Portalkran. Modellering, simulering og kontrol af. med anti-svingningssytem

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Portalkran. Modellering, simulering og kontrol af. med anti-svingningssytem"

Transkript

1 Modellering, simulering og kontrol af Portalkran med anti-svingningssytem Bachelorprojekt - Proceskontrol - 3. maj 211 Chris Bahnsen Martin Sloth Dam Claus Thy Henningsen Jens Isbak Kristensen Casper Pedersen GR63 AALBORG UNIVERSITET

2

3 Titel: Modellering, simulering og kontrol af portalkran med antisvingningssystem Projektperiode: Bachelor, forårssemesteret 211 Projektgruppe: 11gr63 Deltagere: Chris Bahnsen Martin Sloth Dam Claus Thy Henningsen Jens Isbak Kristensen Casper Pedersen Vejleder: Kirsten M. Nielsen Oplagstal: 7 Sidetal: 243 Vedlagt: CD Appendiks: 7 Afsluttet 3/5 211 Synopsis: Det teknisk-naturvidenskabelige fakultet Frederik Bajersvej Aalborg Ø Denne rapport omhandler konstruktion af et hastigheds- og positionsreguleringssystem med et anti-svingningssystem til en small-scale portalkran. Kranen er bygget i størrelsesforholdet 1/25 og er lokaliseret på Aalborg Universitet. Det fysiske system er indledningsvis blevet analyseret, og der er opstillet tre ulineære modeller samt deres lineære approksimation. Via SENSTOOL og en række eksperimenter er disse modeller blevet parameterestimeret og valideret ift. det virkelige system. De endelige modeller for den horisontale bevægelse er af 2. og 3. orden, mens den vertikale bevægelse er beskrevet ved et 1. ordenssystem. Designet af de lineære regulatorer er foretaget efter den klassiske og den tilstandsbeskrevne metode, og afslutningsvis er disse to reguleringstekniker sammenlignet i den endelige accepttest. Til klassisk regulering er der brugt P- og PI-regulatorer, der er designet efter root locus-, bodeplot- og håndtunings-metoden. Til tilstandsbeskrevet regulering er der blevet designet en fuldordens observer og feedback med integralvirkning. Til hastighedsregulatoren er der desuden blevet designet feedforward, og for at eliminere svingninger i lasten er en Zero Vibration inputshaper blevet benyttet. Den endelige accepttest viser, at de klassiske regulatorer leverer de mest ønskelige karakteristikker, mens den tilstandsbeskrevne regulator performer bedre i de funktionelle tests. The content of this report is public but may only be used with citation.

4

5 Title: Modeling, simulation, and control of a gantry crane with anti-sway system Project period: Bachelor, spring 211 Group: 11gr63 Group members: Chris Bahnsen Martin Sloth Dam Claus Thy Henningsen Jens Isbak Kristensen Casper Pedersen Supervisor: Kirsten M. Nielsen Number of copies: 7 Pages: 243 Attachments: CD Appendices: 7 Ended 3/5 211 Abstract: Department of Electronic systems Electrical engineering Frederik Bajersvej Aalborg Ø This report deals with the construction of a velocity and position anti-sway control system on a smallscale gantry crane. The crane is in scale 1/25 and located at Aalborg University. The physical system has initially been analyzed and three nonlinear models have been constructed alongside with their linear approximations. Through SENSTOOL and a series of experiments, the model parameters have been estimated and validated against the real system. The models describing the horizontal movement are found to be of 2rd and 3th order, and a model of 1st order is describing the vertical movement. The design of the linear controllers is performed using the classical and state space method, which are compared in the nal acceptance test. In classical control theory, the load is controlled by P- and PI-controllers designed with the root locus, Bode plot, and manual tuning method. For the state space control theory, a full-order observer has been designed alongside a feedback with integral. A feedforward system has been designed to achieve faster dynamics in velocity controller, and to counteract sway in the load, a Zero Vibration input shaper has been designed. The nal acceptance test shows that the classic controller delivers the most desirable characteristics of the two. The state space controller does, however, perform better in the functional tests. The content of this report is public but may only be used with citation.

6

7 Forord Denne rapport er udarbejdet af fem studerende ved Aalborg Universitet fra EIT- og ITCretningen, ifm. bachelorprojekt Modellering, simulering og kontrol af portalkran med antisvingningssystem på 6. semester i foråret 211. Projektet er udarbejdet som en del af proceskontrolretningen, som efter studieordningen har følgende mål [AAU, 29, side 23]: At gøre den studerende i stand til at analysere fysiske systemer af mekanisk, termisk, elektrisk, biologisk eller kemisk natur i tids og frekvensdomænet for på den baggrund at kunne opstille dynamiske modeller og simulere disse, samt at designe, implementere og teste såvel klassiske som modelbaserede regulatorer Rapporten fungerer som dokumentation og eksamensgrundlag for mundtlig eksamen i projektet. Projektet er støttet af en række kurser som omfatter [AAU, 29,side 25]: ˆ Moderne reguleringsteori (PE-kursus) ˆ Modeldannelse og simulering (PE-kursus) ˆ Frekvensdomæne-regulering På baggrund af ovenstående studiemål og kurser vil der i rapporten blive lagt vægt på de elementer, som dækker disse områder bedst muligt. Metoder og teorier fra tidligere semestre vil kun kort blive beskrevet eller helt undladt, da det antages, at dette er kendt materiale for undertegnende og læser. Projektet er udarbejdet af: Chris Bahnsen Martin Sloth Dam Claus Thy Henningsen Jens Isbak Kristensen Casper Pedersen vii

8

9 Læsevejledning Rapporten er inddelt i re hovedafsnit: indledning, problemanalyse, problemløsning og afslutning. Indledningen præsenterer kort problemstillingen og det overordnede mål for projektet. Problemanalysen foretager en analyse af det mekaniske system og dennes sensorer, og der opstilles tre matematiske modeller, der beskriver fysikken ift. forsøgsopstillingen, hvorpå der efterfølgende parameterestimeres. Denne problemanalyse er et væsentligt delmål for projektet, og kan derfor læses separat. Problemløsningen omhandler design af regulatorer baseret på de fundne modeller men forudsætter ikke, at hele modelleringen er kendt. Der benyttes udelukkende resultatet fra problemanalysedelen, som er opsummeret sidst i kapitlet. Afslutningen beskriver testen af de designede regulatorer samt en endelig konklusion for hele projektet. Til denne rapport er der gjort nogle valg for notation, for såvel rapporttekniske som fysiske størrelser. Forsøg identiceres med XY, hvor X angiver forsøg gruppe og Y det specikke forsøg i denne gruppe. Forsøgsgrupper nummereres fortløbende, og det specikke forsøg navngives efter det latinske alfabet. Ved angivelse af position på kranen benyttes syntaksen (X;Y), hvor X angiver slædens afstand i meter fra yderpositionen til venstre på kranen, og Y angiver højden på lasten i meter fra målepunkt på slæden til lastens overside. Ved angivelse af et interval i koordinatsystemtet, benyttes standardnotation for interval, f.eks. [x 1 x 2 ], mens * benyttes for hele intervallet. For mere information om kranens koordinatsystem, se appendiks A på side 176. De grafer, der er genereret i MATLAB, indeholder i gurteksten en reference til den specikke script-l, som generer grafen. Hvis der benyttes målinger fra small-scale kranen, er dette ligeledes angivet i gurteksten. Hvis der ikke er angivet en datal, indeholder grafen udelukkende simulerede data. Materiale vedlagt på CD markeres med rapport.pdf eller [CD rapport.pdf], og henviser til roden af CD'en. Bemærk, at alle MATLAB-scripts på CD'en kan afvikles enkeltvis, men forudsætter at scriptet include/initsystem.m er kørt forud. Dette script skal kun afvikles én gang per session i MATLAB. CD og appendiks er ment som supplerende materiale, og rapporten kan læses uden at gennemgå dette ekstramateriale. I rapporten er der inkluderet et udvalg af data, hvor resten er dokumenteret på CD'en. CD'en indeholder et indholdsfortegnelsessystem, som gør gennemgang af materialet enkelt, og kan afvikles i en browser, hovedsagelig uden brug af MATLAB. ix

10 Indholdsfortegnelse 1 Indledning Portalkran-problemstilling og -optimering Portalkran Small-scale kranopstilling Semestermål I Problemanalyse og kravspecikation 4 2 Foranalyse Small-scale kran Sensorer, input og output Systemspecikationer Afviklingsmiljø Funktionalitet Projektbegrænsninger Problemformulering 15 4 Modellering Indledning til modellering Modelnotation Modellering af motor Modellering af gear Horisontal bevægelse Vertikal bevægelse Parameterestimering Parameterestimeringsmetode Horisontal bevægelse Vertikal bevægelse Kravspecikation Funktionelle krav Reguleringskrav Studieordningskrav Operationsområde x

11 7 Accepttestspecikation Test af regulatorer Funktionelle test Opsummering på problemanalysen 68 II Problemløsning 71 9 Klassisk regulering Indledning Horisontal hastighed Horisontal position Vertikal hastighed Vertikal position Tilstandsbeskrevet regulering Indledning Tilstandsmodel Positionsregulering Hastighedsregulering IIIAfslutning Accepttest Regulatortest Funktionelle test Accepttestkonklusion Konklusion Perspektivering 173 Litteratur 174 Appendiks A Small-scale kranopstilling 176 Appendiks B Software troubleshouting 181 Appendiks C Linearisering af modeller 183 Appendiks D SENSTOOLS 188 Appendiks E Maksimal lastudsving ift. acceleration 19 Appendiks F Test af sensorer, I/O-kort og motorer 192 Appendiks G Målejournaler 21 xi

12

13 Indledning 1 I en moderne handelsverden, hvor handelsvarer produceres over hele jordkloden, er der et stort behov for at ytte disse imellem de forskellige lande og kontinenter. En stor del af disse varer yttes ved hjælp af skibstrak, hvor store containerskibe lastes med containere. Et containerskib kan lastes med utallige containere, og danske Emma Mærsk, som er verdens største containerskib, kan lastes med over containere [Maersk, 21]. De generelle omkostninger for et skib i denne størrelse er enorme, og der skal hele tiden optimeres for at holde omkostningerne nede, og derved holde fødevarer og andre produkter i lav pris. Dette gør sig gældende ved design af skibene og deres motorer, hvor der forskes i nye skrogtyper, nye og mere eektive motorer, typer af brændsel, osv. Disse forbedringer vedrører alle designet af skibet. En anden og eektiv metode for at holde omkostningerne nede er at optimere tidsaspekter omkring skibet, heriblandt lastning og losning. Når et skib ankommer til en havn, anløber den en terminal, hvor containerne skal losses. Alt efter skibets størrelse kan der være ere kraner placeret langs kajen. Containerne losses én efter én af en kranfører, der laster dem på lastbiler, hvorefter containerne køres væk. Kranføreren opererer kranen ved hjælp af et interface eller joystick, hvor vedkommende har mulighed for at manøvrere containerne over på lastbilerne. Det er disse kraner, som dette projekt tager udgangspunkt i. 1.1 Portalkran-problemstilling og -optimering For containerskibe som Emma Mærsk, er hastighed og eektivitet vigtige konkurrenceparametre, og tiden ved kaj er proportional med tabt fortjeneste. Med 11. containere vil losningstiden blive forøget med over 3 timer, hvis der påregnes en forsinkelse på 1 sekunder for hver container. En forsinkelse kan påregnes mange forskellige årsager fra mangelfuld timing og logistik til en uerfaren kranfører. En anden væsentlig grund til en eventuel forsinkelse, kan skyldes containerens bevægelse, mens den føres fra skibet og over på lastbilen. En container hængende i en wire kan ses som et pendul, hvor containeren kan svinge omkring slæden, hvis containeren ikke holdes stabil. Begynder containeren at svinge frem og tilbage i luften, kan disse bevægelser forsinke losningen og i yderste konsekvens have katastrofale følger for mandskab og materiel. Dette er hovedproblemstillingen i dette projekt, hvorledes disse svingninger minimeres samtidig med der opnås mulighed for hurtig ytning fra skib til kaj. 1

14 En kranfører, der styrer lasten uden automatisk styring, kan ikke styre containerens position direkte, men udelukkende slædens position. Undersøgelser viser, at en automatisk styring af containeren og dens position kan forbedre hastigheden med op til 62 % sammenlignet med en operatør, der manuelt styrer containeren [Khalid et al., 24]. Analysen, der refereres til, er gjort under kontrollerede forhold, hvor påvirkninger som vind og vejr ikke spiller ind. Under vindforhold hvor containeren oscillerer, kan det formentlig blive umuligt at losse skibet. 1.2 Portalkran En portalkran fungerer ved at en slæde kører langs en drager, der er spændt udover eller henover skibet, der skal losses. Slæden har en lastwire, der via et spil kan løfte eller sænke containeren. Ønskes containeren yttet fra skibet og over på lastbilen, kan en slædewire trække i slæden, som kører langs drageren. Figur 1.1 viser nogle portalkraner, der er ved at losse containere. Under kranerne ses endnu et sæt skinner. Disse skinner gør det muligt for kranføreren at ytte kranen sidevejs og dermed opnå bevægelighed i alle retninger i rummet, akkurat som den traditionelle kran. Figur 1.1. Billede af portalkraner der laster og losser et containerskib [http://huadongzj.com, 21] 1.3 Small-scale kranopstilling I dette projekt er der af praktiske og økonomiske årsager ikke mulighed for at foretage test på en full-scale kran. I stedet tager projektet og rapporten udgangspunkt i en small-scale 2

15 kran, skala 1/25, som er tilgængelig på Aalborg Universitet. På gur 1.2 ses en skitse af kranmodellen. Kranmodellen vil ligeledes blive refereret til som forsøgsopstillingen. Figur 1.2. Skitse af small-scale kran lokaliseret på Aalborg Universitet Denne kran er operationelt identisk med en full-scale kran. Slæden kører langs drageren ved hjælp af slædewiren, og lasten kan løftes med lastwiren og dens spil. Modellen kan ikke ytte sig langs skinner monteret i gulvet, i modsætning til den oprindelige portalkran som gurerer på gur 1.1 på forrige side. Senere afsnit vil give en dybere forklaring af de forskellige komponenter på kranen samt deres virkemåde. Small-scale modellen kan derfor bruges til at undersøge, om hastigheden og sikkerheden kan optimeres ved hjælp af en automatisk styring, hvor kranførerens manøvreringer sammen med input fra forskellige sensorer, monteret på kranen, kan optimere hastigheden og sikkerheden. Der vil ikke blive undersøgt for hastighed og sikkerhed med påvirkninger fra vind og lignende, da der ikke ndes sensorer på kranen, der kan give input vedr. disse. 1.4 Semestermål På baggrund af semesterformålet for proceskontrol, som beskrevet i forord, side vii, omhandler dette projekt en modellering af small-scale kranen samt design af et styringssystem, der minimerer svingninger men optimerer bevægelseshastigheden på lasten. Denne styring skal udvikles efter både den klassiske og den modelbaserede metode for at kunne vurdere og sammenligne disse to metoder. Disse to metoder vil derfor i dette projekt blive designet, implementeret og testet uafhængig af hinanden. I dette kapitel er der blevet introduceret en problemstilling vedr. optimering af portalkraner ved losning af containerskibe. Der er desuden blevet introduceret en smallscale kranopstilling, som projektet tager udgangspunkt i, og som al efterfølgende analyse vil blive udført på. I de kommende kapitler vil denne kran blive undersøgt yderligere med fokus på aktuatorer, sensorer, styring og referencepunkter. Dertil vil der blive analyseret på de nødvendige funktioner af kranen for at kunne løse de problemstillinger, der er beskrevet tidligere i dette kapitel. 3

16 Del I Problemanalyse og kravspecikation 4

17 Foranalyse 2 Indledning I dette afsnit skal der analyseres forskellige emner, som alle vedrører small-scale kranen fra indledningen. Krantypen er en portalkran med to wirespil og en slæde, der kan ytte en last efter ønske af brugeren. Emnerne som skal undersøges kan listes som; small-scale kranen og dens sensorer, systemets specikationer, afviklingsmiljøet for kranen og hvilke ønsker der er til dens funktionalitet. Sidst skal projekts begrænsninger identiceres for dermed at opstille en problemformulering. 2.1 Small-scale kran I dette afsnit beskrives forsøgsopstillingen, se skitse 2.1, og dets delkomponenter. En fuldstændig beskrivelse kan ndes i appendiks A på side 176. Forsøgsopstillingen består af to tårne, som bærer en horisontal drager, hvor den styrbare slæde er monteret. Slæden styres ved en DC-motor, som er forbundet til et wiresystem, som betegnes slædewiren. En anden DC-motor samt et andet wiresystem, kaldet lastwiren, styrer højden på den krog, der hænger fra slæden. Krogen kan bevæges frit i x- og y-retningen, og kan dermed indtegnes i et koordinatsystem. Dette ses i gur 2.1. Origo er deneret som punktet (;), og svarer til midtpunktet af slæden, når denne er kørt helt til venstre og i top. Koordinatsystemets yderpunkter ses på gur 2.1, hvor de er angivet i meter. Koordinatet på krogen er deneret ved den røde prik. Dette punkt er massemidtpunktet for krogen og dens last. Krogen og wiren er ligeledes afbildet med en vinkel, hvor lasten ikke hænger lodret fra slæden. Det er denne vinkel der beskriver, hvordan lasten svinger i forhold til slæden. Vinkel måles med vinkelsensoren, der ses monteret på lastwiren. På sensoren er der fastspændt to støddæmpere, som mindsker oscillationer i wiren og dermed støj på vinkelmålingen. Den røde wire er slædewiren, og den blå er lastwiren. Koordinaterne kan opnås ud fra to sensorer, som måler henholdsvis x- og y-position. Der er ligeledes to sensorer til at måle hastigheden i begge retninger. Motor, wiregearing og wiresystem er ligeledes vist på gur 2.1. Den grå boks, monteret 5

18 Figur 2.1. Den generelle forsøgsopstilling med koordinatsystem. Fokus på slædewire med og uden vinkel til last. Sidst er motor, motorspil samt tilslutningsboks illustreret på det højre tårn, illustrerer måleudtag og lign., hvor det er muligt at tilkoble udstyr, der kan opsamle information om slædeposition, wirevinkel, osv. Der er kun skitseret en motor med tromle og gearing, da princippet, der styrer bevægelse i x- og y-retningen, er identisk. Det ses, hvordan DC-motoren gennem gearing styrer tromlen, som styrer slædewiren, altså bevægelsen i x-retningen. Alt dette leder til følgende tabel, se tabel 2.1, hvor alle betegnelser fra forsøgsopstillingen er samlet. Disse betegnelser vil blive brugt i rapporten fremover. 6

19 Betegnelse Beskrivelse Vinkelsensor Måler lastwirens vinkel ift. lodret x-positionssensor Slædens position på drageren y-positionssensor Krogens position under slæden x-hastighedssensor x-motors hastighed y-hastighedssensor y-motors hastighed x-spændingssensor Reel spænding på x-motor y-spændingssensor Reel spænding på y-motor x-strømsensor Reel strøm igennem x-motor y-strømsensor Reel strøm igennem y-motor Slædewire Wiren der styrer x-retningen Lastwire Wiren der styrer y-retningen Tabel 2.1. Betegnelser og beskrivelse af komponenter i forsøgsopstillingen Forsøgsopstillingen er nu skitseret. Der indgår som beskrevet en række sensorer. Disse vil i det kommende afsnit blive beskrevet, så det er muligt at bruge de måleudtag, der er på small-scale kranen. 2.2 Sensorer, input og output Som beskrevet i tabel 2.1 er der på forsøgsopstillingen monteret en vinkelsensor, x- og y-positionssensorer samt x- og y -hastighedssensorer. Disse sensorer er forbundet til en pc ved hjælp af et National PCI 624e I/O-kort. Dette kort kan generere et signal i området ± 1 V og kan måle inputspændinger i opløsningsområderne ±,5 V, ± 5 V og ± 1 V. For at kunne måle udgangssignalet fra strømforstærkerne, der styre de to DC motorer, i tilfælde af værdier over 1 V, er der monteret en spændingsdeler på I/O-kortet. Ligeledes er der monteret en strømsensor, der kan måle strømmen til henholdsvis x- og y-motoren. Det vides at motorerne, på grund af ulineær friktion, ikke har en lineær karakteristik i hele det påtrykte spændingsområde. Der ndes områder, hvor motoren ikke roterer, selvom den påtrykkes en spænding, og disse kaldes dødzoner. Disse dødzoner beskriver coulomb-friktionen på motorerne, og er nærmere beskrevet i motormodelleringsafsnittet på side 18. Det er nødvendigt at indføre denne friktion, da det ellers ikke med en lineær model ville være muligt at modellere motoren, hvilket forhøjer kompleksiteten betydeligt. Disse dødzoner er undersøgt i målejournal 1H på side 22 og behandlet i appendiks F.7 på side 199. Resultaterne for forsøget er listet i tabel 2.2. Negativ dødzone x-motor -3,65 V 3,65 V y-motor -4,3 V 3,9 V Positiv dødzone Tabel 2.2. Dødzoneområde for motorerne I målejournalerne 1A-1G på side er der foretaget målinger af den fysiske virkelighed som sensorerne beskriver, samt den udgangsspænding som sensorerne 7

20 giver. Derudover er I/O-kortets analoge og digitale indgange målt, således at den reelle udgangs- og indgangsspænding er kendt, når I/O-kortet henholdsvis påtrykkes og giver en spændingsværdi. Disse målejournaler er behandlet i appendiks F på side 192, hvor deres overføringsfunktioner ligeledes er listet. Overføringsfunktioner er alle førsteordenspolynomier af typen: Værdi 1 = α Værdi 2 + β (2.1) Koecienter til disse polynomier for alle sensorer, input og output ses af tabel 2.3. Udgange Indgange Position Underenhed Værdi 1 Værdi 2 α β ±,5 V opløsn.,9995 -,5 Fysisk Målt ± 5 V opløsn.,9995 -,47 spænding [V] spænding [V] ± 1 V opløsn.,9996 -,43 x-position,5 -,36 Position [m] Spænding [V] y-position,15,26 Vinkel Vinkel [deg] Målt spænding [V] 31,14-149,88 A I/O-boks 1,4,51 Påkrævet A1 I/O-boks Ønsket fysisk,9985 -,99 SIMULINKværdi A eektforst. spænding [V],7586,155 A1 eektforst,7728 -,68 Omdrejningshastighed Strømsensor Spændingsdeler x-motor Omdrejn.hast. Udgangssign. 33,8451 y-motor [rad/s] [rev/sek] 33,5724 x-motor Fysisk strøm Målt 56,971 y-motor [A] spænding [V] 59,544 x-power Fysisk 1,9996,76 Målt signal [V] y-power spænding [V] 1,998,76 Tabel 2.3. Overføringsfunktioner for sensorer, input og outputs på small-scale kranen Hermed er der fundet overføringsfunktioner for sensorerne på small-scale kranen og I/Okortet, og dødzoneområderne for motorerne er kortlagt. Det viser sig, at selv om I/Okortets udgangssignal er begrænset til ± 1 V, vil strømforstærkerne give et signal på ca. ± 13 V. Overføringsfunktionerne siger dog ikke noget om de fysiske begrænsninger, som systemet er underlagt, hvilket behandles i næste afsnit. 2.3 Systemspecikationer For at afdække systemets overordnede fysiske muligheder udformes der i dette afsnit to forsøg for at bestemme systemets maksimale hastigheder og accelerationer. Dette har til formål at kunne fastlægge nogle realistiske krav til systemet som udarbejdes i en kravspecikation. Der ønskes at bestemme: 8

21 1. Maksimal x-hastighed og acceleration 2. Maksimal y-hastighed og acceleration i begge retninger Der skal ndes hastighed og acceleration i begge retninger for y, da tyngdekraften her har indydelse på disse. Resultaterne for analyse 2A og 2B kan ses i appendiks G.2 på side 222, og i tabel 2.4 ses værdierne fra forsøgene. Navn Værdi Enhed X-hastighed 1 [m/s] X-acceleration 1,1 [m/s 2 ] Y-hastighed op,2 [m/s] Y-acceleration op,2 [m/s 2 ] Y-hastighed ned,3 [m/s] Y-acceleration ned,2 [m/s 2 ] Tabel 2.4. Forsøgsresultat for hastighed og acceleration til small-scale kranen Med værdierne i tabel 2.4 er der nu mulighed for at fastlægge nogle overordnede krav til kravspecikationen for hastighed og acceleration. Disse ses i kapitel 6 på side Afviklingsmiljø Som beskrevet i appendiks A.1.1 på side 177, er small-scale kranen forbundet til en pc via et National PCI 624e I/O kort. På pc'en benyttes nogle softwarekomponenter for at systemet kan afvikles i realtid fra computeren, selv om denne kører et ikke-realtids Linuxmiljø. Dette er kritisk for implementeringen af kontrollere senere i projektet, da der ellers ikke kan regnes på samplingstider ifm. diskretisering af modeller og styringer. Kontrol og dataindsamling For at opsamle måledata og udsende styringssignaler til kranen benyttes biblioteket Comedi, Dette er et bibliotek med en række drivere til en lang række I/O-kort, herunder National PCI 624e-kortet. Biblioteket har et fælles interface og kan afvikles i realtid på det meste hardware. Realtidsafvikling For at sikre realtidsafvikling benyttes et RealTime Application Interface (RTAI), https://www.rtai.org/. Dette er en realtids, preemptiv kerne, som installeres under den aktuelle Linux-kerne. Når RTAI benyttes, afvikler denne Linuxkernen i én preemptiv proces. Dette betyder, at når der afvikles et program, som benytter RTAI, afvikles dette program på samme niveau som selve Linux, og derved har RTAI mulighed for at garantere realtid. RTAI er tæt knyttet med Linux-kernen, og det har derved mulighed for at benytte Linux-kernens funktionalitet som I/O. Dette gør det muligt at logge til ler samt forbinde til realtidsprogrammet fra et ikke-realtids program, som afvikles i Linux-kernen. RTAI medfører altså en realtidsafvikling af C/C++ software på en ikke-realtids Linux-maskine. SIMULINK og RTAI For at simplicere implementeringen af styringer til kranen benyttes et RTAI SIMULINK-bibliotek i SIMULINK. Dette bibliotek giver mulighed 9

22 for at genere RTAI-kildekode direkte fra SIMULINK ved at oversætte almindelige blokdiagrammer tegnet i SIMULINK til C/C++ kode, som kan kompileres til at afvikles under RTAI. I forbindelse med projektets udførsel er der blevet genereret en fejlsøgningsliste for softwaren, som kan ndes i appendiks B på side Funktionalitet For at beskrive de ønskede funktioner for kransystemet opstilles der nu en use-case, der beskriver disse. En use-case beskriver de interne funktioner og hvordan disse internt arbejder sammen, samt hvordan de forskellige aktører bliver påvirket af eller påvirker systemet. Som nævnt i indledningen viser en undersøgelse, at der kan opnås op til 6 % forbedring ved en automatisk positionsstyring, og der vælges derfor at indføre en automatisk positionsstyringsfunktionalitet. Det vælges desuden at det skal være muligt at betjene kranen direkte ved manuel joystickstyring. Der opstilles derfor to use-cases for de to funktioner Use-case: Manuel styring via joystick I denne use-case skal kranoperatøren kunne kontrollere kranens horisontale og vertikale hastighed vha. det tilhørende joystick. Systemet udgøres af de regulatorer, som skal udvikles for at kunne styre de forskellige aktuatorer, samtidig med at svingninger på lasten undgås. For at regulatorerne eller systemet er i stand til dette benyttes der en række sensorer som aktører, som har til formål at levere information om det fysiske system. Normalscenarie Et normalscenarie kan udformes som: En last skal yttes fra en destination A til anden destination B uden at lasten kommer i ukontrollerbare svingninger. Kranen styres vha. et joystick, og kranens krog har startpositionen C. Se gur 2.2 A B A B C C Afhentning Aflæsning Afhentning Aflæsning Start Tilstand 1 Figur 2.2. Startopstilling samt tilstanden for første manøvre i normalscenariet med joystickstyring Operatøren udfører i normalscenariet følgende operationer, når kranen er startet op. Alle operationer udføres vha. joysticket: 1. Flytter krogen op og til venstre indtil krogen er placeret over lasten (destination A) 1

23 2. Krogen sænkes indtil det er muligt at koble lasten på krogen 3. Lasten løftes først op, hvorefter den transporteres op og til højre indtil lasten er lige over sin destination (destination B) 4. Lasten sænkes indtil den når destinationen Dette scenarie sætter nogle krav til systemet. Joysticket skal gøre det muligt at ytte lasten i alle re retninger ift. egenpositionen samt kombinere retningerne i en bevægelse. Denne ytning skal foregå således, at lasten så vidt muligt ikke svinger. Ved høje hastigheder kan der tillades en smule udsving, men ved lave hastigheder, som det antages at være når lasten når sin destination, skal svingninger være minimale. Referencen til hastighederne skal derfor være en kombination af kranoperatørens og anti-sving systemets reference. I gur 2.3 er dette illustreret som et UML use-case diagram, hvilket er udgangspunktet for system- og softwareopbygningen senere i denne rapport. Figur 2.3. Use-case diagram for joystick Undtagelser Er der en forhindring i den bane som er speciceret i normalscenariet, er det op til operatøren at ændre banen, således krogen og lasten undviger forhindringerne. Dette skyldes, at kranen ikke har sensorer der kan detekterer disse forhindringer, og derved er det ikke muligt at lave en styring der kan forhindre disse sammenstød. Den manuelle styring er kun operationsdygtig inden for operationsområdet som beskrevet under smallscale kranopstillingen i afsnit 2.1 på side 5. Der vil i tilfælde af, at operationsområdet forlades, være mekaniske afbrydere, som afbryder strømmen til den pågældende motor Use-case: Automatisk styring I denne use-case skal kranoperatøren kunne angive nogle ruter, som lasten både i den vertikale og horisontale retning skal bevæge sig efter. Dette er hovedsagelig positionsregulering med skiftende reference. Systemet udgøres af de regulatorer, som skal 11

24 udvikles, samt punkt-til-punkt driverenhed som skal give vedvarende referencer til en positionsregulering. Ligesom for manuel styrings use-case, indgår der et anti-sving system, der har til formål at forhindre lasten i at svinge, når positionen ændres. For at systemet er i stand til dette, benyttes der en række sensorer som aktører, som har til formål at levere information om det fysiske system. Normalscanerie En last skal yttes fra en destination A til anden destination B, uden at lasten kommer i ukontrollerbare svingninger. Kranen styres vha. en computer, hvorpå der indtastes en position, hvortil kranen skal køre. Kranen med lasten har startposition i A. Se gur 2.4. A B A B Afhentning Aflæsning Afhentning Aflæsning Start Tilstand 1 craneoperation: goto (3.7:.5) done! Figur 2.4. Startopstilling samt hvordan tilstanden er efter første manøvre i normalscenariet for automatisk styring Operatøren udfører i normalscenariet følgende operationer, når kranen er startet op: 1. En rute bestående af et sæt positioner i koordinatsystemet indtastes 2. Lasten tager den korteste vej til sine destinationer i rækkefølge 3. Lasten bringes til holdt på slutkoordinatet Dette scenarie sætter nogle krav til systemet. Computeren skal hele tiden vide, hvor den har sin last, før systemet kan sende den videre til det nye koordinat. Den korteste rute beregnes til det nye koordinat, dvs. at lasten ikke kun vil køre horisontalt eller vertikalt, men i en kombination. Det er igen bestemt, at lasten ikke må gå i ukontrollerbare svingninger, men at lasten godt må hænge efter slæden under transport for at mindske transporttiden. Derfor er det nødvendigt for computeren at indhente data fra kranen til regulering af lastens bevægelser. Som det ses af gur 2.5, påvirker operatøren systemet, som udføres af re processer. Processen Punkt-til-punkt styring udregner hvilken vej, som kranen skal køre, og sender positionerne til Vertikal positionsstyring og Horisontal positionsstyring. Derudover skal der stadig sørges for, at lasten ikke laver udsving i hverken x- eller y- retningen. Dette klares af processen anti-sving. Undtagelser Der vil som udgangspunkt ikke blive taget højde for forhindringer i den korteste rute, da det antages, at kranen kan køre frit i sit operationsområde. Skulle der være en forhindring, 12

25 Figur 2.5. Use-case diagram for automatisk styring er det derfor operatørens opgave at undgå disse ved indtastning af ruter. Mekaniske nødstop sørger ligeledes for, at kranen ikke kan overskride sit operationsområde. Dette afslutter afsnittet for, hvilke funktioner, der ønskes for kranen. Det er igennem to use-case's blevet beskrevet, hvordan kranen både skal kunne styres manuelt og automatisk. Det mest optimale vil være at kombinere de to funktioner for at give størst mulig brugerfrihed til operatøren. Det fremgår også af use-case'ene, at der skal implementeres nogle funktioner, der kan holde styr på lastens udsving, hvor lasten bender sig i operationsområdet samt hastigheden på lasten. 2.6 Projektbegrænsninger Dette projekt omhandler modellering og styring af et fysisk system. At opstille en fuldstændig nøjagtig model af virkeligheden vil være yderst komplekst, og meget modellering vil være ubetydelig i forhold til andre faktorer. I dette afsnit vil der derfor blive sat en række begrænsninger på projektet og specielt dennes modelleringsfase. I modelleringskapitlet, kapitel 4 på side 16, vil der blive sat yderligere begrænsninger i forbindelse med antagelse om ideelle modeller og lignende. Small-scale kranen kan kontrolleres i x- og y-retningen, og al bevægelse begrænses derfor til disse retninger. Pga. luftmodstand og uregelmæssigheder i det mekaniske system vil der kunne opstå bevægelse i z-retningen, se gur 2.6. Projektet begrænses til at se bort fra denne bevægelse pga. manglende mulighed for at kontrollere denne retning. 13

26 Wirehjul Wirehjul Slæde Wirehjul Drager Slæde wire Vind fra siden Last Vind forfra Last wire Figur 2.6. Luftmodstand og uregelmæssigheder i det mekaniske system kan medføre bevægelser i z-retningen Da small-scale kranen er opstillet under kontrollerede forhold i et laboratorium, medtages luftmodstand ikke i modelleringsafsnittet. Denne faktor kan anses som værende minimal pga. de indendørs og kontrollerede forhold samt den ringe størrelse af lasten. Wirehjul til slæden og lasten anses for som værende friktionsfrie, og disse medtages heller ikke i projektmodelleringen. 14

27 Problemformulering 3 På baggrund af kapitel 1 og 2 opstilles problemformuleringen for projektet. Målet med projektet er at modellere de nødvendige dele af small-scale kranen under kontrollerede forhold. Disse modeller skal lede til en teoretisk udvikle af en række reguleringer, der kan kontrollere lastens x- og y-hastighed samt position. Som beskrevet i indledningen, foreskriver studieordningen at regulering skal foretages med klassiske og modelbaserede regulatorer, hvilket medfører, at modelleringen skal kunne bruges af begge. Fokus for projektet ligger på analyse og modellering af det fysiske mekaniske system, som er small-scale kranen, samt at designe, implementere og teste såvel klassiske som modelbaserede regulatorer. Grundet dette vil rapporten ikke beskrive de tekniske softwareaspekter, manuel parameterestimering eller basale elektronikudledninger. Resultatet af projektet bør være to diskrete regulatorer, henholdsvis klassisk og modelbaseret, der kan afvikles på small-scale kranen. Disse skal kontrolleres af det monterede joystick med position og hastighed som input. Dertil skal regulatorer testes iht. kravspecikation. Opsummeret skal projektet søge at løse følgende tre problemstillinger: 1. Hvorledes opstilles og parameterestimeres en model af small-scale kranen beskrevet i kapitel 2, som kan benyttes til hastigheds- og positionsstyring? 2. Hvorledes udformes en klassisk regulator, der minimer svingninger af lasten med henholdsvis hastighed og position som reference? 3. Hvorledes udformes en tilstandsbeskrevet regulator med samme muligheder? Med en fastlagt analyse af problemet skal disse problemer nu undersøges og løses. Første skridt er at udlede og opstille matematiske modeller af small-scale kranen, der beskriver virkeligheden tilstrækkeligt. Dette vil blive gjort i de næste to kapitler. 15

28 Modellering Indledning til modellering Der er i de tidligere afsnit redegjort for forsøgsopstillingen og specikationerne for denne. Samtidig er der opsat en problemformulering, som kranen skal leve op til ved betjening af denne. For at kunne imødekomme dette, skal regulatorer implementeres, der sørger for, at lasten ikke svinger. Som led i dimensionering af de nødvendige regulatorer kræves det, at der opstilles modeller for det fysiske system. Der ønskes modeller med mulighed for at regulere på lastvinklen, så svingninger for lasten elimineres. Derfor skal der modelleres en sammenhæng mellem styringen, dvs. spændingen på motorerne, og hastigheden på lasten i henholdsvis x- og y-retningen. Denne overføringsfunktion kan deles op i en række skridt, som ses på gur 4.1. x-retning M ω ω ω 3 ω v 4 v Spænding til vinkelhastighed Vinkelhastighed til moment for trommel Moment for trommel til hastighed på slæde Slædehastighed til lastvinkel y-retning M ω ω ω 3 ω v Spænding til vinkelhastighed Vinkelhastighed til moment for trommel Moment for trommel til lasthastighed Figur 4.1. Fremgangsmåde og trin ifm. med modellering til x- og y-retningen Første skridt er en modellering af motoren og vinkelhastigheden ift. den påtrykte spænding. Næste skridt er gearingen, som resulterer i et moment på tromlen. I x-retningen bliver dette til en kraft, som virker på slæden, der ligeledes opnår en hastighed. Vinklen på lasten er afhængig af denne hastighed, og derved opnås der en sammenhæng mellem 16

29 vinklen og motorens spænding. I y-retningen bliver momentet på tromlen overført direkte til en hastighed på lasten Modelleringsmetode I de kommende afsnit vil modeller blive udledt efter følgende procedure: 1. Bestem modellens formål, anvendelsesområde, repræsentation, type og input/output 2. Opstil freebody-diagram for det fysiske system og angiv fysiske størrelser og navne 3. Opstil tabel, der beskriver alle fysiske størrelser med en beskrivelse, notation og enhed 4. Opstil ligninger for systemet og udled en ulineær model 5. Lineariser modellen i fastlagte arbejdspunkter 6. Laplace-transformer den lineære model og opstil den endelige overføringsfunktion 7. Lav en indledende vericering ved simulation af den lineære model, med realistiske gæt på parametre og vurder på simulationen Hvis modellen ikke direkte indgår i senere regulering, kan proceduren afbrydes efter punkt Lineariseringsprocedure I de følgende modeludledninger vil der være ulineariteter, som skal lineariseres, før de kan bruges i senere regulering. Disse lineariseringer vil blive udført som beskrevet i [Palle Andersen, 27,side 67] og listet herunder: 1. Bestem arbejdspunktværdier for variablene ved at løse de ulineære ligninger i stationær tilstand 2. Erstat variablene i ligningerne med arbejdspunktværdier og småsignalværdier (x(t) = x + x (t)) og tilnærm ulineære led med en førsteordens Taylorapproksimation 3. Arbejdspunktsligningen trækkes fra den stationære tilstand. Resultatet er en lineær ligning i småsignalværdierne Taylor-approksimationen er givet ved [Mathworld, 211b]: Ved ere variable: f( x + x ) = f( x) + x f ( x) + 1 2! (x ) 2 f ( x) +... (4.1) f( x + x ) = f( x) + δf( x) δ x x + 1 2! δ2 f( x) δ 2 x (x ) (4.2) 17

30 4.2 Modelnotation I de kommende afsnit vil der blive opstillet de modeller som nævnt i forrige afsnit. Disse modeller vil benytte notationen, som ses i tabel 4.2. Denne notation vil ligeledes gøre sig gældende for resten af rapporten. Da der er uafhængig bevægelse i x- og y-retningen, er det nødvendig at skelne mellem disse retninger. Dette noteres som v y,l, som i dette tilfælde henviser til hastigheden for lasten i y-retningen. Lasten noteres generelt med nedsænket L, og slæden noteres med nedsænket S. Hvis en variabel allerede er nedsænket, adskilles denne fra den yderligere nedsænkning med en bindestreg, eksempelvis F g-r,l, som henviser til gravitationskraften i radialretningen på lasten. Positioner noteres som x s, som i dette tilfælde henviser til x-retningen for slæden. Dierentiation angives som ẋ og henviser til dierentiation mht. tiden. Følgende bogstaver anvendes som notation: Notation Fysisk størrelse Enhed x / y Position [m] v Hastighed [m/s] a Acceleration [m/s 2 ] θ Vinkel [rad] ω Vinkelhastighed [rad/s] α Vinkelacceleration [rad/s 2 ] F Kraft [N] τ Moment [Nm] J Inertimoment [kg m 2 ] M Masse [kg] u Spænding [V] i Strøm [A] Tabel 4.1. Notation, fysisk størrelse og enhed for modellering 4.3 Modellering af motor I dette afsnit udledes der ligninger for at beskrive sammenhængen mellem indgangsspændingen på motoren og dens umiddelbare rotationshastighed. En oversigt over denne modellering kan ses af tabel

31 Formål Anvendelsesområde Repræsentation Type Input Output Bestemme hastigheden på motoren ud fra den påtrykte spænding og aktuelle belastning Small-scale kranopstillingen med motorspænding på ± 12,5 V Matematisk model der beskriver fysikken Prediktiv model Spænding på hhv. x- og y-motor [V] Motorhastighed [m/s] Tabel 4.2. Modeloversigt for motoren Motorer for x- og y-retningen er ens og det er derfor kun nødvendigt at opstille en model for én af motorerne. Der kan opstilles følgende elektriske ækvivalensdiagram for motoren som vist i gur 4.2 [Palle Andersen, 27] R A L A U A V IN V EMK K ω Figur 4.2. Elektrisk ækvivalensdiagram for en DC-motor Notation Beskrivelse Enhed U a Motorens ankerspænding [A] R a Ohmsk modstand i motorens vikling [W] L a Selvinduktion i motorens vinkling [H] K Motorens momentkonstant [-] τ m Motorens friktionsmoment [Nm] τ b Ydre belastningsmoment [Nm] τ f Samlet friktionsmoment [Nm] Tabel 4.3. Notationsbeskrivelse for gur 4.2 og 4.3 Ud fra gur 4.2 kan der udtrykkes en ligning for ankerspændingen: [Palle Andersen, 27] U a = R a i a + L a di a d t + Kω [V ] (4.3) Hvor R a er modstanden i viklingen [Ω] L a er viklingens selvinduktion [H] U a er motorens påtrykte ankerspænding [V] K er momentkonstanten [V/rad/s] Den elektriske tidskonstant La R a er i systemer som dette meget mindre end de mekaniske tidskonstanter [Palle Andersen, 27], og L vil derfor i de videre udregninger blive 19

32 approksimeret til at være, da tidskonstanten er ubetydelig i forhold til resten af systemet. Dette indebærer, at ligning 4.3 på foregående side simpliceres til at indeholde momentkonstanten, vinkelhastigheden, viklingsmodstanden samt motorstrømmen, som det fremgår af nedenstående ligning: U a = R a i a + Kω [V ] (4.4) Motorens momenter og indre friktion kan ndes ud fra motorens mekaniske diagram, som ses af gur 4.3: τ m J τ b τ f Figur 4.3. Mekanisk illustration af kræfter for en DC-motor Der kan opstilles følgende ligning for inertimomentet for motoren: J dω dt = τ m τ b τ f (ω,τ m τ b ) [kg m 2 ] (4.5) Hvor J er motorakslens inertimoment [kg m 2 ] τ m er motormomentet [N m] τ b er momentet fra motorbelastningen [N m] τ f er en funktion af momentet fra den samlede friktion [N m] Momentet for den samlede friktion er en ikke-lineær funktion, der grundet coulomb-friktion og stiktion blandet andet afhænger af om motoren holder stille eller om den er oppe i fart. Dette resulterer i, at motorerne ikke umiddelbart roterer ved lave inputspændinger, da den samlede friktion holder dem tilbage. Dette område blev tidligere deneret som dødzoner, og disse er fundet i forsøg 1H på side 22. Ud fra disse målinger er der i appendiks på side 199 udledt en SIMULINK-blok, der tager højde for denne ulinearitet. Motormomentet fra ligning 4.5 er givet ved: [Palle Andersen, 27] τ m = i K [N m] (4.6) Hvor i er strømmen gennem motoren [I] K er motorkonstanten [N m/a] Parametrene fra ligning 4.3 er opgivet i databladet for DC-motoren [AXEM, 1993]. Disse parametre kan efterprøves eksperimentelt, men forsøgene vurderes til at ligge udenfor semestrets temabeskrivelse og undlades derfor. I stedet efterprøves databladsværdierne ifm. parameterestimeringen for det endelige system. 2

33 4.4 Modellering af gear Der ndes en udveksling imellem hver af de to DC-motorer og deres funktioner, og disse ønskes beskrevet for at beskrive lastens position i forhold til spændingen, der tilføres de to motorer. I tabel 4.4 ses en oversigt over modellen. Formål Anvendelsesområde Repræsentation Type Input Output At bestemme en model der forbinder momentet ud af motoren med momentet på tromlen Small-scale kranopstillingen, med motorspænding på ± 12,5 V Matematisk model der beskriver fysikken Prediktiv model Motorvinkelhastighed [rad/s] Moment på tromlen [Nm] Tabel 4.4. Modeloversigt for gearingen De to motorer for hhv. x og y er kongureret efter samme princip, som ses af gur 4.4, og dette afsnit vil derfor tage udgangspunkt i udledningen af gearingen til x-retningen. Motor Slædewire (x-retning) Gearing Wiretromle Figur 4.4. Skitse af motor og tilhørende gear. Skitsen gælder for både x- og y-retningen Som det ses af gur 4.4, består gearingen af re tandhjul og en tromle. Motorens aksel er fastmonteret det første tandhjul, som dernæst driver tandhjul nummer 2 ved hjælp af en rem. Til udledning af gearingen anses remmen for tabsfri. Sidst ender kraften fra motoren i tromlen, som trækker wiren til x-retningen. Tandhjulene nummereres fra 1 til 5 fra motoren og frem, hvor tromlen dermed har nummer 5. For at beskrive kraften der tilføres wiren i forhold til kraften fra motoren, opstilles her et diagram med kræfter for gearingen. Diagrammet ses af gur

34 F s B 1 r m 1 J 1 g1 m B 3 r 3 23 B 5 J 5 g3 J 3 r 45 5 t B 2 r 2 B 4 r 4 g4 g2 J 2 J 4 Figur 4.5. Free-body diagram for motor, gear og tromle. Se tabel 4.5 for beskrivelse af notation Notation Beskrivelse Enhed ω m Vinkelhastigheden på motorakslen [rad/s] ω 23 Vinkelhastigheden på den midterste aksel [rad/s] ω 45 Vinkelhastigheden på tromleakslen [rad/s] τ Bx Friktionsmoment på tandhjul nummer x [Nm] J x Inerti for tandhjul nummer x [kg m 2 ] r x Radius på tandhjul nummer x [m] τ m Momentet fra motoren [Nm] τ gx Momentet på tandhjul nummer x [Nm] τ t Momentet på tromlen [Nm] Tabel 4.5. Notations beskrivelse for gur 4.12 Kraftoverførslen for et specikt tandhjul er bestemt af tandhjulets radius. Dette kommer til udtryk ved princippet for drejningsmoment, som er beskrevet af formel 4.7. τ = F L [Nm] (4.7) Drejningsmomentet τ er heraf bestemt ved kraften F ganget med længden L. De forskellige radier giver dermed anledning til forskellige momenter imellem gearede tandhjul. Foruden dette, sker der en hastighedsændring imellem de forskellige aksler ved gearingskonstanten, N, som er forholdet imellem de forskellige tandhjuls radier eller antal af tænder: N 1 = r 2 r 1 = n 2 n 1 N 2 = r 4 r 3 = n 4 n 3 (4.8) 22

35 Hastigheden af akslerne udtrykkes dermed ved: ω m = ω 23 N 1 ω 23 = ω 45 N 2 (4.9) I tabel 4.6 fremgår antal af tænder for tandhjul i x- og y-retningen og diameteren af deres wiretromler. Tandhjul x-retning y-retning 1 12 [ ] 12 [ ] 2 48 [ ] 48 [ ] 3 14 [ ] 1 [ ] 4 72 [ ] 6 [ ] 5 7,9 [cm] 4,9 [cm] Tabel 4.6. Antal af tænder for tandhjul til x- og y-retning, samt radier for tromler Udledning for gear i x-retningen Figur 4.5 udbygges nu til gur 4.6, som er et free-body diagram over akslerne. Udtryk for friktion, B, og inerti, J indføres, og ligeledes indføres kraften f k, som er kraften, som gearingerne indbyrdes påvirker hinanden med. Eftersom udledningen omhandler x- retningen, vil alle variable blive noteret i forhold til x i henhold til afsnit 4.2 på side 18 om notation. x,m m B x,1 x,1 r B x,3 x,3 f k-x,34 r 1 r 3 x,3 B x,5 x,5 r x,t f k-x,12 r 5 x,1 J x,1 x,1 J x,3 x,3 J x,5 x,5 r 2 f k-x,12 r x,2 r 4 f k-x,34 r x,4 B x,2 x,2 B x,4 x,4 J x,2 x,2 J x,4 x,4 Figur 4.6. Free-body diagram for gear og motor (specikt for x-retning) Opstilles momentligningen for den første aksel med motor og tandhjul nummer 1, kan den udtrykkes som: τ x,m = B x,1 ω x,m + J x,1 ω x,m + f k x,12 r x,1 [Nm] (4.1) Hvor kraften i det sidste led er fra kraftoverførslen fra næste aksel ganget med tandhjulets radius. 23

36 Momentligningen for den midterste aksle, hvor tandhjul nummer 2 og 3 er monteret, bliver: f k x,12 r x,2 = B x,23 ω x,23 + J x,23 ω x,23 + f k x,34 r x,3 [Nm] (4.11) Siden tandhjul nummer 2 og tandhjul nummer 3 er på samme aksel, vil friktionen og inertien være summen af dem indbyrdes, og disse variable er derfor skrevet sammen til én. Udtrykket for den tredje aksel med tandhjul nummer 4 og tromlen bliver: f k x,34 r x,4 = B x,45 ω x,45 + J x,45 ω x,45 + τ x,t [Nm] (4.12) Indsættes ligning 4.12 og 4.11 i 4.1, opnås et udtryk for momentet på motoren, hvor momentet på tromlen indgår: τ x,m =B x,1 ω x,1 + J x,1 ω x,1 + r ( x,1 B x,23 ω x,23 + J x,23 ω x,23 r x,2 + r x,3 r x,4 ( Bx,45 ω x,45 + J x,45 ω x,45 + τ x,t ) ) [Nm] (4.13) Ligning 4.9 på foregående side bruges til at skrive udtrykket for motoren, så der opnås en samlet inerti og friktionskonstant. Samtidig indsættes de i ligning 4.8 på side 22 denerede gearingskonstanter: τ x,m =B x,1 ω x,m + J x,1 ω x,m (B x,23 ω x,m + J x,23 ω x,m N 1 N ( )) 1 1 B x,45 ω x,m + J x,45 ω x,m + τ x,t N 1 N 2 N 1 N 2 N 1 N 2 [Nm] (4.14) Samles udtrykkene for inerti og friktion opnås: ( τ x,m = B x,1 + B x,23 N 2 1 ( + J x,1 + J x,23 N1 2 + B x,45 (N 1 N 2 ) 2 J x,45 (N 1 N 2 ) 2 ) ω x,m ) ω x,m + τ x,t N 1 N 2 [Nm] (4.15) For at gøre dette udtryk mere overskueligt deneres en total inerti og friktion for gearene: τ x,m = B x,gear ω x,m + J x,gear ω x,m + τ x,t N x [Nm] (4.16) Hvor N x = N 1 N 2 J x,gear er den totale interti for x-gearingen B x,gear er den totale friktion for x-gearingen 24

37 Udledning for gear i y-retningen Udledningen for gearene i y-retning er tilsvarende den for x-retningen. Derfor fås en tilsvarende ligning: τ y,m = B y,gear ω y,m + J y,gear ω y,m + τ y,t N y [Nm] (4.17) Hvor N y = N 1 N 2 J y,gear er den totale interti for y-gearingen B y,gear er den totale friktion for y-gearingen 4.5 Horisontal bevægelse I dette afsnit vil der blive udledt en model for den horisontale bevægelse af slæden og lasten. Der opstilles to modeller iht. afsnit 4.1 på side 16, hvor den ene beskriver lastens bevægelse ift. slædens bevægelse, og den anden beskriver slædens bevægelse ud fra kraftpåvirkning fra motor og gear. Disse modeller er dernæst lineariseret og transformeret til Laplacedomænet for at opnå en overføringsfunktion. I gur 4.7 ses et free-body diagram for slæden og lasten, som viser de kræfter, som påvirker slæden og lasten, når systemet er i bevægelse. Notationen er beskrevet i tabel 4.7. Y X.. M s x s F N M s F b,s F s F g,s F w L F w M L F b,l Figur 4.7. Free-body diagram for slæde og last til modellering for horisontal bevægelse F g,l 25

38 Notation Beskrivelse Enhed F N Normalkraften der påvirker slæden. Denne kraft [N] kommer fra drageren på kranen F b,s Friktionskraft på slæden, når denne er i bevægelse [N] F g,s Tyngdekraftpåvirkning på slæden. [N] F s Kraftpåvirkning fra motor og gear som ytter slæden [N] i x-retningen F b,l Friktionskraft i omdrejningspunktet som påvirker [N] svingningen af lasten F w Kraft i wire mellem slæde og last. [N] F g,l Tyngdekraftpåvirkning på lasten [N] θ Vinklen på lasten målt ift. lodret og lastwiren. [rad] Rotation mod uret er deneret som positiv L Længden på wiren mellem last og slæde [m] M s Massen af slæden [kg] M L Massen af lasten [kg] Tabel 4.7. Notationsbeskrivelse for gur 4.7 I de efterfølgende afsnit vil fremgangsmåden blive benyttet til at opstille en matematisk model, der beskriver systemets fysiske egenskaber Kinematik Inden der ses nærmere på de kræfter, der er vist i free-body diagrammet, vil kinematikken for lasten blive udledt. Dette gøres, da det er nødvendigt at have geometriske ligninger, der beskriver accelerationen i x- og y-retningen for lasten. Fra gur 4.7 på forrige side haves: ( ) ( ) ( ) xl xs L sin(θ) = + L cos(θ) y L y s [m] (4.18) Hvor x s og y s udtrykker henholdsvis x- og y-positionen på slæden. Dette udtryk dierentieres mht. tiden for at beskrive hastigheden. Da y s er konstant, vil den aedte være : ( vx,l v y,l ) ) (ẋl (ẋs + = = L sin(θ) + L θ ) cos(θ) + L cos(θ) + L θ sin(θ) ẏ L [m/s] (4.19) Udtrykket dierentieres endnu engang for at nde accelerationen: ( ax,l a y,l ( ax,l a y,l ) ) (ẍl = ÿ L ) (ẍs + sin(θ) ( L L = θ 2 ) + cos(θ) (2 L θ + L θ) ) sin(θ) (2 L θ + L θ) + cos(θ) ( L L θ 2 ) [m/s 2 ] (4.2) [m/s 2 ] (4.21) 26

39 Hvor x L er lastens x-position y L er lastens y-position x s er slædens x-position y s er slædens y-position L er længde fra slæde til massemidtpunkt på last Lastbevægelse ift. slæde Lastens bevægelse skal nu kortlægges ift. slæden. Tabel 4.8 viser en oversigt over modellen. Formål Anvendelsesområde Repræsentation Type Input Output Bestemme vinklen til lasten ift. slæden ud fra slædens hastighed Small-scale kranopstillingen, med slædehastigheder ± 1 m/s, acceleration ± 1,1 m/s 2 og vinkel ± 2 Matematisk lineær model der beskriver fysikken Prediktiv model Kraft på slæde i x-retning [N] Vinklen til last ift. slæde [rad] Tabel 4.8. Modeloversigt for lastens bevægelse ift. slæden Med udgangspunkt i gur 4.7 på side 25, opstilles der nu en række ligninger for kraftpåvirkningerne på lasten i x- og y-retningen. Derudover opstilles der ligeledes ligninger for x-retningen af slæden. Med udgangspunkt i disse udtryk udledes en beskrivelse af vinklen θ ift. slædens hastighed i x-retningen, x s. Denne vinkel er i tabel 4.8 begrænset til et anvendelsesområde på ± 2. Dette skyldes, at vinkeludregningerne bygger på trigonometriske formler, der skal lineariseres. Lineariseringen udføres for et arbejdsområde på, og ved et arbejdsområde på ± 2 er worst-case afvigelsen på ca. 6 %. Først indføres en række projiceringer af kræfterne som illustreret på gur 4.7 på side 25. Disse benyttes i efterfølgende udledninger, hvor projicering noteres med. F w,x = F w x = F w sin(θ) [N] (4.22) F w,y = F w y = F w cos(θ) [N] (4.23) F b,x,l = F b,l x = F b,l cos(θ) [N] (4.24) F b,y,l = F b,l y = F b,l sin(θ) [N] (4.25) 27

40 Der opstilles nu kraftligninger for de resulterende kræfter for slæden og lasten. F x,s = M s ẍ s = F s + F w,x F b,s = F s + F w sin(θ) B s x s [N] (4.26) F x,l = M L ẍ L = F w,x F b,x,l = F w sin(θ) F b,l cos(θ) [N] (4.27) F y,l = M L y L = F g,l F w,y + F b,y,l = F g,l F w cos(θ) + F b,l sin(θ) [N] (4.28) Hvor F x,s er den resulterende kraft for slæden i x-retningen F x,l er den resulterende kraft for lasten i x-retningen er den resulterende kraft for lasten i y-retningen F y,l Fra ligning 4.28 isoleres F w : F w = F g,l + F b,l sin(θ) M L y L cos(θ) [N] (4.29) Dette indsættes i ligning 4.27, og der ndes et udtryk for ẍ L : M L ẍ L = F g,l + F b,l sin(θ) M L y L cos(θ) y L ẍ L = F g,l + F b,l sin(θ) M L cos(θ) M L sin(θ) F b,l cos(θ) [N] sin(θ) F b,l M L cos(θ) [N] (4.3) Variablene ẍ L og ÿ L er udledt i kinematikafsnittet ved ligning 4.21, og disse kan nu indsættes i ligning 4.3: ẍ s + sin(θ) ( L L θ 2 ) + cos(θ) (2 L θ + L θ) = F g,l + F b,l sin(θ) M L ( sin(θ) (2 L θ + L θ) + cos(θ) ( L L θ 2 )) cos(θ) M L F b,l M L cos(θ) Via en triviel omskrivning kan ligning 4.31 simpliceres til: sin(θ) (4.31) θ = F g,l sin(θ) ẍ s cos(θ) M L 2 L θ M L F b,l L M L [rad/s 2 ] (4.32) Ligning 4.32 kan yderligere omskrives ved at følgende relationer kendes: F g,l = M L g [N] (4.33) F B,L = B L θ L 28 [N] (4.34)

41 Ligning 4.34 divideres med L, da friktionen er oppe i omdrejningspunktet på slæden, og kraftpåvirkningen er på gur 4.7 placeret på lasten. Ligning 4.32 kan nu omskrives til: θ = g sin θ L cos θ L ẍ s 2 L θ L B L θ M L L 2 [rad/s 2 ] (4.35) Linearisering og Laplace-transformation af model Ligning 4.35 er ulineær pga. dens trigonometriske funktioner, og den skal derfor lineariseres, før videre behandling kan udføres. Dette udføres efter proceduren beskrevet i afsnit på side 17 og bliver som følger. Trin 1 (løsning i stationær tilstand) Der fastsættes arbejdspunkter for θ og L, som er konstante og derved aedt lig. Dette giver ligning 4.35: = g sin( θ) L (4.36) Trin 2 (Taylor-rækkeapproksimation) Hvert led i ligning 4.35 Taylor-rækkeudvikles efter 1. orden. Der benyttes, at arbejdspunkt θ = giver sin( θ) = g sin(θ) L g sin( θ) L + g sin( θ) L 2 L g cos( θ) L θ = g cos( θ) L θ (4.37) cos θ L ẍ s cos( θ) x s L + sin( θ) x s L θ cos( θ) L ẍ s + x s cos( θ) L 2 L cos( θ) L ẍ s (4.38) 2 L θ L 2 L θ L + 2 L θ L 2 L 2 θ L L 2 L L θ = (4.39) B L θ M L L 2 B L θ M L L 2 B L M L L 2 θ + 2 B L θ M L L 3 L = B L M L L 2 θ (4.4) Trin 3 (saml stationær og approksimation) Den lineære tilnærmelse bliver da: θ = g cos( θ) L θ cos( θ) L ẍ s B L M L L 2 θ + g sin( θ) L (4.41) Laplace-transformation Ligning 4.41 udtrykker nu vinkelacceleration ift. slædeacceleration. Som beskrevet i starten af modeludledningen, ønskes en ligning for vinklen ift. slædehastigheden. Denne ndes 29

42 ved at integrere ligningen, hvilket nemmest gøres i Laplace-domænet. Modellen Laplacetransformeres, og den endelige overføringsfunktion ndes: θ = L θ s 2 = g cos( θ) L g cos( θ) L θ cos( θ) L ẍ s B L M L L 2 θ + g sin( θ) L θ cos( θ) L ẍ s B L M L L 2 θ s + g sin( θ) L (4.42) (4.43) Med arbejdspunktet θ = fås: θ s 2 = g cos( θ) L θ cos( θ) L ẍ s B L M L L 2 θ s (4.44) Med lidt omskrivning bliver dette til en overføringsfunktion: θ ẍ s = cos( θ) L s 2 + B L g cos( θ) s + M L L 2 L (4.45) Da der ønskes en overføringsfunktion fra slædehastighed til vinkel integreres ligningen, og den bliver dermed: G θ (s) = θ ẋ s = cos( θ) s L s 2 + B = L g cos( θ) s + M L L 2 L 1 L s s 2 + B L M L L 2 s + ḡ L (4.46) Ligning 4.46 udtrykker nu en model for det ønskede, hvilket samtidig konkluderer denne del. Indledende simulering I gur 4.8 ses en indledende simulering af overføringsfunktionen. Der er benyttet et gæt, hvor friktionskonstanten B L er sat til,5 for at vurdere, om overføringsfunktionen giver et realistisk output. Eftersom amplituden på lastens svingninger aftager stille og roligt over tid med slæden kseret, vurderes det, at modellens output passer ift. virkeligheden. Den indledende simulering benytter en bell-curve som input for at simulere en realistisk bevægelse, hvor slædens hastighed ikke skifter øjeblikkeligt. 3

43 Slæde hastighed [m/s] Input Tid [s] Output 4 Lastvinkel [grader] Tid [s] Figur 4.8. Test af model for lastbevægelse ift. slæden. Testen er simuleret med en bell-curve som input. Der ses et udringningsforløb for lastvinklen. Som det ses, aftager amplituden af lastens svingninger, hvilket er forventet ift. den virkelige verden [CD Modeller/SvingningLast/simpleVerify.m] Slædebevægelse ift. motorspænding Slædens bevægelses skal nu kortlægges ift. den spænding, som motoren påtrykkes. Tabel 4.9 viser en oversigt over modellen. Formål Anvendelsesområde Repræsentation Type Input Output Bestemme slædens bevægelse ud fra påtrykt motorspænding Small-scale kranopstillingen med slædehastighed ± 1 m/s, acceleration ± 1,1 m/s 2, vinkel ± 1 samt motorspænding på ±1 V Matematisk lineær model der beskriver fysikken Prediktiv model Spænding på x-motor [V] Hastighed på slæde [m/s] Tabel 4.9. Modeloversigt for slædens bevægelse ift. motorspænding Der opstilles nu en model for slædens bevægelse med udgangspunkt i gur 4.7. Der udledes først et udtryk for kraftpåvirkningen på slæden fra gear og motor. Dernæst kombineres denne med modellerne udledt i afsnittet om modelleringen af gear på side 21 samt modellerne fra afsnittet om modelleringen af motor på side 18. Med disse ndes en model, der beskriver slædens bevægelse (ẋ s ) ift. motorspænding (U a,x ). Dernæst lineariseres modellen, og med forbindelsen mellem modellen for lastens bevægelse og denne model 31

44 kan de kombineres til den endelige, lineære overføringsfunktion. Y X.. M s x s F N Kun x-komposanter:.. M s x s M s M s F s F b,s F s F b,s F w,x F g,s F w Figur 4.9. Free-body detalje for slæden og projicering på x-aksen I afsnit på side 27 blev der fundet en ligning for x- komposanterne for slæden, se ligning 4.26 samt gur 4.9: F x,s = M s ẍ s = F s + F w sin(θ) B s x s [N] (4.47) F s er kraftpåvirkningen fra gear og motor, og der isoleres hermed for denne: F s = M s ẍ s F w sin(θ) + B s ẋ s [N] (4.48) Kraften F w, som lasten trækker i slæden med, er den eneste ubekendte variabel, der ikke kan måles, og den ønskes derfor udtrykt vha. konstanter og målbare værdier. Lasten bevæger sig i en cirkulær bevægelse, og har derfor en radial acceleration mod centrum af bevægelsen [Serway/Jewett, 28,side 88]. Denne er deneret ved: a c = v2 [m/s] (4.49) r Hvor v er hastigheden for partiklen [m/s], og r er radius for cirkelbevægelsen i meter. Hastigheden for lasten ndes ud fra vinkelhastigheden og wirelængden: v r,l = θ L [m/s] (4.5) Radialaccelerationen ndes da til: a c = θ 2 L 2 = L θ 2 L [m/s 2 ] (4.51) Af gur 4.1 udledes F w til: F w = F g,l cos(θ) a c M L = F g,l cos(θ) + L M L θ 2 [N] (4.52) Da F g,l = M L g, kan dette skrives som: F w = M L g cos(θ) + L M L θ 2 = M L (g cos(θ) + L θ 2 ) [N] (4.53) Udtrykket for F w indsættes nu i ligning 4.48: F s = M s ẍ s M L (g cos(θ) + L θ 2 ) sin(θ) + B s ẋ s [N] (4.54) Der er nu udledt en beskrivelse af, hvorledes en kraftpåvirkning fra gear og motor påvirker slædens bevægelse. Denne model skal nu samles med modellerne for motor og gear for at opnå den endelige model fra motorspænding til slædebevægelse. 32

45 F w L F w a r M L a t F b,l F g,r,l F g,l Figur 4.1. Free-body detalje for kraft mellem slæde og last Inkludering af gearmodel Med F s bestemt er det muligt at omregne denne til et moment i tromlen i gearene. Dette udtrykkes som: τ x,t = r 5,x F s [Nm] (4.55) = r 5,x (M s ẍ s M L (g cos(θ) + L θ 2 ) sin(θ) + B s ẋ s ) [Nm] (4.56) Ud fra hastigheden på tromlen (ω x,5 ) kendes hastigheden og accelerationen på slæden: ẋ s = r 5,x ω x,5 [m/s] (4.57) ẍ s = r 5,x ω x,5 [m/s 2 ] (4.58) Det er dermed muligt at omsætte motorens hastighed til slædens hastighed ved brug af gearingskonstanten fra motor til slæde: ẋ s = r 5,x N x ω x,5 [m/s] (4.59) ẍ s = r 5,x N x ω x,5 [m/s 2 ] (4.6) Disse indsættes i momentligning 4.56: ( ) τ x,t = r 5,x M s r5,x ω x,5 M L (g cos(θ) + L N θ 2 ) sin(θ) + B s r5,x ω x,5 x N x [Nm] (4.61) = M s r2 5,x N x ω x,5 r 5,x M L (g cos(θ) + L θ 2 ) sin(θ) + B s r2 5,x N x ω x,5 [Nm] (4.62) 33

46 Momentligningen 4.16, som beskriver momentet fra motor til tromlen i gearene, er i afsnit 4.4 fundet til: τ x,m = B x,gear ω x,m + J x,gear ω x,m + τ x,t N x [Nm] (4.63) Udtrykket for τ x,t indsættes, og der opnås: τ x,m = B x,gear ω x,m + J x,gear ω x,m = + M s r2 5,x N x ω x,5 r 5,x M L (g cos(θ) + L θ 2 ) sin(θ) + B s r2 5,x N x ω x,5 ( J x,gear + M s r 2 5,x N 2 x ) ω x,m + ( N x B x,gear + B s r 2 5,x N 2 x r 5,x N x M L ( g cos(θ) + L θ 2) sin(θ) ) ω x,m [Nm] (4.64) [Nm] (4.65) Ved at samle de to konstantled i hver sin konstant fås: τ x,m = J x,tot ω x,m + B x,tot ω x,m r 5,x N x M L ( g cos(θ) + L θ 2) sin(θ) [Nm] (4.66) Hvor J x,tot = J x,gear + M s r 2 5,x N 2 x B x,tot = B x,gear + B s r 2 5,x N 2 x Inkludering af motormodel Fra modellering af motoren i afsnit 4.3 på side 18 blev modellen for motoren i ligning 4.3 på side 19 fundet til: U x,a =R x,a i x,a + K x ω x,m [V] (4.67) Samt udtryk for det mekaniske moment, der gælder for x-retningen: τ x,m =K x i x,a i x,a = τ x,m K x (4.68) Dette indsættes i ligning 4.67: U x,a =R x,a τx,m K x + K x ω x,m [V] (4.69) 34

47 Denne ligning indsættes i ligning 4.66, og der opnås et udtryk fra motorspænding til slædens bevægelse: U x,a = R ( x,a J x,tot ω x,m + B x,tot ω x,m r ( 5,x M L g cos(θ) + L K x N θ 2) ) sin(θ) x + K x ω x,m [V] (4.7) Der er nu opstillet en model, der beskriver motorhastigheden ift. motorspændingen. Ved ligning 4.59 og 4.6 er der ligeledes en beskrivelse af slædens hastighed ift. motorspænding. Modellen skal nu lineariseres samt Laplace-transformeres for at opstille den endelige model. Dette er udeladt i hovedrapporten, og kan ndes under appendiks C.2 på side 183. Ved Laplace-transformationen blev overføringsfunktionen for lastbevægelse ift. slæde brugt for at opnå en overføringsfunktion, som udelukkende afhænger af motorspændingen. Dette skyldes, at slædens hastighed ikke kun påvirkes af motoren og gear, men også af lasten. Derfor skal denne overføringsfunktion indgå for at beskrive slædens bevægelse. Fra appendiks C.2 på side 183 ndes ligning C.31: G v,x (s) = ẋ s U x,a = K x r 5,x R x,a ( s 2 + β s + γ ) αs 3 + (α β + δ)s 2 + (α γ + δ β + ɛ γ) s + δ γ [ ] (4.71) Hvor α = N x J x,tot B β = L M L L 2 γ = ḡ L δ = N x B x,tot + K2 x N x R x,a ɛ = r2 5,x M L N x Indledende simulering I gur 4.11 ses en indledende simulering af overføringsfunktionen. Figuren viser, hvorledes slædens hastighed varierer ift. lastvinklen, hvilket var forventet. Det ses ligeledes, at lasten trækker i slæden, når slæden forsøger at stoppe, inden den stabiliserer sig. Modellen anses som værende beskrivende for virkeligheden. Senere parameterestimering vil endeligt vericere, om modellen er korrekt. 35

48 Hastighed [m/s] Slæde hastighed R5x =.79, BL = 8.31e 2 ML = 3.7, L =.8 Kx = 3.e 2, Ra = 4.3e 1 Bxtot = 8.84e 2, Nx = 24. Jxtot = 7.e Tid [s] 15 Lastvinkel 1 Vinkel [grader] Tid [s] Figur Test af model for slædebevægelse med input på 1 V af 1 sekunders varighed. Øverste plot viser slædens hastighed og nederst lastens vinkel. Nederste plot bruger modellen for lastbevægelse ift. slæden, ligning Da slædens hastighed varierer ift. lastens svingning, vurderes modellen som tilfredsstillende. [CD Modeller/Slaede/preliminary.m] 4.6 Vertikal bevægelse I dette afsnit vil lastens bevægelse i y-retningen blive modelleret. I tabel 4.6 ses en oversigt over modellen. Formål Anvendelsesområde Repræsentation Type Input Output Bestemme hastigheden på lasten i y-retningen ift. motorspændingen Small-scale kranopstillingen, med motorspænding ±12,5 V Matematisk lineær model der beskriver fysikken Prediktiv model Spænding på y-motor [V] Lasthastighed [m/s] Tabel 4.1. Modeloversigt for vertikal bevægelse Som det fremgår af tabellen, vil der blive bestemt en sammenhæng mellem spændingen på y-motoren og hastigheden på lasten i y-retningen. En illustration af lasten og de relevante kræfter ift. den vertikale bevægelse ses af gur Der vælges at regulere efter længden af lastwiren, da det er denne, der skal styres i den vertikale retning. Samtidig kan det antages, at denne længde er lig y-positionen, da der arbejdes med små vinkler, θ, til lasten. 36

49 L -F L -F L-y,L M L F b,l F g Figur Free-body diagram for lasten Notation til guren ses af tabel Notation Beskrivelse Enhed F L Kraften der virker på lasten via lastwiren [N] F L-y,L Den projekterede kraft fra wiren i y-retningen [N] F g Tyngdekraftpåvirkning på lasten. [N] F b,l Friktionskraft som påvirker svingningen af lasten. [N] Omfatter modstand i lejer og vindmodstand θ Vinklen på lasten målt ift. lodret og lastwiren. [rad] Rotation mod uret er deneret som positiv L Længden på wiren mellem last og slæde [m] M L Massen af lasten [kg] Tabel Notationsbeskrivelse for gur 4.12 Kraften for wiren til lasten, gur 4.12, løber igennem en trisse, inden den er ved tromlen og gearet, og sidst y-motoren. Trissen gør, at massen på lasten halveres, og at gearingen, og derved gearingskonstanten, bliver fordoblet. To nye variable deneres: M L,y = M L 2 N y,y = N y 2 (4.72) Kraften på wiren, F L, deneres til at gå den modsatte vej, da nedad ses som den positive retning. Derfor kan en ligning stilles op for accelerationen i den positive y-retning: M L,y ÿ = F L-y,L + F g [N] (4.73) Den projicerede kraft fra wiren omskrives: M L,y ÿ = F L cos(θ) + F g [N] (4.74) 37

50 Friktionskraften på lasten yder ikke et bidrag, da denne er ortogonal med kraften, der virker på wiren. For at udlede sammenhængen mellem lasten og påvirkningen fra y- motoren isoleres F L, da denne, som tidligere nævnt, er lig kraften, der kommer fra y- motoren gennem gearingen. Samtidig vides det fra ligning 4.21 på side 26 fra kinematikken, hvordan accelerationen i y-retningen udtrykkes: F L = M L,y ( sin(θ) (2 L θ + L θ) + cos(θ) ( L L θ 2 )) F g cos(θ) [N] (4.75) Vinklen på lasten antages at være lig nul. Dette gøres, da reguleringen i den horisontale retning skal holde vinklen lig nul. Samtidig ønskes der ikke at regulere på vinklen fra y-motoren, da det ikke er hensigtsmæssigt at regulere denne ud fra lastens position, men i stedet ud fra slædens. Udtrykket forkortes derfor til: F L = M L,y 1 L F g 1 [N] (4.76) Dette er dermed udtrykket for kraften, der påvirker lasten, som fremkommer ud fra momentet på motoren og gearingen. Dette moment, momentet på tromlen τ y,t, kan udtrykkes som: τ y,t = F L r 5,y [Nm] (4.77) Momentet på tromlen indgår i udtrykket for motormomentet, som kan ses i ligning 4.16 på side 24. Ved hjælp af denne ligning og ligningen for motorspændingen, ligning 4.3 på side 19, inkluderes gear og motor, og der opnås et udtryk af motorspændingen, hvor kraften, der påvirker lasten indgår: U y,a = R y,a K y ( B y,gear ω y,m + J y,gear ω y,m + r 5,y N y,y ( M L,y L F g ) ) + K ω y,m [V ] (4.78) Vinkelhastigheden på tromlen er proportional med den translatoriske hastighed af lastwiren og dermed også hastigheden af lasten i den vertikale retning. Dog er der en gearing på grund af trissen. Dermed er den også proportional med hastigheden på motoren. Dette er givet ved: ẏ =ω y,t r5,y [m/s] (4.79) 2 L =ω y,t r5,y [m/s] (4.8) 2 L =ω y,m r5,y [m/s] (4.81) N y,y Det gælder ligeledes for den tidsaedte. 38

51 Indsættes dette i ligning 4.78, ndes det ønskede udtryk med spænding på y-motor og hastighed af lastwiren: U y,a = R ( y,a B y,gear K L Ny,y + J y,gear y r L Ny,y + r ( 5,y M L,y 5,y r 5,y N L ) ) F g y,y + K y L Ny,y r y,5 [V ] Linearisering og Laplace-transformation af model (4.82) Ud fra ligning 4.82 kan der ikke opstilles en direkte overføringsfunktion for lastens hastighed ift. motorspændingen pga. det ulineære konstantled med tyngdekraften. Derfor lineariseres udtrykket så denne overføringsfunktion kan ndes i Laplace-domænet. Lineariseringer udføres efter proceduren beskrevet i afsnit på side 17, og vil her blive udført i grove træk. Den fuldstændige linearisering kan ses i appendiks C.3 på side 186. Der opnås en lineær approksimation givet ved: Uy,a = R ( y,a J y,gear Ny,y + M L,y r5,y r 5,y K y ( Ry,a + K y N y,y B y,gear Ny,y r 5,y + K y Ny,y r 5,y ) L ) L [V ] (4.83) Denne lineære approksimation virker omkring et arbejdspunkt, som er det stationære tilfælde. Dvs. det tilfælde hvor lasten i den ulineære model står stille positionsmæssigt. Ligning 4.83 Laplace-transformeres, og den ønskede overføringsfunktion for vertikal bevægelse af slæden ift. spændingen på y-motoren bliver: G v,y (s) = = L U y,a 1 ( ) R y,a K y J y,gear Ny,y r 5,y + M L,y r5,y N y,y s + ( Ry,a K y B y,gear Ny,y r 5,y ) + K y Ny,y r 5,y (4.84) Dette ender med en førsteordens overføringsfunktion, hvilket er ventet, da motoren giver anledning til et førsteordens system, og at gear og udveksling, grundet ideelle antagelser, ikke giver anledning til ere ordner. Indledende simulering På gur 4.13 ses en simulering af den fundne overføringsfunktion. Simuleringen er stepresponsen omkring arbejdspunktet, og det ses, at responsen har en førsteordens kurve. Kurvens op- og aadninger skyldes tidskonstanten i motoren. 39

52 .5.4 Sammenligning mellem ulineær og lineær model Ulineær model Lineær model.3.2 Last hastighed [m/s] Tid [s] Figur Indledende simulering med approksimerede værdier af den lineære model for den vertikale hastighed. Der er et lille oset på ulineær og lineær pga. tyngdekraft leddet som udgår under lineariseringen. Karakteristikken er en pæn 1. orden karakteristik, som forventet for en motor med gear. [CD Modeller/Vertikal/preliminary.m] Opsummering Der er nu foretaget modeludledning for de modeller, der er beskrevet i afsnit 4.1 på side 16. For den horisontale bevægelse er der i afsnit 4.5 på side 25 blevet udledt to lineære modeller udtrykt i Laplace-domænet. Disse modeller beskriver henholdsvis lastens svingning ift. slædens hastighed samt lastens bevægelse ift. motorspænding. Dertil er lastens påvirkning medregnet. Disse modeller er henholdsvis andenordens og tredjeordens modeller. For den vertikale bevægelse er der i afsnit 4.6 på side 36 udledt en førsteordens model, der beskriver lastens hastighed ift. motorspænding. I det næste kapitel vil der blive foretaget parameterestimering på disse tre modeller. Sidst vil modellerne blive valideret for at bekræfte, at modellerne er brugbare til det videre forløb. 4

53 Parameterestimering 5 I dette kapitel vil der blive foretaget parameterestimering på de tre modeller, der er blevet udledt i modelleringskapitel 4 på side 16. Dette vil blive gjort vha. SENSTOOLS, som er yderligere beskrevet i appendiks D på side Parameterestimeringsmetode Der er til projektet fastlagt en procedure for parameterestimeringen. Dette er for at sikre, at de fundne parametre er valide og i sidste ende, at modellerne beskriver det virkelige system bedst muligt. Proceduren skal ses som vejledende, og de tre trin er som følger: Først modelundersøgelse, dernæst kalibrering og sidst validering. Dette er nærmere beskrevet i nedenstående. Modelundersøgelse Identicer og fastsæt parametre Første skridt i parameterestimeringen er at identi- cere og fastsætte værdier for de parametre, som er kendte. For at bestemme de resterende ubekendte parametre, foretages der et kvaliceret gæt. Dette gæt skal afspejle eventuelle begrænsninger, som at en friktion skal være positiv. Foretag modelopdeling hvis muligt Ved parameterestimering er det en fordel at estimere over en simpel model, da færre parametre giver større parameterfølsomhed. Derfor bør modeller opdeles, og dele der kan udelades, bør udelades. Et eksempel kan være estimering for parametre til slæden og lasten. Bevæges slæden, hvor lasten ikke har mulighed for at svinge, bliver modellen af mindre orden og mere simpel at estimere parametre for. Kalibrering Udfør forsøg, der indsamler systemets dynamik Dette skridt skal indsamle kalibreringsdata for modellen, som bedst muligt viser systemets dynamik. Her kan SEN- STOOL's sensitivitets-program maininp benyttes. Parameterestimer på data via SENSTOOL Implementer den lineære og ulineære model i MATLAB eller SIMULINK, og fastsæt de kendte variable. Foretag 41

54 parameterestimering på de indsamlede data med SENSTOOL og dets program mainest på den lineære model. Der estimeres på den lineære, da det er denne som skal bruges ved den kommende designfase, og derfor denne der skal passe bedst med virkeligheden. Se appendiks D på side 188 for beskrivelse af SENSTOOL. Validering Vurder estimerede parametre ift. den virkelige verden Foretag vurdering af de fundne parametre, og sammenhold dem med antagelsen omkring det reelle system. En friktionskonstant kan eksempelvis ikke være negativ. Hvis parametrene ikke kan relateres til den reelle verden, er der enten en fejl i de respektive måledata, modellen eller selve forsøget. Sammenlign systemets respons med den lineære og ulineære model Med de fundne parametre, sammenlignes den lineære og ulineære model nu med systemets reelle respons, og deres afvigelse bestemmes ved ligning D.1 på side 189. En tommel- ngerregel omkring 25% afvigelse kan bruges, ellers bør en visuel inspektion af modeloutputtet give en klar indikation af, om de estimerede parametre og de udledte modeller passer. Udfør valideringsforsøg Med de fundne parametre skal der foretages yderligere forsøg. Disse forsøg kan være forskellige ramper, pludselige opbremsninger og lign. for at understøtte validiteten af parametrene og modellerne. Opstil endelig model ud fra valideringsdata Den lineære model sammenholdes med valideringsdataene, og det vurderes, som tidligere, om modellen er tilstrækkelig, og dermed om parametrene er brugbare. De endelige parametre indsættes, og den endelige overføringsfunktion opstilles. 5.2 Horisontal bevægelse I dette afsnit estimeres paramenterne til overføringsfunktionerne for den horisontale bevægelse. Overføringsfunktionerne beskriver tilsammen en model for forholdet mellem ankerspændingen på motoren til hastighed på slæden, samt slædehastighedens påvirkning af vinklen på lasten Modelundersøgelse Der fortages nu en modelundersøgelse, der har til formål at identicere de parametre, der skal estimeres på, og fastsætte de resterende. Efterfølgende undersøges, hvordan modelopdelingen laves mest hensigtsmæssig med henblik på parameterestimeringen. Identicering af parametre Den horisontal model er i ligning 4.71 på side 35, fundet til: K x r 5,x ( s 2 + β s + γ ) R x,a G v,x (s) = αs 3 + (α β + δ)s 2 + (α γ + δ β + ɛ γ) s + δ γ [ ] (5.1) 42

55 Hvor α = N x J x,tot B β = L M L L 2 γ = ḡ L δ = N x B x,tot + K2 x N x R x,a ɛ = r2 5,x M L N x Som beskriver slædens hastighed ift. motorspænding. Ligning 5.1 indeholder overføringsfunktionen for lastens svingninger, som i ligning 4.46 på side 3 blev fundet til: G θ (s) = 1 L s s 2 + B L M L L 2 s + ḡ L [ ] (5.2) For at beskrive den horisontale bevægelse, er der behov for at bestemme alle parameter i ligning 5.1. I tabel 5.1 er de kendte parameter opstillet. Disse er fundet ud fra måling på det fysiske system samt opslag i databladet til x-motoren. L er en målbar værdi, men er variable, og kan derfor ikke fastsættes præcist. For at understøtte denne variation, ønskes der en endelig overføringsfunktion, som funktion af L. Parameter Symbol Værdi Enhed Kilde Tyngdeacceleration g 9,81 [m/s 2 ] Fysisk konstant Motormodstand R a,x,43 [Ω] Datablad Motorkonstant K x,3 [Nm/A] Datablad Gearingskonstant N x 48/12 72/14 [-] Målbar Last masse M L 3,7 [Kg] Målbar Tromle radius r 5,x,79 [m] Målbar Wirelængde L - [m] Målbar Tabel 5.1. Kendte parameterværdier for horisontal model I tabel 5.2 er de ukendte parameter opstillet. Det er disse der skal estimeres på i den kommende parameterestimering. Parameter Symbol Begrænsning Friktion i den horisontale bevægelse B x,tot Friktionen skal være positiv Inerti i x-motor og gear J x,tot Inertien skal være positiv Friktion i svingning af last B L Friktionen skal være positiv Tabel 5.2. De ukendte parameterværdier for horisontal model, som skal ndes vha. SENSTOOL og en række eksperimenter. For at de estimerede værdier kan godkendes, skal de alle være positive. 43

56 Modelopdeling Som det ses af ligning 5.1, indgår hver parameter ere gange, og i forskellige led, og modellen har derved lav parameterfølsomhed. For at løse dette, skal modellen opdelles i 2 submodeller. I det kommende, vil to opdelinger bliver præsenteret, og vurderet. Opdeling 1 - Slæde og last adskilt I appendiks C.2, blev følgende lineære ligning fundet: ( Ux,a Rx,a J x,tot N x = s + R x,a B x,tot N x + K ) x N x ẋ s K x r 5,x K x r 5,x r 5,x R x,a r 5,x M L g θ (5.3) K x N x Dette er samme model som ligning 5.1, men før den er opstillet på overføringsform. Som det ses af ovenstående ligning, at hvis θ sættes til, hvilket svarer til lasten ikke er i svingninger, kan der ses bort fra dette led. Det er derved muligt at opstille en 1. ordens overføringsfunktion, der udelukkende beskriver slædens bevægelse, som hvis der ikke var hang en last i slæden. Derved indeholder modellen kun bidrag fra motor og gear, og selve svingningen af lasten, kan ses bort fra. Modellen bliver da: G v,x,noload (s) = K x r 5,x N x (K 2 x + R x,a (s J x,tot + B x,tot )) [ ] (5.4) Med denne reducerede udgave, vil det være muligt at parameterestimer på motor og gear. Ved at eftefølgende parameterestimer på ligning 5.2, kan parameter for svingninger bestemmes. Tilsidst kan disse parameter benyttes i 3. ordens modellen. Opdeling 2 - Iterativ parameter bestemmelse Den alternative opdeling, er via en iterativ metode, som tager udgangspunkt i de modeller opstillet i modelafsnittet. Her parameterestimeres der først på ligning 5.2 for at bestemme parameter for lastens svingninger. Dernæst parameterestimeres der på modellen i ligning 5.1, med parameteren fra første estimering indsat. Dette medfører at der skal estimeres på en 2. ordens og dernæst en 3. ordens model, men med færre parameter i den 3. ordens, end hvis det blev gjort direkte på den fulde model i ligning 5.1. Valg af opdeling Umiddelbart, ville opdeling 1 være den mest fordelagtige, da der her estimeres på en 1. ordens og 2. ordens model, og parameterne er hel adskilte. Forsøget vil dog være en anelse mere besværlig at udføre, da det vil være nødvendig, at montere ekstra masse på slæden, for at kompensere for lastens masse som elimineres, da denne masse påvirker friktionen for slæden. Desuden kræver forsøget, at lasten løftes eller fjernes fra portalkranen. Opdeling 1, har desuden den ulempe, at begge submodeller estimeres hver for sig, og tilsidst samles. Da modellen ikke modellere den fysiske verden fuldstændig, er det muligt der kan gå nogle dynamikker tabt i forbindelsen mellem slæde og last. Der vælges derfor at bruge opdeling 2, da der estimeres på den fulde model, men med nedsat antal ukendte parameter. På denne måde bliver der kompenseret for manglende model orden, og parameterne bliver justeret, således den opstillede model, passer bedst muligt til det fysiske system. 44

57 I det følgende vil opdeling 2, blive benyttet. Først foretages der et udringsningsforsøg, for at bestemme friktionen i lastens svingninger, og dernæst bestemmes gearings parameterne Udringningsforsøg til bestemmelse af B L Friktionen B L indgår i begge overføringsfunktioner og er den eneste ubekendte i ligning 5.2. Derfor estimeres denne først. Der estimeres ligeledes på længden, L, for at vericere estimeringen. Der er igennem forsøg 3A i appendiks G.3.1 på side 226 indhentet data til estimeringen. I dette forsøg er der påført x-motoren en enkelt puls, der resulterer i, at slæden laver et kort ryk og dermed sætter lasten i svingning. Denne udringning benyttes til at tilpasse B L på overføringsfunktionen. Inputtet til overføringsfunktionen er hastigheden på slæden, som kan ses af gur Input til udringning parameter estimering [Data: swaydata.mat].12.1 Hastighed på slæde [m/s] Tid [s] Figur 5.1. Inputsignal til estimeringen for B L. Der benyttes et meget kort signal for indledningsvis at sætte lasten i svingninger. Efter inputsignalet fastholdes slæden for at kun estimere på svingningerne af lasten. Script: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/sway.m] Data: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/swaydata.mat] Estimeringen hvor længden L og B L er tilpasset ses af gur 5.2. Det ses hvordan den lineære og ulineære model passer på de virkelige målinger med en afvigelse på hhv. 8 og 8,3 %. Der er estimeret på den lineære model, da det er denne, der skal arbejdes videre med. Efterfølgende er den fundne værdi indsat i den ulineære model. Dette er gjort, da den ulineære model er den, der passer bedst på virkeligheden og derfor den, der bedst beskriver, hvordan parametrene påvirker modellens afbildning af virkeligheden. Det ses, at B L er estimeret til 29, og længden, L, til,75 m. Den estimerede længde er 1,8 cm kortere end den målte, hvilket skyldes, at modellen estimerer længden til lasten og krogens massemidtpunkt. Dette punkt ligger højere end den målte længde, som måles til oversiden af lasten. Friktionskonstanten B L er positiv med en passende lav værdi. Med en estimeret længde, der stemmer overens med den reelle længde og en friktionskonstant, der syntes fornuftig, vurderes resultatet at være realistisk. Målinger og estimeringer er opsummeret i tabel

58 8 6 Model output lastvinkel [data: swaydata.mat] BL = 2.945e 2, L =.75 4 Vinkel [grader] Måling Ulineær model, errn = 8.3% Lineær model, errn = 8.% Tid [s] Figur 5.2. Estimering af B L og L. SENSTOOL er i stand til at nde parametre, der tter med 8 % afvigelse, hvilket hovedsagelig skyldes en modelafvigelse i starten af svingningerne, som modellen ikke understøtter. Script: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/sway.m] Data: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/swaydata.mat] Parameter Fastsat/målt Estimeret L,768 [m],75 [m] B L - 29, Tabel 5.3. Værdier for estimerede parametre Med dette bliver den endelige overføringsfunktion for hastighed på slæden til vinkel på lasten som følger: G θ (s, L) = θ ẋ s = 1 L s s L 2 s L [ ] (5.5) Ovenstående er noteret med variabel wirelængde, da denne parameter ikke vil være fast ved brug af kranen Stepforsøg til bestemmelse af B x,tot og J x,tot Med B L estimeret skal den samlede inerti J x,tot og den samlede friktion B x,tot nu estimeres. Dette gøres ved begge overføringsfunktioner G v,x og G θ. Modellen for lastsvingningen, G θ, er medtaget i estimeringen for at bringe følsomheden på L op. Til denne estimering bruges der data fra forsøg 3B i appendiks G.3.2 på side 226. Her køres slæden med last, i step skiftende imellem positiv og negativ bevægelsesretning. Ud fra dataene estimeres parametrene B x,tot, J x,tot, L og Kx. Modeloutputtet for estimeringen kan ses af gur

59 .5 Model output for slæde hastighed [data: stepa.mat] Bxtot = 7.951e 4, Jxtot = 2.13e 4, L = 1.1, Kx = 1.57e 2 Hastighed [m/s] Måling Ulineær model, errn = 8.6% Lineær model, errn = 8.2% Tid [s] 15 1 Model output for lastvinkel [data: stepa.mat] Måling Ulineær model, errn = 32.9% Lineær model, errn = 33.% Vinkel [grader] Tid [s] Figur 5.3. Estimering af B x,tot, J x,tot, L og Kx ud fra G v,x (s) og G θ (s). Der er dog overensstemmelse mellem model og virkelighed, dog har modellen ikke alle hurtige dynamikker med. Det vurderes dog som tilfredsstillende tæt på. Script: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/trolley.m] Data: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/stepA.mat] Der er her estimeret på L og K x, som begge er kendte parametre. Det ses, at længden L igen er kortere, akkurat som ved forrige estimering. Motorkonstanten K x har det været nødvendigt at estimere på, da forstærkningen i modellen ellers bliver for stor. Afvigelsen anses dog for at være af en sådan størrelse, at estimeringen og modellen stadig er realistisk. Friktionen og inertien, B x,tot og J x,tot, skal begge være positive samt relativt små. Forventningen omkring størrelsen på B x,tot bygger over forsøgsopstillingens brug af kuglelejer. Der er brugt kuglelejer til aastning af wiren. Ligeledes løber slæden med kuglelejer over drageren. I motoren og gearene er der brugt kuglelejer i alle omdrejningsakser, hvilket igen bidrager til en lav friktion. Værdien for B x,tot er estimeret til 795,1 1 6 og J x,tot til 21, Alle værdier er listet i tabel 5.4. Parameter Fastsat/målt Estimeret L 1,118 [m] 1,1 [m] K x,3 [-],15 [-] B x,tot - 795,1 1 6 [-] J x,tot - 21,3 1 6 [-] Tabel 5.4. Værdier for estimerede parametre 47

60 Estimeringen over slædehastigheden er som i forrige afsnit gjort på den lineære model, da det er denne, der skal tilpasses virkeligheden. Estimeringen for den lineære model og den ulineære med estimeringens parametre indsat afviger med henholdsvis 8,2 og 8,6 %, hvilket er under de tilladte 25 %. For vinklen er afvigelsen for den ulineære og lineære model hhv. 32,9 og 33 %. Det ligger over 25 %, men den samlede afvigelse for hele overføringsfunktionen fra ankerspænding til vinkel på last for den lineære model ender på 24,7 %, og estimeringen anses hermed for valid. Estimeringen fra SENSTOOL ses af gur 5.4, hvor dens modeloutput er plottet. 4 Normed system and model output 3 errn = 24.1 % 2 yr(k) and ymr(k) Sampling number Figur 5.4. Samlet afvigelse for den lineære model fra SENSTOOL. Den blå kurve er reelle data, og den stiplede, røde linje er estimeringen. Denne viser det samlede, normerede system og modeloutput, og derved den samlede modelafvigelse for både den 3. og 2. ordens model på 24,1% Script: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/trolley.m] Data: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/kalibrering/stepA.mat] Den endelige overføringsfunktion for ankerspænding til slædehastighed ses af ligning 5.6. G v,x (s, L) = ẋ s U x,a =,64 s 2 +,5 s + L 6,28 2 L s 3 + (,8 + 6,3)s L 2 + ( 12,4 2 L +,5 )s + L 61,9 2 L [ ] (5.6) Vericering af parameterestimeringen for den horisontale model Paramenterne vericeres ved at køre et varieret bevægelsesforløb i den horisontale retning. Forløbet gemmes og inputtet efterprøves over modellen med de fundne parametre. Den reelle outputhastighed på slæden og vinkel på lasten sammenlignes med outputtet fra modellen og overføringsfunktionen. De to forskellige output ses af gur

61 Spænding på x motor [V] Hastighed [m/s] Input til validering Tid [s] Model output for slæde hastighed [data: validate3.mat] Måling Lineær model, errn = 14.5% Tid [s] 4 Model output for lastvinkel [data: validate3.mat] Vinkel [grader] 2 2 Måling Lineær model, errn = 28.7% Tid [s] Figur 5.5. Samlede valideringsdata. Modellen følger systemet tilfredsstillende, den mangler dog nogle dynamikker, som forventes at skyldes modellen af lasten. En højere modelorden, ville muligvis kunne forbedre modellen og få de sidste dynamikker med. Script: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/validate/analyse.m] Data: [CD Forsoeg/3_Horisontalparest/validate/validate3.mat] Som det ses, er afvigelsen for overføringsfunktionen fra motorspænding til hastigheden af slæden med det givne input 14,5 %. Den lave afgivelse, sammenholdt med hvor godt modellen følger virkeligheden, indikerer, at parameterestimeringen er god. Overføringsfunktionen fra hastighed til vinkel har en afvigelse på 28,7 %, og det ses, at vinklen i modellen er sløv i forhold til den virkelige vinkel. Vinkelen er specielt sløv ved hurtige retningsskift, som ville kunne beskrives bedre af en model af højere orden. Det noteres dog, at modellen i vid udstrækning tilsvarer virkeligheden, og det vurderes derfor, at estimeringen af paramenterne er brugbare. Hermed betragtes parameterestimeringen som valideret. 49

62 5.3 Vertikal bevægelse I dette afsnit estimeres parametrene til overføringsfunktionerne for den vertikale bevægelse. Den vertikale model, som blev udledt i ligning 4.84 på side 39, blev fundet til: L U y,a = 1 ( ) R y,a K y J y,gear Ny,y r 5,y + M L,y r5,y N y,y s + ( Ry,a K y B y,gear Ny,y r 5,y + K y Ny,y r 5,y ) (5.7) Ligningen har to ubekendte variable, som er henholdsvis friktionskonstanten, B y,gear og inertimomentet for gearene, J y,gear. Resten af parametrene er kendte fra datablade og fysiske konstanter. Værdierne til estimeringen er angivet i tabel 5.5. Parameter Symbol Værdi Enhed Kilde Tyngdeacceleration g 9.81 [m/s 2 ] Fysisk konstant Motormomentkonstant K y,3 [Nm/A] Datablad Motormodstand R y,a,43 [W] Datablad Gearingskonstant N y,y 48/12 6/1 2 = 48 [-] Målbar Last masse M L,y 3.7/2 = 1,85 [Kg] Målbar Tromleradius r 5,y,49 [m] Målbar Wirelængde L,77 [m] Specik for denne test Tabel 5.5. Kendte parameterværdier for vertikal model De ukendte parametre, der ønskes estimeret, ses af tabel 5.6. Parameter Symbol Begrænsning Gear friktion B y,gear Skal være positiv Gear inertimoment J y,gear Skal være positiv Tabel 5.6. Ukendte parametre for vertikal model Senere design af regulatorer til forsøgsopstillingen vil blive gjort over lineære modeller, og der estimeres derfor parametre ud fra disse. Da modellen er af første orden, er det ikke muligt at foretage nogen modelopdeling. Til estimeringen for y-motoren benyttes en stepfunktion som inputsignal. Frekvensen af signalet er valgt således, at hele stigningen af modellen medtages. Inputsignalet er valgt til +6,3 V og 4,8 V grundet dødzonen som beskrevet i afsnit 4.3 på side 18. Dette betyder, at den reelle spænding på motoren er ± 1 V, mens inputtet til modellen kun er +6,3 V og 4,8 V. Dette forsøg er beskrevet i forsøg 4A i appendiks G.4 på side 229. Outputtet fra forsøget ses i gur 5.6. Figuren viser lastens hastighed i y-retningen, med det blå plot. Ved brug af SENSTOOL foretages der parameterestimering i forhold til det målte signal. Der estimeres for parametrene B y,gear og J y,gear med et fælles startgæt på,5. Parameterestimeringen for den lineære model ses af gur

63 .25.2 errn = 8.3 % System og model output [Data: measvertical.mat].15 y(k) og ym(k) [m/s] Måling Lineær model (Bgear = 2.1e 4, Jgear = 5.7e 4) Sampling nummer Figur 5.6. Parameterestimering på den lineære model. Der er et oset på målingerne og den lineære model. Dette skyldes tyngdekraftpåvirkningen som den lineære model ikke indeholder. Den asymmetriske dødzone har kompenseret en smule, men der er stadig et lille oset. Script: [CD Forsoeg/4_vertikalparest/kalibrering/parest.m] Data: [CD Forsoeg/4_vertikalparest/kalibrering/measvertical.mat] Af guren ses en afvigelse på 8,3 % mellem den lineære model og det målte. Modellen synes at følge systemet, men der ses et negativt oset. Dette skyldes lineariseringen, hvor tyngdekraftpåvirkningen er lineariseret væk og dermed ikke er med i den lineære model. En del af osettet er dog formindsket grundet den asymmetriske dødzone for y-motoren, som også skyldes tyngdekraften. Selvom osettet ikke er helt elimineret, vurderes modellen som værende tilstrækkelig, da den følger systemet godt hvad angår rime time og lign. De fundne værdier for B y,gear og J y,gear er begge positive og tilstrækkeligt lave som forventet, og de vurderes derfor til at være troværdige. De fundne værdier ses i tabel 5.7 Parameter Symbol Estimation Friktionskonstant B y,gear, Inertimoment J y,gear, Tabel 5.7. Estimerede parametre Vericering af parameterestimeringen for den vertikale model For at sikre, at parametrene er brugbare, og at modellen fungerer til mere end dette forsøg, udføres der endnu et. Dette er gjort med et varieret bevægelsesmønster, som er efterprøvet over modellen, akkurat som ved vericering af den horisontale model fra forrige afsnit. Modellens output samt det reelle output ses af gur 5.7. Der benyttes de samme parametre til både den lineære og ulineære model. 51

64 .25 Validering af modeller for vertikal bevægelse Last hastighed [m/s] Måling Lineær model. Errn = 21.6% Ulineær model. Errn = 18.2% Tid [s] Figur 5.7. Validering af model. Modellen følger tilfredsstillende virkeligheden, dog er modellen en anelse hurtigere end målingerne. Det vurderes dog at kunne bruges til den kommende regulering, og stadig være repræsentativ. Script: [CD Forsoeg/4_vertikalparest/validering/plotdata.m] Data: [CD Forsoeg/4_vertikalparest/validering/validate.mat] Fejlprocenten fra SENSTOOL er 21,6 % og 18,2 % for henholdsvis den lineære og ulineære model. Med disse fejlprocenter samt forløbet af modellen over overføringsfunktionen, vurderes de fundne parametre til at være valide. Parametrene, angivet i tabel 5.7, fastsættes derfor som de endelige parametre for den vertikale model. Den endelige overføringsfunktion bliver derfor som følger: L U y,a = 1 8,3 s + 32,34 =,3,25 s + 1 (5.8) Ligning 5.8 udtrykker en overføringsfunktion med bestemt masse, men da denne kan variere, ønskes der en overføringsfunktion med denne parameter. Overføringsfunktionen, hvor lasten er inkluderet, bliver som følger: G v,y (s,m L ) = L U y,a 1 = (8 +,2 1 2 M L)s + 32,34,3 = (,25 +, M L)s + 1 (5.9) (5.1) Som det ses, afhænger overføringsfunktionen meget lidt af lastens masse. Derfor vælges den simplere funktion i ligning 5.8 som overføringsfunktion for den vertikale bevægelse. 52

65 Kravspecifikation 6 I dette kapitel vil der blive opstilles en række krav til regulatorsystemerne. Dette gøres for at imødekomme de funktionelle krav, som blev beskrevet i afsnit 2.5 på side 1. Forsøgsopstillingens mekaniske egenskaber blev undersøgt i foranalysen, og der blev opstillet modeller for systemet. Disse modeller samt de funktionelle krav vil blive brugt i forbindelse med udarbejdelsen af en accepttestspecikation, som det endelige system, med implementerede regulatorer, skal testes op imod. Parametrene, der opstilles krav for, er dynamiske reguleringsparametre, hvis denition kan ndes i Franklin, Powell and Emami- Naeini [21]. 6.1 Funktionelle krav Den generelle problemformulering, som ses i afsnit 3 på side 15, beskriver et ønske om to forskellige typer af styringer. Den ene er en manuel styring af kranen, hvor hastigheden af lasten reguleres, mens den anden er en automatisk styring, hvor positionen af lasten reguleres. Svingninger for lasten og vinklen for lastwiren skal i begge tilfælde holdes minimale. Ved at minimere svingninger for lasten antages det, at vinklen er nul, hvilket gør, at positionen af slæden er lig positionen af lasten i de horisontale retninger. Dette gør ligeledes, at de to hastigheder er tilnærmelsesvis ens. Med antagelsen omkring at vinkelen er lig nul, samt at position og hastighed for slæden og lasten er ens, kan reguleringskravene for den horisontale styring laves for slæden og ikke lasten. Dette ønskes, da de opstillede modeller beskriver slæden og ikke lasten. Der ønskes ultimativt, at kranen funktionelt kan manøvrere en last igennem en bane med forhindringer. Dette krav gælder for begge styringer. Den endelige bane vil blive opstillet i accepttestspecikationen på side Reguleringskrav Kravene opstilles separat for de to forskellige typer styringer og opdeles yderligere i krav for den horisontale og vertikale orientering. Kravene er til styringens dynamiske parametre, og de beskriver dermed, hvordan regulatorerne skal dimensioneres. 53

66 Der opstilles krav til følgende parametre: ˆ Referencen ˆ Rise time ˆ Settling time ˆ Overshoot ˆ Steady-state fejl ˆ Maksimal lastwireudsving Kravene er blandt andet opstillet ud fra forsøg, som er udført på forsøgsopstillingen, se appendiks G.2 på side 222. Dette er gjort for at tilpasse og optimere kravene til smallscale kranopstillingen, hvorfor nogle af de kommende argumentationer kun er gældende for small-scale kranen. Udover de fem første reguleringstekniske krav, er der yderligere indført et krav om en maksimal lastacceleration på 1,1 G. Denne accelerereration er vinkelret på lasten og svarer dermed til radialaccelerationen. Med kravet til lastaccelerationen, er der i appendiks E på side 19 beregnet et maksimalt vinkeludsving på ± 18,2 grader. Udledningen viser, at kravet til vinklen kan bestemmes uafhængigt af wirelængden, og vinkelkravet er dermed gældende for alle fremtidige tests. Nogle af nedenstående krav er afhængige af referenceændringen r, og af denne grund er de nedenstående krav implementeret som en funktion i getregdemand.m Hastighedsstyring Der vil i det følgende afsnit blive sat en række krav til hastighedsstyringen. Inputtet til styringen kommer i form af brugeren og kranens joystick. Referencen er dermed brugerens ønske om en hastighed til lasten og slæden. Referencen fremkommer ved, at brugeren bevæger joysticket i en retning. Holdes joysticket i en fast position, giver joysticket en fast hastighed. Som brugeren interagerer med systemet, er det brugerens visuelle vurdering, om han ønsker at ytte lasten yderligere i forhold til den position, som han havde i tankerne. Derfor er det brugerens indirekte opgave at øge eller slække hastigheden ud fra positionen. Med denne konstatering tillades der en steady-state fejl og et overshoot, da brugeren formodes at regulere hans ønske, som lasten løbende bevæger sig. Horisontal Kravene til den horisontale hastighedsregulering er givet i tabel 6.1. Den maksimale hastighed på slæden, som er fundet i appendiks G.2 på side 222, er brugt til at bestemme kravet for referencen. Dette gælder ligeledes for kravene til settling time og rise time. Ud fra den maksimale acceleration ndes den hurtigste tid, hvorved den maksimale hastighed kan opnås. Denne tid er givet ved: v max a max = 1,7 m/s 1,33 m/s2 =,8 s (6.1) Det skal bemærkes, at denne tid er en best case-tid, da accelerationen ikke kan ændres momentant. Derudover skal der tages højde for, at slædens hastighed også reguleres ud fra, at vinklen skal holdes i nul. Med disse iagttagelser ændres kravene til rise time og settling time. 1 Se include/getregdemand.m 54

67 Parameter Krav Forklaring Reference ±,7 m/s Er valgt til at skulle være,1 m/s mindre end den maksimale hastighed, så det er muligt at regulere hastigheden for at undgå svingninger i lasten Rise time 1,5 s Er valgt passende højere end den i ligning 6.1 beregnede minimumstid (9 %) Settling time (2 %) 1,7 s Er valgt passende højere end den i ligning 6.1 beregnede minimumstid (11 %) og den fastsatte rise time Overshoot 1 % Der tillades som forklaret overshoot, og dette vælges til 1 % Steady-state fejl 1 % Der tillades som forklaret steady-state fejl, og denne vælges til 1 % Lastudsving 18,2 grader På baggrund af den maksimale lastacceleration på 1,1 G, ndes det maksimale vinkeludsving til 18,2 grader Tabel 6.1. Krav til hastighedsstyring i den horisontale retning Vertikal Kravene til den vertikale hastighedsregulering er givet i tabel 6.2. Der er opgivet to værdier for referencen. Dette skyldes tyngdekraften og dens belastning på motoren, hvor motoren er hurtigere til at sænke lasten sammenlignet med at hæve lasten. For mere information, se appendiks G.2 på side 222. Med to forskellige hastigheder bliver der ligeledes to forskellige tider for, hvor hurtigt den maksimale hastighed kan opnås. For hævning er tiden: v max a max =,22 m/s,28 m/s2 =,8 s (6.2) Og for sænkning er tiden: v max a max =,3 m/s,45 m/s2 =,7 s (6.3) Ligning 6.2 for hævning af lasten er den langsomste af de to, og denne vælges som baggrund for kravene listet i følgende tabel: 55

68 Parameter Krav Forklaring Reference -,22 til +,3 m/s Er valgt til maksimumshastigheden for hævning og sænkning af lasten, da denne ikke skal regulere på svingninger i lasten Rise time 1,2 s Er valgt passende højere end den i ligning 6.2 beregnede minimumstid (5 %) Settling time (2 %) 2,4 s Er valgt passende højere end den i ligning 6.2 beregnede minimumstid (2 %) og den fastsatte rise time Overshoot 1 % Der tillades som forklaret overshoot, og dette vælges til 1 % Steady-state fejl 1 % Der tillades som forklaret steady-state fejl, og denne vælges til 1 % Lastudsving 18,2 grader På baggrund af den maksimale last acceleration på 1,1 G, ndes det maksimale vinkeludsving til 18,2 grader Tabel 6.2. Krav til hastighedsstyring i den vertikale retning Positionsstyring Der vil i dette afsnit blive deneret en række krav til positionsstyringen, ligeledes for den horisontale og den vertikale retning. I positionsstyringen er referencen en ønsket position. Denne position ønskes at være præcis, således at lasten placeres det korrekte sted. Med dette præcisionskrav tillades der derfor ingen steady-state fejl. Med angivelsen af en position kan et eventuelt overshoot resultere i en kollision med andre objekter. Overshoot er derfor kun tilladt i et meget lille omfang. I de følgende to afsnit fastsættes specikke krav, som regulatorerne senere skal overholde. Kravet om et maksimalt vinkeludsving for lastwiren på ± 18,2 grader er ligeledes gældende for positionsstyringen. Horisontal Kravene til positionsstyringen adskiller sig fra kravene til hastighedsstyringen. Ønskes der en reference på 4 m, og slæden er i position (;*), vil x-motoren være i mætning en del af tiden, såfremt der bruges en aggressiv regulator. Denne ulinearitet gør, at der ikke kan fastsættes en bestemt rise eller settling time. Bestemmelse af krav for rise og settling time For at imødekomme dette udledes der en funktion, der beskriver, hvor lang tid det minimum tager for slæden at bevæge sig x meter. Ud fra forsøg 2A er der i Xmovementtime.m 2 blevet foretaget en tilpasning til bevægelsestiden som funktion af bevægelseslængden for den horisontale bevægelse. Slæden accelererer for til sidst at indtage en konstant hastighed. Derfor er funktionen estimeret ved brug af to funktioner, hvor første del beskrives med et andenordenspolynomium 2 Se Forsoeg/2_Performance/Xmovementtime.m 56

69 og sidste del med et førsteordenspolynomium ved konstant hastighed. I gur 6.1 ses denne estimering. Funktionen f x ( r) ses af ligning 6.4, hvor r er referenceændringen ift. slædens nuværende position. 6 Bevægelsestid som funktion af positionsændring [v() = m/s] 5 Bevægelsestid [s] Måling fra forsøg 2A 1 Fitted stykkevis funktion Rise time Settling time abs(delta reference) Figur 6.1. Bevægelsestid som funktion af bevægelseslængden for den horisontale retning, samt estimeret forskrift for målingerne. Rise- og settling time er desuden vist som funktion af den estimerede funktion. Script: [CD Forsoeg/2_Performance/Xmovementtime.m] Data: [CD Forsoeg/2_Performance/max_xout.mat] f x ( r) = {,92 r +,4 hvis r >,45 1,82 r 2 + 2,39 r +,7 hvis r,45 (6.4) Da dette projekt omhandler design af lineære regulatorer, hvor rise time teoretisk er ens for alle referenceændringer, kan der typisk fastsættes ét fast rise time og settling time krav. Men pga. den ulinearitet, der kan opstå, hvis x-motoren er i mætning i noget af dens bevægelse, deneres rise time og settling time ud fra f x ( r) sammen med et konstantled. Dette sikrer, at en lineær regulator vil være i stand til at overholde kravene, også selvom systemet går i mætning under en del af aktueringen. Bemærk, at denne approksimation for at medtage mætningen i kravene kun er gældende inden for det angive operationsområde. Hvis operationsområdet blev udvidet, ville den minimale tid skulle tælle med 1 %, men ingen for operationsområdet, og i betragtning af, at regulatorerne lineære, er approksimationen acceptabel. Rise time er deneret som tiden mellem systemet har nået 1 % og 9 % af sin referenceændring. På baggrund af denne denition kan den minimale rise time udregnes som: RT x,min ( r) = f x ( r,9) f x ( r,1) (6.5) 57

70 Ud fra gur 6.1 ses det, at minimumstiden for at r = 4, er cirka 4 s, og rise time kravet deneres derfor som: RT x ( r) = 4 + RT x,min ( r),1 (6.6) Der vælges at benytte 1 % af den minimale rise time for at kompensere for eventuel mætning. Ligeledes kan settling time bestemmes som: ST x ( r) = 5,5 + f x ( r,98),1 (6.7) Hvor den minimale settling time ndes som tiden for at bevæge sig 98 % af r, da settling time deneres inden for et 2 % interval af r. Der vælges at benytte 5,5 sekunder som konstantled, som er et gæt ift. rise timen. Rise og settling time er ligeledes plottet i gur 6.1. Ud fra ovenstående fastsættes der derfor følgende krav til den horisontale positionsstyring, som ses af tabel 6.3. Værdierne til tabellen er under antagelse af, at den maksimale referenceændring er 4 m. Parameter Krav Forklaring Reference 4 m I den horisontale retning kan lasten opnå positioner i det i appendiks A denerede koordinatsystem Rise time 4,3 s Er udregnet efter ligning 6.6. Ønskes dog så lav som mulig Settling time (2 %) 5,9 s Er udregnet efter ligning 6.7. Ønskes dog så lav som mulig Overshoot 5 % Der tillades et mindre overshoot på 5 % af r. Steady-state fejl Ingen Der tillades ikke en steady-state fejl Lastudsving 18,2 grader På baggrund af den maksimale lastacceleration på 1,1 G, ndes det maksimale vinkeludsving til 18,2 grader Tabel 6.3. Krav til positionsstyring i den horisontale retning for r = 4 m Vertikal Kravene til den vertikale positionsregulering er givet i tabel 6.4. Ligesom for den horisontale positionsstyring ndes der en funktion, der beskriver tiden for et positionsskifte. Udledningen er udført som før og udelades derfor her. I gur 6.2 ses den fundne funktion f y ( r), som er beskrevet i ligning

71 7 Bevægelsestid som funktion af positionsændring [v() = m/s] 6 Bevægelsestid [s] Måling fra forsøg 2B (Retning: op) Fitted stykkevis funktion 1 Rise time Settling time abs(delta reference) Figur 6.2. Bevægelsestid som funktion af bevægelseslængden for den vertikale retning, samt estimeret forskrift for målingerne. Rise og settling time er desuden vist som funktion af den estimerede funktion. Script: [CD Forsoeg/2_Performance/Ymovementtime.m] Data: [CD Forsoeg/2_Performance/perYop.mat] { 4,58 r +,27 hvis r >,7 f y ( r) = 41,56 r 2 + 1,9 r +,8 hvis r,7 (6.8) 4,58 r +,27 (6.9) Da den maksimale hastighed nås inden for,7 m, approksimeres f y ( r) til et førsteordenspolynomium. Som for kravene til den horisontale positionsregulering, deneres rise time og settling time som funktion af f y ( r). Ved den vertikale position sættes der dog strengere krav, og det antages derved, at systemet er i mætning i en længere periode end ved den horisontale. Derfor benyttes 5 % af f y ( r) med et konstant oset. Rise time og settling time deneres derfor som følgende, hvor konstantleddene er gæt. Der gælder samme begrænsning med operationsområdet som for den horisontale positions reguleringskrav. RT y ( r) = 3 + (f y ( r,9) f y ( r,1)),5 (6.1) ST y ( r) = 4 + f u ( r,98),5 (6.11) I tabel 6.4 er der opstillet krav hvor r = 1,14 m. 59

72 Parameter Krav Forklaring Reference,33-1,47 m I den vertikale retning kan lasten opnå positioner i det i appendiks A denerede koordinatsystem Rise time 5,1 s Er udregnet efter ligning 6.1. Ønskes dog så lav som mulig Settling time (2 %) 6,7 s Er udregnet efter ligning Ønskes dog så lav som mulig Overshoot 5 % Der tillades som forklaret et mindre overshoot. Steady-state fejl Ingen Der tillades ikke en steady-state fejl Lastudsving 18,2 grader På baggrund af den maksimale lastacceleration på 1,1 G, ndes det maksimale vinkeludsving til 18,2 grader Tabel 6.4. Krav til positionsstyring i den vertikale retning baseret på f y ( r) med r = 1,14 m 6.3 Studieordningskrav Foruden de krav, der indirekte stilles af problemformuleringen og den reelle forsøgsopstilling, er der ligeledes krav fra studieordningen. Studieordningens krav er her listet. ˆ Der skal dimensioneres frekvensdomænebaserede og tilstandsbeskrevne regulatorer ˆ Frekvensdomænemetoden, den klassiske metode, skal benytte håndtuning, bodeplot og root-locus som designværktøjer ˆ De tilstandsbeskrevne regulatorer skal som minimum have en regulator med feedforward og observer ˆ Alle regulator udformes som lineære regulatorer Disse krav inddrages i projektet på samme måde som de funktionelle krav. 6.4 Operationsområde Der er igennem foranalysen lavet forskellige forsøg, der alle beskriver forsøgsopstillingens operationsområde samt dens begrænsninger. Disse er listet i tabel 6.5 som en opsummering til det videre designforløb. 6

73 Parameter Krav Forklaring Motorspænding 12,5 V Inputtet til de to motorer kommer fra forsøgsopstillingens pc. Spændingen kommer via I/Okortet og senere eektforstærkerne. I/O-kortet leverer 1 V og eektforstærkerne 12,5 V. Overføringsfunktionen for spændingen er fundet i appendiks G.1 på side 23. Horisontal position - 4 m Dragerens samlede længde er 4 m som beskrevet i afsnit 2.1 på side 5. Overskrides dette område, afbrydes strømmen til motoren via endestop, hvilket medfører ulinearitet. Vertikal position,33-1,44 m Som beskrevet i afsnit 2.1 på side 5, er kranen i stand til at ytte en last fra,33 m til 1,44 m. Der er ligeledes monteret endestop til denne retning. Udsving ±45 grader Ved udsving over ±45 grader er vinkelsensoren ikke længere i stand til at måle vinklen korrekt. Lastvinklen skal derfor holdes under ±45 grader. Maksimal hastighed 1 m/s &,2/,3 m/s Som undersøgt i forsøg 2 på side 8 blev de maksimale hastigheder fundet til 1 m/s for den horisontale og henholdsvis,2 og,3 m/s for den vertikale. Lastmasse 2-7 kg Kranen er i stand til at løfte omkring 7 kg. Derudover skal den lastes med minimum 2 kg for at wiren til vinkelsensoren er tilstrækkelig stram. Vægten er inklusiv krog. Tabel 6.5. Opsummering af operationsområde samt begrænsninger for forsøgsopstillingen Dette opsummerer rammerne for, hvilke krav, der sættes til design af regulatorerne. Kravene er listet for at imødekomme de forskellige funktionelle krav, der blev fundet i foranalysen. Kravene er ligeledes bestemt ud fra de fysiske begrænsninger, som systemet og forsøgsopstillingen har. Sidst blev der listet studieordningskrav, der forskriver hvilke regulatorer, der skal indgå i designet. Med kravene for dette afsnit er det nu muligt at fastsætte, hvorledes disse skal vericeres ved en endelig accepttest. 61

74 Accepttestspecifikation 7 Den endelige accepttest skal vericere, at systemet og de designede regulatorer lever op til kravspecikationen fra forrige kapitel. Accepttesten er opdelt i to hovedtemaer, hvor første tema beskæftiger sig med de specikke reguleringstekniske krav i form af vericering af rise time, overshoot og lignende. Anden del beskæftiger sig med funktionelle applikationskrav, som har sin oprindelse fra den oprindelige problemstilling omkring lastning og losning af containere. 7.1 Test af regulatorer Første del af accepttesten skal teste de designede regulatorer ud fra de reguleringsmæssige krav. Disse krav er opstillet i kravspecikationen og omfatter rise time, settling time, overshoot, steady-state fejl og maksimal vinkeludsving. Disse krav skal testes i en række forsøg med referencen givet som step af forskellige størrelser til forskellige tidspunkter. Med krav til referencen og kranens operationsområde udføres der ligeledes test af forskellig sammensætning for at teste disse. Forneden listes krav og specikationer til de kommende test. Der skelnes ikke mellem klassiske og tilstandsbeskrevne regulatorer. Alle forsøg udføres til deres respektive regulatorer og sammenlignes senere. Lastvægt Hver af de nedenstående test vil blive udført med to forskellige laster på henholdsvis 3,7 kg og 6,8 kg, hvilket er den totale vægt af lasten, inklusive krog. Disse størrelser er valgt, da det er de vægtklodser, der er lettilgængelige. Horisontale test I de horisontale test har wirelængden stor betydning for systemets respons, da wirelængden bestemmer lastsvingningernes frekvens. Der vælges derfor at udføre alle forsøg med tre forskellige wirelængder, som er henholdsvis 1,4 m, 1,1 m og,5 m. Disse er valgt for at teste, om regulatorerne fungerer, når lasten er næsten så højt oppe som muligt og derved svinger ved en høj frekvens, og når lasten er ved sit leveringspunkt og svinger ved en lav frekvens. Længden på 1,1 m er desuden valgt, da dette har været arbejdspunktet under parameterestimeringen, og derfor her, at modellen burde passe bedst. 62

75 7.1.1 Horisontal hastighedsregulering Denne test skal validere, at hastighedsregulatorerne opfylder de opstillede krav i hele referenceområdet. Det er ikke muligt at dække alle referencer, og derfor udvælges der to referencer, der anses som dækkende. Der vælges at benytte maksimalreferencen på,7 m/s, og der vælges at benytte,2 m/s for at teste systemet ved langsom bevægelse. For at teste i begge bevægelsesretninger vælges det at lade slæden bevæge sig med en reference i 4 sekunder for derefter at skifte til negativ reference og bevæge sig i modsat retning. Dette tester desuden hastighedsregulatorens mulighed for at dæmpe svingninger ved referenceskifte. Hver test skal foregå automatisk ved at påsætte et step med følgende karakteristik: ˆ Reference på m/s i 3 sekunder ˆ Referenceændring til,2 i 8 sekunder eller,7 m/s i 4 sekunder ˆ Referenceændring til -,2 i 8 sekunder eller,7 m/s i 4 sekunder ˆ Referencen sættes til m/s, og efter 5 sekunder afbrydes testen Der måles på alle sensorer og referencen, som gemmes til senere analyse Horisontal positionsregulering Positionsreguleringen skal, ligesom hastighedsreguleringstesten, validere, at regulatoren kan overholde kravspecikations krav i hele referenceområdet. Der udvælges 3 forskellige referencer, der dækker området tilfredsstillende. Der vælges at benytte step på 1, 2 og 3 m. Det er vigtigt at afprøve ere forskellige referencer, da regulatoren skal være robust over for lastens svingninger, som vil være forskellige alt efter referencen. Disse test udføres med en wirelængde på henholdsvis,5, 1,1 og 1,4 m. Dette betyder, at der skal udføres i alt 3x3x2 = 18 forsøg på den horisontale hastighedsregulering. Dette er illustreret på gur 7.1. Hver test skal foregå automatisk og foretages ved at påsætte et step med følgende karakteristik: ˆ Slæden placeres i en horisontal position på,5 m ˆ Reference på,5 m i 3 sekunder ˆ Referenceændring til 1,5, 2,5 eller 3,5 m ˆ Testen afbrydes Der måles på alle sensorer og referencen, der gemmes til senere analyse. Dette udføres for alle seks forskellige kongurationer af lastmasse og wirelængde. 63

76 L Last [Bevægelse] Symbol Start (x;y) Slut (x;y) Figur 7.1. Illustration for test af krav til hastighedsstyring for horisontal bevægelse Vertikal hastighedsregulering Den vertikale hastighedsreguleringstest kan udføres i færre forsøg end den horisontale. Dette skyldes, at positionen af slæden ikke har betydning for den vertikale regulator. Ved den hurtige hastighed benyttes der dog forskellige referencer alt efter retningen pga. det asymmetriske referenceområde. Dette er illustreret i gur 7.2. Testen inddeles derfor i henholdsvis en hurtig og langsom test, som det fremgår af nedenstående: ˆ Reference på m/s i 1 sekund ˆ Referenceændring til,1 eller,3 m/s i 3 sekunder ˆ Referenceændring til -,1 eller,2 m/s i 3 sekunder ˆ Referencen sættes til m/s, og efter 4 sekunder afbrydes testen L [Bevægelse] Last Symbol Start (x;y) Slut (x;y) Figur 7.2. Illustration for test af krav til hastighedsstyring for vertikal bevægelse Vertikal positionsregulering Den sidste test skal teste den vertikale positionsregulering. Denne opdeles ligeledes i to dele; et stort referenceskift og et lille. 64

77 ˆ Lasten placeres i en vertikal position på 1,3 m ˆ Reference på 1,3 m i 3 sekunder ˆ Referenceændring til,5 eller 1, m i 8 sekunder ˆ Referenceændring til 1,3 m ˆ Efter 15 sekunder afbrydes testen Alle sensorer logges, og dataene gemmes til senere analyse. 7.2 Funktionelle test Igennem dette projekt er der arbejdet med et design af en portalkran i skala 1:25 ud fra en problemstilling omkring losse- og lastetiden for containerskibe og den sikkerhed, der er tilknyttet den problematik. I rapportens indledning, afsnit 1 på side 1, blev der henvist til en række undersøgelser, hvor man har optimeret hastigheden med op til 62 % for en kranfører [Khalid et al., 24], der styrer en last med automatisk styring, altså et system magen til det, der er udarbejdet i rapporten. Undersøgelserne er udført på en udendørs portalkran i størrelsen 6x9x42 m, hvor et objekt er ført igennem to forskellige baner, se gur 7.3 og 7.4. Last Slut Lang rute Kort rute Last Slut Lang rute Kort rute Start Start Figur 7.3. Endelig accepttestbane fra indledningskapitlet. Bane nummer 1 Figur 7.4. Endelig accepttestbane fra indledningskapitlet. Bane nummer 2 Den ene bane, bane nummer 2, vil som i noten danne grundlag for den funktionelle test, hvilket gør det muligt at vurdere generelle gennemløbstider og performance for det udarbejdede system. Systemet kan samtidig løst sammenlignes med systemet fra noten Hastighedsregulering Der skal som beskrevet i kravspecikationen testes for manuel hastighedsstyring og automatisk positionsstyring. Disse to styringsformer testes ift. en bane lignende bane nummer 2 fra noten, [Khalid et al., 24]. Banen der er konstrueret til dette formål, kan ses af gur

78 3cm Slut 2cm 3cm Lang rute Kort rute Last 25cm 25cm Start 2cm 18cm 3cm 3cm 3cm 3cm 2cm Figur 7.5. Funktionel accepttestbane nummer 2 med dimensioner. Banen er genereret ud fra en lignende bane fra en note omkring samme emne, og har til formål at teste styringen i nogle svære situationer [Khalid et al., 24] Denne bane bruges til manuel hastighedsstyring og automatisk positionsstyring. Banen starter i boksen i højre hjørne og slutter i boksen i midten. Der er to forskellige ruter, en kort og en lang, hvor den korte rute er mere kompleks ved en skrå bevægelse. Lasten, der skal føres rundt i banen, må ikke bryde den ydre ramme og må ikke ramme de sorte barrierer. Gennemløbstiden starter, når lasten føres ud af startboksen og slutter, når lasten er stabil inden for slutboksen. Begge ruter skal gennemføres med klassiske og tilstandsbeskrevne regulatorer implementeret. Derudover skal begge ruter gennemføres uden nogen regulator implementeret for dermed at kunne vurdere validiteten regulatorerne. Det er operatørens opgave at vurdere løsningsstrategien for, hvordan vedkommende vil følge de to ruter. Dette skal sikre, at det er frit for operatøren at bedømme, hvordan kranen performer som følge af hans intuitive idé om, hvordan banen skal gennemføres Positionsregulering Automatisk punkt-til-punkt styring eller positionsstyring skal som beskrevet igennem samme bane som hastighedsstyringen. Der er til dette konstrueret en SIMULINK-blok, der kan loade forskellige positioner til kranen i takt med, at de nås. I gur 7.6 ses SIMULINKblokken, der varetager dette. 66

79 Ref Pos Horisontal Constant1 n-d T(u) u Abs2 u 1 Switch U!= U/z Detect Change Inc Cnt Count Up Rst Hit Counter u1 X-lookup Abs1 Constant2 1-D T(u) Ref Pos u1 Vertikal Y-lookup Figur 7.6. SIMULINK-blok for punkt-til-punkt til brug ifm. accepttest. Blokkene til venstre, "Horisontal"og "Vertikal", er en repræsentation af de respektive regulatorer, hvor input er en reference, og output er deres aktuelle position til hver sample. SIMULINK-blokken loader en startværdi, der sætter lasten i startboksen. Derefter vurderer blokken løbende ud fra lastens position, om denne stemmer overens med de prædenerede banekoordinater. Er lastens position det korrekte sted, sammenlignet med et threshold, loades regulatoren med en ny position. Med denne automatiske punkt-tilpunkt styring, er der ingen kontrol med at lasten følger banen mellem punkterne, men kun tager den hurtigste vej til deres respektive koordinater. 67

80 Opsummering på problemanalysen 8 Der foretages nu en opsummering på de 6 foregående kapitler, med henblik på at afslutte del 1 af rapporten: Problemanalyse og kravspecikation. Small-scale kran og overføringsfunktioner I kapitel 2 på side 5, blev small-scale kranen beskrevet med denition af dennes sensorer og aktuatorer, som kan benyttes i den kommende problemløsning. Kranens sensorer blev analyseret, og der blev opstillet overføringsfunktioner for hver set igennem I/O-kortet, som benyttes ifm. kranen, se tabel 2.3 på side 8. Da den kommende regulering vil blive udviklet i SIMULINK, som beskrevet i afsnittet om softwaren i foranalysen, er der blevet bygget en række SIMULINK-blokke, som masker alle disse overføringsfunktioner. Disse er illustreret i gur 8.1. Blokkene kan ndes på simblocks.mdl. I foranalysen blev der desuden beskrevet den ønskede funktionalitet, hvilket omfatter to styringer på hver akse. Disse styringer skal kunne tage hastighed og position som reference. Figur 8.1. SIMULINK-blokke, der indeholder sensor- og udgangsoverføringsfunktioner Modellering og parameterestimering I modelleringskapitlet, kapitel 4 på side 16, blev der opstillet modeller for smallscale kranens delsystemer. De endelige overføringsfunktioner for den horisontale og vertikale bevægelse, udtrykt som ulineære og lineære modeller, er vist i tabel

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Programmering C Eksamensprojekt Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Indledning Analyse Læring er en svær størrelse. Der er hele tiden fokus fra politikerne på, hvordan de danske skoleelever kan

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Tilslutning- og programmeringseksempler

Tilslutning- og programmeringseksempler VLT MicroDrive FC 051 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Oversigt effekt og styre kreds VLT MicroDrive... 4 Initialisering af frekvensomformeren... 5 Tilslutning af motorbeskyttelse... 6 Start/stop med analog

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lenze Global Drive Frekvens konvertere og AC motorer Grundlæggende teori

Lenze Global Drive Frekvens konvertere og AC motorer Grundlæggende teori Frekvens konvertere og AC motorer Grundlæggende teori 1 Hvad skal Frekvens konverter bruges til Hastigheds regulering af en asynkron AC motor => Energibesparelser Mindre slidtage og vedligehold Bedre arbejdsmiljø

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Efficient Position Updating

Efficient Position Updating Efficient Position Updating Pervasive Positioning, Q3 2010 Lasse H. Rasmussen, 20097778 Christian Jensen, 20097781 12-03-2010 1 Introduktion Denne rapport har til formål at beskrive implementeringen og

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

INSTALLATIONSMANUAL TIL GARAGEPORT ÅBNER

INSTALLATIONSMANUAL TIL GARAGEPORT ÅBNER INSTALLATIONSMANUAL TIL GARAGEPORT ÅBNER INSTALLATIONS MANUALEN SKAL GENNEMLÆSES OMHYGGELIG FØR IBRUGTAGNING ADVARSEL FOR SIKKER INSTALLATION Inden installation af automatikken skal balance fjederen på

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Digital positioner type RE 3446

Digital positioner type RE 3446 Installations- og driftsvejledning IN145 Digital positioner type Indholdsfortegnelse: Side 1 Generel information 2 2 Montering og tilslutning 2 3 Idriftsættelse 3 4 Drifts funktioner 6 5 Funktions beskrivelser

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Fremtiden tilhører de kreative

Fremtiden tilhører de kreative LEGO DUPLO Mekanik Fremtiden tilhører de kreative LEGO, the LEGO logo, DUPLO and the Brick configuration are trademarks of the LEGO Group. 2008 The LEGO Group. Mikro Værkstedet is an authorized LEGO Education

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Fra Computer til Virkelighed. TPE-kursus Elektroniske Systemer P1

Fra Computer til Virkelighed. TPE-kursus Elektroniske Systemer P1 Fra Computer til Virkelighed TPE-kursus Elektroniske Systemer P1 Fra Computer til Virkelighed En kort introduktion til kurset Systems Engineering Projektfaser Opsamling og opgave Om kurset Mål: at I lærer

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Automatisk Vandingssystem

Automatisk Vandingssystem Automatisk Vandingssystem Projektdokumentation Aarhus Universitet Gruppe 6-3. Semester - F15 vejleder: Michael Alrøe dato: 28-05-2015 Lærke Isabella Nørregård Hansen - 201205713 - IKT Kasper Sejer Kristensen

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter

Kollektor. Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999. Emitter Kollektor Teknisk skole Ringsted Fysikrapport Af Kenneth René Larsen Afleveret d.26. maj 1999 Basis Emitter 1 Indholdsfortegnelse Problemformulering 3 Transistorens opbygning 4 Transistoren DC forhold

Læs mere

Styringsteknik. Et projekt i faget styringsteknik. En rapport af Rune Zaar Østergaard

Styringsteknik. Et projekt i faget styringsteknik. En rapport af Rune Zaar Østergaard Styringsteknik Et projekt i faget styringsteknik. I1 & Q1 I2 En rapport af Rune Zaar Østergaard Styringsteknik 2007 Indholdsfortegnelse 1.0 Formål...3 2.0 Indledning (min ide)... 3 3.0 Problemdefinition...

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Vi skal således finde en metode til:

Vi skal således finde en metode til: Vi skal således finde en metode til: 1. At anvende maskinen som målemaskine til at finde det forudbestemte startpunkt. 2. At finde programmeringskoordinatsystemets afstand til startpunktet. 3. At indføre

Læs mere

Simulering af dynamiske systemer

Simulering af dynamiske systemer 04-04-01/SG Simulering af dynamiske systemer 1 Simulering af dynamiske systemer - er ikke længere forbeholdt eksperter Søren Gundtoft er ansat som lektor ved Ingeniørhøjskolen i Århus men er for tiden

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Diagnostic og Toolbox Instruktion. www.lp.dk Lindgaard Pedersen A/S. Rev. 1.0 Side 1 / 14

Diagnostic og Toolbox Instruktion. www.lp.dk Lindgaard Pedersen A/S. Rev. 1.0 Side 1 / 14 EL-PAS -Cruise II ANDROID Diagnostic og Toolbox Instruktion LP www.lp.dk Lindgaard Pedersen A/S Side 1 / 14 Indhold Denne vejledning indeholder instruktion til brug af Cruise Android App, hentet fra Android

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL BRUGSANVISNING BY0011 CAL H610 FUNKTIONSOVERSIGT Gang reserve indikation Overopladning sikkerheds funktion Utilstrækkelig opladnings advarsels funktion (to-sekunders interval bevægelse) Energibesparende

Læs mere

MobiCrane og MobiArm

MobiCrane og MobiArm MobiCrane og MobiArm MobiCrane og MobiArm vores leddelte udliggerkraner giver mange muligheder Fordele MobiCrane og MobiArm en stor forbedring af dit arbejdsmiljø. Løft bliver meget nemmere, og samtidig

Læs mere

SICE S65 BALANCEMASKINE MANUAL DK. > FLEX1ONE A/S Ladelundvej 37-39 6650 Brørup 76 15 25 00 mail: salg@flex1one.dk

SICE S65 BALANCEMASKINE MANUAL DK. > FLEX1ONE A/S Ladelundvej 37-39 6650 Brørup 76 15 25 00 mail: salg@flex1one.dk SICE S65 BALANCEMASKINE MANUAL DK > FLEX1ONE A/S Ladelundvej 37-39 6650 Brørup 76 15 25 00 mail: salg@flex1one.dk INDHOLDSFORTEGNELSE Introduktion............ s. 03 Generel info og sikkerhed............

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Dansk Sportsdykker Forbund

Dansk Sportsdykker Forbund Dansk Sportsdykker Forbund Teknisk Udvalg Sid Dykketabellen Copyright Dansk Sportsdykker Forbund Indholdsfortegnelse: 1 FORORD... 2 2 INDLEDNING... 3 3 DEFINITION AF GRUNDBEGREBER... 4 4 FORUDSÆTNINGER...

Læs mere

Brugervejledning & instruktion MTW 12/1. Varenr. 572096 MTW 12/2. Varenr. 572099 MTW12/1101-1

Brugervejledning & instruktion MTW 12/1. Varenr. 572096 MTW 12/2. Varenr. 572099 MTW12/1101-1 Brugervejledning & instruktion MTW 12/1 Varenr. 572096 MTW 12/2 Varenr. 572099 MTW12/1101-1 INDHOLD 1.0 Beskrivelse 2.0 Installation 3.0 Programmering 4.0 Termostat / P.I.D. funktion 4.1 MTW 12/1 termostat

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Maskin og Produktion 4. semester projekt. Forår 2014. Bådkran. Gruppe 2.026

Maskin og Produktion 4. semester projekt. Forår 2014. Bådkran. Gruppe 2.026 Maskin og Produktion 4. semester projekt Forår 2014 Bådkran Gruppe 2.026 Institut for Mekanik og Produktion Maskin og Produktion Fibigerstræde 16 Telefon 99 40 71 17 Fax 99 40 71 10 http://info@m-tech.aau.dk

Læs mere

Memo risiko analyse på deduster

Memo risiko analyse på deduster Memo risiko analyse på deduster To: All From: DEr CC: Date: January 6, 2015 Re: Risiko analyse på deduster. Indholdsfortegnelse: Indholdsfortegnelse:... 1 Formål:... 2 Risiko analyse:... 2 Risiko resultater

Læs mere

Automatisk Vandingssystem. Rettelser. 1 af 11

Automatisk Vandingssystem. Rettelser. 1 af 11 Automatisk Vandingssystem Rettelser 1 af 11 Automatisk Vandingssystem Projektrapporten Aarhus Universitet Gruppe 6-3. Semester - F15 vejleder: Michael Alrøe dato: 28-05-2015 Lærke Isabella Nørregård Hansen

Læs mere

Montagevejledning RIOpanel Integra

Montagevejledning RIOpanel Integra Montagevejledning RIOpanel Integra Indholdsfortegnelse Tekniske data...3 Montage af konvektor...3 El-installation...4 Styring af vand...4 Principskitse for tilslutning...5 Vedligeholdelse...6 Termostatstyring

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

MEKANISK OVERLASTSIKRING SM4067 SM4068

MEKANISK OVERLASTSIKRING SM4067 SM4068 MEKANISK OVERLASTSIKRING SM4067 SM4068 BRUGERMANUAL 1 VIGTIG INFORMATION DENNE VEJLEDNING ER UDELUKKENDE RETTET MOD KVALIFICEREDE INSTALLATØRER. DISSE OPLYSNINGER MÅ IKKE UDLEVERES TIL SLUTBRUGERE. LÆS

Læs mere

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne:

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne: Lærervejledningen giver supplerende oplysninger og forslag til scenariet. En generel lærervejledning fortæller om de gennemgående træk ved alle scenarier samt om intentionerne i Matematikkens Univers.

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

SSI-9001 IP65. Installations vejledning. SSIHuset v/svane Electronic ApS. GSM fjern kontrol og alarm system

SSI-9001 IP65. Installations vejledning. SSIHuset v/svane Electronic ApS. GSM fjern kontrol og alarm system SSI-9001 IP65 GSM fjern kontrol og alarm system Installations vejledning SSIHuset v/svane Electronic ApS Vejledning Kontakt Tænd/sluk 1 - Strømforsyning: Forbundet til egen 12V / 1.5A strømforsyning (*)

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

STYKLISTE AP 500 MANUAL 1 1 ELEKTRONIK MODUL 2 1 SERVOMOTOR 3 1 LEDNINGSNET 5 1 AP 500 MONTERINGS KIT 5.1 1 WIRETRÆK BESLAG

STYKLISTE AP 500 MANUAL 1 1 ELEKTRONIK MODUL 2 1 SERVOMOTOR 3 1 LEDNINGSNET 5 1 AP 500 MONTERINGS KIT 5.1 1 WIRETRÆK BESLAG STYKLISTE # ANTAL BESKRIVELSE 1 1 ELEKTRONIK MODUL 2 1 SERVOMOTOR 3 1 LEDNINGSNET 5 1 AP 500 MONTERINGS KIT 5.1 1 WIRETRÆK BESLAG 5.2 3 WIRE BESKYTTER 5.3 1 KABELHOLDER 5.4 1 SPÆNDESKIVE 5.5 1 WIRETRÆK

Læs mere

pí~êíã~åì~ä=íáä=a~í~píìçáç

pí~êíã~åì~ä=íáä=a~í~píìçáç Brugsvejledning Manualnr. 012-08107 pí~êíã~åì~ä=íáä=a~í~píìçáç Manualnr. 012-08107 Manualnr. 012-08107 Startmanual til DataStudio Indledning Hvad er DataStudio? DataStudio er et program til indsamling,

Læs mere

Rejsekort A/S idekonkurence Glemt check ud

Rejsekort A/S idekonkurence Glemt check ud Rejsekort A/S idekonkurence Glemt check ud 9. marts 2015 1 Indhold 1 Introduktion 4 1.1 Problembeskrivelse........................ 4 1.2 Rapportens opbygning...................... 4 2 Ordliste 5 3 Løsning

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

KEB COMBIVERT FREKVENSOMFORMER QUICK-GUIDE. F4-C VERSION (0,75 315 kw)

KEB COMBIVERT FREKVENSOMFORMER QUICK-GUIDE. F4-C VERSION (0,75 315 kw) KEB COMBIVERT FREKVENSOMFORMER ANTRIEBSTECHNIK QUICK-GUIDE F4-C VERSION (0,75 315 kw) REGAL A/S Industrivej 4, DK - 4000 Roskilde Tlf. 46 77 70 00 Fax 46 75 76 20 regal@regal.dk www.regal.dk Forord Denne

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Svendeprøve Projekt Tyveri alarm

Svendeprøve Projekt Tyveri alarm Svendeprøve Projekt Tyveri alarm Påbegyndt.: 8/2-1999 Afleveret.: 4/3-1999 Projektet er lavet af.: Kasper Kirkeby Brian Andersen Thomas Bojer Nielsen Søren Vang Jørgensen Indholds fortegnelse 1. INDLEDNING...3

Læs mere

Oversigts billedet: Statistik siden:

Oversigts billedet: Statistik siden: 1 Tilslutning: Tilslut et nætværks kabel (medfølger ikke) fra serverens ethernet port til din router. Forbind derefter bus kablet til styringen, brun ledning til kl. 29, hvid ledning til kl. 30 Forbind

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Intelligent Solar Charge Controller Solar30 User s Manual

Intelligent Solar Charge Controller Solar30 User s Manual OM Solceller Intelligent Solar Charge Controller Solar30 User s Manual Læs venligst denne instruktion grundigt igennem, før du bruger den. 1 Produkt introduktion: Denne controller er en slags intelligent

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere