ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011

Transkript

1 ULULU (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser 20. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Udtryk Taludtryk Regneudtryk Regneoperationernes rækkefølge Bogstavudtryk Andre udtryk Udsagn Relationer Sammensatte udsagn konjunktioner Logik Omskrivning af udsagn Sætning og bevis Ligninger At løse en ligning Simple ligninger Andengradsligninger Numerisk Løsning Uligheder Omskrivning af uligheder Løsning af uligheder

3 Resumé I dette dokument leger vi med tanken om at matematik er et sprog. Vi ser på nogle af byggestenene i det matematiske sprog (udtryk, logik, udsagn, ligninger og uligheder) og sammenligner med de tilsvarende byggesten i andre sprog. 1 Introduktion Matematik er et sprog. Og præcis lige som andre sprog, lærer man det lidt ad gangen ved hele tiden at bruge de ord man har lært og hele tiden udvide sit ordforråd ved at stjæle formuleringer fra de mennesker der mestrer sproget bedre end en selv. Matematik adskiller sig på nogle få punkter fra andre sprog: For det første er det ikke et selvstændigt sprog, men derimod en udvidelse af det sprog man taler i forvejen. Sjovt nok er udvidelsen stort set den samme i hele verden, så derfor vil du sandsynligvis kunne forstå meget mere af hvad der foregår hvis du læser en matematikbog på finsk (eller et andet fremmedsprog), end hvis det havde været et ugeblad eller en børnebog på samme sprog. For det andet er de ting man taler om på matematiksprog ofte lidt anderledes end på andre sprog, fordi de er mere abstrakte. Det betyder at de ikke findes rent fysisk, men derimod er ideer og begreber som kun findes inde i vores hoveder. Det gør det en del sværere at lære det matematiske sprog. For eksempel er det meget nemt at forklare hvad en lygtepæl er. -Man peger simpelt hen på en lygtepæl og siger sådan én. Det er sjældent at man kan fortælle hvad et matematisk objekt er udelukkende ved at pege på det eller vise et billede af det. For det tredie er matematik et meget, meget mere præcist sprog end alle andre. Når man taler, skriver, læser eller hører matematik, skal man hele tiden forholde sig kritisk til hvert eneste tegn, hvert eneste ord og hver eneste sætning. Man kan aldrig regne med at andre ved hvad man mener, og man skal altid være sikker på at man udtrykker præcis det man ønsker at udtrykke. side 1

4 Det sidste skyldes at matematik er det sprog som videnskabsfolk i hele verden bruger til at kommunikere med når de skal bygge broer, sende satellitter til Mars, designe fly, dosere medicin, styre atomreaktorer og tusindvis af andre ting, hvor den mindste fejl kan have forfærdelige konsekvenser. Det kan nogle gange virke hårdt og pedantisk 1 at man hele tiden skal formulere sig præcis lige som ens lærer siger, men det er netop denne ensrettethed (eller hjernevask om man vil) der gør matematik så fantastisk brugbart til at formulere alle de naturvidenskabelige teorier. Og omvendt: Hvis du holder ud og lærer at tale pænt og flydende matematik så vil du opleve at det bliver nemmere at formulere dig også når det handler om problemer som ikke er matematiske. Hvis du stadig mangler lidt motivation for at kaste dig ud i at lære at tale matematik, kommer her lige et citat af den ungarske fysiker, Eugene Wigner: The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. 1 En pedant er en person som går så meget op i småting at det irriterer alle andre. side 2

5 2 Udtryk Udtryk er matematikkens svar på heste, biler, sko og computere. Udtrykkene er de dimser som vi vil tale om, pege på og undersøge på kryds og tværs. Her er et udtryk: (n(n + k) n 1 ) g 1 π (2 sin(λ i i λ j + j) n + k )2 2g λ Γ n,k 1 i<j n Vi kan nok hurtigt enes om at dette udtryk hører hjemme i den komplicerede ende af skalaen 2. Her er et mindre kompliceret udtryk: 127 Selvom dette udtryk gerne skulle være bekendt for de fleste, er det alligevel et godt sted at starte. Når man læser tallet og forstår hvor stort det er, bruger man nemlig mere viden end man lige skulle tro. For det første er man nødt til at vide hvad de enkelte symboler 1, 2 og 7 betyder. (Tænk lige over hvor lang tid det tog at lære.) Derefter er man nødt til at vide at tallet er skrevet i titalssystemet 3, og at 127 derfor skal forstås som , eller sagt i ord: Et hundrede OG to gange ti (altså tyve) OG syv. Hvis man så også forstår hvor meget ti og hundrede er, så har man tilstrækkelig forståelse for at vide præcis hvor stort tallet er. Moralen med hele denne snak er at selv det allersimpleste udtryk kan indeholde meget mere information end man lige er klar over. Nogle gange (som med 127) er det unødvendigt at tænke over al denne information fordi vi har set udtrykket så mange gange at vi har vænnet os til det. Andre gange kan det godt betale sig (og ofte er det fuldkommen nødvendigt) at tage sig tid til at kigge grundigt på et udtryk og blive helt sikker på at man forstår hvad det betyder. 2 For de interesserede kan det oplyses at udtrykket angiver dimensionen af de såkaldte Verlinde vektorrum, som optræder i topologisk kvantefeltteori, ved rang n, grad k og genus g. 3 Læs mere om talsystemer her side 3

6 2.1 Taludtryk De simpleste udtryk vi har i matematikken er tallene. Afhængigt af situationen kan vi vælge at arbejde med tal fra forskellige talmængder. Vi vil støde på tal fra fem forskellige navngivne talmængder, nemlig de naturlige tal (N), de hele tal (Z), de rationelle tal (Q), de reelle tal (R) og de komplekse tal (C). Hver af disse talmængder er en udvidelse af den foregående. Man skal altså tænke på talmængderne som større og større mængder der ligger inde i hinanden: N Z Q R C. Du kan læse om de forskellige talmængder i et andet dokument Regneudtryk Et regneudtryk er et udtryk, hvori der indgår en eller flere af de basale regneoperationer 5. Når man skal læse et regneudtryk som involverer flere forskellige regneoperationer er det meget vigtigt at vide præcist i hvilken rækkefølge de forskellige regneoperationer skal foretages. For eksempel er regneudtrykket: bestemt ikke det samme, om man foretager additionen først, eller om man foretager multiplikationen først. Og her bliver det farligt, fordi: Regneudtryk skal ikke altid læses fra venstre mod højre! Derimod skal man kigge på hvert regneudtryk forlæns og baglæns, og forsigtigt danne sig et overblik over hvad der står. Og undervejs skal man hele tiden huske på regneoperationernes rækkefølge. 4 Læs om talmængder her 5 Læs om regneoperationer her side 4

7 2.3 Regneoperationernes rækkefølge Eftersom de forskellige regneoperationer ikke kan foretages i den rækkefølge man lige har lyst til, har man vedtaget at nogle regneoperationer er hurtigere end andre. Denne regel kaldes regnearternes hierarki eller bare regneoperationernes rækkefølge. Definition 1 (Regneoperationernes rækkefølge) 1. Addition og subtraktion (plus og minus) er de langsommeste regnearter. Det betyder at i et regneudtryk med forskellige regneoperationer, skal additionerne og subtraktionerne udføres til sidst. 2. Multiplikation og division er de næsthurtigste regnearter. I et udtryk med forskellige regnearter udføres multiplikationerne og divisionerne altid inden additionerne og subtraktionerne. 3. Potensopløftning er den hurtigste regneart. I et udtryk med forskellig regnearter udføres potensopløftninger inden addition, subtraktion, multiplikation og division. Betragt for eksempel udtrykket: Dette regneudtryk skal forstås som at man først udregner 4 5 og 8 9. Derefter ganger man 2 med 3, dividerer 4 5 (som man jo udregnede lige før) med 6 og ganger 7 med 8 9. Til sidst lægges 1 sammen med 2 3, derfra trækkes 45 6, og dertil lægges Parenteser Parenteser benyttes i matematik til at udtrykke at indholdet af parentesen udgør en selvstændig enhed, som skal regnes ud for sig selv. side 5

8 Man skal tænke på parenteser som en gennemsigtig indpakning. Udtrykket inde i parentesen kan enten betragtes i alle detaljer hvilket er nødvendigt hvis det skal regnes ud. Men man kan også læse hen over det som noget snik-snak hvilket kan være ekstremt nyttigt hvis man skal danne sig et overblik over det samlede udtryk, hvori parentesen indgår. Parenteser kan derfor bruges til at ændre rækkefølgen af regneoperationerne i forhold til det vi bestemte ovenfor. Det skulle således gerne være fuldkommen klart nu at udtrykket: ikke er det samme som x + y z (x + y) z Find som en øvelse nogle talværdier at indsætte som x, y og z, hvor de to udtryk giver noget forskelligt Usynlige parenteser Der er nogle enkelte situationer, hvor man har vedtaget at notationen fungerer som en usynlig parentes. Det drejer som om følgende situationer: Brøker: En brøkstreg skal læses som om der er en usynlig parentes om tælleren og om nævneren. Derfor giver nedenstående udregning f.eks = (8 2) (1 + 1) = 6 2 = 3. Potenser: En potensopløftning skal læses som om der er en usynlig parentes om hele eksponenten (den som der er opløftet i ). Idet eksponenten altid skrives med hævet og formindsket skrift, kan man sige at skiftet i skrifttype fungerer som en parentes. F.eks. giver nedenstående udregning: side 6

9 = 2 (2 2+1) = 2 5 = 32. Øvelse 1 Når man indtaster et regneudtryk på en lommeregner er det ekstremt vigtig at skrive alle de usynlige parenteser. Ellers opfatter lommeregneren udtrykket forkert. Prøv at udføre følgende udregning på en lommeregner, både med og uden de usynlige parenteser (Jeg kan både få det til at give 9, 17, 64 og 128 hvis jeg laver lidt kreative parentesfejl, men det giver altså 16.) 2.4 Bogstavudtryk Når man skal tale meget om den samme størrelse, er det ofte smart at vælge sig et symbol til at repræsentere den. F.eks. har vi allerede set hvordan man kan skrive N i stedet for De naturlige tal. På samme måde sker det ofte (især i de andre naturvidenskabelige fag) at man har et bestemt tal en såkaldt konstant som optræder mange steder. Dette er for eksempel tilfældet med tallet: 0, Dette tal er den såkaldte finstrukturkonstant som optræder i bl.a. kvantemekanik og elektrodynamik. Man kan spare meget tid, og samtidigt gøre sine tekster mere overskuelige ved at skrive et bogstav i stedet for det lange tal. Således betegnes finstrukturkonstanten traditionelt med det første bogstav i det græske alfabet 6 : 6 Dette bogstav hedder: alfa. Læs mere om det græske alfabet her. α side 7

10 Man skal naturligvis være sikker på at alle forstår hvad man mener hver gang man skriver α. Det betyder at man passende ofte 7 skal minde om hvad ens bogstaver betegner. Nu har vi set et eksempel på anvendelse af bogstavudtryk til at betegne kendte talstørrelser. Den situation hvor bogstavudtryk er allermest nyttige er dog når man skal håndtere ukendte størrelser Ukendte størrelser En finurlighed i matematik er at man ofte har brug for at tale om tal eller andre udtryk uden at kende dem. Hvis man tænker sig om, er der ikke noget underligt i dette. I det daglige sprog omtaler vi ofte ting der enten er ukendte eller ikke fuldstændigt specificerede. F.eks: lufttemperaturen i overmorgen næste uges lottotal eller: en hvilken som helst person fra Sverige. Der kan være flere grunde til at tale om ukendte størrelser. Man kan have lyst til at sige noget om en størrelse uanset hvad den senere måtte vise sig at være. F.eks: 1: Jeg vil gerne købe din computer for halvdelen af nyprisen Det kan også tænkes at man har noget information om en størrelse, og at denne information måske ved nærmere efterforskning kan afsløre hvad størrelsen egentlig er. F.eks: 2: Næste år er Peter dobbelt så gammel som han var for 11 år siden. 7 Betydningen af passende ofte afhænger meget af hvem man skriver til. F.eks. er der ingen grund til at fortælle at c angiver lysets hastighed hvis man skriver en artikel til et tidsskrift for laserfysikere, mens det kunne være en god ide at minde om det et par gange i en bog om fysik for 7. klasse. side 8

11 Ovenstående information, hvor Peters alder ikke angives direkte, men derimod afsløres v.h.a. en slags gåde, forekommer utroligt ofte i matematik og i alle andre naturvidenskaber. Tit er det ganske nemt at løse gåden, lige så snart man har fået skrevet den ordentligt ned. 8 Det kan også ske at man har flere ukendte størrelser, som man kender en sammenhæng imellem, uden egentlig at kende nogen af dem. F.eks: 3: Peter er ældre end Søren. Hvis man i alle sådanne situationer indfører en bogstavbetegnelse for den ukendte størrelse, vil man opleve at det bliver nemmere at overskue hvad informationen faktisk siger. I det første af eksemplerne kunne man lade x betegne nyprisen for den omtalte computer (målt i kroner). Udtalelsen kan da skrives som: Jeg vil give x 2 kroner for din computer. I det andet eksempel kan vi lade x betegne Peters alder. Udtalelsen kan dermed skrives som (Tjek at det passer!): x + 1 = 2 (x 11). I det sidste eksempel er der to ukendte størrelser på spil. Så må de naturligvis ikke hedde det samme! Men hvis vi lader x betegne Peters alder og y betegne Sørens alder, lyder påstanden ganske enkelt: x > y Bemærk at hver gang man indfører en bogstavbetegnelse for en ukendt størrelse, så skal man på en eller anden måde sige det. Man bruger ofte vendingen: Lad x betegne... Bemærk også at man ikke kan bruge det samme bogstav til at betegne to forskellige størrelser samtidigt. Derimod kan det nemt forekomme at bogstav skifter betydning i løbet af en tekst. 8 Vi skal lidt senere se, hvordan denne slags gåder og mange andre løses. side 9

12 Eksempel 1 Nogle gange bruger man også bogstavbetegnelser fordi man vil sige at noget er rigtigt, uanset hvilken værdi bogstavet måtte betegne. Så bruger man ofte vendinger i stil med For ethvert reelt tal x... eller Lad x være et reelt tal. Da gælder.... F.eks. kunne vi påstå at ethvert reelt tal opfører sig sådan at hvis man ganger de to tal som er henholdsvist 1 større og 1 mindre end det givne tal med hinanden, så får man aldrig noget som er mindre end -1. Sagt med bogstavudtryk: Hvis x er et reelt tal, så er (x 1)(x + 1) 1. Vi skal senere se hvordan man argumenterer for en sådan påstand Omskrivning af bogstavudtryk Hvis et regneudtryk indeholder ukendte størrelser er det ofte vigtigt at kunne omskrive udtrykket. Dvs. skrive udtrykket på en anden måde, som betyder præcis det samme. For eksempel er udtrykket: det samme som udtrykket x 2 + 6x + 9 (x + 3) 2 Det kan umiddelbart virke forvirrende, for de to udtryk består jo af helt forskellige regneoperationer. Når man alligevel siger at de er ens, så er det fordi de giver det samme tal uanset hvad x måtte være. Det siger den første af de tre kvadratsætninger 9 nemlig. 9 Læs om kvadratsætningerne her side 10

13 Når man foretager omskrivninger af bogstavudtryk, så bør man foretage en lille ændring af gangen. Når man så skriver det ned, skrives det som en sekvens af lighedstegn. Det kan se sådan her ud: (b + 1) 2 (b 1) 2 4b = (b b 1) (b b 1) 4b = b b b b 4b = b 2 b b + 2b 4b = 0 Læg mærke til at hvert enkelt lighedstegn er en påstand for sig selv, nemlig at det foregående er det samme som det efterfølgende. Når man opskriver en sekvens af lighedstegn, bør man sørge for at hver af disse påstande er meget lette at se er rigtige. Hvert lighedstegn skal altså dække over et lille skridt i omskrivningen. I ovenstående eksempel skyldes det første lighedstegn en anvendelse af de to første kvadratsætninger. Det andet lighedstegn skyldes at man har hævet to parenteser (den ene er en minus-parentes) og desuden har udregnet 1 2 = 1 og 2 b 1 = 2b. Det tredie lighedstegn er en ombytning af leddene, og det sidste lighedstegn er en sammenregning af led med samme koefficient. Når man læser sekvensen af lighedstegn, skal man altså forstå hvert enkelt lighedstegn seperat. Men samtidigt vil hovedbudskabet i sekvensen altid være at det allerførste udtryk, før det første lighedstegn er det samme som det allersidste udtryk. Denne information kan man senere minde om, ved blot at sige at: (b + 1) 2 (b 1) 2 4b = 0 selvom denne lighed ikke er indlysende i sig selv. Det kan godt virke overvældende med de mange regneregler som bruges ved omskrivning af bogstavudtryk. Endnu værre er det at man ofte føler sig fristet til at opfinde sine egne regneregler, som desværre næsten altid er forkerte. Der er ikke så meget andet at sige end: Følg side 11

14 godt med hver gang du ser en omskrivning. Begynd at lægge mærke til at det faktisk er de samme regler der benyttes hele tiden 10, og vær kritisk hver gang du bruger en regneregel som du er usikker på. (Husk altid at kontrollere regnereglen ved at sætte forskellige taleksempler ind på de ukendte størrelsers pladser). 2.5 Andre udtryk Indtil videre har vi mest set på udtryk, der er tal (-enten kendte eller ukendte) af natur. Der findes et hav af andre væsner i matematikkens verden, som også bliver omtalt og undersøgt. Ofte vil disse også være benævnt med et symbol eller et bogstav, og derfor et det vigtigt når man ser et udtryk, at gøre sig klart hvilket slags objekt det drejer sig om. Vi giver her nogle hurtige eksempler på meget forskellige væsner som man kan støde på og hvordan man kan omtale dem. Mængder: F.eks: M = {3, 5, 11}. M har tre elementer. 11 Funktioner: F.eks. f(x) = x + 4, for x R. f er en voksende funktion. 12 Punkter: F.eks. P = (1; 1) og Q = (4; 5). Afstanden mellem P og Q er ( ) 0 Vektorer: F.eks. v =. v er en enhedsvektor Udsagn Udsagn er matematikkens svar på det som i andre sprog kaldes sætninger. Det er simpelt hen de ting vi går og siger til hinanden. Lige- 10 Du kan finde en oversigt over de mest almindelige omskrivningsregler her 11 Læs om mængder her 12 Læs om funktioner her 13 Læs om koordinatsystemet her 14 Læs om vektorer her side 12

15 som sætninger i andre sprog består af grundled og udsagnsled, består et udsagn altid af: Et eller flere udtryk (de ting vi snakker om) Et udsagnsled i form af enten almindelige ord (som ordet er i udsagnet: 127 er et positivt tal ) eller af såkaldte relationer. 3.1 Relationer En relation er et symbol der udtrykker et forhold mellem objekter altså hvad to eller flere objekter har med hinanden at gøre. Der findes et hav af forskellige relationer. Vi vil her se nærmere på nogle få relationer. Andre vil vi definere når vi får brug for dem Lighedstegnet Det vigtigste tegn i matematik er nok relationen: = Det står altid 15 imellem to matematiske objekter, og det læses som: er lig med eller er det samme som. I nogle situationer kan det også læses som: er eller giver. Det bruges naturligvis til at udtrykke at de to objekter på hver side af lighedstegnet er ens. Lighedstegnet er en såkaldt transitiv relation 16. Det betyder at hvis man ser en sekvens af lighedstegn, f.eks. a = b = c så betyder det ikke kun at a = b og b = c, men også at a = c. Det er det man udnytter når man omskriver udtryk, sådan som det er beskrevet i det foregående afsnit. 15 Linjen lige ovenover er den eneste undtagelse. 16 Læs mere om relationer her side 13

16 3.1.2 Ulighedstegnene Der er fire forskellige ulighedstegn i matematik: < Læses som: er (skarpt) mindre end og betyder at tallet til venstre for tegnet er mindre end (og underforstået: ikke lig med) tallet til højre. > Læses som: er (skarpt) større end og betyder at tallet til venstre for tegnet er større end (og underforstået: ikke lig med) tallet til højre. Læses som: er mindre end eller lig med og betyder at tallet til venstre for tegnet er mindre end eller eventuelt lig med tallet til højre. Læses som: er større end eller lig med og betyder at tallet til venstre for tegnet er større end eller eventuelt lig med tallet til højre. Hvert af ulighedstegnene er transitivt. Det betyder at hvis man ser en sekvens af (ens) ulighedstegn: a b c d så kan man ikke blot konkludere at a b, b c og c d, men den samlede konklusion kan læses som at a d Man kan endda blande ulighedstegn og lighedstegn i en sekvens. F.eks. er for alle x R: x 2 + 6x + 10 = x 2 + 6x = (x + 3) = 1 Dette skal læses som at alle udtrykkene til venstre for ulighedstegnet er ens, og alle udtrykkene til højre for ulighedstegnet er ens, og hvert side 14

17 af udtrykkene til venstre er større end eller lig med hver af udtrykkene til højre. Igen er hvert enkelt skridt nemt at indse (tjek det!), mens den samlede konklusion, nemlig at: x 2 + 6x ville være svær at indse uden de mellemliggende forklaringer. De mest almindelige udsagn i matematikken er ligninger og uligheder, hvor udsagnsleddet består af henholdsvis et lighedstegn og et ulighedstegn. Dem skal vi se nærmere på lige om lidt. 3.2 Sammensatte udsagn konjunktioner Hvis man vil lave mere komplicerede udsagn, kan man sætte kortere udsagn sammen ved hjælp af de såkaldte konjunktioner. De svarer til de såkaldte bindeord som vi bruger til at sætte sætninger sammen med i hverdagssprog. Her er nogle eksempler: og Toget var forsinket, og jeg blev irriteret. men Toget var forsinket, men jeg nåede alligevel frem til tiden. fordi Toget var forsinket fordi personalet strejkede. eller Toget var forsinket, eller mit ur var foran. derfor Toget var forsinket, og derfor blev jeg irriteret. hvis/så Hvis toget var forsinket, så ville jeg blive irriteret. Alle disse konjunktioner bliver brugt flittigt i matematiske udsagn. Der er specielt to af dem som bliver brugt så ofte at de har deres egne symboler. Det drejer sig om konjunktionerne og og eller. side 15

18 3.2.1 Og Konjunktionen og skrives i matematik med symbolet:. Når man skriver det imellem to udsagn, f.eks. x R x 2 = 2 så betyder det at begge udsagnene er sande. Bemærk at symbolet kun kan bruges imellem to udsagn, og kun hvis man mener at begge udsagn er sande på samme tid. Der er mange andre betydninger af ordet og hvor symbolet ikke kan benyttes. F.eks. kan ordet og i nedenstående udsagn ikke erstattes med : Eller Løsningerne er 2 og 2. Konjunktionen eller skrives i matematik med symbolet. Når man skriver det imellem to udsagn, f.eks. x 2 = 9 x 1 så betyder det at enten det ene eller det andet, eller eventuelt dem begge er sandt. (Find som en øvelse ud af hvilke reelle tal x der kan være tale om!) Bemærk at symbolet kun kan bruges imellem to udsagn, og kun hvis man mener at mindst et af de to udsagn er sandt. Der er mange andre betydninger af ordet eller hvor symbolet ikke kan benyttes. Hvis man f.eks. vil skrive udsagnet: x er enten lig 5 eller 7 kan man ikke bare erstatte ordet eller med. Man er nødt til at lave to udsagn, f.eks. x = 5 x = 7 side 16

19 4 Logik Logik handler om hvordan man kommer fra nogle forudsætninger til en konklusion på en måde som sikrer at alle der er enige om forudsætningerne også vil være enige i konklusionen. Der er flere situationer i matematik hvor man benytter den logiske fremgangsmåde: Problemløsning: Når man skal løse et problem, består ens forudsætninger af selve problemet (det kunne f.eks. være et tal der skal udregnes, noget måledata der skal forklares eller et spørgsmål der skal besvares), nogle relevante informationer samt alle de redskaber man har i form af matematiske sætninger og tidligere resultater. Konklusionen vil naturligvis bestå af en løsning på problemet. Sætning og bevis: Når man beviser en matematisk sætning, består ens forudsætninger af alle de definitioner man har gjort sig samt alle de sætninger man allerede har bevist tidligere. Konklusionen skulle naturligvis gerne bestå af selve sætningen. Vi skal ikke slet ikke forsøge at give et komplet kursus i logik her. Blot vil vi nævne nogle af de situationer hvor logik anvendes i matematik. 4.1 Omskrivning af udsagn Al viden i alle naturvidenskaber er formuleret som udsagn. Når man vil anvende denne viden til at løse praktiske problemer eller udlede ny viden, benytter man sig af at omformulere og kombinere de udsagn man kender i forvejen til at danne nye udsagn. I hele denne proces er den vigtigste vending man nogensinde kommer til at bruge, følgende: Det vil sige... side 17

20 Når man skriver disse tre små ord, udtrykker man at al den hidtil nævnte viden logisk medfører at det efterfølgende også gør sig gældende. Nogle gange har man ikke brug for at uddybe sin argumentation. F.eks. kan alle se at nedenstående argumentation er korrekt: (... ) vi ved at x 2 = 9 og at x er et positivt reelt tal. Det vil sige at x = 3. Andre gange er det nødvendigt at uddybe sin argumentation. Det kan f.eks. se sådan ud: (... ) Vi ved at x 3 0. Det vil sige at x 0 (fordi negative tal giver negative resultater når de opløftes i tredie potens). 4.2 Sætning og bevis Lad os nu tage fat på noget som et helt grundlæggende for den måde man organiserer viden på i matematik. Vi starter med at se på noget som på en måde er det modsatte: Lidt om jura Lovtekster er skrevet på en helt forfærdelig måde: For eksempel kan man komme ud for at finde en lov som siger at enhver har ret til at udtrykke sin mening i tale og på skrift uden andres godkendelse. Et helt andet sted, tusindvis af bøger senere, kan man så læse at det er forbudt at kalde en person noget nedsættende såkaldte injurier. Et helt tredie sted kan man læse at visse tilsyneladende injurier alligevel kan forsvares hvis man har tilstrækkeligt videnskabeligt belæg for sin påstand. Og i referater fra utallige retssager kan man læse forskellige konklusioner om hvad der er tilstrækkeligt videnskabeligt belæg og hvad der ikke er. Alt i alt noget frygteligt rod! Problemet med jura er at hver enkelt lov intet er værd for sig selv. Hvis man skal følge loven, er man nødt til at kende samtlige love, og det betyder at man ofte skal være ekspert i side 18

21 jura for at kunne anvende det korrekt. Og selv eksperter i en bestemt lovgivning kan tage fejl, fordi de glemmer at tage højde for en eller anden tilføjelse eller undtagelse. Disse svagheder skyldes at jura tager udgangspunkt i en meget vanskelig, udefinerbar og foranderlig størrelse, nemlig samfundet. Selve fundamentet for jura; vores moral, vores konflikter og vores interesser, ændrer sig hele tiden, og derfor må lovgivningen følge med Matematikkens opbygning I modsætning til jura består matematikkens fundament af præcist formulerede definitioner 17. Man kan sige at vi selv bestemmer hvad vores videnskab skal handle om. Hvis nogen ønsker at arbejde med andre definitioner, er de velkomne til det, men de kan ikke forvente at kunne bruge vores resultater til noget som helst. Matematikkens fornemmeste opgave er at opbygge viden om de matematiske objekter som vi definerer og organisere denne viden på en overskuelig måde sådan at man hurtigt kan finde præcis de resultater man har brug for og samtidigt forstå hvorfor de er rigtige, og sådan at man aldrig skal bekymre sig om hvorvidt der findes andre resultater som siger noget helt modsat. Til dette formål bruger man sætninger og beviser Sætninger En sætning er et matematisk resultat som kan anvendes enten i praksis eller til at argumentere for andre resultater. Når man formulerer en sætning er det ekstremt vigtigt at man gør fuldkommen klart 17 Dette er en lidt forsimplet udgave af sandheden. Hvis du tænker grundigt over det, så vil du indse at man aldrig kan lave definitioner hvis man ikke allerede har nogen i forvejen. Så hvordan laver man den første definition? Svaret på dette spørgsmål graver meget dybt i en historie om prædikatlogik og aksiomer. Den historie kan du læse (lidt) mere om her. 18 Vi nøjes med at snuse til disse begreber i dette dokument. Du kan læse meget mere om hvordan man læser og skriver sætninger og beviser her side 19

22 hvad sætningens forudsætninger er. Hvis man f.eks. formulerer Pythagoras læresætning som at a 2 + b 2 = c 2 uden at sige andet, så er den komplet meningsløs og ubrugelig. Man er nødt til at fortælle at denne sætning omhandler retvinklede trekanter, og at bogstaverne a, b og c betegner de to kateter (a og b) og hypotenusen (c) i en sådan trekant. Når man skal oplyse den slags forudsætninger bruger man ofte lidt flot sprog. Det er meget almindeligt at starte med vendinger såsom: "Antag at a og b betegner de to kateder, og c betegner hypotenusen i en retvinklet trekant eller: Lad T være en retvinklet trekant, lad a og b betegne T s kateder og lad c betegne T s hypotenuse. På en måde er navnet sætning lidt fjollet, for en matematisk sætning kan sagtens bestå af flere grammatiske sætninger. Det er med andre ord tilladt at sætte punktummer i formuleringen af en matematisk sætning. Derfor bruger man nogle gange andre ord som f.eks. lemma, proposition eller theorem i stedet for sætning. På den måde antyder man også hvor vigtig sætningen er, idet små sætninger, der kun skal bruges til at bevise andre sætninger kaldes for lemma (hjælpesætning), mens de rigtigt store, vigtige og fantastiske sætninger kaldes for theoremer Beviser Et bevis består i at man logisk argumenterer for at at en sætning er rigtig. Man må benytte alle de sætninger som man tidligere har bevist undervejs i argumentet. Til gengæld skal man altid passe godt på at man ikke kommer til at benytte den sætning man er ved at bevise, som om den allerede var bevist. Derfor er det aldrig klogt at starte et bevis med at opskrive sætningens konklusion. Som et eksempel kan vi bevise påstanden fra afsnit 2.4: side 20

23 Sætning 1 Hvis x er et hvilket som helst reelt tal, så er (x 1)(x + 1) 1 Bevis. Vi omskriver på udtrykket ved hjælp af den tredie kvadratsætning: (x 1)(x + 1) = x 2 1 = ( 1) + x 2. Eftersom x 2 aldrig er negativt, kan vi konkludere at: Dette var netop påstanden. ( 1) + x 2 ( 1) + 0 = 1 Dette er et såkaldt direkte bevis, hvilket nok er den mest almindelige form for argumentation. Man starter ved sine forudsætninger, og konkluderer sig fremad skridt for skridt, indtil man ender ved konklusionen. Der findes dog også andre typer af beviser som vi bare lige nævner navnene på 19 : Direkte beviser Modstridsbeviser (Indirekte beviser) Induktionsbeviser Opdelte beviser 19 Du kan læse mere om hver af disse typer her side 21

24 5 Ligninger En ligning er et udsagn, hvori der indgår et lighedstegn samt en eller flere ukendte størrelser. Man kan tænke på en ligning som en slags gåde. Nogle gange kan regne ud præcis hvad den ukendte størrelse må være, og andre gange er informationen kun tilstrækkelig til at sige noget om hvad den kan og ikke kan være. Hvis der er flere ukendte størrelser, kan informationen som regel bruges til at sige noget om hvad de forskellige størrelser har med hinanden at gøre. En talværdi for hver af de ukendte størrelser, som får udsagnet i en ligning til at passe, kaldes en løsning til ligningen. Bemærk at det altid er meget nemt at kontrollere om et bestemt forslag rent faktisk er en løsning til ligningen. Man indsætter ganske enkelt forslaget på de ukendte størrelsers plads og ser om venstre side af lighedstegnet giver det samme som højre side. Eksempel 2 Her er et eksempel på en ligning som indeholder nok information til at bestemme den ukendte størrelse: x + 3 = 2, (x R). Der skulle ikke være nogen tvivl om at denne ligning har præcis en løsning, nemlig x = 1. Bemærk den lille parentes efter ligningen, hvori man gør opmærksom på at den ukendte størrelse er et reelt tal. Dette er meget vigtigt at gøre opmærksom på, eftersom en ligning kan have helt forskellige løsninger, alt efter hvilken talmængde den ukendte skal komme fra. F.eks. har ovenstående ligning jo ingen løsninger hvis man kræver at x er et naturligt tal. Som regel kon man dog gå ud fra at den ukendte størrelse er et reelt tal, medmindre noget andet er oplyst. side 22

25 Eksempel 3 Her er et eksempel på en ligning som ikke indeholder tilstrækkelig information til at bestemme den ukendte størrelse: x 2 3x + 2 = 0, (x R) Det viser sig nemlig at der faktisk er to forskellige reelle tal som opfylder dette udsagn, nemlig x = 1 og x = 2. (Kontroller selv at disse to værdier er løsninger til ligningen!). 20 Eksempel 4 Til sidst er her et eksempel på en ligning hvor der er mere end en ukendt størrelse: x = y + 1, (x R, y R) Bemærk at en løsning til denne ligning vil bestå af to tal, nemlig en værdi for x og en værdi for y, som tilsammen opfylder udsagnet. Bemærk også at der således er uendeligt mange løsninger til denne ligning. Et eksempel på en løsning kunne være: x = 4 og y = 3. (Find selv nogle flere!) 5.1 At løse en ligning At man løser en ligning betyder at man finder samtlige løsninger til ligningen, inden for de givne rammer. 20 Ligningen er en såkaldt andengradsligning. Læs hvordan man løser den slags ligninger her. side 23

26 Det er bestemt ikke nemt at løse ligninger! Nogle ligninger er så komplicerede at nogle mennesker har brugt flere år af deres liv på at undersøge hvilke løsninger disse ligninger kan have. Der findes dog visse typer af ligninger som er nemme nok at løse. Vi nævner et par eksempler på sådanne typer i de næste afsnit. Fælles for al løsning af ligninger er følgende meget indlysende (men meget, meget vigtige) kendsgerning: Hvis to størrelser er ens, og man gør det samme ved begge størrelserne, så er de stadig ens bagefter! Eksempel 5 Lad os prøve at løse ligningen fra afsnit om Peters alder: x + 1 = 2 (x 11) Dette er vores kendte information om Peters alder, x. I første omgang må vi gerne omskrive udtrykket på højre side af lighedstegnet, idet vi ganger 2 ind i parentesen. Dermed er informationen præcis det samme som: x + 1 = 2x 22 Men når nu disse to ting er ens, så er de også ens hvis man lægger 22 til dem begge. Derfor ved vi nu at: x = 2x Disse to udtryk kan omskrives hver især: x + 23 = 2x side 24

27 Igen: Når disse to størrelser er ens, så er de også ens hvis man trækker x fra dem begge! Bemærk at vi sagtens kan trække x fra et udtryk, selvom vi ikke kender værdien af x. Vi skriver bare: x + 23 x = 2x x Disse to udtryk kan igen omskrives, så der står: 23 = x Og dermed har vi løst vores ligning. Peter er simpelt hen 23 år gammel. Bemærk at hvert enkelt skridt er meget enkelt og logisk, men det kan måske være lidt svært at gennemskue hvorfor vi gør de forskellige ting i præcis den rækkefølge som vi gør. Det må gerne virke lidt magisk eller snedigt i starten. Men når man har løst et par ligninger, begynder det at være helt naturligt hvad man skal gøre og i hvilken rækkefølge. 5.2 Simple ligninger En simpel ligning er en ligning hvor der kun forekommer en ukendt størrelse, og hvor denne ukendte størrelse kun forekommer et sted i ligningen. Ligningen i eksempel 2 er simpel, mens ligningerne i eksempel 3 og 4 ikke er det. Her er et andet eksempel på en simpel ligning: ( x ) = 8. 4 Simple ligninger er meget behagelige at arbejde med, fordi der findes en nem fremgangsmåde til at løse dem 21, også selvom de er lige så indviklede som eksemplet ovenover. 21 Læs om løsning af simple ligninger her side 25

28 5.3 Andengradsligninger En andengradsligning er en ligning hver der forekommer en ukendt størrelse, men hvor denne ukendte størrelse både indgår opløftet i anden potens og eventuelt som sig selv. Derudover må der ikke indgå andre regneoperationer end plus og gange. Enhver andengradsligning kan skrives på formen: a x 2 + b x + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, og a ikke er lig nul. Lige som med de simple ligninger findes der en metode til løsning af andengradsligninger Numerisk Løsning Til alle de ligninger hvor man ikke har nogen løsningsmetoder, findes der heldigvis masser af moderne redskaber som kan hjælpe os med at finde løsninger. Det er dog meget vigtigt at vide at alle disse redskaber (inklusive lommeregnerens berygtede solve -funktion) i bund og grund fungerer ved at gætte sig frem. Selvfølgelig gætter de på meget intelligente måder, og hver gang de gætter forkert, har de en meget intelligent måde at lave et bedre gæt på 23. Men det er uundgåeligt at en sådan gættemetode både har styrker og svagheder. Styrken er selvfølgelig at vi nogle gange kan finde løsninger til ligninger som er alt for svære at løse i hånden. Svaghederne er lidt nemmere at overse, men hvis man ikke er opmærksom på dem risikerer man at lave mange dumme fejl. De primære problemer ved numerisk ligningsløsning er: De fundne løsninger er approksimative. Det betyder at løsningerne giver cirka det rigtige når de indsættes i ligningen. Nogle 22 Læs om andengradsligninger her 23 Dette kaldes for numerisk løsning af ligninger. Det kan du læse mere om her side 26

29 gange kan dette cirka betyde forskellen mellem rigtigt og forkert, så man bør altid være skeptisk over for løsninger der er fundet ved nummeriske metoder. Der er igen garanti for at de omtalte redskaber kan finde alle løsninger. Nogle ligninger har rigtigt mange løsninger, og det kan nemt ske at en nummerisk løsningsmetode overser lige præcis den løsning som man har brug for. Hvis man ved hvordan de nummeriske redskaber fungerer, er det meget nemt at konstruere ligninger som de ikke kan løse Uligheder En ulighed er det samme som en ligning, blot hvor lighedstegnet er erstattet af et ulighedstegn. Her er et eksempel på en ulighed: 3x + 1 > 9 Det er sværere at løse uligheder end at løse ligninger. Grunden til dette er følgende: Hvis to størrelser opfylder en ulighed (f.eks. ved at den ene er større end den anden), og man gør det samme ved begge størrelserne, så kan man ikke være sikker på at de opfylder den samme ulighed bagefter! Det er nemt at finde et eksempel hvor det går galt: Hvis f.eks. x = 3 og y = 1, så er: x < y 24 Du kan finde nogle skræmmeeksempler her side 27

30 Men hvis vi nu beslutter at opløfte begge størrelser i anden potens, så giver: x 2 = ( 3) 2 = 9 mens: y 2 = 1 Den størrelse som før var mindst er nu blevet den største! 6.1 Omskrivning af uligheder Der er kun ganske få regneoperationer som er tilladt at foretage på begge sider af et ulighedstegn. Vi nævner et par eksempler 25 her: Man må lægge et tal til på begge sider af et ulighedstegn. Man må gange med et positivt tal på begge sider af et ulighedstegn. 6.2 Løsning af uligheder Heldigvis er man meget sjældent interesseret i at løse en ulighed ved at omskrive den. I stedet går man frem efter følgende hovedregel: Man løser (næsten altid) en ulighed ved først at løse den tilsvarende ligning! Altså: Man starter med at erstatte ulighedstegnet med et lighedstegn, og derefter løse den ligning som fremkommer. Ideen er nemlig, at dette (som regel 26 ) vil give os alle de steder hvor uligheder skifter fra at gælde den ene vej til at gælde den 25 Den fuldstændige sandhed får du når du når du lærer om monotone funktioner. Det kan du læse om her 26 Sagen er lidt mere kompliceret end dette. Det finder du ud af når du lærer om begrebet kontinuitet. Læs om kontinuerte funktioner her side 28

31 anden vej. Derefter er det bare et spørgsmål om at finde ud af hvilke mellemværdier der opfylder den rigtige ullighed. Vi skal se mere til hvordan man håndterer det sidste punkt i et senere dokument Læs om grafisk løsning af ligninger og uligheder her side 29