Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt"

Transkript

1 Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt Af Henrik Jeldtoft Jensen, Department of Mathematics and Institute for Mathematical Sciences, Imperial College London, South Kensington campus Skønt matematik og kunstmaling på overfladen kan forekomme som to meget forskellige aktiviteter, så besidder de dog mange fælles begrebsmæssige og håndværksmæssige træk på et lidt dybere plan. Slægtskabet går langt videre end den umiddelbare forbindelse som består i at geometri naturligvis spiller en betydelig rolle i begge discipliner. Både matematik og malerkunst beskæftiger sig med at begribe den omkringliggende verden gennem symboler. Begge søger gennem abstraktion at beskrive de vigtige og relevante generelle sammenhænge, som kan gemme sig bag det specifikke. Begge aktiviteter forsøger at begribe og håndtere begreber så som åben i modsætning til lukket, eller endelig i modsætning til uendelig. Ydermere benytter begge discipliner sig af kvalificerede gisninger og eksperimenterende undersøgelser. Det er ikke mindst vigtigt for den måde, vi underviser matematik på, at forholde sig til at matematik som disciplin er essentielt af samme natur som kunst, musik, humanvidenskab og ikke mindst malerkunst. Da vil vi undgå den fejl, som består i at opfatte matematik som noget ganske specielt og ligefremt menneskefremmed. Vi vil derimod indse, at matematik bør dyrkes på samme legesyge og eksperimenterende facon, som er traditionen, når man underviser i kunst, hvor eleven nemmere får fornemmelse af, at præcision og udforskning følges ad. Introduktion Matematik er videnskaben om mønstre; kunstmaling er artikulering gennem mønstre. Idéen om, at der skulle være en barriere mellem de forskellige menneskelige aktiviteter, er naturligvis ny. Vi ved alle at Leonardo da Vinci var lige så meget maler, som han var videnskabsmand. Mange ved sikkert også, at Isaac Newton selv opfattede sin teologiske interesse og undersøgelser som lige så vigtige og betydningsfulde som hans naturvidenskabelige aktiviteter. Nok var da Vinci og Newton unikke i deres intellektuelle kapacitet, men de er langt fra de eneste videnskabsfolk og matematikere, som har fundet det frugtbart og vigtigt at beskæftige sig med kunst, teologi eller humaniora. Der behøver ikke at være en kløft på tværs af disciplinerne, tværtimod er der slægtskab og gensidig berigelse på tværs af de forskellige måder, mennesker forsøger at fordøje og kapere omverden på. Matematik og kunstmaling er forbundet på mange måder og på mange niveauer. Først er der den tekniske forbindelse, udviklet for eksempel af den italienske arkitekt Filippo Brunelleschi omkring år Man kan tænke på den geometriske metode, som underbygger perspektivtegning. Eller man kan nævne den tematiske forbindelse, som Maurits Escher repræsenterer. Escher var fascineret af matematiske begreber og idéer, det inspirerede ham til at skabe billeder af det strengt talt fysisk umulige: såsom hans periodiske vandfald, der altid løber ned af, selvom det løber rundt i sig selv. I det følgende vil jeg forsøge at beskrive, hvorledes matematik og malerkunst er beslægtet på en meget dyb måde. Helt basalt forsøger både matematik og malerkunst at repræsentere den omkringliggende virkelighed. Her er ikke kun tale om en snæver fysisk virkelighed, men en mere omfavnende realitet, som ikke er bange for at tillægge åndelige konstruktioner en eksistens. Endvidere tilstræber både malerkunst og matematik en vis grad af universalitet. At dette er muligt bliver straks klart, når vi tænker på Euklids geometri (ca. 300 f.kr.) eller vægmalerierne i Knossos (omkring 1500 f.kr). Selvom vort verdensbillede gennemgribende har ændret sig siden Knossos og Euklid, så er vi dog fuldt ud i stand til at værdsætte kunsten fra Knossos og bygger i dag videre på Euklids matematik. Jeg vil understrege følgende faktum: malerkunst og matematik er fælles om at forsøge at udvikle en symbolsk, koncis, og ofte meget abstrakt, repræsentation af virkeligheden. I begge tilfælde benyttes en proces som består af to stadier. Først fordøjes de væsentligste og mest generelle aspekter. Dernæst forsøger man gennem eksperimenter at finde frem til den bedste måde ved hjælp af symboler at repræsentere den identificerede struktur og det relevante tema. Denne helt basale fælles formålsparagraf er årsagen til en række idé- og begrebsmæssige paralleller mellem matematik og malerkunst. Nedenfor vil jeg diskutere hvorledes begreber som åben og lukket, eller endeligt og uendeligt er temaer, som bliver betragtet, håndteret og undersøgt både i matematik og i malerkunst. Jeg vil forsøge at tydeliggøre min argumentation ved at relatere nogle eksempler på matematisk formalisme og begreber til nogle udvalgte malerier. Jeg vil slutte af med nogle forslag til, hvorledes slægtskabet mellem matematik og malerkunst kan benyttes til at udvikle undervisningen i matematik. Tekniske paralleller At man kan forbinde matematik med malerkunst bliver straks klart, når man tænker på hvorledes matematik kan bruges til at analysere billeder. Perspektivtegning KVANT, december

2 har været studeret matematisk i flere hundrede år og for nylig er man blevet klar over, at fraktal geometri er den bedst egnede til at beskrive mange naturlige objekter, såsom skyer og bjerge. For få år siden tiltrak Taylor, Micolich og Jonas (1991) betydelig opmærksomhed, da de foretog en kvantitativ analyse of Pollock s drypmalerier. Den matematiske analyse bestod i at måle, hvorledes de dråber af maling, som Pollock har strintet udover lærredet, er fordelt. Forfatterne konkluderede at Pollocks dråber former fraktale strukturer på lærredet 1. Ud fra denne tekniske undersøgelse påpegede Taylor et al., at på en måde er Pollocks malerier figurative og naturalistiske, idet naturen omkring os indeholder fraktaler alle vegne. Denne form for relation mellem matematik og malerkunst er af ekstern analytisk karakter (Jensen 2002). Den demonstrerede, at matematik kan være nyttig, når man vil analysere et billede, og måske kan forøge vores forståelse af billedets indhold og budskab. Men denne forbindelse mellem malerkunst og matematik er beslægtet med det forhold, der findes mellem matematik og ethvert emne, som kan undersøges matematisk. Vi kan naturligvis med stort held benytte matematik, når vi vil designe en bro. Men selve konstruktionen af broen er nok af en ganske anden natur end det at dyrke eller udføre matematik. Formålet med brobygning er et ganske andet end formålet med matematik. Det ændrer ikke noget ved, at matematik er yderst brugbart for brobyggere. Forholdet mellem matematik og malerkunst er langt mere intimt. De er fælles om hensigt og formål, ydermere er der megen lighed mellem de mentale aktiviteter involveret i begge aktiviteter. Begrebsmæssige paralleller Matematik og malerkunst er tydeligvis fælles om at forsøge at indfange og beskrive de dele af virkeligheden, som ikke på en tilfredsstillende måde kan beskrives ved hjælp af sproget alene. Et billede af en kvinde kan f.eks. på et plan repræsentere en kvinde og samtidig på et andet plan række langt bag om det konkrete afbillede objekt. Det kan tydeligt illustreres ved at tænke på, hvorledes den ortodokse kirkes ikonmalere stræber efter at skabe billeder, der bringer os i forbindelse med helt andre dimensioner af virkeligheden. Når en person, der besidder en grad af religiøs følsomhed, mediterer over et ikon af Jomfru Maria, er det ikke et portræt af en ung kvinde, der fremkaldes i beskuerens bevidsthed. Det er snarere et sæt af transcendentale begreber og følelser, som er relateret til Theotokos eller Gud-bæreren eller Den som fødte Gud. Ikonets formål er at frembringe eller kommunikere abstraktioner, som er langt fjernet fra den umiddelbart håndgribelige fysiske verden. Ikonet forsøger at håndtere begreber, som ikke kan reduceres til den lave båndbredde, som vort dagligsprog er begrænset af. Det er klart nok ikke kun religiøs kunst, som vil udtrykke det usigelige. Ethvert maleri, figurativt eller abstrakt, indeholder altid et forsøg på, at frembringe opfattelser og følelser i beskuerens sind, der er langt større end, hvad en verbal beskrivelse af lærredets objekter vil indfange. Figur 1. Holy Icon of Theotokos Threnody (ca ) af Ioasaf Athonites. Situationen er den samme i matematikken. Her konstrueres et begrebsmæssigt univers med nogle forankringspunkter til den fysiske observerbare virkelighed. Herfra foretages så en ekspedition ud i den abstrakte verden, som bæres i den menneskelige bevidsthed. Lad os som eksempel tænke på tallene. De naturlige tal kan umiddelbart bringes i relation til konkrete objekter, såsom antallet af kugler på en kugleramme. De rationelle tal lader sig også begribe ved hjælp af simple geometriske figurer, f.eks. opdeling af en lagkage. Det er straks sværere at repræsentere de irrationelle tal på en håndgribelig måde. Mindst konkrete er dog de komplekse tal, som er defineret ved deres algebraiske egenskaber, nemlig som bekendt ved at antage, at man kan opnå negative værdier ved at multiplicere et komplekst tal med sig selv 2. Endskønt de komplekse tal kan forekomme verdensfjerne, så ved vi nu, at de tillader os at beskrive fundamentale dele af virkeligheden. For eksempel ville vi ikke kunne beskrive den atomare kvantemekaniske verden uden de komplekse tal eller en tilsvarende algebraisk struktur. Det er også naturligt at nævne, at både matematik og malerkunst benytter sig af et symbolsprog, der er i stand til at fremmane associationer, som der ikke umiddelbart refereres til. Dette forudsætter dog at beskueren besidder den rette baggrund. Tænk på, hvorledes ovenstående Theotokos Ikon hos en ortodoks kristen kan frembringe associationer til et transcendentalt religiøst plan, som ikke direkte er tilstede i billedet. Et parallelt eksempel fra matematik består i de myriader af associationer, som en person med en 1 Hvorvidt der strengt taget er tale om en fraktalfordeling eller en uniform Euklidisk fordeling kan diskuteres. Taylor, Micolich og Jonas fandt en fraktal dimension meget tæt på 2. Men det er ikke af betydning for vores diskussion her. 2 Identifikationen af komplekse tal med punkter i den to dimensionale plan kan måske nok forekomme som en simpel repræsentation sammenlignelig med at repræsentere de naturlige tal vha. kugler eller de reelle tal vha. længden af et linjestykke. Men man skal huske, at den geometriske repræsentation af komplekse tal kom til sent i deres historie, samt at man bliver nødt til at pålægge bestemte regler for, hvorledes punkterne i planen kan adderes og multipliceres før planen bliver ækvivalent med de komplekse tal. 26 Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

3 smule matematisk træning oplever, når man betragter diffusionsligningen: ϕ = D 2 ϕ. (1) t For en person uden kendskab til matematisk notation vil ligningen ikke betyde meget. Men har man en baggrund i matematik, vil man straks ledes til at tænke på begreber så som varme, tilfældig gang (random walk), fløde der spreder sig i en kaffekop og meget andet. Og alt det på trods af, at symbolerne i ligningen ikke direkte refererer til noget af dette. De begrebsmæssige ligheder mellem matematik og malerkunst er for mig at se årsagen til en række fællestræk i strukturen af matematik og kunst. Begge benytter sig på en meget bevidst og essentiel måde af emergens, eller hvad man kan kalde ikke-lineær konstruktion, hvor slutresultatet har et indhold, som er væsentligt forskelligt fra bestanddelene. Jeg vil illustrere dette først med et lille eksempel og dernæst betragte paralleller mellem Euklids geometri og Kandinskys teori om den åndelige betydning af geometriske objekter og former. Her er et eksempel på kunstnerisk skabelse. Tag følgende komponenter,, og (. Hver enkelt del genererer ikke megen følelsesmæssig bevægelse. Men sætter vi nu delene samme til, så vil vort sind straks reagere. Vores mentale reaktion på det lille ansigt er et resultat af en uendelighed af vekselvirkende komponenter. Først er der de fire geometriske elementer, dertil kommer hele vort kognitive maskineri og dermed også vor kulturelle baggrund. Alle disse bestanddele må samarbejde for at sætte beskueren i stand til at registrere og fortolke det følelsesmæssige indhold i den lille figur. På tilsvarende måde i matematik. Ikke-lineære o- perationer fører også her til helt nye egenskaber, som er større end summen af de enkelte dele. Igen er det vekselvirkningen mellem komponenterne, der giver anledning til, at noget helt nyt kan opstå. Et nemt og dog rimeligt repræsentativt eksempel kan være en ikke-lineær funktion af mere end én variabel, f.eks. f (x, y) = (x + y) 2. De funktionelle og geometriske egenskaber af f (x, y) er kvalitativt forskellige fra den lineære opførsel af de enkelte uafhængige variable opfattet som funktioner: g(x) = x og h(y) = y. Et mere interessant tilfælde, som også er mere beslægtet med det lille smiley -eksempel, består i de nye egenskaber, som kan fremkomme i grænsen, hvor man betragter en uendelighed af vekselvirkende variable. Den matematiske beskrivelse af fysiske faseovergange, såsom når vand fryser, består i at beskrive vekselvirkningen mellem uendelig mange partikler. Den dramatiske faseændring kan kun opstå, når uendeligt mange partikler er involveret. Det er parallelt til, at der er myriader af komponenter involveret, når de fire geometriske byggesten,, og ( og vores sind transformerer det lille billede til en følelsesoplevelse. Lad os nu kigge lidt på den bemærkelsesværdige lighed, der er imellem Euklids geometri og Kandinskys forsøg på at etablere et analytisk og aksiomatisk fundament for malerkunsten. De følgende få citater er tilstrækkelige til at illustrere pointen. Fra Euklids første bog: Definition 1. Et punkt er det, som ikke har nogen bestanddele. Definition 2. En linie er en længde uden bredde. Definition 3. Enderne af en linie er punkter. Definition 4. En ret linie er en linie, hvor punkterne ligger jævnt. Definition 5. En flade er det, som kun har længde og bredde. Definition 6. Kanterne af en flade er linier.... Som vi alle ved konstruerede Euklid sin geometri ud fra definitionerne ved hjælp af deduktion og aksiomer. Så lad os nu sammenholde dette med Kandinskys bog Punkt und Linie zur Fläche fra Kandinsky skriver: Elementer: Det første uundgåelige spørgsmål er naturligvis spørgsmålet angående elementerne, som er kunstens byggematerialer, og som sådanne er forskellige for hver enkelt kunstform. Kandinsky fortsætter dernæst med at introducere en række definitioner: Det geometrisk punkt: er en usynlig ting. Derfor må det være en ulegemlig ting. Betragtet i termer af substans er det lig med nul. Skjult i dette nul er imidlertid visse egenskaber som er af menneskelig natur... Den geometriske linie: er en usynlig ting. Det er sporet efterladt af et bevægende punkt, dvs dets produkt. Det er skabt af bevægelse mere specifikt gennem punktets destruktion af det intense selvstændige svar... Ved begrebet Basis Plan forstås den materielle plan, som skal modtage kunstværkets indhold. Det vil blive betegnet BP. Det skematiske BP er afgrænset af 2 horisontale og 2 vertikale linier, og vil derved fremstå som en individuel ting... Lige som Euklid udleder Kandinsky dernæst fra definitionerne egenskaber, som hans byggesten må besidde. Han bemærker således f.eks.: Linien er derfor den største antitese til det billedlige proto-element dvs til punktet. Strengt taget kan linien blive betragtet som et sekundært element. Disse to korte uddrag illustrerer at både matematik og malerkunst, i det mindste nogle gange, kan blive betragtet som deduktive aktiviteter. Der er måske nogle, som vil sige at den nære parallel mellem Euklid og Kandinsky kommer fra, at de begge beskæftiger sig med geometri i en eller anden form; og at de derfor ikke repræsenterer et mere generelt slægtskab mellem malerkunst og matematik. Men dertil er at betragte KVANT, december

4 begreber, som ikke er af direkte geometrisk natur. Jeg har for nogle år siden diskuteret, hvorledes begreber som åben og lukket, der benyttes i topologi, nogle gange kan relateres til den overordnede atmosfære i et billede (Jensen 2002). Her vil jeg gentage, at et billede som van Goghs Værelse i Arles fra 1889 (Musee d Orsay, Paris 3 ), bibringer beskueren en fornemmelse af indelukkethed; af en lille del af universet totalt lukket af fra det omkringliggende. Dørene er lukkede. En seng blokerer den ene og en stol er stillet foran den anden. Rummets eneste vindue er tildækket, måske det er skodder, som afskærer udsynet. Billedets kant er tydeligt markeret og indeholdt i selve billedet. J.M.W. Turner udtrykker den modsatte følelse i sit billede Snowstorm fra 1842 (Tate Britain, London 4 ). Dette billede strækker sig langt ud over lærredets felt. Billedet er fuldstændigt åbent. Her gøres det klart at hele verden er omsluttet af en voldsom altopslugende snestorm. Vi kan simpelthen ikke nå ud af billedet. Parallellerne mellem matematik og malerkunst er ikke kun begrænset til det figurative. Lad os som eksempel kigge på, hvorledes det abstrakte begreb uendeligt behandles. Det uendelige er helt centralt i matematik. Zenons paradoks er et eksempel på matematik, der kræver håndtering af det uendelige. Paradokset omhandler væddeløbet mellem skildpadden og Achilles og involverer addition af uendeligt mange tal. Grunden til at Achilles vil indhente og overhale den langsomme skildpadde er naturligvis, at Achilles kun behøver en endelig tid til at løbe afstanden mellem skildpadden og ham selv. Skildpadden formår at forvirre Achilles ved at bryde afstanden op i en uendelighed af små bidder. Først må Achilles løbe den 1/2 distance, dernæst halvdelen af, hvad der er tilbage, altså 1/4 af den oprindelige afstand. Når han har gjort det, må han atter igennem halvdelen af, hvad der nu er tilbage, altså 1/8 af den oprindelige afstand. Så Achilles må gennemløbe en uendelighed af etaper, og det ser jo slemt ud, som om det kunne tage uendeligt lang tid. Bedre bliver det ikke af at skildpadden, hver gang Achilles har afsluttet en etape vil have bevæget sig lidt længere frem, men dette er ikke væsentligt, så lad os ignorere den detalje nu. En lille tegning viser straks at summen vil summere op til (2) Figur 2. Intervallet halveres i det uendelige. Altså behøver vi ikke foretage en uendelighed af operationer for at konkludere, at = 1. (3) 16 Dvs et pænt endeligt resultat. Vores intellekt og matematik kan håndtere det uendelige i et snuptag og uddrage et endeligt resultat. Det er uden betydning, at den faktiske beregning, dersom vi udførte den, ville bestå i at addere uendelig mange brøker, og derfor ville tage uendeligt lang tid. Figur 3. Zen Circle eller Enso af Torei Enji ( ). En maler kan på en tilsvarende måde repræsentere det uendelige. Det er elegant demonstreret i Torei Enji s ( ) Enso, eller Zen Cirkel, tegnet med blæk på papir. En Enso symboliserer i Zen Buddhismen oplysning, styrke og elegance. Men samtidig repræsenterer en Enso også universet og det tomme rum. På den måde kan en Enso ses som en repræsentation af det uendelige og det uudtømmelige. Zen Cirklens virkemåde bliver måske mere tydelig, når man betragter den cirkulære form i kontrast til trekanten. Hjørnerne på trekanten bryder den fornemmelse af uophørlig bevægelse, som opstår i vort sind, når vore øjne følger cirklens periferi. Derfor kan cirklen række ud mod det uendelige, mens trekanten forbliver bundet til det endelige. Parallelle strategier Det er både interessant og belærende at overveje, hvorledes den samme angrebsmåde kan blive identificeret i både matematik og malerkunst. Jeg mener, der er talrige eksempler herpå, men vi vil blot kigge på et par stykker her. Lad os begynde med at overveje, hvorledes figurativ analyse benyttes i kontrast til ikke-figurativ. Kandinsky er en fremragende eksponent for forsøget på at kommunikere ved hjælp af en ikke-figurativ kode. Tilsvarende, selv om megen matematik har sit udspring i geometri og analyse af rumlige strukturer, så er der også discipliner, såsom talteori og gruppeteori, i hvilke Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

5 der stort set ikke benyttes nogen direkte figurativ analogi. Dog vil en matematiker efter at have beskæftiget sig med enten talteori eller gruppealgebra et stykke tid, udvikle en intuitiv repræsentation af de abstrakte matematiske strukturer, som lever et sted uden for den figurative virkelighed. Dette svarer helt til Kandinskys program nævnt ovenfor, i hvilken han prøvede at identificere den ikke-figurative åndelige værdi af abstrakt malede former. Denne ligning beskriver, hvorledes positionen af en partikel, x(t), afhænger af tidspunktet t, når kraften F virker på partiklen. Ligningen henviser kun til partiklens masse m, og kraften F, derimod negligeres f.eks. partiklens farve og alder. Både Munchs maleri og Newtons lov er i stand til at studere det relevante emne, verdensangst og partikelbevægelse, ved at udelade en uendelighed af detaljer. Dybden af vor forståelse er nært forbundet med at identificere for dernæst at negligere de irrelevante detaljer. Figur 4. Skriget af Edward Munch, olie tempera og pastel på karton. National Gallery, Oslo. Et andet tydeligt eksempel på parallelle strategier i malerkunst og matematik består i bestræbelsen på at uddrage det essentielle og udelade irrelevante detaljer. Tænk på Edward Munchs Skriget eller, som det oprindeligt blev kaldt, Naturens Skrig. Kun det absolut nødvendigste er inkluderet i billedet for på den måde at sikre, at den overordnede komposition frembringer en fornemmelse af uudgrundelig angst. Billedets hjerteskærende effekt er i høj grad et resultat af, at detaljer ikke får lov til at distrahere. Hvis Munch havde gengivet ansigterne, eller de menneskelige former, mere detaljeret, ville vort sind straks frembringe associationer til bestemte mennesker, vi kender. På tilsvarende måde er vi ikke i stand til at forbinde de brede strøg, som angiver baggrunden, med en bekendt geografisk lokalitet. Vi er derfor tvunget til at opleve billedet som en prototype af generel relevans for vores følelsesliv. Hvis den skrigende figur i forgrunden havde mindet mig om min tante, eller de to mørke skikkelser i baggrunden så ud som de to ubehagelige fyre, der altid var ude på ballade lørdag aften i min barndoms by, da ville jeg måske ikke have forstået at figuren i forgrunden er mig selv på vej over én af de mangfoldige virkelige eller virtuelle broer, jeg må krydse på min vej gennem livet. I matematik kan det være lige så vigtigt at udelade irrelevante detaljer. Tænk på Newtons bevægelsesligning m d2 x = F. (4) dt 2 Figur 5. Interferens mellem tre bølger med næsten samme frekvens. Det hænder ofte at maleren og matematikeren benytter sig af en analog teknik. Vi vil blot kigge på to eksempler. Det første består i brugen af superposition. Dvs at man adderer komponenter for at opnå en helhed, som er forskellig fra, og ofte på mange måder af en anden natur, end samlingen bestående af de individuelle dele. Superposition i matematik kan f.eks. bestå i at addere oscillerende bølger for derigennem at opnå en ny type tidslig opførsel. I den følgende ligning lægger vi tre sinus-bølger sammen med lidt forskellige frekvenser, θ 1, θ 2 og θ 3, for at konstruere et nyt signal f (t): f (t) = sin(θ 1 t) + sin(θ 2 t) + sin(θ 3 t). (5) Resultatet bliver, som vist på figuren, et signal af en ganske anden type. Interferensen mellem de tre bølger frembringer en bølge med en lavfrekvent variation i signalets amplitude. Det er naturligvis netop denne stødfrekvens, man benytter sig af, når man med gehør stemmer et strengeinstrument og drejer på stemmeskruerne indtil de lavfrekvente stød forsvinder. Fremkomsten af en ny kvalitet gennem kombination af komponenter kan også fornemmes i maleriet af Londons vartegn (figur 6). Billedet er malet efter hukommelsen. Fotografierne fra internettet er indsat som reference. Selv om de forskellige strukturer befinder sig spredt på tværs af London, så formidler billedets superposition måske det helhedsindtryk, som en turist føler efter en travl sightseeing tur i storbyen. Hukommelsen har en tendens til at registrere en helhed en collage hvor enkeltoplevelser mister deres præcision for i stedet tilsammen at efterlade én fornemmelse i vort sind. KVANT, december

6 Figur 6. Collage over berømte steder i London. Vort sidste eksempel på begrebsmæssige paralleller mellem matematik og malerkunst har at gøre med hierarkiske strukturer. Fra matematikken kan man tænke på de forskellige typer af tal. Først er der de naturlige tal N = {1, 2, 3,...}, som er indeholdt i de hele tal Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, som er indeholdt i de rationale tal Q, der atter er indeholdt i de reelle tal R, som er indeholdt i de komplekse tal C. Eller mere kortfattet N Z Q R C. (6) Moderne matematik er opbygget ved hjælp af abstrakt mængdelære, som netop er en formaliseret måde at beskrive relationer mellem grupper af forskellige objekter. Mængdelære benyttes hele tiden på tværs af alle matematikkens discipliner og tillader en meget større præcision, end det var muligt tidligere. Russells paradoks er et berømt eksempel på de komplikationer, der kan opstå, når man kombinerer hierarkiske strukturer og selvreference. Russell foreslog at betragte en mængde der indeholder alle de mængder, som ikke er medlemmer af dem selv. Hans overvejelser ledte ham til et paradoks af samme natur, som det den mytologiske Epimenides fra Kreta opdagede, da han sagde: Alle kretensere er løgnere. Jeg er kretenser. Lyver jeg eller ej? Ovenstående skulle gøre det klart at hierarkier er af stor betydning i matematikken. Hierarkiers styrke udnyttes også i malerkunsten til at fremmane et globalt og ubundet indtryk. Tænk på Picassos malerier såsom Portræt af Ambroise Vollard 5 eller Klarinetspilleren 6. Billedet nedenfor er et semi-figurativt eksempel på en hierarkisk komposition. Det samme tema gentager sig selv i mindre skala (en fraktal), hvorved det bliver svært at udnævne nogle områder i billedet, som værende mere vigtige end andre. Måske billedet på den måde opnår en omfavnende transcendental karakter. Figur 7. Dybdevirkning i fraktalt maleri. Konsekvenser Spørgsmålet er, om de ligheder, der eksisterer mellem matematik og malerkunst, er af nogen væsentlig betydning. Jeg mener at dette slægtskab giver os mulighed for at forholde os til matematik på en anden og mere kreativ måde, end det ofte for tiden er tilfældet. Når vi betragter matematik som væsensbeslægtet med malerkunst, falder det lige for at introducere børn og voksne til matematik gennem en åbensindet bred eksperimentel angrebsvinkel. Ydermere bliver det klart, at hvem som helst kan gøres bekendt med matematik. Som bekendt er det ikke usædvanligt at høre folk, der hævder, at der kræves en bestemt type hjerne for at forstå matematik. Det kan nok være sandt, hvis man tænker på matematik på højeste forskningsniveau. På samme måde som Picasso var en specielt begavet maler, og Mozart var usædvanlig musikalsk talentfuld, var Einstein uden tvivl bedre end de fleste til at tænke Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

7 logisk (og intuitivt). Men det er jo ikke sådan, at enten kan man male som Picasso, eller også maler man overhovedet ikke. Eller enten har man Mozarts geni, eller også synger man aldrig en sang. På tilsvarende måde er det klart, at man kan beskæftige sig berigende med matematik uden at have Einsteins fremragende begavelse. Slægtskabet mellem matematik og malerkunst viser præcis, at matematisk tænkning er naturlig for den menneskelige hjerne. Børn og voksne benytter gerne krusedulletegning som en måde at hjælpe tankerne på gled. Kruseduller er en form for symbolsk tænkning, hvad enten de foregår på et bevidst analytisk eller et delvist ubevidst intuitivt plan. Pointen er, at matematisk tænkning ofte er tæt beslægtet med de tankeprocesser, som vi alle benytter os af, når vi laver kruseduller eller simple tegninger og malerier. Og derfor er en krusedulle-tegnende hjerne også i stand til at tænke matematisk, i det mindste på et basalt niveau. Så hvorfor ser vi ikke børn og voksne bryde ud i spontane matematiske overvejelser på samme måde, som vi ser dem lege med tegning? Årsagen er den samme som, hvorfor vi ikke bryder ud i spontane jubelbrøl på aramæisk. Det er ikke fordi vor hjerne ikke besidder kapaciteten til at tale aramæisk, eller fordi man skal besidde et specielt talent for at tale aramæisk. Vi er nødt til først at modtage målrettet træning i det aramæiske sprog. Ligeledes må vi stille træning i matematik til rådighed for derved gradvist at udvikle det naturlige potentiale hos børn og voksne. Hvis vi betragter undervisning i matematik fra det udgangspunkt, at matematik og malerkunst er væsensbeslægtede, vil vi nok ændre på vor pædagogiske strategi. Jeg foreslår, at det kan være befordrende at nærme sig visse matematiske idéer ved at bede elever eller studenter om at lave billeder, der vil rette elevens forestillingsverden mod de vigtigste overordnede aspekter af det matematiske emne, man skal til at introducere. Måske eleverne på denne måde vil blive klare over, at før vi tilegner os de mere tekniske sider af matematikken, er vi nødt til først: 1. at lære at analysere: dvs. identificere det væsentlige. 2. at lære at kombinere og komponere. 3. at blive behændige i brugen af symbolsprog. Følgende tre konkrete eksempler skulle tydeliggøre, hvorledes jeg mener dette kan gøres. (A) Matematisk emne: Topologi/mængdelære åbne og lukkede mængder. Øvelse: Tegn en struktur som ikke indeholder sin egen afgræsning. Tegn en anden som eksplicit afgrænser sig selv. (B) Matematisk emne: Funktional, f.eks. y = y(x) J[y]. Øvelse: Lav en serie af smileys i forskelligt humør: bedrøvet, glad, vred, syg, etc. Knyt nu til hver smiley en enkelt farve som bedst repræsenterer dens humør. (C) Matematisk emne: At se indholdet bagom formalismen. Øvelse: Diskuter det følelsesmæssige indhold i Munchs Skrig. Konklusion Vi oplever for tiden både et paradoks og et seriøst problem. Vor verden bliver uophørligt baseret mere og mere på matematik. Handel, ingeniørvidenskab, medicin, psykologi, sociologi, sprogvidenskab, filmkunst etc. er alle væsentligt afhængige af matematik. Samtidig ser vi mange steder, i det mindste i den vestlige verden, et dalende niveau af matematikundervisningen i grundskolerne. Måske dette er årsagen til det faldende antal af studerende, der i videregående uddannelser vælger matematisk relaterede fag. Jeg tror, at en ændring af vor attitude er nødvendig. Vi bliver nødt til at fremstille matematik som, hvad det virkelig er, nemlig en levende og undersøgende aktivitet fuld af leg og undren, og ikke blot en disciplin som består i at lære udenad, hvad folk i en fjern fortid hittede på. Ved at sammenholde matematikkens væsen med andre menneskelige udtryksformer, såsom malerkunst, vil vi nemmere kunne gøre det klart, at det kan være ligeså berigende at tilbringe tid med Eulers tanker, som det er at dvæle over et billede af Picasso eller være omsluttet af Mozarts musik. Jeg er Vibeke Nordmark Hansen, Barbara Nordmark Jeldtoft Jensen og Paolo Sibani taknemmelige for behjælpelige kommentarer til den engelske udgave af denne artikel, der blev præsenteret som nøgleforelæsning ved International Conference Excellence: Education & Human Development, i Athen den juli Litteratur [1] Jensen, H.J. (2002), Mathematics and painting, Interdisciplinary Science Review, bind 27, No. 1, p (se hjjens) [2] Euklids Elementer er blevet publiceret på mangfoldig vis op gennem århundrederne. Følgende er en rigtig god hjælp djoyce/- java/elements/booki/booki.html [3] Kandinsky, W. (1979), Point and line to Plane, Dover Publications, Inc. New York. [4] Taylor, A., Micolich, A., Jonas, D. (1999), Fractal expression, Physics World, bind 12, October, p Henrik Jeldtoft Jensen er professor i matematisk fysik ved Imperial College London, hvor han leder en forskningsgruppe i kompleksitetsvidenskab (www3.imperial.ac.uk/mathsinstitute/). KVANT, december

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Videnskabsteori. Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter. To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme

Videnskabsteori. Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter. To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme Videnskabsteori Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme Hvorfor videnskabsteori? Bedre forståelse af egen praksis (aktivitet)

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

CERES. Hvis Positive kvaliteter er Ret ydmyghed - Indre ro - Beskedenhed. Hvad aktiverer/stimulerer Ceres energien, når du kanaliserer

CERES. Hvis Positive kvaliteter er Ret ydmyghed - Indre ro - Beskedenhed. Hvad aktiverer/stimulerer Ceres energien, når du kanaliserer CERES Hvis Positive kvaliteter er Ret ydmyghed - Indre ro - Beskedenhed Hvad aktiverer/stimulerer Ceres energien, når du kanaliserer Denne energi rammer og vækker højere bevidsthedslag hos den mediterende,

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Om kommunikation i MUS Udarbejdet af Bente Øhrstrøm

Om kommunikation i MUS Udarbejdet af Bente Øhrstrøm Om kommunikation i MUS Udarbejdet af Bente Øhrstrøm Kommunikation er den udvekslingsproces, som foregår mellem to eller flere personer. Når flere mennesker er sammen vil der altid være tale om en kommunikationsproces,

Læs mere

Det fleksible fællesskab

Det fleksible fællesskab Kultur Det fleksible fællesskab Kirsten Hastrup unı vers Kultur Det fleksible fællesskab Kultur Det fleksible fællesskab Af Kirsten Hastrup unıvers Kultur Det fleksible fællesskab er sat med Adobe Garamond

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Efteruddannelse i inklusion

Efteruddannelse i inklusion Efteruddannelse i inklusion Af: Helle Skjerk, Nordisk NLP Akademi Foto: Personale ved Løgstrup Skole Inklusion er velkommen på Løgstrup Skole At en skole skal inkludere de børn, der er i skoledistriktet,

Læs mere

Undervisningsmateriale til Jette Bang i dialog

Undervisningsmateriale til Jette Bang i dialog Undervisningsmateriale til Jette Bang i dialog Undervisningsmaterialet tager udgangspunkt i Fotografisk Centers aktuelle udstilling Jette Bang i dialog. Der er en beskrivelse alle de deltagende fotografer,

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

Den Forløsende Konflikthåndtering

Den Forløsende Konflikthåndtering Den Forløsende Konflikthåndtering Af advokat & mediator Jacob Løbner Det ubehagelige ved konflikter De fleste af os kender kun alt for godt til konflikter, og kun de færreste bryder sig om at befinde sig

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Kan anbefalinger af anbefalere anbefales?

Kan anbefalinger af anbefalere anbefales? Kan anbefalinger af anbefalere anbefales? Gå hjem møde ved center for kommunikation December 2003 Timme Bisgaard Munk Formål Hvad er krydssalg? hvordan og hvorfor virker anbefalinger på Internettet til

Læs mere

Ikoner. Ikonens historie. Anette Ploug Kunst - Maj 2014

Ikoner. Ikonens historie. Anette Ploug Kunst - Maj 2014 Ikoner Det er blevet meget populært at male sine egne ikoner. Ikonen repræsenterer et spændende univers og rummer mulighed for at inddrage mange forskellige materialer og teknikker. Ikonen er dog ikke

Læs mere

Skabende kunstterapi. Hanne Stubbe teglbjærg. a arh u S u nivers itets forlag

Skabende kunstterapi. Hanne Stubbe teglbjærg. a arh u S u nivers itets forlag Skabende kunstterapi Hanne Stubbe teglbjærg a arh u S u nivers itets forlag SKABENDE KUNSTTERAPI Hanne Stubbe Teglbjærg SKABENDE KUNSTTERAPI Aarhus Universitetsforlag a Skabende kunstterapi Forfatteren

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Hvor aktiv var du inden du blev syg? Hvordan var det pludselig ikke at kunne træne?

Hvor aktiv var du inden du blev syg? Hvordan var det pludselig ikke at kunne træne? Hvor aktiv var du inden du blev syg? Før jeg fik konstateret brystkræft trænede jeg ca. fire gange om ugen. På daværende tidspunkt, bestod min træning af to gange løbetræning, to gange yoga og noget styrketræning

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Verdensbilleder og moderne naturvidenskab. Peter Øhrstrøm Aalborg Universitet

Verdensbilleder og moderne naturvidenskab. Peter Øhrstrøm Aalborg Universitet Verdensbilleder og moderne naturvidenskab Peter Øhrstrøm Aalborg Universitet 1 2 Teisme Deisme Naturalismen Nihilismen Eksistentialismen Panteisme New Age 3 Fokus på Kaj Munks rolle 1920ernes danske åndskamp

Læs mere

Indledning. Ole Michael Spaten

Indledning. Ole Michael Spaten Indledning Under menneskets identitetsdannelse synes der at være perioder, hvor individet er særlig udfordret og fokuseret på definition og skabelse af forståelse af, hvem man er. Ungdomstiden byder på

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

1. september 2008-10. oktober 2008. Relevant litteratur i udvalg:

1. september 2008-10. oktober 2008. Relevant litteratur i udvalg: 1. september 2008-10. oktober 2008 Komposition og de-komposition Relevant litteratur i udvalg: Lise Gotfredsen: Billedets formsprog Johannes Itten: Farvekunstens elementer Robert Cumming & Tom Porter:

Læs mere

Reaktioner hos plejebørn før og efter samvær med deres biologiske forældre hvorfor og hvad kan vi gøre?

Reaktioner hos plejebørn før og efter samvær med deres biologiske forældre hvorfor og hvad kan vi gøre? Reaktioner hos plejebørn før og efter samvær med deres biologiske forældre hvorfor og hvad kan vi gøre? Af Søren Hertz, børne- og ungdomspsykiater PsykCentrum i Hillerød (Slotsgade 65 A, 3400 Hillerød,

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C Trøjborg 29. juni 2009 Kære 9. årgang. En tøjklemme. Ja, sådan ser den ud den er blevet lidt gammel og grå lidt angrebet af vejr og vind den er blevet brugt meget. I kender alle sammen tøjklemmer, nogle

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15)

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15) Loven for bevægelse (Symbol nr. 15) 1. Guddommens jeg og skabeevne bor i ethvert væsens organisme og skabeevne Vi er igennem de tidligere symbolforklaringers kosmiske analyser blevet gjort bekendt med

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Søborg Privatskole & Skovbørnehave. Søborg Privatskole & Skovbørnehave. - den pædagogiske linie

Søborg Privatskole & Skovbørnehave. Søborg Privatskole & Skovbørnehave. - den pædagogiske linie Søborg Privatskole & Skovbørnehave - den pædagogiske linie Grundlag I 1998 indgik vi, bestyrelsen, medarbejdere og ledelse, en fælles linie for skolens og skolefritidsordningens (sfo) arbejde. I 2014 oprettede

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Quaternioner blev første gang beskrevet

Quaternioner blev første gang beskrevet vise sig indirekte, i forandret form, som f.eks. neurotiske symptomer eller fejlhandlinger. Det ubevidste er imidlertid ikke bare en art skjult bevidsthed, men er knyttet til træk ved mennesket, der er

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Del 1. Før læsningen

Del 1. Før læsningen Del 1 Før læsningen Hvem er Sanne Søndergaard? Født i 1980 i Ikast Stand up komiker og forfatter Uddannelse: Student fra Ikast Gymnasium 1999 Journalist fra Danmarks Journalisthøjskole 2004 Debut som stand

Læs mere

Artfulness i læring og undervisning: et forskningsprojekt om kreativitet og æstetiske læreprocesser

Artfulness i læring og undervisning: et forskningsprojekt om kreativitet og æstetiske læreprocesser Artfulness i læring og undervisning: et forskningsprojekt om kreativitet og æstetiske læreprocesser Af Tatiana Chemi, PhD, Post Doc. Forsker, Universe Research Lab/Universe Fonden i og Danmarks Pædagogiske

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Pædagogisk læreplan 0-2 år

Pædagogisk læreplan 0-2 år Barnets alsidige personlige udvikling: Overordnet mål: Barnet skal vide sig set og anerkendt. Barnet oplever at møde nærværende voksne med engagement i dets læring, udvikling og liv. At barnet oplever

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Kortlæg din læringsstil

Kortlæg din læringsstil Kortlæg din læringsstil For hver af de 44 spørgsmål som følger skal du svare enten a eller b. Du skal vælge udelukkende ét svar for hver spørgsmål. Hvis du føler, at du både kan besvare et spørgsmål med

Læs mere

Dansk Talentakademi: Vision for Campus

Dansk Talentakademi: Vision for Campus Dansk Talentakademi: Vision for Campus vedtaget af bestyrelsen September 2014 Indledning Dansk Talentakademi tilbyder undervisning til ca. 150 elever fordelt på fem linjer: Musik Kunst og Design Dans Musical

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere