MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1"

Transkript

1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016

2 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01 Dette hæfte indeholder løsninger af matematik A eksempler på eksamensopgaver fra opgavekommissionen. I kapitel 1 vil man som læser se, at opgaverne løses uden hjælpemidler og efterfølgende med kapitel og op til kapitel 8 løses med hjælpemidler. Der løses ingen eksamensopgaver, kun eksamensopgaver som har været anvend som vejledning, derved løses kapitel 9 ikke. For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne. 016 Side 1 ud af 33

3 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01 Opgave Opgave 1.00 STX matematik A niveau, kapitel 1 opgaver uden hjælpemidler. Cirklen har koordinaterne Cirklens ligning er Heri indsættes oplysningerne C(3, ) samt radius 5 (x a) + (y b) = r (x 3) + (y + ) = 5 Da koordinatsættet for andenaksen ønskes, sættes x = 0. (0 3) + (y + ) = (y + ) = 5 (y + ) = 16 y + = ± 16 y + = ±4 4 = 6 y = + 4 = Som er koordinatsættet til andenaksen, når x = 0. Ligningen x y + 1 = 0 Samt punktet P(4,3) er givet. Man omformer ovenstående til en lineære model. y = x + 1 Da den ukendte linje skal være ortogonal med ovestående, skal begge deres hældningskoefficienter kunne give 1 a =, c = ukendt SÅ c = 1 c = 1 Som er hældningskoefficienten for den anden linje. Nu kan d-værdien findes ved indsættelse af punktet P. 3 = d d = 5 Så linjen der står vinkelret på l er y = 1 x + 5. Side ud af 33

4 Opgave Der er givet en cirkel med koordinatsættet C(,1) og r = 5 samt linjen l = x + y 6 = 0 Der undersøges for, om linjen skærer cirklen. Derfor anvendes dist formlen. Værdierne indsættes ax + by + c dist(c, l) = a + b ( ) dist(c, l) = = Dvs. cirklen skærer linjen to steder. Opgave En skitse er tegnet. Så her bestemmes arealet. Der laves to vektorer AB = ( 8 6 ) AC = ( 5 1 ) Herved anvendes formlen for arealet T = 1 det(ab, AC ) = = 1 ( ) = 1 (96 30) = 1 66 = 33 Så arealet er 33. Side 3 ud af 33

5 Opgave Opgave En ligning for en cirkel er givet. Der vælges et andet symbol. Skriv ligningen her. θ: x 4x + y + y = 11 l: y = x + 1 Skæringspunktet mellem θ og l findes. Linjen l indsættes i θ x 4x + (x + 1) + (x + 1) = 11 x 4x + x + x x + = 11 x + 3 = 11 x = 8 x = 4 x = ± Så disse værdier indsættes i linjen. y = + 1 = 1 y = + 1 = 3 Så koordinatsættet til skæringspunkterne er P(,3), Q(, 1) Da cirklen har centrum i C(3, ) og punktet P(0,) som linjen går igennem, kan man opstille en ligning. Først laves en normalvektor Linjens ligning er CP = ( 3 0 ) = ( 3 4 ) Heri indsættes punktet P og vektor CP a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 3(x 0) 4(y ) = 0 3x 4y + 8 = 0 Som er linjens ligning, som tangerer cirklen. Side 4 ud af 33

6 Opgave En ligning for cirklen er givet ved Her er cirklens ligning Så ligningen omformes. Så koordinatsættet er x + 8x + y 4y = 10 (x a) + (y b) = r (x + 4) 16 + (y ) 4 = 10 (x + 4) + (y ) = (x + 4) + (y ) = 30 C( 4,), r = 30 Opgave En ligning for cirklen er givet. C: x 6x + y + 4y 3 = 0 l: x + y = 8 Så her indsættes l på C, men først omformes l Dette indsættes på y. x = 8 y x 6x + y + 4y 3 = 0 (8 y) 6(8 y) + y + 4y 3 = 0 4y 3y y + y + 4y 3 = 0 5y 16y + 13 = 0 Som løses som en andengradsligning d = b 4ac = ( 16) = 4 Og da diskriminanten er mindre end 0, er l ikke tangent! Opgave Da skæringspunktet skal være på førsteaksen, sættes y værdierne lig med 0. Så ligningen (x + ) + (y ) = 8 (x + ) + (0 ) = 8 (x + ) + 4 = 8 (x + ) = 4 x + = 4 x + = ± Så x = + = 0 som er rødderne ved førsteaksen. = 4 Side 5 ud af 33

7 Opgave Der er givet en vektor i planen samt et punkt. Så laves en linje vha. linjens ligning a = ( 3 ), P(1, 5) a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 Heri indsættes vektoren og punktet. Grafisk: 1 3(x 1) (y + 5) = 0 3x 3 y 10 = 0 3x y 13 = 0 Så hermed er ligningen fundet. Nu bestemmes der en parameterfremstilling af formen Så værdierne indsættes. ( x y ) = (x 0 y 0 ) + t ( r 1 r ) ( x y ) = ( 1 5 ) + t ( 3 ), Som er parameterfremstillingen. t R 1 Godt nok er første kapitel uden hjælpemidler, men grafen illustrerer for dem, som også vil have en grafisk fortolkning af opgaven. Side 6 ud af 33

8 Opgave Opgave 1.01 Der er givet to vektorer i planen. Der ønskes bestemmelse af længden af den korteste diagonal. Lad vektorerne være givet a = ( 5 ), Her findes koordinaten til c først. c t = ( t t 3 ), c = ( 3 ) = ( 4 1 ) t R Så regner man på det ved at lægge a til c og efterfølgende prøve at trække dem fra hinanden. a + c = ( 5 ) + ( 4 1 ) = (9 1 ) = a + c = = 8 a c = ( 5 ) ( 4 1 ) = (1 3 ) = a c = = 10 Så den korteste diagonal er når vektor a trækkes fra vektor c. Udtrykket Først deles udtrykket op. 3 (p + q) 6p (q p) 3 (p + q) = (3p + 3q) (p + q) = 3p + 3q + 6pq Tilbage til andet led. 6p (q p) = 6pq + 6p Som nu sættes sammen med første led. Som er løsningen. 3p + 3q + 6pq 6pq + 6p = 9p + 3q Side 7 ud af 33

9 Opgave Opgave Opgave Udtrykket Udtrykket deles op. Nu midterste led. Endelig det sidste led. (a + 3b) 3b(4a + b) (a + b)(a b) Nu klistres det hele sammen igen. Der forkortes ud. Brøken er givet (a + 3b) = 4a + 9b + 1ab 3b(4a + b) = 1ab 6b (a + b)(a b) = 4a + b 4a + 9b + 1ab 1ab 6b 4a + b 4b a ab + b (a b) a b = = (a b) (a b) Som er det korteste man kan forkorte ud. Der er givet en række oplysninger. Her er a = og punktet P(3,0) dvs. den skærer førsteaksen. Her indsættes oplysningerne. Så den lineære funktion er y = ax + b 0 = 3 + b 0 = 6 + b b = 6 y = x + 6 Side 8 ud af 33

10 Opgave Opgave Opgave Der aflæses fra tabellen. Først opskrives modellen ud fra kriterierne f(x) = a 1 x + b Så har man tabellens værdier. Man kan bestemme tallene a og b. 1 = a b 3 = a b Her løses det som en ligning system. 1 ( 3) = a a 3 = a 1 a 3 = a 3 a = 3 Så indsættes a i første udtryk (eller andet udtryk hvis man vil). Så hermed er funktionen 1 = b b = 4 1 f(x) = 3 x 4 Som går gennem de relevante punkter. Der ses tre grafer. f 1 er en voksende lineære funktion, hvor a > 0 og b < 0. f er en aftagende lineære funktion, hvor a < 0 og b > 0. f 3 er en ret konstant linje, hvor a = 0 og b > 0. En lineære model for kugler i en dåse er givet. (Ingen enhed er angivet, så der antages at det er gram.) f(x) = 10x + 00 Hvor tallet a fortæller, at jo flere kugler der kommer i, jo mere øges vægten. Tallet b fortæller, at uden kugler i dåsen, er vægten 00g. Side 9 ud af 33

11 Opgave Opgave 1.00 Opgave 1.01 En lineære model for kugler i en dåse er givet. (Ingen enhed er angivet, så der antages at det er gram.) f(x) = 10x + 00 Vægten af dåsen bestemmes ved at tømme den for kugler, den er tømt når x = 0 så f(x) = , så der antages, at dåsen vejer 00gram. Nu undersøges der for vægten af en kugle. Dette gøres ved at smide en kugle i dåsen, så x = 1. f(1) = = 10g Derfor må en kugle veje 10g. Dette kan man også fortolke ved at sige: For hver kugle der kommes i, øges vægten med 10g. Andengradsligningen løses Diskriminanten benyttes Dvs. én rod. x 6x + 9 = 0 d = b 4ac = ( 6) = 0 x = b a = 6 = 3 Der skal udføres faktorisering af andengradspolynomiet (den samme som ligningen). Så indsættes rødderne. f(x) = a(x r 1 )(x r ) f(x) = (x 3) For hvis man anvender en kvadratsætning (nr. ), fås andengradsligningen igen. (Eller polynomiet). Der undersøges, om x = 1 er løsningen = = 0 1 = 0 Så det er ikke løsningen til ligningen. Side 10 ud af 33

12 Opgave 1.0 Opgave 1.03 Opgave 1.04 Polynomiet P(x) = x 3 + kx 3x + 6 Der bestemmes for tallet k, så er rod i polynomiet. 0 = ( ) 3 + k ( ) 3 ( ) = 8 + 4k = 4k + 4 k = 1 Så man får som rod, når k = 1. Ligningen er givet i faktoriseret form. (x 1)(x + 3) 7 = 0 Man kan bare pille rødderne ud, så rødderne er Man kan også anvende nulreglen. x = 1 x = 3 (x 1) = 0 x = 1 (x + 3) 7 7 = 0 x + 3 = 0 x = 3 Den lineære forskrift bestemmes vha. punkterne P(,10) og ( 3,0) a = y y 1 = 0 10 x x 1 3 = 10 5 = b = y 1 ax 1 = 10 = 6 Så forskriften for f, der går gennem punkterne er Der løses en ligning for f(x) = 3 f(x) = x = x = x x = 1.5 Side 11 ud af 33

13 Opgave 1.05 Opgave 1.06 Andengradspolynomiet bestemmes. Den bestemmes. Så løses den for x. f(x) = x x d = b 4ac = ( 1) 4 1 ( ) = 9 x = 1 ± 3 = 1 Nu kan man opskrive faktorisering af polynomiet Så indsættes tallene Der er givet en parabel. Der ønskes toppunktet. Den findes. Hvor f (x) = 0 f(x) = a(x r 1 )(x r ) f(x) = 1 (x )(x + 1) f(x) = x + 6x + 1 f (x) = 4x + 6 Som indsættes i f(x). Så koordinatsættet er 4x + 6 = 0 4x = 6 x = 3 f ( 3 ) = (3 ) + 6 ( 3 ) + 1 = 11 T = ( 3, 11 ) Man kan også bruge den klassiske metode til at finde toppunktet Side 1 ud af 33

14 Opgave 1.07 En ligning er givet. kx + kx 1 = 0 Hvor k 0, k R Så her anvendes diskriminanten, hvor det kræves, at d = 0 for netop en løsning! Værdierne indsættes d = b 4ac k 4 k ( 1) = 0 k + 4k = 0 k(k + 4) = 0 k = 0, men den forkastes, da k 0 k + 4 = 0 k = 4 Som giver én rod. Derved er ligningen 4x 4x 1 = 0 Opgave 1.08 En parabel er givet ved forskriften f(x) = 4x + 3x Her ses det, at parablen er voksende og den ligger i 3. kvadrant, hvor den skærer y aksen i, så a > 0 b > 0 c < 0 d > 0 Side 13 ud af 33

15 Opgave 1.09 Parablen er givet Toppunktet bestemmes. 1) T xy -metoden y = x x T x = b a, T y = d 4a Så her findes diskriminanten. d = b 4ac d = ( 1) 4 1 ( ) = 9 Så toppunktet findes T x = 1 0.5; T y = ) Differential-metoden. Løses som en ligning y = x 1 x 1 = 0 x = 1 x = 1 Nu findes y koordinaten. y = 1 1 = =.5 Det passer. Begge metoder virker hver gang. En skitse: Metoden er, at man kender toppunktet og så kan man ellers lave sig en bane. Side 14 ud af 33

16 Opgave Der er tre polynomier, F = a > 0 b > 0 c > 0 d > 0 G = a > 0 b < 0 c > 0 d < 0 Opgave H = a < 0 b > 0 c < 0 d > 0 Godt nok blev b og c bestemt, udover a og d. Der er givet en funktion Der ønsket en tegning. f(x) = ax x + 3 Der kunne naturligvis tegnes et hav af parabler, men det gøres ikke. Side 15 ud af 33

17 Opgave 1.03 Opgave Så her er punkterne givet og man kan opstille en andengradspolynomium ved at gøre følgende: Så har man rødderne og punktet f(x) = a(x r 1 )(x r ) f(x) = a(x 5)(x 9) Hvis man indsætter punktet og isolerer for a fås Så har man Derved fås polynomiet 4 = a(7 5)(7 9) a = 1 f(x) = 1(x 5)(x 9) f(x) = x + 14x 45 Der er givet en kasse. Volumen for en kasse er V = l b h Herved aflæses det, at volumen i en bestemt kasse er 15. Begge sidelængder (l b) er x, så 15 = x h h = 15 x Da man ønsker at vide overfladearealet som funktion af x, anvendes overfladearealformlen. A overflade = b h + l b + l h Så kan man se, at b og l svarer til x, og h svarer til ovenstående udtryk. A(x) = x 15 x + x + x 15 x = 50 x + 50 x + x = 500 x Som angiver arealet. + x Side 16 ud af 33

18 Opgave Opgave Der er givet oplysningerne. Den korteste katete antages som værende: Her kan man anvende Pythagoras. Så her indsættes oplysningerne Så løses en andengradsligning Så man har Katete kort = x Katete lang = 3 x Hypotenuse enheder = 3 + x a + b = c x + (3 x) = (3 + x) 10x = 9 + 6x + x 9x 6x 9 = 0 d = b 4ac = ( 6) 4 9 ( 9) = 360 x = b ± d a Den negative værdi forkastes! = 6 ± Så her er der omvendt proportionalitet. (MAT C bogen) Så her er Da N d = k y = b x 1 N = k d = Side 17 ud af 33

19 Opgave Der er givet oplysninger til en eksponentiel model. Hvor Så finder man a. Så funktionsudtrykket er P = b a h b = 1 5 = ln (1 ) ln() ln(a) e ( 5 ) h h P = 1 (e (ln() 5 ) ) => P = (e (ln() 5 ) ) Opgave Der er funktionen over trykket i atmosfæren. P = ( 1 ) h 5 Volumen af idealgas er omvendt proportional med trykket. Ligesom forrige opgave, er udtrykket V P = k. Man får endvidere oplyst, at når volumen ved jordoverfladen er, er højden 0, så der regnes for P. Så man har en ligning. Så her er Så er er udtrykket P = ( 1 ) 0 5 = 1 1 = k k = V ( 1 ) h 5 = V ( 1 ) h 5 ( 1 ) h 5 V(h) = ( 1 ) h 5 = ( 1 ) h 5 = ( 1 h ) 5 Side 18 ud af 33

20 Opgave Opgave Opgave Først aflæses grafen. Da C er langsomt voksende, er a-værdien knap så stor som de andre funktioners aværdi, hermed betyder det, at C har den største fordoblingskonstant. Det aflæses på grafen, at f 1 har den største voksende a-værdi, for a > 1 f er en aftagende eksponentiel funktion, hvor 0 < a < 1. f 3 er den samme som f 1, men med en mindre a-værdi, dog er a > 1. Man får angivet en række punkter. Så regnes b Så den eksponentielle model er x x1 a = y 4 = 9 = 9 = 3 y 1 1 b = y 1 a x 1 = 1 3 = 1 9 Opgave Opgave 1.04 Her har man Så f(x) = 1 9 3x T = 5, f(3) = 4.5 f(8) = f(3 + 5) = f(3) = 4.5 = 9 Man har at T1 = 10 og at f(1) = 30 Altså er f() = 60. Når man går 10 ud af x-aksen, halveres y med.deraf fås f() = 60. Går man yderligere ud, fås f() = 15 osv. Side 19 ud af 33

21 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave På en graf ses der to punkter. Fordoblingskonstanten findes. Det ses, at differencen mellem det første og andet punkt er 3, og det ses desuden også, at i det område, er y-værdien vokset det dobbelte, altså er fordoblingskonstanten 3. Der er givet en model over pølsers holdbarhed D(T) = T Når der er 0 o C er holdbarheden ca. 16 dage. Hvorefter dette aftages med = 1 + r r % = 10.87% Som er holdbarheden, som aftages, når temperaturen øges. En funktion f(x) = x 3 + e x er givet. Den differentieres. f (x) = 3x + e x En funktion f(x) = e x + 3x er givet. Den differentieres. Nu indsættes f (0). f (x) = e x + 3 f (0) = e = 4 En funktion f(x) = 3 x + x5 er givet. Den differentieres. Opgave f (x) = 3 x + 5x4 En funktion f(x) = x + 3x = x x er givet. Den differentieres (på to måder) f (x) = 1 x + 3 f (x) = 0.5x Hvis man indsætter 9 i dem begge, fås det samme. f (9) = = = 19 6 f (9) = = = 19 6 Side 0 ud af 33

22 Opgave Opgave Opgave Der er givet en funktion f(x) = 7 ln(x) x Ligningen for tangenten bestemmes vha. punktet P(1, f(1)) Så ligningen for tangenten er Der er givet en funktion f(1) = 7 ln(1) 1 = f (1) = = 3 y = 3(x 1) y = 3x 5 f(x) = 4 x 1 Ligningen for tangenten bestemmes vha. punktet P(4, f(4)) f(4) = = 7 f (x) = 4 x = (x), f (4) = (4) = 1 Så ligningen for tangenten er En funktion er givet ved y = 1(x 4) + 7 y = x + 3 f(x) = 1 3 x3 x 5x Monotoniforholdene bestemmes vha. differentialregning. Så Løses mht. diskriminanten Så løses for x f (x) = 0 x 4x 5 = 0 d = ( 4) 4 1 ( 5) = 36 x = 4 ± 6 = 5 1 Fortsættes næste side Side 1 ud af 33

23 Da man har sine rødder for den afledede, kan man differentiere den afledede og indsætte rødderne fra ovenstående. Her indsættes rødderne fra f (x) = 0 f (x) = x 4 f (5) = 5 4 = 6 > 0 f ( 1) = ( 1) 4 = 6 < 0 Så hermed er lokal maks. fundet for f, som er i 5, tilsvarende for min. som er i 1. Derved er funktionen voksende i intervallet ] ; 1] aftagende i intervallet [ 1; 5] voksende i intervallet [5; [ Opgave 1.05 En afledet funktion er givet ved f (x) = x 1x Monotoniforholdene bestemmes vha. differentialregning. Så Løses mht. nulreglen Så rødderne er f (x) = 0 x 1x = 0 x(x 1) = 0 x = 1 x = 0 x = 1 Da man har sine rødder for den afledede, kan man differentiere den afledede og indsætte rødderne fra ovenstående. Her indsættes rødderne fra f (x) = 0 f (x) = x 1 f (0) = 0 1 = 1 < 0 f (1) = 1 4 = 0 > 0 Fortsættes næste side Side ud af 33

24 Opgave Så hermed er lokal maks. fundet for f, som er i 1, tilsvarende for min. som er i 0. Derved er funktionen Der er givet en funktion voksende i intervallet ] ; 0] aftagende i intervallet [0; 1] voksende i intervallet [1; [ f(x) = x 3 + x + 4x 3 Punktet P(0, f(0)) er givet. Der findes tangentligningen Punktet indsættes Så har man Ligningen omformes Og den parallelle linje f (x) = 6x + x + 4 f(0) = = 3 f (0) = = 4 Derved er linje y parallel med m. y = 4(x 0) 3 y = 4x 3 4x y 3 = 0 4x y + = 0 Side 3 ud af 33

25 Opgave Der laves en tegning ud fra oplysningerne og kravene. Opgave Her er f voksende i intervallet [3; 5] og [5; 8] samt aftagende i intervallet ]; 3] og [8; 10[ Funktionen f(x) = x 3 + bx + 3x + 4 Er givet. Der ønskes bestemmelse af et tal, b. a) Funktionen differentieres f (x) = 3x + bx + 3 Her er der en andengradspolynomium. Her anvendes diskriminanten. d = b 4ac Så har man d = (b) = 4b 36 Så der løses en ulighed. 4b b 36 b 9 3 b 3 Pga. roden. Derved ligger b i dette interval. Side 4 ud af 33

26 Opgave Der er givet en graf for f (x). Det ses, at funktionen f har lokale ekstrema i hhv. x = 3 x = 1 x = 4 Så man har lokal maks. i x = 1 og lokal min. i x = 3 x = 4 Monotoniforhold forklares: Da den afledede vises, kan man se hvordan den oprindelige funktion forløber sig. Da f er voksende i 4 til 3 og rammer grafen, ses det, at f er aftagende. Da f s forløb er over x-aksen i 3 og 1 ses det, at f er voksende. Her ses nu, at i x = 1 og x = 4 er f aftagende, for den afledede er under x-aksen. Efter x = 4 er f voksende. - Det vises grafisk: Opgave Så f er aftagende i intervallerne ] ; 3] og [ 1; 4] hvor f er voksende i intervallerne [ 3; 1] og [4; [ Der er givet en graf for en partikel. Først aflæses t. t = 1.5t/s er på y aksen 0.5s/m Nu differentieres funktionen og en ret linje tegnes. Man anvender hældningskoefficienten fra lineære funktioner. Ved t = 1.5 har man sin x 1 koordinat, tilsvarende for y 1 som er 0.5. Her aflæses et andet støttepunkt. x = 3 og y = 0.7 a = Δy Δx = y y = x x = = 0.3 Så partiklens hastighed er hermed 0.3m/s Side 5 ud af 33

27 Opgave Opgave Der er givet en graf for en steg i en oven som funktion af tiden. Først aflæses t. t = 40m er på y aksen 4 o C Nu differentieres funktionen og en ret linje tegnes. Man anvender hældningskoefficienten fra lineære funktioner. Ved t = 1.5 har man sin x 1 koordinat, tilsvarende for y 1 som er 0.5. Her aflæses et andet støttepunkt. x = 3 og y = 0.7 a = Δy Δx = 1 0 = 0.6 Så temperaturens hastighed er hermed 0.6 o C/m En partikel bevæger sig som funktion af tiden. Modellen Opgave Opgave a) Funktionen differentieres. Her indsættes S (16) så S(t) = 5t 1 S (t) =.5t 1 S (16) = = Så efter 16 sekunder, bevæger partiklen sig 0.65m/s Funktionen over en specielovn er givet f(t) = ln(8t + 1) =.5 4 = 0.65 Og f (3) = 48 fortæller, at 3 minutter henne i opvarmningen, stiger temperaturen med 48 grader celsius. Der er givet oplysninger om en befolkningstilvækst. N (40) = 0.07 Så 40 år efter 1950 vokser befolkningstallet med 0.07 tusinder (7 personer) for hvert år. Side 6 ud af 33

28 Opgave 1.06 Opgave Opgave Opgave (4x x ) 0 Integralerne bestemmes x 3 0 dx = [ 1 4 x4 ] = ( ) = 4 0 = 4 Så arealet er 4 mellem x = 0 og x = x 3 4 dx = 1 3 x4 +1 = [ x7 4] = ( ) = Så arealet er mellem x = 0 og x = Integralerne bestemmes 1 e x dx = [ ex 1 0 ln(e) ] = e 1 (e 0 ) = e 1 0 Så arealet er e mellem x = 0 og x = 1 1 dx = [ln x ] 1 x 1 = ln() (ln(1)) = ln() Så arealet er ln () mellem x = 1 og x = Integralet bestemmes dx = [x 1 3 x3 ] = ( ) = = 16 3 Da grafen formentlig ligger over x-aksen, er arealet nedenunder, det der bestemmes. Derved er det en form for geometri, idet der ligger på en plan indenfor en begrænsning (bestemte integraler). Integralet bestemmes ( 1 x + x) 4 dx = [ln x + x ] 4 = ln(4) + 4 (ln() + ) = ln(4) + 16 ln() 4 = ln() + 1 Side 7 ud af 33

29 Opgave Opgave Integralerne bestemmes Som er stamfunktionen. x 5 + dx = 1 6 x6 + x + k 3x e x3 +1 dx Der anvendes substitution ved integration. Her er Som indsættes i integralet. t = x 3 + 1, dx = 1 3x dt 3x e t 1 dt = et 3x Hvor t er x som indsættes tilbage. Som er stamfunktionen. Der er givet en funktion e t + k = e x k f(x) = x 3 4x Her findes først de områder, som afgrænser førsteaksen og et bestemt punktmængde. Der anvendes nulreglen og her findes rødderne. x(x 4) = 0 Her er x = 0, så løses resten som en ligning Så rødderne er Nu findes arealet. 0 T = f(x) Værdierne indsættes. x 4 = 0 x = 4 x = ± dx f(x) 0 x = x = 0 x = 0 dx = x 3 4x dx x 3 4x dx 0 Fortsættes næste side Side 8 ud af 33

30 [ x4 x ] [ 1 4 x4 x ] 0 = ( 1 4 ( )4 ( ) ) ( ( )) = = 8 Opgave Som er arealet af f. Der er givet to funktioner Begge afgrænser et område. a) Først løses en ligning. f(x) = 9 x, g(x) = x x = x + 3 x x + 6 = 0 Som er en andengradsligning. d = b 4ac = ( 1) 4 ( 1) 6 = 5 Løses for x Så kan integralet bestemmes. f(x) g(x) 3 Grafen ser sådan ud: x = 1 ± 5 = 3 dx = [9x 1 3 x3 ( 1 x + 3)] 3 = ( 1 + 3) (9 ( 3) 1 3 ( 3)3 ( 1 ( 3) + 3)) = 15 6 Side 9 ud af 33

31 Opgave Opgave Opgave Der er givet en tegning og en masse oplysninger. (Disse skrives ikke ind.) M 1 = f(x) 3 3 A = f(x) 3 dx = 6 15 dx = = Grunden til det negative fortegn er hvor arealet er placeret. Er arealet i 3. og 4. kvadrant, er fortegnet negativt. Der er givet en funktion f f(x) = x 3 4x Og punkterne, selvom det kun er to punkter der har relevans i denne sammenhæng. Det er punktet P(,0) og O(0,0), hvor O betyder Origo. (Centrum af koordinatsystemet). 0 M = f(x) Her indsættes værdierne og M findes. 0 dx = x 3 4x dx = [ x4 x ] ( 1 4 ( )4 ( ) ) = = 4 Som i forrige opgave var der angivet en masse oplysninger. Dette gør sig også gældende her. Der bestemmes for 0 M 1 = f(x) dx = 16 3 Fordi den ligger under x-aksen. Arealet af M findes M ( M 1 ) = ( 1 3 ) = = = = 567: : 9 = 63 4 Som er arealet. Side 30 ud af 33

32 Opgave 1.07 Opgave Der er givet en tabel. Der bestemmes arealet først. Så arealet er 1. A = g(x) dx = [f(x)] 1 = 10 ( ) = 1 1 Ligningen for tangenten bestemmes. Tangentligningen y = g (x 0 )(x x 0 ) + g(x 0 ) Værdierne indsættes y = g (1)(x 1) + g(1) y = 6(x 1) + 3 y = 6x 3 Som er tangenthældningen for g(x). Der er givet en funktion. f(x) = x 1 1, som også kan skrives sådan: f(x) = x 1 Så bestemmes integralet. 9 f(x) 0 dx = [ 9 3 x3 ] = ( 3 03 ) = 54 7 = 3 3 = 18 Så arealet er 18. Man ønsker en skitse. Opgave Så det ses, at et lille stykke er under førsteaksen, så hvis dette stykke var over x-aksen, vil arealet have været lidt større Her ses det, at B er den afledede af A, man ser på ekstrema. Der hvor B krydser førsteaksen, har A global maks., men også grafens forløb for B, når den kommer under førsteaksen, ses det, at A aftager. Side 31 ud af 33

33 Opgave Opgave Der er givet en differentialligning og et punkt P(,) dy 3y = x dx Man ønsker en linje for tangenten til f i P. Dette gøres enkelt. Her indsættes punktet P direkte. y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) y = f (x 0 )(x ) + Punktet P indsættes også i differentialligningen. Så det indsættes i y ved f (x 0 ) dy dx 3 = dy dx = = 10 y = 10(x ) + y = 10x 18 Som er tangenten til grafen for f i punktet P(,). Der undersøges, om f er en løsning til differentialligningen, når f er Og differentialligningen Her svarer f til y. f(x) = x 3 + x + x y 3y = 3x 3 x + 1 f (x) = 3x + x + 1 Den sættes ind på y samt f sættes ind på y. 3x + x + 1 3(x 3 + x + x) = 3x 3 x + 1 3x + x + 1 3x 3 3x 3x) = 3x 3 x + 1 3x 3 x + 1 = 3x 3 x + 1 Da begge er identiske, er f en løsning til differentialligningen. Side 3 ud af 33

34 Opgave Differentialligningen Hvor x R, y > 1 dy = (x + 1)(y 1) dx Så man har y 1 > 0 Man kan tegne sin monotonilinje, når man Så kan monotonilinjen tegnes. y < 0, for x < 1 y = 0, for x = 1 y > 0, for x > 1 Slut på kapitel 1 - opgaver uden hjælpemidler Kapitel handler om Geometri og vektorer fra bogen: Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01 Side 33 ud af 33

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 2016 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 Dette

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX Anders Jørgensen & Mark Kddafi 2016 matematikhfsvar.page.tl 8. august 2016 15. august 2016 Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A-24052016 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-1stx131-mat/a-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler

Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler Vejledende eksempler på eksamensopgaver hf B-niveau uden hjælpemidler 1001 7 a a a) Reducér udtrykket 4 a 100 5 a a) Reducér udtrykket 3 (a ) 1003 a) Løs ligningen x x 6 = 0 1004 a) Reducér ( a + b) a(

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog)

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog) Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik STX A-niveau (Rød bog).: C(,-) r = Cirklens ligning er: y Koordinatsystemets andenakse har =, og det bruges til at finde

Læs mere

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK B Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAB 574604_GL083-MAB_12s.indd 1 14/01/09 14:40:30 Matematik B Prøvens varighed

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Opgavesamling til Matematik A-niveau

Opgavesamling til Matematik A-niveau Opgavesamling til Matematik A-niveau Opgavesamlingen indeholder vejledende eksempler på eksamensopgaver som kan forekomme til den skriftlige eksamen på Matematik A-niveau ved GUX Grønland. Opgavesamlingen

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 011 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: x x1 0 Dette er en andengradsligning, der kan løses enten ved diskriminantmetoden eller ved at finde to

Læs mere

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 6. december 2013 kl stx133-mat/a

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 6. december 2013 kl stx133-mat/a Matematik A Studentereksamen stx133-mat/a-06122013 Fredag den 6. december 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Louise Jakobsen,

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014 Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for udvalgte sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne for en

Læs mere

MAT B GSK august 2007 delprøven uden hjælpemidler

MAT B GSK august 2007 delprøven uden hjælpemidler Opg MAT B GSK august 007 delprøven uden hjælpemidler Funktionen f har forskriften f() = ( + ) ( + ) ( ) Beregn nulpunkterne for f. Svar : f() = 0 = eller = eller = ; L = { ; ; } Polnomiers faktorisering

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere