Matematik notater: Mængder:...5. uligheder:...5 tegn:...5 Sætning Sætning Sætning Sætning 4...6

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik notater: Mængder:...5. uligheder:...5 tegn:...5 Sætning Sætning Sætning Sætning 4...6"

Transkript

1 Mtemtik noter.g mtemtisk Mtemtik notter: Diverse:...4 Formlen for volumen f en pyrmide og en tetrede:...4 Formlen for volumen f en keglestu:...4 ojekter:...4 udtryk:...4 udsgn:...4 Fiunni:...4 Reiprok røk:...5 Nulreglen:...5 Mængder:...5 uligheder:...5 tegn:...5 Sætning...5 Sætning...5 Sætning Sætning Kvdrtsætninger:...6 (+)...6 (-)...6 (+) (-)...6 Numerisk værdi...6 Funktioner:...7 Ret linje:...7 Forskrift...7 Dele:...7 Beregning f hældning m/ pkt:...7 Beregning f...7 Løsning f en linje:...7 Hyperel:...8 Forskrift:...8 Prel Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om -

2 Mtemtik noter.g mtemtisk Forskrift:...8 Led...8 A (ndengrdsleddet):...8 B (førstegrdsleddet):...8 C (konstntleddet):...9 D (diskriminnsen):...9 Tommelfingerregel:...9 Løsning f ndengrdsligning: Potenser:...0 Regler for rtionelle eksponenter:...0 Regler for irrtionelle eksponenter:...0 Geometri:... Ordliste til treknter:... Vinkelhkveringslinje... Ligesidet treknt:... Ligeenet treknt:... Midtpunktstrnsversl... Mediner... Cirkler... Anlytisk geometri:... Afstndsformelen:... Regel: Cirklens ligning... Regel Husk:... Ortogonle linjer:... Regel: Tngent til irkel:...3 Definition:...3 Fremgngsmåde:...3 Skæring mellem irkel og linje:...3 Fremgngsmåde:...3 Skæring mellem linjer:...4 )...4 )...4 3) Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om

3 Mtemtik noter.g mtemtisk Beregning f skæringspunktet:...4 Sustitutionsmetoden:...4 Ejnrmetoden...4 Afstnd mellem punkt og linje:...5 Distne formel nr. : Midtpunktformelen:...6 Sætning: Trigonometri:...7 Grundreltionen:...7 Sætning: Skrivemåder/huskeregler:...7 Tngens:...7 Definition:...7 Vinkel mellem linjer:...8 Sætning: Den retvinklede treknt:...8 Sætning: Arelet f en vilkårlig treknt...9 Sætning: Huskeregel:...9 Sinus reltionerne:...9 Sætning: Sinus fælden:...0 PAS PÅ:...0 Funktioner:... Definitioner:... Funktion:... Funktionsværdi:... Definitionsmængden:... Værdimngden:... Måder t undersøge en funktion på... Sildeen:... Lommeregneren: Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 3

4 Mtemtik noter.g mtemtisk Monotoniforhold:... Aftgende:... Diverse: Log(00) 0 kn n ln+ : ( ln( + ) ) rd : n renetl : θ 360 ~ π 80 ~ π n kn n Formlen for volumen f en pyrmide og en tetrede: v g h 3 Formlen for volumen f en keglestu: v H π ( r + R + r R) 3 Υ foreningsmængden, (United) Ι fællesmængde ojekter: kn mnipuleres med: tl, mængder geometriske figurer o.s.v. udtryk: eskriver ojekter: 7, 5+3, the+kffe o.s.v. udsgn: eskriver ojekters egensker: +35, +>3 udsgn kn åde være snde og flske Fiunni: A+, +, +d, Mn siger +, det giver to, så tger mn det foregående () og lægger det til resulttet, det giver 3, så siger mn +3, det giver 5, 8, 3,, 34, 55 o.s.v. 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 4

5 Mtemtik noter.g mtemtisk Dette ser mn mnge steder i nturen,. l. I nnsser, plmer og solsikker. Reiprok røk: Hvis mn vender en røk På hovedet, får mn den reiprokke værdi, mn kn også re sige -, det er det smme. Nulreglen: Hvis mn skl gnge to tl med hinnden, og resulttet er 0 må mindst ét f tllene være lig med nul Mængder: / N {,,3...} De nturlige tl: / N {0,,,3...} De hele tl: Z De rtionelle tl: De reelle tl: 0 {... 3,,,0,,,3...} R {...,,,0,,,...} 4 4 / R { ALLE tl} De irrtionelle tl: tl som f.eks., π der ikke kn skrives som røker. uligheder: tegn: mindre end eller lig med større end eller lig med < mindre end > større end ulig med Sætning Mn må gnge og dividere med det smme positive tl på egge sider f ulighedstegnet. Sætning 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 5

6 Mtemtik noter.g mtemtisk Mn må lægge smme positive og negtive (d.v.s. trække fr) tl til på ege sider f ulighedstegnet. Sætning 3 Mn må gnge og dividere med det smme negtive tl hvis mn smtidig vender ulighedstegnet. Sætning 4 Mn må, hvis egge sider er positive (eller nul) kvdrere på egge sider. N.B. MAN MÅ IKKE GANGE ELLER DIVIDERE MED 0 Kvdrtsætninger: Sætning: (+) ( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) (-) ( ) + ( ) ( ) ( ) + + (+) (-) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + Numerisk værdi Numerisk værdi er den positive værdi f et negtivt tl: - for de reelle tl og gælder: ) 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 6

7 Mtemtik noter.g mtemtisk ) + + ) - + 3) 4), 0 Funktioner: Ret linje: Forskrift Y+ Dele: : hældningstl 0 vndret streg <0 stregen går nedd mod højre >0 stregen går opd mod højre : skæring på y-ksen. Beregning f hældning m/ pkt: ( y y) ( ) Beregning f Y-, her kender jeg y,, og, så jeg isolerer re. Hvis 0 er y ligefrem proprtionl med y, hvilket etyder t hvis mn gnger med et estemt tl giver det y. Løsning f en linje: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 7

8 Mtemtik noter.g mtemtisk 0 + Jeg flytter over Jeg dividerer over Og der vr den VOILA! Hyperel: Forskrift: y + en prel er omvendt proportionl. Hvilket etyder t nå går op går y ned og vie vers. Y vil ldrig live lig med nul, d vi hr med en såkldt symptote t gøre. Prel Forskrift: Y ++ Led i en prel: A (ndengrdsleddet): Hvis: >0 smiler prlen ( er positiv) <0 surmuler prlen, ( er negetiv) 0 er prlen ligegld. er lngt fr nul sml prel er tæt på nul red prel B (førstegrdsleddet): hr etydning for prlens plering på -ksen. Mn kn fgøre om er positiv eller negtiv ved flg. metode: mn tegner en tngent på prlen gennem y-ksen, hvis den flder mod højre er <0 og hvis den stiger mod højre er >0. 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 8

9 Mtemtik noter.g mtemtisk C (konstntleddet): Er skæringen på y-ksen, hvis linjen skærer y-ksen over 0 er >0, hvis prlen skærer under - ksen, er <0 D (diskriminnsen): D er et tl der ikke kn flæses uden videre, men mn kn fgøre om det er større eller mindre end nul, hvis prlen skærer -ksen to steder (to løsninger) er D>0 hvis den kun skærer et sted (toppunkt i (,0)), er D0 hvis prlen overhovedet ikke skærer -ksen, er D<0. D eregnes ved -4. Tommelfingerregel: Hvis og hr forskelligt fortegn er D>0. Løsning f ndengrdsligning: Strt med t finde Diskriminnsen efter flg. formel: 4 Hvis D fortsættes der med: ± D her er to skæringer på -ksen, og derved også de to løsninger. Hvis D er lig med nul er der kun en løsning og den er den smme for de to er Hvis D<0 er der ingen løsninger d enene så ikke ville røre -ksen Den normle formel De er levet divideret igennem med Der er gnget tilge i prnteser, smtidig er der levet flyttet over Der liver st på en fælles røkstreg på højre side 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 9

10 Mtemtik noter.g mtemtisk D + ± 4 D + ± 4 Det liver smlet på den fælles røkstreg på venstre side Jeg sætter en kvdrtrod om det hele for t undgå t + står i nden Jeg fjerner prntesen og sætter en kvdrtrod om tæller og nævner for sig D + Jeg hævede den nederste kvdrtrod D ± Jeg flytter over og det hele kommer på den smme nævner og VOILA! Potenser: Regler for rtionelle eksponenter: A A A n n 4 fordi: ( ) ( ) 4 n m nm ( ) p + q p+ q Regler for irrtionelle eksponenter: p n n q q p 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 0

11 Mtemtik noter.g mtemtisk 0 fordi: n i reliteten etyder gnge n gnge hvis mn så sige 0 siger i virkeligheden gnge nul gnge, og der er gnget med nulg gnge er vel re? Geometri: Ordliste til treknter: Vinkelhkveringslinje Linje der deler en vilkårlig vinkel i to mindre lige store vinkler, i en treknt skærer vinkelhlveringslinjerne hindnden i ét punkt. Ligesidet treknt: Treknt med 3 lige lnge sider. Ligeenet treknt: Treknt med ens sider, medin, højde, VHL og midtpunktstrnversl flder smmen i ét punkt. Midtpunktstrnsversl Linjen der kn trækkes mellem to linjers midtpunkt. Mediner Linjerne der ligger vinkelret på sidernes midtpunkt kldes medinerne. Cirkler Cirkel periferi Rdius seknt Dimeter korde Tngent Anlytisk geometri: Afstndsformelen: Regel: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om -

12 Mtemtik noter.g mtemtisk Afstnden mellem punkterne A(,y) og B(,y ) udtrykkes ved: AB ( ) + ( y ) y y y ( y y) Afstnden er i virkeligheden ikke ndet end i Pyttes formel Cirklens ligning Regel For irklen hvor entrum ligger i C(,) og med rdiussen R gælder: ( ) + ( y ) R Cirkelperiferien estår f en msse punkter der ligger i (X,Y) i fstnden R fr C, så i virkeligheden er det ikke ndet end en vrint f fstndsformlen, hvor, y vrilerne og y der er punkter på periferien. Husk: ( ) A og med omvendt fortegn er koordinterne på entrum. er erstttet f Ortogonle linjer: Regel: Linjerne l. : y+ Og m :y+d Er ortogonle når - q L P A+(-) - R 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om -

13 Mtemtik noter.g mtemtisk l m L er vinkelret på m pq pr pythgors på pqr qr + ( ) + + ( ) / + / / + + / + Det vr det evis! Alle leddene udtrykkes på pythgoræisk Prntesleddet gnges ud og går ud med hindnden Det vr jo det smme der stod før, lt fedtet er re skummet fr Jeg dividerer over Jeg hr forkortet røken og det er hvd der står Tngent til irkel: Definition: En tgent er en linje der rører en irkelperiferi i netop ét punkt. Fremgngsmåde: For t kunne eregne tgentens ligning skl mn kende to punkter: Cirklens entrum, og punktet hvor linjen tngerer irklen, mn kn derved eregne linjen mellem de to punkters hældning, når mn hr gjort det kn mn eregne linjen l s hældning, det gør mn ved t sige t CP l-, så siger mn l er gjort hr mn CP så C hr mn hældningen og kn nu eregne. når det P ligningen for tgenten l til irklen G i punket P l Skæring mellem irkel og linje: Fremgngsmåde: For irklen G med entrum i C(X,Y) og rdius R gælder: ( + X ) + ( y + Y ) R 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 3

14 Mtemtik noter.g mtemtisk for linjen L gælder: y + det der efterfølgende sker er t mn sætter ligningen for linjen ind i stedet for Y i Cirklens ligning, og gnger ud, derefter trækker mn R over på venstre side, således t hele dynen er lig med 0, så står mn med en ndengrdsligning, når mn hr løst den står mn med to -værdier, disse indsættes i linjens ligning, og mn regner y-værdierne ud og så hr mn koordintsættene for skæringspunkterne. Skæring mellem linjer: Der er tre muligheder for to linjer: ) Ét skæringspunkt: ) Smmenfldene: 3) Ingen skæring: Beregning f skæringspunktet: Sustitutionsmetoden: Først isoleres y i den ene formel, dernæst sættes resulttet ind i stedet for y i den nden ligning, og isoleres igen, nu hr mn et tl for, så sætter mn dette tl ind i en f de to ligninger og mn hr koordintsættet forskæringspunktet. Ejnrmetoden de to ligninger sættes overfor hindnden, forudst t y er isoleret i dem egge, egge ligninger må jo være udtryk for smme y, derefter isoleres og dette tl sættes ind i en f ligningerne og mn eregner y, så hr mn koordintsættet for skæringspunktet. 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 4

15 Mtemtik noter.g mtemtisk Afstnd mellem punkt og linje: Der gælder to formler til eregning f fstnden fr linje l til punket P: Distne formel nr. : dist ( p, l) + y + Først skl vi hve styr på et pr hjælpelinjer: l y A Q B C R d l d P (, y ) y P (, y ) Den venstre tegning er fremkommet på flg. måde:. vi tegner en vndret linje ud fr l med længden og tegner vinkelret op, højden f denne streg må være lig med, vi mrkerer vinklen som C, grunden til numerisktegnet er t som i dette tilfælde, vi risikerer t hældningen er negtiv.. vi tegner en linje fr p gennem l, som er prllel med y-ksen. Skæringspunktet mrkeres som Q. Note: Eftersom pq og er prllelle er den vinkel som de skærer l med lige store. Udregningen: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 5

16 Mtemtik noter.g mtemtisk Hvis mn ser på ABC og PQR ser mn t Q og eftersom åde R og C er 90 0 må P og A også være ligestore, hvorfor de to treknter er ensvinklede. Derfor: PR AC PQ AB d PQ AB eftersom d divideret med er det smme som d kn vi sige t så nu skl vi estemme PQ og AB; AB: ABC er en retvinklet treknt, vi kender de to kteder, ( og ) så det er re t ruge Pythgors: + AB AB + d PQ AB PQ: Eftersom PQ hr den smme -værdi, må fstnden være y y, d vi ikke kender y må vi eregne det, det gør vi ved t udnytte t Q og P hr smme -værdi, og t Q ligger på l, så kn vi re putte P s -værdi ind i l så og putte hele ligningen ind i stedet for y, så kommer der til t stå: PQ Y Y + y Når vi sætter det smmen liver det til: d PQ AB Finito. d + y + Midtpunktformelen: Sætning: Midtpunktet på et linjestykke fr A(, y ) + y + M ; y til B(, y ) er: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 6

17 Mtemtik noter.g mtemtisk Der er ikke så meget tle om et egentligt evis, mere en visning: Det jeg gør er t jeg finder gennemsnittet fr henholdsvis -fstnden og y-fstnden. Trigonometri: Grundreltionen: Sætning: ( os( v) ) + ( sin( v) ) dette er i virkeligheden re Pytte. Sin(v) Skrivemåder/huskeregler: ( os( v) ) ( sin( v) ) os ( v) sin ( v) os( v) os( v) sin( v) sin v R Cos(v) Tngens: Definition: sin( v) Tgnens til v: os( v) Tn(v) Cos(v) 0 sin( v) D.v.s: Tn(v) os( v), v {90 0 +p 80 0, P Z} Det etyder t V ikke må være deleligt med 90 Anden måde t eregne linjens hældning: t 0 t t t 0 Altså: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 7

18 Mtemtik noter.g mtemtisk Tngens er re en fiks måde t skrive en linjes hælning på, re i grder. Tngens er linjens højde i fstnden fr y-ksen. Vinkel mellem linjer: Sætning: Linjen Y+ dnner vinklen v med -ksen, hvor Tn(v) Tn(v) Y+ Y Prllel Forsk. Den retvinklede treknt: Sætning: I en retvinklet treknt gælder: B hosliggendene ktete os( ) hypotenusen Modstående ktete sin( ) hypotenusen tn( ) Modstående Ktete hosliggende ktete A C Treknt I og II er ensvinklede, derfor er forholdet mellem siderne det smme. Sin(A) 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om Cos(A) A II I C - 8 d.v.s.: os( A) sin( ) sin( A) tn( A) os( A) / /

19 Mtemtik noter.g mtemtisk Arelet f en vilkårlig treknt B Sætning: Arelet f en vilkårlig treknt: T os( C) A C og repræsenterer to sider og C den mellemliggende vinkel. Vi kender formlen T0,5 h G fr folkeskolen, her er det der er G og H eregnes som følger: h Sin ( C) Sin( C) h A B h C når det liver st ind kommer det til t hedde: T sin( C) T sin( ) C Huskeregel: : sin lyder næsten som en hlv ppelsin og C huskes ved t der er -vitminer i ppelsiner (det rimer) : lle tre ogstver (ABC) SKAL være repræsentreret, for t formlen er rigtigt skrevet op. Sinus reltionerne: Sætning: For en vilkårlig treknt gælder: sin( A ) sin( B) sin( C) eller: sin( A) sin( B) sin( C) Fr rel formelen ved vi t: sin( C) sin( A) sin( B) 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 9

20 Mtemtik noter.g mtemtisk så forkorter jeg med 0,5 og deler med : sin( C) sin( A) sin( B) sin( C) sin( A) sin( B) Sinus fælden: PAS PÅ: Når du ruger Sin til t eregne en vinkel, returnerer lommeregneren den vinkel der ligger TIL HØJRE for y-ksen. Så tjek om resulttet kn psse med skitsen. Sin(v) Cosinus reltionerne: Sætning: I en vælkårlig treknt gælder: z os(b) z B os(b) + + os( C) os( B) os( A) os(c) + os( A) Først: os( A ) os( A) Af figuren ses: os( A) + os( B) os( C) + os( B) Sidelængder os( C) + os( A) os( C) + os( B) os( C) + os( A) Her er sidelængderne udtrykt ved rug f os i en retvinklet treknt, f smme grund er treknten delt op i mindre dele. os( A) + os( B) Der er gnget igennem med sidelængden. A os( A) Og sådn er det re. os(c) C Husk lige den der: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 0

21 Mtemtik noter.g mtemtisk os( A) + os( B) ( os( B) + os( C) ) os( C) os( C) os( A) + os( B) os( B) + os( C) os( C) os( C) Nu er der st led ind på højre side, i stedet for, og Nu forkorter jeg og ser hvd der er tilge os( C) Grunden til t de os(c) er negtive, er t og i nden i virkeligheden virkede som minus-prnteser. + os( C) Her er og flyttet over og hr skiftet fortegn. Funktioner: Definitioner: Funktion: En funktion er en erengning for hvilken der gælder t for hvert tl der puttes ind kommer der et og kun et ndet ud. Funktionsværdi: y er en funktion f, hvis der til hver -værdi svrer netop én y-værdi. Denne y-værdi kldes funktions-værdien og etegnes: f() Definitionsmængden: Definitionsmændgen for f er den værdi der indeholder de mulige -værdier, skrives som: Dm(f) Værdimngden: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om -

22 Mtemtik noter.g mtemtisk Værdimængden er resulttet f funktionen, skrives som: Vm(f) Måder t undersøge en funktion på Sildeen: f ( ) y y y y Grf: y Lommeregneren: Y Tst funktion grph(evt.) nd tle Monotoniforhold: Stigende: Der er tle om t monotoniforholdet er stigende hvis der for lle gælder: < ( ) f ( ) < f Aftgende: F er ftgende hvis der for lle gælder: > ( ) f ( ) < f Monoton: F er monoton, hvis f er enten ftgende eller voksende hele vejen igennem. Lige og ulige funktioner: Definition: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om -

23 Mtemtik noter.g mtemtisk En lige funktion er en funktion hvor y-ksen optræder som spejlingskse. Eller, med ndre ord: f ( ) f ( ) Eksempel: Injektiv funktion: Definition: f ( ) f ( ) y y Injektiv funktion Tomppunktsformlen Sætning: Hvis vi hr et ndengrdspolynomium kn Ikkeinjektiv funktion y toppunktet eregnes ud fr følgende formel: D, 4 hvor D eregnes efter formlen: 4 H -koordintet K y-koordintet Vi ved t: g ( ) ( h) + k Først for -koordintet, som vi i dgens nledning klder H: g ( ) ( h) + k Her er formlen vi rejder med g ( ) ( + h h) + k Her er prntesen gnget ud g ( ) + h h + k Så er gnget ind i prntesen } } g ( ) h + h + k Herf fås: 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 3 Her er leddene smlet og deres dgligdgs etydning st på.

24 Mtemtik noter.g mtemtisk h h og det vr sådn set det Nu kommer vi til y-koordintet som er en lidt nden sg: Vi ved t: h + k k h + Her er k trukket over og er trukket tilge og K ' + k / + / 4 k 4 k ( 4) 4 Bestemmelse f,, og d s fortegn: A) Hvis prel enene vender opd er A positiv de ytter. Her er H som vi fndt et udtryk for før st over og ind Her er prntesen gnget ud og er gnget ind i røken. Her er der st på fælles røkstreg Her er det smlet og det øsnkede evist, spørg mig ikke hvd der skete med + sår n er det re B) Lidt mere triky, men ved t se prelenets hældning gennem y-ksen, kn mn se B s fortegn evis:, hvis ikke er negtiv må være det, eller også må. så hvis er negtiv, og er negtiv, må også være det. C) C hr smme fortegn som prlens skæringspunkt. D) Hvis prelenene krydser -ksen, er D positiv, hvis prelenene ikke krydser -ksen er D negtiv, og hvis topunktet ligger lige på -ksen, er D0 Andengrdsuligheder: : Sml ALT på smme side ± : Hvis ligningen 0 find løsninger v.h.. 3: Ellers, lv skitse og SE løsningerne D Smmenstte funktioner 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 4

25 Mtemtik noter.g mtemtisk Definition: f οg Metode: f ( g( ) ) f ( ) + g( ) + d f ο g f ( g( )) ( + d) + g ο f g( f ( )) ( + ) + d( + ) Husk: for f οg f ( g( )) gælder: Dm(g) OG g( ) Dm( f ) og strt med den inderste først. Omvendt funktion: Definition: For en injektiv funktion, f er den omvendte funktion givet ved: y f ( ) f ( y) Metode: Den omvendte funktion f f.eks. f ( ) + findes ved t isolere, så liver en funktion f f(y), det kn ikke ltid lde sig gøre t finde den inverse funktion f en funktion, d der kn være flere -værdier til en y-værdi, hvilket medfører t der i den nye funktion liver flere output per input, hvilket strider imod definitionen f en funktion. F.eks.: formelt krv til t den omvendte funktion kn findes: f ( ) f ( ) med ndre ord: f() skl være injektiv. Funktionsfmilier: Definition: f ( ) + eller på min måde: {,3,5,8,9 } L y L + 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 5

26 Mtemtik noter.g mtemtisk det giver t der for hver værdi i L ftegnes én linie i med den tilsvrende hældning. Trigonometriske funktioner: Nyt vinkelmål! Definition: En vinkels rdintl er længden på enhedsirklens som vinklen spænder over (der regnes med fortegn). En irkels omkreds er πr, enhedsirklens Rdius er, så: 80 π 360 π I det skitserede tilfælde: 360 π så hvis vinklen hvde heddet V ville dens rdin tl live til: v rd 80 π og husk: sin(v)sin(rd) Svingninger: Definition: f ( t) Asin( ω t + ϕ) + Tegnene og deres etydning: A mplituden, udsvingets størrelse/højde. ω Vinkelfrekvensen, smmenpresningen, eregnes ved: ϕ fsen, forskydning på -ksen, eregnes ved: konstnt leddet, forskydning på y-ksen. ϕ ω ω π T Svingningstiden: π T ω Anlyse f sinuskurve: ϕ ω 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om A T - 6

27 Mtemtik noter.g mtemtisk ) Aflæs A ) Aflæs T 3) Beregn ϕ 4) Beregn ω 5) Aflæs 00 Gregers Boye-Josen Rettelser sendes til gregers@hotmil.om - 7

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Elementær Matematik. Analytisk geometri

Elementær Matematik. Analytisk geometri Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometri

Elementær Matematik. Trigonometri Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3

Geometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3 Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN

Trigonometri FORHÅNDSVIDEN Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Det dobbelttydige trekantstilfælde

Det dobbelttydige trekantstilfælde Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft

Projekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1 Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne

Læs mere

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Grundlæggende funktioner

Grundlæggende funktioner Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst

Læs mere

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte

Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri

K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach

Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11

Formelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11 Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

2 Erik Vestergaard

2 Erik Vestergaard Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN

( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes

Læs mere

Analysens Fundamentalsætning

Analysens Fundamentalsætning Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?

Figurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I? Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

INFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker

INFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH.

Linjer på skift. Figurer. Format 5. Nr. 15. a a Tegn AB, BC, AE, CD og CF, GH, GI. b Tegn de to parallelle linjestykker, der kan tegnes til GH. Linjer på skift Nr. 15 Tegn B, BC, E, CD og CF, GH, GI. Tegn de to prllelle linjestykker, der kn tegnes til GH. c Hvd hedder de to linjestykker? d Tegn det vinkelrette linjestykke til GH, der endnu ikke

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere