5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve"

Transkript

1 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer og deres egenskaber fortaber sig i forhistorien. Vi finder geometriske og stiliserede figurer anvendt som dekoration på redskaber langt tilbage i stenalderen. Allerede her må man have opdaget de første geometriske egenskaber ved figurer - for eksempel symmetri. Med de første kulturers handel og vareudveksling fik man behov for at kunne måle og veje. Man har haft brug for at kunne bestemme arealer og rumfang. Desuden kan man ikke forestille sig, at de store byggerier i Ægypten og Mesopotamien i oldtiden kunne planlægges og gennemføres uden en stor og grundig geometrisk viden. Keops- og Kefrenspyramiden ved Cairo i Ægypten. Stiliserede mennesker dekoreret med geometrisk mønster fra jægerstenalderen. (Nationalmuseet) e-math.dk/c Vi kender en del til oldtidens geometriske viden gennem nogle få papyrusskrifter fra Ægypten fra Kapitel 5: Trigonometri Side 5.1

2 omkring 2000 fvt. og en hel del lertavler med kileskrift fra Mesopotamien fra omtrent den samme tid. Her er en række konkret gennemregnede problemer. Man må forestille sig, at hvis man skulle løse et geometrisk problem, har man fundet en eksempel der ligner, og så brugt samme metode. Nogle af de anvendte metoder giver det helt rigtige resultat, hvorimod andre metoder kun i visse specialtilfælde giver et rigtigt resultat. Beviser for, at metoderne er rigtige, finder vi ikke. De ses først i det antikke Grækenland (ca. 500 fvt. og fremefter). 5.1 Trekanter Når vi skal beskæftige os med geometriske figurer er trekanten den simpleste figur. Samtidig er det også en meget grundlæggende figur, fordi andre mere komplicerede figurer ofte kan opdeles i trekanter. Ordet trigonometri betyder også simpelt hen trekantmåling (trigon = trekant og metri = måling). bogstaver for eksempel a, b og c. En vinkelspids og den modstående side i en trekant betegnes altid med samme bogstav. trekant. Navngivning af sider og vinkler i en Afstanden mellem to punkter A og B betegnes AB, og dette vil vi undertiden også benytte for længden af en side i en trekant, altså AB = c. Hvis vi ser på en trekant, plejer vi at betegne vinklerne med store bogstaver fx A, B og C. Tilsvarende betegnes sidelængderne med små e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.2

3 Hvis vi måler alle tre vinkler i en trekant og lægger vinklerne sammen, får vi som bekendt 180. Dersom alle vinkler i en trekant er under 90, kaldes trekanten spidsvinklet. Hvis en af vinklerne er over 90 kaldes trekanten stumpvinklet. Og endelig kaldes en trekant, hvor en af vinklerne er 90, for en retvinklet trekant. 5.2 Ligedannede figurer Tegningerne herunder forestiller samme figur. De er blot gengivet i forskellige størrelser. Vinkler, der ligger samme sted i de tre figurer, har samme størrelse, og sidelængderne er forstørret eller formindsket med samme tal. I figur b) er alle længderne det dobbelte af de tilsvarende længder i a), og i figur c) er alle længderne 1 3 af de tilsvarende i figur b). Vi siger, at figur b) er en forstørrelse af figur a) med en skalafaktor på 2. Tilsvarende siger vi, at figur c) er en formindskelse af figur b) med en skalafaktor på 1 3. Når vinklerne i de to figurer er de samme, og alle sider i den ene figur er forstørret eller formindsket med samme faktor i forhold til de tilsvarende sider i den anden figur, vil de to figurer se ens ud. Vi siger at de to figurer er ligedannede. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.3

4 Eksempel (5.2.1) Landkort Når man tegner landkort, laver man en tegning, der er ligedannet med det landområde, som kortet skal vise. Alle vinkler er de samme som i landskabet, men alle afstande er gjort mindre. Ved korttegning kaldes skalafaktoren for målestoksforholdet. Her ses et kort over Danmark i målestoksforholdet 1: På kortet måles afstanden fra Gedser til Skagen til 7,5 cm. I virkeligheden er afstanden så ,5 cm = cm = 360 km e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.4

5 Eksempel (5.2.2) Hvis ikke alle vinkler er ens i de to figurer, vil de se helt forskellige ud. Herunder er sidelængderne i de to figurer ens, men vinklerne er ændret. Det er tydeligt, at de to figurer ikke ligner hinanden ret meget. I figuren herunder er alle tilsvarende vinkler i de to figurer ens, men sidelængder er ikke forstørret eller formindskes med samme skalafaktor. Igen ser figurerne forskellige ud. For at to figurer vil se ens ud, skal vinklerne i de to figurer parvis være ens, og alle sidelængderne i den ene figur skal ganget med samme faktor være lig med sidelængderne i den anden. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.5

6 For trekanter gælder der dog noget specielt. Hvis to trekanter er ensvinklede, dvs. at vinklerne i de to trekanter er parvis ens, er de ligedannede. De tilsvarende sidelængder i de to trekanter vil altså være forbundet med hinanden ved samme skalafaktor. (5.2.3) Sætning om ligedannede trekanter Hvis to trekanter ABC og A'B'C' er ensvinklede, (A = A', B = B' og C = C'), så er de ligedannede. De tilsvarende sider er forbundet med hinanden med samme skalafaktor. a' = k a eller a = a' k b' = k b eller b = b' k c' = k c eller c = c' k hvor skalafaktoren, k, udregnes ved: k = a' a = b' b = c' c (her bruger du den brøk, hvor du kender både tæller og nævner) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.6

7 Eksempel (5.2.4) Herunder ses to ensvinklede trekanter: Og: c = c' : k = 4 : 2 = 2 Da sidelængderne b og b er kendt, kan vi finde skalafaktoren: 5.3 Cosinus og sinus I resten af dette kapitel vil vi se på beregninger af vinkler og sidelængder i trekanter. Hertil har vi brug for to hjælpestørrelser, der kaldes cosinus og sinus. Vi betragter en cirkel i et koordinatsystem. Cirklens centrum ligger i koordinatsystemets midtpunkt (0,0) og radius er r = 1. Sådan en cirkel kaldes for en enhedscirkel. k = b' b = 6 3 = 2 Alle sidelængder i trekant A'B'C' er derfor 2 gange større end de tilsvarende sidelængder i trekant ABC. Vi kan derfor finde: a' = k a = 2 3,2 = 6,4 e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.7

8 Hvis vi så har en vinkel, v, kan vi indlægge den i koordinatsystemet med højre vinkelben på x-aksen. Vinklens venstre ben vil skære enhedscirklen i punktet P v. Dette punkt kaldes for vinklens retningspunkt. Førstekoordinaten til retningspunktet, P v, kaldes for cosinus til vinkel v, og vi skriver tallet som cos(v). Andenkoordinaten kaldes for sinus til vinkel v, og dette tal skrives som sin(v). Altså er P v = (cos(v), sin(v)). Vinkler kan godt være negative, og det betyder blot, at du skal dreje vinklen den anden vej (med uret) ud fra x-aksen. Definition af cosinus og sinus: Cosinus til en vinkel findes således: 1. Læg vinklen ind i et koordinatsystem 2. Find retningspunktet. 3. Gå lodret ned til x-aksen og cos(v) aflæses som førstekoordinaten. Sinus til en vinkel findes således: 1. Læg vinklen ind i et koordinatsystem 2. Find retningspunktet. 3. Gå vandret ind til y-aksen og sin(v) aflæses som andenkoordinaten. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.8

9 Dit CAS-værktøj har indbygget cosinus og sinus, og du indtaster blot cos(v) og sin(v). På denne måde er vi fri for at tegne enhedscirkler og indlægge vinkler, og samtidig får vi resultater der i præcision langt overgår, hvad vi kunne få ved den nok så præcise tegning. Eksempel (5.3.1) Hvis v = 57 o kan vi finde retningspunktets koordinater som P v = (cos(57 o ), sin(57 o )) = (0,54 ; 0,84) Nogle gange er vi i den situation, at vi kender cosinus- eller sinusværdien til en vinkel og vil så gerne finde ud af, hvilken vinkel der er tale om. Hvis vinklen er mellem 0 o og 180 o er dette enkelt nok. Hvis vi kender cosinus, ved vi hvad førstekoordinaten til retningspunktet P v er. Vi kan altså gå fra dette tal på x-aksen lodret op til vi skærer enhedscirklen, og her finder vi retningspunktet. Så kan vinklen nemt findes. På samme måde kan vi finde vinklen, hvis vi kender sinus og vinklen ligger mellem -90 o og 90 o. Vi starter så på y-aksen i stedet for og går vandret ind mod højre til vi rammer enhedscirklen. Her ligger retningspunktet P v, og vinklen kan nu nemt bestemmes. Disse procedurer er også indbygget CAS-værktøjet. Her kaldes se for arccos (udtales arcus-cosinus) og arcsin (arcus-sinus). Som forkortelse for disse procedurer anvender vi symbolerne cos 1 og sin 1. De kaldes også for invers cosinus og invers sinus. Eksempel (5.3.2) Hvis vi ved, at cos(v) = 0,5, kan vi bestemme v som: v = arccos(0,5) = 60 o Hvis vi ved, at sin(v) = 0,5, kan vi bestemme v som: v = arcsin(0,5) = 30 o e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.9

10 5.4 Anvendelse af cosinus og sinus Nu kan vi knytte vores viden om ensvinklede trekanter og cosinus og sinus sammen. Hvis vi har en retvinklet trekant ABC, kan vi indlægge den i et koordinatsystem med vinkel A i punktet (0,0) og siden b ud langs x-aksen. Herved har vi opnået to ensvinklede trekanter, for de har jo vinkel A til fælles og så er de begge retvinklede. Derfor må B og B' så også være ens. Når vi så indtegner enhedscirklen, så ser vi, at der fremkommer en lille retvinklet trekant AB'C' inde i enhedscirklen. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.10

11 Sidelængderne i den lille trekant AB'C' kender vi. Da den ligger i en enhedscirkel og c' er radius i enhedscirklen, vil: Skalafaktoren kan af sidelængderne c og c' beregnes til at være: c c' = c 1 = c c' = 1. Punktet B' er retningspunkt for vinkel A, og det har derfor koordinaterne (cos(a), sin(a)). Derfor kan vi slutte, at: b' = cos(a) a' = sin(a) Derfor får vi: b = c cos(a) a = c sin(a) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.11

12 Disse formler kan omformes ved division med c på begge sider af lighedstegnet til: b c = c cos(a) = cos(a) c (5.4.1) Sætning I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90 o, gælder følgende formler: a c = c sin(a) = sin(a) c Herved har vi bevist følgende vigtige sætning: b = c cos(a) eller cos(a) = b c a = c sin(a) eller sin(a) = a c e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.12

13 Eksempel Beregning af sidelængder I trekant ABC er A = 27 o og C = 90 o. Endvidere er c = 7. Vi ønsker at beregne sidelængderne a og b. Eksempel Beregning af sidelængder I trekant ABC er A = 78 o og a = 9. Vi ønsker at beregne sidelængderne c og b. Vi finder: og: a b = c sin(a) = 7 sin(27 o ) = 3,18 = c cos(a) = 7 cos(27 o ) = 6,24 I formlen: a = c sin(a) indsættes de tal vi kender: 9 = c sin(78 o ) Her isolerer vi c: 9 c = sin(78 o ) = 9,20 Dernæst kan vi finde b: b = c cos(a) = 9,20 cos(78 o ) = 1,91 e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.13

14 Eksempel Beregning af vinkler. I trekant ABC er a = 5 og c = 7. Vi ønsker at finde vinkel A. 5.5 Tangens Foruden cosinus og sinus har vi flere andre hjælpestørrelser i trekantsberegning. En af disse er tangens, som defineres ved: (5.5.1) Definition af tangens: Tangens til en vinkel A defineres ved: tan(a) = sin(a) cos(a) På CAS-værktøjet udregnes tangens til fx 35 o blot ved at taste: tan(35). Ud fra formlen: sin(a) = a c beregnes: sin(a) = 5 7 = 0, Ligesom ved sinus kan man udregne værdien af en vinkel, hvis den ligger mellem -90 o og 90 o, og man kender dens tangensværdi. Hertil bruges arctan (udtales arcus-tangens) eller tan -1. Hermed kan vinkel A bestemmes: A = arcsin(0,71425) = 45,58 o e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.14

15 Eksempel (5.5.2) Hvis A = 52 o, bliver: Hvis vi ved, at tan(a) = tan(52 o ) = 1,2799 (5.5.3) Sætning om tangens: I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90 o, gælder følgende formler: tan(a) = 0,25 bliver: A = arctan (0,25) = o Tangens er nyttig i beregninger, hvor længden af hypotenusen i trekanten ikke indgår. Dette skyldes, at der gælder følgende formler for tanges: a = b tan(a) eller tan(a) = a b Beviset for disse former foregår ud fra de tilsvarende formler for cosinus og sinus. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.15

16 Fra sætning (5.4.1) har vi: Heraf får vi: a = c sin(a) og b = c cos(a) a b = c sin(a) c cos(a) = sin(a) cos(a) = tan(a) Den anden formel bevises således: b tan(a) = b a b = a 5.6 Generelt udtryk for trigonometriske formler Nu er det jo ikke altid, at trekanterne hedder ABC. Derfor kan det være en fordel at formulere de trigonometriske formler uden brug af bogstavsymboler. Hvis vi ser på en retvinklet trekant ABC med C = 90 o, kaldes siden c for hypotenusen. Siderne a og b, som danner den rette vinkel, kaldes for kateter. Særligt kaldes siden b for vinkel A s hosliggende katete, og siden a for vinkel A s modstående katete. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.16

17 Med disse betegnelser kan de trigonometriske formler angives således: hosliggende katete = hypotenuse cos(v) cos (v) = hosliggende katete hypotenuse Eksempel På figuren ses trekant FHL, hvor H = 90 o. Med udgangspunkt i vinkel F er siden f vinkel F s modstående katete, siden l er vinkel F s hosliggende katete og h er hypotenusen. modstående katete = hypotenuse sin(v) sin(v) = modstående katete hypotenuse modstående katete = hosliggende katete tan(v) tan(v) = modstående katete hosliggende katete Derfor kan formler i denne trekant skrives: l = h cos(f) eller l cos(f) = h f = h sin(f) eller sin(f) = f h f = l tan(f) eller tan(f) = f l e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.17

18 5.7 Areal af trekanter Nu vil vi se på trekanter, der ikke nødvendigvis er retvinklede, men kan have alle mulige udseender. Indtil nu har vi kun udviklet formler til beregning af sider og vinkler i retvinklede trekanter, og denne viden vil vi udnytte i trekanter, der ikke er retvinklede. Her ses en sådan trekant: Hvor h er en af trekantens højder og g er den tilhørende grundlinje. Vi ser på højden på siden b, som herved bliver grundlinje i trekanten. Altså er g = b. Men højden deler jo trekanten op i to retvinklede trekanter, og i hver af disse gælder vores trigonometriske formler. Arealet af trekanten, T, udregnes som: T = ½ h g e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.18

19 Vi ser på den venstre trekant: Vi lægger mærke til, at de elementer, der indgår i formlen, er en vinkel og de to sider, som støder op til vinklen. I stedet for at bruge vinkel A, kunne vi lige så godt have brugt vinkel B eller C sammen med de sider, som støder op til hver af dem. Derfor er der tre formler for trekantens areal: I denne retvinklede trekant er højden h modstående katete til vinkel A. Vi kan derfor skrive en formel op for dens længde ved hjælp af sinus: h = c sin(a) Indsætter vi nu dette sammen med g = b i arealformlen for en trekant får vi: T = ½ h g = ½ c sin(a) b = ½ b c sin(a) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.19

20 (5.7.1) Sætning om areal af en trekant: I trekant ABC kan arealet beregnes ved en af disse formler: 5.8 Sinusrelationerne Nu vil vi udlede nogle formler til beregning af sidelængder og vinkler i vilkårlige trekanter. Sinusrelationerne er tre formler med sinus, der kan bruges til dette. Udledningen af disse formler tager udgangspunkt i formlerne for arealet af en trekant: T = ½ b c sin(a) T = ½ a c sin(b) T = ½ a b sin(c) I denne trekant kan vi bestemme arealet med tre formler, men da de alle tre giver samme tal, nemlig trekantens areal, vil der gælde: 1 2 b c sin(a) = 1 2 a c sin(b) = 1 2 a b sin(c) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.20

21 I denne relation vil vi dividere med størrelsen 1 2 a b c på alle sider af lighedstegnene: 1 2 b c sin(a) 1 2 a b c = 1 2 a c sin(b) 1 2 a b c = 1 2 a b sin(c) 1 2 a b c i første brøk kan vi forkorte med 1 2 b c, i den anden med 1 2 a c og i den sidste med 1 2 a b. Herved får vi formlerne: sin(b) b = sin(c) c Vi opsummerer det i følgende sætning: (5.8.1) Sinusrelationerne: I trekant ABC gælder følgende formler: sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c Det er disse formler, der kaldes for sinusrelationerne. Læg mærke til, at der faktisk er tale om tre formler sat samme i en, nemlig de tre formler: sin(a) a sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.21

22 Eksempel I trekant ABC er A = 73,33 o, C = 51,45 o og siden b = 11,4. sin(a) = sin(b) a b og de kendte værdier indsættes: sin(73, 33 ) a = sin(55,22 ) 11,4 Nu har vi en ligning, hvor a er ubekendt, og den løses: a = 13,3 Tilsvarende kan vi finde siden c ved at bruge sinusrelationerne med b og c: Vi udregner vinkel B: B = 180 o A C = 180 o 73,33 o 51,45 o = 55,22 o Nu kan vi bruge sinusrelationerne til at udregne siderne a og c. Vi udregner først a og bruger sinusrelationerne med a og b: sin(b) = sin(c) b c og de kendte størrelser indsættes i formlen: sin(55,22 ) 11,4 = sin(51,45 ) c Denne ligning løser vi: c = 10,9. e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.22

23 5.9 Cosinusrelationerne Cosinusrelationerne gælder også i vilkårlige trekanter og bruges til at udregne sidelængder og vinkler. (5.9.1) Cosinusrelationerne: I trekant ABC gælder følgende formler: Nu vil vi udlede cosinusrelationerne. Igen ser vi på en vilkårlig trekant, som vi deler i to retvinklede trekanter ved hjælp af højden på b. Grundlinjen b bliver delt op i to stykker, og vi kalder den ene for x. Den anden bliver derfor b x. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) Vi ser først på trekanten til venstre og bruger Pythagoras sætning her: e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.23

24 Heraf følger: x 2 + h 2 = c 2 Her isolerer vi h 2 : h 2 = c 2 x 2 Ligeledes ser vi på trekanten til højre og bruger også Pythagoras sætning på denne: og vi får: h 2 + (b x) 2 = a 2 Igen isolerer vi h 2 : h 2 = a 2 (b x) 2 Vi sammenligner nu de to udtryk for h 2 : a 2 (b x) 2 = c 2 x 2 I denne ligning isolerer vi a 2 : a 2 = c 2 x 2 + (b x) 2 e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.24

25 Her reducerer vi så højresiden: a 2 = c 2 x 2 + (b x) 2 = c 2 x 2 + b 2 + x 2 2 b x = c 2 + b 2 2 b x Til sidste ser vi igen på den venstre retvinklede trekant i trekant ABC: Dette indsættes i udtrykket: x = c cos(a) a 2 = c 2 + b 2 2 b x = c 2 + b 2 2 b c cos(a) Herved er den ene cosinusrelation udledt. De to andre følger ved omdøbning af vinkler og sidelængder. Her er siden x vinkel A s hosliggende katete, og derfor kan vi bruge formlen for cosinus i en retvinklet trekant her: e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.25

26 Eksempel I trekant ABC er sidelængderne a = 10,7, b = 11,5 og c = 8,3 I denne ligning er A ubekendt og vi får vores CAS-værktøj til at finde A: A = 63,1 o Vi vil beregne vinkel A, og derfor bruger den cosinusrelation, hvor cos(a) optræder: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) Her i indsættes de kendte værdier: =11, , ,5 8,3 cos(a) e-math.dk/c Kapitel 5: Trigonometri Side 5.26

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Matematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen

Matematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen Matematik C Noter For S15B Af Cristina Sissee Jensen Indholds fortegnelse Statistik s.4-6 o Forklaring på ikke og grupperede statistik s.4 o Ikke grupperede s.4 o Grupperede s.6 Tal- og bogstavregning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger.

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger. Matematik for malere praktikopgaver 3 Tilhører: Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger 2 Indhold: Tegneopgave... side 4 Ligninger... side 8 Areal...

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

10 Elevplan. en tværfaglig læringsaktivitet. Når eleven skal have afvinket en læringsaktivitet eller et læringselement, vil det være samtlige

10 Elevplan. en tværfaglig læringsaktivitet. Når eleven skal have afvinket en læringsaktivitet eller et læringselement, vil det være samtlige 10 Elevplan Organisatoriske forhold Matematik kan i Elevplan udbydes som en selvstændig læringsaktivitet og/eller som elementer i tværfaglige aktiviteter. Beskrivelsen i Elevplan er en uddybning og præcisering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere