a ortogonal med b <=> ( ) 4p q

Transkript

1 STX Mat A.maj 9 KP NB: i opg -5, som er uden hjælpemidler, benytter jeg her un Mathcad som srivemasine og bruger derfor onsevent det logise (fede) lighedstegn, da det ie har regnemæssige følger. Opg. a og b t a ortogonal med b <> ab <> 6 + t <> t ( ) p q ( ) Opg. Reducér: ( p q) + pq ( p q) ( p + q) p + q pq + p q 5q Opg. f esp. vosende, f() og f(6) 7. Bestem forsrift f( x) ba x ba 6 7 Vi har <> a 9 <> a (da a er positiv) ba Desuden fås ba <> b så forsriften bliver f( x) a x Opg. To parabler P og Q (jfr figur i opgave), grafer for funtioner af typen f(x) ax +bx+c Vi sal for hver af parablerne redegøre for fortegnet af a og c samt disriminanten d. P vender grenene opad, dvs. a>, den særer y-asen på den positive side, dvs c> Endelig særer den ie x-asen, dvs. d< Q vender grenene nedad, dvs. a< og særingen med y-asen viser at c<. Den særer x-asen to steder, dvs. d> Opg.5 ( 6x + x) d x x + x + 5x e x5 + Integralet bliver nu Vi substituerer t x 5 + hvoraf 5 + e t t 5 + 5x <> 5x ( ) d [ e t ] e e e e

2 KP esempel mat A maj 9 side Opg.6 Kugle centrum C(,,5), og P(,-,7) ligger på uglen Ligning: Radius CP + ( ) + ( 7 5) så ligningen bliver x + y + ( z 5) 9 Tangentplan B: x + y z + Spids vinel mellem CP og B: B har normalvetoren Vinlen v mellem n og CP er så v : acos n : og vi har CP : ncp n CP Den søgte spidse vinel er dermed v B's røringspunt med uglen: Radius i røringspuntet står vinelret på B, så vi finder linjen gennem C med B's normalvetor som retningsvetor. x y + t z 5 Vi finder nu særingspuntet mellem linjen og B - det er jo netop røringspuntet. ( + t) + ( + t) 5 ( t ) + solve, t Parameteren t indsættes til slut i linjen: 5 + Røringspuntet mellem uglen og B har altså oordinaterne (,,) Opg.7 f( x) : xe x Tangent i p(,f()) Vi finder f( ) e og da f' ( x) d : f( x) e x + x e x fås f' ( ) e Ligningen bliver så y f' ( ) ( x ) + f( ) simplify y e ( x ) Eller på mere normal form: y e x e Monotoniforhold Vi løser f' ( x) solve Det svarer til det minimum, vi an se på grafen. Med støtte i grafen an vi dermed onludere, at f er aftagende i ] -E ; -/ ] og vosende i [ -/ ; E [ fx () x

3 KP esempel mat A maj 9 side Opg.8 Torselarvers længde, l (i mm), og tørvægt m (i mg) besrives ved en potensudviling m b*l a l 5, 5,5 6, 6, 6, 6,7 7, m,,8.,7,,5,5 Bestem a og b. Vi benytter programmet Graph til at lave en potensregression (indsat) Vi finder, som det ses, forsriften m( l) :.56789l.8658 Det er et go fit, da R er meget tæt på. Vi onluderer at a,8 og b,56 Vægten af en 7,5 mm lang larve er ifølge modellen m7.5 ( ).5 mg Længden af en larve med tørvægt,6 mg findes ved at løse ligningen ml ().6solve, l i i De to omplese løsninger ser vi bort fra, så larven måler altså 7.85 mm

4 KP esempel mat A maj 9 side Opg.9 I KABC er c : 5 b : 7 A : Bestem BC (dvs. siden a) samt vinel B. Af cosinusrelationerne fås direte a: b + c b c cos( A) Vinel B finder vi med sinusrelationerne: 9. sin( B) sin( A) <> sin( B) b sin( A) <> B : asinb sin( A) b a a a Bestem h b (højden fra B) samt treantens areal Treantens areal er givet ved T : bcsin( A) Arealet an imidlertid også uryes som T hbb solve, hb Så h b må altså have længden.57 Opg. Rygerundersøgelse - 5 rygere, som ryger mindst 5 cigaretter om dagen. Bestem de umulerede frevenser og tegn sumurve. Dette løses i Excel (indsat) (Kun løst i Excel her for at have det med eletronis - løses hurtigst i hånden!) (fortsættes)

5 KP esempel mat A maj 9 side 5 Kvartilsæt samt procenten af rygerne, som ryger mindst om dagen. Vi aflæser på sumurven vartilsættet: 75%-vartil, median 7,9 5%-vartil,5 Går vi op fra på x-asen til urven og aflæser y-værdien, finder vi andelen af rygerne, som ryger op til om dagen. Vi aflæser 65,%. Så er andelen, som ryger mindst (dvs. mere end ) altså % - 65,%,8% Opg. f( x) : + x x Området M mellem grafen, x-asen og linjerne x og x roteres om x-asen. Vi sal bestemme rumfanget af omdrejningslegemet. Vi benytter standardformlen: V π f( x ) 9π : 9π Rumfanget er altså 8.85 fx () q q M 5 x,, Opg. N(t) er antal individer i en population til tiden t (i døgn). Differentialligningsmodel: dn.n( N) (logistis model) og det oplyses at N() 5 Væsthastigheden til t fås af ligningen ved indsættelse af N(): N'().5( 5) 6.75 Vi sal også finde N de steder, hvor N'(t). Vi har altså ligningen.n( N) solve Væsthastigheden inræffer altså ved populationsstørrelserne 9 og 67

6 KP esempel mat A maj 9 side 6 Opg. Blomsterbed (se fig.) Omreds: halvcirel + sider πr + h + r Areal(r) når omredsen er 6. Vi isolerer først h i omredsen: πr + h + r 6 solve, h 8 Arealet er π r + rh Heri indsættes uryet for h, og vi får Areal( r) πr π r πr : + r8 r simplify r r( r + πr ) Opg. Vejanlæg over grænsen. Prisen pr. m er for AP: 5 mio. r. for PB: 6 mio. r. Bestem AP og PB uryt ved x. Da de begge er hypotenuse i hver sin retvinlede treant får vi med Pythagoras: AP x + PB ( 6 x) + Bestem prisen for vejen og find x, så den bliver minimal. Vi regner prisen i millioner r. Pris( x) : 5 x ( 6 x) + Vi ser på grafen et tydeligt minimum omring x 8. Vi løser Pris'(x) : x: 8Given d Pris( x) Find( x) 8. Den minimale pris fås altså for x 8 Pris( q) q

7 KP esempel mat A maj 9 side 7 Opg.5 f( x) : x + x + x + g( x) : x + > Vi sal vise, at de to områder M og N har samme areal for alle værdier af. For at opstille de to areal-integraler sal vi bruge særingspunterne, dvs. løse ligningen f( x) g( x) <> x + x <> x ± Arealerne er altså lige store, hvis g( x) f( x) M N (da viser f-grafens tangenthældning i, og da f( x ) g( x) g-grafen har tangenthældningen samme sted, vil graferne ligge som på figuren for alle -værdier) Det giver x x x + x <> x x + x x <> <> x [ x (indsudsreglen) ] x x <> (idet ( ± ) ) Den sidste ligning er sand, da de to parenteser er ens. Dermed er det ønsede vist.

8 KP esempel mat A maj 9 side 8 Opg.6 f(t) er den indre temperatur i et objet i et vandbad, som opvarmes fra til. t måles i seunder. f(t) oplyses at være løsning til differentialligningen y'.( g() t y) hvor g(t) er vandbadets temperatur Desuden oplyses at f() og at g( t) : +.5t t Vi sal bestemme f(t), når vandbadet bliver, dvs. når g(t). Vi ser først, at g(t) <> t, så vi søger altså f() Differentialligningen bliver udfoldet til y'.( +.5t y) <> y' +.y.75t +.6 Det er en ligning af formen y' + ay h(t), og den har den fuldstændige løsning y e.t (.75t +.6) e.t + Mathcad an ie lare integralet med decimaltal, så vi hjælper den li: y e.t.75 te.t +.6 e.t + Det første integral er af typen a: a te at e at ( at ) a Så vi får y e.t.75 e.t (.t ) +.6 e.t +.. <> y.75.6 (.t ) + + e.t.. 5 <> y.5t + + e.t Vi an nu bestemme ved at indsætte oplysningen f() e. 5 + solve Vores funtion får dermed forsriften 5 f( t) :.5t + 5 e.t Vi an endelig bestemme den ønsede temperatur, nemlig f( ) Når vandet bliver er objetets indre temperatur altså 9,7