Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner."

Transkript

1 Komplekse tal Mike Auerbach Odense Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Radianer I dagligdagen måles vinkler i grader. En cirkel svarer som bekendt til en vinkel på 360. Men der er jo intet selvfølgeligt ved, at det lige skal være 360, der definerer en hel omdrejning. Man kunne lige så godt have valgt ethvert andet tal 1. Det vinkelmål, man faktisk bruger i matematikken, bygger på, at man måler vinkler som længden af en cirkelbue. Tanken er den følgende: Omkredsen af en cirkel er 2 gange radius. Den mest grundliggende cirkel, man kender, er enhedscirklen, som har radius 1. Omkredsen i enhedscirklen er derfor 2. Man kan altså måle en vinkels størrelse som den buelængde, den udskærer af enhedscirklen, hvorved en hel omdrejning kommer til at svare til 2. Dette vinkelmål kaldes radianer. Figur 1 viser sammenhængen mellem grader og radianer som vinkelmål. Da 2 i radianer svarer til en hel cirkel, og 360 også svarer til en hel cirkel, kan man omregne fra grader til radianer ved at gange med Eksempel 1 Hvad er vinklen 36 i radianer? For at svare på dette spørgsmål beregnes = = Faktisk er tallet 360 et levn fra det babyloniske 60-talssystem, hvorfra vi også har fået, at der er 60 sekunder på et minut og 60 minutter på en time Figur 1: Sammenhængen mellem grader og radianer svarer altså til 5. Cosinus og sinus som funktioner Når cosinus og sinus behandles som matematiske funktioner, cos(x) og sin(x), måles den uafhængige variabel x i radianer. Ved at se på definitionerne på de to funktioner, kan man udlede, at de er periodiske. 1

2 2 Komplekse tal At en funktion er periodisk betyder, at funktionen så at sige gentager sig selv. For periodiske funktioner findes et tal p, sådan at f (x) = f (x + p) = f (x + 2p) = f (x + 3p) =. 1 (1) (2) (1) (2) Figur 2: Graferne for funktionerne cos(x) (øverst) og sin(x) (nederst). 2 Beviset kan ses på jr/mathpub/diffsin.htm. Tallet p kaldes funktionens periode. Da cosinus og sinus er defineret ud fra enhedscirklen, og 2 svarer til en hel omgang rundt i cirklen, vil cosinus og sinus være periodiske med perioden 2: cos(x + n 2) = cos(x) sin(x + n 2) = sin(x) hvor n er et helt tal Dette ses også på graferne for de to funktioner (figur 2). Cosinus og sinus opfører sig i denne sammenhæng som alle andre funktioner. De kan f.eks. også differentieres. Man kan vise følgende sætning, beviset udelades dog i denne omgang. 2 Sætning 1 Der gælder følgende: (cos(x)) = sin(x) og (sin(x)) = cos(x). Sætning 1 gælder kun, hvis den uafhængige variabel x måles i radianer. Hvis man i stedet måler i grader dukker konstanten 180 op i udregningen denne konstant er, som nævnt ovenfor en omregningsfaktor fra grader til radianer. I de følgende afsnit anvendes radianer konsekvent til at angive vinkler. 2 Hvad er komplekse tal? De tal, man normalt beskæftiger sig med i gymnasiet kommer fra følgende mængder N de naturlige tal, dvs. tallene 1,2,3,4,... Z de hele tal Q de rationale tal, dvs. tal, der kan skrives som en brøk. R de reelle tal, dvs. alle tal på tallinjen. For disse mængder gælder N Z Q R. Ud over disse findes der dog en større mængde af tal, nemlig mængden af komplekse tal C. Det kan være svært at forestille sig, at der skulle være flere tal end disse. De reelle tal udfylder jo hele linjen, så hvordan skulle der kunne være plads til flere? Svaret på dette spørgsmål får man ved at se på tal som linjestykker.

3 2 Hvad er komplekse tal? 3 De reelle tal som linjestykker Hvis man ser på et reelt tal som et linjestykke, bliver f.eks. tallet 4 det linjestykke, man får, når man starter i 0 og går 4 skridt frem ad tallinjen. På samme måde bliver 4 det linjestykke man får, når man starter i 0 og går 4 skridt tilbage (jf. figur 3) Som man også kan se på figuren, danner de to tal 4 og 4 en vinkel på med hinanden. Man kan derfor sige, at de positive tal danner en vinkel på 0 med tallinjen, mens de negative tal danner en vinkel på med tallinjen. På figur 4 kan man se, hvordan man kan forstå addition vha. linjestykker. Når man skal lægge 4 og 3 sammen, går man først et stykke på 4 frem og dernæst 3 tilbage. Man ender derved med at have et linjestykke med længde 1, som peger fremad. At lægge tal sammen er altså ikke andet end at lægge linjer i forlængelse af hinanden. Figur 3: Tallene 4 og 4 som stykker på tallinjen Figur 4: Regnestykket 4 + ( 3) = 1. Da de reelle tal således kan forstås som et linjestykke med retning, kunne man i stedet for 4 og 3 lige så godt skrive 4 0 og 3. Denne notation er noget besværlig, og da der kun er to retninger at vælge imellem, er den normale notation nok at foretrække. Men hvis man holder fast i den nye notation et øjeblik, vil man se, at multiplikation kan forstås på følgende måde: Når man ganger tal med hinanden, ganges deres størrelser med hinanden, og vinklerne lægges sammen. Skal man f.eks. gange 3 med 6 får man 3 6 = (3 ) (6 0) = (3 6) ( + 0) = 18 = 18. To negative tal gange sammen giver et positivt: 5 ( 2) = (5 ) (2 ) = (5 2) ( + ) = 10 2 = 10 0 = 10. (At 2 sættes lig 0 følger af, at 2 er en hel omdrejning). Der er intet nyt i dette, man har bare valgt en anden notation for positive og negative tal, samt fået et par nye forklaringer på, hvorfor fortegn opfører sig, som de gør. Specielt kan man bemærke, at hvis man ganger et tal med 1, ændrer størrelsen af tallet sig ikke, men tallets vinkel ændrer sig med. Man kan altså sige, at det at gange med 1 svarer til en rotation på (dvs. 180 ). De komplekse tal I foregående afsnit argumenteredes for, at reelle tal kan ses som linjestykker. Disse linjestykker kan danne vinkler på enten 0 eller med tallinjen. Men linjestykker kan i virkeligheden ligge i hvilken som helst retning. Det er derfor naturligt at udvide de reelle tal ved simpelthen at tillade vinklen at være hvad som helst. Herved kommer man frem til de komplekse tal.

4 4 Komplekse tal Definition 2 Et komplekst tal z kan beskrives som et linjestykke: z = r ϕ, hvor r er linjens længde, og vinklen ϕ er den vinkel linjen danner med den positive del af den reelle talakse. Når et komplekst tal er skrevet på denne måde, siges det at være skrevet på polær form. Et komplekst tal z består altså af to dele: en længde og en vinkel (retning). Disse kaldes tallets modulus ( z ) og argument (arg(z)). For det kompleks tal z = r ϕ gælder altså z = r og arg(z) = ϕ. z 2 Da der findes flere vinkler, der svarer til samme retning, er arg(z) ikke entydigt bestemt (f.eks. svarer og 3 til samme retning). Man har derfor defineret hovedargumentet (Arg(z)) til et komplekst tal, som det argument, der ligger i intervallet ] ;]. z 1 z 1 + z 2 Addition og multiplikation Addition af komplekse tal foregår ved at lægge linjestykkerne i forlængelse af hinanden som illustreret på figur 5. Figur 5: Addition af to komplekse tal, z 1 og z 2. Man ganger to komplekse tal ved at gange deres størrelser og lægge deres vinkler sammen: z 1 z 2 = (r 1 ϕ 1 ) (r 2 ϕ 2 ) = (r 1 r 2 ) (ϕ 1 + ϕ 2 ). z 1 z 2 z 1 z 2 Dette er illustreret på figur 6 De komplekse tal kan altså ses som tal i en plan, hvor de reelle tal er tal på en linje man taler i denne sammenhæng om den komplekse plan. Man har altså pludselig to dimensioner i stedet for blot én. Figur 6: Multiplikation af de to komplekse tal z 1 og z 2. Ser man på de reelle tal, har man tallet 1, som beskriver linjestykket, der ligger 1 enhed fremad. Dette tal kan siges at være en enhed i retningen ad den sædvanlige tallinje. Men når man bevæger sig i planen, er der jo en tallinje mere, som står vinkelret på den gamle. Man har derfor vedtaget, at 1 opad skal beskrives ved det komplekse tal i. Med længde og vinkel sat på, har man altså, at i = 1 2. Hvis man nu bruger multiplikationsreglerne, opdager man noget pudsigt, nemlig at: i 2 = i i = (1 2 ) (1 2 ) = (1 1) ( ) = 1.

5 3 Algebraisk beskrivelse af komplekse tal 5 Men tallet 1 svarer jo til det reelle tal 1 (!), dvs. i 2 = 1. Ved at udvide de reelle tal til de komplekse, opdager man altså pludseligt, at et tal ganget med sig selv kan give noget negativt hvilket jo tidligere ansås for en umulighed. 3 Algebraisk beskrivelse af komplekse tal Ethvert punkt i den komplekse plan svarer til et komplekst tal. Man kan derfor på en naturlig måde beskrive komplekse tal ud fra deres koordinater som punkter i planen. Den komplekse plan udspændes af to akser. Den vandrette akse kaldes den reelle akse, mens den lodrette kaldes den imaginære. De tal, som ligger på den lodrette akse, kaldes imaginære tal; dette svarer fuldstændigt til, at de tal, som ligger på den reelle akse, blot er de sædvanlige reelle tal. Mængden af reelle tal hedder som bekendt R; mængden af imaginære tal hedder ir, idet det jo blot drejer sig om de reelle tal ganget med den imaginære enhed i. Den reelle akse måles i enheden 1, mens den imaginære måles i enheden i, der jo betegner det komplekse tal, som har længden 1 og går lodret op fra punktet (0,0). (Se figur 7.) På figur 7 ser man det komplekse tal, som svarer til punktet (4,3). Dette tal skrives 4 + 3i. Notationen viser, at det drejer sig om det tal, man får, når man går 4 enheder ud ad den reelle akse og 3 enheder op ad den imaginære. Man kan altså nu opskrive følgende definition på komplekse tal: Definition 3 Et komplekst tal z er et tal på formen 4i 3i 2i r i ϕ i i 3i 4i Figur 7: Tallet 4 + 3i i den komplekse plan. z = x + i y, hvor x og y er reelle tal, og tallet i er den imaginære enhed, hvorom der gælder, at i 2 = 1. Hvis det komplekse tal z = x + i y, kaldes x for real-delen af z, mens y kaldes imaginær-delen. Dette skrives Re(z) = x og Im(z) = y. Addition og multiplikation Addition af komplekse tal er beskrevet ovenfor. Her står, at komplekse tal lægges sammen ved at lægge dem i forlængelse af hinanden.

6 6 Komplekse tal På figur 8 kan man se, hvordan man udregner summen ( 2 + i ) + (6 + 2i ). 3i 6 + 2i 2i i 4 + 3i 2 + i Figur 8: Summen af de to tal 2+i og 6+2i. Som det fremgår af figuren er resultatet 4+3i, man lægger altså blot realdelene og imaginærdelene sammen hver for sig. Det er forholdsvist let at overbevise sig om, at det derfor er ligegyldigt, i hvilken rækkefølge man lægger tallene sammen. Da summen af to komplekse tal altså findes på denne forholdsvist simple måde, er det slet ikke nødvendigt at argumentere med koordinater. Man kan simpelthen udføre additionen, som om i var en hvilken som helst konstant, og man får ( 2 + i ) + (6 + 2i ) = 2 + i i = 4 + 3i. Multiplikation er en anelse mere besværligt, idet et komplekst tal jo er en sum af en reel og en imaginær del. Hvis man skal gange to komplekse tal med hinanden, skal man derfor vide, hvordan man ganger parenteser sammen. Produktet af de to tal 4 + i og 2 3i bliver (4+i) (2 3i ) = i +i 2 i 3i = 8 12i + 2i 3i 2 = 8 10i 3i 2. Her dukker der pludselig et i 2 op; men da i 2 = 1, kan man regne videre og få 8 10i 3i 2 = 8 10i 3 ( 1) = 8 10i + 3 = 11 10i. Det kan vises (hvilket gøres i et næste afsnit), at denne form for multiplikation svarer fuldstændigt til den, der er defineret tidligere. Konjugering, modulus og argument I dette afsnit vises, hvordan man omregner mellem de to notationer z = r ϕ, og z = x + i y. Først ses dog på en meget nyttig operation kaldet kompleks konjugering: Definition 4 Til ethvert komplekst tal z = x +i y findes et andet tal, kaldet det konjugerede tal z, som er defineret ved z = x i y. Im(z) Im(z) = Im(z) Re(z) = Re(z) Figur 9: Det komplekse tal z og dets konjugerede, z. z z På figur 9 er vist, hvordan z og z ligger i forhold til hinanden. Man kan se af figuren, at z = z og arg(z) = arg(z). For at omregne fra z = r ϕ til z = x + i y skal man finde en måde at udtrykke Re(z) og Im(z) ved z og arg(z). Ud fra figur 10 kan man udlede, at Re(z) = z cos(ϕ) og Im(z) = z sin(ϕ). (1)

7 3 Algebraisk beskrivelse af komplekse tal 7 Hvis et komplekst tal er skrevet på formen z = r ϕ kan det altså omskrives til z = z cos(ϕ) + i z sin(ϕ). Dette opsummeres i følgende sætning: Im(z) 1 sin(ϕ) z ϕ cos(ϕ) Re(z) Sætning 5 Hvis et komplekst tal z er skrevet på polær form z = r ϕ, er Figur 10: Tallet z med argument ϕ vist sammen med enhedscirklen. z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)). Sætning 5 gør det muligt at vise, at multiplikation af komplekse tal fungerer på samme måde, hvad enten man kigger på det komplekse tal på polær form (z = r ϕ) eller på algebraisk form (z = x + i y). Sætning 6 For produktet z w af de to komplekse tal z og w gælder z w = z w, og arg(z w) = arg(z) + arg(w). Bevis Beviset bygger på de såkaldte additionsformler for cosinus og sinus: 3 cos(u + v) = cos(u)cos(v) sin(u)sin(v) sin(u + v) = sin(u)cos(v) + cos(u)sin(v) 3 Et bevis for formlerne kan ses på http: //uvmat.dk/jr/mathpub/diffsin.htm eller Trigonometry/Addition_Formula_ for_sines. De to komplekse tal z og w kan ifølge sætning 5 skrives på formen og z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)), w = w (cos(θ) + i sin(θ)), hvor ϕ = arg(z) og θ = arg(w). Produktet af de to tal bliver så z w = z ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) w ( cos(θ) + i sin(θ) ) = z w (cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) (cos(θ) + i sin(θ) ) = z w (cos(ϕ)cos(θ) + i cos(ϕ)sin(θ) + i sin(ϕ)cos(θ) sin(ϕ)sin(θ) ) ( (cos(ϕ)cos(θ) ) = z w sin(ϕ)sin(θ) + i ( sin(ϕ)cos(θ) + cos(ϕ)sin(θ) )) Men ifølge additionsformlerne kan dette omskrives til z w = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)), hvilket viser sætningen.

8 8 Komplekse tal Hvis man skal omskrive fra algebraisk til polær form, skal tallet z = x +i y omskrives til z = r ϕ. Dette kræver, at man kan udregne modulus (r = z ) og argument (ϕ = arg(z)). Sætning 7 Modulus for et komplekst tal z = x + i y kan beregnes som z = x 2 + y 2. Bevis Modulus af det komplekse tal z = x+i y er givet som længden af linjestykket fra (0,0) til (x,y). Derved følger det af Pythagoras sætning, at z 2 = x 2 + y 2, og det ønskede er dermed vist. Man kan i øvrigt udlede af sætning 7, at z 2 = z z. Hvis z = x + i y har man jo, at z = x i y, og man får z z = (x +i y)(x i y) = x 2 (i y) 2 = x 2 i 2 y 2 = x 2 ( 1)y 2 = x 2 + y 2 = z 2. Sammenhængen (1) kan omskrives til cos(ϕ) = Re(z) z og sin(ϕ) = Im(z). z Argumentet ϕ er så de tal, der løser begge ligninger. Hvis man vil finde hovedargumentet skal man finde den løsning i intervallet ] ; ], der løser begge ligninger. Man kan udlede, at den søgte vinkel ϕ kan udregnes på følgende måde: ( ) cos 1 Re(z) z hvis Im(z) 0 ϕ = ( ) cos 1. Re(z) z hvis Im(z) < 0 Man kan nu sammenfatte følgende sætning: Sætning 8 Hvis et komplekst tal z = x + i y kan det omskrives til polær form z = r ϕ, hvor r = x 2 + y 2, og { cos 1 ( ) x r ϕ = cos 1 ( ) x r hvis y 0 hvis y < 0.

9 3 Algebraisk beskrivelse af komplekse tal 9 Eksempel 2 (Omregning til polær form) Her ses på det komplekse tal 6 2i. Tallets modulus er 6 2i = ( 2) 2 = = 40 = 6,32. Da Im(6 2i ) = 2 < 0 er tallets argument ( ) 6 Arg(6 2i ) = cos 1 = 0,32. 6,32 Man har altså, at 6 2i = 6,32 0,32. Subtraktion og division Ovenfor er beskrevet, hvordan man lægger komplekse tal sammen og hvordan, man ganger dem med hinanden. I dette afsnit beskrives, hvordan man trækker fra og dividerer. At trække komplekse tal fra hinanden er lige så simpelt som at lægge dem sammen. Skal man f.eks. udregne differensen (7 i ) (9 + 3i ), får man (7 i ) (9 + 3i ) = 7 i 9 3i = 2 4i. Når man dividerer, dukker der dog en komplikation op, idet man så står med to led i nævneren på en brøk. Skal man dividere 6+2i med 4 3i, får man 6 + 2i 4 3i, og det ser umiddelbart ikke ud som om, dette kan reduceres. Tricket består her i at huske, at z z = z 2, som jo er et reelt tal. Man forlænger derfor brøken med nævnerens konjugerede tal (her 4 + 3i ), så regnestykket bliver 6 + 2i 4 3i (6 + 2i )(4 + 3i ) i + 2i 4 + 2i 3i = = (4 3i )(4 + 3i ) i + 8i i = = = i. Man udregner altså resultatet af en division mellem komplekse tal ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal. En anden måde at skrive division op på, er at w z = w z 1, hvor det reciprokke tal z 1 kan udregnes vha. denne sætning: Sætning 9 Den reciprokke værdi af et komplekst tal z er z 1 = z z 2.

10 10 Komplekse tal Bevis Sætningen bevises vha. følgende udregning z 1 = 1 z = 1 z z z = z z 2, hvor det sidste lighedstegn følger af, at z z = z 2. Argumentet for komplekse tal Argumentet for et komplekst tal er den vinkel, som tallet danner med den positive reelle akse. Men denne vinkel er ikke entydigt bestemt. Da vinklen ikke ændrer sig, hvis man lægger en hel omgang til eller trækker en hel omgang fra, er argumentet til et komplekst tal altså i virkeligheden uendeligt mange forskellige tal. Det er derfor i virkeligheden forkert at tale om argumentet; man burde i stedet tale om et argument. Hvis ϕ er et argument til det komplekse tal z, gælder der altså at alle tal ϕ + n 2 hvor n er et helt tal er et argument til z. Hovedargumentet er derimod entydigt bestemt, idet hovedargumentet er den vinkel, der ligger i intervallet ] ;]. At argumentet ikke er entydigt bestemt, har en konsekvens, der vil blive demonstreret i næste afsnit. 4 Potenser og rødder Potensopløftning defineres for komplekse tal på samme måde som for reelle tal: p gange z p {}}{ = z z z z. Man kan vha. sætning 6 vise følgende: Sætning 10 For det komplekse tal z gælder z n = z n, og arg(z n ) = n arg(z). Det er altså på sin vis nemmere at potensopløfte et komplekst tal, hvis det er skrevet på polær form. Eksempel 3 Det komplekse tal z er givet ved z = Hvad er z3? Man får z 3 = z 3 = 5 3 = 125,

11 4 Potenser og rødder 11 og arg(z 3 ) = 5 arg(z) = = 6 3 = 2. Dvs. z 3 = Dette tal er ikke angivet med hovedargument, idet vinklen 2 ikke ligger i intervallet ] ;]. Men 2 svarer jo til en hel omgang rundt i cirklen, så den tilsvarende vinkel i det rigtige interval vil være 0. Man har derfor, at ( ) = Foretrækker man at se de to tal på algebraisk form (z = x + i y), bruges sætning 5, og man får z = 5 (cos( 2 3 ) + i sin( 2 3 )) = i, z 3 har argument 0, dvs. tallet er et punkt på den positive reelle akse. Da z 3 = 125 er z 3 = 125. Man har altså ( i ) 3 = 125. Når man skal finde rødder af komplekse tal, kommer man i en situation, hvor man får mere end ét resultat. Regner man på reelle tal, bliver f.eks = 5, men når man ser på tallet 125 som et komplekst tal, bliver svaret ikke så entydigt er det tal z, som opløftet i 3. potens giver 125 (z 3 = 125), men som ( ) 3 det fremgår af eksemplet ovenfor giver i også 125. Det ville altså være mere korrekt at sige, at er de tal, som opfylder z 3 = 125. Dette brud med entydigheden af resultatet følger af, at et tals argument ikke er entydigt bestemt. Sætning 10 viser, hvordan man potensopløfter et komplekst tal på polær form. Omvendt må der derfor gælde følgende: Sætning 11 For det komplekse tal z gælder n z = n z, og arg( n z) = 1 n arg(z). Det faktum, at argumentet til et komplekst tal, ikke er entydigt bestemt, er det, som gør at den n te rod af et komplekst tal heller ikke er entydigt bestemt. Hvis ϕ er et argument til et komplekst tal z (ϕ = arg(z)), vil alle tallene...,ϕ 6,ϕ 4,ϕ 2,ϕ + 2,ϕ + 4,ϕ + 6,...

12 12 Komplekse tal også være argumenter til z. Hvis man skal finde argumentet til n z skal man altså i princippet dele alle disse tal med n, og det viser sig, at der vil være n af disse resultater, der ligger i intervallet ] ;]. Eksempel 4 Hvordan beregnes 3 i. Da i er det komplekse tal med modulus 1 og argument 2 er i = 1 2. Modulus af 3 i er derfor 3 1 = 1. For at finde argumenterne, skrives nogle af argumenterne for i op (husk at hovedargumentet er 2 ): 2 2, 2, Man regner sammen og får de tre argumenter 3 2, 2, 5 2. Da man skal finde den tredje rod, divideres disse tal med 3: De tre 3. rødder af i er derfor 2, 6, , 1 6, og Disse tal kan vha. sætning 5 omskrives til algebraisk form: i, i, og i. Eksempel 5 I dette eksempel vises, hvordan man bestemmer de fem 5. rødder af tallet 2 + 7i, dvs i. Først omskrives tallet til polær form: 2 + 7i = ( 2) = 53 = 7,28 ( ) 2 Arg( 2 + 7i ) = cos 1 = 1,85 7,28 Dvs i = 7,28 1,85. Nu er i = 5 7,28 = 1,49 Argumenterne til i findes ved at dividere 1,85 + n 2 med 5: arg( 5 1,85 + n i ) = = 0,37 + n 1,26. 5 Blandt disse tal, vil 5 ligge i intervallet ] ;], nemlig de tal, hvor n er 2, 1, 0, 1 eller 2: 0,37 + ( 2) 1,26 = 2,14 0,37 + ( 1) 1,26 = 0,89 0, ,26 = 0,37 0, ,26 = 1,63 0, ,26 = 2,88

13 4 Potenser og rødder 13 De fem 5. rødder af 2 + 7i har altså modulus 1,26 og argument givet ved de fem tal ovenover. Skal tallene skrives på algebraisk form bruges sætning 5: 1,26 (cos( 2,14) + i sin( 2,14)) = 0,68 1,06i 1,26 (cos( 0,89) + i sin( 0,89)) = 0,79 0,98i 1,26 (cos(0,37) + i sin(0,37)) = 1,17 + 0,46i 1,26 (cos(1,63) + i sin(1,63)) = 0,07 + 1,26i 1,26 (cos(2,88) + i sin(2,88)) = 1,22 + 0,33i 2i 0,07 + 1,26i De fem 5. rødder af 2 + 7i er afbildet på figur Andengradsligninger 1,22 + 0,33i i i 0,68 1,06i 0,79 0,98i 2i 1,17 + 0,46i Som det fremgår af forrige afsnit, har ethvert komplekst tal n n te-rødder. Ethvert komplekst tal har derfor 2 kvadratrødder. Vinklen mellem disse to rødder vil være. Man kan derfra udlede, at hvis a + ib er en kvadratrod af z, vil den anden kvadratrod være a ib. Figur 11: De fem 5. rødder af 2 + 7i. Hvis imaginærdelen af z er 0 (dvs. z = a + 0i er et reelt tal) er kvadratrødderne nemme at finde. F.eks. giver 4 + 0i tallene 2 og 2. For generelle komplekse funktioner er det mere besværligt at finde kvadratrødderne. Eksempel 6 Ligningen z 2 = 3+3i løses ved at finde 3 + 3i. For at finde denne løsning omskrives først til polær form: 3 + 3i = ( ) (cos 1 ( )) = Den ene kvadratrod er derfor 18 8 = = 4 18(cos( 8 ) + i sin( 8 )) = 1,90 + 0,79i. Den anden kvadratrod er så 1,90 0,79i, hvilket vil sige, at Eksempel 7 Hvad er 1? z 2 = 3 + 3i z = 1,90 + 0,79i z = 1,90 0,79i. Da i 2 = 1, må den ene kvadratrod af 1 være i, den anden er så i, idet ( i ) 2 = ( i ) ( i ) = i i = 1. På denne måde bliver det let at finde kvadratrødderne af negative reelle tal, f.eks. er 36 = 36 ( 1) = 36 1 = ±6i. Kvadratrødder bruges til at løse andengradsligninger. Det viser sig, at den sædvanlige løsningsformel for andengradsligninger også virker, når man ser på komplekse tal. Man har altså følgende sætning:

14 14 Komplekse tal Sætning 12 En andengradsligning az 2 + bz + c = 0, hvor a, b og c er komplekse tal, har løsningerne z = b + d, 2a hvor d = b 2 4ac. Bemærk, at i formlen ovenfor, giver kvadratroden 2 tal. Andengradsligninger har derfor 2 løsninger. Eksempel 8 Hvis koefficienterne a, b og c i en andengradsligning er reelle tal, bliver ligningen forholdsvist let at løse. For at løse ligningen z 2 + 2z + 5 = 0, finder man først diskriminanten De to løsninger er derfor d = = 16. z = ± 4i = 2 z = 1 + 2i z = 1 2i. Eksempel 9 Ligningen z 2 + (1 5i ) z (8 + 4i ) = 0, har diskriminanten d = (1 5i ) ( (8 + 4i )) = 8 + 6i. For at kunne bruge løsningsformlen for andengradsligninger skal man finde d. Man har, at d = = 10. og ( ) 8 Arg(d) = cos 1 = 0, Den ene kvadratrod er derfor givet ved 10 ( cos ( 0, ) ( + i sin 0,64350 )) 2 = 3 + i. Den anden kvadratrod er derfor 3 i, og man finder de to løsninger (1 5i ) ± (3 + i ) z = 2 1 z = 1 + 3i z = 2 + 2i. 5 Komplekse funktioner Da komplekse tal kan ses som en udvidelse af de reelle tal, er det naturligt at udvide funktionsbegrebet til at omfatte komplekse funktioner. En kompleks funktion skal altså forstås som en funktion, hvor både den uafhængige og den afhængige variabel er komplekse tal.

15 5 Komplekse funktioner 15 For reelle funktioner kan man tegne grafen for at få et overblik over, hvordan funktionen opfører sig. For komplekse funktioner er dette desværre ikke umiddelbart muligt, idet den uafhængige variabel er et punkt i den komplekse plan, og det er den afhængige variabel også. Man har altså brug for 4 dimensioner for at tegne grafen for en kompleks funktion, og dette kan ikke lade sig gøre. Komplekse funktioner er altså på sin vis sværere at forholde sig til end reelle, men man kan dog godt sige noget fornuftigt om en kompleks funktion ved at overveje, hvordan punkterne i den komplekse plan bliver flyttet rundt af funktionen. I dette afsnit ses dog kun på enkelte komplekse funktioner, og det viser sig, at når man går fra de reelle tal til de komplekse, dukker der nogle sammenhænge op, som man ikke havde kunnet forudse ved blot at studere reelle tal. Den komplekse eksponentialfunktion Den første funktion, der tages under behandling, er den komplekse eksponentialfunktion f (z) = e z. Først følger dog her et argument for, at funktionen f (x) = cos(x) + i sin(x) har nogle interessante egenskaber: Hvis man betragter funktionen f (x) = cos(x) + i sin(x), hvor x er et reelt tal, får man, at differentialkvotienten er f (x) = sin(x) + i cos(x) = i 2 sin(x) + i cos(x) = i (i sin(x) + cos(x)) = i (cos(x) + i sin(x)) = i f (x). Sammenfattet har man altså at f (x) = cos(x) + i sin(x) f (x) = i f (x). Dette minder på om ekspontialfunktionen e kx. For denne funktion gælder, at (e kx ) = ke kx. Funktionen f ovenfor opfører sig altså på sin vis som en eksponentialfunktion. Det vil derfor være naturligt at definere, at for reelle tal x er e i x = cos(x) + i sin(x). Hvis de sædvanlige regneregler gælder, vil e x+i y = e x e i y, og man når frem til, at det giver god mening at definere følgende: Definition 13 Hvis det komplekse tal z = x + i y defineres den komplekse eksponentialfunktion e z ved e z = e x+i y = e x (cos(y) + i sin(y)). Da e i x = cos(x) + i sin(x) følger af sætning 5, at et komplekst tal kan skrives på polær form på denne måde: z = re iϕ, hvor r = z og ϕ = arg(z).

16 16 Komplekse tal En anden ting, man kan udlede, er, at der gælder e i = cos() + i sin() = 1 + i 0 = 1. Heraf ses sammenhængen e i + 1 = 0, som knytter de matematiske konstanter 0, 1, e, og i sammen. Den naturlige logaritme Når man har defineret den komplekse eksponentialfunktion, kan man definere den naturlige logaritme som den omvendte funktion. Der skal altså gælde, at ln(e z ) = z og e ln(z) = z. Man kan heraf udlede, at den komplekse logaritme har samme egenskaber, som den naturlige logaritme for reelle tal. Bl.a. gælder de sædvanlige logaritmeregneregler. Dette udnyttes til at bevise følgende sætning: Sætning 14 Den komplekse naturlige logaritme ln(z) er givet ved ln(z) = ln( z ) + i Arg(z). Bevis Et komplekst tal z kan altid skrives på polær form z = re iϕ, hvor r = z og ϕ = Arg(z). Heraf følger, at ln(z) = ln(re iϕ ) = ln(r ) + ln(e iϕ ) = ln(r ) + iϕ. Hermed er sætningen vist. Her følger et eksempel på, hvordan man beregner den naturlige logaritme til et komplekst tal: Eksempel 10 Hvad er ln(12 5i )? For at beregne dette skrives tallet 12 5i først om til polær form. Modulus er 12 5i = ( 5) 2 = 169 = 13. Hovedargumentet er Dvs. ( ) 12 cos 1 = 0, ln(12 5i ) = ln(13) + i ( 0,39) = 2,56 0,39i.

17 6 Kvaternioner 17 Eksponentialfunktionen og den naturlige logaritme kan bruges til at beregne a b, når a og b er vilkårlige komplekse tal. Der gælder nemlig, at a b = (e ln(a) ) b = e ln(a) b. Eksempel 11 Som et interessant eksempel udregnes i i. Da i har modulus 1 og argument 2 er ln(i ) = ln(1) + i 2 = 0 + i 2 = i 2. Derfor er i i = e ln(i ) i = e i 2 i = e i 2 2 = e 2 0,20788, som pudsigt nok er et reelt tal. De trigonometriske funktioner Fra definitionen på eksponentialfunktionen kan man udlede, at e i z = cos(z) + i sin(z) (2) e i z = cos( z) + i sin( z) = cos(z) i sin(z) (3) Hvis man trækker de to ligninger (2) og (3) fra hinanden fås e i z e i z = (cos(z) = i sin(z)) (cos(z) i sin(z)) = 2i sin(z). Lægger man i stedet de to ligninger sammen fås e i z + e i z = (cos(z) + i sin(z)) + (cos(z) i sin(z)) = 2cos(z). Dette giver følgende sætning: Sætning 15 De komplekse trigonetriske funktioner sin(z) og cos(z) er givet ved cos(z) = ei z + e i z 2 og sin(z) = ei z e i z. 2i Ud fra disse to funktioner kan man i øvrigt også beregne tangens, idet 6 Kvaternioner tan(z) = sin(z) cos(z). De sædvanlige reelle tal ligger på tallinjen, dvs. i én dimension. De komplekse tal ligger i planen, altså i to dimensioner. Man kan derfor overveje, om ikke det kan lade sig gøre at lave et talsystem i tre dimensioner. Det viser sig, at man kan vise, at dette ikke kan lade sig gøre.

18 18 Komplekse tal I 1843 fandt den irske matematiker W.R. Hamilton ud af, at man kan lave et talsystem i fire dimensioner. Disse tal kaldes kvaternioner, og mængden af kvaternioner kaldes H til ære for Hamilton. Det viser sig dog, at man må give køb på noget for at beskrive disse tal. For reelle og for komplekse tal gælder den såkaldte kommutative lov: a b = b a (den kommutative lov). Det viser sig, at når man skal definere kvaternionerne, kan man ikke lave et sammenhængende talsystem, med mindre man bryder med den kommutative lov. For kvaternioner gælder der altså, at rækkefølgen man ganger i, ikke er ligegyldig (!) Talsystemet er defineret på følgende måde: Definition 16 Mængden af kvaternioner H består af tal på formen q = a + ib + j c + kd, hvor a, b, c og d er reelle tal, og de tre imaginære enheder i, j og k opfylder i 2 = j 2 = k 2 = i j k = 1. Af definitionen kan man bl.a. udlede, at i j = k j k = i ki = j j i = k k j = i ik = j Addition og multiplikation er defineret på fuldstændig samme måde som for reelle og komplekse tal, blot skal man huske på, at den kommutative lov ikke gælder. For eksempel har man, at (2 6i + 3j + k) + (5 + i 7k) = 7 5i + 3j 6k. Multiplikation er temmelig besværligt, idet man kan ende med at skulle gange ret store parenteser sammen: ( 2 + 6i + 3j ) (1 i + 5j + 2k) = ( i ) 2 5j 2 2k + 6i 1 6i i + 6i 5j + 6i 2k + 3j 1 3j i + 3j 5j + 3j 2k = 2 + 2i 10j 4k + 6i 6i i j + 12ik + 3j 3j i + 15j 2 + 6j k = 2 + 2i 10j 4k + 6i k 12j + 3j + 3k i = i 19j + 29k.

19 7 Øvelser 19 7 Øvelser Opgave 1 Omregn følgende vinkler fra grader til radianer: a) 72 b) 10 c) 100 d) 20 e) 46 f) 73 Opgave 2 Omregn følgende vinkler fra radianer til grader: a) 8 b) 3 7 d) 0,629 e) 1,34 c) 4 9 Opgave 3 Løs følgende ligninger vha. et CAS-værktøj. Husk at regne i radianer. a) sin(x) = 1 b) cos(2x) = 1 2 c) 4cos(3x + 6) = 2 2 Opgave 4 Bestem differentialkvotienten af følgende funktioner: a) f (x) = cos(x) sin(x) b) g (x) = 6cos(x) c) h(x) = cos(x) sin(x) (NB: Husk at h(x) skal differentieres vha. produktreglen) Opgave 5 Tag udgangspunkt i notationen r ϕ for et reelt tal (f.eks. 4 i stedet for 4). Så kan multiplikation ifølge noterne defineres på følgende måde: (r ϕ) (s θ) = (r s) (ϕ + θ). Argumentér for, at denne måde at gange tal sammen på giver samme resultat som den sædvanlige multiplikation. Opgave 6 Vis, at for det komplekse tal z = r ϕ er 1 z = 1 r ϕ. Hint: Tag udgangspunkt i formlen z 1 z = 1. Opgave 7 Bestem produkterne a) (3 ϕ) (4 2 ) b) (6 3 ) (2 2 ) c) (1 2 ) (7 4 ) d) (2,3 0,34) (8,2 2,31)

20 20 Komplekse tal Opgave 8 Bestem summen af de to komplekse tal 1 2 og 3 4. Hint: Tegn en skitse. Opgave 9 Beregn a) (3 + i ) + (6 i ) b) (2 + 3i ) + ( 8 7i ) c) 4 + (6 i ) d) (3 + 2i ) (1 + i ) e) (5 3i ) ( 7 + i ) f) (4 + 2i ) 2 Opgave 10 Argumentér for, at z + w = z + w og z w = z w. Opgave 11 Omregn til algebraisk form a) 6 b) 7 4 c) 6,2 0,94 d) 8,34 3,0 Opgave 12 Omregn til polær form a) 3 + i b) 6 2i c) 8 + 4i d) 6,23 + 0,94i e) 13,6 + 26,8i Opgave 13 Beregn følgende a) 3+i 6 i 2+6i b) 1+3i c) 8 2i 2+8i Opgave 14 Beregn a) i 5 b) (6 + 2i ) 3 c) (8 3i ) 4 d) (2 + i ) 5 Opgave 15 Beregn de tre 3. rødder af 1, dvs Opgave 16 Beregn de fire 4. rødder af 1 + i, dvs i. Opgave 17 Løs ligningen z 2 = 5 12i.

21 7 Øvelser 21 Opgave 18 Løs ligningerne a) z 2 + 6z + 10 = 0 b) z 2 + 4z + 13 = 0 c) z z + 50 = 0 Opgave 19 Løs ligningerne a) z 2 (5 + 4i )z + ( i ) = 0 b) z 2 + (1 2i )z + (2 + 14i ) = 0 Opgave 20 Beregn a) e 3+i b) e 2+6i c) e 7i Opgave 21 Omskriv til formen re iϕ. a) 3 + 6i b) 7 2i c) 4i d) 0,37 13,2i Opgave 22 Beregn a) ln(6 + 2i ) b) ln(4 i ) ln ( 1 c) i) Opgave 23 Beregn a) (3 + i ) 2,3 b) 6 4 2i c) (9 i ) 2+i Opgave 24 Vis ved at beregne og (3 2i + 4j k) (3j + 5k) (3j + 5k) (3 2i + 4j k) at den kommutative lov ikke gælder for kvaternioner.

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Kursusnoter til BasisMat

Kursusnoter til BasisMat Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere