Plangeometri FORHÅNDSVIDEN. I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan.

Transkript

1 Plangeometri I dette kapitel skal du arbejde med plangeometri. Plangeometri handler om figurer og egenskaber ved figurer i en plan. I den første del af kapitlet skal du arbejde med trekanter, hvor du skal bruge din viden om trekanter til at beregne afstande, som du ikke kan måle. u skal også lære at bruge Pythagoras læresætning. u skal i den sidste del af kapitlet lære, hvordan du kan argumentere og bevise forskellige sammenhænge i forbindelse med trekanter og linjer ved trekanter. MÅL, FGOR OG EGREER Målet er, at du: kan undersøge og argumentere for kongruens eller ligedannethed ved trekanter kan bruge din viden om linjer ved trekanter til at beregne afstande, som du ikke kan måle kan anvende Pythagoras læresætning til beregninger kan argumentere for og følge enkle beviser kan formulere sætninger om sammenhænge inden for plangeometri. u skal arbejde med: kongruens ligedannethed topvinkler ensliggende vinkler Pythagoras læresætning Pythagoræiske tripler FORHÅNSVIEN u skal bruge et digitalt værktøj til nogle af opgaverne på dette opslag. l OPGVE 1 Tegn to parallelle linjer l og m. Tegn en vilkårlig trekant, hvor grundlinjen ligger på linjen m og toppunktet på linjen l. Find arealet af trekanten. Undersøg arealet af forskellige trekanter med samme grundlinje ved at flytte toppunktet på linjen l. Hvad opdager du? Forklar hvorfor. m

2 PLNGEOMETRI 17 KTIVITET EGREER ktivitet for to til tre personer. Materialer: egreber og navngivning (xx) og et digitalt værktøj. I denne aktivitet skal I løse forskellige opgaver, der handler om begreber og navngivning knyttet til forskellige plangeometriske figurer. Til aktiviteten hører otte kort, hvorpå der er beskrevet en opgave. EL 1 Klip begrebskortene ud, og læg dem på bordet, så I kan se, hvad der står på dem. Træk på skift et kort. Læs opgaven, og tegn evt. en skitse på papir af den beskrevne figur. Løs opgaven på kortet i fællesskab ved hjælp af et digitalt værktøj. E Når I er enige om, at opgaven på kortet er løst, så gemmer I jeres besvarelse. F Træk herefter en ny opgave. G Hvis der er opgaver, som I ikke kan besvare, så lægger I dem til side. OPGVE 2 I en ligesidet trekant er siderne 6 cm. realet af trekanten er 15,6 cm 2. eregn højden i trekanten. ngiv vinklerne i trekant. Tegn en stumpvinklet og retvinklet trekant med samme areal. h OPGVE 3 Frode har en rektangulær have på 260 m 2, og længden af haven er 13 meter. Haven skal deles i to lige store dele med en hæk som vist på tegningen herunder. EL 2 Sæt jer sammen med en anden gruppe. Hver gruppe trækker på skift et kort, og viser og forklarer, hvordan de har løst opgaven på kortet. Opgaver, der evt. ikke er blevet løst i EL 1, kan I nu i fællesskab se, om I kan løse. Hvis I stadig ikke kan løse opgaven, så afleverer I den til jeres lærer. I kan evt. afslutningsvis få jeres lærer eller en anden gruppe til at gennemgå opgaven. Lav en liste over, hvilke begreber og fagord I har arbejdet med i aktiviteten. Hvor bred er haven? Forklar, hvorfor hækken deler haven i to lige store dele. Undersøg, hvor mange meter hæk Frode skal plante for at dele haven. Forklar for din makker, hvordan du fandt frem til hvor mange meter hæk, Frode skal plante. Frode vil gerne plante så lidt hæk som muligt. erfor vil han gerne vide, hvordan han kan bevare en firkantet have på 260 m 2, men med så kort en hæk som muligt. E Undersøg, hvordan Frodes have kan se ud, så han skal plante så lidt hæk som muligt. F Find længden af havens sider og hækken, som Frode skal plante.

3 18 PLNGEOMETRI TEORI KONGRUENTE TREKNTER OG LIGENNEE TREKNTER To geometriske figurer kaldes kongruente, når de kan dække hinanden punkt for punkt. I skal bruge et digitalt værktøj til nogle af opgaverne på dette opslag. OPGVE 4 Tegn to ensvinklede trekanter, og undersøg om trekanterne er ligedannede. Forklar, hvorfor/hvorfor ikke. kongruente. Forklar, hvorfor/hvorfor ikke. OPGVE 5 Tegn en vilkårlig trekant. Tegn derefter tre- 1 c a b kant, så siderne i denne trekant er dobbelt så lange som siderne i trekant, dvs. = 2, = 2 og = 2. Mål vinklerne i de to trekanter. Hvad opdager du? Undersøg, om det samme ser ud til at gælde for alle trekanter, hvor sidelængderne i den ene er lig med sidelængderne i den anden ganget med et tal. c 1 b 1 OPGVE 6 På tegningen er og E parallelle a 1 1 4,2 To figurer er ligedannede, hvis de to figurer enten er kongruente eller, hvis den ene er en forstørrelse af den anden. E c a b c a 1 b 1 1 Hvor stor er,, E og E? Forklar, hvorfor trekant og trekant E er ligedannede. Hvor lang er siden E? eregn arealerne af trekant og af trekant E. E Undersøg sammenhængen mellem arealerne i andre par af ligedannede trekanter, når sidelængderne fordobles. F Skriv en regel for, hvad der ser ud til at gælde for trekantens areal, når siderne fordobles.

4 PLNGEOMETRI 19 UNERSØGELSE KONGRUENS Undersøgelse for to personer. Materialer: Et digitalt værktøj. I skal undersøge og formulere sætninger om, hvilke sider/vinkler det er tilstrækkeligt at kende, for at afgøre om to trekanter er kongruente. er kan formuleres sætninger om kongruente trekanter, fx: To trekanter er kongruente, når siderne er parvis lige store. I geometri bruges ordet mellemliggende til at beskrive vinklers og siders indbyrdes beliggenhed. I trekant er siden c den mellemliggende side til vinkel og vinkel. Vinkel er den mellemliggende vinkel til siderne a og b. EL 1 Tegn to trekanter, hvor to sider og den mellemliggende vinkel er parvis lige store. Undersøg om trekanterne er kongruente. Gentag punkt og med to nye trekanter. Skriv en sætning for, hvad der ser ud til at gælde for to trekanter, hvor to sider og den mellemliggende vinkel er parvis lige store. EL 2 Tegn to trekanter, hvor to vinkler og en mellemliggende side er parvis lige store. Undersøg om trekanterne er kongruente. Gentag punkt og med to nye trekanter. Skriv en sætning for, hvad der ser ud til at gælde for to trekanter, hvor to vinkler og en mellemliggende side er parvis lige store. c b a EL 3 Tegn to trekanter, hvor alle vinkler er parvis lige store. Undersøg om trekanterne er kongruente. Gentag punkt og med to nye trekanter. Skriv en sætning for, hvad der ser ud til at gælde for to trekanter, hvor alle vinkler er parvis lige store. OPGVE 7 Undersøg på samme måde som i undersøgelsen KONGRUENS om hver af nedenstående påstande er sande eller falske. Forklar hvorfor/hvorfor ikke. Hvis påstanden er falsk, så vis med et eksempel, fx en skærmvideo, hvorfor den er falsk. lle trekanter, der har to ens vinkler, er ligedannede. lle ligesidede trekanter er ligedannede. lle trekanter, der har tre ens vinkler er kongruente. lle retvinklede trekanter er ligedannede.

5 20 PLNGEOMETRI TEORI TOPVINKLER OG ENSLIGGENE VINKLER TOPVINKLER To vinkler, hvis ben ligger i forlængelse af hinanden, kaldes topvinkler. Topvinkler er lige store. ENSLIGGENE VINKLER VE PRLLELLE LINJER. Når to parallelle linjer m og n skæres af en tredje linje p, så er de ensliggende vinkler lige store. p m n u skal arbejde sammen med din makker om opgaverne på denne side. OPGVE 8 x u v y Hvilke af vinklerne på tegningen er topvinkler? Forklar, hvorfor det må gælde, at x + u = 180 og x + v = 180. rug jeres viden fra spørgsmål og forklar, hvorfor topvinklerne u og v er lige store. OPGVE 10 Undersøg om de to påstande herunder ser ud til at gælde. egrund dine svar. rug evt. et digitalt værktøj. Hvis to linjer skæres af en tredje på en sådan måde, at de ensliggende vinkler er lige store, så er linierne parallelle. Hvis to ikke ikke-parallelle linjer skæres af en tredje linje, så er de ensliggende vinkler ikke lige store. OPGVE 9 d a c b h e g f Linjerne l og m er ikke parallelle. Hvilke par af vinkler er topvinkler? er ensliggende?

6 PLNGEOMETRI 21 OPGVE 12 På skitsen herunder er linjestykkerne og parallelle. OPGVE 14 På en solskinsdag kaster Maja, som er 1,6 m høj, en skygge på 1 m. Træet, som hun står ved siden af, kaster en skygge på 5,6 m. 9 8 E 131,63 4 eregn længden af linjestykket. Skriv de manglende vinkelstørrelser i E og E. Forklar, hvordan du fandt de manglende vinkler i opgave. rug mindst tre af følgende fagord og begreber i din forklaring: vinkelret, parallel, topvinkler, ligedannede trekanter, ensliggende. OPGVE 13 På skitsen er linjestykkerne og E parallelle. Linjestykket er 8, ,22 8 Tegn en skitse af situationen. Hvordan kan du beregne højden af træet? egrund dit svar. Hvor højt er træet? OPGVE 15 På en biltur i ustralien kører Ida og Per mod yers Rock, som rejser sig næsten lodret over den flade australske ørken. e kan netop se solen forsvinde bag klippens højeste punkt. På GPS en kan de se, at der er 2200 m til klippens fod. e sidste solstråler gør Pers skygge 11,5 m lang. Per er 1,73 m høj. Tegn en skitse af situationen. eregn højden af yers Rock ud fra oplysningerne i opgaven. 77 E eregn længden af linjestykket. Skriv de manglende vinkelstørrelser i E og E. Forklar, hvordan du fandt de manglende vinkler i opgave. rug mindst tre af følgende fagord og begreber i din forklaring: vinkelret, parallel, topvinkler, ligedannede trekanter, ensliggende. YERS ROK

7 22 PLNGEOMETRI TEORI RETVINKLEE TREKNTER OG PYTHGORS SÆTNING OPGVE 16 eregn ved hjælp af Pythagoras sætning de manglende sider. 8, PYTHGORS 5 13,3 I en retvinklet trekant har siderne nogle bestemte 11,3 navne. e to sider, der er de hosliggende sider til den rette vinkel kaldes for kateter, og den modstående side kaldes for hypotenusen. Hypotenuse Katete OPGVE 17 En ligesidet trekant har sidelængden s = 5. 5 h 5 Katete PYTHGORS SÆTNING Pythagoras var en græsk filosof og matematiker, der levede i ca. år f.kr. Pythagoras sætning handler om sammenhængen mellem sidelængderne i en retvinklet trekant. I en retvinklet trekant, hvor vinkel er den rette vinkel, gælder det for sidelængderne a, b og c, at a 2 + b 2 = c 2. c a b rug Pythagoras sætning til at vise, at højden i trekanten er h = Find arealet af trekanten. I en vilkårlig ligesidet trekant kalder vi sidelængden s. s s h s 2 s rug Pythagoras sætning til at vise, at højden i trekanten er h = s 2 3. enne formel giver arealet af en ligesidet trekant 3 med sidelængden s: = 2 ss 2 Kan I forklare, hvorfor formlen er rigtig?

8 PLNGEOMETRI 23 UNERSØGELSE LÆNGER PÅ SØMRÆT Undersøgelse for to personer. Materialer: Sømbræt, sømbrætpapir og elastikker. I skal undersøge, hvor mange forskellige længder I kan finde på et sømbræt med 5 x 5 søm. Herunder kan I se to forskellige længder på sømbrættet. OPGVE 18 Peter skal lægge en rektangulær fliseterrasse. en længste side skal være 8 meter, og den korteste side skal være 6 meter. Forklar, hvordan Peter med en snor på 10 meter kan sikre sig, at terrassen er rektangulær. OPGVE 19 er skal sættes en tværstiver på en havelåge, som er 80 cm høj og 1,1 m bred. Ole har et stykke træ, der er 140 cm langt. Har Ole nok til tværstiveren? EL 1 Find længden af den grønne og den orange elastik, der er vist på sømbrættet herunder. Undersøg, hvor mange forskellige længder I kan finde på et sømbræt. Tegn dem ind på et sømbrætpapir. eregn de forskellige længder. Forklar for en anden gruppe, hvordan I har undersøgt antallet og beregnet de forskellige længder. OPGVE 20 Undersøg, om du kan bruge Pythagoras sætning til at finde de manglende sider i en retvinklet trekant, når du kender længden af begge kateter. hypotenusen, og du ved, at trekanten er ligebenet. én katete og størrelsen af to vinkler én katete og hypotenusen.

9 24 PLNGEOMETRI TEORI EN OMVENTE PYTHGO- RÆISKE LÆRESÆTNING OG PYTHGORÆISKE TRIPLER I Pythagoras sætning er udgangspunktet en retvinklet trekant. Når du ved, at trekanten er retvinklet, og du kender to af siderne, kan du beregne den tredje. I den omvendte læresætning kan du afgøre, om en trekant er retvinklet, når længden af alle sider er kendt. EN OMVENTE PYTHGORÆISKE LÆRESÆTNING Hvis summen af kvadraterne på de to korteste sider er lig med kvadratet på den længste side, så er trekanten er retvinklet. En trekant har sidelængderne 5, 9 og 13. For at afgøre om trekanten er retvinklet, sammenlignes summen af kvadraterne på de to korte sider med kvadratet på den længste side: = = = 169 e to tal er forskellige, så trekanten er ikke retvinklet. OPGVE 21 Her er sidelængderne i forskellige trekanter. Undersøg, hvilke af disse trekanter der er retvinklede. 3, 7 og 9 5, 12 og 13 10, 24 og 26 4; 4,64 og 6,19 OPGVE 22 En retvinklet, ligebenet trekant har et areal på 50 cm 2. eregn trekantens sidelængder. OPGVE 23 Herunder er vist de stier, som ske løber på, når han løber sin daglige tur. ske ved, at stien E er 500 m lang. Han ved desuden, at stien står vinkelret på stien. Han påstår, at også stien E står vinkelret på. Vis med en beregning, at ske har ret. Find to ensvinklede trekanter på figuren og forklar, hvordan du kan beregne længden af stien. enyt din forklaring til at beregne længden. En dag løber ske to runder på ruten. Han påstår, at han derved løber over 3,5 km. eregn, om ske har ret i sin påstand. E En dag løber han ruten: E. Hvor lang er hans løbetur? F Foreslå en rute, så ske får en løbetur på mellem 5 og 6 km. Ruten skal starte og slutte i. E 300 m 400 m 200 m

10 PLNGEOMETRI 25 TEORI PYTHGORÆISKE TRIPLER En pythagoræisk tripel (a, b, c) er tre naturlige tal, a, b og c, som opfylder, at a 2 + b 2 = c 2. Tallene i en pythagoræisk tripel kan være sidelængder for kateterne og hypotenusen i en retvinklet trekant. (3, 4, 5) er et eksempel på en pythagoræisk tripel. Når 3 og 4 er længderne af kateterne i en retvinklet trekant, vil 5 være længden af hypotenusen UNERSØGELSE PYTHGORÆISKE TRIPLER Undersøgelse for to personer I skal undersøge forskellige pythagoræiske tripler. Taltriplen (3, 4, 5) er en pythagoræisk tripel, fordi: = 5 2 EL 1 Undersøg, om taltriplen (6, 8, 10) er en pythagoræisk tripel. Forklar, hvorfor triplerne (3, 4, 5) og (6, 8, 10) er sidelængder i to ligedannede, retvinklede trekanter. Skriv andre pythagoræiske tripler, som er ligedannede med triplen (3, 4, 5). EL 2 et kan være tidskrævende, hvis man skal prøve sig frem for at finde frem til forskellige pythagoræiske tripler. Undersøg om denne opskrift leder frem til pythagoræiske tripler. Prøv med fem forskellige ulige tal. 1. Vælg et ulige tal større end 1. ette tal er længden af den ene katete. 2. Udregn tallets kvadrat. 3. Træk 1 fra tallets kvadrat. 4. Halver resultatet i punkt 3. ette tal er længden af den anden katete. 5. Læg én til tallet fra punkt 4. ette tal er længden af hypotenusen. I har nu fem forskellige pythagoræiske tripler. an nye tripler med udgangspunkt i disse fem tripler. Forklar, hvordan I kommer frem til de nye tripler. Formuler en generel opskrift til at finde pythagoræiske tripler. I kan kalde det ulige tal større end 1 for n. E rgumenter for, at der er uendelige mange pythagoræiske tripler. OPGVE 24 Hvilke af følgende tal kan være de to mindste tal a og b i en pythagoræisk tripel? 39 og og 5 35 og og 182

11 26 PLNGEOMETRI TEORI MTEMTISK EVIS I matematik er det vigtigt at kunne argumentere for resultater og påstande. Når en matematisk argumentation om en påstand ikke kan modsiges af andre, kaldes den et bevis. Påstand: Vinkelsummen i enhver trekant er 180. u kan undersøge vinkelsummen i trekanter på forskellig vis. u kan fx tegne forskellige trekanter, måle vinklerne og lægge vinklernes gradtal sammen. et ser ud til, det altid vil give 180. u kan også klippe hjørnerne af trekanterne, og når de sættes sammen, danner de en lige vinkel det vil sige en vinkel på 180. Ud fra resultaterne af undersøgelsen, kan man formulere en foreløbig teori eller en sandsynlig antagelse om vinkelsummen i en trekant. et kaldes også en hypotese. Når man gerne vil bevise noget, så handler det om at slå helt fast, at en hypotese er sand. Hvis man kan bevise, at hypotesen er sand, så har man en matematisk sætning. En matematisk argumentation er bygget op af tidligere beviste sætninger, samt forklaringer og begreber som fx lige vinkel og parallel med. erfor er det nødvendigt, at gøre sig klart, hvilke forudsætninger der bruges i beviset. UNERSØGELSE VINKELSUM I TREKNTER ET EVIS Undersøgelse for to personer. Materialer: digitale værktøjer. I skal arbejde med et geometrisk bevis. I dette kapitel har i tidligere arbejdet med nogle af de definitioner, som er forudsætninger for at bevise følgende påstand: Vinkelsummen i enhver trekant er 180. EL 1 Undersøg og forklar ved hjælp at tegninger følgende forudsætninger: Forudsætning 1 Vi har en linje l og et punkt P, der ligger udenfor denne linje. er findes én og kun én linje gennem P, der er parallel med l. Forudsætning 2 Ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store. Forudsætning 3 Topvinkler, som dannes, når to linjer skærer hinanden, er lige store. EL 2 rug forudsætningerne fra EL 1 til at diskutere, hvordan I ud fra tegningen herunder kan bevise, at vinkelsummen i en trekant altid er 180. b c v 1 v 2 v 3 På tegningen er tegnet en vilkårlig trekant. Linjen m er tegnet parallelt med linjestykket. Siderne a og b er forlænget, så der opstår tre nye vinkler v 1, v 2 og v 3. I kan i jeres argumentation fx undersøge, hvorfor summen af v 1, v 2 og v 3 er 180. hvilke vinkler der er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. hvilke vinkler der er topvinkler. Gennemgå jeres bevis for en anden gruppe. Er beviset overbevisende? Forklar, hvorfor/ hvorfor ikke. a m

12 PLNGEOMETRI 27 u skal arbejde sammen med din makker, og I kan evt. bruge et digitalt værktøj til opgaverne. OPGVE 28 OPGVE 26 I en ligesidet trekant er siderne 10 cm. M O N E rgumenter for, at højden deler trekant i to kongruente trekanter. eskriv forholdet mellem sidelængderne og E. Forklar, hvorfor trekant E og trekant E også kaldes en trekant. Formuler en sætning om sammenhængen mellem den korteste katete og hypotenusen i en trekant. OPGVE 27 Linjen MN i trekant er en midtpunktstransversal. Linjen går fra midtpunktet af til midtpunktet af. En midtpunktstransversal er parallel med trekantens grundlinje. I trekanten er to af medianerne tegnet. er bliver derved dannet to trekanter MON og O. MN er midtpunktstransversal, og den er derfor parallel med grundlinjen. efiner en median. Undersøg og argumenter for eller i mod følgende påstande: Trekant MON og O er ligedannede trekanter. Siderne i trekant O er dobbelt så lange som siderne i trekant MON. E Forklar for et andet makkerpar, hvordan I har argumenteret. I kan evt. lave en skærmvideo. OPGVE 29 I den retvinklede trekant er indtegnet højden fra vinkel. Højden deler trekanten i to mindre trekanter og. M N Undersøg og argumenter for eller i mod følgende påstande: Trekant og trekant MN er ligedannede trekanter. Siden er dobbelt så lang som MN. Forklar for et andet makkerpar, hvordan I har argumenteret. I kan evt. lave en skærmvideo. Undersøg og argumenter for eller i mod følgende påstande: Trekanterne og er ligedannede. Trekanterne og er ligedannede. Trekanterne og er ligedannede trekanter.

13 28 PLNGEOMETRI UNERSØGELSE REGULÆRE POLYGONER OG FLEÆKNING Undersøgelse for to personer. Materialer: Et dynamisk geometriprogram, evt. kopiark xx og xxx og en saks. I skal undersøge, hvilke regulære polygoner, I kan bruge som fliser på en terrasse. EL 1 I skal først repetere en viden, I har: Skriv en forklaring på, hvad en polygon er en definition. Skriv en forklaring på, hvad en regulær polygon er en definition. EL 2 Vinkelsummen i en n-kant er V n = (n 2) 180. rug denne formel til at udfylde dette skema: ntal kanter n Vinkelsum egrund, at vinkelstørrelsen i en regulær n-kant er n. rug denne formel til at udfylde dette skema over vinkelstørrelsen i en regulær 3-kant, 4-kant,, 10-kant: ntal kanter n Vinkelsstørrelse EL 3 t en geometrisk figur kan bruges som flise betyder, at den er fladedækkende, dvs. at man kan dække en flade med figurer med samme form, uden at der er mellemrum mellem figurerne og uden, at de overlapper hinanden. Fliserne skal lægges, så vinkelspidserne støder sammen i en hjørnesamling. Undersøg, hvilke regulære polygoner, der kan bruges som fliser. Formuler en regel for, hvornår en regulær polygon kan være fladedækkende. Udfyld dette skema: Hjørnesamling ntal kanter Fladedækkende? ja/nej ntal polygoner i en samling: Vinkelstørrelse i polygonen: en samlede vinkelsum i en samling

14 PLNGEOMETRI 29 UNERSØGELSE FIRKNTER OG TESSELERING OPGVE 31 Trekanten over vinduet er ligedannet med den markerede trekant. Tagets hældning er 45. Undersøgelse for to personer Materialer: karton, limstift, saks, Firkanter og tesselering 1 og 2 (Ux og Ux) og, et geometriprogram Tessselering betyder ligesom fladedækning at man fylder hele fladen ud uden huller og overlap. I skal arbejde med forskellige firkanter og undersøge, om de kan tesselere. EL 1 Lim firkanterne fra arket Firkanter og tesselering 1 (Ux) på karton, og klip dem ud, så I har nogle kongruente firkantede brikker. Skriv numre (1, 2, 3 og 4) på vinklerne, således at lige store vinkler får samme nummer. Skriv på begge sider af brikkerne. Undersøg nu, om firkanterne kan tesselere. I må vende og dreje firkanterne, som I vil. Gør det samme med firkanterne på arket Firkanter og tesselering 2 (Ux) Tegn selv en række kongruente firkanter (brug evt. en kopimaskine), og undersøg om de tesselerer. eskriv forskellige forhold vedrørende vinkler og sider i de to trekanter. eregn husets højde h. OPGVE 32 EL 2 rug et geometriprogram til at tegne en firkant, som I kan kopiere og vende og dreje. Kan jeres firkant tesselere? Forklar, hvad der ser ud til at gælde med hensyn til firkanter og tesseleringer. OPGVE 30 I en regulær polygon er hver vinkel 150. Hvilken regulær polygon har denne vinkelstørrelse? Hvad er vinkelsummen i polygonen? illedet viser indgangspartiet til et gammelt bindingsværkshus. Længderne = E, og E er vinkelret på. Træstykket i trekanten E deler i to lige store vinkler. Undersøg det øverste af gavlen og argumenter for, at der er ligedannede og kongruente trekanter. Se på billedet af indgangspartiet og find andre eksempler på ligedannethed og kongruens. rgumenter for dine fund.

15 30 PLNGEOMETRI TEM HØJEMÅLINGER Tema for fire til seks personer. Materialer: Højdemålinger (xxx), målebånd, tommestok, klinometer eller teodolit til vinkelmåling, digitalt værktøj, solskinsdag. I skal måle højden af bygninger, træer, flagstænger og lign. Til målingerne skal I bruge forskellige målemetoder. På arket Højdemålinger (X)) er de forskellige metoder beskrevet, så I ved, hvordan I skal bruge dem. et kan være en god idé at tage arket med ud, når I skal måle de forskellige højder. Metode 1: rug solen Metode 2: rug jeres højde I skal bruge de metoder, der er vist til høje. I nogle af metoderne kan I finde højden ud fra jeres målinger, og i andre er I nødt til, efter I har foretaget jeres målinger, at lave en tegning i et bestemt målestoksforhold, og derved finde frem til, hvor højt træet er ved at måle på tegningen. EL 3 Find to forskellige ting, som I i gruppen ønsker at finde højden på, fx træ, husmur, flagstang, elmast eller lignende. el jer i to mindre grupper, hvor hver gruppe finder højden på de to genstande med to forskellige metoder. et vil sige, at de to genstande måles ved hjælp af alle fire metoder. I kan evt. filme, hvordan I foretog målingerne. Sammenlign de fundne højder, og diskuter, hvordan I i de mindre grupper har foretaget jeres målinger og er kommet frem til resultatet. Hvorfor kan der være forskel i de fundne højder med de forskellige metoder? Hvordan har I foretaget jeres beregninger? Vis evt. ved hjælp at tegninger, hvordan I har fundet de forskellige højder. Metode 3: rug et klinometer Metode 4: rug en målepind

16 PLNGEOMETRI 31 EVLUERING På denne side skal I enten bruge arket egreber og fagord - Plangeometri (Exx) eller jeres egen begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værktøjer. OPGVE 1 I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire elever sammen. Lav syv kort. Skriv ét af følgende TOPVINKLER begreber på hvert kort: LIGENNETHE PYTHGORS LÆRESÆTNING MTEMTISK EVIS ENSLIGGENE VINKLER PYTHGORÆISKE TRIPLER KONGRUENS Læg kortene på bordet, så I kan se dem. Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når alle i gruppen har forstået begrebet, så lægges kortet til side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter til alle begreber er forklaret og forstået. et kan være en god ide at skrive stikord til de enkelte begreber undervejs. Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller forstå, så hænger I kortene med disse begreber op på tavlen. E Når alle grupper har forklaret de begreber, de kan, så skal begreberne på tavlen forklares for hele klassen. et kan være en elev eller læreren, der hjælper med at forklare begrebet. OPGVE 2 For hvert af de syv begreber, du lige har arbejdet med, skal du vise et eksempel eller en tegning. skrive din egen forståelse af begrebet. I skal løse opgaverne herunder ved at bruge arket Egenskaber ved kvadrat (EX), hvor kvadratet er vist i en større udgave. Punkterne E, F, G og H er sidemidtpunkter i kvadratet. Tal med din makker om, hvordan I løser opgaverne. F I O P G M J H N L K E OPGVE 3 Sidelængden i kvadratet er 10 cm. eregn længden af siden E. arealet af trekant E. arealet af trekant GM. OPGVE 4 Sidelængden i kvadratet har længden s. Skriv en formel, hvor I bruger s til beregning af arealet af trekanterne E og GM. estem en formel til beregning af længden E, hvor kvadrates sidelængde s indgår. OPGVE 5 Undersøg og giv en forklaring på, hvorfor de to vinkler, der er markeret med rødt, er lige store. de to vinkler, der er markeret med grønt, er lige store. trekant KJ og JI er kongruente. trekanterne F og MFJ er ligedannede trekanter.

17 32 PLNGEOMETRI TRÆN 1 FÆRIGHEER OPGVE ,5 5 OPGVE 3 eregn de ukendte sidelængder ved hjælp af Pythagoras sætning. 5, c a 3, ,9 b ,3 b ,5 Figurerne er parvis ligedannede. Hvad er længdeforholdet mellem de to trekanter? firkanter? Skriv de manglende vinkelstørrelser og sidelængder på hver figur. 6,6 OPGVE 4 Herunder er angivet de tre sidelængder i en række trekanter. eregn, hvilke af disse trekanter der er retvinklede (6, 8, 10) (18, 24, 30) (7, 15, 17) (5, 12, 13) E (10, 24, 26) F (4, 7, 9) OPGVE 2 Linjerne l og m er parallelle. er ligebenet med en grundlinje på linjen m. OPGVE 5 eregn diagonalen i et rektangel, når siden er 13 cm og siden er 20 cm. OPGVE 6 E l m er retvinklet, og vinkel er den rette vinkel. Tegn evt. en skitse og beregn den manglende side i hver af følgende trekanter. a = 9 og b = 12 a = 5 og b = 8 a = 7 og c = 11 c = 2,2 og b = 1,7 Tegn en stor skitse af figuren. Marker på tegningen, hvilke par af vinkler der er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. topvinkler. Hvilke trekanter er ligedannede? OPGVE 7 I en retvinklet trekant er den ene katete 5 cm, og hypotenusen er 13 cm. Hvad er trekantens omkreds? Hvad er trekantens areal?

18 PLNGEOMETRI 33 TRÆN 2 FÆRIGHEER OPGVE 1 E 20 18,25 c 6 OPGVE 3 Herunder er angivet de tre sidelængder i en række trekanter. eregn, hvilke af disse trekanter der er retvinklede (5, 10, 125 ) (5, 18,75 ; 2,5) (5,2; 16,45 ; 3,2) (3,4; 5; 6,05) E (1; 2; 2,24) 6,3 108,5 83 E 8 81 Figurerne er parvis ligedannede. Hvad er længdeforholdet mellem de to femkanter? Skriv de manglende sidelængder på hver figur. Skriv de manglende vinkelstørrelser markeret med blåt. OPGVE 2 OPGVE 4 er retvinklet, og vinkel er den rette vinkel. Tegn evt. en skitse og beregn den manglende side i hver af følgende trekanter. eregn diagonalen i et rektangel, når siden er 13 cm og siden er 20 cm. OPGVE 6 er retvinklet, og vinkel er den rette vinkel. Tegn evt. en skitse og beregn den manglende side i hver af følgende trekanter. a = 7,2 cm og b = 9,3 cm a = 375 m og b = 842 m a = 6 m og c = 10 m c = 8,54 m og b = 8 m G E F er ligesidet med sidelængden 4. Trekantens tre højder er tegnet ind. Linjestykket EF er parallelt med siden og går gennem højdernes skæringspunkt. Forklar, hvorfor og EF er ligedannede trekanter. Højden i trekanten er 3,46 cm. Højden er delt af linjestykket EF. fstanden G er 2 3 af længden af hele højden.. eregn højden af EF. eregn længden af E. eregn længden af EF. OPGVE 5 Til en drage skal bruges to pinde, som dragedugen kan spændes op på. Midtpunktet af den mindste pind placeres på den største i et punkt, der deler den største i forholdet 1:2. en mindste pind er 60 cm lang. eregn, hvor mange cm den største pind skal 30 cm være i alt. eregn længden af den blå tape, der er sat langs dragens kanter.

19 34 PLNGEOMETRI TRÆN 1 PROLEMLØSNING OPGVE 1 Et gyngestativ har en -konstruktion i siderne, og det gælder, at: Længden af er lig med længden af. Højden F på gyngestativet er 3 m, og afstanden fra bunden til tværbjælken er 1 m. Tværbjælken E er 1,6 m. eregn afstanden. eregn længden af alle stolperne til konstruktion af en side i gyngestativet. rgumenter for, at = og E at =. OPGVE 2 Trappestigen med 2 x 6 trin har en højde fra gulv til øverste platform på 135,3 cm og afstanden mellem trinnene er 24 cm. 20 OPGVE 3 Helle har skåret en træplade ud med målene 54 x 42 cm. Hun har kun et målebånd og en lommeregner. Hvordan kan Helle finde ud af, om pladen er retvinklet? Helle måler diagonalen til 65,5 cm. Undersøg, om træpladen er retvinklet. Helle vil skære en ny træplade med målene 50 x 75 cm. Hvor lang skal diagonalen være, for at træpladen er retvinklet? OPGVE 4 En stålkonstruktion til en elmast er som vist på tegningen. (Se også kopiark xx). Linjestykkerne E og HF er parallelle. H 1,37 m 4,52 m 3,80 m 2,27 m 3,54 m 1,00 m 2,00 m 2,50 m E 3,22 m F 3,57 m G 240 mm 1100 mm rgumenter for at trekanterne E og HF er ligedannede trekanter. eregn omkredsen af de to trekanter. rgumenter for at de to orange vinkler er lige store. Undersøg om siden står vinkelret på siden E. Hvor høj er trappestigen i sammenfoldet tilstand? eregn afstanden mellem stigens ben ved gulvet, når den er foldet helt ud. Stigen fås også med 2 x 4 og 2 x 3 trin. fstanden mellem trinnene er den samme på alle stiger. eregn de to stigers højde i udfoldet og i sammenklappet tilstand. eregn afstanden mellem stigernes ben ved gulvet. OPGVE 5 u skal forestille dig, at du står på toppen af Mount Everest og kigger ud mod horisonten. Hvor langt er der ifølge ovenstående tegning til horisonten? 8848 m 6371 km

20 PLNGEOMETRI 35 TRÆN 2 PROLEMLØSNING OPGVE 1 OPGVE 3 F E Sekskanten på illustrationen er konstrueret så FE er parallel med og. er gælder F = og E =. rgumenter for, at arealet af firkant er lig med arealet af firkant FE. Hvilke betingelser skal være opfyldt, hvis og E i FE skal være lige store. rgumenter for at trekanterne E og er kongruente. OPGVE 2 eskriv en metode til at beregne afstanden over vandløbet. enyt din metode til at beregne afstanden. OPGVE 4 2,5 m 12,2 m 5 m 7 m En smal gade er 7 meter fra husmur til husmur på tværs af gaden. En stige står lænet op ad den ene husmur. Stigen står 2,6 meter fra den husmur, som stigen står op ad. Stigen når op til underkanten af vinduet, som er 6,5 meter over gaden. Tegn en skitse af situationen, og beregn længden af stigen. Stigen vippes over til husmuren overfor. (en bliver stående samme sted på gaden). Hvor langt når stigen op ad dette hus? På en festival rejses en høj mast, som skal fungere som mødested for festivalgæsterne. en er afstivet med barduner, som er fæstnet i jorden 7 m fra mastens fod. ardunerne er ligeledes fæstnet på selve masten - den korteste 5 m oppe. Hvor lang er den korteste bardun, der er fæstnet 5 m oppe? Hvor højt oppe er den længste bardun fæstnet? Hvor høj er masten? Hvor mange meter barduner skal der bruges i alt, når der i hver ende af bardunerne skal bruge 25 cm til at fastgøre bardunen?