Funktionsterminologi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Funktionsterminologi"

Transkript

1 Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Værdimængde Bemærkninger og eksempler Begrænsede funktioner Ekstremalværdier Globale ekstremer Lokale ekstremer Monotoni Lidt indledende logik Monotone funktioner Monotoniintervaller Uligheder i et nyt lys Injektivitet Injektive funktioner

3 Resumé I dette dokument indfører vi nogle egenskaber som en funktion kan have. Vi skal tale om funktioners værdimængder, deres monotoniforhold og eventuelle ekstremalværdier. Til sidst møder vi begrebet injektivitet som leder direkte videre til teorien om inverse funktioner og sektioner. 1 Introduktion Når man lærer om funktioner er det vigtigt at man ikke udelukkende tænker i praktiske anvendelser, fordi funktionsbegrebet først og fremmest er et sprog som skal læres inden man overhovedet kan forstå hvad det skal bruges til. Ikke desto mindre kan vi allerede i dette kapitel begynde at se anvendelsesmuligheder: Funktioner bruges jo til at udtrykke hvordan størrelser kan afhænge af hinanden. Forestil dig f.eks. en fabrik som producerer mobiltelefoner. Deres fortjeneste afhænger af hvilken pris de vælger at sælge deres telefon til. Hvis prisen er for høj vil de ikke sælge særligt mange telefoner, og hvis prisen er for lav tjener de måske ikke engang produktionsomkostningerne hjem. Tricket består naturligvis i at vælge præcis den pris som gør deres fortjeneste størst muligt. Til dette formål ville det være smart, hvis man kunne beskrive nøjagtigt hvordan den samlede fortjeneste afhænger af prisen ved hjælp af en funktion 1, og derefter undersøge hvilken pris (x) som bevirker at fortjenesten (f(x)) bliver størst muligt. Det kunne også være interessant at undersøge hvorvidt en lille ændring i den nuværende pris ville øge eller sænke den samlede fortjeneste. Det er præcis den slags egenskaber ved en funktion som vi skal give navne til i dette dokument. 1 At vælge den rigtige funktion er naturligvis en vanskelig opgave i sig selv. Kunsten at gøre dette kaldes modellering, og det kan du læse om her side 1

4 Forudsætninger Dokumentet er en direkte fortsættelse af Funktioner 2, og det forudsættes selvfølgelig at man har læst dette dokument først. Eftersom alting skal handle om funktioner med primær og sekundærmængde R, vil vi indføre en generel regel: Når ordet funktion optræder i dette dokument, så skal det læses som: En funktion med primærmængde R og sekundærmængde R. 2 Værdimængde Som udgangspunkt består en funktion af en primærmængde (hvor de elementer som funktionen kan tages på kommer fra), en sekundærmængde (hvor funktionsværdierne havner ) og en regel for hvordan elementer i primærmængden bliver lavet om til elementer i sekundærmængden. Sammen med reglen kommer der en definitionsmængde som består af de elementer fra primærmængden som reglen må anvendes på. Vi definerer nu en anden vigtig mængde som er knyttet til enhver funktion. Definition 1 Hvis f er en funktion, så defineres værdimængden af f som: V m(f) = {f(x) x Dm(f)}. 2.1 Bemærkninger og eksempler Værdimængden er altså en mængde der består af alle de funktionsværdier, f(x), som man kan opnå ved at tage f på et element, x, i 2 Læs om funktioner her side 2

5 definitionsmængden. Dermed bliver V m(f) en delmængde af sekundærmængden. Den består af de elementer som rent faktisk rammes af funktionen. Man kan passende udvide sit abstrakte billede af funktionen til det på figur 1. Primærmængde Sekundærmængde Definitionsmængde x a Regel Værdimængde f(x) f(a) Figur 1: Et abstrakt billede af en funktion med indtegning af værdimængden Eksempel 1 Betragt funktionen f givet ved forskriften f(x) = x 2. Da det er underforstået at definitionsmængden og sekundærmængden begge er R, vil værdimængden for f bestå af de reelle tal, som kan opstå ved at man opløfter et reelt tal i anden potens. Med andre ord: V m(f) = R + {0} side 3

6 Det er meget nemt at få et overblik over en funktions værdimængde ved at kigge på dens graf. Husk på at grafen består af punkter (x; y) hvor y = f(x). Hvis man vil vide hvad værdimængden er, skal man altså bare undersøge hvilke y-værdier som optræder på grafen. Øvelse 1 Bestem værdimængden for følgende funktioner: f 1 (x) = 3 x f 2 (x) = x 1 (Tænk over definitionsmængden!) f 3 (x) = sin(x) f 4 (x) = tan x f 5 (x) = x { 1 x, x > 0 f 6 (x) = 17, ellers Bemærk at grafen sagtens kan springe nogle y-værdier over. Det betyder at værdimængden til tider kan være ret kompliceret at skrive ned. Men for de fleste pæne 3 funktioner bliver værdimængden et interval (enten med åbne eller lukkede endepunkter). 2.2 Begrænsede funktioner Et fænomen som nu skal have sit eget navn er når en funktions værdimængde ligger inden for en afgrænset del af den reelle akse. Det gør vi mere præcist med følgende definition: 3 Vi skal se hvad ordet pæn helt præcist betyder når vi skal snakke om begrebet kontinuitet. Det kan du læse om her side 4

7 Definition 2 En funktion, f, kaldes begrænset hvis der findes to tal, m og M med den egenskab at: f(x) m og f(x) M for alle elementer x i definitionsmængden for f. Det svarer til at værdimængden for f er en delmængde af intervallet [m; M] Øvelse 2 Hvilke af funktionerne fra opgave 1 er begrænsede? 3 Ekstremalværdier Med en ekstremalværdi for en funktion mener man enten en maksimal (størst mulig) eller en minimal (mindst mulig) værdi for funktionen. Begrebet er dog en smule mere kompliceret end dette. Dels fordi en funktion ikke altid har ekstremalværdier, og dels fordi man både ønsker at tale om såkaldt globale og lokale ekstremalværdier. Derfor gør vi klogt i at indføre alle disse ord omhyggeligt med nogle definitioner: 3.1 Globale ekstremer side 5

8 Definition 3 Hvis f er en funktion, så kaldes et element x Dm(f) for et globalt minimumssted hvis funktionsværdien f(x) er mindre end eller lig med alle andre funktionsværdier. Selve denne funktionsværdi kaldes en global minimumsværdi for f. Definition 4 Hvis f er en funktion, så kaldes et punkt x Dm(f) for et globalt maksimumssted hvis funktionsværdien f(x) er større end eller lig med alle andre funktionsværdier. Selve funktionsværdien f(x) kaldes for en global maksimumsværdi. Bemærkninger: Globale minimumssteder og maksimumssteder kaldes under et for globale ekstremumssteder, og tilsvarende kaldes globale minimumsværdier og maksimumsværdier under et for globale ekstremumsværdier. Bemærk at vi skriver mindre end eller lig med og større end eller lig med i ovenstående definitioner. Dermed kan en funktion sagtens have mange globale miniumssteder og maksimumssteder. (Prøv at give et eksempel!). Den kan dog højst have en global minimumsværdi, og højst en global maksimumsværdi. (Prøv at forklare hvorfor!) Det kan nemt forekomme at en funktion overhovedet ikke har nogen ekstremumssteder, og dermed heller ingen ekstremumsværdier. (Prøv at give nogle eksempler!) side 6

9 Når man oplyser globale ekstremumssteder og ekstremumsværdier for en funktion, oplyser man som regel en ekstremumsværdi sammen med det sted hvor den antages. Ofte giver man lige ekstremumsstedet et navn i forbifarten. Man skriver f.eks: Funktionen f har et globalt maksimumssted i x = 14 med global maksimumsværdi f(x) = 117. Eksempel 2 Betragt funktionen g, hvis graf er angivet på figur 2. Denne funktion har tilsyneladende et globalt minimumssted i x 1 = 2 og den tilhørende globale minimumsværdi er g(x 1 ) = 3 Den har tilsyneladende et globalt maksimumssted i med global maksimumsværdi x 2 = 3,5 g(x 2 ) 7,3 3.2 Lokale ekstremer Et lokalt ekstremumsted er præcis det som man tror det er: Et punkt, som ligner et globalt ekstremumspunkt hvis man kun kigger på et lille udsnit af grafen, men som eventuelt kan blive overgået et andet sted på grafen. Vi må dog hellere lave en mere præcis definition: side 7

10 10 5 y=g(x) Figur 2: Grafen for funktionen i eksempel 2 Definition 5 Hvis f er en funktion, så kaldes et element x Dm(f) for et lokalt minimumssted hvis der findes et (eventuelt meget lille) interval ]a; b[ på den reelle akse med egenskaberne: intervallet omslutter x. funktionsværdien f(x) er mindre end eller lig med alle andre funktionsværdier som f antager på intervallet ]a; b[. Selve funktionsværdien f(x) kaldes en lokal minimumsværdi for f. Definition 6 Hvis f er en funktion, så kaldes et element x Dm(f) for et lokalt maksimumssted hvis der findes et (eventuelt meget lille) interval ]a; b[ på den reelle akse med egenskaberne: side 8

11 intervallet omslutter x. funktionsværdien f(x) er større end eller lig med alle andre funktionsværdier som f antager på intervallet ]a; b[. Selve funktionsværdien f(x) kaldes en lokal maksimumsværdi for f. Bemærkninger: Lokale minimumssteder og maksimumssteder kaldes under et for lokale ekstremumssteder, og tilsvarende kaldes lokale minimumsværdier og maksimumsværdier under et for lokale ekstremumsværdier. En funktion kan have masser af lokale ekstremumssteder, og også masser af lokale ekstremumsværdier. (Prøv at give eksempler!) Et globalt ekstremumssted er automatisk også et lokalt ekstremumssted, idet det omtalte interval bare kan sættes til at være hele den reelle akse: ] ; [. Det kan nemt forekomme at en funktion overhovedet ikke har nogen lokale ekstremumssteder, og dermed heller ingen lokale ekstremumsværdier. (Prøv at give nogle eksempler!) Man oplyser lokale ekstremumssteder og ekstremumsværdier for en funktion på samme måde som de globale. Man skriver f.eks: Funktionen f har et lokalt maksimumssted i x = 14 med lokal maksimumsværdi f(x) = 117. Lokale ekstremumssteder er meget nemme at finde ved at kigge på grafen for en funktion: Man leder ganske enkelt efter x-koordinater til punkter, hvor grafen har en top eller en side 9

12 bakkedal. Bemærk dog at intervalendepunkter, hvor grafen enten stopper eller laver et spring meget ofte vil være lokale ekstremumspunkter også! 4 Eksempel 3 Betragt igen funktionen g, hvis graf er vist på figur 2. Udover de globale ekstremer, har denne funktion et lokalt maksimumssted i med lokal maksimumsværdi x 3 = 0 f(x 3 ) = 1 Den har også et lokalt minimumssted i med lokal mimimumsværdi x 4 2,5 f(x 4 ) = 0 Øvelse 3 Tegn grafer for funktioner som har følgende egenskaber. (Du behøver ikke at finde en funktionsregel for dem!) 1. En funktion f 1 som har et globalt minimumssted i 3 og et lokalt maksimumssted som ikke er globalt i 2. 4 Man skal være lidt kreativ for at opfinde en funktion som er defineret på et lukket interval, f.eks. [0; 1], og hvor intervalendepunkterne ikke er lokale ekstremumssteder. Prøv selv! side 10

13 2. En funktion f 2 som ikke har nogen globale ekstremumssteder, men som har mindst et lokalt ekstremumssted. 3. En funktion f 3 som har global minimumsværdi 5 og global maksimumsværdi 7 og som er defineret i alle de reelle tal. 4. En funktion f 4 som har globale ekstremumssteder i 1, 2, 3, 4 og 5, og som ikke er konstant. (Der er mange rigtige besvarelser til hvert spørgsmål.) Øvelse 4 Find lokale ekstremumssteder og lokale ekstremumsværdier for følgende funktioner: 1. f 1 (x) = x 3 3x x 1, x < 0 2. f 3 (x) = x x 2, x [0; 2] 3 x, x > 2 3. f 2 (x) = 2 sin x + x 4 Monotoni 4.1 Lidt indledende logik Ordet monoton betyder noget i stil med det samme hele tiden. Her skal man dog være lidt forsigtig når man bruger sin sproglige intuition, fordi sådan som vi vil definere at en funktion er monoton, så viser det sig at de mest kedelige funktioner, nemlig de konstante, ikke må kaldes monotone. side 11

14 Forestil dig grafen for en funktion f. Når man skal læse grafen skal man gå en tur på x-aksen (fra venstre mod højre, naturligvis) og holde øje med funktionsværdierne. En funktion kaldes monoton hvis dens funktionsværdier enten vokser hele tiden eller aftager hele tiden. Vil vil nu lave nogle helt præcise definitioner. Dertil vil vi bruge et meget kompliceret logisk tegn, nemlig implikationspilen: = Når man skriver denne pil mellem to udsagn, så betyder det samlede udsagn at hvis udsagnet til venstre er sandt så er udsagnet til højre også sandt. Man siger intet om hvorvidt nogen af udsagnene er sande eller ej! Man kan f.eks. sige, at for ethvert reelt tal x gælder at: Udsagn af typen: x > 0 = x + 1 > 0 A = B (hvor A og B er to udsagn) læses enten som Hvis A så B eller ganske enkelt som A medfører B. 4.2 Monotone funktioner En funktion kaldes voksende hvis to forskellige punkter i definitionsmængden altid vil opføre sig sådan at funktionsværdien i det mindste af dem er mindre end funktionsværdien i det største. Med andre ord: Funktionsværdierne blive større jo længere man kommer ud af x-aksen. Man kan sige dette meget kort og præcis som: Definition 7 En funktion f kaldes voksende hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) side 12

15 Helt tilsvarende kaldes en funktion aftagende hvis to forskellige punkter i definitionsmængden altid vil opføre sig sådan at funktionsværdien i det mindste af dem er større end funktionsværdien i det største. Med andre ord: Funktionsværdierne blive mindre, jo længere man kommer ud af x-aksen. Igen kan dette siges meget kort og præcis som: Definition 8 En funktion f kaldes aftagende hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ) Desuden indrammer vi lige fællesbetegnelsen for voksende og aftagende funktioner: Definition 9 Voksende funktioner og aftagende funktioner kaldes under et for monotone funktioner. Til sidst skal det understreges en ekstra gang at funktioner som tager den samme værdi hele tiden ikke kaldes monotone, selvom de er kedelige. Definition 10 En funktion f kaldes konstant hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: f(x 1 ) = f(x 2 ) side 13

16 Øvelse 5 Afgør om følgende funktioner er monotone: f 1 (x) = sin x f 2 (x) = 10 f 3 (x) = 3x + 1 f 4 (x) = 1 x f 5 (x) = x 2 med Dm(f 5 ) = {10} Bemærkninger: Læg mærke til at en funktion skal være voksende hele tiden eller aftagende hele tiden før vi kalder den monoton. Hvis den skifter mellem at vokse og aftage, har vi et andet begreb, nemlig monotoniintervaller. (Se næste afsnit.) Hvis man skal vise at en funktion er f.eks. voksende er man nødt til at vise implikationen x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) for alle elementpar x 1 og x 2 i definitionsmængden. Da definitionsmængden som regel er uendeligt stor, bliver man naturligvis aldrig færdig med dette. Man må i stedet finde et overbevisende argument for at implikationen gælder uanset hvilket elementpar man finder frem. Hvis man skal vise at en funktion ikke er f.eks. voksende, skal man i stedet fremvise et elementpar x 1 og x 2 fra definitionsside 14

17 mængden, hvor implikationen ikke gælder. Altså hvor x 1 < x 2 men hvor f(x 1 ) f(x 2 ). 5 Funktionen f 5 fra opgave 5 ovenfor har en ekstremt lille definitionsmængde. Faktisk kan det aldrig lade sig gøre at fremvise et elementpar fra definitionsmængden overhovedet. Derfor er f 5 automatisk voksende (og aftagende og konstant!). 4.3 Monotoniintervaller Mange funktioner er hverken voksende eller aftagende. Derfor indfører vi et nyt begreb: Definition 11 Lad f være en funktion. Et interval, som ligger inde i Dm(f) kaldes et monotoniinterval for f, hvis f er monoton, når man kun betragter elementpar x 1 og x 2 fra dette interval. Bemærkninger Man siger at en funktion er voksende eller aftagende på sine monotoniintervaller. F.eks. er funktionen g, hvis graf er vist på figur 2 voksende på [( 2,5); 0], den er aftagende på [0; 2], og den er voksende på [2; (3,5)]. Når man angiver monotoniintervaller for en funktion, skal man oplyse så store intervaller som muligt. F.eks. er det korrekt at funktionen g fra figur 2 er aftagende på ]0; 1[, men dette er ikke så informativt som informationerne ovenover. 5 Dette er en logisk negation af definitionen på at være voksende. Du kan læse mere om udsagnslogik og negationer af sammensatte udsagn her side 15

18 4.4 Uligheder i et nyt lys I afsnittet om uligheder i ULULU-dokumentet 6 opstillede vi nogle meget simple regler for hvordan man måtte omskrive på uligheder. Nogle af omskrivningerne indebar at man skulle vende ulighedstegnet om. Med terminologien fra dette afsnit kan vi pludselig se præcis hvorfor disse regler gælder, og endda udtrykke dem meget mere generelt: Sætning 1 En ulighed gælder fortsat hvis man tager en voksende funktion på begge sider af ulighedstegnet. Sætning 2 En ulighed gælder omvendt hvis man tager en aftagende funktion på begge sider af ulighedstegnet. Generelt er den bedste måde at løse en ulighed på dog fortsat den samme: Man løser en ulighed ved først at løse den tilsvarende ligning, og derefter danne sig et overblik over løsningsintervallerne Til at danne det nævnte overblik er funktionsbegrebet også en stor hjælp, sådan som vi så i afsnittet om grafisk overblik over ligninger og uligheder i dokumentet Funktioner. 6 Læs om uligheder her side 16

19 5 Injektivitet 5.1 Injektive funktioner Vi kaster os direkte ud i en definition mere: Definition 12 En funktion f kaldes injektiv hvis der for alle elementpar, x 1 og x 2 i Dm(f) gælder: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Den bedste måde at tænke på injektivitet på, er ved at have det abstrakte billede af funktionen inde i hovedet: En funktion er injektiv hvis to forskellige elementer i definitionsmængden aldrig bliver til det samme når man tager funktionen på dem. Dette er forsøgt illustreret på figur 3 Figur 3: Injektivitet af en funktion side 17

20 Figur 3 forklarer også valget af ordet injektiv : Det kommer af det samme som det engelske ord to inject At sprøjte ind. Og det er jo lige netop hvad en injektiv funktion gør: Den sprøjter elementerne fra definitionsmængden ind i sekundærmængden, uden af nogen elementer kommer til at ligge præcis det samme sted. Det er nemt at se på en funktions graf om funktionen er injektiv eller ej. At funktionen er injektiv betyder at grafen aldrig besøger den samme y-koordinat mere end én gang. (Se figur 4.) x 1 x 2 Figur 4: Injektivitet af en funktion Øvelse 6 Hvilke af følgende funktioner er injektive? f 1 (x) = 1 x f 2 (x) = 5x + 1 f 3 (x) = x 2 f 4 (x) = x 3 f 5 (x) = sin x side 18

21 Begreberne monoton og injektiv er beslægtede. Det viser følgende sætning: Sætning 3 Hvis f er en monoton funktion, så er f injektiv. De to begreber er dog ikke præcis det samme. (Det ville også være fjollet.) En injektiv funktion behøver ikke at være monoton. Øvelse 7 Undersøg sammenhængen mellem injektivitet og monotoni: Lav et formelt bevis for sætning 3. Altså: Antag at f er en monoton funktion, og bevis at hver eneste gang x 1 og x 2 er forskellige elementer i definitionsmængden, så er f(x 1 ) og f(x 2 ) nødvendigvis forskellige Giv et eksempel på at sætning 3 ikke gælder omvendt. Altså at der findes funktioner som er injektive, men som ikke er monotone. Begrebet injektivitet bliver meget vigtigt når vi skal lave omvendte funktioner altså baglæns udgaver af givne funktioner 7. Det viser sig nemlig at de funktioner som kan vendes om præcis er dem som er injektive. 7 Læs om inverse funktioner her side 19

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere