Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter"

Transkript

1 enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger. Dele af bevisførelser m.m. læner sig op af de foregående enoter, hvorfor det forudsættes, at man har kendskab til dem. Endvidere benyttes de komplekse tal, se enote 29. Version Lineære 2. ordens differentialligninger Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter har følgende udseende: x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, q : I R. (13-1) a 0, a 1 R er konstante koefficienter til x(t) henholdsvis x (t). Højresiden q(t) er en kontinuert reel funktion, hvis definitionsmængde er et interval I (som undertiden er hele R ). Differentialligningen kaldes homogen, hvis q(t) = 0 for alle t I, og i modsat fald inhomogen. At denne type differentialligning er lineær, vises ved, at dens venstreside opfattet som en afbildning f : C (R) C (R) givet ved f ( x(t) ) = x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) (13-2) opfylder linearitetsbetingelserne L 1 og L 2. Den fremgangsmåde, der benyttes i denne enote til at løse den inhomogene differentialligning, udnytter denne egenskab.

2 enote DEN HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNING 2 Metode 13.1 Løsninger og deres struktur 1. Den fuldstændige løsningsmængde L hom for en homogen lineær 2. ordens differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = 0, t I, (13-3) hvor a 0, a 1 R, kan bestemmes ved hjælp af sætning Den fuldstændige løsningsmængde L inhom for en inhomogen lineær 2. ordens differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, q : I R, (13-4) hvor a 0, a 1 R, kan ved hjælp af sætning 11.4 opdeles i to: (a) Først bestemmes den fuldstændige løsningsmængde L hom til den tilsvarende homogene differentialligning. Denne fremkommer ved, at man i (13-4) erstatter q(t) med 0. (b) Dernæst bestemmes en partikulær løsning x 0 (t) til (13-4) for eksempel ved at gæt. Se angående dette afsnit Den fuldstændige løsning har da følgende struktur L inhom = x 0 (t) + L hom. (13-5) 13.2 Den homogene differentialligning Vi betragter nu den lineære homogene 2. ordens differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = 0, t R, (13-6) hvor a 0 og a 1 er reelle konstanter. Vi ønsker at bestemme den fuldstændige løsningsmængde. Det kan gøres ved hjælp af eksakte formler, som afhængiger af ligningens udseende.

3 enote DEN HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNING 3 Sætning 13.2 Løsning til den homogene ligning Den homogene differentialligning har den såkaldte karakterligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = 0, t R, (13-7) λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0. (13-8) Typen af rødder til denne ligning afgør udseendet af den fuldstændige løsningsmængde L hom til den homogene differentialligning. To forskellige reelle rødder λ 1 og λ 2 giver løsningen x(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t, t R. (13-9) To komplekse rødder λ = α ± βi giver den reelle løsning x(t) = c 1 e αt cos(βt) + c 2 e αt sin(βt), t R. (13-10) Dobbeltroden λ giver løsningen x(t) = c 1 e λt + c 2 te λt, t R. (13-11) For alle tre tilfælde gælder, at de respektive funktioner for alle c 1, c 2 R udgør den fuldstændige løsningsmængde L hom. I afsnit 12.5 gennemgås teorien for at omforme netop denne type differentialligning til et system af 1. ordens differentialligninger. Det er en brugbar metode her. Systemet vil da se således ud: [ ] [ x 1 (t) 0 1 x 2 (t) = a 0 a 1 ][ ] x1 (t) x 2 (t) (13-12) hvor x 1 (t) = x(t) og x 2 (t) = x 1 (t) = x (t). Vi kan nu bruge teorien i det nævnte afsnit til at løse problemet.

4 enote DEN HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNING 4 Bevis Den homogene 2. ordens lineære differentialligning (13-7) omformes til et 1. ordens differentialligningsystem: [ ] [ ][ ] [ ] x 1 (t) 0 1 x1 (t) x1 (t) x 2 (t) = = A (13-13) a 0 a 1 x 2 (t) x 2 (t) hvor x 1 (t) = x(t) er den søgte løsning, som udgør den fuldstændige løsningsmængde. Bevisførelsen tager udgangspunkt i sætningerne og metoderne i afsnit Til det skal man bruge egenværdierne til systemmatricen A: det(a λe) = λ 1 a 0 a 1 λ = λ2 + a 1 λ + a 0 = 0, (13-14) hvilket netop er karakterligningen tilhørende differentialligningen, og λ er egenværdier til systemmatricen A. Røddernes udseende i denne ligning er afgørende for løsningen x(t) = x 1 (t), hvilket giver følgende tre delbeviser: Første del Karakterligningen har to forskellige reelle rødder: λ 1 og λ 2. Ved hjælp af metode 12.4 findes derved to lineært uafhængige løsninger u 1 (t) = v 1 e λ 1t og u 2 (t) = v 2 e λ 2t, hvor v 1 og v 2 er egenvektorer tilhørende de to egenværdier respektivt. Den fuldstændige løsning er da udspændt af: x(t) = k 1 u 1 (t) + k 2 u 2 (t) = k 1 e λ 1t v 1 + k 2 e λ 2t v 2, (13-15) for alle k 1, k 2 R. Førstekoordinaten x 1 (t) = x(t) er den søgte løsning: x 1 (t) = x(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t, (13-16) der for alle de arbitrære konstanter c 1, c 2 R udgør den fuldstændige løsningsmængde. c 1 og c 2 er to nye indførte arbitrære konstanter og de er produktet mellem k-konstanterne og egenvektorernes førstekoordinat: c 1 = k 1 v 11 og c 2 = k 2 v 21. Anden del Karakterligningen har det komplekse rodpar λ = α + βi og λ = α βi. Den fuldstændige løsningsmængde er mulig at finde med metode x(t) = k 1 u 1 (t) + k 2 u 2 (t) = k 1 e αt (cos(βt)re(v) sin(βt)im(v)) + k 2 e αt (sin(βt)re(v) + cos(βt)im(v)) = e αt cos(βt) (k 1 Re(v) + k 2 Im(v)) + e αt sin(βt) ( k 1 Im(v) + k 2 Re(v)). (13-17) v er en egenvektor tilhørende λ og k 1 og k 2 er arbitrære konstanter. Førstekoordinaten x 1 (t) = x(t) er den søgte løsning, og er med ovenstående givet ved x 1 (t) = x(t) = c 1 e αt cos(βt) + c 2 e αt sin(βt). (13-18) For alle c 1, c 2 R udgør x(t) den fuldstændige løsningsmængde. c 1 og c 2 er to nye indførte arbitrære konstanter, som er givet ved c 1 = k 1 Re(v 1 ) + k 2 Im(v 1 ) og c 2 = k 1 Im(v 1 ) +

5 enote DEN HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNING 5 k 2 Re(v 1 ). v 1 er førstekoordinaten til v. Tredje del Karakterligningen har dobbeltroden λ. Pga. systemmatricens udseende (matricen er ækvivalent med en øvre trekantsmatrix) er det muligt at se, at den geometriske multiplicitet af det tilhørende egenvektorrum er 1, og det er da muligt at bruge metode 12.7 til at finde den fuldstændige løsning x(t) = k 1 u 1 (t) + k 2 u 2 (t) = k 1 e λt v + k 2 (te λt v + e λt b) = e λt (k 1 v + k 2 b) + k 2 te λt v, (13-19) hvor v er en egenvektor tilhørende λ, b er løsning til ligningssystemet (A λe)b = v og k 1, k 2 er to arbitrære konstanter. Udtages førstekoordinaten, fås x(t) = c 1 e λt + c 2 te λt, (13-20) der for alle c 1, c 2 R udgør den fuldstændige løsningsmængde. c 1 og c 2 er to nye indførte arbitrære konstanter, givet ved c 1 = k 1 v 1 + k 2 b 1 og c 2 = k 2 v 1, hvor v 1 er førstekoordinaten i v, ligesom b 1 er førstekoordinaten i b. Alle de tre forskellige tilfælde af rødder i karakterligningen er nu gennemgået, og sætningen er derfor bevist. Læg mærke til, at det også er muligt at nå frem til karakterligningen ved at gætte på en løsning til differentialligningen med formen x(t) = e λt. Man får da følgende: x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = 0 λ 2 e λt + a 1 λe λt + a 0 e λt = 0 (13-21) Divideres denne ligning igennem med e λt, der er forskelligt fra nul for ethvert t, fremkommer karakterligningen. Eksempel 13.3 Løsning til homogen ligning Givet den homogene differentialligning som har karakterligningen x (t) + x (t) 20x(t) = 0, t R, (13-22) λ 2 + λ 20 = 0. (13-23) Vi ønsker at bestemme den fuldstændige løsningsmængde L hom til denne homogene differentialligning. Karakterligningen har rødderne λ 1 = 5 og λ = 4. Derfor er den fuldstændige løsningsmængde til den homogene differentialligning L hom = { c 1 e 5t + c 2 e 4t, t R c 1, c 2 R }, (13-24)

6 enote DEN HOMOGENE DIFFERENTIALLIGNING 6 som er fundet ved hjælp af sætning Eksempel 13.4 Løsning til homogen ligning Givet er den homogene 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter x (t) 8x (t) + 16x(t) = 0, t R. (13-25) Vi ønsker at bestemme L hom, som er den fuldstændige løsningsmængde til denne homogene differentialligning. Karakterligningen er λ 2 8λ + 16 = 0 (λ 4) 2 = 0 (13-26) Vi har altså dobbeltroden λ = 4, og den fuldstændige løsningsmængde er udgjort af følgende funktioner for alle c 1, c 2 R: Resultatet er bestemt ved hjælp sætning x(t) = c 1 e 4t + c 2 te 4t, t R. (13-27) Som det ses er det forholds trivielt at bestemme løsningen til den homogene differentialligning. Det er oven i købet muligt at bestemme differentialligningen, hvis man har løsningen, altså gå baglæns. Det illustreres i nedenstående eksempel. Eksempel 13.5 Fra løsning til ligning Løsningen til en differentialligning kendes: x(t) = c 1 e 2t cos(7t) + c 2 e 2t sin(7t), t R, (13-28) som for de arbitrære konstanter c 1, c 2 udgør den fuldstændige løsningsmængde. Siden løsningen udelukkende indeholder led med arbitrære konstanter, må differentialligningen være homogen. Endvidere ses, at løsningsstrukturen ligner den i (13-10) i sætning Det betyder, at karakterligningen til den 2. ordens differentialligning har to komplekse rødder: λ = 2 ± 7i. Karakterligningen sættes op: (λ 2 + 7i)(λ 2 7i) = (λ 2) 2 (7i) 2 = λ 2 4λ = λ 2 4λ + 53 = 0 (13-29) Direkte ud fra karakterligningens koefficienter kan differentialligningen opstilles: Det ses også af sætning x (t) 4x (t) + 53x(t) = 0, t R. (13-30)

7 enote DEN INHOMOGENE LIGNING Den inhomogene ligning I dette afsnit ønsker vi at bestemme en partikulær løsning x 0 (t) til den inhomogene differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, q : I R. (13-31) Vi ønsker at finde en partikulær løsning, fordi den indgår i den fuldstændige løsningsmængde L inhom sammen med den fuldstændige løsningsmængde L hom til den tilsvarende homogene differentialligning jævnfør metode I denne enote bruges ikke nogen konkret løsningsformel, i stedet bruges forskellige metoder, alt efter formen af q(t). Generelt kan man sige, at den partikulære løsning x 0 (t) har en form som ligner q(t), hvilket fremgår af følgende metoder. Læg mærke til, at disse metoder dækker nogle ofte forekommende former på q(t), men ikke alle. Endvidere vil begrebet superpositionsprincippet blive behandlet. Superposition er en grundlæggende egenskab ved lineære ligninger og lineære differentialligninger. Pointen er at opsplitte en differentialligning i flere, hvor venstresiderne er ens, mens summen af højresiderne er lig den oprindelige differentiallignings højreside. Hvis den oprindelige differentialligning har højresiden q(t) = sin(2t) + 2t 2, kan det være en ide, at opdele differentialligningen i to, hvor højresiderne bliver q 1 (t) = sin(2t) henholdsvis q 2 (t) = 2t 2. De to differentialligninger er nemmere at bestemme partikulære løsninger til. En partikulær løsning til den egentlige differentialligning vil da være summen af de to partikulære løsninger. Slutteligt vil den komplekse gættemetode blive introduceret. Den komplekse gættemetode kan bruges, hvis højresiden q(t) i differentialligningen er realdelen af et simplere komplekst udtryk. Det kunne for eksempel være, at q(t) = e t sin(3t), som er realdelen af ie (1+3i)t. Det er nemmere at finde en løsning til en differentialligning, hvor højresiden er simpel, og derfor løses den tilsvarende komplekse ligning i stedet. Løsningerne til den reelle differentialligning og den tilsvarende komplekse differentialligning er nært forbundet Generelle løsningsmetoder

8 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 8 Metode 13.6 Polynomium En partikulær løsning x 0 (t) til den inhomogene differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, (13-32) hvor q er et n-te grads polynomium, er også et polynomium af højst grad n: x 0 (t) = b n t n + b n 1 t n b 1 t + b 0, t I, (13-33) hvor b 0, b 1,..., b n bestemmes ved indsættelse af udtrykket for x 0 (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Eksempel 13.7 Polynomium Givet er den inhomogene 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter x (t) 3x (t) + x(t) = 2t 2 16t + 25, t R. (13-34) Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning x 0 (t) til den inhomogene differentialligning. Da højresiden er et andengradspolynomium, er denne løsning også et polynomium af højst grad 2 jævnfør metode 13.6, altså er x 0 (t) = b 2 t 2 + b 1 t + b 0, t R. (13-35) Koefficienterne bestemmes ved at indsætte udtrykket i differentialligningen sammen med x 0 (t) = 2b 2t + b 1 og x 0 (t) = 2b 2. 2b 2 3(2b 2 t + b 1 ) + b 2 t 2 + b 1 t + b 0 = 2t 2 16t + 25 (b 2 2)t 2 + ( 6b 2 + b )t + (2b 2 3b 1 + b 0 25) = 0 b 2 2 = 0 og 6b 2 + b = 0 og 2b 2 3b 1 + b 0 25 = 0 (13-36) Den første ligning giver nemt b 2 = 2, hvilket indsat i den anden ligning giver b 1 = 4. Slutteligt giver dette i den sidste ligning, at b 0 = 9. Derfor er en partikulær løsning til ligning (13-34) givet ved x 0 (t) = 2t 2 4t + 9, t R. (13-37)

9 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 9 Metode 13.8 Trigonometrisk En partikulær løsning x 0 (t) til den inhomogene differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, (13-38) hvor q(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), har samme form: x 0 (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt), t I, (13-39) hvor A og B bestemmes ved at indsætte udtrykket for x 0 (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Det er også muligt at bestemme en partikulær løsning til en differentialligning som den i metode 13.8 ved hjælp af den komplekse gættemetode. Se eventuelt afsnit Eksempel 13.9 Trigonometrisk Givet er differentialligningen x (t) + x (t) x(t) = 20 sin(3t) + 6 cos(3t), t R. (13-40) En partikulær løsning x 0 (t) til differentialligningen ønskes bestemt. Ved hjælp af metode 13.8 er en partikulær løsning x 0 (t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) = A sin(3t) + B cos(3t). (13-41) Vi har desuden Dette indsættes i differentialligningen. x 0(t) = 3A cos(3t) 3B sin(3t) x 0 (t) = 9A sin(3t) 9B cos(3t) ( 9A sin(3t) 9B cos(3t)) + (3A cos(3t) 3B sin(3t)) (A sin(3t) + B cos(3t)) = 20 sin(3t) + 6 cos(3t) ( 9A 3B A + 20) sin(3t) + ( 9B + 3A B 6) cos(3t) = 0 9A 3B A + 20 = 0 og 9B + 3A B 6 = 0 (13-42) (13-43) Dette er to ligninger med to ubekendte. Indsættes A = 3 10 B + 2 fra den første ligning i den anden fås 9B + 3 ( 310 ) B + 2 B 6 = 0 10B 9 10 B = 0 B = 0 (13-44)

10 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 10 Af dette fås A = 2, og en partikulær løsning til differentialligningen er da x 0 (t) = 2 sin(3t), t R. (13-45) Læg mærke til at tallet ω = 3 er det samme under både cosinus og sinus i eksempel 13.9, hvilket også er det eneste metode 13.8 faciliterer. Hvis der optræder to forskellige tal er metode 13.8 ikke brugbar, for eksempel q(t) = 3 sin(t) + cos(10t). Det er superpositionsprincippet eller den komplekse gættemetode til gengæld, og dette bliver beskrevet i afsnit og afsnit Metode Eksponentialfunktion En partikulær løsning x 0 (t) til den inhomogene differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, (13-46) hvor q(t) = βe αt og α, β R, er også en eksponentialfunktion: x 0 (t) = γe αt, t I, (13-47) hvor γ bestemmes ved indsættelse af udtrykket for x 0 (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Det præciseres, at α ikke må være rod i differentialligningens karakterligning. Som det kommenteres til sidst i metode må eksponenten α ikke være rod i karakterligningen. Hvis det er tilfældet vil gættet være en løsning til den tilsvarende homogene differentialligning jævnfør sætning Dette er et gennemgående problem i alle ordener af differentialligninger. Eksempel Eksponentialfunktion Givet er differentialligningen x (t) + 11x (t) + 5x(t) = 20e t, t R. (13-48) Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning x 0 (t) til differentialligningen. Ifølge metode er en partikulær løsning givet ved x 0 (t) = γe αt = γe t. Vi ved endnu ikke om α = 1 er rod i karakterligningen, men hvis det går godt med at finde γ, er den ikke. Vi har x 0 (t) = γe t og x 0 (t) = γe t, og dette indsættes i differentialligningen: γe t + 11( γe t ) + 5γe t = 20e t 5γ = 20 γ = 4 (13-49)

11 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 11 Det er altså lykkedes at bestemme γ, og derfor haves en partikulær løsning til differentialligningen: x 0 (t) = 4e t, t R. (13-50) Metode Uheldig eksponentialfunktion En partikulær løsning x 0 (t) til den inhomogene differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, (13-51) hvor q(t) = βe λt, β R og λ er rod i differentialligningens karakterligning, har følgende form: x 0 (t) = γte λt, t I, (13-52) hvor γ bestemmes ved indsættelse af udtrykket for x 0 (t) som løsning i den inhomogene differentialligning. Eksempel Uheldig eksponentialfunktion Givet er differentialligningen x (t) 7x (t) + 10x(t) = 3e 2t, t R. (13-53) Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning til differentialligningen. Vi prøver først at bruge metode 13.10, og gætter på en løsning af formen x 0 (t) = γe αt = γe 2t. Man har da x 0 (t) = 2γe 2t og x 0 (t) = 4γe2t, hvilket ved indsættelse i differentialligningen giver 4γe 2t 7 2γe 2t + 10γe 2t = 3e 2t 0 = 3 (13-54) Det ses at γ ikke optræder i den sidste ligning, og at ligningen iøvrigt er usand. Derfor må α = λ være rod i det karakterligningen. Karakterligningen ser således ud: λ 2 7λ + 10 = 0 (13-55) Denne andengradsligning har rødderne 2 og 5. Det passer altså, at α = 2 er rod. På grund af overstående bruges nu metode 13.12, og vi gætter på en løsning af formen x 0 (t) = γte λt = γte 2t. Vi har da x 0(t) = γe 2t + 2γte 2t x 0 (t) = 2γe 2t + 2γe 2t + 4γte 2t = 4γe 2t + 4γte 2t (13-56)

12 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 12 Dette indsættes i differentialligningen for at bestemme γ. 4γe 2t + 4γte 2t 7(γe 2t + 2γte 2t ) + 10γte 2t = 3e 2t (4γ 14γ + 10γ)t + (4γ 7γ + 3) = 0 γ = 1 (13-57) Det er nu lykkedes at finde γ, og derfor er en partikulær løsning til differentialligningen x 0 (t) = te 2t, t R. (13-58) Superpositionsprincippet Inden for alle typer af lineære differentialligninger findes konceptet superpositionsprincippet. Vi gennemgår det her for 2. ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Superpositionsprincippet bruges her til at bestemme en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, når højresiden (q(t)) er en kombination (addition) af flere typer af funktioner, f.eks. en sinusfunktion lagt sammen med et polynomium. Sætning Superpositionsprincippet Hvis x 0i (t) er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q i (t) (13-59) for ethvert i = 1,..., n, er x 0 (t) = x 01 (t) + x 02 (t) x 0n (t) (13-60) en partikulær løsning til x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t) = q 1 (t) + q 2 (t) q n (t), (13-61) hvor højresiderne q og q 1, q 2,..., q n er kontinuerte funktioner i et interval I.

13 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 13 Bevis Superposition er en følge af at differentialligningerne er lineære. Vi gennemfører her et generelt bevis for alle typer af lineære differentialligninger. Venstresiden af en differentialligning kaldes f (x(t)). Vi opstiller nu n differentialligninger: f (x 01 (t)) = q 1 (t), f (x 02 (t)) = q 2 (t),..., f (x 0n (t)) = q n (t) (13-62) hvor x 01, x 02,..., x 0n er partikulære løsninger til de respektive inhomogene differentialligninger. Vi definerer nu x 0 = x 01 + x x 0n og indsætter denne i venstresiden: f (x 0 (t)) = f (x 01 (t) + x 02 (t) x 0n (t)) = f (x 01 (t)) + f (x 02 (t)) f (x 0n (t)) = q 1 (t) + q 2 (t) q n (t) (13-63) På højresiden fås en sum af funktionerne q 1, q 2,..., q n, som kaldes for q. Sætningen er da bevist. Eksempel Superposition Givet er den inhomogene differentialligning x (t) x (t) 3x(t) = 9e 4t + 3t 14, t R. (13-64) Vi ønsker at bestemme en partikulær løsning x 0 (t) til differentialligningen. Det ses, at højresiden er en kombination af en eksponentialfunktion (q 1 (t) = 9e 4t ) og et polynomium (q 2 (t) = 3t 14). Derfor bruges superpositionsprincippet fra sætning og differentialligningen opsplittes i to dele. x (t) x (t) 3x(t) = 9e 4t = q 1 (t) (13-65) x (t) x (t) 3x(t) = 3t 14 = q 2 (t) (13-66) Først behandles ligning (13-65), hvortil vi skal bruge metode En partikulær løsning er da af formen x 01 (t) = γe αt = γe 4t. Vi har x 0 1 (t) = 4γe 4t og x 0 1 (t) = 16γe 4t. Dette indsættes i ligningen. 16γe 4t 4γe 4t 3γe 4t = 9e 4t γ = 1 (13-67) Derfor er x 01 (t) = e 4t. Nu behandles ligning (13-66), hvor en partikulær løsning er et polynomium af højst grad 1, jævnfør metode 13.6, altså er x 02 (t) = b 1 t + b 0. Derfor er x 0 2 (t) = b 1 og x 0 2 (t) = 0. Dette indsættes i differentialligningen. 0 b 1 3(b 1 t + b 0 ) = 3t 14 ( 3b 1 3)t + ( b 1 3b ) = 0 (13-68)

14 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 14 Vi har således to ligninger med to ubekendte, og vi finder, at b 1 = 1, og derfor er b 0 = 5. Altså er en partikulær løsning x 02 (t) = t + 5. Den samlede partikulære løsning til (13-64) findes da som summen af de to allerede fundne partikulære løsninger til de to opsplittede ligninger: x 0 (t) = x 01 (t) + x 02 (t) = e 4t t + 5, t R. (13-69) Den komplekse gættemetode Den komplekse gættemetode benyttes når det er bekvemt at omskrive differentialligningens højreside til en kompleks højreside, således at den givne reelle højreside er realdelen af den komplekse. Er højresiden for eksempel 2e 2t cos(3t), og man til denne lægger i( 2e 2t sin(3t)), fås 2e 2t (cos(3t) i sin(3t)) = 2e (2 3i)t. (13-70) Her gælder der klart nok at Re(2e (2 3i)t ) = 2e 2t cos(3t). Man finder nu en kompleks partikulær løsning til differentialligningen med den komplekse højreside. Den ønskede reelle partikulære løsning til den oprindelige differentialligning er da realdelen af den fundne komplekse løsning. Bemærk at denne metode kan kun benyttes fordi differentialligningen er lineær. Det er netop lineariteten der sikrer at realdelen af den fundne komplekse løsning er den ønskede reelle løsning. Dette vises ved at vi opfatter differentialligningens venstreside som en lineær afbildning f (z(t)) i mængden af komplekse funktioner af en reel variabel og bruger følgende generelle sætning: Sætning Der er givet en lineær afbildning f : (C (R), C) (C (R), C) og ligningen f (z(t)) = s(t). (13-71) Hvis vi sætter z(t) og s(t) på rektangulær form ved z(t) = x(t) + i y(t) og s(t) = q(t) + i r(t), så gælder der at (13-71) sand hvis og kun hvis f (x(t)) = q(t) og f (y(t)) = r(t). (13-72)

15 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 15 Bevis Givet er funktionen z(t) og Lad den lineære afbildning f og funktionerne z(t) og s(t) være givet som i sætning Som følge af egenskaberne ved lineære afbildninger, se definition 11.2, gælder der følgende: f (z(t)) = s(t) f (x(t) + i y(t)) = q(t) + i r(t) f (x(t)) + i f (y(t)) = q(t) + i r(t) f (x(t)) = q(t) og f (y(t)) = r(t). (13-73) Sætningen er dermed bevist. Metode Den komplekse gættemetode En partikulær løsning x 0 (t) til den reelle inhomogene differentialligning x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t R, (13-74) hvor a 0 og a 1 er reelle koefficienter og ( q(t) = Re (a + bi)e (α+ωi)t) = ae αt cos(ωt) be αt sin(ωt), (13-75) bestemmes i første omgang ved at finde den tilsvarende komplekse partikulære løsning til følgende komplekse differentialligning z (t) + a 1 z (t) + a 0 z(t) = (a + bi)e (α+ωi)t, t R, (13-76) Den komplekse partikulære løsning har formen z 0 (t) = (c + di)e (α+ωi)t, hvor c og d bestemmes ved indsættelse af z 0 (t) i differentialligningen (13-76). Efterfølgende er en partikulær løsning til differentialligningen (13-74) givet ved x 0 (t) = Re(z 0 (t)). (13-77) En afgørende grund til, at man benytter den komplekse gættemetode, er, at det er så enkelt at differentiere eksponentialfunktionen, selv når den er kompleks.

16 enote DEN INHOMOGENE LIGNING 16 Eksempel Den komplekse gættemetode Givet er en 2. ordens inhomogene differentialligning: x (t) 2x (t) 2x(t) = 19e 4t cos(t) 35e 4t sin(t), t R. (13-78) Bestem en partikulær løsning til denne differentialligning. Det er oplagt at bruge den komplekse gættemetode fra metode til denne opgave. Det ses nemlig i første omgang, at højresiden svarer til reeldelen af et kompleks tal: q(t) = 19e 4t cos(t) 35e 4t sin(t) ( ) = Re 19e 4t (cos(t) + i sin(t)) + 35ie 4t (cos(t) + i sin(t)) = Re (19e 4t e it + 35ie 4t e it) = Re (19e 4t+it + 35ie 4t+it) ( = Re ( i)e (4+i)t). (13-79) Bemærk brugen af Eulers formel fra enote 29 for at opnå omskrivningen fra cos og sin til eksponentiel form, e iv = cos(v) + sin(v). Det kan være en anelse kringlet at gennemskue leddenes komplekse form. Leddet 19e 4t cos(t) er nemt; det udvides let til 19e 4t (cos(t) + i sin(t)), hvor sin-leddet som imaginærdelen er tilføjet. Men leddet 35e 4t sin(t) kræver lidt mere; det får tilføjet et cos-led som imaginærdel, og derfor skal i et flyttes fra cos til sin ved, at udtrykket ganges med i. Vi udvider differentialligningen, så vi har det nye tilsvarende komplekse tal ( i)e (4+i)t på højresiden i stedet. Vi skal så i stedet finde en kompleks partikulær løsning til denne differentialligning: z (t) 2z (t) 2z(t) = ( i)e (4+i)t, t R. (13-80) hvor vi har erstattet x(t) med z(t) for tydeligt at markere, at den løsning, vi nu finder, netop ikke er en løsning til den originale ligning, men kun en løsning til denne udvidede komplekse form af ligningen. Vi gætter nu på, at z 0 (t) = (c + di)e (4+i)t er en løsning, hvor c og d er reelle konstanter. Vi har z 0(t) = (c + di)(4 + i)e (4+i)t = (4c d + (c + 4d)i) e (4+i)t z 0 (t) = (4c d + (c + 4d)i)(4 + i)e (4+i)t = (15c 8d + (8c + 15d)i)e (4+i)t. og (13-81) Disse udtryk samt z 0 (t) indsættes i den komplekse differentialligning for at bestemme c og

17 enote EKSISTENS OG ENTYDIGHED 17 d: (15c 8d + (8c + 15d)i)e (4+i)t 2(4c d + (c + 4d)i)e (4+i)t 2(c + di)e (4+i)t = ( i)e (4+i)t 15c 8d + (8c + 15d)i 2(4c d + (c + 4d)i) 2(c + di) = i 5c 6d + (6c + 5d)i = i 5c 6d = 19 6c + 5d = 35 (13-82) Dette er to ligninger med to ubekendte. Ligningssystemets totalmatrix opskrives: [ ] [ ] [ ] (13-83) Vi har altså, at c = 5 og d = 1, hvilket giver z 0 (t) = (5 + i)e (4+i)t. Dette er som sagt løsningen til den komplekse udvidelse af differentialligningen. En partikulær løsning til den originale differentialligning (13-78) er derfor reeldelen af z 0 (t), ( x 0 (t) = Re(z 0 (t)) = Re (5 + i)e (4+i)t) = 5e 4t cos(t) e 4t sin(t), t R. (13-84) 13.4 Eksistens og entydighed Vi formulerer her en sætning om eksistens og entydighed for differentialligninger af 2. orden med konstante koefficienter. Vi har behov for to begyndelsesværdibetingelser, nemlig funktionens værdi og den afledtes værdi for en værdi af variablen. Sætning Eksistens og entydighed Til ethvert talsæt (t 0, x 0, v 0 ) (dobbelt begyndelsesværdibetingelse) findes netop én løsning x(t) til differentialligningen således, at hvor t 0 I, x 0 R og v 0 R. x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t), t I, q : I R (13-85) x(t 0 ) = x 0 og x (t 0 ) = v 0, (13-86)

18 enote EKSISTENS OG ENTYDIGHED 18 Eksempel Eksistens og entydighed Givet differentialligningen x (t) 5x (t) 36x(t) = 0, t R. (13-87) Bestem en funktion x(t), som er løsning til differentialligningen og har begyndelsesværdibetingelsen (t 0, x 0, v 0 ) = (0, 5, 6). Det ses, at differentialligningen er homogen. Den har karakterligningen λ 2 5λ 36 = 0. (13-88) Karakterligningen har rødderne λ 1 = 4 og λ 2 = 9. Derfor er den fuldstændige løsningsmængde til den homogene differentialligning (ved hjælp af sætning 13.2) udspændt af følgende funktioner for alle c 1, c 2 R: Man har da x(t) = c 1 e 4t + c 2 e 9t, t R. (13-89) x (t) = 4c 1 e 4t + 9c 2 e 9t. (13-90) Indsættes begyndelsesværdibetingelserne x(0) = 5 og x (0) = 6 i de to ligninger, kan det løses for (c 1, c 2 ), 5 = c 1 + c 2 (13-91) 6 = 4c 1 + 9c 2. Ligningerne er blevet meget simple, da e 0 = 1. Indsættes c 2 = 5 c 1 i den anden ligning, fås 6 = 4c 1 + 9(5 c 1 ) = 13c c 1 = = 3. (13-92) Derfor er c 2 = 5 3 = 2, og den betingede løsning er x(t) = 3e 4t + 2e 9t, t R. (13-93) Herunder er et eksempel, som gennemgår hele løsningsproceduren for en inhomogen differentialligning med en dobbelt begyndelsesværdibetingelse. Efter det kommer et eksempel, hvor formålet er at finde en differentialligning, hvor den fuldstændige løsningsmængde er opgivet. Den falder derfor i tråd med eksempel 13.5, og nu er der også en højreside forskellig fra nul.

19 enote EKSISTENS OG ENTYDIGHED 19 Eksempel Opsamlende eksempel Givet differentialligningen x (t) + 6x (t) + 5x(t) = 20t t + 13, t R. (13-94) Bestem den fuldstændige løsningsmængde L inhom samt den betingede løsning x(t), som opfylder begyndelsesværdibetingelserne (t 0, x 0, v 0 ) = (0, 5, 8). Først løses den tilsvarende homogene differentialligning, og karakterligningen ser således ud: λ 2 + 6λ + 5 = 0. (13-95) Denne har rødderne λ 1 = 5 og λ 2 = 1. Da disse rødder er reelle og forskellige, er den fuldstændige homogene løsningsmængde ifølge sætning 13.2 givet ved L hom = { c 1 e 5t + c 2 e t, t R c 1, c 2 R }. (13-96) Nu bestemmes en partikulær løsning til den inhomogene ligning. Da højresiden er et andengradspolynomium, gætter vi ved hjælp af metode 13.6 på, at x 0 (t) = b 2 t 2 + b 1 t + b 0 er en løsning. Vi har da, at x 0 (t) = 2b 2t + b 1 og x 0 (t) = 2b 2. Dette indsættes i differentialligningen: 2b 2 + 6(2b 2 t + b 1 ) + 5(b 2 t 2 + b 1 t + b 0 ) = 20t t + 13 (5b 2 20)t 2 + (12b 2 + 5b 1 48)t + (2b 2 + 6b 1 + 5b 0 13) = 0 5b 2 20 = 0 12b 2 + 5b 1 48 = 0 2b 2 + 6b 1 + 5b 0 13 = 0. (13-97) Den første ligning giver nemt b 2 = 4. Indsættes det i den anden ligning, fås ved lidt hovedregning b 1 = 0. Til sidst i den tredje ligning får man b 0 = 1. En partikulær løsning til den inhomogene differentialligning er derfor x 0 (t) = 4t 2 + 1, t R. (13-98) Ifølge struktursætningen, for eksempel metode 13.1, er den fuldstændige løsningsmængde til den inhomogene differentialligning givet ved L inhom = x 0 (t) + L hom = { 4t c 1 e 5t + c 2 e t, t R c 1, c 2 R }. (13-99) Vi bestemmer nu den løsning, der opfylder de givne begyndelsesværdibetingelser. En vilkårlig løsning har formen Den afledede er x(t) = 4t c 1 e 5t + c 2 e t, t R. (13-100) Indsættes x(0) = 5 og x (0) = 8, fås de to ligninger x (t) = 8t 5c 1 e 5t c 2 e t, t R. (13-101) 5 = c 1 + c = 5c 1 c 2. (13-102)

20 enote EKSISTENS OG ENTYDIGHED 20 Indsættes c 1 = 4 c 2 fra den første ligning i den anden, fås 8 = 5(4 c 2 ) c = 4c 2 c 2 = 3. (13-103) Det giver c 1 = 1, og den betingede løsning er derfor x(t) = e 5t + 3e t + 4t 2 + 1, t R. (13-104) Eksempel Fra løsning til ligning Givet den fuldstændige løsning til en lineær 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter L inhom = { c 1 e 2t + c 2 e 2t 1 2 sin(2t), t R c 1, c 2 R }. (13-105) Opstil differentialligningen, som generelt har dette udseende: a 1, a 0 og q(t) skal altså bestemmes. x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = q(t). (13-106) I første omgang splittes løsningen op i en partikulær løsning og den fuldstændige homogene løsningsmængde: x 0 (t) = 1 2 sin(2t), t R og L hom = { c 1 e 2t + c 2 e 2t t R c 1, c 2 R }. (13-107) Nu betragtes den fuldstændige homogene løsning. Udseendet på denne stemmer overens med den første situation i sætning Karakterligningen har altså to forskellige reelle rødder, og de er λ 1 = 2 og λ 2 = 2. Karakterligningen er derfor (λ + 2)(λ 2) = λ 2 4 = 0. (13-108) Dette afgør koefficienterne på venstresiden af differentialligningen: a 1 = 0 og a 0 = 4. Differentialligningen ser altså indtil videre således ud: x (t) 4x(t) = q(t), t R. (13-109) Da x 0 (t) er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning kan højresiden q(t) bestemmes ved at indsætte x 0 (t). Vi har, at x 0 (t) = 2 sin(2t), og x 0 (t) 4x 0 (t) = q(t) 2 sin(2t) 4( 1 2 sin(2t)) = q(t) 4 sin(2t) = q(t). Nu er samtlige ukendte i differentialligningen bestemt, og den endelige ligning er (13-110) x (t) 4x(t) = 4 sin(2t), t R. (13-111)

21 enote EKSISTENS OG ENTYDIGHED 21 I denne enote beskæftiger vi os ikke med systemer af 2. ordens homogene lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Det skal dog tilføjes, at vi allerede med den gennemgåede teori og lidt snilde kan løse sådanne problemer. Hvis vi har et system af 2. ordens homogene differentialligninger, kan vi betragte hver differentialligning for sig. Ved hjælp af afsnit 12.5 kan en sådan ligning omformes til 2 ligninger af 1. orden. Gøres det med alle differentialligningerne i systemet, ender vi med dobbelt så mange differentialligninger, nu af 1. orden. Dette nye system kan vi løse med den gennemgåede teori i enote 12. Systemer af 2. ordens homogene lineære differentialligninger findes mange steder i mekanisk fysik, kemi, elektromagnetisme m.fl.

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger

Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Rev. 12. november 2009 I denne temaøvelse studerer vi en simpel model for gærglykolyse. Vi starter i Del 1 med at beskrive modellen. Denne model

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.

Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve. Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Løsningsforslag til opgavesæt 5

Løsningsforslag til opgavesæt 5 Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

MAT1-projektrapport. Rovdyr & Byttedyr. Af G efterårssemestret Eksistens, entydighed og stabilitet af løsninger til ODE er

MAT1-projektrapport. Rovdyr & Byttedyr. Af G efterårssemestret Eksistens, entydighed og stabilitet af løsninger til ODE er MAT1-projektrapport Af G3-119 - efterårssemestret 2006 Rovdyr & Byttedyr - Eksistens, entydighed og stabilitet af løsninger til ODE er This page intentionally left blank Institut for Matematiske Fag Fredrik

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere