1. Abstrakt Abstract Forord Indledning Problemformulering Problemanalyse Casene...

Transkript

1 Indholdsfortegnelse 1. Abstrakt Abstract Forord Indledning Problemformulering Problemanalyse Casene Euklidisk og ikke-euklidisk geometri Aksiomer Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Entropi-teori Regneeksempel Videnskabsteori Videnskabshistorie og indledende perspektiver Enkelthed og forudsigelse som mål Realvidenskaber Formalvidenskaber Empirisme og Rationalisme Empirismen Rationalismen Uddybning af empirisme og rationalisme i forhold til vores cases Immanuel Kants teorier om rum og tid Positivisme

2 5.5 Karl Popper og falsifikationisme Thomas Kuhn og paradigmeskift Kuhns paradigmer og revolutioner Imre Lakatos og forskningsprogrammer Konstruktivisme Opsummering Historisk gennemgang af casene Euklid og ikke Euklid historie Entropiens Historie Antoine Laurent de Lavoisier Sadi Carnot Rudolf Clausius Maxwells dæmon Diskussion 7.1 Den euklidiske og ikke-euklidiske geometri Entropi Konklusion Perspektivering Litteraturliste

3 1. Abstrakt Denne rapport er et litteraturstudie, der beskæftiger sig med, hvordan selvforståelsen indenfor matematik og fysik har påvirket hhv. udviklingen fra euklidisk til ikke-euklidisk geometri og vilkårene for entropi som statistisk begreb. For at belyse selvforståelsen, inddrages forskellige filosofiske skoler og ismer. Vi beskæftiger os med Kuhn, Popper og Lakatos, samt empirisme, rationalisme, positivisme, falsifikationisme og paradigmer. Rapporten indeholder cases fra både matematik og fysik, da vi på den måde har mulighed for at sammenligne selvforståelsen for begge videnskaber. Vi konkluderer, at den matematiske selvforståelse både har været katalysator for og med til at bremse udviklingen af den ikke-euklidiske geometri. Vi konkluderer endvidere, at den fysiske selvforståelse har haft en positiv indflydelse på entropiens vilkår. 1.2 Abstract This report is a literary study of the self awareness within mathematics and physics and how this has affected the development from Euclidean geometry to non-euclidean geometry and the terms of entropy as a statistic phenomenon. In order to analyse this self awareness we include different philosophic schools and isms. We take in Kuhn, Popper and Lakatos, as well as empirism, rationalism, positivism, falsificationism and paradigms. The report covers cases in mathematics and physics here by allowing us to compare the self awareness of both. We conclude that the self awareness of mathematics has been both a catalyst and a hindrance towards the development of non-euclidean geometry. Furthermore we conclude that the self awareness in physics have had a positive influence to the terms of entropy. 3

4 2. Forord Målgruppen for vores projekt er universitetsstuderende med en vis forståelse og baggrundsviden inden for matematik og fysik, da dette kan være nødvendigt for at forstå ikke-euklidisk geometri og begrebet entropi. Semesterbindingen forlyder: Refleksion over naturvidenskab og naturvidenskabsformidling. Projektet lever op til semesterbindingen da vi via diskussion reflekterer over, hvad to naturvidenskabers selvforståelse har haft af betydning for vores cases Grunden til at det kan betragtes som et projekt af naturvidenskabsstuderende er den baggrundsforståelse af de to cases i hhv. matematik og fysik, vi er nødt til at tilegne os, for at kunne diskutere de forskellige skoler og ismer fra videnskabsteorien i forhold til netop vores cases. I rapporten refereres til litteratur med [forfatterens efternavn, udgivelsesårstal]. Bagest i rapporten findes en komplet litteraturliste med alle bøger og artikler og alt nødvendig information om litteraturen. Vi vil gerne takke vores projektvejleder Carsten Lunde Petersen og vores coaches Simon og Anne- Dorte for vejledning til et godt gruppearbejde. Viden omkring de to cases og vores viden indenfor videnskabsteori vil vi opnå vha. litteraturstudier. Der vil tages udgangspunkt i lærebøger indenfor matematik, fysik og videnskabsteori. Opgaven er problemorienteret og vil derfor ikke belyse alle sider af emnerne, men derimod kun omhandle det der er relevant for vores problemformulering. 4

5 3. Indledning Noget der er blevet diskuteret i naturvidenskab igennem mange århundreder, er hvor vores erkendelse af virkeligheden kommer fra. Det er blevet diskuteret meget, om vi ser verden som den virkelig er, uafhængigt af os, eller om vi kun kan se verden, som den er tilgængelig for os, dvs. gennem vores egne teorier, forventninger og forudsætninger. Dette gør, at der i naturvidenskaben i dag er delte meninger omkring opdagelsen af ny viden. Der er forskellige videnskabsteoretiske opfattelser af, hvordan viden kan og ikke kan opnås. En opsamling af disse blandede holdninger leder alt sammen til mange forskellige spørgsmål. Vi har valgt at undersøge, hvad de forskellige videnskabsteoretiske strømninger siger om det at diskutere, hvorvidt naturvidenskabelig erkendelse er virkelighedstro; altså hvad der bliver accepteret som værende sikker viden. I projektet har vi valgt at tage udgangspunkt i to af naturvidenskabens grene, matematik og fysik, som indeholder forskellige ideer om sikker viden. Vi vælger at bruge euklidisk og ikke-euklidisk geometri og entropi, som statistisk begreb, som vores cases. Disse er valgt på grund af deres forskelligt accepterede måder at nå frem til ny viden på. Desuden giver de to fag, disse cases ligger indenfor, god mulighed for at diskutere grundlæggende erkendelsesteoretiske forskelle og ligheder, der er interessante i forhold til vores projekt. Gennem historien er det blevet diskuteret, om naturvidenskaben siger noget om virkeligheden, som den virkelig er, eller virkeligheden som vi oplever den. Der har i matematikken været tvivl om, hvorvidt diverse matematiske systemer er gældende analytisk. Ydermere kan der også være tale om, hvilke regler der er gældende for en given videnskab. Op gennem tiden er der både i matematikken og fysikken fremsagt forskellige teorier. Nogle af disse teorier er blevet erkendt og accepteret i et bredt forskersamfund, på trods af at det senere har vist sig at teorien ikke stemmer overens med virkeligheden. Dette skaber en tvivl om, hvad der egentlig kan betragtes som sikker viden. 5

6 3.1 Problemformulering Hvilken betydning har matematikkens og fysikkens selvforståelse haft for hhv. udviklingen af ikkeeuklidisk geometri og vilkårene for entropi som et statistisk begreb? I forbindelse med selvforståelsen af matematik og fysik tages der udgangspunkt i euklidisk, ikkeeuklidisk geometri og entropi. Vi har valgt at fokusere udelukkende på entropi som en statistisk størrelse, sådan som den bruges i statistisk mekanik. Selvforståelsens påvirkning af udviklingen af ikke-euklidisk geometri samt vilkårene for entropi er en indflydelse vi ønsker at belyse gennem videnskabsteori. Det er hermed et mål, at kunne analysere vores udvalgte cases med videnskabsteori som et redskab og heraf opnå en viden om, hvilken rolle selvforståelsen spiller i førnævnte cases. Med formuleringen vilkårene for entropi menes, hvordan og hvor stærkt entropi står som begreb i forhold til, at blive diskuteret som noget, der kan give os forståelse om virkelighedens fænomener, eller evt. give os mulighed for, at forstå nogle årsagssammenhænge i fysikken. Dette er således for at anskueliggøre, hvilken udvikling der er sket, fra før begrebet er udviklet, til det der i dag er bredt accepteret som anvendelig viden. Gennem videnskabsteori vil vi søge at finde nogle grundlæggende træk ved matematikkens og fysikkens selvforståelse som forholder sig til vores cases, og således, hvad denne selvforståelse betyder for disse cases status som accepterede i forhold til idealet om, at opnå sand erkendelse. 3.2 Problemanalyse For at svare på vores problemformulering, er vi nødt til at tilegne os viden om euklidisk geometri og ikke-euklidisk geometri samt entropi. Baggrundshistorien for udviklingen fra euklidisk til ikkeeuklidisk geometri, samt baggrundshistorien for udviklingen af begrebet entropi er vi også nødt til at kende og forstå. Desuden er det nødvendigt at have viden om den relevante videnskabsteori, da dette er et vigtigt redskab til at tilegne os viden om naturvidenskabelig selvforståelse og til at analysere og diskutere de historiske udviklinger af de to cases. Der vil i videnskabsteorien blive fokuseret på empirisme, rationalisme, positivisme, falsifikationisme, paradigmer og konstruktivisme. Disse vil bidrage til 6

7 forståelsen af den historiske opfattelse af sikker viden indenfor naturvidenskaberne matematik og fysik, og dermed øge niveauet for diskussionen af problemformuleringen. Først vil vi lave en teoretisk gennemgang af de to cases, så læseren får det kendskab til området, som vi mener kræves for at kunne svare på problemformuleringen. Dernæst vil vi præsentere de forskellige filosofiske skoler og ismer, som vi mener ligger til grund for forståelsen af den historiske udvikling i de to cases. Den historiske udvikling af de to cases vil vi gennemgå efter det videnskabsteoretiske, da det fungerer som en logisk overgang til diskussionen, hvor videnskabsteorien benyttes som redskab til at analysere og diskutere udviklingen af casene, og hvilken betydning selvforståelsen har haft for udviklingen af ikke-euklidisk geometri og vilkårene for entropi. 7

8 4. Casene 4.1 Euklidisk og ikke-euklidisk geometri I dette kapitel vil vi introducere aksiomer, aksiomsystemer, euklidisk og ikke-euklidisk geometri. Først beskrives aksiomer og aksiomsystemerne da disse er essentielle for både den euklidiske og ikke-euklidiske geometri Aksiomer Når noget matematisk skal bevises med en sætning, så bygger beviset på andre sætninger, som igen bygger på endnu andre osv.. For ikke at skulle slutte med det, der startes med, så er det nødvendigt at starte et sted, med sætninger som ikke kan eller skal bevises. For hvis ikke dette gøres, betyder det, at intet kan bevises [Lützen, 2003]. For at undgå disse cirkelslutninger opstilles aksiomer. Et aksiom er for det meste en selvindlysende sandhed og skal ikke bevises. Det er dog ikke nødvendigt for anvendelse af aksiomsystemer og logik, at aksiomer er selvindlysende, men der er i matematikken et behov for, at undlade unødvendige aksiomer, og derfor begrænses aksiomer ofte til det selvindlysende [Trudeau, 1987]. Et eksempel på et aksiom indenfor den euklidiske geometri kunne være sætningen Enhver linje indeholder mindst to punkter. Denne sætning kan ikke bevises, men godtages som et faktum, der er grundlæggende for geometrien. En sætning bevises således ud fra disse aksiomer og tidligere beviste sætninger, som igen er udledt fra aksiomer og sætninger, således at alt i sidste ende er udledt fra aksiomerne. En påstand er altså kun sand indenfor f.eks. plangeometrien, hvis den kan udledes af det pågældende aksiomsystem. Der kan dog ikke uden videre opstilles aksiomer efter behov. Før et aksiomsystem kan betragtes som et ægte system, så kræves det, at det ikke indeholder modsigelser. Dette betyder, at det ikke må være muligt, at bevise og modbevise en sætning ud fra aksiomerne i et aktionssystem [Courant, 1973]. Nedenstående er et eksempel på dette: A1: Enhver linje indeholder mindst to punkter. A2: En linje kan indeholde et hvilket som helst antal punkter. 8

9 Normalt er det sværere at se, om aksiomer er i modstrid med hinanden, end det er i ovenstående eksempel. Når aksiomerne i et aksiomsystem ikke er modstridende, siges aksiomsystemet at være konsistent. Det kan her udnyttes, at et aksiomsystem er konsistent, hvis det kan realiseres. Dvs. at der kan opstilles en model, hvor alle aksiomerne gælder. Af praktiske årsager er det hensigtsmæssigt, at alle aksiomerne er uafhængige af hinanden. Dvs. at et eller flere af aksiomerne ikke er logiske konsekvenser af de andre aksiomer. Den aksiomatiske tilgang til matematik er en praktisk metode til at ordne den viden, som foreligger, ved at opbygge en logisk struktur. En sådan fokusering på struktur, gør det lettere at finde generaliseringer og anvendelser, som kunne overses med en uformel og intuitiv indgangsvinkel [Courant, 1973]. For at vise hvorledes et aksiomsystem anvendes indenfor matematikken, vil vi give et eksempel på et vilkårligt aksiomsystem og ud fra dette system bevise nogle teoremer (nedenstående er efter [Kristensen, 1975]). Vi tager udgangspunkt i følgende tre aksiomer, som hermed danner aksiomsystemet vi vil arbejde i. A1. Gennem to punkter går der én og kun én ret linje. A2. Enhver ret linje indeholder mindst to punkter. A3. Der findes tre punkter, der ikke ligger på samme rette linje. Dette aksiomsystem giver anledning til at udlede de tre følgende teoremer, T1-3. T1: To forskellige linjer har højst et punkt fælles. Bevis: Det antages, at to ikke identiske linjer, l og m, har to fælles punkter, A og B. Da A1 siger, at der går én og kun én linje gennem to punkter, må l og m nødvendigvis være identiske mellem A og B. Det er i modstrid med vores antagelse, om at l og m ikke er identiske. Derfor kan to ikke identiske linjer ikke have to punkter fælles. 9

10 T2: Gennem hvert punkt går der mindst to linjer. Bevis: Vi ved fra A3, at der findes mindst tre punkter A, B og C. Vi vælger et tilfældigt punkt X. Der er to muligheder. Enten er X identisk med et af de tre punkter (figur 1a), eller også er X ikke et af punkterne (figur 1b). Figur 1a Hvis der findes tre punkter A, B og C, der ikke ligger på samme linje, og X er et tilfældigt af disse punkter, ved vi, at to linjer gennem X og hhv. B og C ikke kan være sammenfaldende. Figur 1b Hvis der findes 3 punkter A, B og C, der ikke kan ligge på linje og X, er et punkt forskellig fra disse, kan ikke alle linjer gennem X og hhv. A, B og C være sammenfaldende I det første tilfælde har vi har tre punkter. Trækker vi en linje gennem X og hvert af de to andre punkter (jf. A1) giver dette mulighed for, at linjerne er sammenfaldende. Vi ved fra A3, at de tre punkter ikke ligger på samme linje, og derfor kan linjerne ikke være sammenfaldende. Dette giver to linjer gennem X. I den anden situation hvor vi har fire punkter X og de tre andre punkter A, B og C. Trækkes en linje gennem X og hhv. A, B og C (jf. A1) er der mulighed for at have tre linjer, der er sammenfaldende. Dette er dog i modstrid med A3. Derfor må mindst to af disse linjer være forskellige. Hermed er T2 bevist. T3: Til ethvert punkt findes der mindst én linje, der ikke går igennem punktet. Bevis: Vi vælger et tilfældigt punkt X, og vi ved fra A3, at der findes tre punkter A, B og C, der ikke ligger på samme linje. Der er to muligheder. Enten er X lig et af de tre punkter som vist på figur 2a. Vi ved fra A2 og A3, at to og kun to af de tre punkter kan forbindes med én linje, så der vil hermed eksisterer en Figur 2a Hvis der findes tre punkter A, B og C, der ikke ligger på linje, og X er et punkt lig et af de tre punkter, vil der findes linjer gennem to af punkterne, som ikke går gennem X Figur 2b Hvis der findes tre punkter A, B og C, der ikke ligger på linje, og X er et punkt forskelligt fra de tre punkter, vil der findes linjer gennem mindst to linjer gennem to af punkterne, som ikke går gennem X 10

11 linje, der ikke går gennem X. Ellers er X et punkt forskelligt fra de tre punkter som vist på figur 2b. Vi har så fire punkter. Da mindst 3 af punkterne ikke ligger på linje jf. A3 kan en linje gennem X ikke gå gennem alle de andre punkter. Dermed er T3 bevist. På den måde har vi vist, at vi ud fra et ret simpelt aksiomsystem kan vise forskellige teoremer Euklidisk geometri Allerede i antikkens Grækenland anvendte matematikerne aksiomer. Det mest berømte matematiske værk fra antikken er Euklids Elementer. Euklids Elementer indeholder mange forskellige genrer af matematikken, bl.a. algebra og talteori, men er primært et værk om plangeometri og indeholder et meget berømt aksiomsystem for denne. I den euklidiske geometri er en linje det samme som en ret linje og den krumme linje er herved mange kortere rette linjer sat sammen. De følgende aksiomer er skrevet direkte af fra Euklids Elementer, og for forståelsens skyld har vi tilføjet algebraiske illustrationer: A1. Størrelser, som ere ligestore med den samme, ere indbyrdes ligestore. A = B og B = C => A = C. A2. Naar ligestore Størrelser lægges til ligestore Størrelser, ere Summerne ligestore. A = C og B = D => A + B = C + D. A3. Naar ligestore Størrelser trækkes fra ligestore Størrelser, ere Resterne ligestore. A = C og B = D. A B = E og C D = F => E = F. A4. Størrelser, der kunne dække hverandre, ere indbyrdes ligestore. A5. Det hele er større end en Del af det. A + B = C så er A < C og B < C. 11

12 Alle kender den euklidiske geometri fra deres skolegang, og det er den euklidiske geometri, der er naturlig for os at benytte og tænke på, når nogen nævner geometri. De fleste anser denne geometri for at være intuitiv rigtig og virkelighedsbeskrivende. Det er den vi tilsyneladende ser, når vi åbner vores øjne. Euklidisk geometri bygger på visse antagelser, som Euklid delte op i to grupper, aksiomer og postulater. Grunden til denne opdeling var, at hans aksiomer er mere alment gældende end hans postulater. Aksiomerne beskriver forhold, der gælder rent regnetekniske egenskaber, hvorimod postulaterne er fem sætninger, som kun er gældende indenfor plangeometrien. Disse fem er som følger og er skrevet direkte af fra Euklids Elementer : P1. At man kan trække en ret Linie fra et hvilket som helst Punkt til et hvilket som helst Punkt. P2. At man kan forlænge en begrænset ret Linie i ret Linie ud i eet. P3. At man kan tegne en Cirkel med et hvilket som helst Centrum og en hvilket som helst Radius. P4. At alle rette Vinkler ere ligestore. P5. At, naar en ret Linie skærer to rette Linier, og de indvendige Vinkler på samme Side ere mindre end rette, saa mødes de to Linier, naar de forlænges ubegrænset, paa den Side, hvor de to Vinkler ligge, der ere mindre end to rette. Af disse vælger vi i projektet at fokusere på Euklids 5. postulat (P5), parallel-postulatet som det kaldes. Accepten af netop dette postulat har vakt meget opsigt og været grunden til meget diskussion. Dette postulat har således været grunden til, at matematikere endeligt er kommet frem til hvad der kaldes for den ikke euklidiske geometri. Figur 3 Da det 5. postulat er det der er mest interessant for projektet vil vi, i det følgende, beskrive og forklare det i vores egne ord: Hvis to rette linjer L1 og L2 skæres af en tredje ret linje, L3, så vil L1 og L2 skære hinanden før eller siden på den side, hvor vinkel summen er mindre end 180 grader [Figuren er lavet af gruppen selv]. 12

13 4.1.3 Ikke-euklidisk geometri P5 er et afgørende element i euklidisk geometri. Der findes dog geometri, som er uafhængigt af postulatet. Sådanne geometrier kaldes ikke-euklidisk geometri. For at forsimple følgende kapitel, forkorter vi aksiomerne som A. 1-5 og postulaterne som P Det bemærkes, at P5 er væsentlig længere end de andre postulater. Det kan være let at tro, og det har mange matematikere også gjort, at det i stedet er en påstand, der skal bevises. Denne tanke medførte, mod manges forventning, at der ca år efter Euklid skrev Elementer opstod en negation af P5, som lyder: N-P.5: Der eksisterer to linjer, som ikke skærer hinanden, og som overskæres af en linje, således at de indvendige vinkler på samme side tilsammen er mindre end to rette. [Kristensen, 1975, s. 10]. Inden for ikke-euklidisk geometri er aksiomsystemet således A. 1-5, P. 1-4 og N-P.5. Ser vi på føromtalte eksempel for linje L og punkt P, gør N-P.5 det muligt, at finde mindst to linje gennem punkt P, som er parallel med Linje L. Dette ville ikke kunne lade sig gøre i euklidisk geometri, men ændringen i aksiomsystemet gør dette muligt, uden at der findes modsætninger i aksiomsystemet. Matematisk set er euklidisk og ikke-euklidisk geometri begge sande, da deres aksiomsystemer ikke modsiges. Dette kan forvirre, men man bør huske, at også Euklids aksiomer var nogle han valgte, fordi han mente, at de var et fornuftigt grundlag. Vi viste tidligere i kapitel Aksiomer et vilkårligt aksiomsystem, som er lige så sandt som Euklids, men som ikke tillader udformningen af nær så mange sætninger, og som derfor ikke er lige så interessant. Idealet er, at finde et system med præcis den mængde aksiomer, der er behov for, for at vise det ønskede. Det første eksempel der blev fremsat på ikke-euklidisk geometri, var hyperbolsk geometri. For at få en idé om forskellene mellem euklidisk og hyperbolsk geometri, opstilles følgende skema. 13

14 Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Givet en linje L og et punkt P Givet en linje L og et punkt P ikke på ikke på linjen L, eksisterer der en og L, eksisterer der mindst to linjer gennem P, kun en linje gennem P, parallel med L. parallel med L. En linje er separeret i to dele af et punkt. En linje er separeret i to dele af et punkt. Parallelle linjer er ækvidistante. Parallelle linjer er aldrig ækvidistante. To forskellige linjer der står vinkelret på samme linje, er parallelle. To forskellige linjer der står vinkelret på samme linje, er parallelle. Hvis en linje skærer en af to parallelle linjer, så skal den skære den anden. Hvis en linje skærer en af to parallelle linjer, så kan den skære den anden. Vinkelsummen af en trekant er lig med 180 grader. [Davis & Hersh, 1981, s. 222] Vinkelsummen af en trekant er mindre end 180 grader. En model for den ikke-euklidiske geometri er Poincaré disk model (se figur 4). Set udefra er denne model baseret på en cirkel. Den blev præsenteret i 1902 af franskmanden Henri Poincaré ( ). Der gælder for cirklen, at når afstanden til centrum øges, vil måleenhederne mindskes. Dette gør, at den korteste afstand mellem to punkter, der i euklidisk geometri er en ret line, vil være cirkelbuer, hvis ender er vinkelret på cirklens periferi [Trudeau, 1987]. Figur 4 Illustration af Poincaré disc model, som viser parallelle rette linjer i ikkeeuklidisk geometri [ ages/hyperbolic.jpg]. 14

15 I denne geometri er buer, som ikke skærer hinanden, hvad der svarer til parallelle linjer. Det ses ud fra illustrationen, at der, i modsætning til euklidisk geometri, til en bestemt linje kan være mere end to parallelle linjer gennem et bestemt punkt. To buer som skærer hinanden ortogonalt svarer til retvinklede linjer. Buer som skærer hinanden på cirkelens grænse, svarer til grænse linjer. Vil man tegne en trekant i Poincaré disk model, skal der tegnes tre buer, hvor hver bue skal skære de to andre buer, og være vinkelret på cirkelens periferi. Hermed får man en trekant i Poincaré disk model, og ud fra modellen ses det, at vinkelsummen er mindre end 180 grader. Figur 5 Eksempel på en trekant i Poincaré disk model, hvor vinkelsummen er under 180 grader. Dette er muligt, da der er tale om ikke-euklidisk geometri.[figuren er tegnet af gruppen selv] For lettere at forstå ovenstående Poincaré disk model, forklarer vi den også på følgende måde. Inde i cirklen C skal det forstilles, at der er en lille verden, hvor små todimensionelle personer lever. Uden for cirklen står vi som observatører, og ser ned på dem og deres verden. Cirkelen befinder sig i den euklidiske plan, og det er den euklidiske geometri der er gældende i personernes øjne. Cirklen er fyldt med en underlig gas, der får alt i cirklen til at skrumpe, jo længere fra cirklens centrum det er, inklusive meter-pinde, der er en meter lange i cirklens centrum, og som personerne går rundt med. Personerne i cirklen kan ikke se, at hverken de eller pindende bliver mindre. Det er kun os, som observatører, der kan se det udefra. Figur 6 Illustration [J. Trudeau, 1987, s. 237]: Poincaré disk model skal i denne forklaring, ses som en lille verden, hvor vi står som observatører der kigger ned på den lille verden. 15

16 Formlen der beskriver længden af meterpinden er ved afstanden r fra centrum er som følgende: L = 1- (r 2 / R 2 ) meter, hvor r = meterpindens afstand fra centrum, R = Cirklens radius og vi måler afstanden r fra midten af meterpinden. Ved at sætte meterpindens midte i centrum af cirklen så r = 0, halvvejs ud til cirklens kant så r = ½ R, trekvartvej ud til cirklens kant svarer til, at r = ¾ R og så fremdeles, kan vi ud fra formlen udregne meterpindens længde og få følgende tabel. Afstand fra centrum Længden af pinden (i meter) 0 1,0000 ½ R 0,7500 ¾ R 0,4375 7/8 R 0, /16 R 0, /32 R 0,0615 Alt inde i cirklen, inklusivt de todimensionelle personer, influeres af gassen. I vores øjne vil en person, pga. gassen, være mindre jo længere fra centrum personen befinder sig. En person som måler to meter i midten af cirklen, målt ud fra en meter-pind, vil i stadig måle to meter, målt ud fra samme meterpind, halvvejs ud mod cirklens kant. Personerne er altså helt uvidende om denne underlige gas, da alle ting i cirklen Figur 7 [Trudeau 1987, s. 237] Illustration af den korteste vej i Poincaré diskmodel. Afstandene er kortest ved cirklens centrum, hvilket gør den korteste vej fra A til B til en bue. 16

17 ændres proportionalt. Den to meter høje person ved ikke, at han og hans omgivelser kun er 0,7500 gange så høj som ved cirklens centrum. Desuden gælder at denne underlige gas får stråler af lys, som går mellem to punkter inde i cirklen, til altid at gå den korteste vej, målt ud fra personerne i cirklen. Lysstråler inde i C vil derfor ligge langs C's radius, eller udsnit af cirkelbuer der er ortogonal med C (se figur 7). Fra vores synspunkt vil den korteste vej være en ret linje fra A til B, mens den korteste vej for personerne i cirklen vil være en buet vej, set i vores øjne. På figur 7. er den rette linje 6 meter lang, mens den buede linje kun er 5 meter. For personerne i cirklen vil den rette linje derfor være den på 5 meter, da det er den korteste afstand mellem A og B. Ud fra nogle teoremer i den euklidiske geometri, er det muligt at bevise, at disse buede linje er udsnit fra cirkler, som er ortogonale med cirklen R. Kigger vi på formlen for længden af meterpinden igen, ser vi, at personerne inde i C aldrig vil nå ud til cirkelperiferien. Nær kanten vil meterpindens længde, sammen med alle andre længder skrumpe mod 1 (R 2 /R 2 ) = 0. Altså er det umuligt for personerne i C at nå ud til kanten. Hvis de todimensionelle personer skulle lave en geometri, ville det være logisk at antage, at de ville definere en ret linje som den korteste afstand mellem to punkter. En anden lige så sandsynlig definition, som vi tidligere har nævnt, ville være at en ret linje er lysets stråler. De vil derfor se rette linjer ligesom de cirkelbuer, vi beskrev ovenfor. Hvis de konstruerede en geometri som Euklids, ville deres 5. postulat være det vi kalder N-P.5. Hvis de havde en ret linje L og et punkt P, som ikke ligger på L, ville de kunne finde flere forskellige rette linjer gennem P, som er parallelle med L. Figur 8 Illustration: [Trudeau 1987, s. 238] Rette linjer i Poincaré disk model. De rette linjer er udsnit af cirkler, som er ortogonale med disk modellen. 17

18 4.2 Entropi-teori Entropi kan forstås på mange forskellige måder, og findes i en bred vifte af videnskaber. Et eksempel på en måde at forstå entropi på, er graden af uorden. Dette vil vi dog ikke forklare yderligere i dette projekt. Vi har dog i denne rapport valgt at fokusere udelukkende på entropi som en statistisk størrelse, sådan som den bruges i statistisk mekanik. Dette kapitel om entropi er derfor baseret på bogen [Schroeder, 2000]. Desuden har vi selv regnet et eksempel for at konkretisere teorien (se kapitel 4.2.1). Statistisk mekanik er en gren af fysikken, hvor der arbejdes ud fra princippet om, at systemer går mod den tilstand, der er mest sandsynlig. For at kunne undersøge hvad der er mest sandsynligt, bruger man to begreber, mikro- og makrotilstande. Makrotilstanden er det der nemt kan observeres eller måles, f.eks. tryk eller temperatur, og mikrotilstanden er det som ikke så nemt lader sig måle, såsom molekylernes placering i forhold til hinanden eller deres hastighed [Schroeder, 2000]. Et simpelt eksempel på mikro- og makrotilstande kunne være et slag med 3 terninger. Makrotilstanden kunne i så fald være summen af øjne, og mikrotilstanden kunne være antallet af øjne, som hver enkelt terning viser ville så give den samme makrotilstand som 2+2+4, men det ville være to forskellige mikrotilstande. På samme måde kan det forestilles, at flere forskellige placeringer af molekyler i et system kan give den samme temperatur eller det samme tryk. Der kan altså findes flere forskellige mikrotilstande for hver makrotilstand. Antallet af mikrotilstande, der svarer til en makrotilstand kaldes multipliciteten for den pågældende makrotilstand [Schroeder, 2000]. I eksemplet med terningerne kan det regnes ud, at de to makrotilstande med højest multiplicitet er 10 og 11, og at det derfor er de to resultater, der er mest sandsynlige. Grunden til at der kan tales om, at lave en direkte sammenhæng er, at alle mikrotilstandene er lige sandsynlige. Dette bruges også når der ses på makrotilstande i statistisk mekanik, da den statistiske mekaniks fundamentale antagelse er, mere præcist, at alle tilgængelige mikrotilstande i et isoleret system i termisk ligevægt er lige sandsynlige. Dette gør at den makrotilstand med flest mikrotilstande har højest multiplicitet, og derfor også er mest sandsynlig [Schroeder, 2000]. Som nævnt går man i statistisk mekanik ud fra, at systemer går mod den tilstand, der er mest 18

19 sandsynlig, altså den makrotilstand hvortil der svarer flest mikrotilstande. Det er derfor ret interessant, hvor høj multipliciteten er for en pågældende makrotilstand, men fordi dette tal ikke umiddelbart har nogen sammenhæng med andre fysiske størrelser bruges i stedet begrebet entropi. Størrelsen entropi er proportional med den naturlige logaritme til antallet af mikrotilstande. På den måde findes et tal, som er mere regnevenligt, og hvor det stadig gælder, at systemet vil gå mod den makrotilstand, som har den højeste entropi, da S = k b lnω, hvor S = entropi, k b = Boltzmanns konstant og Ω = mulitipliciteten [Schroeder, 2000]. Entropi er altså et mål for, hvor sandsynlig en makrotilstand er. Et eksempel som illustrerer dette er diffusion. Hvis en mængde gas slippes løs i et lukket rum vil den, som tiden går, brede sig og blande sig med luften, indtil gassen er ligeligt fordelt i hele rummet. Den går altså fra et mindre volumen til et større. Anskues dette ud fra statistisk mekanik, ses det, at antallet af måder hvorpå gasmolekylerne kan arrangere sig ift. hinanden, bliver større med volumen. Altså er der flere mikrotilstande for en gas i et stort volumen, end for en gas i et mindre, hvilket giver en højere entropi, og derfor en større sandsynlighed for at molekylerne er ligeligt fordelt i hele rummet. Dette eksempel viste, at der er en sammenhæng mellem entropi og sandsynlighed, men gav nok ikke et indtryk af, hvor meget større sandsynligheden er for, at gassen breder sig i hele rummet. For at illustrere dette vil vi introducere et regneeksempel med to interagerende systemer Regneeksempel Et eksempel på to interagerende systemer er to Einstein solids 1, som kan udveksle energi frem og tilbage mellem hinanden. For at forklare hvad der menes med interagerende systemer, vil vi først beskrive, hvad en Einstein solid er så simpelt som muligt. Derefter vil vi forklare, hvordan to af dem kan interagere via et konkret regneeksempel og til sidst forklare, hvad det så forklarer i forhold til vores projekt. Vi vil ikke gå særligt meget i dybden med egenskaberne for selve denne Einstein solid, men vi vil forklare, hvordan den kan benyttes til at illustrere et eksempel på statistisk mekanik, der skal fortælle os noget om sandsynligheder for tilstande i systemer, der indeholder energienheder. 1 Einstein solid er den engelske betegnelse for det der på dansk hedder Einsteins model for faste stoffer. 19

20 Teorien for en Einstein solid har til dels med kvantemekanik at gøre, hvilket vil være for kompliceret at forklare i forhold til vores projekts fokus og målsætning. For at gøre det så enkelt som muligt, skal man forestille sig en Einstein solid som værende bestående af en masse mikroskopiske systemer, som hver især kan lagre et vilkårligt antal energienheder i diskrete værdier, som alle er lige store. Disse energienheder kunne f.eks. repræsentere temperatur. De mikroskopiske systemer som kan lagre energienhederne, kaldes for kvanteoscillatorer og repræsenter atomers oscillation i et fast stof. I et tredimensionelt fast stof kan hvert atom oscillere i tre uafhængige retninger, hvilket således giver tre oscillatorer pr. atom. Modellen kaldet en Einstein solid med kvantificerede energienheder blev foreslået først gang af Albert Einstein i 1907 [Schroeder, 2000]. For at kunne tale om statistiske sandsynligheder i forbindelse med en Einstein solid, er det nødvendigt at finde et udtryk for dens multiplicitet, som funktion af antallet af oscillatorer og antallet af energienheder. Den generelle formel for multipliciteten for en Einstein solid ser således ud, og er lavet udelukkende ud fra sandsynlighedsregning [Schroeder, 2000]: ( q + N 1)! Ω( N, q) = (1.1) q!( N 1)! hvor Ω = multipliciteten, N = antallet af oscillatorer og q = antallet af energienheder Nu vil vi så betragte to interagerende Einstein solids. I [Schroeder, 2000] antages det, at sådanne to solids er svagt sammenkoblede, hvilket betyder at energiudvekslingen mellem solid A og solid B (se figur 9), forløber meget langsommere end energiudvekslingen mellem atomerne i den enkelte solid. Derfor er den samlede energi for den enkelte solid konstant over tilstrækkeligt korte tidsskalaer. Her betyder ordet makrotilstand således Figur 9 To Einstein solids som kan udveksle energi med hinanden i et system, der er isoleret fra resten af universet [Figuren er tegnet af gruppen selv]. den tilstand, hele systemet er i, når energierne i de to solids midlertidigt er fastholdte. Over længere tidsskalaer vil de to solids udveksle energi mellem 20

21 hinanden. Det er således muligt at beregne multipliciteten for de enkelte mulige makrotilstande og systemets samlede multiplicitet, dvs. samtlige mulige mikrotilstande. Vi vil nu lave et regneeksempel for at gøre det lidt mere konkret. Vi har to lige store Einstein solids A og B, som således begge har det samme antal oscillatorer, dvs. N A = N B = 10. For hele systemet er der i alt q total = 20 energienheder, som kan lagres fordelt på q A og q B, hvor det selvfølgelig hele tiden må gælde at q A + q B = q total, da systemets totale energi er konstant. Desuden antages det at de to solids er svagt koblede. Det er umiddelbart ret simpelt at beregne det samlede antal makrotilstande for systemet, hvilket kan gøres ved at se på, hvilke værdier q A kan antage. Det er følgende værdier 0, 1, 2, 3 19, 20. Altså 21 i alt. Der vil derfor gælde, at når q A = 0, så er q B = 20, og når q A = 1, så er q B = 19 osv.. For at beregne det samlede antal mikrotilstande, hvilket er det samme som multipliciteten for alle makrotilstande og dermed systemets samlede multiplicitet, er det letteste at se på det samlede system bestående af 20 oscillatorer og 20 energienheder. Dvs. at systemet betragtes som én Einstein solid. Det er muligt at bestemme antallet af tilstande, da det ikke afhænger af, hvorledes de er sammenkoblede, men afhænger af hvor mange måder hvorpå energienhederne kan fordeles. Vi benytter ligning (1.1): ( )! Ω( N total, qtotal) = = 6, !(20 1)! 10 Det ses at selvom vi kun har 20 oscillatorer og 20 energienheder i alt, er det samlede antal mikrotilstande for sådan et system et stort tal. Det interessante er nu at undersøge, hvor stor sandsynligheden for de forskellige makrotilstande er. Sandsynligheden beregnes på følgende måde: Ωx Px = (1.2) Ω N, q ) ( total total Hvor P x = Sandsynligheden for makrotilstand x, Ω x = multipliciteten for makrotilstand x og (N total,q total ) = systemets samlede multiplicitet Nu ønsker vi at beregne sandsynligheden for, at energienhederne er ligeligt fordelt mellem Solid A og Solid B. For at gøre dette skal vi beregne multipliciteten Ω A for Solid A, hvor q A = 10, og 21

22 multipliciteten Ω B for solid B hvor q B = 10. Multipliciteten for denne makrotilstand Ω total = Ω A Ω B, da systemerne er uafhængige af hinanden. Så for hver af de Ω A mikrotilstande tilgængelige for solid A findes der Ω B mikrotilstande tilgængelige for solid B. Da solid A og solid B er fuldstændig ens, gælder Ω total = Ω A Ω B = Ω 2 A = Ω 2 B. ( )! ΩA( N A = 10, qa = 10) = = 92378, 10!(10 1)! Ω total = = 8, Dernæst skal vi indsætte dette i ligning (1.2) for at beregne sandsynligheden: P qa= 9 8, = = 0, % 10 6, Hvis vi nu ønsker at finde sandsynligheden for, at alle energienhederne er samlet i Solid A, skal vi først beregne multipliciteten for solid A, hvor q A = 20, og multipliciteten for solid B, hvor q A = 0, og gange dem sammen. Da der ikke er nogle energienheder i solid B, gælder at Ω B = 1. Derfor gælder at Ω total = Ω A: ( )! Ω( N A = 10, qa = 20) = = 1, !(10 1)! Dernæst skal vi indsætte dette i ligning (1.2) for at beregne sandsynligheden: 7 P 7 1, qa= 20 = = 1, , Det er altså meget usandsynligt, at finde alle energienhederne samlet i solid A. Derimod er der hele 12% sandsynlighed for at energienhederne er ligeligt fordelt mellem solid A og solid B, hvilket er et meget overvældende tal til sammenligning. Grafen for sandsynligheder vil fordele sig symmetrisk omkring q A = 10, og der vil eksempelvis være langt større sandsynlighed for q A = 7 end for q A = 3. 22

23 Sandsynlighederne beregnes her i en tabelværdi til sammenligning: q A q B Ω A Ω B Ω total P , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabel 1 Tabellen viser de forskellige makrotilstande og deres tilsvarende multiplicitet for et system af to Einstein solids med 10 oscillatorer i hver, og 20 energienheden i alt. Kolonnen yders til højre viser sandsynligheden for makrotilstanden angivet i procent. 23

24 Sandsynlighedsfordeling 0,14 0,12 0,1 0,08 P 0,06 0,04 0, qa Figur 10 Sandsynlighedsfordelingen vil være symmetrisk omkring det mest sandsynlige udfald. I denne figur er 10 det højst sandsynlige, og derfor ses en symmetri omkring 10 [Figuren er lavet af gruppen selv]. Hvis vi så betragter et større system, vil det vise sig, at toppen på grafen vil blive smallere i forhold til den fulde horisontale skala. Dette skyldes, at der vil være færre af de samlede makrotilstande, som vil være sandsynlige. Når systemet når en størrelse, der minder om de størrelser, der observeres i naturen, er det kun en uendeligt lille mængde af makrotilstandene, som er reelt tilgængelige. Dette medfører at vi f.eks. aldrig vil se, at alle luftmolekylerne i et rum spontant vil samle sig oppe i højre hjørne af rummet. Ud fra dette kommer termodynamikkens 2. lov: Et stort system i ligevægt vil befinde sig i den makrotilstand med højest multiplicitet [Schroeder, 2000, s. 74 oversat fra engelsk]. 24

25 Det er dog ikke helt så simpelt. Denne lov bliver ikke altid formuleret så skråsikkert. Schroeder formulerer selv den samme lov således: Multipliciteten har det med at stige [Schroeder, 2000, s. 74 oversat fra engelsk], Der er altså en underlig uklarhed omkring termodynamikkens 2. lov, hvilket også er grunden til, at vi har valgt at beskæftige os med netop denne. Det interessante er således, at denne lov er baseret på sandsynlighedsregning og matematik om meget store tal, og dermed ikke er indbygget i naturens fundamentale love. Men alligevel behandles termodynamikkens 2. lov som fundamental for systemer så store, at vi kan se dem med vores øjne. Dette skyldes, at sandsynlighederne bliver overvældende store [Schroeder, 2000, s. 85]. 25

26 5. Videnskabsteori Dette kapitel er en teoretisk gennemgang af den videnskabsteori, som er relevant i forhold til vores projekt. 5.1 Videnskabshistorie og indledende perspektiver Hvornår grundlaget for den videnskab, som vi kender i dag, begyndte at tage form, kan være svært at give et helt eksakt svar på. Det afhænger også af, hvilket niveau videnskaben skal være på, før det accepteres som videnskab. Vi tager i dette projekt udgangspunkt i den type naturvidenskab, der i sit væsen stræber efter teoretisk viden og forståelse af naturprocesser lidt forenklet sagt. Dette uddybes gennem følgende kapitel. Et andet syn på, hvornår noget er naturvidenskab kunne også være, at det gælder, når det er en stræben efter at løse opgaver i samfundet vha. teknologi i en eller anden forstand [Kragh, 1999, s. 9-10]. Den videnskab, som vi fokuserer på, og som ud fra ovenstående opfattelse er videnskab, opstod i antikkens Grækenland. Før grækerne var den ægyptiske og babylonske form for videnskab meget praktisk orienteret. De havde mange systematiske observationer, men søgte ikke svar på, hvorfor tingene var, som de var, gennem deres form for videnskab, men fik tilstrækkelige svar gennem religion. Grækerne indførte en anden vigtig dimension: abstraktion og teori. Gennem dette nye perspektiv søgte naturvidenskaben at svare på, hvorfor verden er, som den er. Der var engagement og dialog mellem de såkaldte naturfilosoffer, og hypotesen blev indført [Kragh, 1999, s. 9-10]. De første græske naturfilosoffers arbejde var spekulativt og kvantitativt, dvs. der var stort set ikke nogle konkrete eksperimenter involveret. Omkring 400 år før vor tidsregning blev de første matematiske argumenter fremført bl.a. i form af pythagoræerne og Platon. Senere opstod de geometriske modeller for verdensrummet, kulminerende med Ptolemæus. Matematikkens deduktive struktur fascinerede de græske tænkere. Aristoteles var meget karakteristisk for det, som de græske tænkere var de første til at gøre, nemlig at opfatte naturvidenskaben som et system af viden, der logisk kunne udledes af nogle få grundlæggende principper. Noget kendetegnende for de græske tænkere var, at den teoretiske argumentation blev vægtet højt, mens eksperimentelt arbejdet nærmest ikke fandt sted, så deres videnskab var meget statisk, og fremskridt ikke en del af deres tradition [Kragh, 1999, s ]. Dette kapitel om videnskabsteori vil ikke gå meget yderligere i dybden med de antikke grækere og tiden derefter gennem middelalderen osv., men vil primært 26

27 fokusere på de videnskabsmænd og -teoretikere, som var afgørende i perioden efter 1600-tallets Europa. Indtil da var videnskab svagt forankret og præget af en mørk middelalder i Europa. Der var efter det. 12. århundrede en genopdagelse af Aristoteles, dog var religion samt kirkens autoritet meget dominerende. Kragh [1999] omtaler den naturvidenskabelige Revolution, der foregik omkring 1580 til 1680, som videnskabens virkelige fødsel og som værende den eneste virkeligt omfattende radikale revolution i videnskabens historie. Dette førte til store ændringer, forstået på den måde, at der udvikledes et videnskabeligt system, som minder meget om det, moderne forskere bruger i dag. Der skete gennem en langvarig proces et brud med middelalderens aristoteliske opfattelse [Kragh, 1999, s.12-13]. Denne aristoteliske opfattelse var dominerende for naturvidenskabstænkningen i Europa frem til slutningen af middelalderen. En af de centrale pointer var, at alting har sin naturlige plads, som det vil stræbe at komme tilbage til, eksempelvis en sten der falder til jorden. Nu er det den newtonske mekanik, som beskriver dette fald [Sjøberg, 2007, s. 290]. Aristoteles beskrev således bevægelser meget intuitivt og direkte, og på den måde forholder de sig tæt til det observerede. Newtons love er mere abstrakte [Sjøberg, 2007, s. 346]. Et symbol på den nye videnskab er Kopernikus verdensbillede fra Dette er også omtalt som et paradigmeskift ifølge Thomas Kuhns ( ) teorier [Sjøberg, 2007, s.24]. Vi vender tilbage til Thomas Kuhns teorier i kapitel 5.6. De største ændringer i naturerkendelsen var mest i opfattelsen af, hvordan videnskaben burde være, i højere grad end nye videnskabelige opdagelser i sig selv. Mens der tidligere blev lagt vægt på specielle og enestående fænomener, var det nu de almindelige og gentagelige fænomener, som var interessante. De blev som videnskabens centrale objekter genstand for eksperimenter. Dette var altså den nye metode. Videnskaben var nu en slags fælles projekt iblandt forskere, hvor målet var kollektivt at opfylde den nye tids mål, nemlig at stræbe efter at beherske naturen på den bedst mulige måde for menneskene. På en måde kan man sige, at videnskaben var upersonlig og også knyttet til moral, religion og politik. Der kom bl.a. tidsskrifter, og omkring begyndelsen af det 18. århundrede havde videnskaben stor indflydelse i Europa både socialt og intellektuelt [Kragh, 1999, s.14-15]. 5.2 Enkelthed og forudsigelse som mål Det er flere steder beskrevet som et mål for naturvidenskaben at beskrive eller forklare verden så enkelt som muligt via så få basale antagelser som muligt. Dette er ikke ensbetydende med, at den 27

28 skal være let at forstå, men at der fjernes overflødige antagelser eller antagelser, som ikke er fuldstændigt nødvendige for at forklare en logisk sammenhæng. Teorierne skal gerne være så få som muligt, og enkelt formulerede matematisk set [Sjøberg 2007, s ]. Et meget konkret eksempel på enkelthed i praksis, eller måske nærmere standardisering, er SIsystemet. Så i princippet kan alle størrelser måles vha. disse grundenheder i forskellige kombinationer. F.eks. energi, [joule] = [Newton x meter] = [kilogram x meter/sekund 2 ] x [meter]. Effekt beskrives som energi pr. tid, men det er i princippet den samme størrelse uanset, om den er beskrevet ved forskellige enheder som watt, hestekræfter eller kalorier pr. dag. Da der udvikledes forskellige discipliner, kan der også tales om forskellige revolutioner, bare i en fælles ramme for, hvad der er videnskabeligt. Altså var noget af det, som forskere og filosoffer diskuterede, hvordan kategoriseringen af de forskellige videnskaber skulle forgå. Formålet var at lave en slags hierarki. I årtierne omkring år 1800 skelnes der imellem deskriptive naturhistoriske videnskaber og de analytiske naturfilosofiske videnskaber, også kaldet de fysiske videnskaber. Der var lidt en tendens til at opfatte de analytiske naturfilosofiske videnskaber som værende på det højeste udviklingstrin af de to. Der var også en anden opdeling eller skelnen omkring år 1800, som stadig kan bruges i dag. En skelnen mellem realvidenskaber og formalvidenskaber. Opdelingen var dog også forskellig fra det nuværende klassifikationssystem, da de nuværende hoveddiscipliner først opstod fra midten af det 19. århundrede [Kragh, 1999, s.15] Realvidenskaber Fysik og astronomi er eksempler på videnskaber der hører under realvidenskaber. Det er altså videnskaber, der studerer virkeligt forekommende fænomener i naturen. Herunder hører også statistisk mekanik Formalvidenskaber Matematik, som ikke har naturen som referenceområde, hører under formalvidenskaber. Så i sig selv er matematik ikke en naturvidenskab, i den forstand at det forholder sig direkte til empiri, som noget der skal beskrive den grundlæggende logik i matematikken. Matematikken kan opfattes som et sprog eller et redskab, som er tæt knyttet til f.eks. fysik og astronomi. På den måde bliver det i praksis opfattet som naturvidenskab. 28

29 I nogle ekstreme grader tales der blandt andet også om en slags reduktionisme, der går ud på, at fysik udgør fundamentet for al videnskab, fordi den beskæftiger sig med grundlæggende lovmæssigheder, for de ting vi kan operationalisere 2. Derfor siger reduktionismen i sin mest karikerede form, at al kemi kan beskrives vha. fysik, mens al biologi kan beskrives vha. kemi osv. Således kan psykologi ifølge reduktionismen i sin mest karikerede form nærmest udledes af en naturvidenskabelig forståelse af livsprocesserne, og herudfra sige noget om sociologi og samfundsvidenskab. Det er usandsynligt, at filosoffer og videnskabsteoretikere har dette lidt unuancerede synspunkt i sin mest ekstreme grad. Det kan alligevel illustrere, hvordan naturvidenskabsfolk gennem tiden er blevet beskyldt for at tænke reduktionistisk [Sjøberg, 2007, s. 73]. Der er også givet et eksempel på, hvordan rækkefølgen i reduktionismens hierarki kan være [Kragh, 2004, s. 267]: Sociologi biologi kemi fysik ( matematik logik). Sammenfattet er det vigtigt for naturvidenskaben, at de mennesker der arbejder med den, taler et fælles sprog, så kommunikationen bliver videnskabelig. Vi vil senere komme med en nærmere beskrivelse af forskellige videnskabsteoretiske tilgange til diskussionen af videnskabens beskrivelse af naturen. Altså hvordan videnskabens beskrivelse af naturen skal kunne redegøre for kendte observationer og fænomener. Et andet mål for naturvidenskaben er at kunne forudsige. Det handler om at kunne forudse, hvad der vil ske under givne forudsætninger eller omstændigheder. Eller at kunne beskrive nye egenskaber ved verden eller virkeligheden [Sjøberg, 2007, s. 76]. Sjøberg [2007] nævner to vigtige kriterier, som kan være gode retningslinjer for at kunne adskille videnskab fra ikke-videnskab, selvom det ikke er helt enkelt at opstille det sådan: 1. At videnskabelige ideer skal kunne kritiseres, og dermed forkastes hvis argumenterne ikke holder. 2. At videnskabelige ideer kun kan begrundes ud fra overensstemmelse med virkeligheden. De kan således ikke begrundes ud fra noget overnaturligt, guddommeligt, autoritært eller ud fra tradition [Sjøberg, 2007, s. 77]. 2 At operationalisere: det at definere et begreb ved at angive, hvordan det skal måles eller opregnes. 29