Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt"

Transkript

1 Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt Af Henrik Jeldtoft Jensen, Department of Mathematics and Institute for Mathematical Sciences, Imperial College London, South Kensington campus Skønt matematik og kunstmaling på overfladen kan forekomme som to meget forskellige aktiviteter, så besidder de dog mange fælles begrebsmæssige og håndværksmæssige træk på et lidt dybere plan. Slægtskabet går langt videre end den umiddelbare forbindelse som består i at geometri naturligvis spiller en betydelig rolle i begge discipliner. Både matematik og malerkunst beskæftiger sig med at begribe den omkringliggende verden gennem symboler. Begge søger gennem abstraktion at beskrive de vigtige og relevante generelle sammenhænge, som kan gemme sig bag det specifikke. Begge aktiviteter forsøger at begribe og håndtere begreber så som åben i modsætning til lukket, eller endelig i modsætning til uendelig. Ydermere benytter begge discipliner sig af kvalificerede gisninger og eksperimenterende undersøgelser. Det er ikke mindst vigtigt for den måde, vi underviser matematik på, at forholde sig til at matematik som disciplin er essentielt af samme natur som kunst, musik, humanvidenskab og ikke mindst malerkunst. Da vil vi undgå den fejl, som består i at opfatte matematik som noget ganske specielt og ligefremt menneskefremmed. Vi vil derimod indse, at matematik bør dyrkes på samme legesyge og eksperimenterende facon, som er traditionen, når man underviser i kunst, hvor eleven nemmere får fornemmelse af, at præcision og udforskning følges ad. Introduktion Matematik er videnskaben om mønstre; kunstmaling er artikulering gennem mønstre. Idéen om, at der skulle være en barriere mellem de forskellige menneskelige aktiviteter, er naturligvis ny. Vi ved alle at Leonardo da Vinci var lige så meget maler, som han var videnskabsmand. Mange ved sikkert også, at Isaac Newton selv opfattede sin teologiske interesse og undersøgelser som lige så vigtige og betydningsfulde som hans naturvidenskabelige aktiviteter. Nok var da Vinci og Newton unikke i deres intellektuelle kapacitet, men de er langt fra de eneste videnskabsfolk og matematikere, som har fundet det frugtbart og vigtigt at beskæftige sig med kunst, teologi eller humaniora. Der behøver ikke at være en kløft på tværs af disciplinerne, tværtimod er der slægtskab og gensidig berigelse på tværs af de forskellige måder, mennesker forsøger at fordøje og kapere omverden på. Matematik og kunstmaling er forbundet på mange måder og på mange niveauer. Først er der den tekniske forbindelse, udviklet for eksempel af den italienske arkitekt Filippo Brunelleschi omkring år Man kan tænke på den geometriske metode, som underbygger perspektivtegning. Eller man kan nævne den tematiske forbindelse, som Maurits Escher repræsenterer. Escher var fascineret af matematiske begreber og idéer, det inspirerede ham til at skabe billeder af det strengt talt fysisk umulige: såsom hans periodiske vandfald, der altid løber ned af, selvom det løber rundt i sig selv. I det følgende vil jeg forsøge at beskrive, hvorledes matematik og malerkunst er beslægtet på en meget dyb måde. Helt basalt forsøger både matematik og malerkunst at repræsentere den omkringliggende virkelighed. Her er ikke kun tale om en snæver fysisk virkelighed, men en mere omfavnende realitet, som ikke er bange for at tillægge åndelige konstruktioner en eksistens. Endvidere tilstræber både malerkunst og matematik en vis grad af universalitet. At dette er muligt bliver straks klart, når vi tænker på Euklids geometri (ca. 300 f.kr.) eller vægmalerierne i Knossos (omkring 1500 f.kr). Selvom vort verdensbillede gennemgribende har ændret sig siden Knossos og Euklid, så er vi dog fuldt ud i stand til at værdsætte kunsten fra Knossos og bygger i dag videre på Euklids matematik. Jeg vil understrege følgende faktum: malerkunst og matematik er fælles om at forsøge at udvikle en symbolsk, koncis, og ofte meget abstrakt, repræsentation af virkeligheden. I begge tilfælde benyttes en proces som består af to stadier. Først fordøjes de væsentligste og mest generelle aspekter. Dernæst forsøger man gennem eksperimenter at finde frem til den bedste måde ved hjælp af symboler at repræsentere den identificerede struktur og det relevante tema. Denne helt basale fælles formålsparagraf er årsagen til en række idé- og begrebsmæssige paralleller mellem matematik og malerkunst. Nedenfor vil jeg diskutere hvorledes begreber som åben og lukket, eller endeligt og uendeligt er temaer, som bliver betragtet, håndteret og undersøgt både i matematik og i malerkunst. Jeg vil forsøge at tydeliggøre min argumentation ved at relatere nogle eksempler på matematisk formalisme og begreber til nogle udvalgte malerier. Jeg vil slutte af med nogle forslag til, hvorledes slægtskabet mellem matematik og malerkunst kan benyttes til at udvikle undervisningen i matematik. Tekniske paralleller At man kan forbinde matematik med malerkunst bliver straks klart, når man tænker på hvorledes matematik kan bruges til at analysere billeder. Perspektivtegning KVANT, december

2 har været studeret matematisk i flere hundrede år og for nylig er man blevet klar over, at fraktal geometri er den bedst egnede til at beskrive mange naturlige objekter, såsom skyer og bjerge. For få år siden tiltrak Taylor, Micolich og Jonas (1991) betydelig opmærksomhed, da de foretog en kvantitativ analyse of Pollock s drypmalerier. Den matematiske analyse bestod i at måle, hvorledes de dråber af maling, som Pollock har strintet udover lærredet, er fordelt. Forfatterne konkluderede at Pollocks dråber former fraktale strukturer på lærredet 1. Ud fra denne tekniske undersøgelse påpegede Taylor et al., at på en måde er Pollocks malerier figurative og naturalistiske, idet naturen omkring os indeholder fraktaler alle vegne. Denne form for relation mellem matematik og malerkunst er af ekstern analytisk karakter (Jensen 2002). Den demonstrerede, at matematik kan være nyttig, når man vil analysere et billede, og måske kan forøge vores forståelse af billedets indhold og budskab. Men denne forbindelse mellem malerkunst og matematik er beslægtet med det forhold, der findes mellem matematik og ethvert emne, som kan undersøges matematisk. Vi kan naturligvis med stort held benytte matematik, når vi vil designe en bro. Men selve konstruktionen af broen er nok af en ganske anden natur end det at dyrke eller udføre matematik. Formålet med brobygning er et ganske andet end formålet med matematik. Det ændrer ikke noget ved, at matematik er yderst brugbart for brobyggere. Forholdet mellem matematik og malerkunst er langt mere intimt. De er fælles om hensigt og formål, ydermere er der megen lighed mellem de mentale aktiviteter involveret i begge aktiviteter. Begrebsmæssige paralleller Matematik og malerkunst er tydeligvis fælles om at forsøge at indfange og beskrive de dele af virkeligheden, som ikke på en tilfredsstillende måde kan beskrives ved hjælp af sproget alene. Et billede af en kvinde kan f.eks. på et plan repræsentere en kvinde og samtidig på et andet plan række langt bag om det konkrete afbillede objekt. Det kan tydeligt illustreres ved at tænke på, hvorledes den ortodokse kirkes ikonmalere stræber efter at skabe billeder, der bringer os i forbindelse med helt andre dimensioner af virkeligheden. Når en person, der besidder en grad af religiøs følsomhed, mediterer over et ikon af Jomfru Maria, er det ikke et portræt af en ung kvinde, der fremkaldes i beskuerens bevidsthed. Det er snarere et sæt af transcendentale begreber og følelser, som er relateret til Theotokos eller Gud-bæreren eller Den som fødte Gud. Ikonets formål er at frembringe eller kommunikere abstraktioner, som er langt fjernet fra den umiddelbart håndgribelige fysiske verden. Ikonet forsøger at håndtere begreber, som ikke kan reduceres til den lave båndbredde, som vort dagligsprog er begrænset af. Det er klart nok ikke kun religiøs kunst, som vil udtrykke det usigelige. Ethvert maleri, figurativt eller abstrakt, indeholder altid et forsøg på, at frembringe opfattelser og følelser i beskuerens sind, der er langt større end, hvad en verbal beskrivelse af lærredets objekter vil indfange. Figur 1. Holy Icon of Theotokos Threnody (ca ) af Ioasaf Athonites. Situationen er den samme i matematikken. Her konstrueres et begrebsmæssigt univers med nogle forankringspunkter til den fysiske observerbare virkelighed. Herfra foretages så en ekspedition ud i den abstrakte verden, som bæres i den menneskelige bevidsthed. Lad os som eksempel tænke på tallene. De naturlige tal kan umiddelbart bringes i relation til konkrete objekter, såsom antallet af kugler på en kugleramme. De rationelle tal lader sig også begribe ved hjælp af simple geometriske figurer, f.eks. opdeling af en lagkage. Det er straks sværere at repræsentere de irrationelle tal på en håndgribelig måde. Mindst konkrete er dog de komplekse tal, som er defineret ved deres algebraiske egenskaber, nemlig som bekendt ved at antage, at man kan opnå negative værdier ved at multiplicere et komplekst tal med sig selv 2. Endskønt de komplekse tal kan forekomme verdensfjerne, så ved vi nu, at de tillader os at beskrive fundamentale dele af virkeligheden. For eksempel ville vi ikke kunne beskrive den atomare kvantemekaniske verden uden de komplekse tal eller en tilsvarende algebraisk struktur. Det er også naturligt at nævne, at både matematik og malerkunst benytter sig af et symbolsprog, der er i stand til at fremmane associationer, som der ikke umiddelbart refereres til. Dette forudsætter dog at beskueren besidder den rette baggrund. Tænk på, hvorledes ovenstående Theotokos Ikon hos en ortodoks kristen kan frembringe associationer til et transcendentalt religiøst plan, som ikke direkte er tilstede i billedet. Et parallelt eksempel fra matematik består i de myriader af associationer, som en person med en 1 Hvorvidt der strengt taget er tale om en fraktalfordeling eller en uniform Euklidisk fordeling kan diskuteres. Taylor, Micolich og Jonas fandt en fraktal dimension meget tæt på 2. Men det er ikke af betydning for vores diskussion her. 2 Identifikationen af komplekse tal med punkter i den to dimensionale plan kan måske nok forekomme som en simpel repræsentation sammenlignelig med at repræsentere de naturlige tal vha. kugler eller de reelle tal vha. længden af et linjestykke. Men man skal huske, at den geometriske repræsentation af komplekse tal kom til sent i deres historie, samt at man bliver nødt til at pålægge bestemte regler for, hvorledes punkterne i planen kan adderes og multipliceres før planen bliver ækvivalent med de komplekse tal. 26 Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

3 smule matematisk træning oplever, når man betragter diffusionsligningen: ϕ = D 2 ϕ. (1) t For en person uden kendskab til matematisk notation vil ligningen ikke betyde meget. Men har man en baggrund i matematik, vil man straks ledes til at tænke på begreber så som varme, tilfældig gang (random walk), fløde der spreder sig i en kaffekop og meget andet. Og alt det på trods af, at symbolerne i ligningen ikke direkte refererer til noget af dette. De begrebsmæssige ligheder mellem matematik og malerkunst er for mig at se årsagen til en række fællestræk i strukturen af matematik og kunst. Begge benytter sig på en meget bevidst og essentiel måde af emergens, eller hvad man kan kalde ikke-lineær konstruktion, hvor slutresultatet har et indhold, som er væsentligt forskelligt fra bestanddelene. Jeg vil illustrere dette først med et lille eksempel og dernæst betragte paralleller mellem Euklids geometri og Kandinskys teori om den åndelige betydning af geometriske objekter og former. Her er et eksempel på kunstnerisk skabelse. Tag følgende komponenter,, og (. Hver enkelt del genererer ikke megen følelsesmæssig bevægelse. Men sætter vi nu delene samme til, så vil vort sind straks reagere. Vores mentale reaktion på det lille ansigt er et resultat af en uendelighed af vekselvirkende komponenter. Først er der de fire geometriske elementer, dertil kommer hele vort kognitive maskineri og dermed også vor kulturelle baggrund. Alle disse bestanddele må samarbejde for at sætte beskueren i stand til at registrere og fortolke det følelsesmæssige indhold i den lille figur. På tilsvarende måde i matematik. Ikke-lineære o- perationer fører også her til helt nye egenskaber, som er større end summen af de enkelte dele. Igen er det vekselvirkningen mellem komponenterne, der giver anledning til, at noget helt nyt kan opstå. Et nemt og dog rimeligt repræsentativt eksempel kan være en ikke-lineær funktion af mere end én variabel, f.eks. f (x, y) = (x + y) 2. De funktionelle og geometriske egenskaber af f (x, y) er kvalitativt forskellige fra den lineære opførsel af de enkelte uafhængige variable opfattet som funktioner: g(x) = x og h(y) = y. Et mere interessant tilfælde, som også er mere beslægtet med det lille smiley -eksempel, består i de nye egenskaber, som kan fremkomme i grænsen, hvor man betragter en uendelighed af vekselvirkende variable. Den matematiske beskrivelse af fysiske faseovergange, såsom når vand fryser, består i at beskrive vekselvirkningen mellem uendelig mange partikler. Den dramatiske faseændring kan kun opstå, når uendeligt mange partikler er involveret. Det er parallelt til, at der er myriader af komponenter involveret, når de fire geometriske byggesten,, og ( og vores sind transformerer det lille billede til en følelsesoplevelse. Lad os nu kigge lidt på den bemærkelsesværdige lighed, der er imellem Euklids geometri og Kandinskys forsøg på at etablere et analytisk og aksiomatisk fundament for malerkunsten. De følgende få citater er tilstrækkelige til at illustrere pointen. Fra Euklids første bog: Definition 1. Et punkt er det, som ikke har nogen bestanddele. Definition 2. En linie er en længde uden bredde. Definition 3. Enderne af en linie er punkter. Definition 4. En ret linie er en linie, hvor punkterne ligger jævnt. Definition 5. En flade er det, som kun har længde og bredde. Definition 6. Kanterne af en flade er linier.... Som vi alle ved konstruerede Euklid sin geometri ud fra definitionerne ved hjælp af deduktion og aksiomer. Så lad os nu sammenholde dette med Kandinskys bog Punkt und Linie zur Fläche fra Kandinsky skriver: Elementer: Det første uundgåelige spørgsmål er naturligvis spørgsmålet angående elementerne, som er kunstens byggematerialer, og som sådanne er forskellige for hver enkelt kunstform. Kandinsky fortsætter dernæst med at introducere en række definitioner: Det geometrisk punkt: er en usynlig ting. Derfor må det være en ulegemlig ting. Betragtet i termer af substans er det lig med nul. Skjult i dette nul er imidlertid visse egenskaber som er af menneskelig natur... Den geometriske linie: er en usynlig ting. Det er sporet efterladt af et bevægende punkt, dvs dets produkt. Det er skabt af bevægelse mere specifikt gennem punktets destruktion af det intense selvstændige svar... Ved begrebet Basis Plan forstås den materielle plan, som skal modtage kunstværkets indhold. Det vil blive betegnet BP. Det skematiske BP er afgrænset af 2 horisontale og 2 vertikale linier, og vil derved fremstå som en individuel ting... Lige som Euklid udleder Kandinsky dernæst fra definitionerne egenskaber, som hans byggesten må besidde. Han bemærker således f.eks.: Linien er derfor den største antitese til det billedlige proto-element dvs til punktet. Strengt taget kan linien blive betragtet som et sekundært element. Disse to korte uddrag illustrerer at både matematik og malerkunst, i det mindste nogle gange, kan blive betragtet som deduktive aktiviteter. Der er måske nogle, som vil sige at den nære parallel mellem Euklid og Kandinsky kommer fra, at de begge beskæftiger sig med geometri i en eller anden form; og at de derfor ikke repræsenterer et mere generelt slægtskab mellem malerkunst og matematik. Men dertil er at betragte KVANT, december

4 begreber, som ikke er af direkte geometrisk natur. Jeg har for nogle år siden diskuteret, hvorledes begreber som åben og lukket, der benyttes i topologi, nogle gange kan relateres til den overordnede atmosfære i et billede (Jensen 2002). Her vil jeg gentage, at et billede som van Goghs Værelse i Arles fra 1889 (Musee d Orsay, Paris 3 ), bibringer beskueren en fornemmelse af indelukkethed; af en lille del af universet totalt lukket af fra det omkringliggende. Dørene er lukkede. En seng blokerer den ene og en stol er stillet foran den anden. Rummets eneste vindue er tildækket, måske det er skodder, som afskærer udsynet. Billedets kant er tydeligt markeret og indeholdt i selve billedet. J.M.W. Turner udtrykker den modsatte følelse i sit billede Snowstorm fra 1842 (Tate Britain, London 4 ). Dette billede strækker sig langt ud over lærredets felt. Billedet er fuldstændigt åbent. Her gøres det klart at hele verden er omsluttet af en voldsom altopslugende snestorm. Vi kan simpelthen ikke nå ud af billedet. Parallellerne mellem matematik og malerkunst er ikke kun begrænset til det figurative. Lad os som eksempel kigge på, hvorledes det abstrakte begreb uendeligt behandles. Det uendelige er helt centralt i matematik. Zenons paradoks er et eksempel på matematik, der kræver håndtering af det uendelige. Paradokset omhandler væddeløbet mellem skildpadden og Achilles og involverer addition af uendeligt mange tal. Grunden til at Achilles vil indhente og overhale den langsomme skildpadde er naturligvis, at Achilles kun behøver en endelig tid til at løbe afstanden mellem skildpadden og ham selv. Skildpadden formår at forvirre Achilles ved at bryde afstanden op i en uendelighed af små bidder. Først må Achilles løbe den 1/2 distance, dernæst halvdelen af, hvad der er tilbage, altså 1/4 af den oprindelige afstand. Når han har gjort det, må han atter igennem halvdelen af, hvad der nu er tilbage, altså 1/8 af den oprindelige afstand. Så Achilles må gennemløbe en uendelighed af etaper, og det ser jo slemt ud, som om det kunne tage uendeligt lang tid. Bedre bliver det ikke af at skildpadden, hver gang Achilles har afsluttet en etape vil have bevæget sig lidt længere frem, men dette er ikke væsentligt, så lad os ignorere den detalje nu. En lille tegning viser straks at summen vil summere op til (2) Figur 2. Intervallet halveres i det uendelige. Altså behøver vi ikke foretage en uendelighed af operationer for at konkludere, at = 1. (3) 16 Dvs et pænt endeligt resultat. Vores intellekt og matematik kan håndtere det uendelige i et snuptag og uddrage et endeligt resultat. Det er uden betydning, at den faktiske beregning, dersom vi udførte den, ville bestå i at addere uendelig mange brøker, og derfor ville tage uendeligt lang tid. Figur 3. Zen Circle eller Enso af Torei Enji ( ). En maler kan på en tilsvarende måde repræsentere det uendelige. Det er elegant demonstreret i Torei Enji s ( ) Enso, eller Zen Cirkel, tegnet med blæk på papir. En Enso symboliserer i Zen Buddhismen oplysning, styrke og elegance. Men samtidig repræsenterer en Enso også universet og det tomme rum. På den måde kan en Enso ses som en repræsentation af det uendelige og det uudtømmelige. Zen Cirklens virkemåde bliver måske mere tydelig, når man betragter den cirkulære form i kontrast til trekanten. Hjørnerne på trekanten bryder den fornemmelse af uophørlig bevægelse, som opstår i vort sind, når vore øjne følger cirklens periferi. Derfor kan cirklen række ud mod det uendelige, mens trekanten forbliver bundet til det endelige. Parallelle strategier Det er både interessant og belærende at overveje, hvorledes den samme angrebsmåde kan blive identificeret i både matematik og malerkunst. Jeg mener, der er talrige eksempler herpå, men vi vil blot kigge på et par stykker her. Lad os begynde med at overveje, hvorledes figurativ analyse benyttes i kontrast til ikke-figurativ. Kandinsky er en fremragende eksponent for forsøget på at kommunikere ved hjælp af en ikke-figurativ kode. Tilsvarende, selv om megen matematik har sit udspring i geometri og analyse af rumlige strukturer, så er der også discipliner, såsom talteori og gruppeteori, i hvilke Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

5 der stort set ikke benyttes nogen direkte figurativ analogi. Dog vil en matematiker efter at have beskæftiget sig med enten talteori eller gruppealgebra et stykke tid, udvikle en intuitiv repræsentation af de abstrakte matematiske strukturer, som lever et sted uden for den figurative virkelighed. Dette svarer helt til Kandinskys program nævnt ovenfor, i hvilken han prøvede at identificere den ikke-figurative åndelige værdi af abstrakt malede former. Denne ligning beskriver, hvorledes positionen af en partikel, x(t), afhænger af tidspunktet t, når kraften F virker på partiklen. Ligningen henviser kun til partiklens masse m, og kraften F, derimod negligeres f.eks. partiklens farve og alder. Både Munchs maleri og Newtons lov er i stand til at studere det relevante emne, verdensangst og partikelbevægelse, ved at udelade en uendelighed af detaljer. Dybden af vor forståelse er nært forbundet med at identificere for dernæst at negligere de irrelevante detaljer. Figur 4. Skriget af Edward Munch, olie tempera og pastel på karton. National Gallery, Oslo. Et andet tydeligt eksempel på parallelle strategier i malerkunst og matematik består i bestræbelsen på at uddrage det essentielle og udelade irrelevante detaljer. Tænk på Edward Munchs Skriget eller, som det oprindeligt blev kaldt, Naturens Skrig. Kun det absolut nødvendigste er inkluderet i billedet for på den måde at sikre, at den overordnede komposition frembringer en fornemmelse af uudgrundelig angst. Billedets hjerteskærende effekt er i høj grad et resultat af, at detaljer ikke får lov til at distrahere. Hvis Munch havde gengivet ansigterne, eller de menneskelige former, mere detaljeret, ville vort sind straks frembringe associationer til bestemte mennesker, vi kender. På tilsvarende måde er vi ikke i stand til at forbinde de brede strøg, som angiver baggrunden, med en bekendt geografisk lokalitet. Vi er derfor tvunget til at opleve billedet som en prototype af generel relevans for vores følelsesliv. Hvis den skrigende figur i forgrunden havde mindet mig om min tante, eller de to mørke skikkelser i baggrunden så ud som de to ubehagelige fyre, der altid var ude på ballade lørdag aften i min barndoms by, da ville jeg måske ikke have forstået at figuren i forgrunden er mig selv på vej over én af de mangfoldige virkelige eller virtuelle broer, jeg må krydse på min vej gennem livet. I matematik kan det være lige så vigtigt at udelade irrelevante detaljer. Tænk på Newtons bevægelsesligning m d2 x = F. (4) dt 2 Figur 5. Interferens mellem tre bølger med næsten samme frekvens. Det hænder ofte at maleren og matematikeren benytter sig af en analog teknik. Vi vil blot kigge på to eksempler. Det første består i brugen af superposition. Dvs at man adderer komponenter for at opnå en helhed, som er forskellig fra, og ofte på mange måder af en anden natur, end samlingen bestående af de individuelle dele. Superposition i matematik kan f.eks. bestå i at addere oscillerende bølger for derigennem at opnå en ny type tidslig opførsel. I den følgende ligning lægger vi tre sinus-bølger sammen med lidt forskellige frekvenser, θ 1, θ 2 og θ 3, for at konstruere et nyt signal f (t): f (t) = sin(θ 1 t) + sin(θ 2 t) + sin(θ 3 t). (5) Resultatet bliver, som vist på figuren, et signal af en ganske anden type. Interferensen mellem de tre bølger frembringer en bølge med en lavfrekvent variation i signalets amplitude. Det er naturligvis netop denne stødfrekvens, man benytter sig af, når man med gehør stemmer et strengeinstrument og drejer på stemmeskruerne indtil de lavfrekvente stød forsvinder. Fremkomsten af en ny kvalitet gennem kombination af komponenter kan også fornemmes i maleriet af Londons vartegn (figur 6). Billedet er malet efter hukommelsen. Fotografierne fra internettet er indsat som reference. Selv om de forskellige strukturer befinder sig spredt på tværs af London, så formidler billedets superposition måske det helhedsindtryk, som en turist føler efter en travl sightseeing tur i storbyen. Hukommelsen har en tendens til at registrere en helhed en collage hvor enkeltoplevelser mister deres præcision for i stedet tilsammen at efterlade én fornemmelse i vort sind. KVANT, december

6 Figur 6. Collage over berømte steder i London. Vort sidste eksempel på begrebsmæssige paralleller mellem matematik og malerkunst har at gøre med hierarkiske strukturer. Fra matematikken kan man tænke på de forskellige typer af tal. Først er der de naturlige tal N = {1, 2, 3,...}, som er indeholdt i de hele tal Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, som er indeholdt i de rationale tal Q, der atter er indeholdt i de reelle tal R, som er indeholdt i de komplekse tal C. Eller mere kortfattet N Z Q R C. (6) Moderne matematik er opbygget ved hjælp af abstrakt mængdelære, som netop er en formaliseret måde at beskrive relationer mellem grupper af forskellige objekter. Mængdelære benyttes hele tiden på tværs af alle matematikkens discipliner og tillader en meget større præcision, end det var muligt tidligere. Russells paradoks er et berømt eksempel på de komplikationer, der kan opstå, når man kombinerer hierarkiske strukturer og selvreference. Russell foreslog at betragte en mængde der indeholder alle de mængder, som ikke er medlemmer af dem selv. Hans overvejelser ledte ham til et paradoks af samme natur, som det den mytologiske Epimenides fra Kreta opdagede, da han sagde: Alle kretensere er løgnere. Jeg er kretenser. Lyver jeg eller ej? Ovenstående skulle gøre det klart at hierarkier er af stor betydning i matematikken. Hierarkiers styrke udnyttes også i malerkunsten til at fremmane et globalt og ubundet indtryk. Tænk på Picassos malerier såsom Portræt af Ambroise Vollard 5 eller Klarinetspilleren 6. Billedet nedenfor er et semi-figurativt eksempel på en hierarkisk komposition. Det samme tema gentager sig selv i mindre skala (en fraktal), hvorved det bliver svært at udnævne nogle områder i billedet, som værende mere vigtige end andre. Måske billedet på den måde opnår en omfavnende transcendental karakter. Figur 7. Dybdevirkning i fraktalt maleri. Konsekvenser Spørgsmålet er, om de ligheder, der eksisterer mellem matematik og malerkunst, er af nogen væsentlig betydning. Jeg mener at dette slægtskab giver os mulighed for at forholde os til matematik på en anden og mere kreativ måde, end det ofte for tiden er tilfældet. Når vi betragter matematik som væsensbeslægtet med malerkunst, falder det lige for at introducere børn og voksne til matematik gennem en åbensindet bred eksperimentel angrebsvinkel. Ydermere bliver det klart, at hvem som helst kan gøres bekendt med matematik. Som bekendt er det ikke usædvanligt at høre folk, der hævder, at der kræves en bestemt type hjerne for at forstå matematik. Det kan nok være sandt, hvis man tænker på matematik på højeste forskningsniveau. På samme måde som Picasso var en specielt begavet maler, og Mozart var usædvanlig musikalsk talentfuld, var Einstein uden tvivl bedre end de fleste til at tænke Matematik er kunst uden pensel, kunst er matematik uden kridt

7 logisk (og intuitivt). Men det er jo ikke sådan, at enten kan man male som Picasso, eller også maler man overhovedet ikke. Eller enten har man Mozarts geni, eller også synger man aldrig en sang. På tilsvarende måde er det klart, at man kan beskæftige sig berigende med matematik uden at have Einsteins fremragende begavelse. Slægtskabet mellem matematik og malerkunst viser præcis, at matematisk tænkning er naturlig for den menneskelige hjerne. Børn og voksne benytter gerne krusedulletegning som en måde at hjælpe tankerne på gled. Kruseduller er en form for symbolsk tænkning, hvad enten de foregår på et bevidst analytisk eller et delvist ubevidst intuitivt plan. Pointen er, at matematisk tænkning ofte er tæt beslægtet med de tankeprocesser, som vi alle benytter os af, når vi laver kruseduller eller simple tegninger og malerier. Og derfor er en krusedulle-tegnende hjerne også i stand til at tænke matematisk, i det mindste på et basalt niveau. Så hvorfor ser vi ikke børn og voksne bryde ud i spontane matematiske overvejelser på samme måde, som vi ser dem lege med tegning? Årsagen er den samme som, hvorfor vi ikke bryder ud i spontane jubelbrøl på aramæisk. Det er ikke fordi vor hjerne ikke besidder kapaciteten til at tale aramæisk, eller fordi man skal besidde et specielt talent for at tale aramæisk. Vi er nødt til først at modtage målrettet træning i det aramæiske sprog. Ligeledes må vi stille træning i matematik til rådighed for derved gradvist at udvikle det naturlige potentiale hos børn og voksne. Hvis vi betragter undervisning i matematik fra det udgangspunkt, at matematik og malerkunst er væsensbeslægtede, vil vi nok ændre på vor pædagogiske strategi. Jeg foreslår, at det kan være befordrende at nærme sig visse matematiske idéer ved at bede elever eller studenter om at lave billeder, der vil rette elevens forestillingsverden mod de vigtigste overordnede aspekter af det matematiske emne, man skal til at introducere. Måske eleverne på denne måde vil blive klare over, at før vi tilegner os de mere tekniske sider af matematikken, er vi nødt til først: 1. at lære at analysere: dvs. identificere det væsentlige. 2. at lære at kombinere og komponere. 3. at blive behændige i brugen af symbolsprog. Følgende tre konkrete eksempler skulle tydeliggøre, hvorledes jeg mener dette kan gøres. (A) Matematisk emne: Topologi/mængdelære åbne og lukkede mængder. Øvelse: Tegn en struktur som ikke indeholder sin egen afgræsning. Tegn en anden som eksplicit afgrænser sig selv. (B) Matematisk emne: Funktional, f.eks. y = y(x) J[y]. Øvelse: Lav en serie af smileys i forskelligt humør: bedrøvet, glad, vred, syg, etc. Knyt nu til hver smiley en enkelt farve som bedst repræsenterer dens humør. (C) Matematisk emne: At se indholdet bagom formalismen. Øvelse: Diskuter det følelsesmæssige indhold i Munchs Skrig. Konklusion Vi oplever for tiden både et paradoks og et seriøst problem. Vor verden bliver uophørligt baseret mere og mere på matematik. Handel, ingeniørvidenskab, medicin, psykologi, sociologi, sprogvidenskab, filmkunst etc. er alle væsentligt afhængige af matematik. Samtidig ser vi mange steder, i det mindste i den vestlige verden, et dalende niveau af matematikundervisningen i grundskolerne. Måske dette er årsagen til det faldende antal af studerende, der i videregående uddannelser vælger matematisk relaterede fag. Jeg tror, at en ændring af vor attitude er nødvendig. Vi bliver nødt til at fremstille matematik som, hvad det virkelig er, nemlig en levende og undersøgende aktivitet fuld af leg og undren, og ikke blot en disciplin som består i at lære udenad, hvad folk i en fjern fortid hittede på. Ved at sammenholde matematikkens væsen med andre menneskelige udtryksformer, såsom malerkunst, vil vi nemmere kunne gøre det klart, at det kan være ligeså berigende at tilbringe tid med Eulers tanker, som det er at dvæle over et billede af Picasso eller være omsluttet af Mozarts musik. Jeg er Vibeke Nordmark Hansen, Barbara Nordmark Jeldtoft Jensen og Paolo Sibani taknemmelige for behjælpelige kommentarer til den engelske udgave af denne artikel, der blev præsenteret som nøgleforelæsning ved International Conference Excellence: Education & Human Development, i Athen den juli Litteratur [1] Jensen, H.J. (2002), Mathematics and painting, Interdisciplinary Science Review, bind 27, No. 1, p (se hjjens) [2] Euklids Elementer er blevet publiceret på mangfoldig vis op gennem århundrederne. Følgende er en rigtig god hjælp djoyce/- java/elements/booki/booki.html [3] Kandinsky, W. (1979), Point and line to Plane, Dover Publications, Inc. New York. [4] Taylor, A., Micolich, A., Jonas, D. (1999), Fractal expression, Physics World, bind 12, October, p Henrik Jeldtoft Jensen er professor i matematisk fysik ved Imperial College London, hvor han leder en forskningsgruppe i kompleksitetsvidenskab (www3.imperial.ac.uk/mathsinstitute/). KVANT, december

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

VIA UNIVERSITY COLLEGE. Pædagoguddannelsen Jydsk Pædagoguddannelsen Randers LINJEFAGSVALG

VIA UNIVERSITY COLLEGE. Pædagoguddannelsen Jydsk Pædagoguddannelsen Randers LINJEFAGSVALG VIA UNIVERSITY COLLEGE Pædagoguddannelsen Jydsk Pædagoguddannelsen Randers LINJEFAGSVALG Indledning Formålet med denne folder er at skitsere liniefagene i pædagoguddannelsen, så du kan danne dig et overblik

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996 Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition.

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition. Komposition - om at bygge et billede op Hvis du har prøvet at bygge et korthus, ved du, hvor vigtigt det er, at hvert kort bliver anbragt helt præcist i forhold til de andre. Ellers braser det hele sammen.

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Barnets alsidige personlige udvikling - Toften

Barnets alsidige personlige udvikling - Toften Barnets alsidige personlige udvikling - Toften Sammenhæng Børns personlige udvikling sker i en omverden, der er åben og medlevende. Børn skal opleve sig som værdsatte individer i betydende fællesskaber.

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

METTE WINCKELMANN. We Have A Body EN UDSTILLING OM KROP OG IDENTITET

METTE WINCKELMANN. We Have A Body EN UDSTILLING OM KROP OG IDENTITET METTE WINCKELMANN We Have A Body EN UDSTILLING OM KROP OG IDENTITET INTRODUKTION TIL LÆRERGUIDEN I perioden 3. december 2011 29. januar 2012 kan du og din klasse opleve We Have A Body en soloudstilling

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering MULTI 7 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Læs og skriv matematik Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik

Læs mere

Kolb s Læringsstil. Jeg kan lide at iagttage og lytte mine fornemmelser 2. Jeg lytter og iagttager omhyggeligt

Kolb s Læringsstil. Jeg kan lide at iagttage og lytte mine fornemmelser 2. Jeg lytter og iagttager omhyggeligt Kolb s Læringsstil Denne selvtest kan bruges til at belyse, hvordan du lærer bedst. Nedenfor finder du 12 rækker med 4 forskellige udsagn i hver række. Du skal rangordne udsagnene i hver række, sådan som

Læs mere

Barnets alsidige personlige udvikling Højen vuggestuen

Barnets alsidige personlige udvikling Højen vuggestuen Barnets alsidige personlige udvikling Højen vuggestuen Sammenhæng Børns personlige udvikling sker i en omverden, der er åben og medlevende. Børn skal opleve sig som værdsatte individer i betydende fællesskaber.

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

Årsplan for 2.kl i Matematik

Årsplan for 2.kl i Matematik Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

8 bud på billedforløb

8 bud på billedforløb 8 bud på billedforløb Center for Undervisningsmidler Slagelse, ved pædagogisk konsulent Mette Rold 1 Collage-billeder Her kan der leges med forholdet mellem real virkelighed og imaginær virkelighed. Dette

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik 2016-17 Uge Tema/emne Metode/mål 33 Brøker + talforståelse Matematiske arbejdsmåder(metode) 34 Brøker + procent 35 Excel 35 GeoGebra/Geometri 36 Geometri 37 Emneuge 38 Geometri 39

Læs mere

6. - 10. klasse. Opgaveark ...

6. - 10. klasse. Opgaveark ... Interiør, ung kvinde set fra ryggen, 1904. Randers Kunstmuseum 6. - 10. klasse Kunst kan udtrykke forskellige følelser og sætte følelser i gang hos beskueren. Det kan ske gennem komposition, figurers kropssprog,

Læs mere

tegn og ga t E -Ligeva rd og fa lleskab E E R D O MK A E T I

tegn og ga t E -Ligeva rd og fa lleskab E E R D O MK A E T I tegn og ga Et -Ligeva Erd og fa Elleskab T D A O M K E R I Indhold Tegn og gæt øvelse der lægger op til en diskussion om stereotyper. Formål At eleverne opnår en forståelse for, at vi alle er forskellige,

Læs mere

Rosenkreuzet Symbol på en spirituel udviklingsvej

Rosenkreuzet Symbol på en spirituel udviklingsvej 1 Rosenkreuzet Symbol på en spirituel udviklingsvej Informationsrække i 7 dele Del 1: Dét, som virkeligt forandrer os Det Gyldne Rosenkreuz' Internationale Skole LECTORIUM ROSICRUCIANUM Internationale

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels ANALOG vs DIGITAL Ordet digitalt bliver brugt ofte indenfor skitsering. Definitionen af digitalt er en elektronisk teknologi der genererer, gemmer, og processerer data ved at benytte to tilstande: positiv

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Surrealisme - Drømmen om en overvirkelighed

Surrealisme - Drømmen om en overvirkelighed Surrealisme - Drømmen om en overvirkelighed Undervisningsmateriale 8.-10. klasse Malerier på grænsen mellem verdener En gruppe kunstnere i 1920ernes Paris troede fuldt og fast på, at man igennem kunsten

Læs mere

Hvad er matematik? Indskolingskursus

Hvad er matematik? Indskolingskursus Hvad er matematik? Indskolingskursus Vordingborg 25. 29. april 2016 Matematikbog i 50 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne. Hvor stor

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

identifikation & Fa Ellesskab O M

identifikation & Fa Ellesskab O M identifikation & Fa Ellesskab D A O M K E T R I Indhold Dette er en legende vurderingsøvelse, hvor eleverne på kort og i forhold til forskellige identifikationsmarkører skal bevæge sig rundt i forskellige

Læs mere

Aristoteles om uendelighed

Aristoteles om uendelighed Aristoteles om uendelighed Af Charlotte Stefansen En af de stridigheder man møder inden for matematik vedrører, om man kan tillade brugen af uendeligheder. Groft sagt kan man dele opfattelser af matematik

Læs mere

TIL GENNEMSYN. Introduktion til Positiv psykologi...17 Figur 1.6 Lykkefremmende faktorer...18

TIL GENNEMSYN. Introduktion til Positiv psykologi...17 Figur 1.6 Lykkefremmende faktorer...18 Indholdsfortegnelse Vores tilgang til tanker...6 Indledning...7 Baggrunden for materialet og begrebet Kognitiv pædagogik...8 Læreren/ pædagogen som samtalepartner...10 Dette materiale...10 Introduktion

Læs mere

Psykologisk perspektiv på god undervisning

Psykologisk perspektiv på god undervisning Psykologisk perspektiv på god undervisning Anne Kirketerp, Psykolog, Ph,d. Undervisningsudvikler, medlem af PSH s innovationsenhed og underviser på VIAUC Ekstern Lektor, Aarhus Universitet anki@viauc.dk

Læs mere

Læreplaner. Vores mål :

Læreplaner. Vores mål : Læreplaner Trivsel, læring og udvikling er tre centrale begreber for os i Børnehuset Trinbrættet. I den forbindelse ser vi læreplaner som et vigtigt redskab.vores grundsyn er, at hvis børn skal lære noget

Læs mere

Undersøgelser i nyere geometri

Undersøgelser i nyere geometri Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Nr. 3 September 2013 25. årgang

Nr. 3 September 2013 25. årgang KØBENHAVNS KOMMUNEKREDS Nr. 3 September 2013 25. årgang I dette nummer bl.a.: Portræt af en frivillig samtale med Sven Aage Knudsen Formidling af følelser uden ord Videnskabelig skabt legeplads til børn

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011

Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Introduktion. Din mulighed nu er at ændre hele verden

Introduktion. Din mulighed nu er at ændre hele verden Introduktion Dét du søger at opnå, ved at læse denne bog, er en tilstand af indre ro og stilhed. Din rejse er en rejse i selvopdagelse og selvforståelse. Imidlertid må du erkende, at dette ikke er noget,

Læs mere

I faget kunst inddrager vi, udover billedkunst som sådan også noget håndarbejde og sløjd.

I faget kunst inddrager vi, udover billedkunst som sådan også noget håndarbejde og sløjd. Formål med faget kunst/kunstnerisk udfoldelse Formålet med faget Kunst er at eleverne bliver i stand til at genkende og bruge skaberkraften i sig selv. At de ved hjælp af viden om forskellige kunstarter

Læs mere

TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m.

TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m. TEST-skjal til at vísa stødd, snið v.m. Vejledning i projektskrivning Vejledning i rapportskrivning En hjælp til et lettere liv for studerende og undervisere Heini Havreki Verkætlanarfrágreiðing Skeið

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Science i børnehøjde

Science i børnehøjde Indledning Esbjerg kommunes indsatsområde, Science, som startede i 2013, var en ny måde, for os pædagoger i Børnhus Syd, at tænke på. Det var en stor udfordring for os at tilpasse et forløb for 3-4 årige,

Læs mere

Videnskabsteori. Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter. To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme

Videnskabsteori. Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter. To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme Videnskabsteori Hvad er Naturvidenskab (Science)? - Fire synspunkter To synspunkter på verdens mangfoldighed: Darwinisme Kreationisme Hvorfor videnskabsteori? Bedre forståelse af egen praksis (aktivitet)

Læs mere

CERES. Hvis Positive kvaliteter er Ret ydmyghed - Indre ro - Beskedenhed. Hvad aktiverer/stimulerer Ceres energien, når du kanaliserer

CERES. Hvis Positive kvaliteter er Ret ydmyghed - Indre ro - Beskedenhed. Hvad aktiverer/stimulerer Ceres energien, når du kanaliserer CERES Hvis Positive kvaliteter er Ret ydmyghed - Indre ro - Beskedenhed Hvad aktiverer/stimulerer Ceres energien, når du kanaliserer Denne energi rammer og vækker højere bevidsthedslag hos den mediterende,

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Bandholm Børnehus 2011

Bandholm Børnehus 2011 Pædagogiske læreplaner. 6. TEMA: Kulturelle udtryksformer og værdier. Bandholm Børnehus 2011 Kulturel viden er det ubevidste blik, mennesker møder verden med. Først i mødet med de andre og det anderledes,

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34 Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 33-34 Årsprøve og rettevejledledning 34-36 Årsprøven i matematik Talmængder og regnemetoder 37 Fordybelses uge 38-39 40 Termins-prøve 41 Studieturen 42 Efterårsferie

Læs mere

Roskilde Ungdomsskole. Fælles mål og læseplan for valgfaget. Kunstskolen

Roskilde Ungdomsskole. Fælles mål og læseplan for valgfaget. Kunstskolen Roskilde Ungdomsskole Fælles mål og læseplan for valgfaget Kunstskolen November 2014 Kunstskolen Formålet med undervisningen er, at eleverne tilegner sig kompetencer i billedkommunikation og i billedanalyse

Læs mere

Det fællesskabende møde. om forældresamarbejde i relationsperspektiv. Artikel af cand. psych. Inge Schoug Larsen

Det fællesskabende møde. om forældresamarbejde i relationsperspektiv. Artikel af cand. psych. Inge Schoug Larsen Det fællesskabende møde om forældresamarbejde i relationsperspektiv Artikel af cand. psych. Inge Schoug Larsen Lysten til samarbejde udvikles gennem oplevelsen af at blive taget alvorligt og at have indflydelse

Læs mere

Lærervejledning. Forløb: Hjemme hos Hammershøi Målgruppe: 6. 10. klasse Fag: Billedkunst og dansk. 1. Lærervejledning med. 2. Elevark med. 3.

Lærervejledning. Forløb: Hjemme hos Hammershøi Målgruppe: 6. 10. klasse Fag: Billedkunst og dansk. 1. Lærervejledning med. 2. Elevark med. 3. Ordrupgaards samlinger og særudstillinger rummer mange muligheder for engagerende, dialogbaseret undervisning, f.eks. i fagene dansk, billedkunst, historie, fransk og samfundsfag. Se nogle af museets akutelle

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere