget nemt at konstruere ligninger som de ikke kan løse Uligheder En ulighed er det samme som en ligning, blot hvor lighedstegnet er erstattet af et ulighedstegn. Her er et eksempel på en ulighed: 3x + 1 > 9 Det er sværere at løse uligheder end at løse ligninger. Grunden til dette er følgende: Hvis to størrelser opfylder en ulighed (f.eks. ved at den ene er større end den anden), og man gør det samme ved begge størrelserne, så kan man ikke være sikker på at de opfylder den samme ulighed bagefter! Det er nemt at finde et eksempel hvor det går galt: Hvis f.eks. x = 3 og y = 1, så er: x < y 24 Du kan finde nogle skræmmeeksempler her side 27

30 Men hvis vi nu beslutter at opløfte begge størrelser i anden potens, så giver: x 2 = ( 3) 2 = 9 mens: y 2 = 1 Den størrelse som før var mindst er nu blevet den største! 6.1 Omskrivning af uligheder Der er kun ganske få regneoperationer som er tilladt at foretage på begge sider af et ulighedstegn. Vi nævner et par eksempler 25 her: Man må lægge et tal til på begge sider af et ulighedstegn. Man må gange med et positivt tal på begge sider af et ulighedstegn. 6.2 Løsning af uligheder Heldigvis er man meget sjældent interesseret i at løse en ulighed ved at omskrive den. I stedet går man frem efter følgende hovedregel: Man løser (næsten altid) en ulighed ved først at løse den tilsvarende ligning! Altså: Man starter med at erstatte ulighedstegnet med et lighedstegn, og derefter løse den ligning som fremkommer. Ideen er nemlig, at dette (som regel 26 ) vil give os alle de steder hvor uligheder skifter fra at gælde den ene vej til at gælde den 25 Den fuldstændige sandhed får du når du når du lærer om monotone funktioner. Det kan du læse om her 26 Sagen er lidt mere kompliceret end dette. Det finder du ud af når du lærer om begrebet kontinuitet. Læs om kontinuerte funktioner her side 28

31 anden vej. Derefter er det bare et spørgsmål om at finde ud af hvilke mellemværdier der opfylder den rigtige ullighed. Vi skal se mere til hvordan man håndterer det sidste punkt i et senere dokument Læs om grafisk løsning af ligninger og uligheder her side 29

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011

Lineær Modellering. Frank Nasser. 20. april 2011 Lineær Modellering Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Sætninger og Beviser

Sætninger og Beviser Sætninger og Beviser Frank Villa 12. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Ny skriftlighed - Matematik

Ny skriftlighed - Matematik Ny skriftlighed - Matematik Indhold Andres tanker og ideer:... 2 Andre nyttige links:... 2 Kompetencer:... 2 Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer... 3 Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere