MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

Transkript

1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016

2 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette uddrag indeholder kapitel 5 som handler om funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge. Der vil blive foretaget beregninger samt illustrationer i CAS programmer herunder GeoGebra. Maple 2016 anvendes til de mere komplicerede udregninger, idet man forudsætter, at man kan anvende CAS til eksamen. For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne Side 1 ud af 11

3 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 STX matematik A niveau, kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge Opgave Der er givet en række oplysninger, således der anvendes lineære regression i Maple a) Asfsafas b) Der er givet en sammenhæng over grader celsius og grader fahrenheit. F = 1.8 t + 32 Man ønsker et udtryk som funktion af temperaturen, målt i grader fahrenheit. Derved isoleres t i ovenstående udtryk og indsættes i g(t). Derved har man trykket Pa, som funktion af grader fahrenheit. F 32 t = 1.8 Så indsættes det i g(t). F 32 g(t) = g(t) = F Som faktisk er et funktionsudtryk for trykket, målt i grader fahrenheit. Side 2 ud af 11

4 Opgave Der er givet en tabel over 3-slået polyester tovværk. Der er tale om en potensmodel, så der udføres potensregression i Maple a) Asffsa b) Hvis brudstykkes skal fordobles, så har man formlen F y = F x a Her er F y = (1 + r y ) og F x = (1 + r x ) Så man har (1 + 1) = (1 + r x ) Så diameteren skal være gange større = Side 3 ud af 11

5 Opgave Der udføres regression i Maple Der er tale om en eksponentiel model. a) Sfafsasfa b) Her indsættes på f(x) s plads = x x = x = x ln(1.1404) = ln ( ) ln (50000 x = ) ln(1.1404) = Så man har 1970 som begyndelsesåret, så i omkring 2002 vil mængden af unger være Side 4 ud af 11

6 Opgave Der er givet et skema over en rullepølse og fryse temperaturen i en fryser. Det hele defineres i Maple Desuden er der tale om en eksponentiel aftagende funktion. a) Asffsfasfas b) Først undersøges for en holdbarhed ved 18 o C. f( 18) = = Så holdbarheden er 125 dage. Nu løses en ligning for at finde ud af temperaturen, når holdbarheden er 180 dage. 180 = x x = x = x ln( ) = ln ( ) 180 ln ( x = ) ln( ) = Så temperaturen skal være ca. 21 o C. c) Halveringskonstanten findes T1 = ln (1 2 ) 1 2 ln(a) = ln ( 2 ) ln( ) = Så når temperaturen halveres, så falder holdbarheden med 6 dage. Nu anvendes formlen for eksponentiel vækst. r y = (a Δx 1) 100% = r y = ( ) 100 = % Så falder holdbarheden med % når temperaturen øges med 2 o C. Side 5 ud af 11

7 Opgave Der er givet oplysninger om søkøer og deres længder samt aldre. Der er tale om en potensudvikling. a) Saffsfasaasasfs b) Asffaaasffsafssfaasf Side 6 ud af 11

8 Opgave Opgave Det jo ikke overraskende, at modellen er en eksponentiel model. a) Her er det en god idé at anvende halveringskonstanten. T1 = ln (1 2 ) 2 ln(a) Det ses, at den eksponentielle model er af typen f(x) = b a x Hvor a = e = Så halveringskonstanten anvendes. T1 = ln (1 2 ) 2 ln(0.9614) = Så gammastrålens densitet halveres, når blyvæggen er 17.60mm Der er givet en model. a) Modellen f(t) = 3 3 e t Man kan antage, at man har et startpunkt, f(0) = 0 som funktion af tiden. Grafisk kan det se sådan ud: Det ses, at koncentrationen stiger op til 3mmol, for t Side 7 ud af 11

9 Opgave Der er givet en model om beskriver trykket i stratosfæren. Grænseintervallet er 11 h 25 Modellen er p(h) = 226 e 0.157(h 11) Her er h højden, målt i km. a) Her løses en ligning. 50 = 226 e 0.157(h 11) Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat. h = Her er højden 20.6km, når trykket er 50mb. b) Det tegnes grafisk. Det ses så, at 226 er det højeste tryk (mb), dette er i 11km s højde. Derved aftager den eksponentiel med 14.52% fordi a = 1 + r, a = e Man har en ligning e = 1 + r e = r r% = (e ) 100 = 14.52% Side 8 ud af 11

10 Opgave Først findes arealformlen for cirklen samt arealformlen for en rektangel. A rektangel = l b, A = x y (i vores tilfælde) Her er figuren. a) Det ses, at der kan dannes to retvinklede trekanter inde i rektanglen. Den ene trekant har længden x og den anden længde y samt hypotenusen 4. Her er Dem er der to af. x 2 + y 2 = 4 2 y = 16 x 2 y = 16 x 2 Man har så formlen for arealet af en rektangel. A = l b Her er b = x og l = y, så man har A(x) = x 16 x 2 Definitionsmængden er ]0; 4[ fordi den må ikke være større end cirklens diameter. Opgave Der er givet en masse oplysninger, som anvendes til regression af formen y = b x a. Dette udføres i Maple a) Sffsaasfsfa Fortsættes næste side Side 9 ud af 11

11 b) fsafasffas Dermed må dyret have en vægt på 110kg. Opgave Man ønsker en ny skulptur i Odense. Den er sammensat af en kegle og en kugle. a) Funktionsudtrykket er givet ved O(r) = π r 2 + π r 1 4 r 4 + r2 Man ønsker en redegørelse. Funktionen angiver overfladearealet for skulpturen. Radius for kuglen er V = (1 2 ) π = π 6 Så har man formlen for rumfanget af keglen, da den skal være ens. Her isoleres højden. π 6 = 1 3 π r2 h h = 1 2 r 2 Hvis man ser på sin figur over keglen, kan man se, at der dannes en retvinklet trekant, altså er hypotenusen sidelinjen s, højden h er katete 1 og r er katete 2. Altså har man s = r 2 + h 2 Hermed er O(r) = O grundflade + O krumme overflade = π r 2 + π r s Heri indsættes værdierne O(r) = π r 2 + π r r 2 + ( 1 2 r 2) 2 = O(r) = π r 2 + π r r r 4 Som faktisk beskriver overfladearealet af keglen som funktion af r. Fortsættes næste side Side 10 ud af 11

12 b) Modellen differentieres. π 1 O x (r) = 2 π x x2 + 1 π x ( x 5 + 8x) 1 x 4 + 4x2 Der løses en ligning for r. O (r) = 0 π 1 x 2 π x x2 + 1 π x ( x 5 + 8x) 1 = 0 x 4 + 4x2 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = Så har man nulpunktet for O (r). Det er tilsyneladende det tal, der gør overfladearealet mindst muligt. Dette indsættes i den oprindelige funktion. O( ) = π π ( ) = Højden derimod vil være indsættelse af den afledede s nulpunkt. Dette ses nedenfor: 1 h = = Så højden skal være 1.587m og radius skal være 0.561m Slut på kapitel 5 - Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge Kapitel 6 handler om Differentialregning og modellering med f fra bogen: Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Side 11 ud af 11